2 Operace s vektory a maticemi Násobení vektoru skalárem Vektorový součin vektorů Dvojitý vektorový součin

Setrvaˇcn´ık ˇ Petr Slechta 9. u ´ nora 2011

2

Obsah ´ 1 Uvod 1.1 Znaˇcen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Operace s vektory a maticemi 2.1 N´asoben´ı vektoru skal´ arem . 2.2 Skal´ arn´ı souˇcin vektor˚ u . . . 2.3 Vektorov´ y souˇcin vektor˚ u . . 2.4 Sm´ıˇsen´ y souˇcin . . . . . . . . 2.5 Dvojit´ y vektorov´ y souˇcin . . 2.6 Souˇcin matic . . . . . . . . . 2.7 Souˇcin matice a vektoru . . . 2.8 Souˇcin tˇr´ı matic . . . . . . . .

5 5

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

7 7 7 7 9 9 10 10 10

3 Veliˇ ciny pro popis ot´ aˇ civ´ eho pohybu ´ 3.1 Uhel otoˇcen´ı . . . . . . . . . . . . . . ´ 3.2 Uhlov´ a rychlost . . . . . . . . . . . . ´ 3.3 Uhlov´e zrychlen´ı . . . . . . . . . . . 3.4 Moment s´ıly . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Moment hybnosti . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

11 11 11 12 12 14

4 Ot´ aˇ civ´ y pohyb 4.1 Tˇeˇziˇstˇe . . . . . . . . . . . . 4.2 Ot´ aˇcen´ı vektoru . . . . . . . 4.3 Ot´ aˇcen´ı tenzoru . . . . . . . 4.4 Skl´ad´ an´ı u ´hlov´ ych rychlost´ı 4.5 Skl´ad´ an´ı u ´hlov´ ych zrychlen´ı 4.6 Tenzor setrvaˇcnosti . . . . . 4.7 Steinerova vˇeta . . . . . . . 4.8 Energie ot´ aˇciv´eho pohybu . 4.9 V´ ykon dod´ avan´ y pˇri ot´ aˇcen´ı 4.10 Pohybov´e rovnice . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

15 15 16 19 20 20 22 24 25 25 26

. . . . . . . . . .

29 29 31 31 32 33 34 34 35 35 38

5 Pˇ r´ıklady 5.1 V´alec . . . . . . . . . . 5.2 Tyˇc . . . . . . . . . . 5.3 Kruhov´a deska . . . . 5.4 Elipsoid . . . . . . . . 5.5 Koule . . . . . . . . . 5.6 Rotaˇcn´ı elipsoid . . . . 5.7 Stabilizace . . . . . . . 5.8 Gyroskopick´ y moment 5.9 Regul´arn´ı precese . . . 5.10 Voln´ y setrvaˇcn´ık . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . 3

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

5.11 5.12 5.13 5.14 5.15 5.16 5.17

Regul´arn´ı precese Rotuj´ıc´ı tal´ıˇr . . Tˇeˇzk´ y setrvaˇcn´ık K´ aˇca . . . . . . . Obecn´ a precese . Powerball . . . . Numerick´e ˇreˇsen´ı

Zemˇe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

4

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

39 40 40 42 43 49 50

Kapitola 1

´ Uvod Tento text si klade za c´ıl pˇribl´ıˇzit chov´an´ı setrvaˇcn´ıku. Budeme popisovat ot´aˇciv´ y pohyb tuh´eho tˇelesa ve tˇr´ırozmˇern´em prostoru kolem poˇc´atku souˇradnic. Pˇredpokladem je, ˇze posuvn´ y pohyb je jasn´ y. Je snaha vystaˇcit zde s co nejjednoduˇsˇs´ım matematick´ ym apar´ atem (ten sloˇzit´ y totiˇz nezn´ am), pˇresto je nˇekde tˇreba zn´ at i Taylorovy ˇrady ve v´ıce rozmˇerech, v´ıcerozmˇern´e integr´ aly, pr´ aci s vektory a maticemi apod., protoˇze jsem jednoduˇsˇs´ı cestu nenaˇsel (coˇz samozˇrejmˇe nemus´ı znamenat, ˇze neexistuje). Pomˇernˇe velk´ y d˚ uraz byl kladen na to, aby kaˇzd´e tvrzen´ı bylo co nejl´epe zd˚ uvodnˇen´e m´ısto jednoduch´eho odkazu na literaturu a tvrzen´ı, ˇze to tak prostˇe je. Prvn´ım d˚ uvodem k tomuto postupu je, ˇze si mysl´ım, ˇze dobr´a uˇcebnice by takto mˇela vypadat (pokud by snad nˇekdo chtˇel tento materi´ al pouˇz´ıt jako uˇcebnici). Druh´ y d˚ uvod je ten, ˇze odkazy na literaturu ani nejsem schopen podat prakticky ˇz´ adnou totiˇz nem´ am a nezn´ am. Jsem v tomto oboru laik a v´ım jen to, co jsem n´ ahodou naˇsel na internetu. Toho by si mˇel b´ yt pˇr´ıpadn´ y ˇcten´ aˇr vˇedom a mˇel by vˇse posuzovat kriticky (to plat´ı ostatnˇe v ˇzivotˇe obecnˇe). Klidnˇe se totiˇz m˚ uˇze nakonec uk´azat, ˇze cel´ y tento text je jeden velik´ y omyl. Samozˇrejmˇe by mˇe to mrzelo, protoˇze mi seps´an´ı dalo docela dost pr´ ace, ale ˇzivot je nˇekdy i zlomysln´ y.

1.1

Znaˇ cen´ı

V textu bude pouˇzito n´ asleduj´ıc´ı znaˇcen´ı: a — Skal´ar. ~a = (a1 , a2 , a3 ) = (ax , ay , az ) — Vektor. ~r = (x, y, z) — Polohov´ y vektor. Urˇcuje polohu bodu v prostoru. 



A11 A12 A13   Aˆ =  A21 A22 A23  — Matice. A31 A32 A33 



1 0 0  ˆ= a matice. E  0 1 0  — Jednotkov´ 0 0 1

a = |~a| — Velikost vektoru ~a budeme znaˇcit zkr´acenˇe odebr´an´ım ˇsipky. ai — i-t´a sloˇzka vektoru ~a. Promˇenn´ a i m˚ uˇze nab´ yvat hodnot 1 (pro souˇradnici x), 2 (pro y) nebo 3 (pro z). Aij — Prvek matice Aˆ na i-t´e ˇra´dce a v j-t´em sloupci. Promˇenn´e i a j mohou nab´ yvat hodnot 1 (pro x), 2 (pro y) nebo 3 (pro z). 5

δij — Kroneckerovo delta. Plat´ı δii = 1, δij = 0 jinak. εijk — Levi Civit˚ uv symbol. Plat´ı ε123 = ε231 = ε312 = 1, ε321 = ε213 = ε132 = −1, εijk = 0 jinak. AˆT — Transponovan´ a matice. Matice se pˇreklop´ı podle hlavn´ı u ´hlopˇr´ıˇcky, takˇze ATij = Aji . ~c = Aˆ~b — Souˇcin matice a vektoru. Vektor budeme ch´ apat jako sloupcovou matici, aby ˇslo pˇrehlednˇe zapisovat souˇcin matice a vektoru. ci = Aij bj — Tent´ yˇz souˇcin matice a vektoru zapsan´ y tenzorovˇe, po sloˇzk´ach. Rovnice vyjadˇruje hodnotu i-t´e sloˇzky vektoru ~c. Souˇcin na prav´e stranˇe je potˇreba spoˇc´ıtat pro vˇsechny moˇzn´e hodnoty (1, 2 a 3) promˇenn´e j a v´ ysledky seˇc´ıst. Toto sˇc´ıt´an´ı se prov´ad´ı vˇzdy pro vˇsechny P promˇenn´e, kter´e se v souˇcinu vyskytuj´ı dvakr´at. Znak 3j=1 pro souˇcet se vˇsak nep´ıˇse. Tomuto postupu se ˇr´ık´a Einsteinovo sumaˇcn´ı pravidlo. {ai }ni=1 — Posloupnost a1 , a2 , . . . , an .

6

Kapitola 2

Operace s vektory a maticemi V textu bude pouˇzito pˇrev´aˇznˇe sloˇzkov´eho z´apisu. Neˇskod´ı tedy menˇs´ı uk´azka, jak v tomto z´ apisu vypadaj´ı operace s vektory a maticemi.

2.1

N´ asoben´ı vektoru skal´ arem

Pokud se vektor ~b n´ asob´ı skal´ arem a, v´ ysledkem je opˇet vektor. Oznaˇcme jej ~c. Sloˇzky vektoru ~c dostaneme tak, ˇze n´ asob´ıme pˇr´ısluˇsn´e sloˇzky vektoru ~b skal´arem a. Vektorov´ y z´apis vypad´a takto: ~c = a~b Sloˇzkov´ y z´ apis vypad´a takto: ci = abi

2.2

Skal´ arn´ı souˇ cin vektor˚ u

Dva vektory ~a a ~b lze spolu skal´ arnˇe vyn´ asobit. V´ ysledkem je skal´ar (jak uˇz napov´ıd´ a n´ azev skal´ arn´ı ” souˇcin“) c. Vektorov´ y z´ apis vypad´a takto: c = ~a~b Hodnota se poˇc´ıt´ a takto: c = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 =

3 X

ai bi

i=1

Vynech´ ame-li znak souˇctu pˇres vˇsechna i (viz kapitolu 1.1), vypad´a sloˇzkov´ y z´apis takto: c = ai bi

2.3

Vektorov´ y souˇ cin vektor˚ u

Dva vektory ~a a ~b lze spolu vektorovˇe vyn´ asobit. V´ ysledkem je vektor ~c. Vektorov´ y z´apis vypad´a takto: ~c = ~a × ~b Vektorov´ y souˇcin se poˇc´ıt´ a takto: c1 = a2 b3 − a3 b2

(2.1)

c2 = a3 b1 − a1 b3

(2.2) 7

c3 = a1 b2 − a2 b1

(2.3)

Je vidˇet, ˇze pro v´ ypoˇcet vektorov´eho souˇcinu potˇrebujeme zn´ at r˚ uzn´e souˇciny sloˇzek obou vektor˚ u. Napˇr. pro v´ ypoˇcet c1 jsou tˇreba souˇciny a2 b3 a a3 b2 . Pˇritom jedna n´ asoben´ a sloˇzka je vˇzdy z vektoru ~a a druh´a je vˇzdy z vektoru ~b. Z´ apis lze zjednoduˇsit tak, ˇze budeme uvaˇzovat souˇcet vˇsech takov´ ych kombinac´ı, kaˇzdou vˇsak vyn´ asob´ıme urˇcitou konstantou. Kombinace, kter´e pˇri v´ ypoˇctu nepotˇrebujeme, budeme n´ asobit nulou, takˇze se v souˇctu v˚ ubec neprojev´ı. Kombinace, kter´e m´ ame zapoˇc´ıtat s kladn´ ym znam´enkem, budeme n´ asobit jedniˇckou. Kombinace, kter´e m´ ame zapoˇc´ıtat se z´aporn´ ym znam´enkem, budeme n´ asobit m´ınus jedniˇckou. Znak souˇctu pˇres vˇsechna j a k opˇet vynech´ ame (viz kapitolu 1.1). Sloˇzkov´ y z´ apis pak vypad´a takto: ci = εijk aj bk Aby vyˇsla spr´avnˇe rovnice (2.1), mus´ı platit: ε123 = 1 ε132 = −1 ε1jk = 0

jinak

Z rovnic (2.2) a (2.3) odvod´ıme zbytek hodnot a dostaneme: ε123 = ε231 = ε312 = 1 ε321 = ε213 = ε132 = −1 εijk = 0

jinak

Symbol εijk se naz´ yv´ a Levi Civit˚ uv symbol. Dosazen´ım pro vˇsechna j, k, l a m lze ovˇeˇrit, ˇze plat´ı rovnost: εijk εilm = δjl δkm − δjm δkl

(2.4)

Symbol δij je takzvan´e Kroneckerovo delta, viz kapitolu 1.1. Nˇekdy se lze setkat s v´ yrazem, kter´ y je troˇsku podobn´ y vektorov´emu souˇcinu: Aij = ai bj − bi aj Chceme-li tyto dva ˇcleny spojit do jednoho, lze vyuˇz´ıt (2.4) a postupovat n´ asledovnˇe: Aij = δil δjm al bm − δim δjl al bm Aij = (δil δjm − δim δjl )al bm Aij = εkij εklm al bm Aij = εijk εklm al bm Nach´ az´ıme tedy zaj´ımavou identitu: ai bj − bi aj = εijk εklm al bm

(2.5) 8

2.4

Sm´ıˇ sen´ y souˇ cin

Sm´ıˇsen´ ym souˇcinem se rozum´ı v´ yraz: d = ~a · (~b × ~c) Hodnota tohoto v´ yrazu pˇredstavuje objem rovnobˇeˇznostˇenu urˇcen´eho vektory ~a, ~b a ~c. Sloˇzkov´ y z´apis vypad´a takto: d = ai (εijk bj ck ) d = εijk ai bj ck Z tohoto z´ apisu je ihned vidˇet, ˇze plat´ı: ~a · (~b × ~c) = ~c · (~a × ~b) = ~b · (~c × ~a)

2.5

(2.6)

Dvojit´ y vektorov´ y souˇ cin

Dvojit´ ym vektorov´ ym souˇcinem se rozum´ı tento v´ yraz: d~ = ~a × (~b × ~c) Ve sloˇzkov´em z´ apisu: di = εijk aj (εklm bl cm ) di = εkij εklm aj bl cm To lze pomoc´ı (2.4) upravit: di = (δil δjm − δim δjl )aj bl cm di = δil δjm aj bl cm − δim δjl aj bl cm di = aj cj bi − aj bj ci To lze zapsat vektorovˇe pomoc´ı skal´ arn´ıho souˇcinu: d~ = (~a~c)~b − (~a~b)~c Plat´ı tedy identita: ~a × (~b × ~c) = (~a~c)~b − (~a~b)~c

(2.7)

Pomoc´ı t´eto identity lze napˇr´ıklad naj´ıt jinou identitu, kter´a se obˇcas vyskytne. ~a × [~b × (~a × ~b)] = [~a · (~a × ~b)]~b − (~a · ~b)(~a × ~b) Pouˇzijeme (2.6) a pokraˇcujeme: ~a × [~b × (~a × ~b)] = [~b · (~a × ~a)]~b − (~a · ~b)(~a × ~b) = −(~a · ~b)(~a × ~b) Plat´ı tedy identita: ~a × [~b × (~a × ~b)] = −(~a · ~b)(~a × ~b)

(2.8) 9

2.6

Souˇ cin matic

ˆ lze spolu vyn´ ˆ Maticov´ Dvˇe matice Aˆ a B asobit. V´ ysledkem je matice C. y z´apis vypad´a takto: ˆ Cˆ = AˆB Hodnota prvku matice Cˆ na i-t´em ˇra´dku a v k-t´em sloupci je rovna skal´arn´ımu souˇcinu (viz kapitolu ˆ Sloˇzkov´ 2.2) i-t´e ˇra´dky matice Aˆ a k-t´eho sloupce matice B. y z´apis vypad´a takto: Cik = Aij Bjk

2.7

Souˇ cin matice a vektoru

Souˇcin matice Aˆ a vektoru ~b je speci´ aln´ı pˇr´ıpad souˇcinu matic (kapitola 2.6), kde druh´ y operand m´ a pouze jeden sloupec. Vektor budeme ch´ apat jako sloupcovou matici s jedn´ım sloupcem, aby se n´ am zjednoduˇsil z´apis.1 Maticov´ y z´ apis vypad´a takto: ~c = Aˆ~b Sloˇzkov´ y z´apis vypad´a takto: ci = Aij bj

2.8

Souˇ cin tˇ r´ı matic

Souˇcin tˇr´ı matic vypad´a v maticov´em z´ apisu takto: ˆ = AˆB ˆ Cˆ D Jedn´a se vlastnˇe o dva souˇciny dvou matic: ˆ = AˆB ˆ E ˆ =E ˆ Cˆ D Sloˇzkov´ y z´apis vypad´a takto (viz kapitolu 2.6): Eik = Aij Bjk Dil = Eik Ckl To lze opˇet spojit do jedn´e rovnice: Dil = Aij Bjk Ckl

1

Pokud bychom vektor ch´ apali jako ˇr´ adkovou matici, museli bychom jej pˇred a po n´ asoben´ı matic´ı transponovat a vznikl´ y z´ apis by byl m´enˇe pˇrehledn´ y.

10

Kapitola 3

Veliˇ ciny pro popis ot´ aˇ civ´ eho pohybu Pro popis ot´ aˇciv´eho pohybu pouˇz´ıv´ame podobnou sadu veliˇcin jako pro popis pohybu posuvn´eho. M´ısto dr´ ahy s pouˇz´ıv´ame u ´hel ϕ, m´ısto rychlosti v pouˇz´ıv´ame u ´hlovou rychlost ω atd. Jelikoˇz je tˇreba urˇcit i smˇer pohybu v prostoru, st´ avaj´ı se tyto veliˇciny vektory ϕ ~ , ~ω atd. Pˇrestoˇze znalost tˇechto veliˇcin pˇredpokl´ad´ ame, neˇskod´ı mal´e opakov´an´ı.

3.1

´ Uhel otoˇ cen´ı

´ Uhel otoˇcen´ı je ot´ aˇciv´a obdoba dr´ ahy. Zavedeme jej jako vektor ϕ ~ . Velikost ϕ urˇcuje, o kolik radi´ an˚ u se nˇeco (napˇr. tˇeleso) otoˇcilo. Smˇer vektoru urˇcuje orientaci osy ot´aˇcen´ı a stranu, na kterou se tˇeleso toˇc´ı. Osa ot´ aˇcen´ı je rovnobˇeˇzn´ a s vektorem ϕ ~ . Pro smˇer ot´aˇcen´ı plat´ı takzvan´e pravidlo prav´e ruky — pokud palec prav´e ruky nam´ıˇr´ıme ve smˇeru vektoru ϕ ~ , pak ostatn´ı prsty ukazuj´ı smˇer ot´ aˇcen´ı. Na obr´ azku 3.1 se vektor ~u otoˇcen´ım zmˇenil na ~u′ . Rozd´ıl obou vektor˚ u je ∆~u = ~u′ − ~u. Koncov´ y bod vektoru ~u opsal oblouk d´elky l. Velikost u ´hlu v radi´ anech je definov´ana jako pod´ıl d´elky opsan´eho oblouku a polomˇeru ot´ aˇcen´ı, tedy plat´ı: ϕ=

l u sin α

l = ϕu sin α Pokud je u ´hel otoˇcen´ı velice mal´ y (bl´ıˇz´ı se nule), oznaˇcujeme jej d~ ϕ. Rozd´ıl ~u′ − ~u je potom tak´e velice mal´ y a znaˇc´ı se d~u. Zakˇriven´ı opsan´eho oblouku se stane zanedbateln´ ym, takˇze velikost |d~u| se bude bl´ıˇzit k d´elce oblouku l. Pak lze ps´ at: |d~u| = |d~ ϕ|u sin α Vektor d~u je pˇritom kolm´ y na vektory d~ ϕ a ~u, proto lze pouˇz´ıt vektorov´ y souˇcin a s ohledem na orientaci vektor˚ u ps´ at: d~u = d~ ϕ × ~u

3.2

(3.1)

´ Uhlov´ a rychlost

Pokud se tˇeleso ot´ aˇc´ı tak, ˇze se bˇehem velmi kr´atk´eho ˇcasu dt pootoˇc´ı o velmi mal´ y u ´hel d~ ϕ, lze definovat veliˇcinu ~ ω takto: ~ω =

d~ ϕ dt

(3.2)

Tato veliˇcina se naz´ yv´ au ´hlov´a rychlost a je ot´aˇcivou obdobou rychlosti ~v . Pokud se touto rychlost´ı ot´aˇc´ı nˇejak´ y vektor ~u, je ˇcasov´a zmˇena tohoto vektoru (viz (3.1)): d~ ϕ × ~u d~ ϕ d~u = = × ~u dt dt dt 11

ϕ

ϕ

∆u

l

u’ α

u

´ Obr´azek 3.1: Uhel otoˇcen´ı. S uv´aˇzen´ım (3.2) tedy lze ps´ at: d~u =ω ~ × ~u dt

(3.3)

Pokud jako vektor ~u pouˇzijeme polohov´ y vektor ~r, jehoˇz ˇcasov´a derivace je rychlost ~v , dostaneme: ~v = ~ω × ~r

(3.4)

Sloˇzkov´ y z´apis vypad´a takto: vi = εijk ωj rk

3.3

(3.5)

´ Uhlov´ e zrychlen´ı

ˇ V posuvn´em pohybu se ˇcasov´a zmˇena rychlosti naz´ yv´ a zrychlen´ı. Casov´ a zmˇena u ´hlov´e rychlosti se naz´ yv´ au ´hlov´e zrychlen´ı a znaˇc´ı se ~ε. Plat´ı: ~ε =

3.4

d~ω dt

(3.6)

Moment s´ıly

Je empiricky zjiˇstˇeno (a vzhledem k symetrii to snad jinak ani nelze oˇcek´avat), ˇze pokud s´ıla m´ıˇr´ı pˇr´ımo smˇerem k ose ot´ aˇcen´ı nebo od t´eto osy, nem´ a ot´aˇciv´ yu ´ˇcinek. Na obr´ azku 3.2 jsou zn´ azornˇeny ~1 a F ~2 , jejichˇz souˇcet F~ m´ıˇr´ı pˇr´ımo k ose ot´aˇcen´ı o. V´ ~ tedy nezp˚ dvˇe s´ıly F ysledn´ a s´ıla F usobuje ot´aˇcen´ı. Je vidˇet, ˇze plat´ı tyto vztahy: F1 sin α1 = F2 sin α2 l2 l1 = sin α1 sin α2 Vyn´ asoben´ım obou rovnic dostaneme: F1 l1 = F2 l2 To znamen´a, ˇze abychom vyrovnali ot´ aˇciv´ yu ´ˇcinek nˇejak pevnˇe dan´e s´ıly F~1 , mus´ıme s´ılu F~2 zvolit tak, aby souˇcin F2 l2 mˇel urˇcitou danou hodnotu. Tento souˇcin tedy vyjadˇruje m´ıru ot´aˇciv´eho u ´ˇcinku 12

o l2

l1

F α2

α1

F2

F1 Obr´azek 3.2: S´ıly, kter´e nep˚ usob´ı ot´aˇcen´ı. ~ kolm´ s´ıly a ˇr´ık´a se mu moment s´ıly. Zav´ad´ı se jako vektorov´a veliˇcina M a na rovinu ot´aˇcen´ı. Smˇer je urˇcen pravidlem prav´e ruky — palec m´ıˇr´ı ve smˇeru momentu s´ıly a ostatn´ı prsty ukazuj´ı smˇer s´ıly. To vˇse lze shrnout do jedn´e rovnice: ~ = ~r × F~ M

(3.7)

Pˇritom F~ je s´ıla a ~r je polohov´ y vektor jej´ıho p˚ usobiˇstˇe. Lze uk´azat, ˇze momenty se sˇc´ıtaj´ı — pokud dvˇe s´ıly p˚ usob´ı ve stejn´em bodˇe, pak moment v´ ysledn´e s´ıly je roven souˇctu moment˚ u jednotliv´ ych sil: ~ = ~r × F~ = ~r × (F ~1 + F~2 ) = ~r × F~1 + ~r × F~2 = M ~1 + M ~2 M To plat´ı i tehdy, maj´ı-li s´ıly r˚ uzn´ a p˚ usobiˇstˇe. Pak se lze totiˇz s´ıly F~1 a F~2 pˇresunout z jejich p˚ usobiˇst’ ~r1 a ~r2 do spoleˇcn´eho p˚ usobiˇstˇe ~r. (Plat´ı pro r˚ uznobˇeˇzn´e s´ıly. Pro mimobˇeˇzn´e s´ıly by byl postup jeˇstˇe sloˇzitˇejˇs´ı a nebudu ho uv´adˇet.) S´ılu lze pˇresouvat pouze ve smˇeru s´ıly, pro ~r tedy mus´ı platit: ~1 ~r − ~r1 k F

(3.8)

~2 ~r − ~r2 k F

(3.9)

Potom je v´ ysledn´ y moment: ~ = ~r × F~ = ~r × (F ~1 + F~2 ) = ~r × F~1 + ~r × F~2 M ~ = (~r − ~r1 + ~r1 ) × F~1 + (~r − ~r2 + ~r2 ) × F~2 M ~ = (~r − ~r1 ) × F ~1 + ~r1 × F ~1 + (~r − ~r2 ) × F~2 + ~r2 × F~2 M Pˇri uv´aˇzen´ı (3.8) a (3.9) dostaneme: ~ = ~r1 × F ~1 + ~r2 × F~2 = M ~1 + M ~2 M Momenty se tedy opˇet seˇcetly. To je velice d˚ uleˇzit´a vlastnost, kter´a n´ am uˇsetˇr´ı hodnˇe pr´ ace. D´ıky tomuto faktu nemus´ıme skl´adat vˇsechny s´ıly p˚ usob´ıc´ı na tˇeleso a pak poˇc´ıtat moment v´ ysledn´e s´ıly, ale spoˇc´ıt´ame moment kaˇzd´e z p˚ usob´ıc´ıch sil a seˇcteme tyto momenty. To je mnohem jednoduˇsˇs´ı. Tuh´e tˇeleso se skl´ad´ a z r˚ uzn´ ych pevnˇe spojen´ ych ˇc´ast´ı. Na tyto ˇc´asti mohou p˚ usobit r˚ uzn´e vnˇejˇs´ı s´ıly, jednotliv´e ˇc´ asti vˇsak p˚ usob´ı silami i jedna na druhou. Tˇemto sil´ am se ˇr´ık´a vnitˇrn´ı s´ıly. Je 13

empiricky ovˇeˇreno, ˇze tyto vnitˇrn´ı s´ıly nezp˚ usobuj´ı ˇz´adn´ y pohyb tˇelesa (ani posuvn´ y ani ot´aˇciv´ y), coˇz znamen´a, ˇze souˇcet moment˚ u vˇsech vnitˇrn´ıch sil je roven nule. Toto je pomˇernˇe jasn´e pro s´ıly p˚ usob´ıc´ı ve smˇeru spojnice mezi p˚ usob´ıc´ımi body (jako jsou napˇr. elektrostatick´a s´ıla, gravitaˇcn´ı s´ıla, nataˇzen´ y prov´azek apod.), protoˇze obˇe s´ıly maj´ı stejn´e rameno. Pravda je ale takov´a, ˇze nezn´ ame ani ˇz´adnou jinou s´ılu, kter´a by dok´azala roztoˇcit izolovan´e tˇeleso.

3.5

Moment hybnosti

Ot´ aˇcivou obdobou hybnosti p~ je tzv. moment hybnosti ~b. Pro hmotn´ y bod se definuje takto: ~b = ~r × ~p

(3.10)

Pˇritom ~r je polohov´ y vektor hmotn´eho bodu a p~ je jeho hybnost. Pokud se tˇeleso skl´ad´ a z n y moment hybnosti: pi }ni=1 , je celkov´ takov´ ychto hmotn´ ych bod˚ u s polohami {~ri }ni=1 a hybnostmi {~ ~b =

n X

~bi =

n X

~ri × ~ pi

i=1

i=1

V pˇr´ıpadˇe spojit´eho rozloˇzen´ı hmoty se pouˇzije integr´ al: ~b =

ZZZ

̺ ~r × ~v dV

V

Spoˇc´ıtejme ˇcasovou zmˇenu momentu hybnosti hmotn´eho bodu dan´eho vztahem (3.10): d d~r d~ p d~b = (~r × ~ p) = × p~ + ~r × = ~v × p~ + ~r × F~ dt dt dt dt Prvn´ı ˇclen je nula a vypadne, protoˇze vektory ~v a p~ jsou rovnobˇeˇzn´e, a druh´ y ˇclen je podle (3.7) moment s´ıly. Pokud tento v´ ypoˇcet provedeme pro vˇsechny body tˇelesa a udˇel´ame souˇcet (resp. integr´ al), dostaneme na lev´e stranˇe moment hybnosti tˇelesa a na prav´e stranˇe souˇcet moment˚ u vˇsech sil. Z tˇechto sil je d´ ale moˇzn´e uvaˇzovat pouze vnˇejˇs´ı s´ıly, protoˇze souˇcet moment˚ u vnitˇrn´ıch sil je nulov´ y (viz kapitolu 3.4). Lze tedy tvrdit: ~ ~ = db M dt

(3.11)

~ je moment vnˇejˇs´ıch sil a ~b je moment hybnosti tˇelesa. Tento vztah se naz´ Pˇritom M yv´ a 2. impulsov´a vˇeta.

14

Kapitola 4

Ot´ aˇ civ´ y pohyb Nadefinovali jsme si z´ akladn´ı veliˇciny pro popis ot´aˇciv´eho pohybu. Nyn´ı si vˇsimneme nˇekter´ ych zaj´ımav´ ych vlastnost´ı tohoto pohybu.

4.1

Tˇ eˇ ziˇ stˇ e

Mˇejme tˇeleso o hmotnosti m uchycen´e tak, ˇze se m˚ uˇze ot´aˇcet kolem bodu v poˇc´atku soustavy souˇradnic. Necht’ na kaˇzd´ y bod tˇelesa o hmotnosti dm p˚ usob´ı s´ıla dF~ : ~ = ~a dm dF

(4.1)

Pˇritom ~a je nˇejak´ y vektor stejn´ y pro vˇsechny body. M˚ uˇze to b´ yt tˇreba intenzita homogenn´ıho gravitaˇcn´ıho pole. Tak´e lze stejn´eho efektu dos´ ahnout napˇr. t´ım, ˇze cel´a soustava nen´ı inerci´ aln´ı, ale rovnomˇernˇe zrychluje. Zkus´ıme zjistit, zda m´ a tˇeleso tendenci se ot´aˇcet. Spoˇc´ıt´ame si tedy v´ ysledn´ y ~ podle vztahu (3.7) a (4.1): moment s´ıly M ~ = M

Z

~r × dF~ =

Z

~r × ~a dm

m

Za pˇredpokladu, ˇze vektor ~a m´ a pouze sloˇzku z, tedy ~a = (0, 0, a), vych´ az´ı: ~ = M

Z

Z

Z

(ay, −ax, 0) dm = (a y dm, −a x dm, 0)

m

m

m

Tˇeleso se tedy nebude ot´ aˇcet, pokud plat´ı: Z

x dm = 0

Z

y dm = 0

m

m

Budeme-li pˇredpokl´adat, ˇze smˇer vektoru ~a je ve smˇeru osy x (pˇr´ıpadnˇe y), tedy ˇze plat´ı ~a = (a, 0, 0) (pˇr´ıpadnˇe ~a = (0, a, 0)), dost´ av´ame nav´ıc podm´ınku: Z

z dm = 0

m

Splnˇen´ı tˇechto tˇr´ı podm´ınek je nav´ıc postaˇcuj´ıc´ı pro jak´ ykoliv vektor ~a, nebot’ jej vˇzdy lze sloˇzit ze tˇr´ı vektor˚ u takto: ~a = (ax , ay , az ) = (ax , 0, 0) + (0, ay , 0) + (0, 0, az ) Pro kaˇzd´ y z nich vyjde moment s´ıly nulov´ y a v´ ysledn´ y moment s´ıly je jejich souˇcet, tedy rovnˇeˇz nula. Chceme-li tedy, aby se tˇeleso netoˇcilo v ˇz´adn´em homogenn´ım poli, mus´ı platit: Z

~r dm = ~0

(4.2)

m

15

Zaps´ano sloˇzkovˇe: Z

m

ri dm = 0

(4.3)

Kaˇzd´e tˇeleso m´ a jeden bod, ve kter´em kdyˇz se uchyt´ı, nebude se v homogenn´ım gravitaˇcn´ım poli ot´aˇcet. Tomuto bodu se ˇr´ık´a tˇeˇziˇstˇe. Zkus´ıme naj´ıt jeho polohu a oznaˇcme ji ~s. Pro hled´ an´ı vyuˇzijeme fakt, ˇze posuneme-li tˇeleso tak, ˇze tˇeˇziˇstˇe bude v poˇc´atku, mus´ı platit rovnice (4.2), tedy: Z

(~r − ~s) dm = ~0

m

Z

~r dm − ~s

Z

~r dm − ~sm = ~0

m

Z

dm = ~0

m

m

Pro polohu tˇeˇziˇstˇe tedy plat´ı: 1 ~s = m

4.2

Z

~r dm

(4.4)

m

Ot´ aˇ cen´ı vektoru

Mˇejme vektor ~u, popisuj´ıc´ı nˇejakou vlastnost tˇelesa. Zaj´ım´ a n´ as, jak se bude tento vektor mˇenit, bude-li se tˇeleso ot´ aˇcet. Nejprve zjist´ıme, jak se vektor ~u zmˇen´ı, pootoˇc´ı-li se tˇeleso o mal´ y u ´hel d~ ϕ. Tento pootoˇcen´ y vektor oznaˇc´ıme ~u′ . S vyuˇzit´ım (3.1) lze ps´ at: ~u′ = ~u + d~u = ~u + d~ ϕ × ~u Zap´ıˇseme tento vztah po sloˇzk´ach a trochu uprav´ıme: u′i = ui + εikj dϕk uj u′i = δij uj + εikj dϕk uj u′i = (δij + εikj dϕk )uj u′i = (δij − εijk dϕk )uj Je vidˇet, ˇze se jedn´ a o n´ asoben´ı matice a vektoru: u′i = R(d~ ϕ)ij uj

(4.5)

Sloˇzky matice jsou: R(d~ ϕ)ij = δij − εijk dϕk

(4.6)

V maticov´em z´apisu vypad´a vztah (4.5) takto: ˆ ϕ)~u ~u′ = R(d~

(4.7)

Sloˇzen´ı dvou pootoˇcen´ı o dva mal´e u ´hly lze popsat takovouto matic´ı: ~ ˆ ϕ)R(d ˆ ψ) Sˆ = R(d~ Sloˇzkovˇe: ~ jk Sik = R(d~ ϕ)ij R(dψ) Sik = (δij − εijl dϕl )(δjk − εjkm dψm ) 16

Sik = δij δjk − δij εjkm dψm − δjk εijl dϕl + εijl dϕl εjkm dψm Zanedb´ame diferenci´ aly druh´eho ˇra´du dϕl dψm : Sik = δij δjk − δij εjkm dψm − δjk εijl dϕl Sik = δik − εikm dψm − εikl dϕl Sik = δik − εikl dψl − εikl dϕl Sik = δik − εikl (dψl + dϕl ) ~ ik Sik = R(d~ ϕ + dψ) Zaps´ano maticovˇe: ~ ˆ ϕ + dψ) Sˆ = R(d~ Tedy plat´ı: ~ = R(d~ ~ ˆ ϕ)R(d ˆ ψ) ˆ ϕ + dψ) R(d~

(4.8)

Pro dva opaˇcn´e u ´hly lze ps´ at: ˆ ϕ)R(−d~ ˆ ˆ ϕ − d~ ˆ ~0) R(d~ ϕ) = R(d~ ϕ) = R( ˆ ϕ)R(−d~ ˆ ˆ R(d~ ϕ) = E

(4.9)

Toto pˇribl´ıˇzen´ı prvn´ıho ˇra´du ve vˇetˇsinˇe pˇr´ıpad˚ u dostaˇcuje, nˇekdy vˇsak m˚ uˇze b´ yt potˇreba pouˇz´ıt ´ rozvoj druh´eho ˇra´du. Zkus´ıme ho nyn´ı nal´ezt. Uhel otoˇcen´ı budeme znaˇcit pouze ϕ ~ (m´ısto d~ ϕ), pˇrestoˇze ho pˇredpokl´ad´ ame velice mal´ y, abychom pˇri z´apisu jeho vyˇsˇs´ıch mocnin nemuseli st´ ale ps´ at z´avorky. Nejprve zkus´ıme probl´em popsat ve speci´aln´ı souˇradn´e soustavˇe a potom se od t´eto soustavy odpout´ ame a najdeme obecn´ y z´ apis. Zvol´ıme si takovou soustavu souˇradnic, ve kter´e vektor ϕ ~ m´ıˇr´ı ve smˇeru osy z a vektor ~u je v rovinˇe xz. Pak lze ps´ at: ϕ ~ = (0, 0, ϕz ) ~u = (ux , 0, uz ) Vektor ~u′ dostaneme pootoˇcen´ım: ~u′ = (ux cos ϕz , ux sin ϕz , uz ) Goniometrick´e funkce nahrad´ıme Taylorov´ ym rozvojem druh´eho ˇra´du: 1 ~u′ = (ux − ux ϕ2z , ux ϕz , uz ) 2 Nyn´ı se zkus´ıme oprostit od zvolen´e souˇradn´e soustavy a zap´ıˇseme tento vztah pomoc´ı vektorov´ ych operac´ı, kter´e jsou na zvolen´e soustavˇe nez´ avisl´e. Kdyˇz uv´aˇz´ıme smˇery jednotliv´ ych derivac´ı, vid´ıme, ˇze se n´ am budou hodit tyto v´ yrazy: ϕ ~ × ~u = (0, ux ϕz , 0) ϕ ~ × (~ ϕ × ~u) = (−ux ϕ2z , 0, 0) Otoˇcen´ y vektor lze tedy zapsat jako: 1 ~ × (~ ϕ × ~u) ~u′ = ~u + ϕ ~ × ~u + ϕ 2 17

Prvn´ı dva ˇcleny jsou jen zopakov´an´ım line´ arn´ıho pˇribl´ıˇzen´ı v´ yˇse, tˇret´ı ˇclen je nov´ y. Pomoc´ı (2.7) lze ze tˇret´ıho ˇclenu odstranit nepˇr´ıjemn´ y vektorov´ y souˇcin: 1 1 ~ (~ ϕ~u) − ϕ2 ~u (4.10) ~u′ = ~u + ϕ ~ × ~u + ϕ 2 2 Sloˇzkov´ y z´apis vypad´a takto: 1 1 u′i = ui + εijk ϕj uk + ϕi ϕj uj − ui ϕj ϕj 2 2 1 1 u′i = δij uj − εijk ϕk uj + ϕi ϕj uj − δij uj ϕk ϕk 2 2 1 1 u′i = (δij − εijk ϕk + ϕi ϕj − δij ϕk ϕk )uj 2 2 ˆ ϕ). Otoˇcen´ı opˇet pop´ıˇseme jako n´ asoben´ı matic´ı R(~ ϕ)ij uj u′i = R(~

(4.11)

ˆ ϕ) jsou: Pˇritom prvky matice R(~ 1 1 R(~ ϕ)ij = δij − εijk ϕk + ϕi ϕj − δij ϕk ϕk (4.12) 2 2 Zkus´ıme nyn´ı provˇeˇrit, jak je to se skl´ad´ an´ım otoˇcen´ı v pˇribl´ıˇzen´ı druh´eho ˇra´du. Uvaˇzujme otoˇcen´ı ~ ˆ o mal´ yu ´hel ψ n´ asledovan´e otoˇcen´ım o mal´ yu ´hel ϕ ~ . V´ ysledn´e otoˇcen´ı bude opˇet d´ ano matic´ı S: ~ ˆ ϕ)R( ˆ ψ) Sˆ = R(~ ~ kj Sij = R(~ ϕ)ik R(ψ) 1 1 1 1 Sij = (δik − εikl ϕl + ϕi ϕk − δik ϕl ϕl )(δkj − εkjm ψm + ψk ψj − δkj ψm ψm ) 2 2 2 2 Rozn´asob´ıme a ponech´ ame pouze ˇcleny do druh´eho ˇra´du: Sij = δik δkj − δkj εikl ϕl − δik εkjm ψm + εikl εkjmϕl ψm + 1 1 1 1 + δkj ϕi ϕk − δkj δik ϕl ϕl + δik ψk ψj − δik δkj ψm ψm 2 2 2 2 Sij = δij − εijk ϕk − εijk ψk + (δlj δim − δlm δij )ϕl ψm + 1 1 1 1 + ϕi ϕj − δij ϕk ϕk + ψi ψj − δij ψk ψk 2 2 2 2 Sij = δij − εijk (ϕk + ψk ) + ψi ϕj − δij ϕk ψk + 1 1 1 1 + ϕi ϕj + ψi ψj − δij ϕk ϕk − δij ψk ψk 2 2 2 2 Vyuˇzijeme vztah˚ u: 1 1 1 1 1 (ϕi + ψi )(ϕj + ψj ) = ϕi ϕj + ψi ψj + ϕi ψj + ψi ϕj 2 2 2 2 2 1 1 1 δij (ϕk + ψk )(ϕk + ψk ) = δij ϕk ϕk + δij ψk ψk + δij ϕk ψk 2 2 2 a uprav´ıme: 1 1 1 1 Sij = δij − εijk (ϕk + ψk ) + (ϕi + ψi )(ϕj + ψj ) − δij (ϕk + ψk )(ϕk + ψk ) − ϕi ψj + ψi ϕj 2 2 2 2 Prvn´ı ˇctyˇri ˇcleny pˇritom odpov´ıdaj´ı vztahu (4.12), lze tedy ps´ at: 1 ~ ij − (ϕi ψj − ψi ϕj ) Sij = R(~ ϕ + ψ) 2 S vyuˇzit´ım (2.5) lze doj´ıt ke vztahu: ~ kj = R(~ ~ ij − 1 εijk εklm ϕl ψm (4.13) R(~ ϕ)ik R(ψ) ϕ + ψ) 2 Je tedy vidˇet, ˇze skl´ad´ an´ı ot´ aˇcen´ı podle (4.8) plat´ı pouze pˇri line´ arn´ım pˇribl´ıˇzen´ı. Pˇri pˇribl´ıˇzen´ı druh´eho ˇra´du tento vztah jiˇz pouˇz´ıt nelze. 18

4.3

Ot´ aˇ cen´ı tenzoru

ˇ Reknˇ eme, ˇze v nˇejak´em tˇelese plat´ı pro nˇejak´e vektory ~a a ~b vztah: ~b = A~ ˆa Sloˇzkov´ y z´ apis t´ehoˇz je: bi = Aij aj Matice Aˆ pˇredstavuje tzv. tenzor druh´eho ˇra´du a popisuje nˇejakou vlastnost tˇelesa. N´as nyn´ı zaj´ım´ a, jak se bude mˇenit tento tenzor, bude-li se tˇeleso ot´aˇcet. Pro zaˇc´ atek zjist´ıme, jak se tenzor Aˆ zmˇen´ı, kdyˇz se tˇeleso pootoˇc´ı o velice mal´ y u ´hel d~ ϕ. ′ ˆ Pootoˇcen´ y tenzor oznaˇc´ıme A . Pro nˇejak´e vektory ~u a ~v bude platit: ~v = Aˆ′ ~u

(4.14)

Sloˇzkovˇe: vi = A′ij uj ˆ Vyuˇzijeme toho, ˇze pokud se pootoˇc´ıme spolu s tˇelesem, uvid´ıme tˇeleso s p˚ uvodn´ım tenzorem A, zat´ımco vektory ~u a ~v uvid´ıme pootoˇcen´e o u ´hel −d~ ϕ, tedy plat´ı: ˆ ˆ R(−d~ ϕ)~v = AˆR(−d~ ϕ)~u Vyuˇzijeme (4.9) a v´ yraz uprav´ıme: ˆ ϕ)AˆR(−d~ ˆ ~v = R(d~ ϕ)~u Srovn´an´ım s (4.14) dostaneme: ˆ ϕ)AˆR(−d~ ˆ Aˆ′ = R(d~ ϕ) Sloˇzkov´ y z´ apis je: A′il = R(d~ ϕ)ij Ajk R(−d~ ϕ)kl S vyuˇzit´ım (4.6) dostaneme: A′il = (δij − εijm dϕm )Ajk (δkl + εkln dϕn ) Rozn´asob´ıme a zanedb´ame diferenci´ aly vyˇsˇs´ıch ˇra´d˚ u: A′il = (δij δkl + δij εkln dϕn − δkl εijm dϕm )Ajk A′il = δij δkl Ajk + (δij εklm dϕm − δkl εijm dϕm )Ajk A′il = Ail + (δij εklm − δkl εijm )Ajk dϕm Zmˇena tenzoru je: dAil = A′il − Ail = (δij εklm − δkl εijm )Ajk dϕm Pˇrejmenujeme indexy pro lepˇs´ı ˇcitelnost: dAij = (δil εkjm − δkj εilm )Alk dϕm dAij = (δik εljm − δlj εikm )Akl dϕm dAij = (δik εjml − δjl εikm )Akl dϕm

(4.15)

Bude-li se tenzor ot´ aˇcet u ´hlovou rychlost´ı ~ω , bude rychlost zmˇeny tenzoru: dϕm dAij = (δik εjml − δjl εikm )Akl dt dt S vyuˇzit´ım (3.2) lze ps´ at: dAij = (δik εjml − δjl εikm )Akl ωm dt

(4.16) 19

4.4

Skl´ ad´ an´ı u ´ hlov´ ych rychlost´ı

V posuvn´em pohybu je skl´ad´ an´ı rychlost´ı jednoduch´e a zn´ am´e — rychlosti se seˇctou. Uvedu pˇr´ıklad. Proch´ az´ıme uliˇckou ve vag´ onu rychlost´ı ~v1 (mˇeˇreno vzhledem k vag´onu) a vag´on jede po kolej´ıch rychlost´ı ~v2 . Naˇse rychlost vzhledem ke kolej´ım je potom ~v , pˇriˇcemˇz plat´ı: ~v = ~v1 + ~v2

(4.17)

N´as vˇsak zaj´ım´ a ot´ aˇcen´ı, proto si pˇr´ıklad trochu uprav´ıme. Sed´ıme ve vag´onu a ot´aˇc´ıme se u ´hlovou rychlost´ı ~ω1 (opˇet mˇeˇreno vzhledem k vag´ onu). Vag´on se pˇritom vzhledem ke kolej´ım ot´aˇc´ı u ´hlovou rychlost´ı ~ω2 . Chceme popsat n´ aˇs pohyb vzhledem ke kolej´ım. Uvaˇzujme libovoln´ y bod naˇseho tˇela — jeho polohu oznaˇc´ıme ~r. Rychlost pohybu tohoto bodu vzhledem k vag´onu oznaˇc´ıme ~v1 a spoˇc´ıt´ame podle (3.4) takto: ~v1 = ω ~ 1 × ~r

(4.18)

Cel´ y vag´on se vˇsak ot´ aˇc´ı tak´e, coˇz v tomto m´ıstˇe znamen´a posuvn´ y pohyb vag´onu vzhledem ke kolej´ım rychlost´ı ~v2 . Opˇet vyuˇzijeme (3.4) a vid´ıme, ˇze plat´ı: ~v2 = ω ~ 2 × ~r

(4.19)

Rychlost pohybu vybran´eho bodu vzhledem ke kolej´ım oznaˇc´ıme opˇet ~v a spoˇc´ıt´ame podle (4.17). S vyuˇzit´ım (4.18) a (4.19) vid´ıme: ~v = ~v1 + ~v2 = ~ ω1 × ~r + ω ~ 2 × ~r = (~ ω1 + ω ~ 2 ) × ~r Je tedy vidˇet, ˇze naˇse tˇelo kon´ a vzhledem ke kolej´ım ot´aˇciv´ y pohyb u ´hlovou rychlost´ı: ~ω = ~ω1 + ~ω2

(4.20)

To znamen´a, ˇze u ´hlov´e rychlosti lze skl´adat stejnˇe jako posuvn´e — prostˇe se seˇctou. Jin´ y zp˚ usob d˚ ukazu tohoto tvrzen´ı lze prov´est s vyuˇzit´ım vztahu (4.8), jde vˇsak vlastnˇe pouze o jin´ y z´apis t´eˇze myˇslenky.

4.5

Skl´ ad´ an´ı u ´ hlov´ ych zrychlen´ı

Mˇejme podobnou situaci jako v kapitole 4.4, budeme se vˇsak zaj´ımat nejen o u ´hlovou rychlost sloˇzen´eho pohybu, ale tak´e o u ´hlov´e zrychlen´ı. To m˚ uˇze b´ yt potˇreba pˇri popisu nˇejak´eho sloˇzitˇejˇs´ıho pohybu. Situace je tedy n´ asleduj´ıc´ı: Vykon´ av´ame vzhledem k vag´onu ot´aˇciv´ y pohyb popsan´ yu ´hlovou rychlost´ı ~ω ′ a u ´hlov´ ym zrychlen´ım ~ε′ , zat´ımco cel´ y vag´on vykon´ av´a ot´aˇciv´ y pohyb vzhledem ke kolej´ım popsan´ yu ´hlovou rychlost´ı ~ ω ′′ a u ´hlov´ ym zrychlen´ım ~ε′′ (pro oznaˇcen´ı zde pouˇzijeme ˇc´arky m´ısto spodn´ıch index˚ u, protoˇze budeme pouˇz´ıvat sloˇzkov´ y z´apis a indexy by se n´ am pletly dohromady). Zaj´ım´ a n´ as u ´hlov´a rychlost ~ ωau ´hlov´e zrychlen´ı ~ε pohybu, kter´ y vykon´ av´ame vzhledem ke kolej´ım. ˇ budeme uvaˇzovat velice mal´ Pop´ıˇseme pohyb v bl´ızkosti ˇcasu t = 0. Cas y, takˇze pro popis otoˇcen´ı si vystaˇc´ıme pouze s nˇekolika prvn´ımi ˇcleny Taylorova rozvoje. Toto ˇreˇsen´ı je zvoleno proto, ˇze pˇresn´ y popis by byl velice obt´ıˇzn´ y. Aby bylo moˇzn´e popsat i zrychlen´ı pohybu, budeme pro pˇribliˇzn´ y popis vyuˇz´ıvat rozvoj druh´eho ˇra´du. Prvn´ı vˇec, kterou je tˇreba nˇejak vyˇreˇsit, je naj´ıt nˇejak´ y popis pohybu, zn´ ame-li ω ~ a ~ε v ˇcase t = 0. Nab´ız´ı se pouˇz´ıt nˇejak´ y takov´ yto vztah: 1 ϕ ~ (t) = ~ω t + ~εt2 2

(4.21)

´ Je vˇsak ot´azka, zda by to bylo korektn´ı v pˇr´ıpadˇe, kdy jsou vektory ω ~ a ~ε r˚ uznobˇeˇzn´e. Uhlov´ e zrychlen´ı ~ε(t) je totiˇz definov´ano jako ˇcasov´a derivace u ´hlov´e rychlosti ~ω(t), tedy popisuje, jak´ ym 20

A

B C

O Obr´azek 4.1: Pohyb bodu pˇri otoˇcen´ı. zp˚ usobem se mˇen´ı vektor ~ ω (t) v ˇcase t > 0. Mus´ıme b´ yt tedy schopni vyj´adˇrit u ´hlovou rychlost sice bl´ızko, ale pˇresto mimo ˇcas t = 0. A to je pr´ avˇe probl´em. Spr´avnˇe by se to mˇelo udˇelat nˇejak takto: ϕ ~ (t + ∆t) − ϕ ~ (t) ∆t→0 ∆t

~ω (t) = lim

Pˇritom v´ yraz ϕ ~ (t + ∆t) − ϕ ~ (t) by mˇel vyjadˇrovat, o jak´ yu ´hel se tˇeleso otoˇcilo mezi ˇcasy t a t + ∆t, jenˇze takto jednoduˇse r˚ uznobˇeˇzn´e u ´hly sˇc´ıtat a odeˇc´ıtat nelze. Kdyˇz se nad t´ım zamysl´ıme hloubˇeji, zjist´ıme, ˇze chybu jsme udˇelali uˇz dˇr´ıve — totiˇz kdyˇz jsme zavedli ϕ ~ (t) jako popis orientace tˇelesa v ˇcase t. U takto obecn´eho pohybu totiˇz tuto orientaci ani nen´ı moˇzn´e popsat jedn´ım vektorem, nebot’ pro dosaˇzen´ı obecn´e orientace v˚ ubec nemus´ı staˇcit jedno pootoˇcen´ı. T´ım se samozˇrejmˇe cel´ a vˇec komplikuje. Jednoduch´eho popisu pomoc´ı jednoho u ´hlu se tedy zat´ım mus´ıme vzd´at a zkus´ıme se na vˇec pod´ıvat trochu jinak. Trochu si zjednoduˇs´ıme situaci t´ım, ˇze budeme uvaˇzovat pouze tak mal´ y ˇcas t, ˇze 21 εt2 ≪ ωt. Nyn´ı budeme zkoumat pohyb libovolnˇe zvolen´eho bodu. Na obr´ azku 4.1 je zobrazena situace pro nejhorˇs´ı pˇr´ıpad, kdy je ~ ω ⊥ ~ε. Pokud provedeme nejprve pootoˇcen´ı o 21 ~εt2 a teprve pak o ~ωt, dostaneme se do bodu A. Pokud naopak provedeme nejprve pootoˇcen´ı o ~ω t a potom o 12 ~εt2 , dostaneme se do bodu C. Budeme-li pohyby pr˚ ubˇeˇznˇe prokl´ adat, dostaneme spr´ avn´e ˇreˇsen´ı, tedy bod B. Je vidˇet, ˇze bod B se od obou bod˚ u A a C liˇs´ı m´enˇe, neˇz body A a C od sebe navz´ajem. Vzd´alenost bod˚ u A a C n´ am tedy urˇcuje jak´ ysi horn´ı odhad chyby, kter´e se dopust´ıme, uvaˇzujeme-li m´ısto jednoho pohybu s ω ~ a ~ t. Jelikoˇz vˇse ˇreˇs´ıme v pˇribl´ıˇzen´ı ~ε pohyb sloˇzen´ y ze dvou pohyb˚ u — nejprve ot´aˇcen´ı o 12 ~εt2 , pak o ω druh´eho ˇra´du, pouˇzijeme pro popis ot´aˇcen´ı vztahy (4.11) a (4.12). Podle vztahu (4.13) pak sloˇz´ıme jednotliv´e pohyby v obou moˇzn´ ych poˇrad´ıch. Rozd´ıl mezi obˇema v´ ysledky n´ am pak urˇc´ı zmiˇ novanou velikost chyby. 1 1 ˆ ω t)R( ˆ 1 ~εt2 )]ij = R(~ [R(~ ω t + ~εt2 )ij − εijk εklm ωl εm t3 2 2 4 1 1 ˆ ω t)]ij = R(~ ˆ 1 ~εt2 )R(~ ω t + ~εt2 )ij + εijk εklm ωl εm t3 [R( 2 2 4 Rozd´ıl mezi obˇema v´ yrazy je: 1 εijk εklm ωl εm t3 2 To je chyba, kter´e jsme se dopustili. Je vidˇet, ˇze tato chyba je jiˇz tˇret´ıho ˇra´du. V n´ ami uvaˇzovan´em pˇribl´ıˇzen´ı druh´eho ˇra´du tedy m˚ uˇzeme klidnˇe pouˇz´ıvat p˚ uvodn´ı intuitivn´ı popis pomoc´ı rovnice (4.21). Nyn´ı se jiˇz m˚ uˇzeme vr´atit k p˚ uvodn´ımu probl´emu, tj. k popisu pohybu sloˇzen´eho ze dvou pohyb˚ u ′ ′′ ′ ′′ su ´hlov´ ymi rychlostmi ~ ω a~ ω asu ´hlov´ ymi zrychlen´ımi ~ε a ~ε . S pomoc´ı (4.12) vyj´adˇr´ıme matici Sˆ popisuj´ıc´ı v´ ysledn´ y ot´ aˇciv´ y pohyb: 1 Sij = R(~ ω t + ~εt2 )ij 2

(4.22)

1 1 1 1 1 1 1 Sij = δij − εijk (ωk t + εk t2 ) + (ωi t + εi t2 )(ωj t + εj t2 ) − δij (ωk t + εk t2 )(ωk t + εk t2 ) 2 2 2 2 2 2 2 Rozn´asob´ıme a zanedb´ame ˇcleny tˇret´ıho a vyˇsˇs´ıch ˇra´d˚ u: 1 1 1 Sij = δij − εijk ωk t − εijk εk t2 + ωi ωj t2 − δij ωk ωk t2 2 2 2 21

Toto lze prov´est pro libovoln´e ~ ω a ~ε, m˚ uˇzeme tedy i obecnˇe ps´ at: 1 1 1 1 R(~ω ∗ t + ~ε∗ t2 )ij = δij − εijk ωk∗ t − εijk ε∗k t2 + ωi∗ ωj∗ t2 − δij ωk∗ ωk∗ t2 2 2 2 2

(4.23)

Nyn´ı matici Sˆ vyj´adˇr´ıme jako sloˇzen´ y pohyb: 1 1 ω ′ t + ~ε′ t2 )kj Sij = R(~ω ′′ t + ~ε′′ t2 )ik R(~ 2 2 Pouˇzijeme (4.13): 1 1 1 1 1 ′ Sij = R(~ω ′′ t + ~ε′′ t2 + ~ ω ′ t + ε~′ t2 )ij − εijk εklm (ωl′′ t + ε′′l t2 )(ωm t + ε′m t2 ) 2 2 2 2 2 Uprav´ıme, rozn´ asob´ıme posledn´ı ˇclen a zanedb´ame vyˇsˇs´ı ˇra´dy: 1 Sij = R (~ω + ~ ω )t + (~ε′′ + ~ε′ )t2 2 

′′

′



ij

1 ′ 2 − εijk εklm ωl′′ ωm t 2

Vyuˇzijeme-li (4.23), dostaneme: 1 ′ )t2 + Sij = δij − εijk (ωk′′ + ωk′ )t − εijk (ε′′k + ε′k + εklm ωl′′ ωm 2 1 1 + (ωi′′ + ωi′ )(ωj′′ + ωj′ )t2 − δij (ωk′′ + ωk′ )(ωk′′ + ωk′ )t2 2 2 Vid´ıme, ˇze nyn´ı lze (4.23) pouˇz´ıt na cel´ y v´ yraz, a opˇet jej zjednoduˇs´ıme: 1 Sij = R (~ω + ~ ω )t + (~ε′′ + ~ε′ + ~ ω ′′ × ~ω ′ )t2 2 

′′

′



ij

Srovn´an´ım s (4.22) dost´ av´ame: ~ω = ~ω ′′ + ~ω ′

(4.24)

~ε = ~ε′′ + ~ε′ + ~ ω ′′ × ω ~′

(4.25)

Vid´ıme tedy, ˇze pˇri skl´ad´ an´ı ot´ aˇciv´eho pohybu se u ´hlov´e rychlosti sˇc´ıtaj´ı. To je vˇsak pouze opakov´an´ı kapitoly 4.4. Novˇe se ale dozv´ıd´ ame, ˇze u ´hlov´a zrychlen´ı se sˇc´ıtaj´ı t´eˇz, je vˇsak nutn´e k nim jeˇstˇe pˇriˇc´ıst ˇclen ~ω ′′ × ~ω ′ , kter´emu se ˇr´ık´a R´esalovo u ´hlov´e zrychlen´ı.

4.6

Tenzor setrvaˇ cnosti

Uvaˇzujme jeden bod tˇelesa na m´ıstˇe ~r s hmotnost´ı m. Tˇeleso se ot´aˇc´ı u ´hlovou rychlost´ı ω ~ . Spoˇc´ıt´ame moment hybnosti tohoto bodu. Podle (3.10) lze ps´ at: ~b = ~r × ~p = ~r × (m~v ) = m~r × ~v Ve sloˇzkov´em tvaru vypad´a z´ apis takto: bi = mεijk rj vk Rychlost ~v je pˇritom d´ ana vztahem (3.5). Dosad´ıme a dostaneme: bi = mεijk rj εklm ωl rm bi = mεkij εklm rj rm ωl Pouˇzijeme (2.4): bi = m(δil δjm − δim δjl )rj rm ωl 22

Pˇrejmenujeme pro pˇrehlednost indexy: bi = m(δij δkl − δik δjl )rk rl ωj To lze ps´ at jako: bi = Jij ωj

(4.26)

~b = J~ ˆω

(4.27)

Matice Jˆ se naz´ yv´ a tenzor setrvaˇcnosti a jej´ı prvky jsou: Jij = m(δij δkl − δik δjl )rk rl Jij = m(δij δkl rk rl − δik δjl rk rl ) Jij = m(δij rk rk − ri rj )

(4.28)

V maticov´em z´ apisu: 



y2 + z2 −xy −xz   2 2 ˆ x +z −yz  J = m  −xy −xz −yz x2 + y 2 



Jx −Dxy −Dxz   Jy −Dyz  Jˆ =  −Dxy −Dxz −Dyz Jz

(4.29)

Pˇritom veliˇciny Jx , Jy a Jz se naz´ yvaj´ı moment setrvaˇcnosti k ose x, y a z: Jx = m(y 2 + z 2 )

(4.30)

Jy = m(x2 + z 2 )

(4.31)

Jz = m(x2 + y 2 )

(4.32)

Veliˇciny Dxy , Dxy a Dx z se naz´ yvaj´ı deviaˇcn´ı momenty: Dxy = mxy

(4.33)

Dyz = myz

(4.34)

Dxz = mxz

(4.35)

Chceme-li spoˇc´ıtat tenzor setrvaˇcnosti cel´eho tˇelesa, staˇc´ı spoˇc´ıtat tenzor setrvaˇcnosti vˇsech jeho bod˚ u a v´ ysledky seˇc´ıst, popˇr´ıpadˇe zintegrovat: 



y2 + z2 −xy −xz   2 2 ˆ x +z −yz  dm J=  −xy m −xz −yz x2 + y 2 Z

(4.36)

Lze uk´azat, ˇze pro kaˇzd´e tˇeleso existuje soustava souˇradnic, ve kter´e jsou deviaˇcn´ı momenty nulov´e. Tenzor setrvaˇcnosti m´ a tedy nenulov´e pouze prvky na hlavn´ı diagon´ ale. Souˇradn´e osy takov´e soustavy souˇradnic se potom naz´ yvaj´ı hlavn´ı osy tˇelesa. 23

4.7

Steinerova vˇ eta

Mˇejme tˇeleso o hmotnosti m. Poloha jeho tˇeˇziˇstˇe je urˇcena vektorem ~s. Chceme urˇcit tenzor ˆ pokud zn´ setrvaˇcnosti J, ame tenzor setrvaˇcnosti Jˆ′ v posunut´e ˇc´arkovan´e soustavˇe, jej´ıˇz poˇc´atek je v tˇeˇziˇsti tˇelesa. Transformace souˇradnic mezi soustavami se dˇeje podle tohoto vztahu: ~r = ~r′ + ~s

(4.37)

ri = ri′ + si

(4.38)

Jelikoˇz je v ˇc´arkovan´e soustavˇe tˇeˇziˇstˇe v poˇca´tku, lze podle (4.3) ps´ at: Z

m

ri′ dm = 0

(4.39)

Tenzor setrvaˇcnosti je podle vztahu (4.28) definov´an takto: Jij =

Z

(δij rk rk − ri rj ) dm

(4.40)

Jij′ =

Z

(δij rk′ rk′ − ri′ rj′ ) dm

(4.41)

m

m

Ve vztahu (4.40) dosad´ıme za polohov´ y vektor ~r ze vztahu (4.38): Jij =

Z

[δij (rk′ + sk )(rk′ + sk ) − (ri′ + si )(rj′ + sj )] dm

Jij =

Z

[δij (rk′ rk′ + sk sk + 2rk′ sk ) − (ri′ rj′ + ri′ sj + si rj′ + si sj )] dm

Jij =

Z

(δij rk′ rk′ − ri′ rj′ + δij sk sk − si sj + 2δij rk′ sk − ri′ sj − si rj′ ) dm

Jij =

Z

(δij rk′ rk′ − ri′ rj′ ) dm + m(δij sk sk − si sj ) + 2δij sk rk′ dm − sj ri′ dm − si rj′ dm

m

m

m

m

Z

m

Z

m

Z

m

Vyuˇzijeme vztahu (4.41) a (4.39) a dostaneme: Jij = Jij′ + m(δij sk sk − si sj ) 

(4.42) 

s2y + s2z −sx sy −sx sz   Jˆ = Jˆ′ + m  −sx sy s2x + s2z −sy sz  −sx sz −sy sz s2x + s2y

(4.43)

Tento vztah se naz´ yv´ a Steinerova vˇeta. Jin´ ymi slovy ˇr´ık´a, ˇze pokud zn´ ame tenzor setrvaˇcnosti tˇelesa v soustavˇe s tˇeˇziˇstˇem v poˇc´ atku, lze z nˇeho spoˇc´ıtat tenzor setrvaˇcnosti posunut´eho tˇelesa pˇriˇcten´ım tenzoru setrvaˇcnosti hmotn´eho bodu o hmotnosti tˇelesa um´ıstˇen´eho v tˇeˇziˇsti tˇelesa. Jednoduˇsˇs´ı formulace t´eto vˇety ˇr´ık´a, ˇze moment setrvaˇcnosti tˇelesa J se spoˇc´ıt´a jako: J = JT + mrT2

(4.44)

Pˇritom JT je moment setrvaˇcnosti podle rovnobˇeˇzn´e osy proch´ azej´ıc´ı tˇeˇziˇstˇem a rT je vzd´alenost tˇeˇziˇstˇe od osy rotace. 24

4.8

Energie ot´ aˇ civ´ eho pohybu

Kinetick´a energie obsaˇzen´ a v ot´ aˇciv´em pohybu tˇelesa je pro kaˇzd´ y bod tˇelesa o hmotnosti m a poloze ~r d´ ana vztahem: 1 E = mv 2 2 Pˇritom rychlost ~v je d´ ana vztahem (3.4). Ve sloˇzkov´em z´apisu bychom pouˇzili vztah (3.5) a energii vyj´adˇrili takto: 1 E = mvi vi 2 E=

1 mεijk ωj rk εilm ωl rm 2

To lze s vyuˇzit´ım (2.4) upravit na: E=

1 m(δjl δkm − δjm δkl )ωj ωl rk rm 2

E=

1 m(ωj ωj rk rk − ωj ωk rj rk ) 2

E=

1 m(δij ωi ωj rk rk − ωi ωj ri rj ) 2

E=

1 m(δij rk rk − ri rj )ωi ωj 2

Uv´ aˇz´ıme-li (4.28), lze ps´ at: 1 Jij ωi ωj (4.45) 2 Tento vztah z´ aroveˇ n plat´ı i pro cel´e tˇeleso, protoˇze souˇcet energi´ı E vˇsech bod˚ u d´ a celkovou energii tˇelesa, souˇcet tenzor˚ u setrvaˇcnosti Jij vˇsech bod˚ u d´ a celkov´ y tenzor setrvaˇcnosti tˇelesa a u ´hlov´e rychlosti ωi ωj lze vytknout, protoˇze jsou stejn´e pro vˇsechny body. Vztah lze s pomoc´ı (4.26) zapsat tak´e takto: 1 (4.46) E = bi ω i 2 E=

1 E = ~b ω ~ 2

4.9

(4.47)

V´ ykon dod´ avan´ y pˇ ri ot´ aˇ cen´ı

Pˇri posuvn´em pohybu kon´ a p˚ usob´ıc´ı s´ıla pr´ aci, kterou lze charaterizovat v´ ykonem: ~ ~v P =F

(4.48)

Chceme naj´ıt ot´ aˇcivou obdobu tohoto vztahu. Budeme uvaˇzovat jeden bod tˇelesa ot´aˇcej´ıc´ıho se u ´hlovou rychlost´ı ~ ω . Podle (3.4) je rychlost pohybu tohoto bodu: ~v = ω ~ × ~r Dosad´ıme do (4.48). ~ · (~ P =F ω × ~r) Vyuˇzijeme (2.6) a dostaneme: P =~ ω · (~r × F~ ) To uprav´ıme s pomoc´ı (3.7) na: ~~ P =M ω

(4.49) 25

4.10

Pohybov´ e rovnice

Mˇejme tˇeleso s tenzorem setrvaˇcnosti Jˆ ot´ aˇcej´ıc´ı se u ´hlovou rychlost´ı ~ω . Vyj´adˇr´ıme moment s´ıly p˚ usob´ıc´ı na tˇeleso. Vyjdeme pˇritom ze vztahu (3.11). Ten vypad´a ve sloˇzkov´em tvaru takto: Mi =

dbi dt

Moment hybnosti ~b je pˇritom d´ an vztahem (4.26), takˇze plat´ı: Mi =

d (Jij ωj ) dt

Mi =

dJij dωj ωj + Jij dt dt

ˇ Casov´ a zmˇena tenzoru setrvaˇcnosti je pˇritom d´ ana vztahem (4.16), tedy: Mi = (δik εjml − δjl εikm )Jkl ωj ωm + Jij εj Mi = δik εjml Jkl ωj ωm − δjl εikm Jkl ωj ωm + Jij εj Vˇsimneme si prvn´ıho ˇclenu. Vyskytuj´ı se v nˇem indexy j a m. Tyto indexy se v tomto ˇclenu vyskytuj´ı jen u symbolu εjml a u u ´hlov´e rychlosti ωj a ωm . Je vidˇet, ˇze pokud spolu zamˇen´ıme hodnoty index˚ u j a m v prvn´ım ˇclenu, hodnota ˇclenu z˚ ustane stejn´a, ale zmˇen´ı se znam´enko. To znamen´a, ˇze ve v´ ysledn´em souˇctu (pˇres indexy j a m se sˇc´ıt´a) je ke kaˇzd´emu ˇclenu pˇr´ıtomen jin´ y s hodnotou pr´ avˇe opaˇcnou. Souˇcet tedy bude vˇzdy nulov´ y a prvn´ı ˇclen v´ yrazu lze vypustit. Mi = Jij εj − δjl εikm Jkl ωj ωm Zbav´ıme se δjl a pˇrejmenujeme indexy, abychom nepˇreskakovali p´ısmenka. Mi = Jij εj − εikm Jkj ωj ωm Mi = Jij εj − εijl Jjk ωk ωl

(4.50)

Tento vztah je trochu probl´em zapsat vektorovˇe. Lze si ale pomoci vztahem (4.26). Pak p´ıˇseme: Mi = Jij εj − εijl bj ωl Mi = Jij εj − εijk bj ωk Mi = Jij εj + εijk ωj bk

(4.51)

To lze jiˇz snadno zapsat vektorovˇe: ~ = J~ ˆε + ~ω × ~b M

(4.52)

Pokud napˇr´ıklad chceme modelovat pohyb tˇelesa, lze to udˇelat takto. Polohu a orientaci tˇelesa v prostoru zn´ ame. Rovnˇeˇz zn´ ame jeho u ´hlovou rychlost ~ω . Z toho jsme vˇetˇsinou schopni urˇcit, jak´e ~ . Nyn´ı chceme zjistit, jak se bude stav vyv´ıjet d´ na tˇeleso p˚ usob´ı s´ıly, tj. v naˇsem pˇr´ıpadˇe M ale. Nejprve vyj´adˇr´ıme z rovnice (4.52) veliˇcinu ~ε: ~ + ~b × ω ~ε = Jˆ−1 (M ~)

(4.53)

Dosad´ıme (pro v´ ypoˇcet ~b vyuˇzijeme vztahu (4.27)) a m´ ame hotovo, protoˇze z hodnoty u ´hlov´eho zrychlen´ı ~ε lze urˇcit v´ yvoj u ´hlov´e rychlosti ω ~ (viz (3.6)) a z u ´hlov´e rychlosti ω ~ lze zase urˇcit v´ yvoj orientace tˇelesa v prostoru. ˇ Casto vol´ıme pro popis tˇelesa takovou souˇradnou soustavu, ve kter´e jsou deviaˇcn´ı momenty nulov´e (viz kapitolu 4.6). V t´eto soustavˇe se uplatn´ı pouze momenty setrvaˇcnosti Jx , Jy a Jz , tedy 26

prvky na hlavn´ı u ´hlopˇr´ıˇcce tenzoru setrvaˇcnosti. To jsou ty, kter´e maj´ı oba indexy stejn´e. Na chv´ıli opust´ıme Einsteinovo sumaˇcn´ı pravidlo a zjednoduˇs´ıme za t´eto podm´ınky vztah (4.50): Mi = Ji εi −

3 X 3 X

εijk Jj ωj ωk

j=1 k=1

Pˇr´ıtomnost symbolu εijk ve druh´em ˇclenu zp˚ usob´ı, ˇze pˇri sˇc´ıt´an´ı staˇc´ı dosazovat pouze j a k r˚ uzn´e od i a pˇritom jeˇstˇe r˚ uzn´e od sebe navz´ajem. Ostatn´ı ˇcleny budou nulov´e. Tedy pro i = 1 seˇcteme pouze dva ˇcleny — jeden pro j = 2 a k = 3, druh´ y pro j = 3 a k = 2. Pro ostatn´ı sloˇzky to bude obdobn´e. Dostaneme: Mx = Jx εx + (Jz − Jy )ωy ωz

(4.54)

My = Jy εy + (Jx − Jz )ωx ωz

(4.55)

Mz = Jz εz + (Jy − Jx )ωx ωy

(4.56)

Tyto vztahy se naz´ yvaj´ı Eulerovy dynamick´e rovnice. Vyj´adˇren´ı u ´hlov´eho zrychlen´ı ~ε je v tomto speci´aln´ım pˇr´ıpadˇe obzvl´aˇstˇe jednoduch´e: εx =

Mx Jy − Jz + ωy ωz Jx Jx

(4.57)

εy =

Jz − Jx My + ωx ωz Jy Jy

(4.58)

εz =

Mz Jx − Jy + ωx ωy Jz Jz

(4.59)

27

28

Kapitola 5

Pˇ r´ıklady Pro ilustraci je vˇzdy dobr´e uv´est pˇr´ıklad. Zkus´ıme si tedy spoˇc´ıtat nˇekter´e jednoduch´e (a nˇekter´e sloˇzitˇejˇs´ı) u ´lohy.

5.1

V´ alec

Spoˇc´ıt´ame momenty setrvaˇcnosti homogenn´ıho v´alce. Budeme uvaˇzovat v´alec zobrazen´ y na obr´ azku 5.1. Osa v´alce je orientov´ana ve smˇeru osy z. Hmotnost v´alce je m. Hustota v´alce potom je: ̺=

m m = V πR2 h

Pro snazˇs´ı popis pouˇzijeme v´alcov´e souˇradnice: x = r cos ϕ y = r sin ϕ z=z Body uvnitˇr v´alce jsou d´ any n´ asleduj´ıc´ımi intervaly hodnot: r ∈ h0, Ri ϕ ∈ h−π, πi h h z ∈ h− , i 2 2 Jacobiho determinant je: ∂x ∂r ∂y ∂r ∂z ∂r

D=

∂x ∂ϕ ∂y ∂ϕ ∂z ∂ϕ

∂x ∂z ∂y ∂z ∂z ∂z

cos ϕ −r sin ϕ 0 = sin ϕ r cos ϕ 0 = r cos2 ϕ + r sin2 ϕ = r 0 0 1

Podle (4.30) a (4.36) spoˇc´ıt´ ame moment setrvaˇcnosti podle osy x takto: h

Jx =

ZZZ

̺(y 2 + z 2 ) dV = ̺

V

Z2 Zπ ZR

(r 2 sin2 ϕ + z 2 )r dr dϕ dz

−π 0 −h 2

h

Jx = ̺

Z2 Zπ ZR

− h2

h

(r 3 sin2 ϕ + rz 2 ) dr dϕ dz = ̺

−π 0

Z2 Zπ

−h 2

29

−π

R2 2 R4 sin2 ϕ + z 4 2

!

dϕ dz

z

R

h

x

Obr´azek 5.1: V´alec. h

Jx = ̺

Z2

πR4 + πR2 z 2 4

− h2

Jx =

!

dz = ̺

πR4 h πR2 h3 + 4 12

!

=

1 ̺ πR2 h(3R2 + h2 ) 12

1 m(3R2 + h2 ) 12

Moment setrvaˇcnosti podle osy y vyjde z d˚ uvodu symetrie stejnˇe. Oba tyto momenty oznaˇc´ıme J⊥ , protoˇze osa rotace je kolm´ a na osu v´alce. Jx = Jy = J⊥ =

1 m(3R2 + h2 ) 12

(5.1)

Obdobnˇe spoˇc´ıt´ame moment setrvaˇcnosti podle osy z, tedy podle osy v´alce: h

Jz =

ZZZ

̺(x2 + y 2 ) dV = ̺ V

Z2 Zπ ZR

(r 2 cos2 ϕ + r 2 sin2 ϕ)r dr dϕ dz

− h2 −π 0 h

h

Jz = ̺

Z2 Zπ ZR

r 3 dr dϕ dz = ̺

− h2 −π 0

Z2 Zπ

−π −h 2

h

1 4 R dϕ dz = ̺ 4

Z2

−h 2

1 4 1 πR dz = π̺R4 h 2 2

1 Jz = Jk = mR2 2

(5.2)

Ovˇeˇr´ıme, ˇze deviaˇcn´ı momenty jsou nulov´e. Spoˇc´ıt´ame pouze Dxy a Dxz , nebot’ Dyz vyjde z d˚ uvodu symetrie stejnˇe jako Dxz . h

Dxy =

ZZZ

̺xy dV = ̺

V

Z2 Zπ ZR

3

r cos ϕ sin ϕ dr dϕ dz = ̺ · h ·

−π 0 −h 2

Dxz =

V

̺xz dV = ̺

Z2 Zπ ZR

cos ϕ sin ϕ dϕ ·

−π h

h

ZZZ

Zπ

2

r z cos ϕ dr dϕ dz = ̺ ·

−π 0 −h 2

Z2

− h2

30

z dz ·

Zπ

−π

ZR

r 3 dr = 0

0

cos ϕ dϕ ·

ZR

r 2 dr = 0

0

z

l

x

Obr´azek 5.2: Tyˇc.

z R x

Obr´azek 5.3: Kruhov´a deska.

5.2

Tyˇ c

Spoˇc´ıt´ame momenty setrvaˇcnosti nekoneˇcnˇe tenk´e homogenn´ı tyˇce. Tyˇc je zobrazena na obr´ azku 5.2 a m´ a hmotnost m. Jde o limitn´ı pˇr´ıpad v´alce, kdy R → 0 a h = l. Lze tedy vyuˇz´ıt vzorce (5.1) a (5.2) a ps´ at: J⊥ =

1 ml2 12

(5.3)

Jk = 0

5.3

(5.4)

Kruhov´ a deska

Spoˇc´ıt´ame momenty setrvaˇcnosti nekoneˇcnˇe tenk´e homogenn´ı kruhov´e desky. Situace je zobrazena na obr´ azku 5.3. Hmotnost desky je m. Jde opˇet o limitn´ı pˇr´ıpad v´alce, tentokr´at pro h → 0. Opˇet tedy vyuˇzijeme vzorce (5.1) a (5.2) a p´ıˇseme: 1 J⊥ = mR2 4

(5.5)

1 Jk = mR2 2

(5.6) 31

z c

0

a

x

Obr´azek 5.4: Elipsoid.

5.4

Elipsoid

Spoˇc´ıt´ame momenty setrvaˇcnosti homogenn´ıho elipsoidu. Situace je zobrazena na obr´ azku 5.4. Elipsoid m´ a hmotnost m a d´elky poloos a, b a c. Objem elipsoidu je: 4 V = πabc 3 Hustota elipsoidu je: ̺=

3m m = V 4πabc

Pouˇzijeme n´ asleduj´ıc´ı soustavu souˇradnic: x = ar cos ϕ cos ϑ y = br sin ϕ cos ϑ z = cr sin ϑ Body uvnitˇr elipsoidu jsou d´ any n´ asleduj´ıc´ımi intervaly hodnot: r ∈ h0, 1i ϕ ∈ h−π, πi π π ϑ ∈ h− , i 2 2 Jacobiho determinant je: D=

∂x ∂r ∂y ∂r ∂z ∂r

∂x ∂ϕ ∂y ∂ϕ ∂z ∂ϕ

∂x ∂ϑ ∂y ∂ϑ ∂z ∂ϑ

a cos ϕ cos ϑ = b sin ϕ cos ϑ c sin ϑ

cos ϕ cos ϑ 2 D = abcr sin ϕ cos ϑ sin ϑ

−ar sin ϕ cos ϑ −ar cos ϕ sin ϑ br cos ϕ cos ϑ −br sin ϕ sin ϑ 0 cr cos ϑ

− sin ϕ cos ϑ − cos ϕ sin ϑ cos ϕ cos ϑ − sin ϕ sin ϑ 0 cos ϑ





D = abcr 2 (cos2 ϕ cos3 ϑ + sin2 ϕ cos3 ϑ + sin2 ϕ sin2 ϑ cos ϑ + cos2 ϕ sin2 ϑ cos ϑ) 32

D = abcr 2 (cos3 ϑ + sin2 ϑ cos ϑ) = abcr 2 cos ϑ Podle (4.32) a (4.36) spoˇc´ıt´ ame moment setrvaˇcnosti podle osy z takto: Jz =

ZZZ

̺(x2 + y 2 ) dV

V

π

Jz = ̺

Z2 Zπ Z1

(a2 r 2 cos2 ϕ cos2 ϑ + b2 r 2 sin2 ϕ cos2 ϑ)abcr 2 cos ϑ dr dϕ dϑ

− π2 −π 0 π

Jz = abc̺

Z2 Zπ Z1

(a2 cos2 ϕ + b2 sin2 ϕ)r 4 cos3 ϑ dr dϕ dϑ

− π2 −π 0 π

1 Jz = abc̺ 5

Z2 Zπ

1 Jz = abc̺ 5

Z2

(a2 cos2 ϕ + b2 sin2 ϕ) cos3 ϑ dϕ dϑ

− π2 −π π

− π2

Jz =

π

1 (a2 π + b2 π) cos3 ϑ dϑ = π(a2 + b2 )abc̺ 5

Z2

cos3 ϑ dϑ

− π2

4 4 3m 1 π(a2 + b2 )abc̺ = π(a2 + b2 )abc · = m(a2 + b2 ) 15 15 4πabc 5

Jelikoˇz orientaci elipsoidu si m˚ uˇzeme zvolit jakkoliv, m´ ame vlastnˇe spoˇc´ıtan´e vˇsechny tˇri momenty: 1 m(b2 + c2 ) 5

(5.7)

1 Jy = m(a2 + c2 ) 5

(5.8)

1 m(a2 + b2 ) 5

(5.9)

Jx =

Jz =

Ovˇeˇr´ıme, ˇze deviaˇcn´ı momenty jsou nulov´e. Opˇet staˇc´ı spoˇc´ıtat pouze jeden, protoˇze ostatn´ı lze z´ıskat z´amˇenou os. π

Dxy =

ZZZ

̺xy dV = ̺

V

Z2 Zπ Z1

ar cos ϕ cos ϑ · br sin ϕ cos ϑ · abcr 2 cos ϑ dr dϕ dϑ

− π2 −π 0 π

Dxy = a2 b2 c̺

Z2 Zπ Z1

r 4 sin ϕ cos ϕ cos3 ϑ dr dϕ dϑ

− π2 −π 0 π

Dxy =

1 2 2 a b c̺ 5

Z2 Zπ

sin ϕ cos ϕ cos3 ϑ dϕ dϑ = 0

− π2 −π

5.5

Koule

Spoˇc´ıt´ame moment setrvaˇcnosti koule o polomˇeru R. Koule je speci´aln´ı pˇr´ıpad elipsoidu, kdy plat´ı a = b = c = R. Moment setrvaˇcnosti podle jak´ekoliv osy potom je: J=

2 mR2 5

(5.10) 33

5.6

Rotaˇ cn´ı elipsoid

Spoˇc´ıt´ame momenty setrvaˇcnosti rotaˇcn´ıho elipsoidu. Rovn´ıkov´ y polomˇer elipsoidu oznaˇc´ıme R. Pol´arn´ı polomˇer oznaˇc´ıme r. Zploˇstˇen´ı elipsoidu oznaˇc´ıme i a definujeme jako: i=

R−r R

Pol´arn´ı polomˇer lze pak vypoˇc´ıtat z rovn´ıkov´eho polomˇeru a zploˇstˇen´ı takto: r = R(1 − i) S vyuˇzit´ım (5.7), (5.8) a (5.9) lze rovnou ps´ at: 2 Jk = mR2 5 J⊥ =

(5.11)

1 1 1 m[R2 + R2 (1 − i)2 ] = mR2 [1 + (1 − i)2 ] = mR2 (2 − 2i + i2 ) 5 5 5

2 i2 J⊥ = mR2 1 − i + 5 2

!

(5.12)

Pro mal´ a zploˇstˇen´ı lze ˇclen s i2 zanedbat a ps´ at: J⊥ =

5.7

2 mR2 (1 − i) 5

(5.13)

Stabilizace

Setrvaˇcn´ık lze pouˇz´ıt ke stabilizaci orientace lod´ı, druˇzic apod. Takov´emu setrvaˇcn´ıku se ˇr´ık´a gyrostat. Staˇc´ı k lodi pevnˇe pˇrichytit velk´ y setrvaˇcn´ık a poˇra´dnˇe ho roztoˇcit. Cel´ y syst´em (lod’ i se setrvaˇcn´ıkem) pak bude m´ıt velik´ y moment hybnosti ~b. Abychom syst´em pootoˇcili o mal´ yu ´hel ∆~ ϕ, ~ je tˇreba zmˇenit moment hybnosti soustavy o ∆b. Pˇritom podle (3.1) plat´ı: ∆~b ≈ ∆~ ϕ × ~b Pokud m´ a toto pootoˇcen´ı probˇehnout bˇehem doby ∆t, bude podle (3.11) stˇredn´ı hodnota momentu s´ıly (tzv. gyroskopick´eho momentu): ~ ϕ ~ ~ ≈ ∆b ≈ ∆~ ×b M ∆t ∆t

(5.14)

~ = 0 a stabilizaˇcn´ı efekt se nedostav´ı. Pokud vˇsak je ∆~ Pokud je ∆~ ϕ k ~b, vyjde M ϕ ⊥ ~b, je moment s´ıly pˇr´ımo u ´mˇern´ y momentu hybnosti soustavy: M≈

∆ϕ ·b ∆t

Je vidˇet, ˇze zvyˇsov´an´ım momentu hybnosti soustavy b m˚ uˇzeme libovolnˇe zvyˇsovat moment s´ıly M potˇrebn´ y k pootoˇcen´ı syst´emu. Pokud m´ ame naopak urˇcen moment s´ıly a dobu jeho p˚ usoben´ı (napˇr. u lodi toto vypl´ yv´ a z tvaru a d´elky vln), m˚ uˇzeme zvyˇsov´an´ım momentu hybnosti b libovolnˇe sniˇzovat v´ ychylku ∆ϕ (tedy napˇr. kym´ acen´ı lodi). Stabilizace setrvaˇcn´ıkem vˇsak funguje pouze ve smˇerech kolm´ ych na moment hybnosti. To nejde 1 nijak obej´ıt, napˇr. pˇrid´ av´an´ım dalˇs´ıch setrvaˇcn´ık˚ u. Vˇzdy jde totiˇz o celkov´ y moment hybnosti soustavy a je zcela vedlejˇs´ı, jak byl vytvoˇren. Pokud na lod’ um´ıst´ıme v´ıce setrvaˇcn´ık˚ u, jejich momenty hybnosti se vektorovˇe seˇctou a pouze tento v´ ysledn´ y moment hybnosti urˇc´ı, v jak´ ych smˇerech a jak silnˇe bude lod’ stabilizov´ana. 1

Autoˇri [3] (konec kapitoly 4) maj´ı na toto jin´ y n´ azor. Podle nich lze pomoc´ı tˇr´ı setrvaˇcn´ık˚ u doc´ılit stabilizace lodi ve vˇsech smˇerech. Podrobnosti bohuˇzel neuv´ adˇej´ı. J´ a si mysl´ım, ˇze jde o pomˇernˇe rozˇs´ıˇren´ y omyl, a proto na nˇej v´ yslovnˇe upozorˇ nuji.

34

1 z 3 x 2 Obr´azek 5.5: Gyroskopick´ y moment.

5.8

Gyroskopick´ y moment

~ mus´ı p˚ V kapitole 5.7 jsme rozeb´ırali, jak´ y moment s´ıly M usobit na setrvaˇcn´ık, aby se jeho osa stoˇcila o u ´hel ϕ ~ . Ohlednˇe stabilizace n´ as zaj´ımala hlavnˇe velikost tohoto gyroskopick´eho momentu, ~ je kolm´ nyn´ı si povˇsimneme sp´ıˇse jeho smˇeru. Ze vzorce (5.14) je vidˇet, ˇze moment s´ıly M y na smˇer pootoˇcen´ı osy ϕ ~ . To si ostatnˇe m˚ uˇzeme snadno ovˇeˇrit pomoc´ı kola z bicyklu. Tato vlastnost p˚ usob´ı na prvn´ı pohled ponˇekud z´ ahadnˇe. Pokusme se nyn´ı tuto z´ahadu rozkr´ yt. Rovnice jsou prima vˇec, intuitivn´ımu pochopen´ı vˇsak nˇekdy u ´plnˇe nepˇrej´ı (ale dojdeme k nim v kapitole 5.9). Proto se pokus´ıme p˚ uvod gyroskopick´eho momentu ilustrovat obr´ azkem. Na obr´ azku 5.5 je zobrazen ot´ aˇcej´ıc´ı se setrvaˇcn´ık. Osa setrvaˇcn´ıku se st´ aˇc´ı ve smˇeru ˇsipky 1. Pod´ıv´ame se na to, jakou trajektorii opisuj´ı body na obvodu setrvaˇcn´ıku. Nejprve si vˇsimneme bodu vpravo — jeho trajektorie je pops´ ana ˇsipkou 3. Jak se setrvaˇcn´ık ot´aˇc´ı kolem sv´e osy, bod opisuje oblouk. St´ aˇcen´ı osy nav´ıc zp˚ usob´ı, ˇze prav´a ˇc´ast setrvaˇcn´ıku kles´a, a oblouk tedy nevede vodorovnˇe, ale m´ıˇr´ı m´ırnˇe dol˚ u. Nicm´enˇe stˇred ot´aˇcen´ı z˚ ust´ av´a st´ ale uprostˇred setrvaˇcn´ıku, proto je v´ ysledn´ a s´ıla dostˇrediv´a a vnˇe setrvaˇcn´ıku se neprojev´ı (porad´ı si s n´ı tuhost tˇelesa setrvaˇcn´ıku). Zaj´ımavˇejˇs´ı situace nastane v pˇredn´ı ˇc´asti setrvaˇcn´ıku — trajektorie bodu je pops´ ana ˇsipkou 2. Ot´ aˇcen´ı setrvaˇcn´ıku opˇet zp˚ usob´ı, ˇze bod se pohybuje smˇerem doprava po oblouku se stˇredem uprostˇred setrvaˇcn´ıku. Pˇrid´ ame-li vˇsak k tomuto jeˇstˇe st´ aˇcen´ı osy setrvaˇcn´ıku, trajektorie bodu se prohne, jak je zobrazeno na obr´ azku. To je proto, ˇze jak se ˇcasem osa setrvaˇcn´ıku sklon´ı, rychlost bodu nebude m´ıˇrit pˇr´ımo doprava, ale pootoˇc´ı se m´ırnˇe dol˚ u. Zrychlen´ı bodu m´ a tedy urˇcitou sloˇzku ve smˇeru dol˚ u a na pˇredn´ı bod setrvaˇcn´ıku mus´ı p˚ usobit vnˇejˇs´ı s´ıla smˇerem dol˚ u. Na zadn´ı stranˇe setrvaˇcn´ıku je situace obdobn´a a s´ıla zde mus´ı p˚ usobit smˇerem nahoru. Tyto dvˇe s´ıly spolu vytv´aˇr´ı dvojici sil. V´ ysledkem je, ˇze na setrvaˇcn´ık mus´ı p˚ usobit vnˇejˇs´ı gyroskopick´ y moment s´ıly ve smˇeru osy x, tedy kolm´em na smˇer st´ aˇcen´ı osy.

5.9

Regul´ arn´ı precese

Zaj´ımav´ ym druhem pohybu setrvaˇcn´ıku je tzv. regul´ arn´ı precese. Situace je zobrazena na obr´ azku 5.6. Rotaˇcnˇe symetrick´ y setrvaˇcn´ık se ot´aˇc´ı podle sv´e osy u ´hlovou rychlost´ı ~ω . Velikost t´eto rychlosti ω je konstantn´ı, mˇen´ı se vˇsak jej´ı smˇer. Osa setrvaˇcn´ıku i vektor ~ω se totiˇz nav´ıc ot´aˇc´ı konstantn´ı u ´hlovou rychlost´ı ~ ωp . Vektory ~ ω a ~ ωp spolu sv´ıraj´ı u ´hel α. Zkus´ıme si tento druh pohybu trochu pˇribl´ıˇzit. Zavedeme si souˇradnou soustavu. Aby byl popis co nejjednoduˇsˇs´ı, zvol´ıme soustavu tak, ˇze v ˇcase t = 0 budou souˇradn´e osy z´ aroveˇ n hlavn´ımi osami setrvaˇcn´ıku. Popis syst´emu budeme prov´adˇet pr´ avˇe pro ˇcas t = 0. Pak m˚ uˇzeme vyuˇz´ıt toho, ˇze deviaˇcn´ı momenty jsou nulov´e a staˇc´ı poˇc´ıtat pouze s momenty setrvaˇcnosti. Shodnosti souˇradn´ ych os s hlavn´ımi osami setrvaˇcn´ıku bohuˇzel nelze doc´ılit trvale, protoˇze osa setrvaˇcn´ıku se st´ aˇc´ı, zat´ımco souˇradn´a soustava mus´ı b´ yt inerci´ aln´ı a st´ aˇcet se 35

ωp

α

ω

Obr´azek 5.6: Regul´arn´ı precese. nesm´ı.2 Naˇstˇest´ı se n´ am nˇekter´e vztahy podaˇr´ı formulovat pouze pomoc´ı vektorov´ ych operac´ı (napˇr. skal´arn´ı a vektorov´ y souˇcin), takˇze budou na souˇradn´e soustavˇe nez´ avisl´e a budou platit obecnˇe (tedy i v libovoln´em ˇcase). Volba souˇradn´ ych os je zobrazena na obr´ azku 5.7. Osa z je totoˇzn´ a s osou setrvaˇcn´ıku. Osa x je vybr´ana tak, aby vektor ~ ωp leˇzel v rovinˇe xz. Osa y je pak jednoznaˇcnˇe urˇcena, aby byly osy na sebe kolm´e a tvoˇrily pravotoˇciv´ y syst´em. Vektory ~ω a ω ~ p pak maj´ı tyto sloˇzky: ~ω = (0, 0, ω) ~ωp = (ωp sin α, 0, ωp cos α) Tenzor setrvaˇcnosti m´ a sloˇzky: 



J⊥ 0 0   Jˆ =  0 J⊥ 0  0 0 Jk

~ se spoˇc´ıt´a podle vzorce (4.20), tedy plat´ı: Celkov´a u ´hlov´a rychlost ot´ aˇcen´ı setrvaˇcn´ıku Ω ~ = ~ω + ω Ω ~p

(5.15)

~ = (ωp sin α, 0, ω + ωp cos α) Ω

(5.16)

~ se stejnˇe jako ~ Vektor Ω ω ot´ aˇc´ı u ´hlovou rychlost´ı ω ~ p . Pomoc´ı (3.3) vyj´adˇr´ıme jeho ˇcasovou zmˇenu: ~ε =

~ dΩ ~ =~ = ~ωp × Ω ωp × (~ ω+ω ~ p) = ω ~ p × ~ω + ~ωp × ~ωp = ω ~ p × ~ω + ~0 dt

~ε = ~ωp × ~ω

(5.17)

~ε = (0, −ωωp sin α, 0)

(5.18)

Moment hybnosti spoˇc´ıt´ ame podle (4.26) a (5.16) takto: bi = Jij Ωj 2 Neinerci´ aln´ım soustav´ am se pokud moˇzno vyhneme, abychom zamezili zmaten´ı. Napˇr. v [2] je nˇekdy obt´ıˇzn´e sledovat, kdy jde o derivaci vzhledem k tˇelesu a kdy vzhledem k prostoru. Pˇri odvozen´ı Eulerov´ ych dynamick´ ych ~ Ono to nakonec nevad´ı, protoˇze obˇe derivace se liˇs´ı rovnic (16) se toto tˇreba v˚ ubec nerozliˇsuje u derivace vektoru Ω. ~ × Ω, ~ coˇz je nula, ale mˇelo by se na to alespoˇ oΩ n upozornit.

36

z

b

Ω

ω

α ωp x

Obr´azek 5.7: Soustava souˇradnic pro popis regul´ arn´ı precese. ~b = (J⊥ ωp sin α, 0, Jk (ω + ωp cos α))

(5.19)

Pokud si s t´ımto vztahem budeme chvilku hr´ at, podaˇr´ı se n´ am ho pˇrepsat do tvaru nez´ avisl´eho na volbˇe soustavy souˇradnic. Jeden zp˚ usob m˚ uˇze vypadat tˇreba takto: ~b = (Jk ωp sin α + (J⊥ − Jk )ωp sin α, 0, Jk ω + Jk ωp cos α) ~b = Jk ~ ωp + Jk ~ ω + (J⊥ − Jk )(ωp sin α, 0, 0) ~b = Jk (~ ωp + ~ ω) +

J⊥ − Jk ω ~ × (~ωp × ~ω ) ω2

(5.20)

Energii ot´aˇciv´eho pohybu spoˇc´ıt´ ame podle (4.47) a (5.16) takto: 1 ~ E = ~b Ω 2 E=

1 [J⊥ ωp2 sin2 α + Jk (ω + ωp cos α)2 ] 2

(5.21)

Moment s´ıly spoˇc´ıt´ ame pomoc´ı rovnic (4.54), (4.55) a (4.56): Mx = J⊥ εx + (Jk − J⊥ )Ωy Ωz My = J⊥ εy + (J⊥ − Jk )Ωx Ωz Mz = Jk εz + (J⊥ − J⊥ )Ωx Ωy ~ dosad´ıme z (5.18) a (5.16) a vyjde: Za sloˇzky vektor˚ u ~ε a Ω Mx = Mz = 0

(5.22)

My = −Jk ωωp sin α − (Jk − J⊥ )ωp2 sin α cos α

(5.23)

37

Moment s´ıly bychom mohli spoˇc´ıtat jeˇstˇe jin´ ym zp˚ usobem. Staˇc´ı si uvˇedomit, ˇze i vektor momentu ~ hybnosti b se ot´aˇc´ı rychlost´ı ~ ωp . Pak podle (3.11) a (3.3) mus´ı platit: ~ ~ = db = ~ωp × ~b M dt Po dosazen´ı za ~ωp a ~b vyjde moment s´ıly stejnˇe jako v (5.22) a (5.23). Nedostali jsme tedy nic nov´eho. Toto vyj´adˇren´ı momentu s´ıly se n´ am vˇsak hod´ı k nˇeˇcemu jin´emu. Umoˇzn´ı n´ am vyj´adˇrit moment s´ıly nez´ avisle na volbˇe soustavy souˇradnic. Staˇc´ı jen za moment hybnosti ~b dosadit ze vztahu (5.20). ~ = Jk ~ωp × (~ M ωp + ~ ω) +

J⊥ − Jk ωp × (~ω × (~ωp × ~ω )) ~ ω2

Pomoc´ı (2.8) lze toto ponˇekud zjednoduˇsit: 

~ = Jk + M

Jk − J⊥ ωp · ω ~ ~ ~ ωp × ~ ω ω2 

(5.24)

Tomuto momentu s´ıly se ˇr´ık´a gyroskopick´ y moment. Stoj´ı za to upozornit, ˇze aˇckoliv vektor ~ω se v ˇcase mˇen´ı, hodnota v´ yrazu ~ ωp · ~ ω (a tedy i cel´e z´avorky) je konstantn´ı. M´ısto ˇclenu v z´avorce se za urˇcit´ ych okolnost´ı d´ a uvaˇzovat pouze Jk . To je moˇzn´e, pokud Jk = J⊥ nebo ~ωp ⊥ ~ω a nebo ωp ≪ ω. Jinak je tˇreba tento ˇclen uvaˇzovat cel´ y.3

5.10

Voln´ y setrvaˇ cn´ık

Mˇejme rotaˇcnˇe symetrick´ y setrvaˇcn´ık. Zaj´ım´ a n´ as, jak´ y pohyb m˚ uˇze setrvaˇcn´ık vykon´ avat, nep˚ usob´ıli na nˇej ˇz´adn´ y vnˇejˇs´ı moment s´ıly. ~ Tato rychlost m˚ Setrvaˇcn´ık se ot´ aˇc´ı. Jeho celkovou okamˇzitou u ´hlovou rychlost oznaˇc´ıme Ω. uˇze ~ b´ yt libovoln´ a. Soustavu souˇradnic zavedeme tak, ˇze osa z je ve smˇeru osy setrvaˇcn´ıku a vektor Ω je v rovinˇe xz. Tento zp˚ usob jsme pouˇzili jiˇz v kapitole 5.9 a je zobrazen na obr´ azku 5.7. Na tomto obr´ azku jsou zobrazeny tak´e vektory ~ ωaω ~ p , kter´e nyn´ı budeme ignorovat. V´ yhodou t´eto volby je, ˇze deviaˇcn´ı momenty jsou nulov´e, a tenzor setrvaˇcnosti m´ a tedy jednoduch´ y tvar: 



J⊥ 0 0   ˆ J =  0 J⊥ 0  0 0 Jk

´ Dosad´ıme-li do (4.26), zjist´ıme, ˇze vektor momentu hybnosti ~b tak´e leˇz´ı v rovinˇe xz. Uhlov´ e zrychlen´ı ~ ~ lze podle (4.53) spoˇc´ıtat takto (pro voln´ y setrvaˇcn´ık je M = 0): ~ ~ε = Jˆ−1 (~b × Ω) ~ jsou v rovinˇe xz, je jejich vektorov´ ~ rovnobˇeˇzn´ Jelikoˇz vektory ~b a Ω y souˇcin ~b × Ω y s osou y. To se −1 ˆ n´ asoben´ım diagon´ aln´ı matic´ı J nezmˇen´ı, proto i u ´hlov´e zrychlen´ı ~ε je rovnobˇeˇzn´e s osou y. Jelikoˇz moment s´ıly je nulov´ y, lze podle (3.11) ps´ at: d~b ~ =0 dt V´ıme tedy, ˇze vektor momentu hybnosti ~b se v ˇcase nemˇen´ı. D´ale v´ıme, ˇze vektor u ´hlov´eho zrychlen´ı ~ A nakonec v´ıme, ˇze toto plat´ı v kaˇzd´em ˇcasov´em okamˇziku (odvozen´ı jsme ~ε je kolm´ y na ~b i na Ω. sice dˇelali v ˇcase t = 0, tento ˇcas ale nen´ı niˇc´ım vyj´ımeˇcn´ y). Je vidˇet, ˇze jedin´ y pohyb, kter´ y splˇ nuje ~ se rovnomˇernˇe ot´aˇc´ı kolem vektoru ~b ve smˇeru vektoru ~ε. Jedn´a v´ yˇse uveden´e, je takov´ y, ˇze vektor Ω se tedy o regul´ arn´ı precesi, popsanou v kapitole 5.9. 3

V [3] se sice tvrd´ı, ˇze na tomto m´ıstˇe vystupuje hodnota I0 , coˇz je moment setrvaˇcnosti k okamˇzit´e ose ot´ aˇcen´ı, to vˇsak bohuˇzel nen´ı pravda. Staˇc´ı na m´ıstˇe setrvaˇcn´ıku uvaˇzovat dvˇe r˚ uzn´ a tˇelesa se stejn´ ym I0 — kouli a kruhovou ~ vyjde v obou pˇr´ıpadech stejn´ ~ zat´ımco u desky toto neplat´ı. desku. Pr˚ umˇet ~b do smˇeru Ω y (I0 Ω), avˇsak u koule je ~b k Ω, ~ Proto vyjde u obou tˇeles ω ~ p × b (gyroskopick´ y moment) obecnˇe jinak, aˇc maj´ı I0 shodn´e.

38

´ Nyn´ı m´ ame pohyb voln´eho setrvaˇcn´ıku pops´ an kvalitativnˇe, nikoliv vˇsak kvantitativnˇe. Uhlov´ e rychlosti ~ω a ~ ωp totiˇz nemohou b´ yt zcela libovoln´e. Jsou spolu sv´azan´e urˇcit´ ym vztahem, protoˇze pouze pro nˇekter´e hodnoty vych´ az´ı v´ ysledn´ y moment s´ıly nulov´ y, coˇz bylo zad´ ano. Pro nalezen´ı tohoto vztahu vyjdeme z rovnice (5.23) s t´ım, ˇze My = 0: Jk ωωp sin α + (Jk − J⊥ )ωp2 sin α cos α = 0 Jk ω + (Jk − J⊥ )ωp cos α = 0 Dost´av´ame vztah mezi u ´hlov´ ymi rychlostmi: !

J⊥ − 1 ωp cos α Jk

ω=

5.11

(5.25)

Regul´ arn´ı precese Zemˇ e

Mˇejme voln´ y setrvaˇcn´ık z kapitoly 5.10. Zaj´ımav´ y je pˇr´ıpad, kdy tˇelesem je rotaˇcn´ı elipsoid bl´ızk´ y kouli (nebo jin´e tˇeleso s podobn´ ymi hodnotami Jk a J⊥ ). Pak totiˇz plat´ı ω ≪ ωp , coˇz je ponˇekud nezvykl´e. V´ yraznˇejˇs´ım pohybem je v tomto pˇr´ıpadˇe rotace rychlost´ı ωp kolem osy rotace r˚ uznobˇeˇzn´e s osou setrvaˇcn´ıku. K tomuto pohybu se pak pˇrid´ av´a pomal´e ot´aˇcen´ı setrvaˇcn´ıku rychlost´ı ω kolem sv´e osy, takˇze osa rotace opisuje na povrchu setrvaˇcn´ıku kruh se stˇredem na ose setrvaˇcn´ıku. Pro snadnˇejˇs´ı v´ ypoˇcet se dopust´ıme jeˇstˇe jednoho zjednoduˇsen´ı, a to ˇze α → 0 (pˇr´ıpadnˇe α → π, ale pak budeme br´ at ω jako z´ aporn´e). Potom lze zanedbat ˇclen cos α a tak´e snadnˇeji sˇc´ıtat u ´hlov´e rychlosti jako Ω = ω + ωp . Vztah (5.25) lze pak upravit: !

ω=

J⊥ − 1 (Ω − ω) Jk

ω=

J⊥ J⊥ −1 Ω+ 1− Jk Jk

!

!

ω

!

J⊥ ω= Jk

J⊥ −1 Ω Jk



ω = 1−

Jk Ω J⊥ 

(5.26)

Osa rotace tedy ob´ıh´ a osu tˇelesa zd´ anlivou rychlost´ı ωr = −ω, pro kterou plat´ı: ωr =



Jk −1 Ω J⊥ 

(5.27)

Pro pˇr´ıpad rotaˇcn´ıho elipsoidu bl´ızk´eho kouli vyuˇzijeme vztahy (5.11) a (5.13) a dostaneme: ωr =



1 −1 Ω 1−i 

Jelikoˇz i ≪ 1, lze ps´ at: ωr = iΩ

(5.28)

Takov´ ym setrvaˇcn´ıkem je i naˇse Zemˇe. Zemˇe tak´e vykon´ av´a regul´ arn´ı precesi. Pr˚ useˇc´ık osy rotace s povrchem Zemˇe nen´ı st´ ale na stejn´em m´ıstˇe, ale opisuje nepravidelnou kruˇznici s polomˇerem maxim´alnˇe asi 5 metr˚ u (viz [2]). Pokud za Ω dosad´ıme rychlost ot´aˇcen´ı Zemˇe kolem sv´e osy (Ω = 2π/(23, 934 h), viz [1]) a za i dosad´ıme zploˇstˇen´ı Zemˇe (i = 0, 003 352 861, viz [1]), vyjde n´ am ωr = 244, 50 · 10−9 s−1 . Perioda regul´ arn´ı precese tedy vych´ az´ı asi 297 dn´ı. Namˇeˇren´ a hodnota pˇritom je 427 dn´ı (viz [2]). Jde tedy o ˇra´dov´ y souhlas a odchylka se podle [2] vysvˇetluje elasticitou Zemˇe. 39

5.12

Rotuj´ıc´ı tal´ıˇ r

Pˇekn´ ym pˇr´ıkladem voln´eho setrvaˇcn´ıku z kapitoly 5.10 je rotuj´ıc´ı tal´ıˇr na tyˇci. Ze zkuˇsenosti v´ıme, ˇze tal´ıˇr se neot´ aˇc´ı pouze kolem sv´e osy, ale vˇselijak se kvedl´ a. Tal´ıˇr pro n´ as bude kruhovou deskou. Dosad´ıme tedy do (5.25) vztahy (5.5) a (5.6) a dostaneme: 1 ω = − ωp cos α 2 ´ Uhel α pˇritom b´ yv´ a mal´ y (resp. bl´ızk´ y π), takˇze ˇclen cos α lze zanedbat (je-li α → π, bereme opˇet ω jako z´aporn´e). Potom dost´ av´ame vztah: ω=−

ωp 2

(5.29)

Jako rychlost kvedl´ an´ı tal´ıˇre pˇritom vn´ım´ ame ωp . Jako rychlost ot´aˇcen´ı tal´ıˇre vn´ım´ ame celkovou rychlost Ω: Ω = ωp + ω Dosad´ıme za ω ze vztahu (5.29): Ω = ωp − Ω=

ωp 2

ωp 2

(5.30)

Z´ avˇer tedy je, ˇze u ´hlov´a rychlost kvedl´ an´ı tal´ıˇre je dvojn´asobkem rychlosti jeho ot´aˇcen´ı.

5.13

Tˇ eˇ zk´ y setrvaˇ cn´ık

Mˇejme rotaˇcnˇe symetrick´ y setrvaˇcn´ık ot´ aˇcej´ıc´ı se u ´hlovou rychlost´ı ~ω , na kter´ y p˚ usob´ı vnˇejˇs´ı moment ~ dan´ s´ıly M y vztahem: ~ ~ = ~a × ω M ω

(5.31)

Pˇritom ~a je nˇejak´ y v ˇcase nemˇenn´ y vektor. Typick´ ym pˇr´ıkladem tˇeˇzk´eho setrvaˇcn´ıku je dˇetsk´a k´aˇca, pˇredpokl´ad´ ame-li ˇze jej´ı uchycen´ı ve vrcholu je odoln´e proti posunut´ı. Hmotnost k´aˇci oznaˇc´ıme m. Intenzitu gravitaˇcn´ıho pole oznaˇc´ıme ~g . Vzd´alenost tˇeˇziˇstˇe od m´ısta uchycen´ı oznaˇc´ıme l. T´ıha p˚ usob´ıc´ı v tˇeˇziˇsti je: ~ = m~g G Rameno je d´ ano vektorem: ~l = l ~ω ω Podle (3.7) je moment s´ıly p˚ usob´ıc´ı na k´aˇcu: ~ = ~l × G ~ M ~ = ml ω ~ × ~g M ω ~ ~ = −ml~g × ω M ω Je tedy vidˇet, ˇze i dˇetskou k´aˇcu je moˇzn´e popsat rovnic´ı (5.31). Za vektor ~a je pak tˇreba dosadit: ~a = −ml~g

(5.32) 40

Lze vˇsak naj´ıt v´ıce soustav chovaj´ıc´ıch se podobnˇe (napˇr. elektrick´ y dip´ ol v elektrick´em poli, proudov´a smyˇcka v magnetick´em poli), proto nad´ ale z˚ ustaneme pouze u obecn´eho popisu dan´eho rovnic´ı (5.31). Zaˇcneme t´ım, ˇze nebudeme hledat vˇsechna ˇreˇsen´ı, ale spokoj´ıme se pouze s jedn´ım. K nalezen´ı toho ˇreˇsen´ı lze vyuˇz´ıt podobnosti vztahu (5.31) se vztahem (5.24). Okamˇzitˇe lze tvrdit, ˇze regul´ arn´ı precese je ˇreˇsen´ım. Zb´ yv´ a pouze naj´ıt hodnotu vektoru ~ωp . Srovn´ame obˇe rovnice a dostaneme: Jk − J⊥ ~a = Jk + ω ~p · ~ ω ω ~p ω ω2 



Vektor ω ~ p je tedy rovnobˇeˇzn´ y s vektorem ~a. Urˇc´ıme nyn´ı jeho velikost a orientaci. Symbolem ωp zde budeme rozumˇet pr˚ umˇet vektoru ~ωp do smˇeru vektoru ~a m´ısto jeho velikosti. Umoˇzn´ı n´ am to zahrnout do popisu i smˇer ot´ aˇcen´ı. Symbolem α oznaˇc´ıme u ´hel mezi vektory ~a a ~ω . Jk − J⊥ a = Jk + ωp cos α ωp ω ω 



(Jk − J⊥ ) cos α ωp2 + Jk ωωp − a = 0 Plat´ı-li Jk = J⊥ nebo α = π/2, jde o line´ arn´ı rovnici a ˇreˇsen´ı je: ωp =

a Jk ω

(5.33)

V opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe ˇreˇs´ıme kvadratickou rovnici: ωp =

−Jk ω ±

q

Jk2 ω 2 + 4a(Jk − J⊥ ) cos α

2(Jk − J⊥ ) cos α

r

± 1+ ωp = ω

4a Jk ω 2





2 1−

1− J⊥ Jk

J⊥ Jk





cos α − 1

cos α

Z´ aporn´ y koˇren (a nˇekdy i kladn´ y) d´ av´a velikost ωp srovnatelnou s ω. Jde tedy o jakousi obdobu ~ m´ chov´an´ı voln´eho setrvaˇcn´ıku z kapitoly 5.10, kde moment M a jen zanedbateln´ y vliv. Zaj´ımavˇejˇs´ı je kladn´ y koˇren: r

1+

ωp = ω

4a Jk ω 2





1−

2 1−

J⊥ Jk

J⊥ Jk





cos α − 1 (5.34)

cos α

Vzorec lze ponˇekud zjednoduˇsit, je-li splnˇeno: 4a Jk ω 2

J⊥ 1− Jk

!

cos α ≪ 1

Tuto podm´ınku lze typicky splnit tak, ˇze a je mal´e, takˇze a ≪ Jk ω 2 . Setrvaˇcn´ık by pˇritom mˇel m´ıt nˇejak´ y rozumn´ y tvar, aby J⊥ nebylo v´ yraznˇe vˇetˇs´ı neˇz Jk . Za tˇechto podm´ınek lze odmocninu nahradit Taylorov´ ym polynomem napˇr. druh´eho ˇra´du. 1+ ωp = ω

1 2

·

4a Jk ω 2

a a2 ωp = − 2 3 Jk ω Jk ω



1−

J⊥ Jk

J⊥ 1− Jk



cos α − 

2 1−

!

1 8

J⊥ Jk

h



4a Jk ω 2

cos α



cos α

1−

J⊥ Jk



i2

cos α

−1

(5.35)

Vych´ az´ı n´ am tedy pˇribliˇznˇe tot´eˇz jako v (5.33), druh´ y ˇclen pouze ukazuje na m´ırnou z´avislost ωp na u ´hlu α. Tu lze vˇsak vˇetˇsinou zanedbat. 41

d α h l

Obr´azek 5.8: K´ aˇca.

5.14

K´ aˇ ca

Mˇejme k´aˇcu tvoˇrenou setrvaˇcn´ıkem z aut´ıˇcka, zobrazenou na obr´ azku 5.8. K´ aˇca nejezd´ı, jej´ı vrchol je upevnˇen. Chceme spoˇc´ıtat periodu st´ aˇcen´ı osy setrvaˇcn´ıku. Budeme pˇredpokl´adat, ˇze hmotnost osy je zanedbateln´a. Hmotnost setrvaˇcn´ıku oznaˇc´ıme m. Frekvence ot´aˇcen´ı setrvaˇcn´ıku kolem sv´e osy f je 50 Hz. Pr˚ umˇer setrvaˇcn´ıku d je 3 cm. Tlouˇst’ka setrvaˇcn´ıku h je 5 mm. D´elka spodn´ı stopky l je 1 cm. Sklon osy α je 5◦ . Spoˇc´ıt´ame si momenty setrvaˇcnosti setrvaˇcn´ıku vzhledem k jeho tˇeˇziˇsti (deviaˇcn´ı momenty jsou nulov´e). K tomu n´ am poslouˇz´ı vzorce (5.1) a (5.2).  2

Jk′

d 1 = m 2 2

′ J⊥

d 1 = m 3 12 2

=

1 md2 8

"   2

2

+h

#

=

1 m(3d2 + 4h2 ) 48

Spoˇc´ıt´ame momenty setrvaˇcnosti podle skuteˇcn´eho stˇredu ot´aˇcen´ı, ale tˇeleso nahrad´ıme pouze hmotn´ ym bodem v tˇeˇziˇsti (deviaˇcn´ı momenty jsou opˇet nulov´e). Jk′′ = 0 ′′ J⊥

h =m l+ 2 

2

1 = m(2l + h)2 4

Pomoc´ı (4.43) vypoˇcteme momenty setrvaˇcnosti podle skuteˇcn´eho stˇredu ot´aˇcen´ı. 1 Jk = Jk′ + Jk′′ = md2 8 ′ ′′ J⊥ = J⊥ + J⊥ =

J⊥ =

1 1 m[3d2 + 4h2 + 12(2l + h)2 ] = m[3d2 + 4h2 + 12(4l2 + 4lh + h2 )] 48 48

1 m(3d2 + 16h2 + 48l2 + 48lh) 48

Vyj´adˇr´ıme u ´hlovou rychlost ot´ aˇcen´ı setrvaˇcn´ıku: ω = 2πf Dosad´ıme do rovnice (5.32): a = m(l +

2l + h mg h )g = mg · = (2l + h) 2 2 2 42

Dosad´ıme do vzorce (5.35). Spoˇc´ıt´ ame zvl´aˇst’ prvn´ı i druh´ y ˇclen, abychom vidˇeli, jak´e chyby se dopouˇst´ıme zanedb´an´ım druh´eho ˇclenu. Prvn´ı ˇclen bude: ωp′

mg (2l + h) 2g a = = 12 2 (2l + h) = Jk ω πf d2 8 md · 2πf

Druh´ y ˇclen bude: ωp′′

ωp′′

a2 =− 2 3 Jk ω =−

J⊥ 1− Jk

!

m2 g 2 2 4 (2l + h) 1 2 4 3 3 64 m d · 8π f

cos α

1−

1 2 48 m(3d

+ 16h2 + 48l2 + 48lh) 1 2 8 md

2g2 3d2 + 16h2 + 48l2 + 48lh ωp′′ = − 3 3 4 (2l + h)2 1 − π f d 6d2 ωp′′ = − ωp′′ =

!

!

cos α

cos α

2 2 2 2g2 2 3d − 16h − 48l − 48lh (2l + h) · · cos α π 3 f 3 d4 6d2

g2 3π 3 f 3 d6

(2l + h)2 (16h2 + 48l2 + 48lh − 3d2 ) cos α

Vyˇc´ısl´ıme ωp′ i ωp′′ a dostaneme: ωp′ = 3, 4684 s−1 ωp′′ = 34, 614 · 10−3 s−1 ωp = ωp′ + ωp′′ = 3, 5030 s−1 Perioda st´ aˇcen´ı osy setrvaˇcn´ıku potom vych´ az´ı: Tp =

2π = 1, 7937 s ωp

Je vidˇet, ˇze zanedb´an´ım ˇclenu ωp′′ bychom se dopustili chyby asi 1%.

5.15

Obecn´ a precese

Mˇejme tˇeˇzk´ y setrvaˇcn´ık z kapitoly 5.13. Vidˇeli jsme, ˇze jedn´ım z moˇzn´ ych ˇreˇsen´ı je regul´ arn´ı precese. Pˇri takov´em pohybu se osa setrvaˇcn´ıku rovnomˇernˇe st´ aˇc´ı a vznikl´ y gyroskopick´ y moment pr´ avˇe odpov´ıd´ a momentu zp˚ usoben´emu t´ıhou setrvaˇcn´ıku. Co se vˇsak stane, nebudou-li tyto momenty v rovnov´aze? K tomu pˇritom dojde velice snadno. Pokud napˇr. roztoˇc´ıme dˇetskou k´aˇcu, postav´ıme ji ˇsikmo a pust´ıme, nebude se ze zaˇc´atku osa v˚ ubec st´ aˇcet, gyroskopick´ y moment bude nulov´ y a k´aˇca zaˇcne padat. Pˇri p´ adu vˇsak zaˇcne gyroskopick´ y moment p˚ usobit a k´aˇcu dostane do precesn´ıho pohybu. Ten vˇsak nebude regul´ arn´ı — k´aˇca se bude jakoby houpat. Obecn´ y precesn´ı pohyb tedy vypad´a tak, ˇze se osa setrvaˇcn´ıku st´ aˇc´ı st´ ale dokola a pˇritom se jeˇstˇe k´ yve nahoru a dol˚ u. Tomuto k´ yv´ an´ı se ˇr´ıka nutace. Nyn´ı si zkus´ıme takov´ y obecn´ y precesn´ı pohyb popsat. Tato u ´loha se vˇetˇsinou ˇreˇs´ı pomoc´ı Lagrangeov´ ych rovnic, protoˇze se zde ale snaˇz´ıme s matematikou drˇzet pˇri zemi, tento ˇ apar´ at nepouˇzijeme. Reˇsen´ı je tak sice obt´ıˇznˇejˇs´ı, n´ am vˇsak nyn´ı poslouˇz´ı l´epe. ´ Polohu osy setrvaˇcn´ıku budeme popisovat pomoc´ı dvou u ´hl˚ u. Uhel ϕ urˇcuje otoˇcen´ı osy kolem svislice, zat´ımco u ´hel ϑ ud´ av´a v´ yˇsku osy nad vodorovnou rovinou. Vektor ~a m´ıˇr´ı pˇr´ımo nahoru. Vˇse je zobrazeno na obr´ azku 5.9. Soustavu souˇradnic zavedeme opˇet tak, abychom se vyhnuli deviaˇcn´ım moment˚ um. Osa z bude v ˇcase t = 0 shodn´ a s osou setrvaˇcn´ıku a vektor ~a bude leˇzet v rovinˇe xz. (Toto opˇet plat´ı pouze 43

a

ω

ϑ ϕ

´ Obr´azek 5.9: Uhly popisuj´ıc´ı sklon osy.

x

z

a, ωϕ, εϕ ϑ

ω, ε

y, ωϑ, εϑ Obr´azek 5.10: Soustava souˇradnic.

44

v ˇcase t = 0, protoˇze soustava mus´ı b´ yt inerci´ aln´ı. Poˇc´atek ˇcasu lze vˇsak zvolit libovolnˇe, v´ ypoˇcet lze tedy aplikovat pro libovoln´ y okamˇzik pohybu a odvozen´e vzorce maj´ı opˇet obecnou platnost.) Zaveden´ı soustavy souˇradnic je zobrazeno na obr´ azku 5.10. V t´eto soustavˇe plat´ı: ~a = (a cos ϑ, 0, a sin ϑ) 

(5.36)



J⊥ 0 0   ˆ J =  0 J⊥ 0  0 0 Jk

(5.37)

Pohyb setrvaˇcn´ıku je pomˇernˇe sloˇzit´ y a je sloˇzen ze tˇrech jednoduch´ ych pohyb˚ u. Prvn´ım pohybem je ot´aˇcen´ı setrvaˇcn´ıku kolem sv´e osy u ´hlovou rychlost´ı ~ω . Pˇr´ıpadn´e zmˇeny t´eto rychlosti lze popsat u ´hlov´ ym zrychlen´ım ~ ε. Tento ot´ aˇcej´ıc´ı se setrvaˇcn´ık pak vykon´ av´a druh´ y pohyb — k´ yv´ an´ı nahoru dol˚ u podle u ´hlu ϑ u ´hlovou rychlost´ı ω ~ϑ a s u ´hlov´ ym zrychlen´ım ~εϑ . Nakonec tento k´ yvaj´ıc´ı se setrvaˇcn´ık vykon´ av´a tˇret´ı pohyb — ot´aˇcen´ı kolem svislice podle u ´hlu ϕ u ´hlovou rychlost´ı ~ ωϕ a su ´hlov´ ym zrychlen´ım ~εϕ . Rozep´ıˇseme uveden´e u ´hlov´e rychlosti a zrychlen´ı do sloˇzek: ~ω = (0, 0, ω)

(5.38)

~ε = (0, 0,

dω ) dt

(5.39)

~ωϑ = (0,

dϑ , 0) dt

(5.40)

~εϑ = (0,

d2 ϑ , 0) dt2

(5.41)

dϕ dϕ cos ϑ, 0, sin ϑ) dt dt

(5.42)

d2 ϕ d2 ϕ cos ϑ, 0, 2 sin ϑ) 2 dt dt

(5.43)

~ωϕ = ( ~εϕ = (

~ v´ K v´ ypoˇctu u ´hlov´e rychlosti Ω ysledn´eho sloˇzen´eho pohybu vyuˇzijeme vzorec (4.24): ~ =~ Ω ωϕ + (~ ωϑ + ~ ω) = ~ ωϕ + ~ ωϑ + ~ω Dosad´ıme hodnoty ze vztah˚ u (5.38), (5.40) a (5.42): Ωx =

dϕ cos ϑ dt

(5.44)

Ωy =

dϑ dt

(5.45)

Ωz = ω +

dϕ sin ϑ dt

(5.46)

´ ~ v´ Uhlov´ e zrychlen´ı E ysledn´eho sloˇzen´eho pohybu vypoˇc´ıt´ame pomoc´ı vzorce (4.25): ~ = ~εϕ + (~εϑ + ~ε + ~ E ωϑ × ~ ω) + ~ ωϕ × (~ωϑ + ~ω ) ~ = ~εϕ + ~εϑ + ~ε + ~ E ωϕ × ~ ωϑ + ω ~ ϕ × ~ω + ~ωϑ × ~ω Pomoc´ı (5.38), (5.40) a (5.42) si nejprve vyj´adˇr´ıme pouˇzit´e vektorov´e souˇciny: ~ωϕ × ~ ωϑ = (−

dϕ dϑ dϕ dϑ sin ϑ, 0, cos ϑ) dt dt dt dt 45

~ωϕ × ω ~ = (0, −ω ~ωϑ × ω ~ = (ω

dϕ cos ϑ, 0) dt

dϑ , 0, 0) dt

Dosad´ıme (5.39), (5.41), (5.43) a vektorov´e souˇciny a dostaneme: Ex =

dϑ dϕ dϑ d2 ϕ − sin ϑ cos ϑ + ω dt2 dt dt dt

(5.47)

Ey =

d2 ϑ dϕ −ω cos ϑ dt2 dt

(5.48)

Ez =

d2 ϕ dω dϕ dϑ cos ϑ + sin ϑ + 2 dt dt dt dt

(5.49)

~ p˚ Dosad´ıme do (4.54), (4.55) a (4.56) a s uˇzit´ım (5.37) dostaneme v´ ysledn´ y moment s´ıly M usob´ıc´ı na setrvaˇcn´ık: Mx = J⊥ Ex + (Jk − J⊥ )Ωy Ωz My = J⊥ Ey + (J⊥ − Jk )Ωx Ωz Mz = Jk Ez ~ aE ~ ze vztah˚ Pouˇzijeme sloˇzky vektor˚ uΩ u (5.44), (5.45), (5.46), (5.47), (5.48) a (5.49) a dostaneme pro x-ovou sloˇzku momentu s´ıly: !

Mx = J⊥

dϑ dϑ dϕ dϑ d2 ϕ dϕ − sin ϑ + (Jk − J⊥ ) sin ϑ cos ϑ + ω ω+ dt2 dt dt dt dt dt

Mx = J⊥

dϕ dϑ dϑ dϕ d2 ϕ cos ϑ − 2 sin ϑ + Jk sin ϑ ω+ 2 dt dt dt dt dt

!









(5.50)

Pro y-ovou sloˇzku: !

d2 ϑ dϕ dϕ dϕ −ω cos ϑ + (J⊥ − Jk ) cos ϑ ω + sin ϑ 2 dt dt dt dt

My = J⊥

My = J⊥

"

d2 ϑ + dt2



dϕ dt

2



#

sin ϑ cos ϑ − Jk

dϕ dϕ cos ϑ ω + sin ϑ dt dt 





(5.51)

Pro z-ovou sloˇzku: Mz = Jk

d2 ϕ dω dϕ dϑ cos ϑ + sin ϑ + dt2 dt dt dt

!

(5.52)

Budeme-li m´ıt pops´ an pohyb setrvaˇcn´ıku pomoc´ı ˇcasov´eho pr˚ ubˇehu u ´hl˚ uϕaϑau ´hlov´e rychlosti ω, m˚ uˇzeme nyn´ı pomoc´ı vztah˚ u (5.50), (5.51) a (5.52) snadno spoˇc´ıtat ˇcasov´ y pr˚ ubˇeh momentu s´ıly ~ , kter´ M y na setrvaˇcn´ık p˚ usob´ı. Naˇse u ´loha je vˇsak opaˇcn´ a — chceme urˇcit ˇcasov´ y pr˚ ubˇeh ϕ, ϑ a ω, zat´ımco p˚ usob´ıc´ı moment s´ıly zn´ ame. Je urˇcen rovnic´ı (5.31): ~ ~ = ~a × ω M ω Dosad´ıme za ~a a ~ω ze vztah˚ u (5.36) a (5.38) a dostaneme: ~ = (0, −a cos ϑ, 0) M 46

~ do (5.50), (5.51) a (5.52), z´ısk´ame soustavu tˇrech diferenci´ Dosad´ıme-li tento vztah pro M aln´ıch rovnic pro tˇri nezn´ am´e ϕ, ϑ a ω: !

dϑ dϕ dϑ dϕ d2 ϕ sin ϑ + Jk sin ϑ = 0 cos ϑ − 2 ω+ 2 dt dt dt dt dt

J⊥

J⊥

"

d2 ϑ + dt2



dϕ dt

2

#

dϕ dϕ cos ϑ ω + sin ϑ + a cos ϑ = 0 sin ϑ cos ϑ − Jk dt dt

dω dϕ dϑ d2 ϕ cos ϑ + sin ϑ + 2 dt dt dt dt

Jk







!



=0

(5.53)

(5.54)

(5.55)

Nyn´ı zb´ yv´ a tuto soustavu vyˇreˇsit. To lze samozˇrejmˇe udˇelat numericky, ale v tomto pˇr´ıpadˇe existuje i analytick´e ˇreˇsen´ı. Nejprve si vˇsimneme, ˇze rovnice (5.55) se d´ a pomˇernˇe snadno integrovat: Jk



dϕ sin ϑ + ω = konst. dt 

Naˇsli jsme tedy veliˇcinu, jej´ıˇz hodnota se bˇehem pohybu nemˇen´ı. Oznaˇc´ıme ji A a definujeme jako: A = Jk

dϕ ω+ sin ϑ dt





(5.56)

Tento v´ yraz se v rovnic´ıch (5.53) a (5.54) vyskytuje, lze je tedy ponˇekud zjednoduˇsit: !

dϑ dϕ dϑ d2 ϕ sin ϑ + A =0 cos ϑ − 2 2 dt dt dt dt

J⊥

J⊥

"

d2 ϑ + dt2



dϕ dt

2

#

sin ϑ cos ϑ − A

dϕ cos ϑ + a cos ϑ = 0 dt

(5.57)

(5.58)

Rovnice (5.57) by ˇsla tak´e pˇeknˇe integrovat, pˇrek´aˇz´ı n´ am v n´ı vˇsak ta dvojka. Pom˚ uˇzeme si t´ım, ˇze ji nejprve rozˇs´ıˇr´ıme v´ yrazem cos ϑ: !

dϑ dϕ dϑ d2 ϕ sin ϑ cos ϑ + A cos ϑ = 0 cos2 ϑ − 2 dt2 dt dt dt

J⊥

Nyn´ı jiˇz lze snadno integrovat: J⊥

dϕ cos2 ϑ + A sin ϑ = konst. dt

Opˇet jsme naˇsli konstantn´ı veliˇcinu. Oznaˇc´ıme ji B a definujeme jako: B = J⊥

dϕ cos2 ϑ + A sin ϑ dt

(5.59)

Z rovnice (5.59) lze vyj´adˇrit ˇcasovou zmˇenu u ´hlu ϕ: dϕ B − A sin ϑ = dt J⊥ cos2 ϑ

(5.60)

Z rovnice (5.56) m˚ uˇzeme vyj´adˇrit u ´hlovou rychlost ω: ω=

dϕ A sin ϑ − Jk dt

Dosad´ıme za ω=

dϕ dt

ze vzorce (5.60):

B − A sin ϑ A − sin ϑ Jk J⊥ cos2 ϑ 47

ω=

A A sin2 ϑ − B sin ϑ + Jk J⊥ cos2 ϑ

(5.61)

Podle rovnice (5.60) m˚ uˇzeme tak´e dosadit do rovnice (5.58). Dost´av´ame tak pouze jednu diferenci´ aln´ı rovnici s jednou nezn´ amou ϑ. Najdeme-li jej´ı ˇreˇsen´ı, ostatn´ı nezn´ am´e z nˇej vypoˇc´ıt´ame pomoc´ı vztah˚ u (5.60) a (5.61). Rovnice pro ϑ tedy vypad´a takto: #

J⊥

"

J⊥

d2 ϑ (B − A sin ϑ)2 B − A sin ϑ + sin ϑ − A cos2 ϑ + a cos ϑ = 0 2 3 dt J⊥ cos ϑ J⊥ cos3 ϑ

J⊥

d2 ϑ B − A sin ϑ + [(B − A sin ϑ) sin ϑ − A cos2 ϑ] + a cos ϑ = 0 dt2 J⊥ cos3 ϑ

J⊥

d2 ϑ (B − A sin ϑ)(B sin ϑ − A) + a cos ϑ = 0 + dt2 J⊥ cos3 ϑ

d2 ϑ + dt2



B − A sin ϑ J⊥ cos2 ϑ

2

sin ϑ cos ϑ − A

B − A sin ϑ cos ϑ + a cos ϑ = 0 J⊥ cos2 ϑ

d2 ϑ (A sin ϑ − B)(A − B sin ϑ) a + cos ϑ = 0 + 2 2 3 dt J⊥ J⊥ cos ϑ

(5.62)

Nyn´ı tedy staˇc´ı ˇreˇsit pouze tuto jednu diferenci´ aln´ı rovnici o jedn´e nezn´ am´e.4 Tato rovnice je vˇsak druh´eho ˇra´du, coˇz nˇekdy nemus´ı b´ yt pˇr´ıjemn´e. Zkus´ıme ji tedy nyn´ı upravit na rovnici prvn´ıho ˇra´du. Pro zkr´acen´ı z´apisu si zavedeme funkci f takto: f (ϑ) =

(A sin ϑ − B)(A − B sin ϑ) a + cos ϑ 2 cos3 ϑ J⊥ J⊥

(5.63)

Rovnici (5.62) pak lze zapsat jako: d2 ϑ + f (ϑ) = 0 dt2 Nyn´ı rovnici rozˇs´ıˇr´ıme v´ yrazem

dϑ dt

a zintegrujeme:

d2 ϑ dϑ dϑ + f (ϑ) = 0 dt2 dt dt 1 2



dϑ dt

2

+ F (ϑ) = konst.

Konstantu oznaˇc´ıme C a najdeme funkci F , kter´a je primitivn´ı funkc´ı k f : F (ϑ) =

Z

F (ϑ) =

(A sin ϑ − B)2 a + sin ϑ 2 cos2 ϑ 2J⊥ J⊥

f (ϑ) dϑ (5.64)

Dost´av´ame tedy diferenci´ aln´ı rovnici prvn´ıho ˇra´du pro nezn´ amou ϑ:5 1 2



dϑ dt

2

+

a (A sin ϑ − B)2 + sin ϑ = C 2 2 J⊥ 2J⊥ cos ϑ

(5.65)

4 Je zvl´ aˇstn´ı, ˇze aˇckoliv rovnice (5.53), (5.54) a (5.55) se shoduj´ı s [4] a byly prov´ adˇeny stejn´e u ´pravy, v´ ysledn´ a rovnice (5.62) vych´ az´ı jinak. Snaˇzil jsem se vˇec ovˇeˇrit tak, ˇze jsem rovnice (5.53), (5.54) a (5.55) vyˇreˇsil numericky a v´ yslednou funkci dosadil do rovnice (5.62) i jej´ıho ekvivalentu v [4]. Numerick´ y v´ ypoˇcet je samozˇrejmˇe zat´ıˇzen chybami, takˇze kontrola nen´ı 100%-n´ı, nˇeco z n´ı vˇsak usoudit lze. U rovnice (5.62) se obˇe strany liˇsily o asi pades´ atinu hodnoty prvn´ıho ˇclenu, zat´ımco u rovnice z [4] byla chyba asi desetin´ asobkem tohoto ˇclenu. Zd´ a se tedy, ˇze chyba bude v [4], coˇz je ponˇekud zvl´ aˇstn´ı, nebot’ jim vyˇsla zkouˇska, kdy tut´eˇz rovnici odvodili jin´ ym zp˚ usobem. 5 K t´eto rovnici bychom se tak´e dostali, kdybychom vych´ azeli ze z´ akona zachov´ an´ı mechanick´e energie. Tak se to dˇel´ a napˇr. v [2].

48

a)

b)

c)

Obr´azek 5.11: Obecn´ a precese. a) Houp´an´ı. b) Setrvaˇcn´ık se pr´ avˇe zastav´ı. c) Setrvaˇcn´ık se vrac´ı. Tato rovnice je ˇreˇsiteln´ a analyticky6 (viz [2]), coˇz zde vˇsak dˇelat nebudeme. Jednak to neum´ım a jsem l´ın´ y se to uˇcit, jednak to pro pochopen´ı chov´an´ı setrvaˇcn´ıku nen´ı d˚ uleˇzit´e. Sp´ıˇse si pov´ıme, jak asi takov´e ˇreˇsen´ı vypad´a. Existuje napˇr. ˇreˇsen´ı, kdy je u ´hel ϑ konstantn´ı. Z rovnic (5.60) a (5.61) je pak zˇrejm´e, ˇze u ´hel ϕ roste rovnomˇernˇe s ˇcasem a u ´hlov´a rychlost ω je konstantn´ı. Jde tedy o regul´ arn´ı precesi popsanou v kapitole 5.13. ´ Jinak u ´hel ϑ typicky osciluje mezi dvˇema hodnotami ϑmin a ϑmax . Uhel ϕ pˇritom postupnˇe roste, takˇze osa setrvaˇcn´ıku se pozvolna st´ aˇc´ı kolem svisl´e osy a pˇritom se houpe nahoru a dol˚ u. Rychlost dϕ ana vztahem (5.60), nen´ı tedy st´ ale stejn´a. Mˇen´ı se v z´avislosti na v´ yˇsce ϑ, tedy st´ aˇcen´ı osy dt je d´ tak´e osciluje. Rozkmit m˚ uˇze b´ yt i tak velk´ y, ˇze zasahuje aˇz do z´aporn´ ych hodnot. Osa setrvaˇcn´ıku se pak chv´ılemi i vrac´ı a opisuje tak smyˇcky (viz obr. 5.11). Z rovnice (5.61) plyne zaj´ımav´ y poznatek: U obecn´e precese nen´ı rychlost ot´aˇcen´ı setrvaˇcn´ıku kolem sv´e osy ω v ˇcase nemˇenn´ a, ale mˇen´ı se spolu s v´ yˇskou ϑ. To je na prvn´ı pohled pˇrekvapiv´e, ~ ’ nebot moment s´ıly M p˚ usob´ıc´ı na setrvaˇcn´ık je v kaˇzd´em okamˇziku kolm´ y na jeho osu, coˇz je zˇrejm´e ze vztahu (5.31). Dalo by se tedy oˇcek´avat, ˇze bude zp˚ usobovat pouze st´ aˇcen´ı t´eto osy a rychlost ot´aˇcen´ı setrvaˇcn´ıku neovlivn´ı. V kapitole 5.16 se tohoto t´ematu dotkneme trochu v´ıce.

5.16

Powerball

V kapitole 5.15 jsme rozeb´ırali pohyb tzv. tˇeˇzk´eho setrvaˇcn´ıku. Pˇritom jsme si vˇsimli zvl´aˇstn´ı vˇeci — ~ velikost u ´hlov´e rychlosti ot´ aˇcen´ı setrvaˇcn´ıku kolem sv´e osy ω se v ˇcase mˇen´ı, aˇckoliv moment s´ıly M p˚ usob´ıc´ı na setrvaˇcn´ık je vˇzdy kolm´ y k jeho ose. Na prvn´ı pohled by se tedy zd´ alo, ˇze je snad moˇzn´e setrvaˇcn´ık roztoˇcit pouh´ ym k´ yv´ an´ım jeho osy. Dokonce se prod´ av´a hraˇcka s n´ azvem powerball“, ” o kter´e si mnoho lid´ı mysl´ı, ˇze pr´ avˇe takov´eho chov´an´ı vyuˇz´ıv´a. Zkus´ıme situaci prozkoumat. Pohyb setrvaˇcn´ıku budeme popisovat stejnˇe jako v kapitole 5.15, tedy pomoc´ı ˇcasov´eho pr˚ ubˇehu ~ p˚ dvou u ´hl˚ u ϕ a ϑ a rychlosti ω. Moment s´ıly M usob´ıc´ı na setrvaˇcn´ık urˇcuj´ı rovnice (5.50), (5.51) a (5.52). V kapitole 5.15 byl p˚ usob´ıc´ı moment pˇresnˇe zn´ am, zde vˇsak budeme pˇredpokl´adat, ˇze m˚ uˇze b´ yt libovoln´ y. Klademe na nˇej pouze jednu podm´ınku — mus´ı b´ yt kolm´ y na osu setrvaˇcn´ıku, nebot’ ten je uloˇzen volnˇe (napˇr. v loˇzisku). Vzhledem ke zvolen´e soustavˇe souˇradnic lze tuto podm´ınku zapsat jako: Mz = 0 Vyuˇzijeme (5.52) a p´ıˇseme: dϕ dϑ dω d2 ϕ sin ϑ + cos ϑ + =0 dt2 dt dt dt 6

Naopak pro numerick´e ˇreˇsen´ı je vhodnˇejˇs´ı rovnice (5.62). U rovnice (5.65) dˇelaj´ı probl´em body, kdy

49

dϑ dt

= 0.

Zopakujeme postup z kapitoly 5.15 a rovnici zintegrujeme: dϕ sin ϑ + ω = konst. dt ω=−

dϕ sin ϑ + konst. dt

´hel Vid´ıme tedy, ˇze rychlost ω je stavov´a veliˇcina“ — zn´ ame-li stav setrvaˇcn´ıku (rychlost dϕ dt a u ” ϑ), spoˇc´ıt´ame si rychlost ω a v˚ ubec pˇritom nepotˇrebujeme vˇedˇet, jak´ y pohyb vykon´ aval setrvaˇcn´ık pˇredt´ım a jakou cestou se do tohoto stavu dostal. To vˇsak znamen´a, ˇze setrvaˇcn´ık nen´ı moˇzn´e nˇejak´ ym st´ aˇcen´ım osy roztoˇcit. Ostatnˇe i onen zmiˇ novan´ y powerball se pravdˇepodobnˇe rozt´ aˇc´ı jinak — jeho osiˇcka jezd´ı ve ˇzl´ abku uvnitˇr pouzdra, odvaluje se po stˇen´ ach ˇzl´abku a t´ım se rozt´ aˇc´ı (viz [5]).

5.17

Numerick´ eˇ reˇ sen´ı

~ , kter´ Mˇejme tˇeleso, kter´e se m˚ uˇze volnˇe ot´ aˇcet. Na tˇeleso p˚ usob´ı moment s´ıly M y um´ıme spoˇc´ıtat, zn´ ame-li orientaci tˇelesa. Naˇs´ım u ´kolem je zjistit ˇcasov´ y v´ yvoj orientace tˇelesa. Chceme-li popsat ot´ aˇcen´ı nˇejak´eho skuteˇcn´eho tˇelesa, je pro n´ as vˇetˇsinou analytick´e ˇreˇsen´ı rovnic pˇr´ıliˇs obt´ıˇzn´e aˇz nemoˇzn´e. V takov´em pˇr´ıpadˇe si mus´ıme vystaˇcit s numerick´ ym ˇreˇsen´ım. Bylo by samozˇrejmˇe moˇzn´e postupovat podobnˇe jako v kapitole 5.15 a orientaci tˇelesa popisovat pomoc´ı dvou u ´hl˚ u, v praxi vˇsak m˚ uˇzeme narazit na tyto komplikace: • V n´ ami preferovan´e souˇradn´e soustavˇe tˇeleso m´ a deviaˇcn´ı momenty. Museli bychom tedy naj´ıt jeho hlavn´ı osy, zav´est dalˇs´ı souˇradnou soustavu a mezi tˇemito soustavami st´ ale pˇrepoˇc´ıt´avat. • Popis orientace pomoc´ı dvou u ´hl˚ u m´ a dvˇe problematick´ a m´ısta — p´ oly. Pokud se dostaneme do bl´ızkosti p´ ol˚ u, m˚ uˇzeme oˇcek´avat nepˇresnosti a jin´e probl´emy pˇri ˇreˇsen´ı. Nem˚ uˇzeme-li zaruˇcit, ˇze se ˇreˇsen´ı tˇemto bod˚ um nepˇribl´ıˇz´ı, nast´ av´a probl´em. Chceme-li se tˇemto komplikac´ım vyhnout, lze uˇz´ıt n´ asleduj´ıc´ı pˇr´ıstup. Tˇeleso budeme popisovat v jedn´e inerci´ aln´ı souˇradn´e soustavˇe, kter´a n´ am bude vyhovovat. Pak ˆ vˇsak mus´ıme poˇc´ıtat s t´ım, ˇze tenzor setrvaˇcnosti J je promˇenn´ a veliˇcina a stane se tak nezn´ amou (pˇresnˇeji dev´ıti nezn´ am´ ymi, protoˇze jde o matici) naˇsich diferenci´ aln´ıch rovnic. Druhou nezn´ amou bude u ´hlov´a rychlost ot´ aˇcen´ı ~ ω . Jako v´ ystup v´ ypoˇctu oˇcek´av´ame ˇcasov´ y v´ yvoj orientace tˇelesa, kterou mus´ıme b´ yt schopni nˇejak popsat. Proto si vybereme nˇejak´e typick´e body tˇelesa nebo smˇery u si a pop´ıˇseme je nˇekolika vektory {~ui }ni=1 , kter´e se budou ot´aˇcet spolu s tˇelesem. Tˇechto vektor˚ m˚ uˇzeme zvolit libovoln´ y poˇcet, ale typicky staˇc´ı tˇri — kaˇzd´ y pro jednu osu tˇelesa. ˆ V´ ypoˇcet tedy spoˇc´ıv´a v numerick´em ˇreˇsen´ı soustavy diferenci´ aln´ıch rovnic pro nezn´ am´e J(t), n ˆ ω ~ (t) a {~ui (t)}i=1 . Poˇc´ ateˇcn´ı hodnotu J(0) urˇc´ıme podle vztahu (4.36). Poˇc´ateˇcn´ı hodnoty ~ω (0) a {~ui (0)}ni=1 zn´ ame. Soustavu sloˇz´ıme z n´ asleduj´ıc´ıch rovnic — pro ˇcasovou zmˇenu Jˆ pouˇzijeme vztah (4.16) a dostaneme: dJij = (δik εjml − δjl εikm )Jkl ωm dt Pro vyˇc´ıslov´an´ı bude lepˇs´ı rovnici trochu upravit: dJij = εjml Jil ωm − εikm Jkj ωm dt dJij = εjml Jil ωm − εikl Jkj ωl dt dJij = εjkl Jil ωk + εikl Jlj ωk dt 50

Tato rovnice vlastnˇe pˇredstavuje devˇet rovnic. Pro lepˇs´ı pˇredstavu je rozep´ıˇseme: dJ11 = J13 ω2 − J12 ω3 + J31 ω2 − J21 ω3 dt dJ12 = J11 ω3 − J13 ω1 + J32 ω2 − J22 ω3 dt dJ13 = J12 ω1 − J11 ω2 + J33 ω2 − J23 ω3 dt dJ21 = J23 ω2 − J22 ω3 + J11 ω3 − J31 ω1 dt dJ22 = J21 ω3 − J23 ω1 + J12 ω3 − J32 ω1 dt dJ23 = J22 ω1 − J21 ω2 + J13 ω3 − J33 ω1 dt dJ31 = J33 ω2 − J32 ω3 + J21 ω1 − J11 ω2 dt dJ32 = J31 ω3 − J33 ω1 + J22 ω1 − J12 ω2 dt dJ33 = J32 ω1 − J31 ω2 + J23 ω1 − J13 ω2 dt Pro ˇcasovou zmˇenu ω ~ pouˇzijeme vztah (4.53) a (4.27) a dostaneme rovnici, kter´ a vˇsak pˇredstavuje tˇri rovnice: d~ω ~ + (Jˆ~ = Jˆ−1 [M ω) × ~ ω] dt ~ m˚ ypoˇctu inverzn´ı Pˇritom moment s´ıly M uˇze b´ yt funkc´ı ˇcasu a vektor˚ u {~ui }ni=1 . Pro zrychlen´ı v´ −1 ˆ ˆ se nemˇen´ı, a spoˇc´ıtat ji pouze jednou matice J lze pˇredpokl´adat, ˇze hodnota determinantu |J| na zaˇc´atku. Pro ˇcasovou zmˇenu vektor˚ u {~ui }ni=1 pouˇzijeme (3.3) a dostaneme rovnice (pro kaˇzd´e i ∈ {1, 2, . . . , n}): d~ui =~ ω × ~ui dt

51

52

Literatura [1] Webov´e str´ anky http://www.wikipedia.org/ ´ [2] Langer J., Podolsk´ y J., Teoretick´a mechanika, vybran´e ˇc´asti pˇredn´aˇsky OFY003, Ustav teoretick´e fyziky MFF UK, 2000, http://www.scribd.com/doc/7203684/tuheteleso ´ [3] Houfek L., Krejˇc´ı P., webov´e str´ anky Studijn´ı opory z dynamiky, Ustav mechaniky tˇeles, mechatroniky a biomechaniky, 2006, http://www.umt.fme.vutbr.cz/~pkrejci/opory/dynamika/kapitola_4.html [4] Peraire J., Widnall S., Lecture L30 — 3D Rigid Body Dynamics: Tops and Gyroscopes, 2008, http://ocw.mit.edu/courses/aeronautics-and-astronautics/ 16-07-dynamics-fall-2009/lecture-notes/MIT16_07F09_Lec30.pdf [5] Pˇr´ıspˇevek v diskusi vysvˇetluj´ıc´ı funkci powerballu, http://www.ball.cz/web_redir?aparameters=aid_nast:953&aParameters=aKod_r: forum_tema&aParameters=RP_VLAKNO:285&aParameters=RP_DISKUZE_PRODUKTU:0& aParameters=RP_DISKUZE_CLANKU:0&aParameters=RP_ID_FORA:2

53