Populaˇcn´ı ekologie Pavel Fibich Proˇc? ´ Uvodn´ ı pojmy
Populaˇcn´ı ekologie
´ ı Diferencialn´ rovnice
´ ı a diferenˇcn´ı rovnice - nalev ´ arna ´ Diferencialn´
Diferenˇcn´ı rovnice Pˇrevod
Pavel Fibich
Shrnut´ı Literatura
[email protected]
´ r´ı 2012 27. zaˇ
Obsah Populaˇcn´ı ekologie Pavel Fibich
1
Proˇc?
2
´ Uvodn´ ı pojmy
3
´ ı rovnice Diferencialn´
4
Diferenˇcn´ı rovnice
5
Pˇrevod
6
Shrnut´ı
7
Literatura
Proˇc? ´ Uvodn´ ı pojmy ´ ı Diferencialn´ rovnice Diferenˇcn´ı rovnice Pˇrevod Shrnut´ı Literatura
Proˇc? Populaˇcn´ı ekologie Pavel Fibich Proˇc? ´ Uvodn´ ı pojmy ´ ı Diferencialn´ rovnice Diferenˇcn´ı rovnice Pˇrevod Shrnut´ı Literatura
´ ıch (δR) a diferenˇcn´ıch rovnic´ıch Proˇc pov´ıdat o diferencialn´ (∆R) v kurzu Populaˇcn´ı ekologie? δR a ∆R jsou vhodne´ pro popisy vztahu˚ a v´yvoje v cˇ ase ˇ rovnic´ım ktere´ se v bude snaˇzsˇ ´ı porozumet ´ skach ´ objevuj´ı pˇrednaˇ ´ ve statnicov´ ´ ´ ach ´ urˇciteˇ to mate ych otazk
´ Uvodn´ ı pojmy Populaˇcn´ı ekologie Pavel Fibich Proˇc? ´ Uvodn´ ı pojmy ´ ı Diferencialn´ rovnice Diferenˇcn´ı rovnice Pˇrevod Shrnut´ı Literatura
ˇ Smernice k pˇr´ımky y = k ∗ x + q ´ a´ pomer ˇ zmeny ˇ veliˇciny y a pˇri zmen ˇ eˇ x udav ´ k urˇcuje zda je pˇr´ımka (y) klesaj´ıc´ı/rostouc´ı/nezavisl a´ na x ˇ funkce x(t) (jej´ıho Derivace funkce x(t) vyjadˇruje zmenu ˇ eˇ parametru t v´ysledku, obrazu) vzhledem ke zmen dx ´ znaˇc´ıme dt nebo cˇ asto jen zkracen eˇ x 0 (tj. kdyˇz v´ıme podle cˇ eho derivujeme) x(t+∆t)−x(t) x 0 (t) = dx dt = lim∆t→0 ∆t ˇ je smernice teˇcny v bodeˇ ´ napˇr. rychlost = derivace vzdalenosti podle cˇ asu
´ ı rovnice (δR) Diferencialn´ Populaˇcn´ı ekologie
δR je matematicka´ rovnice tvaru
Pavel Fibich Proˇc?
y 0 (t) = f (t, y )
´ Uvodn´ ı pojmy ´ ı Diferencialn´ rovnice Diferenˇcn´ı rovnice Pˇrevod Shrnut´ı Literatura
´ ´ v n´ızˇ neznamou (ˇreˇsen´ım) je funkce (y ). Derivace teto 0 funkce (y ) a pˇr´ıpadneˇ samotna´ funkce je take´ obsaˇzena v ´ δR povaˇzujeme kaˇzdou funkci ˇ ı (integral) rovnici. Za rˇesen´ y, ktera´ vyhovuje δR. Pˇr´ıklady: y 0 = r ∗ y , rˇeˇsen´ı y(t) = y0 ∗ er ∗t dy /dt = r ∗ y(1 − y/K ), ˇreˇsen´ı y (t) =
K ∗y0 yo +(K −yo )∗e−r ∗t
Uvedene´ δR maj´ı nekoneˇcneˇ mnoho ˇreˇsen´ı, proto cˇ asto ´ ıme pocˇ ate ´ cn´ ˇ ı podm´ınky y (t0 ) = y0 (napˇr. y (0) = 5). uvad´ ˇ ı. Prava´ strana δR rˇ´ıka´ jak se y men´
Typy a ˇreˇsen´ı DR Populaˇcn´ı ekologie Pavel Fibich Proˇc? ´ Uvodn´ ı pojmy ´ ı Diferencialn´ rovnice Diferenˇcn´ı rovnice Pˇrevod Shrnut´ı
ˇ ıkame, ´ ´ R´ zˇ e δR je 1., 2., . . . rˇadu pokud obsahuje 1., 2., ´ e´ funkce. . . . derivaci neznam Typy DR dle derivace obyˇcejne´ DR obsahuj´ı derivace hledane´ funkce jen ˇ e, ´ podle jedne´ promen ´ ı DR obsahuj´ı derivace hledane´ funkce podle parcialn´ ˇ ych v´ıce promen´ Typy DR dle prave´ strany
Literatura
ˇ ymi, homogenn´ı, . . . se separovan´ymi promen´ ˇ sen´ı Reˇ ´ cn´ı podm´ınky, obecne´ nebere v uvahu poˇcateˇ ´ ´ ı mus´ı splnovat ˇ ´ cn´ı podm´ınky parcialn´ poˇcasteˇ
Geometrick´y v´yznam y 0 = f (t, y ) Populaˇcn´ı ekologie Pavel Fibich Proˇc? ´ Uvodn´ ı pojmy ´ ı Diferencialn´ rovnice Diferenˇcn´ı rovnice Pˇrevod Shrnut´ı Literatura
´ bodeˇ (t ∗ , y ∗ ) v rovineˇ dane´ osami t a y je dana ´ V kaˇzdem ∗ ∗ hodnota f (t , y ) ´ a´ derivaci fce y (t), ktera´ je ˇreˇsen´ım DR a ktera´ udav ˇ plat´ı y(t ∗ ) = y ∗ v bodeˇ t ∗ a souˇcasneˇ je tedy smernic´ ı ∗ ˇ teˇcny v bode t ˇ ´ smer ˇ teˇcny smernic´ ı je jednoznaˇcneˇ zadan ´ bodeˇ (t ∗ , y ∗ ) sˇ ipku muˇ ˚ zeme tak nakreslit v kaˇzdem ∗ ∗ ´ ˇ (ˇcarku) se smernic´ ı f (t , y ) ´ ˇ V´ysledn´y obrazek je smerov e´ pole.
ˇ e´ pole y 0 = y ∗ r ∗ (1 − y /K ) Smerov Populaˇcn´ı ekologie Pavel Fibich Proˇc? ´ Uvodn´ ı pojmy ´ ı Diferencialn´ rovnice Diferenˇcn´ı rovnice Pˇrevod Shrnut´ı Literatura
ˇ s´ıme DR Reˇ Populaˇcn´ı ekologie Pavel Fibich Proˇc? ´ Uvodn´ ı pojmy ´ ı Diferencialn´ rovnice Diferenˇcn´ı rovnice Pˇrevod Shrnut´ı Literatura
Jak ˇreˇsit y 0 = f (t, y), y(t0 ) = y0 ? ´ ım; analyticky podle prave´ strany rovnice integrovan´ ˇ s´ı je to pracne´ nebo je-li rovnice trochu sloˇzitejˇ neˇreˇsitelne´ ´ numericky z´ıskame pˇribliˇzne´ ˇreˇsen´ı, metody Eulerova metoda Runge-Kutta Prediktor-Korektor, . . .
ˇ s´ıme DR analyticky- pˇr´ıklad Reˇ Populaˇcn´ı ekologie Pavel Fibich Proˇc? ´ Uvodn´ ı pojmy ´ ı Diferencialn´ rovnice Diferenˇcn´ı rovnice Pˇrevod
dy ´ Mame dt = r ∗ y, kde r = b − d. ˇ ˇ ych rdy ´ ım Reˇs´ıme separac´ı promen´ ∗y = dt a integrovan´ Z Z dy = dt r ∗y
1 ln y = t + C r ´ r´ıme si postupneˇ y vyjadˇ
Shrnut´ı Literatura
ln y = r ∗ (t + C) y = er ∗(t+C) = er ∗c ∗ er ∗t = K ∗ er ∗t ´ cn´ı podm´ınky y(t0 ) = y0 a t = 0 Nyn´ı muˇ ˚ zeme zvolit poˇcateˇ y0 = K ∗ e 0 = K ´ ˇreˇsen´ı DR ve tvaru y = y0 ∗ er ∗t . Dohromady mame
Analyticke´ ˇreˇsen´ı Populaˇcn´ı ekologie Pavel Fibich Proˇc? ´ Uvodn´ ı pojmy ´ ı Diferencialn´ rovnice Diferenˇcn´ı rovnice Pˇrevod Shrnut´ı Literatura
dy dt
= r ∗ y je y = y0 ∗ er ∗t
Eulerova metoda - numericke´ ˇreˇsen´ı Populaˇcn´ı ekologie Pavel Fibich Proˇc? ´ Uvodn´ ı pojmy ´ ı Diferencialn´ rovnice Diferenˇcn´ı rovnice Pˇrevod Shrnut´ı Literatura
´ ˇreˇsen´ı δR (coˇz uˇz v´ıme, zˇ e je funkce), ale Nehledame ˇ pouˇzijeme aproximaci tecnou. ´ ıch kroc´ıch ∆t. V bodeˇ (t0 , y0 ) ma´ Postupujeme v diskretn´ ´ ı kˇrivka teˇcnu o smernici ˇ integraln´ f (t0 , y0 ). Nahrad´ıme-li ´ ı kˇrivku teˇcnou, zmen´ ˇ ı se na teˇcneˇ veliˇcina t o integraln´ ˇ ı o ∆y = f (t0 , x0 ) ∗ ∆t. hodnotu ∆t, pak se hodnota y zmen´ ´ y krok ∆t je tato aproximace zpravidla vyhovuj´ıc´ı. Pro kratk´
Eulerova metoda - numericke´ ˇreˇsen´ı Populaˇcn´ı ekologie Pavel Fibich Proˇc? ´ Uvodn´ ı pojmy
´ ame ´ ˇreˇsen´ı Pro bod (t0 + ∆t) dostav y(t0 + ∆t) = y0 + f (t0 , y0 ) ∗ ∆t
´ ı Diferencialn´ rovnice Diferenˇcn´ı rovnice Pˇrevod Shrnut´ı Literatura
A obecneˇ yt+1 = yt + f (tn , yn ) ∗ ∆t ˇ ım menˇs´ı ∆t ´ pˇresna. ´ C´ Je to nejjednoduˇzsˇ ´ı metoda, je malo ˇ ´ ´ v´ıc t´ım je pˇresnejˇs´ı, ale to znamena zˇ e mus´ıme provest kroku. ˚
Eulerova metoda - pˇr´ıklad v excelu Populaˇcn´ı ekologie Pavel Fibich Proˇc? ´ Uvodn´ ı pojmy ´ ı Diferencialn´ rovnice Diferenˇcn´ı rovnice Pˇrevod
Pusˇtte si excel a zkus´ıme pouˇz´ıt Eulerovu metodu na ˇreˇsen´ı ´ cn´ıma podm´ınkama y 0 = f (t, y ) = r ∗ y ∗ (1 − y /K ) s poˇcateˇ t0 = 1, y0 = 1, r = 0.1, K = 10, ∆t = 1 t y ∆y t0 y0 ∆y0 = f (t0 , y0 ) ∗ ∆t t1 = t0 + ∆t y1 = y0 + ∆y0 ∆y1 = f (t1 , y1 ) ∗ ∆t t2 = t1 + ∆t y2 = y1 + ∆y1 ∆y2 = f (t2 , y2 ) ∗ ∆t ... ... ...
Shrnut´ı Literatura
Sheet1 t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
y 1 1.09 1.187119 1.291738385 1.404226343 1.524930461 1.654169378 1.792223552 1.939325255 2.095647956 2.261295348 2.436290316 2.620564243 2.813947098 3.016158825 3.226802567 3.445360275 3.671191228 3.903533901 4.141511522 4.384141497 4.63034868 4.878982259 5.128835806 5.37866982 5.627235911 5.873301662
yd 0.09 0.097119 0.104619385 0.112487958 0.120704118 0.129238917 0.138054174 0.147101703 0.156322701 0.165647392 0.174994968 0.184273927 0.193382855 0.202211727 0.210643742 0.218557709 0.225830953 0.232342672 0.237977621 0.242629975 0.246207183 0.248633579 0.249853547 0.249834013 0.248566092 0.246065751 0.242373442
y0 r k dt t0
1 0.1 10 1 1
12 10 8 6
y
4 2 0 3 1
7 5
9
11 15 19 23 27 31 35 39 43 47 51 55 59 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57
Ostatn´ı metody pro numericke´ ˇreˇsen´ı DR Populaˇcn´ı ekologie Pavel Fibich Proˇc? ´ Uvodn´ ı pojmy ´ ı Diferencialn´ rovnice Diferenˇcn´ı rovnice Pˇrevod Shrnut´ı Literatura
Dalˇs´ı metody (Runge-Kutta,Prediktor-Korektor) pro ´ ıch rovnic jsou mnohem numericke´ ˇreˇsen´ı diferencialn´ ˇ s´ı a jsou souˇcast´ ´ ı knihoven pro matematick´y soft. pˇresnejˇ Online http://math.rice.edu/˜dfield/dfpp.html Komerˇcn´ı - Matlab, Maple, Mathematica Volneˇ dostupne´ - Maxima, SciLab, R, Octave,. . .
Diferenˇcn´ı rovnice (∆R) Populaˇcn´ı ekologie Pavel Fibich Proˇc? ´ Uvodn´ ı pojmy ´ ı Diferencialn´ rovnice Diferenˇcn´ı rovnice Pˇrevod Shrnut´ı Literatura
´ ı podobou diferencialn´ ´ ı rovnic (δR). Zmeny ˇ ∆R jsou diskretn´ ´ any ´ skokoveˇ nikoliv spojiteˇ jako u δR (napˇr. jako v jsou chap ˇ Euleroveˇ metode). ∆R ma´ tvar yn+1 = f (yn ), ´ splnuje ˇ ˇ ım je kaˇzda´ posloupnost y = {yn }∞ a rˇesen´ n=1 , ktera pˇredchoz´ı rovnici. ´ zˇ e f (y ∗ ) = y ∗ . Pevny´ bod (PB) funkce f je cˇ ´ıslo y ∗ takove, Posloupnost PB y = {y ∗ }∞ sen´ım ∆R. n=1 je ˇreˇ Rozliˇsujeme 2 typy pevn´ych bodu: ˚ ˇ atraktivn´ı PB - body v jeho okol´ı se k nemu bl´ızˇ ´ı ´ repulzivn´ı PB - body v jeho okol´ı jsou odpuzovany
Diferenˇcn´ı rovnice - pˇr´ıklad Populaˇcn´ı ekologie Pavel Fibich Proˇc? ´ Uvodn´ ı pojmy ´ ı Diferencialn´ rovnice Diferenˇcn´ı rovnice Pˇrevod Shrnut´ı Literatura
´ Aritmeticka´ posloupnost je definovana rekurentn´ım vzorcem an+1 = an + ∆ Diference je zde an+1 − an = ∆. ˇ sen´ım diferenˇcn´ı rovnice je posloupnost Reˇ an = a0 + n ∗ ∆
ˇ s´ıme ∆R Reˇ Populaˇcn´ı ekologie Pavel Fibich Proˇc? ´ Uvodn´ ı pojmy ´ ı Diferencialn´ rovnice Diferenˇcn´ı rovnice Pˇrevod Shrnut´ı Literatura
Jednoduche´ graficke´ ˇreˇsen´ı (pavuˇcinov´y model). Zakresl´ıme y = f (x) a y = x.
Pˇrevod DR na ∆R Populaˇcn´ı ekologie Pavel Fibich Proˇc? ´ Uvodn´ ı pojmy ´ ı Diferencialn´ rovnice Diferenˇcn´ı rovnice Pˇrevod Shrnut´ı Literatura
ˇ ´ ı rovnici diskretn´ ´ ı, muˇ Pokud je zmena v diferenicaln´ ˚ zeme aproximovat DR pomoc´ı ∆R. yt+∆t − yt ∆t 0 To je napˇr´ıklad pro y = r ∗ y ∗ (1 − y/K ) a ∆t = 1 dy /dt ≈
yn+1 = yn + r ∗ yn ∗ (1 − yn /K )
Shrnut´ı Populaˇcn´ı ekologie Pavel Fibich Proˇc? ´ Uvodn´ ı pojmy ´ ı Diferencialn´ rovnice Diferenˇcn´ı rovnice Pˇrevod Shrnut´ı Literatura
´ ˇ (napˇr. v cˇ ase) a δR vyjadˇruj´ı spojitou zavislost, zmenu jejich ˇreˇsen´ım je funkce. ´ ım) nebo numericky δR jdou rˇeˇsit analyticky (integrovan´ (aproximac´ı). ´ e´ v Metody pro numericke´ rˇeˇsen´ı jsou lehce pouˇziteln ´ softu nebo cˇ asto i v excelu. matematickem ´ ı (skokovou) zavislost, ´ ∆R definuj´ı diskretn´ rˇeˇsen´ım je posloupnost.
Literatura a odkazy Populaˇcn´ı ekologie Pavel Fibich Proˇc? ´ Uvodn´ ı pojmy ´ ı Diferencialn´ rovnice Diferenˇcn´ı rovnice Pˇrevod
Maˇr´ık R., Dynamicke´ modely v biologii. Skripta MZLU, 2004. Kot M., Elements of Mathematical Ecology. Cambridge University press, 2001.
Shrnut´ı Literatura
http://math.rice.edu/˜dfield/dfpp.html
