Populaˇcn´ı ekologie Pavel Fibich Proˇc? Vektor a Matice Operace s maticemi Vlastnosti matic Shrnut´ı
Populaˇcn´ı ekologie ´ arna ´ Matice - nalev Pavel Fibich
Literatura
[email protected]
4. rˇ´ıjna 2012
Obsah Populaˇcn´ı ekologie Pavel Fibich
1
Proˇc?
2
Vektor a Matice
3
Operace s maticemi
4
Vlastnosti matic
5
Shrnut´ı
6
Literatura
Proˇc? Vektor a Matice Operace s maticemi Vlastnosti matic Shrnut´ı Literatura
Proˇc? Populaˇcn´ı ekologie Pavel Fibich Proˇc? Vektor a Matice Operace s maticemi Vlastnosti matic Shrnut´ı Literatura
Proˇc pov´ıdat o matic´ıch v kurzu Populaˇcn´ı ekologie? maticove´ modely se pouˇz´ıvaj´ı v populaˇcn´ı ekologii ´ eˇ ˇ r nejˇcasteji ˇ tem ˇ praci ´ s maticemi ktere´ se v bude snaˇzsˇ ´ı porozumet ´ skach ´ objevuj´ı pˇrednaˇ
Vektor a Matice Populaˇcn´ı ekologie Pavel Fibich Proˇc? Vektor a Matice Operace s maticemi Vlastnosti matic Shrnut´ı Literatura
ˇ Vektor je veliˇcina charakterizovana´ velikost´ı a smerem, ´ zn.~x , je to uspoˇradan a´ n-tice cˇ ´ısel xi . Napˇr.: ~x 31 , ~y 21 , ~z 14 3 0 ~x = a ∗ b , ~y = , ~z = (5 3 9 1) 0 i ´ a´ Matice je charakterizovana´ poˇctem ˇradku˚ a sloupcu. ˚ Sklad 32 33 se z vektoru. ˚ Napˇr. A , E 3 −1 1 0 0 A = −1 0 , E = 0 1 0 1 8 0 0 1 Jednotlive´ prvky matice se odkazuj´ı indexy, aij je prvek na ´ ˇradku ´ ´ sloupci. i-tem a v j-tem ´ ´ ıho zobrazen´ı, ˇreˇsen´ı obyˇcejn´ych Hod´ı se na zapis linearn´ ´ ren´ı soustavy linearn´ ´ ıch rovnic, . . . δR, k vyjadˇ
Matice Populaˇcn´ı ekologie Pavel Fibich Proˇc? Vektor a Matice Operace s maticemi Vlastnosti matic Shrnut´ı Literatura
Typy matic dle velikosti ´ u˚ nebo sloupcu˚ je 1 vektor - poˇcet rˇadk ´ u˚ a sloupcu˚ je stejn´y cˇ tvercova´ - jinak, kde poˇcet ˇradk ´ ıkova´ - jinak obdeln´ Typy matic dle prvku˚ ´ jinak same´ jednotkova´ (E, I) - jedniˇcky na diagonale, nuly nulova´ - same´ nuly
Matice Populaˇcn´ı ekologie Pavel Fibich Proˇc? Vektor a Matice Operace s maticemi Vlastnosti matic Shrnut´ı Literatura
´ ren´ı soustavy linearn´ıch rovnic, napˇr. Vyjadˇ 3∗x −x x
−y +8 ∗ y
+z = 3 −z = 2 −2 ∗ z = 0
´ e´ a prave´ strany jsou vektory) maticoveˇ (neznam 3 −1 1 x 3 −1 0 −1 ∗ y = 2 1 8 −2 z 0 ´ ´ ´ Zkracen´ y zapis A ∗ ~n = ~b. Kdyˇz jsou prave´ strany nulove, ˇr´ıkame ´ zˇ e je soustava homogenn´ı.
(1)
Operace s maticemi a vektory Populaˇcn´ı ekologie Pavel Fibich Proˇc? Vektor a Matice Operace s maticemi Vlastnosti matic Shrnut´ı Literatura
Vektory jdou ~a21 + ~b21 = ~x 21 sˇc´ıtat, jsou-li kompatibiln´ı ~a31 ∗ c = ~x 31 nasobit ´ ´ skalarem, ~x m1 ∗ ~y 1n = Amn , ~x 1n ∗ ~y n1 = c nasobit ´ mezi sebou, . . . Matice jdou ˇ u˚ Amn + B mn = C mn sˇc´ıtat jsou-li stejn´ych rozmer mn mn ´ ´ A ∗ c = C nasobit skalarem (ˇc´ıslem) mn n1 m1 ~ ´ A ∗ b = ~c nasobit kompatibiln´ım vektorem ´ Amn ∗ B nk = C mk nasobit mezi sebou maj´ı-li spoleˇcn´y ˇ rozmer (Amn )T = Anm transponovat (pˇrevracet) A−1 invertovat (hledat opaˇcnou matici), . . .
Operace s maticemi Populaˇcn´ı ekologie Pavel Fibich Proˇc? Vektor a Matice Operace s maticemi Vlastnosti matic Shrnut´ı Literatura
´ ı matic je komutativn´ı. Sˇc´ıtan´ 3 −1 1 1 −1 0 1 + 0 1 8 2 0
Amn + B mn = C mn 0 0 4 −1 1 1 0 = −1 1 1 0 1 1 8 3
´ ´ Nasoben´ ı matice skalarem je komutativn´ı. Amn ∗ c = C mn 3 −2 0 9 −6 0 2 1 5 ∗ 3 = 6 3 15 3 3 1 9 9 3
Operace s maticemi Populaˇcn´ı ekologie Pavel Fibich Proˇc? Vektor a Matice Operace s maticemi Vlastnosti matic Shrnut´ı Literatura
´ Nasoben´ ı matice vektorem nen´ı komutativn´ P ı. Pro ´ Amn ∗ ~bn1 = ~c m1 je definovano jako cij = nk=1 aik ∗ bkj 2 10 −4 ∗ 5 −2 = −1 −5 2 2 3 −1 1 5 ∗ 1 = −1 0 1 −2 0 3 −1 5 −1 0 ∗ 2 = −2 1 1 8 10 ´ ´ ı pˇr´ıpad nasoben´ ´ Nasoben´ ı matice vektorem je specialn´ ı ´ a´ stejn´y. dvou matic. Vzorec pro v´ypoˇcet zust ˚ av http://wims.unice.fr/wims/en_ tool˜linear˜matmult.html
Maticove´ normy Populaˇcn´ı ekologie Pavel Fibich Proˇc? Vektor a Matice Operace s maticemi Vlastnosti matic Shrnut´ı Literatura
Hruba´ charakteristika matice, vyuˇz´ıvane´ v pokroˇcilejˇs´ıch ´ prace ´ s maticemi. metodach ˇ ´ Radkov a´ norma - Maximum ze souˇctu˚ absolutn´ıch ´ ıch matice hodnot prvku˚ v jednotliv´ych ˇradc´ X kAkR = maxi |aij | j
Sloupcova´ norma - Maximum ze souˇctu˚ absolutn´ıch hodnot prvku˚ v jednotliv´ych sloupc´ıch matice X kAkS = maxj |aij | i
Euklidova norma - Odmocnina ze souˇctu˚ cˇ tvercu˚ vˇsech prvku˚ matice sX X kAkE = |aij2 | i
j
´ u matic zaj´ıma´ Co nas Populaˇcn´ı ekologie Pavel Fibich Proˇc? Vektor a Matice Operace s maticemi Vlastnosti matic Shrnut´ı Literatura
Determinant zn. det A, |A| ´ cˇ tvercove´ matici n x n pˇriˇrad´ıme cˇ ´ıslo (skalar), ˇ eho ´ absolutneˇ odpov´ıda´ objemu n-rozmern ˇ znostenu ˇ daneho ´ ´ rovnobeˇ vektory a znamenko odpov´ıda´ orientaci vektoru˚ poˇc´ıta´ se pomoc´ı Sarrusova pravidla (jen velikost ´ 2x2,3x3), Leibnizov´ym vzorecem (libovolna) ´ Charakteristicka´ rovnice je dana |A − λ ∗ E| = 0, napˇr. 3 −1 A= 2 0 3 − λ −1 = λ2 − 3 ∗ λ + 2 0 = |A − λ ∗ E| = 2 −λ
Vlastn´ı cˇ ´ısla a vlastn´ı vektory Populaˇcn´ı ekologie Pavel Fibich Proˇc? Vektor a Matice Operace s maticemi Vlastnosti matic
ˇ ısla (charakteristicka´ cˇ ´ısla) jsou koˇreny Vlastn´ı c´ charakteristicke´ rovnice, zn. λi Vlastn´ı vektor je vektor ~u kter´y vyhovuje rovnici (A − λ ∗ E) ∗ u = 0 Vlastn´ı cˇ ´ıslo ma´ svuj ˚ vlastn´ı vektor. Nebo jinak
Shrnut´ı Literatura
A ∗ ~u = λ ∗ ~u ~u 6= 0 je vlastn´ı vektor a λ je vlastn´ı cˇ ´ıslo. Vlastn´ı vektory se v ekologii pouˇz´ıvaj´ı jako charakteristika ˇ ´ struktury pro danou pˇrechodovou matici. stabiln´ı (vekov e)
Vlastn´ı cˇ ´ısla a vlastn´ı vektory Populaˇcn´ı ekologie Pavel Fibich Proˇc? Vektor a Matice Operace s maticemi Vlastnosti matic Shrnut´ı Literatura
A=
3 −1 2 0
3 − λ −1 = λ2 − 3 ∗ λ + 2 0 = |A − λ ∗ E| = 2 −λ Koˇreny rovnice jsou λ1 = 2, λ2 = 1, a vlastn´ı vektory 3 − λ1 −1 1 −1 ∗ u1 = ∗ u1 2 −λ1 2 −2 ˇreˇsen´ım je napˇr. vektor u1 = dopoˇc´ıtat vlastn´ı vektor pro λ2 .
2 2
. Podobneˇ je tˇreba
Power method Populaˇcn´ı ekologie Pavel Fibich Proˇc? Vektor a Matice Operace s maticemi Vlastnosti matic Shrnut´ı Literatura
Metoda poˇc´ıtaj´ıc´ı vlastn´ı cˇ ´ısla a vektory bez rozkladu (nepoˇc´ıta´ determinant). Tato metoda najde jen dominantn´ı ˇ s´ı) vlastn´ı cˇ ´ıslo a k nemu ˇ ´ z´ıc´ı vlastn´ı vektor. (nejvetˇ naleˇ V´ypoˇcet prob´ıha´ v iterac´ıch bk+1 =
Abk ||Abk ||
´ kroku se v´ysledek Zaˇc´ına´ se nenulov´ych b0 a v kaˇzdem normalizuje. Jde pouˇz´ıt i na velke´ matice, ale muˇ ˚ ze konvergovat pomalu. ˇ Pouˇz´ıva´ ji Suspa a Google.
Shrnut´ı Populaˇcn´ı ekologie Pavel Fibich Proˇc? Vektor a Matice Operace s maticemi Vlastnosti matic Shrnut´ı Literatura
´ a´ z ˇradk ´ u˚ a sloupcu˚ Matice se sklad ´ et ˇ zakladn´ ´ S maticemi jdou provad ı aritmeticke´ operace ˇ ı komutativn´ı zakon ´ ktere´ ale cˇ asto nesplnuj´ ´ kvuli nebo nejsou vubec definovany ˚ ˚ nekompatibiln´ı velikosti
´ softu S maticemi jde lehce pracovat v matematickem Vlastn´ı vektory a vlastn´ı cˇ ´ısla charakterizuj´ı matici (v ekologii oznaˇcuj´ı stabiln´ı strukturu).
Literatura a odkazy Populaˇcn´ı ekologie Pavel Fibich Proˇc? Vektor a Matice Operace s maticemi Vlastnosti matic Shrnut´ı Literatura
http: //www.kwon3d.com/theory/vectmat.html On-line v´ypoˇcet http://wims.unice.fr/wims/ en_tool˜linear˜matmult.html http: //www.facstaff.bucknell.edu/mastascu/ eLessonsHTML/Circuit/MatVecMultiply.htm
