4.3.1
Goniometrické rovnice I
Předpoklady: 4212, 4213, 4216, 4217 Pedagogická poznámka: Úspěšnost této hodiny zcela závisí na tom, jak rychle jsou studenti schopni hledat ke známým hodnotám goniometrických funkcí odpovídající úhly (obsah hodiny 4213). Doporučuji studenty upozornit a případně nemilosrdně trestat. Názvosloví: • Goniometrické rovnice: rovnice, ve kterých se neznámá objevuje uvnitř goniometrických funkcí. • Základní goniometrická rovnice: každá rovnice zapsaná ve tvaru g ( x ) = a , kde
g ( x ) je jedna z goniometrických funkcí (sin, cos, tg, cotg), a ∈ R , x ∈ R .
•
Základní řešení základní goniometrické rovnice: množina všech kořenů z intervalu 0; 2π ) . Důvod: Opakování úhlů po 2π (trochu prázdný pojem, protože většina rovnic není základních a jejich kořeny se pak nemusejí opakovat po 2π ).
Př. 1:
Napiš příklad libovolné základní goniometrické rovnice a najdi její základní řešení.
Například sin x = 1 . Základním řešením je x =
π 2
.
Pedagogická poznámka: Uvedená rovnice je suverénně nejčastějším návrhem. Často se vyskytují i rovnice jako sin x = 2 , které řešení nemají. Nejčastější chybou jsou pak π 2 zápisy typu sin = , které vůbec neobsahují neznámou. 4 2 Pořádně prozkoumáme řešení rovnice sin x = 1 . Určitě platí sin
π 2
= 1 , funkce sinus je
periodická s nejmenší periodou 2π ⇒ platí také: 5 9 13 • sin π = 1 , sin π = 1 , sin π = 1 , … 2 2 2 3 7 11 • sin − π = 1 , sin − π = 1 , sin − π = 1 , … 2 2 2 ⇒ rovnice má nekonečně mnoho řešení (a zřejmě to bude pro goniometrické rovnice typické) ⇒ jak je zapíšeme? π K = ∪ + k ⋅ 2π k∈Z 2 π znak ∪ znamená sjednocení všech množin, které získáme tím, že do předpisu + k ⋅ 2π 2 k∈Z dosazujeme za k celá čísla.
1
Př. 2:
1 Vyřeš rovnici cos x = − . 2
Hledáme všechna x ∈ R , pro něž platí cos x = −
1 ⇒ to už umíme (pomocí jednotkové 2
kružnice nebo grafu odpovídající funkce).
1 T
x2
x1 S
Z obrázku je vidět, že řešením jsou třetinové 2 4 úhly π a π . 3 3 2 4 Základní řešení : π ; π . 3 3 2 4 K = ∪ π + k ⋅ 2π ; π + k ⋅ 2π 3 k∈Z 3
R1
-1
T -1
Dodatek: Příklad je samozřejmě možné řešit i pomocí grafu funkce. Nechávám studenty, aby používali libovolnou metodu, která jim vyhovuje. 1 Z grafu je vidět, že řešením jsou 2 4 třetinové úhly π a π . 3 3 2 4 Základní řešení : π ; π . 3 3 2 4 K = ∪ π + k ⋅ 2π ; π + k ⋅ 2π 3 k∈Z 3
-1
Př. 3:
Vyřeš rovnice: a) sin x = −
a) sin x = −
3 2
b) cos x =
3 2
2
2 . 2
1
4 5 π; π . 3 3 5 4 K = ∪ π + k ⋅ 2π ; π + k ⋅ 2π 3 k∈Z 3
x1
Základní řešení :
1
S -1 x2
-1 b) cos x =
2 2
1
x2
S x1
1
-1
-1
Př. 4:
π 7
; π. 4 4 7 π K = ∪ + k ⋅ 2π ; π + k ⋅ 2π 4 k∈Z 4
Základní řešení :
Vyřeš rovnici sin x = 0 .
3
1
Základní řešení : 0; π .
x2
T -1
S
K = ∪ {0 + k ⋅ 2π ; π + k ⋅ 2π }
R1 T
k∈Z
-1
Př. 5:
Vypiš hodnoty úhlů, které jsou patří do množiny řešení z předchozího příkladu K = ∪ {0 + k ⋅ 2π ; π + k ⋅ 2π } pokud dosazujeme k ∈ {−2; −1;0;1; 2} . Pokus se najít k∈Z
úspornější způsob zápisu. Vypíšeme si hodnoty, pro každou skupinu zvlášť: • 0 + k ⋅ 2π ⇒ −4π , −2π , 0, 2π , 4π • π + k ⋅ 2π ⇒ −3π , −π , π , 3π , 5π Zakreslíme si spočtené hodnoty na číselnou osu:
Hodnoty od obou předpisů jsou na ose rovnoměrně rozmístěny a vzdáleny o π ⇒ úspornější zápis: K = ∪ {0 + k ⋅ π } k∈Z
Př. 6:
Vyřeš rovnici sin x = 0,1 .
0,1 není tabulková hodnota ⇒ úhel x můžeme určit pouze přibližně nebo jako hodnotu funkce arcsin . Přibližná hodnota stanovená pomocí kalkulačky je rovna arcsin ( 0,1) ≐ 5°44′
⇒ arcsin ( 0,1) je tedy číslo z intervalu 0; 2π ) a není tedy jedním základním řešením.
4
1
x2 arcsin(0,1) x1 1
S
-1
-1
x1 = arcsin ( 0,1)
x2 = π − arcsin ( 0,1)
K = ∪ {arcsin ( 0,1) + k ⋅ 2π ; π − arcsin ( 0,1) + k ⋅ 2π } k∈Z
Př. 7:
Vyřeš rovnici sin x = −0, 6 .
-0,6 není tabulková hodnota ⇒ úhel x můžeme určit pouze přibližně nebo jako hodnotu funkce arcsin . Přibližná hodnota stanovená pomocí kalkulačky je rovna arcsin ( −0, 6 ) ≐ −36°52′ ⇒ arcsin ( −0, 6 ) je tedy záporné číslo, které nepatří do intervalu 0; 2π ) a není tedy základním řešením.
1
x2 S
-1
x1 T
R 1 arcsin(-0,6)
T -1
Úhly x1 a x2 můžeme vyjádřit dvěma způsoby:
a) pomocí záporného úhlu arcsin ( −0, 6 )
x1 = 2π + arcsin ( −0, 6 )
x2 = π − arcsin ( −0, 6 )
K = ∪ {π − arcsin ( −0, 6 ) + k ⋅ 2π ; 2π + arcsin ( −0, 6 ) + k ⋅ 2π } k∈Z
b) pomocí kladného úhlu arcsin 0, 6 x1 = 2π − arcsin 0, 6 x2 = π + arcsin 0, 6
5
K = ∪ {π + arcsin 0, 6 + k ⋅ 2π ; 2π − arcsin 0, 6 + k ⋅ 2π } k∈Z
Př. 8:
Urči počet základních řešení rovnice sin x = a v závislosti na hodnotě parametru a∈R .
1
x x2 R 1
S
-1
x1 T
T -1
Z obrázku je zřejmé, že pro: • a ∈ ( −1;1) má rovnice v intervalu 0; 2π ) dvě řešení (červená čára). •
a = ±1 má rovnice v intervalu 0; 2π ) jedno řešení (hnědá čára).
•
a ∈ ( −∞; −1) ∪ (1; ∞ ) nemá rovnice v intervalu 0; 2π ) žádné řešení (zelená čára).
Stejný závěr dostaneme pomocí grafu:
1
-1
Př. 9:
(BONUS) Najdi řešení rovnice sin x = a v závislosti na hodnotě parametru a ∈ R .
Z předchozích příkladů je zřejmé, že pro: • a ∈ ( −∞; −1) ∪ (1; ∞ ) ⇒ K = ∅ . •
3 a = −1 ⇒ K = ∪ π + k ⋅ 2π . k∈Z 2
6
a ∈ ( −1; 0 ) ⇒ K = ∪ {π − arcsin a + k ⋅ 2π ; 2π + arcsin a + k ⋅ 2π } .
•
k∈Z
a = 0 ⇒ K = ∪ {kπ } .
•
k∈Z
a ∈ ( 0;1) ⇒ K = ∪ {arcsin a + k ⋅ 2π ; π − arcsin a + k ⋅ 2π } .
•
k∈Z
π a = 1 ⇒ K = ∪ + k ⋅ 2π . k∈Z 2
•
V dalších příkladech (i ve všech následujících hodinách) budeme pokládat vyřešení základní goniometrické rovnice za samozřejmost a nebudeme kreslit ani kružnice ani grafy.
Př. 10: Vyřeš rovnici tg x = − 3 . 2 Platí: tg π = − 3 , funkce y = tg x je periodická s nejmenší periodou π . 3 2 K = ∪ π + k ⋅π k∈Z 3
Př. 11: Vyřeš rovnici tg x = 5 . 5 není tabulková hodnota funkce y = tg x , funkce y = tg x je periodická s nejmenší periodou π. K = ∪ {arctg 5 + k ⋅ π } k∈Z
Shrnutí: Řešení základních goniometrických rovnic v podstatě odpovídá hledání úhlů ke známých hodnotám goniometrických funkcí.
7
