2.7.6
Rovnice vyšších řádů
Předpoklady: 2507, 2705 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách. V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení stupně. Přehled rovnic: Řád rovnice
Tvar
Název
1
ax + b = 0
lineární
2
ax 2 + bx + c = 0
kvadratická
3 4
ax3 + bx 2 + cx + d = 0 ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 ax 5 + bx 4 + cx 3 + dx 2 + ex + f = 0 ….
kubická
5 a vyšší
způsob řešení (vzorec) b a ≠ 0, x = − a
−b ± b2 − 4ac 2a Cardanovy vzorce Cardanovy vzorce
a ≠ 0 , x1,2 =
neexistuje
Cardanovy vzorce jsou velice složité, proto je nebudeme pro rovnice třetího a vyšších řádů používat a zkusíme jiné metody.
1. Numerická metoda separace kořenů S počítačem jednoduché, s kalkulačkou snesitelné, s papírem smrt, ale jde u všech algebraických rovnic. Výsledek je pouze přibližný (ale snadno ho zjistíme na libovolný počet desetinných míst). Hledáme řešení rovnice x3 − 2 x + 5 = 0 . Hodnoty levé strany nám přiblíží funkce y = x3 − 2 x + 5 . Jak vypadá? • Pro velká záporná čísla jsou hodnoty záporné (kvůli zápornému výsledku třetí mocniny x). • Pro velká kladná čísla jsou hodnoty kladné (kvůli kladnému výsledku třetí mocniny x). ⇒ Graf funkce musí projít přes osu x. Hodnota x, kde k tomu dojde, je řešením rovnice. Hledáme toto místo dosazováním: Dosadíme 0: 03 − 2 ⋅ 0 + 5 = 5 ⇒ kořen je záporné číslo. Dosadíme –3:
Dosadíme –2: Dosadíme –2,5:
⇒ kořen je v intervalu ( −3; 0 ) . ( −3) − 2 ⋅ ( −3) + 5 = −16 3 ⇒ kořen je v intervalu ( −3; −2 ) . ( −2 ) − 2 ⋅ ( −2 ) + 5 = 1 3 ( −2,5 ) − 2 ⋅ ( −2,5 ) + 5 = −5, 625 ⇒ kořen je v intervalu ( −2,5; −2 ) . 3 ( −2,1) − 2 ⋅ ( −2,1) + 5 = −0, 061 ⇒ kořen je v intervalu ( −2,1; −2, 0 ) . 3
Dosadíme –2,1: A tak bychom dosazovali dál, dokud bychom nezjistili kořen s dostatečnou přesností.
Pedagogická poznámka: Při výkladu mám na tabuli nakreslenou soustavu souřadnic a postupně do ní dokresluji křížky s aktuálně spočítanou hodnotou. Tak je nejlépe
1
vidět, ve kterém intervalu se kořen rovnice nachází. Už od dosazování –3 diskutujeme se studenty, které číslo je nejvýhodnější vyzkoušet.
Př. 1:
Urči kořen rovnice x3 − 2 x + 5 = 0 s přesností na tři desetinná místa.
Pokračujeme v dosazování z předchozího postupu: Dosadíme –2,09
( −2,1; −2, 09 ) . Dosadíme –2,095
( −2, 095; −2,090 ) . Dosadíme –2,094
( −2, 095; −2,094 )
( −2, 09 )
− 2 ⋅ ( −2, 09 ) + 5 = 0, 0508
3
( −2, 095 )
3
( −2, 094 )
3
⇒ kořen je v intervalu
− 2 ⋅ ( −2, 095 ) + 5 = −0, 005 ⇒ kořen je v intervalu − 2 ⋅ ( −2, 094 ) + 5 = 0, 0061 ⇒ kořen je v intervalu
⇒ určili jsme kořen s přesností na tři desetinná čísla.
Pedagogická poznámka: Můžete vyhlásit soutěž o odhalení kořenu na minimální počet dosazení. Při kontrole pak dávám pozor nejen na pochopení základního algoritmu, ale i na logickou volbu čísel na dosazování. Správná hodnota na 8 desetinných míst je K = {−2, 094551482} . Graf funkce y = x3 − 2 x + 5 je na obrázku.
2
Najdi pomocí metody separace kořenů, alespoň jeden kořen rovnice 2 x 3 − 9 x 2 − 14 x + 60 = 0 s přesností na jedno desetinné místo.
Př. 2:
Rovnice má určitě alespoň jeden kořen (funkce y = 2 x 3 − 9 x 2 − 14 x + 60 je pro velká kladná x kladná pro velká záporná x záporná ⇒ musí projít přes nulu). Spočítáme hodnoty pro několik jednoduchých čísel: x=0 2 ⋅ 03 − 9 ⋅ 02 − 14 ⋅ 0 + 60 = 60 ⇒ v intervalu ( 0; ∞ ) není žádný kořen nebo jsou dva kořeny. x = −3 2 ⋅ ( −3) − 9 ⋅ ( −3 ) − 14 ⋅ ( −3) + 60 = −33 ⇒ v intervalu ( −3; 0 ) je alespoň jeden kořen. 3
2
x = −2 3 2 2 ⋅ ( −2 ) − 9 ⋅ ( −2 ) − 14 ⋅ ( −2 ) + 60 = 36 ⇒ v intervalu ( −3; −2 ) je alespoň jeden kořen. x = −2,5 2 ⋅ ( −2,5 ) − 9 ⋅ ( −2,5 ) − 14 ⋅ ( −2,5 ) + 60 = 7,5 ⇒ v intervalu ( −3; −2,5 ) je alespoň jeden kořen. x = −2, 6 3
2
2 ⋅ ( −2, 6 ) − 9 ⋅ ( −2, 6 ) − 14 ⋅ ( −2, 6 ) + 60 = 0, 408 ⇒ v intervalu ( −3; −2, 6 ) je alespoň jeden kořen. x = −2, 65 3
2
2 ⋅ ( −2, 65 ) − 9 ⋅ ( −2, 65 ) − 14 ⋅ ( −2, 65 ) + 60 = −3, 3.. ⇒ kořen je v intervalu ( −2, 65; −2, 6 ) 3
2
⇒ zaokrouhleno na jedno desetinné místo má hledaný kořen hodnotu x = −2, 6 . x=3
2 ⋅ ( 3) − 9 ⋅ ( 3) − 14 ⋅ ( 3) + 60 = −9 ⇒ rovnice má ještě dva kořeny: 3
• •
2
v intervalu ( 0;3) - přesná hodnota 2,5,
v intervalu ( 3;∞ ) - přibližná hodnota 4,6.
S přesností na deset desetinných míst můžeme napsat K = {−2, 605551275; 2,5; 4, 605551275} .
2. Metoda snížení stupně uhádnutím kořene (kořenů) U kvadratických rovnic: Když rozložíme rovnici na součin, najdeme kořeny: x 2 − 3 x − 4 = 0 ⇒ ( x − 4)( x + 1) = 0 ⇒ x1 = 4 , x2 = −1 . Opačně, když najdeme kořeny, můžeme trojčlen rozložit na součin. Máme rovnici: x3 − 6 x 2 + 11x − 6 = 0 . Zkusíme uhádnout dosazováním jeden z kořenů a využít ho na rozklad ⇒ druhá část rozkladu bude už pouze kvadratická a půjde řešit vzorcem. Hledáme kořen: zkoušíme čísla, která se snadno dosazují - 0,1,-1,2,-2 atd. (většinou nemá smysl zkoušet za 3 a –3). Snadno uhádneme, že jeden z kořenů je 1: 13 − 6 ⋅12 + 11 ⋅1 − 6 = 0 . Musí platit: x3 − 6 x 2 + 11x − 6 = ( x − x1 )( x 2 + px + q ) = ( x − 1)( x 2 + px + q ) . 3
Problém: Neznáme druhý člen v rozkladu. Jak určit čísla p a q ? a) vydělením Upravíme rovnost: x3 − 6 x 2 + 11x − 6 = ( x − 1)( x 2 + px + q) / : ( x − 1)
(x
3
− 6 x 2 + 11x − 6 ) : ( x − 1) = ( x 2 + px + q )
Vydělíme: ( x 3 − 6 x 2 + 11 − 6) : ( x − 1) = x 2 − 5 x + 6 −( x 3 − x 2 ) −5 x 2 + 11x − 6 − ( −5 x 2 + 5 x ) 6x − 6 −(6 x − 6) 0 (když nevyjde zbytek 0, pak jsme špatně dělili nebo hádali kořen) 3 2 ( x − 6 x + 11x − 6 ) = ( x − 1)( x 2 − 5 x + 6) = 0 ( x − 1)( x − 2)( x − 3) = 0 ⇒ K = {1, 2,3}
b) zpětným násobení x3 − 6 x 2 + 11x − 6 = 0
( x − 1)( x 2 + px + q) = 0 Jde o dvě shodné rovnice, když součin v druhé rovnici roznásobíme, musí se rovnat. ( x − 1)( x 2 + px + q ) = x 3 + px 2 + qx − x 2 − px − q = x3 + x 2 ( p − 1) + x(q − p ) − q = 0 Teď napíšeme rovnice pod sebe a srovnáme je: x3 − 6 x 2 + 11x − 6 = 0 . x3 + x 2 ( p − 1) + x(q − p) − q = 0 Aby byly rovnice stejné musí být před stejnými mocninami x stejná čísla: 11 = q − p −6 = p − 1 −6 = − q 11 = q − ( −5 ) −5 = p 6=q 6=q Máme 3 rovnice pro 2 neznámé ⇒ poslední rovnice je kontrola správnosti předchozích kroků, musí nám vyjít. ( x3 − 6 x2 + 11x − 6 ) = ( x − 1)( x 2 − 5 x + 6) = 0 ( x − 1)( x − 2)( x − 3) = 0 ⇒ K = {1, 2,3}
Pedagogická poznámka: Při řešení následujících příkladů náhodně střídám obě metody. Po studentech chci, aby si obě alespoň jednou samostatně vyzkoušeli a pak mohou používat tu, která jim více vyhovuje. Př. 3:
Vyřeš rovnici x3 + 3 x 2 + x − 2 = 0 .
Hádáme kořen: x1 = −2 . x3 + 3 x 2 + x − 2 = ( −2 ) + 3 ( −2 ) + ( −2 ) − 2 = −8 + 12 − 2 − 2 = 0 Hledáme rozklad pomocí zpětného násobeni: x3 + 3 x 2 + x − 2 = ( x + 2 ) ( x 2 + px + q ) = x3 + px 2 + qx + 2 x 2 + 2 px + 2q 3
2
4
x3 +
3x 2 +
1x − 2 = 0
x + ( p + 2 ) x + ( q + 2 p ) x + 2q = 0 3
2
1= q +2p
3= p+2
1= q +2 −1 = q
1= p
−2 = 2 q −1 = q
x3 + 3 x 2 + x − 2 = ( x + 2 ) ( x 2 + x − 1) . Určíme kořeny rovnice x 2 + x − 1 = 0 : 2 −b ± b 2 − 4ac −1 ± 1 − 4 ⋅1 ⋅ ( −1) −1 ± 5 x2,3 = = = 2a 2 ⋅1 2 −1 + 5 −1 − 5 x2 = x3 = . 2 2 −1 − 5 −1 + 5 K = −2; ; 2 2
Pedagogická poznámka: Při řešení následujících příkladů se snažím, aby se studenti samostatně snažili vyrovnat s problémy, které přinášejí (6 před x3 v příkladu 4 a x 4 v dalších příkladech). Jde o cvičení adaptace na částečně se měnící podmínky. Př. 4:
Vyřeš rovnici 6 x 3 − 7 x 2 − x + 2 = 0 .
Hádáme kořen: x1 = 1 . 6 x3 − 7 x 2 − x + 2 = 6 ⋅13 − 7 ⋅12 − 1 + 2 = 6 − 7 − 1 + 2 = 0 . Hledáme rozklad pomocí dělení mnohočlenů: ( 6 x3 − 7 x2 − x + 2 ) : ( x − 1) = 6 x2 − x − 2 − ( 6 x3 − 6 x 2 )
− x2 − x + 2
− ( − x2 + x )
− 2x + 2 − ( −2 x + 2 )
(6x
0
3
− 7 x 2 − x + 2 ) = ( x − 1) ( 6 x 2 − x − 2 ) .
Určíme kořeny rovnice 6 x 2 − x − 2 = 0 :
−b ± b 2 − 4ac 1 ± 1 − 4 ⋅ 6 ⋅ ( −2 ) 1 ± 49 1 ± 7 = = = 2a 12 12 12 1+ 7 2 1− 7 1 x2 = = x3 = =− 12 3 12 2 2 1 K = 1; ; − 3 2 x2,3 =
5
Poznámka: Pokud bychom zjišťovali rozklad zpětným násobením, musíme dát pozor: ( 6 x3 − 7 x 2 − x + 2 ) = ( x − 1) ( 6 x2 + px + q ) = 6 x3 + px2 + qx − 6 x 2 − px − q a dál jako předtím. Před x 2 v hledaném kvadratickém trojčlenu musí být 6, abychom po zpětném násobení získali 6 x3 .
Pedagogická poznámka: Někteří studenti sami (a to je třeba ocenit) zjistí, že 6 před x3 může způsobit problémy a rovnici vydělí šesti. Tím vyřeší problém se šestkou, ale v rovnici se objeví zlomky, které komplikují výpočty. Řešíme potom, který ze způsobů řešení je z hlediska snadnosti výpočtu nejvýhodnější. Př. 5:
Vyřeš rovnici x 4 − 6 x 3 + 8 x 2 + 6 x − 9 = 0 .
Hádáme kořen: x1 = 1 .
x 4 − 6 x 3 + 8 x 2 + 6 x − 9 = 14 − 6 ⋅13 + 8 ⋅12 + 6 ⋅1 − 9 = 1 − 6 + 8 + 6 − 9 = 0 Musíme uhádnout ještě jeden kořen, abychom stupeň rovnice snížili o dva. Hádáme kořen: x1 = −1 . x 4 − 6 x 3 + 8 x 2 + 6 x − 9 = ( −1) − 6 ⋅ ( −1) + 8 ⋅ ( −1) + 6 ⋅ ( −1) − 9 = 1 + 6 + 8 − 6 − 9 = 0 Hledáme rozklad pomocí zpětného násobeni: x 4 − 6 x 3 + 8 x 2 + 6 x − 9 = ( x + 1)( x − 1) ( x 2 + px + q ) = ( x 2 − 1)( x 2 + px + q ) 4
3
2
= x 4 + px3 + qx 2 − x 2 − px − q x 4 − 6 x3 +
8x2 + 6 x − 9 = 0
x 4 + px3 + ( q − 1) x 2 − px − q = 0 8 = q −1 −6 = p 9=q
6 = −p
−6 = p
x 4 − 6 x 3 + 8 x 2 + 6 x − 9 = ( x + 1)( x − 1) ( x 2 − 6 x + 9 ) = 0
−9 = − q 9=q
Určíme kořeny rovnice x 2 − 6 x + 9 = 0 : x 2 − 6 x + 9 = ( x − 3) ⇒ x3 = x4 = 3 2
K = {1; − 1;3}
Pedagogická poznámka: Příklad je možné řešit také ve dvou krocích vždy o jeden stupeň. V takovém případě budeme při roznásobování hledat kubický čtyřčlen x3 + px 2 + qx + r . Př. 6:
Vyřeš rovnici 2 x 4 − 4 x3 − 3 x 2 + 7 x − 2 = 0 .
Hádáme kořen: x1 = 1 . 2 x 4 − 4 x3 − 3 x 2 + 7 x − 2 = 2 ⋅14 − 4 ⋅13 − 3 ⋅12 + 7 ⋅1 − 2 = 2 − 4 − 3 + 7 − 2 = 0 Musíme uhádnout ještě jeden kořen, abychom stupeň rovnice snížili o dva. Hádáme kořen: x1 = 2 . 2 x 4 − 4 x 3 − 3 x 2 + 7 x − 2 = 2 ⋅ 24 − 4 ⋅ 23 − 3 ⋅ 22 + 7 ⋅ 2 − 2 = 32 − 32 − 12 + 14 − 2 = 0 Hledáme rozklad pomocí zpětného násobeni:
6
2 x 4 − 4 x 3 − 3 x 2 + 7 x − 2 = ( x − 1)( x − 2 ) ( 2 x 2 + px + q ) = ( x 2 − 3x + 2 )( 2 x 2 + px + q ) = 2 x 4 + px 3 + qx 2 − 6 x3 − 3 px 2 − 3qx + 4 x 2 + 2 px + 2q = = 2 x 4 + ( p − 6 ) x 3 + ( q − 3 p + 4 ) x 2 + ( −3q + 2 p ) x + 2q − 4 x3
2x4
− 3x2
+ 7x − 2 = 0
2 x 4 + ( p − 6 ) x 3 + ( q − 3 p + 4 ) x 2 + ( −3q + 2 p ) x + 2q = 0 7 = −3q + 2 p −3 = q − 3 p + 4 −4 = p − 6 7 = −3 ⋅ ( −1) + 2 ⋅ 2 −3 = q − 3 ⋅ 2 + 4 2= p −1 = q 7=7 4 3 2 2 2 x − 4 x − 3 x + 7 x − 2 = ( x − 1)( x − 2 ) ( 2 x + 2 x − 1)
−2 = 2 q −1 = q
Určíme kořeny rovnice 2 x 2 + 2 x − 1 = 0 : 2 −b ± b 2 − 4ac −2 ± 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ ( −1) −2 ± 12 −2 ± 2 3 −1 ± 3 x3,4 = = = = = 2a 2⋅2 4 4 2 −1 − 3 −1 + 3 x3 = x4 = 2 2 −1 − 3 −1 + 3 K = ; ;1; 2 2 2
Př. 7:
Vyřeš rovnici 12 x 4 − 25 x 3 − 5 x 2 + 25 x − 7 = 0 .
Hádáme kořen: x1 = 1 . 12 x 4 − 25 x3 − 5 x 2 + 25 x − 7 = 12 ⋅14 − 25 ⋅13 − 5 ⋅12 + 25 ⋅1 − 7 = 12 − 25 − 5 + 25 − 7 = 0 Hledáme rozklad pomocí dělení mnohočlenů: (12 x 4 − 25 x3 − 5 x2 + 25 x − 7 ) : ( x − 1) = 12 x3 − 13x2 − 18 x + 7
− (12 x 4 − 12 x 3 )
− 13 x3 − 5 x 2 + 25 x − 7
− ( −13 x3 + 13 x 2 )
− 18 x 2 + 25 x − 7
− ( −18 x 2 + 18 x )
7x − 7 − (7x − 7) 0
12 x − 25 x − 5 x + 25 x − 7 = ( x − 1) (12 x3 − 13 x 2 − 18 x + 7 ) ⇒ 4
3
2
Řešíme rovnici: 12 x 3 − 13 x 2 − 18 x + 7 = 0 . Hádáme kořen: x2 = −1 . 12 x 3 − 13 x 2 − 18 x + 7 = 12 ⋅ ( −1) − 13 ⋅ ( −1) − 18 ⋅ ( −1) + 7 = −12 − 13 + 18 + 7 = 0 Hledáme rozklad pomocí dělení mnohočlenů: 3
2
7
(12 x − (12 x
3
3
− 13 x 2 − 18 x + 7 ) : ( x + 1) = 12 x 2 − 25 x + 7
+ 12 x 2 )
− 25 x 2 − 18 x + 7
− ( −25 x 2 − 25 x )
7x + 7 − (7x + 7)
(12 x
0
3
− 13 x − 18 x + 7 = 0 ) = ( x + 1) (12 x 2 − 25 x + 7 ) 2
Určíme kořeny rovnice 12 x 2 − 25 x + 7 = 0 :
−b ± b 2 − 4ac 25 ± 625 − ( 4 ⋅12 ⋅ 7 ) 25 ± 289 25 ± 17 = = = 2a 24 24 24 25 + 17 3 25 − 17 1 x3 = =1 x4 = = 24 4 24 3 3 1 K = 1; − 1;1 ; 4 3 x3,4 =
Rovnice druhé a třetího řádu můžeme řešit také na některých kalkulačkách (jde o vyšší typy vědeckých kalkulátorů, které jsou zakázány u státních maturit). Následující postup platí pro kalkulačky CASIO (konkrétně typ fx-570MS) • Tlačítkem MODE přepínáme dokud se na display neobjeví mód pro řešení rovnic EQN. • Přepneme do tohoto módu odpovídajícím tlačítkem (v našem případě 1). • Nevolíme počet neznámých (otázka Unknowns?), ale přejdeme doprava na další nabídku tlačítkem REPLAY. • Zvolíme stupeň (otázka Degree?). • Na display se objeví dotaz na jednotlivé koeficienty soustavy (jako prvnía), zadání koeficientů ukončujeme tlačítkem =. • Koeficienty se zadávají z následujících tvarů rovnic: ax 2 + bx + c = 0 , ax3 + bx 2 + cx + d = 0 . • Po zadání posledního koeficientu zobrazí kalkulačka kořeny rovnice. 1 2 Například pro rovnici 6 x 3 − 7 x 2 − x + 2 = 0 získáme řešení K = 1; − ; . 2 3
Př. 8:
Vyřeš na kalkulačce rovnici x3 − 9 x 2 + 24 x − 20 = 0 . Zhodnoť výsledek.
Kalkulačka CASIO fx-570MS najde dva kořeny: 2 a 5. Počet kořenů je překvapivý. U rovnice třetího řádu bychom očekávali tři kořeny (příklady, které jsme počítali) nebo jeden kořen (po vydělení získáme kvadratickou rovnici, která nemá řešení). Zkusíme využít výsledek z kalkulátoru a vyřešit rovnici tak, jako v předchozích příkladech. Protože kořenem je číslo 2, můžeme levou stranu rozložit (například dělením):
8
(x −(x
3
3
− 9 x 2 + 24 x − 20 ) : ( x − 2 ) = x 2 − 7 x + 10
− 2 x2 )
− 7 x 2 + 24 x − 20
− ( −7 x 2 + 14 x )
10 x − 20 − (10 x − 20 ) 0 Získaný trojčlen můžeme rozložit z hlavy ( x 2 − 7 x + 10 ) = ( x − 2 )( x − 5 ) .
Celá rovnice: ( x3 − 9 x 2 + 24 x − 20 ) = ( x − 2 )( x − 2 )( x − 5 ) ⇒ číslo 2 je kořenem rovnice dvakrát (dvojnásobný kořen).
Př. 9:
Načrtni graf funkce x3 − 9 x 2 + 24 x − 20 = 0 . Využij výsledky předchozího příkladu.
Pro velká záporná čísla má funkce určitě záporné hodnoty. Prochází osou x v bodech [ 2;0] a
[5; 0] . Pro velká kladná čísla se hodnoty blíží k nekonečnu. Osou y prochází v bodě [ 0; − 20] Pokud máme všechny podmínky splnit, musí se graf v bodě [ 2;0] dotýkat osy x zespodu. y 4 2 1
2
3
4
x
-2 -4
Odhad si můžeme ověřit grafem z počítače.
9
Shrnutí: Rovnice třetího nebo vyššího řádu už neřešíme pomocí vzorců.
10
