Matematika II
7.1. Zaveden´ı diferenci´aln´ıch rovnic
Diferenci´aln´ı rovnice Pr˚ uvodce studiem Touto kapitolou se n´aplˇ n z´akladn´ıho kurzu bakal´aˇrsk´e matematiky uzav´ır´a. Je tomu tak mimo jin´e proto, ˇze jsou zde souhrnnˇe vyuˇz´ıv´any poznatky z´ıskan´e studiem pˇredchoz´ıch t´emat. Nem´enˇe v´yznamn´a je i skuteˇcnost, ˇze diferenci´aln´ı rovnice a jejich ˇreˇsen´ı tvoˇr´ı jeden z pil´ıˇr˚ u matematick´eho popisu dˇej˚ u, s nimiˇz se setk´av´ame ve vˇetˇsinˇe technick´ych disciplin. T´ema Diferenci´aln´ı rovnice je rozdˇeleno do tˇr´ı ˇc´ast´ı ˇc´ıslovan´ych v kontextu pˇredmˇetu Bakal´aˇrsk´a matematika II : ´ 7. Uvod do problematiky diferenci´aln´ıch rovnic 8. Metody ˇreˇsen´ı diferenci´aln´ıch rovnic 1. ˇr´adu 9. Line´arn´ı diferenci´aln´ı rovnice 2. ˇr´adu V jednotliv´ych podkapitol´ach jsou pˇredkl´ad´any z´akladn´ı teoretick´e poznatky, kter´e jsou doplnˇeny ˇreˇsen´ymi u ´ lohami a pˇr´ıklady k samostatn´emu procviˇcen´ı. V sekc´ıch 8.1, 8.4, 9.2 a 9.6 jsou zaˇrazeny kontroln´ı testy, kter´e by mˇely slouˇzit k pr˚ ubˇeˇzn´emu ovˇeˇren´ı stupnˇe zvl´adnut´ı pˇr´ısluˇsn´e problematiky.
Pˇredpokl´ adan´ e znalosti Diferenci´aln´ı a integr´aln´ı poˇcet funkc´ı jedn´e promˇenn´e, funkce dvou promˇenn´ych - v rozsahu odpov´ıdaj´ıc´ım pˇredmˇetu Bakal´ aˇrsk´ a matematika I a kapitol´am 5 a 6 Bakal´aˇrsk´e matematiky II.
Literatura Pro doplnˇen´ı a rozˇs´ıˇren´ı poznatk˚ u o diferenci´aln´ıch rovnic´ıch, jejich ˇreˇsen´ı a aplikac´ıch lze ˇcerpat z cel´e ˇrady zdroj˚ u. Na nˇekter´e z nich je odkazov´ano v tomto textu ([17], [18]), jako dalˇs´ı lze doporuˇcit napˇr´ıklad [2], [10], [14].
- 327 -
Matematika II
7.1. Zaveden´ı diferenci´aln´ıch rovnic
´ Uvod do problematiky diferenci´ aln´ıch rovnic
7.
C´ıle V u ´ loh´ach, na kter´e se zamˇeˇr´ıme, je u ´ kolem nal´ezt nezn´amou funkci jedn´e ´ promˇenn´e ˇreˇsen´ım rovnice, v n´ıˇz se vyskytuj´ı tak´e jej´ı derivace. Uvodem vysvˇetl´ıme z´akladn´ı pojmy pouˇz´ıvan´e v t´eto partii matematiky, pot´e se budeme vˇenovat klasifikaci z´akladn´ıch typ˚ u rovnic prvn´ıho ˇr´adu a metod´am jejich ˇreˇsen´ı. Z rovnic druh´eho ˇr´adu se zamˇeˇr´ıme pouze na rovnice s konstantn´ımi koeficienty a v z´avˇeru pˇripoj´ıme struˇcn´y u ´ vod do ˇreˇsen´ı jednoduch´ych soustav diferenci´aln´ıch rovnic.
7.1.
Zaveden´ı diferenci´ aln´ıch rovnic a typy jejich ˇreˇsen´ı
V´ yklad Jako motivaci pro n´asleduj´ıc´ı v´yklad uved’me dva pˇr´ıklady, kter´e reprezentuj´ı velmi ˇsirokou ˇsk´alu aplikac´ı, v nichˇz se m˚ uˇzeme s diferenci´aln´ımi rovnicemi setkat.
ˇ sen´ Reˇ e´ ulohy Pˇ r´ıklad 7.1.1. Libovoln´a kruˇznice v rovinˇe maj´ıc´ı stˇred na ose x, kter´a se dot´yk´a v poˇc´atku souˇradn´eho syst´emu osy y, m´a rovnici (x − C)2 + y 2 = C 2
neboli
x2 + y 2 = 2Cx .
Uk´aˇzeme jin´y zp˚ usob, jak´ym lze syst´em tˇechto kˇrivek vyj´adˇrit - viz obr. 7.1.1. ˇ sen´ı: Nejprve budeme rovnici vpravo derivovat jako implicitnˇe zadanou Reˇ funkci y(x). Po vydˇelen´ı dvˇema obdrˇz´ıme vztah x+yy ′ = C, do kter´eho dosad´ıme konstantu C vyj´adˇrenou z p˚ uvodn´ı rovnice: C=
x2 + y 2 . 2x
- 328 -
Matematika II
7.1. Zaveden´ı diferenci´aln´ıch rovnic
5
y
0
−5
x
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
Obr. 7.1.1. Svazek kruˇznic – k pˇr´ıkladu 7.1.1. pro hodnoty C = ±1, ±2, ±3, ±4. V´ysledek m˚ uˇzeme zapsat opˇet jako rovnici 2xyy ′ + x2 − y 2 = 0 ,
resp.
y′ =
y 2 − x2 , 2xy
kter´a pˇredstavuje hledan´y v´ysledek. Pˇ r´ıklad 7.1.2. Z fyziky je zn´amo, ˇze vlastn´ı kmity mechanick´e soustavy v odporuj´ıc´ım prostˇred´ı lze popsat diferenci´aln´ı rovnic´ı pro okamˇzitou v´ychylku y(t), kter´a je funkc´ı ˇcasu t: d2 y dy + 2a + ω 2y = 0 . dt2 dt Zde jsou a koeficient odporu prostˇred´ı a ω u ´ hlov´a frekvence kmit˚ u. M´ame dok´azat, ˇze v pˇr´ıpadˇe netlumen´ych kmit˚ u (a = 0) m´a ˇreˇsen´ı t´eto rovnice tvar y(t) = A. sin(ωt + ϕ) , kde A, ϕ jsou libovoln´e konstanty pˇredstavuj´ıc´ı amplitudu a f´azi kmitav´eho pohybu.
- 329 -
Matematika II
7.1. Zaveden´ı diferenci´aln´ıch rovnic
ˇ sen´ı: Snadno se postupn´ym v´ypoˇctem pˇresvˇedˇc´ıme, ˇze pro druhou derivaci Reˇ okamˇzit´e v´ychylky plat´ı y ′′(t) = −ω 2 A. sin(ωt + ϕ), takˇze nez´avisle na hodnot´ach konstant A, ϕ pro netlumen´e kmity plat´ı y ′′ + ω 2 y = 0, coˇz jsme mˇeli potvrdit.
V´ yklad V pˇredchoz´ıch ˇreˇsen´ych u ´ loh´ach jsem se sezn´amili s nov´ymi pojmy, kter´e pouˇz´ıv´ame pˇri popisu diferenci´aln´ıch rovnic a jejich ˇreˇsen´ı. N´asleduj´ıc´ı definice shrnuje nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı z nich.
Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F (y (n) , y (n−1) , · · · , y ′, y, x) = 0 se naz´yv´a diferenci´ aln´ı rovnice n-t´ eho ˇ r´ adu pro funkci y = y(x). Speci´alnˇe je F (y ′, y, x) = 0
nebo
y ′ = f (x, y)
diferenci´ aln´ı rovnice prvn´ıho ˇ r´ adu. ˇ ad diferenci´ R´ aln´ı rovnice je ˇr´ad nejvyˇsˇs´ı derivace hledan´e funkce y(x). ˇ sen´ım diferenci´ Reˇ aln´ı rovnice je kaˇzd´a funkce, kter´a rovnici vyhovuje (na zadan´e mnoˇzinˇe). Graf konkr´etn´ıho ˇreˇsen´ı rovnice se naz´yv´a integr´ aln´ı kˇ rivka. Pozn´ amka Rovnice zaveden´e pˇredchoz´ı definic´ı se ˇcasto oznaˇcuj´ı jako obyˇ cejn´ e na rozd´ıl od rovnic parci´ aln´ıch, v nichˇz hled´ ame funkci v´ıce promˇenn´ych. ˇ stina – na rozd´ıl od vˇetˇsiny jin´ych jazyk˚ Ceˇ u – m´ a oznaˇcen´ı ˇ reˇ sen´ı jak pro postup, tak pro jeho v´ysledek. Proto je tˇreba vˇenovat textu vˇetˇs´ı pozornost a pˇredch´ azet nedorozumˇen´ım. V´ysledn´a rovnice v pˇr´ıkladu 7.1.1. je prvn´ıho ˇr´ adu, pˇr´ıklad 7.1.2. je uk´ azkou rovnice 2. ˇr´adu, kterou m˚ uˇzeme ps´at tak´e ve tvaru y ′′ + 2ay ′ + ω 2 y = 0.
- 330 -
Matematika II
7.1. Zaveden´ı diferenci´aln´ıch rovnic
V´ yklad V n´asleduj´ıc´ım v´ykladu se budeme vˇenovat pouze rovnic´ım prvn´ıho ˇr´adu. Rovnici povaˇzujeme za vyˇreˇsenou, zn´ame-li vˇsechna jej´ı ˇreˇsen´ı. Ta rozdˇelujeme do nˇekolika typ˚ u: • obecn´ eˇ reˇ sen´ı rovnice 1. ˇr´adu pˇredstavuje mnoˇzinu funkc´ı tvaru φ(x, y, C) = 0
nebo
y = ϕ(x, C) ;
• partikul´ arn´ı ˇ reˇ sen´ı je konkr´etn´ı funkce z´ıskan´a z obecn´eho ˇreˇsen´ı volbou nebo v´ypoˇctem konstanty C; • v´ yjimeˇ cn´ eˇ reˇ sen´ı nelze z´ıskat z obecn´eho pro ˇz´adnou hodnotu C; existuje pouze u nˇekter´ych typ˚ u rovnic a v tomto textu se j´ım nebudeme aˇz na v´yjimky zab´yvat.
´ Ulohy k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1. Najdˇete diferenci´aln´ı rovnici pro zadan´y syst´em rovinn´ych kˇrivek: a) paraboly y = x2 − 2Cx,
b) logaritmick´e kˇrivky y = ln(Cx + 1).
c) kruˇznice x2 + y 2 = C 2 (derivujte jako implicitnˇe zadanou funkci). 2. Pˇresvˇedˇcte se, ˇze uveden´a funkce je ˇreˇsen´ım dan´e diferenci´aln´ı rovnice (na vhodn´em intervalu): a) x2 − xy + y 2 = C 2 , b) xy + ln y = 0, c) y = x sin(ln x + C),
(x − 2y)y ′ = 2x − y,
(1 + xy)y ′ = y 2 , √ xy ′ − y − x2 − y 2 = 0,
3. Ukaˇzte, ˇze posledn´ı rovnice z pˇredchoz´ıho pˇr´ıkladu m´a v´yjimeˇcn´e ˇreˇsen´ı y = x.
V´ ysledky ´ uloh k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1. a) xy ′ − x2 − y = 0,
b) xy ′ = 1 − e−y ,
c) x + yy ′ = 0.
2. Funkce y = x rovnici vyhovuje, avˇsak nen´ı souˇc´ast´ı obecn´eho ˇreˇsen´ı pro ˇz´adn´e C.
- 331 -
