Co je to diferenci´ aln´ı rovnice
Rovnice se separovan´ ymi promˇ enn´ ymi
Diferenci´aln´ı rovnice I Modelov´an´ı aneb pˇredpov´ıd´an´ı budoucnosti
Aplikace
Co je to diferenci´ aln´ı rovnice
Rovnice se separovan´ ymi promˇ enn´ ymi
Aplikace
Co je to diferenci´aln´ı rovnice? Diferenci´aln´ı rovnice je rovnice, v kter´e roli nezn´am´e hraje funkce a kter´a z´aroveˇ n obsahuje derivace hledan´e funkce. Napˇr´ıklad rovnice y ′ = 2x
y′ = y
y ′′ + y = 0
jsou diferenci´aln´ı rovnice. ˇ sit diferenci´aln´ı rovnici znamen´a nal´ezt vˇsechny funkce, kter´e Reˇ jsou definovan´e na nˇejak´em intervalu I a vyhovuj´ı dan´e rovnici. Takovou funkci naz´yv´ame ˇreˇsen´ım diferenci´aln´ı rovnice. ˇadem diferenci´aln´ı rovnice rozum´ıme ˇr´ad nejvyˇsˇs´ı derivace, kter´a R´ se v rovnici vyskytuje.
Co je to diferenci´ aln´ı rovnice
Rovnice se separovan´ ymi promˇ enn´ ymi
Aplikace
Co je to diferenci´aln´ı rovnice? Definice Diferenci´aln´ı rovnice prvn´ıho ˇr´adu je rovnice tvaru y ′ = f (x, y ) , ˇ sen´ım t´eto rovnice na inkde f je funkce dvou promˇenn´ych. Reˇ tervalu I rozum´ıme kaˇzdou funkci y = y (x), kter´a rovnici na I splˇ nuje. Obecn´e ˇreˇsen´ı diferenci´aln´ı rovnice prvn´ıho ˇr´adu je funkce z´avisej´ıc´ı na jednom parametru C takov´a, ˇze speci´aln´ı volbou C lze z´ıskat kaˇzd´e ˇreˇsen´ı t´eto rovnice. Partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı je jedno konkr´etn´ı ˇreˇsen´ı z´ıskan´e z obecn´eho ˇreˇsen´ı volbou konstanty C . Graf libovoln´eho ˇreˇsen´ı se naz´yv´a integr´aln´ı kˇrivka.
Co je to diferenci´ aln´ı rovnice
Rovnice se separovan´ ymi promˇ enn´ ymi
Poˇc´ateˇcn´ı podm´ınka a poˇc´ateˇcn´ı u´loha Pr˚ ubˇeh nˇejak´eho skuteˇcn´eho jevu je pops´an jedin´ym ˇreˇsen´ım, chceme proto z mnoˇziny vˇsech ˇreˇsen´ı naj´ıt jedno, kter´e splˇ nuje nˇejakou podm´ınku. Definice ´ Necht’ x0 , y0 ∈ R. Uloha naj´ıt ˇreˇsen´ı rovnice y ′ = f (x, y ), kter´e splˇ nuje tzv. poˇc´ateˇcn´ı podm´ınku y (x0 ) = y0 , se naz´yv´a poˇc´ateˇcn´ı u ´loha. ˇ sen´ı poˇc´ateˇcn´ı u Reˇ ´lohy je partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı, jehoˇz graf proch´az´ı bodem [x0 , y0 ].
Aplikace
Co je to diferenci´ aln´ı rovnice
Rovnice se separovan´ ymi promˇ enn´ ymi
Jeden ilustraˇcn´ı pˇr´ıklad Pˇr´ıklad y′ = y,
y (0) = 1.
y
x
Obr´azek: Partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı pro r˚ uzn´e volby C > 0 a ˇreˇsen´ı poˇc´ateˇcn´ı u ´lohy pro x > 0
Aplikace
Co je to diferenci´ aln´ı rovnice
Rovnice se separovan´ ymi promˇ enn´ ymi
Aplikace
Geometrick´a interpretace Diferenci´aln´ı rovnice y ′ = f (x, y ) pˇriˇrazuje bodu [x, y ] v rovinˇe pr´avˇe jednu hodnotu y ′ (x), neboli hodnotu derivace hledan´e funkce. Tuto hodnotu m˚ uˇzeme ch´apat jako smˇernici pˇr´ımky proch´azej´ıc´ı bodem [x, y ]. Tuto pˇr´ımku obvykle zn´azorˇ nujeme jako kr´atkou u ´seˇckou, tzv. line´arn´ı element, se stˇredem v dan´em bodˇe [x, y ] a smˇernic´ı y ′ (x). Graf kaˇzd´eho ˇreˇsen´ı ϕ(x) dan´e diferenci´aln´ı rovnice m´a zˇrejmˇe tu vlastnost, ˇze teˇcna v kaˇzd´em jeho bodˇe [x, ϕ(x)] obsahuje pˇr´ısluˇsn´y line´arn´ı element. Mnoˇzinu vˇsech line´arn´ıch element˚ u diferenci´aln´ı rovnice naz´yv´ame smˇerov´e pole.
Co je to diferenci´ aln´ı rovnice
Rovnice se separovan´ ymi promˇ enn´ ymi
Geometrick´a interpretace y
2 1
1
2
x
Obr´azek: Smˇerov´e pole rovnice y ′ = x + y a ˇreˇsen´ı splˇ nuj´ıc´ı podm´ınku y (0) = 1
Aplikace
Co je to diferenci´ aln´ı rovnice
Rovnice se separovan´ ymi promˇ enn´ ymi
Aplikace
Geometrick´a interpretace y 100 99 98 97 96
1
2
3
4
5 ′
Obr´azek: Smˇerov´e pole rovnice y = poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky
6 1 2y
1−
7 1 100 y
8
9
10
a ˇreˇsen´ı pro r˚ uzn´e
Co je to diferenci´ aln´ı rovnice
Rovnice se separovan´ ymi promˇ enn´ ymi
Kresl´ıc´ı pˇr´ıklad
Pˇr´ıklad Pomoc´ı smˇerov´eho pole odhadnˇete tvar integr´aln´ıch kˇrivek pro rovnici x y′ = − y
Aplikace
Co je to diferenci´ aln´ı rovnice
Rovnice se separovan´ ymi promˇ enn´ ymi
Eulerova metoda V mnoha pˇr´ıpadech nejsme schopni danou diferenci´aln´ı rovnici pˇr´ımo vyˇreˇsit a mus´ıme se spokojit pouze s pˇribliˇzn´ym ˇreˇsen´ım, kter´eho m˚ uˇzeme dos´ahnout pomoc´ı tzv. numerick´ych metod. Nejjednoduˇsˇs´ı metodou numerick´eho ˇreˇsen´ı poˇc´ateˇcn´ı u ´lohy je Eulerova metoda. Z´akladn´ı myˇslenkou t´eto metody je aproximace ˇreˇsen´ı lomenou ˇcarou. Mˇejme poˇc´ateˇcn´ı u ´lohu y ′ = f (x, y ),
y (x0 ) = y0 .
Budeme hledat pˇribliˇzn´e hodnoty tohoto ˇreˇsen´ı v rovnomˇernˇe vzd´alen´ych bodech x0 ,
x1 = x0 + h,
kde h se naz´yv´a dˇel´ıc´ı krok.
x2 = x1 + h, . . . ,
Aplikace
Co je to diferenci´ aln´ı rovnice
Rovnice se separovan´ ymi promˇ enn´ ymi
Eulerova metoda Podobnˇe jako u smˇerov´eho pole si vˇsimneme, ˇze n´am rovnice y ′ = f (x, y ) ud´av´a hodnotu smˇernice teˇcny v bodˇe [x0 , y0 ], kter´a je y ′ = f (x0 , y0 ), coˇz n´am umoˇzn´ı odhadnout hodnotu ˇreˇsen´ı v bodˇe x1 . y
f (x0 , y0 ) b
(x1 , y1 ) hf (x0 , y0 )
h y0
x0
x1
x
Aplikace
Co je to diferenci´ aln´ı rovnice
Rovnice se separovan´ ymi promˇ enn´ ymi
Eulerova metoda M˚ uˇzeme tedy snadno odvodit, ˇze hodnota v bodˇe x1 je pˇribliˇznˇe rovna y1 = y0 + hf (x0 , y0 ). Celkem m˚ uˇzeme Eulerovu metodu shrnout n´asledovnˇe: xi+1 = xi + h yi+1 = yi + hf (xi , yi ),
i = 0, 1, 2, . . . , n.
Pˇr´ıklad Pomoc´ı Eulerova algoritmu urˇcete pˇribliˇzn´e ˇreˇsen´ı poˇc´ateˇcn´ı u ´lohy y′ = x + y, s krokem h = 0,1.
y (0) = 1
Aplikace
Co je to diferenci´ aln´ı rovnice
Rovnice se separovan´ ymi promˇ enn´ ymi
Eulerova metoda M´ame d´ano h = 0,1, x0 = 0, y0 = 1 a f (x, y ) = x + y . Podle pˇredchoz´ıho postupu tak dost´av´ame y1 = y0 + hf (x0 , y0 ) = 1 + 0, 1(0 + 1) = 1, 1, y2 = y1 + hf (x1 , y1 ) = 1, 1 + 0, 1(0, 1 + 1, 1) = 1, 22, y3 = y2 + hf (x2 , y2 ) = 1, 22 + 0, 1(0, 2 + 1, 22) = 1, 362. Pokraˇcov´an´ım v podobn´ych v´ypoˇctech dostaneme dalˇs´ı hodnoty: i 1 2 3 4 5
xi 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
yi 1,100000 1,220000 1,362000 1,528200 1,721020
i 6 7 8 9 10
xi 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
yi 1,943122 2,197434 2,487178 2,815895 3,187485
Pˇribliˇzn´e ˇreˇsen´ı poˇc´ateˇcn´ı u ´lohy na intervalu [0, 1] je lomen´a ˇc´ara spojuj´ıc´ı body [xi , yi ] z pˇredchoz´ı tabulky.
Aplikace
Co je to diferenci´ aln´ı rovnice
Rovnice se separovan´ ymi promˇ enn´ ymi
Aplikace
Rovnice se separovan´ymi promˇenn´ymi Definice Necht’ f a g jsou spojit´e funkce. Diferenci´aln´ı rovnice y ′ = f (x)g (y ),
(SP)
se naz´yv´a rovnice diferenci´aln´ı rovnice se separovan´ymi promˇenn´ymi.
Pouˇzijeme-li oznaˇcen´ı y ′ =
dy dx
dostaneme rovnici (SP) ve tvaru
dy = f (x)g (y ). dx
Co je to diferenci´ aln´ı rovnice
Rovnice se separovan´ ymi promˇ enn´ ymi
Aplikace
ˇ sen´ı rovnice se separovan´ymi promˇenn´ymi Reˇ Nejprve si vˇsimnˇeme, ˇze konstantn´ı funkce urˇcen´e rovnic´ı g (y ) = 0 jsou ˇreˇsen´ım rovnice (SP). Za pˇredpokladu g (y ) 6= 0 separujeme promˇenn´e dy = f (x) dx g (y ) a tuto rovnost zintegrujeme Z Z dy = f (x) dx. g (y ) Nezapomeˇ nme, ˇze primitivn´ı funkce se liˇs´ı o konstantu, ˇc´ımˇz dostaneme mnoˇzinu ˇreˇsen´ı rovnice (SP)! Poznamenejme, ˇze ne vˇzdy se n´am podaˇr´ı vyj´adˇrit explicitn´ı tvar ˇreˇsen´ı y = y (x).
Co je to diferenci´ aln´ı rovnice
Rovnice se separovan´ ymi promˇ enn´ ymi
Aplikace
Nˇekolik pˇr´ıklad˚ u
Pˇr´ıklad ˇ ste diferenci´aln´ı rovnice Reˇ y ′ = 2xy ,
y′ =
1 (4y − 1). x
Pˇr´ıklad ˇ ste poˇc´ateˇcn´ı u Reˇ ´lohu x+yy ′ = 0,
y (0) = 2,
(x+1) dy −xy dx = 0,
y (0) = 1.
Co je to diferenci´ aln´ı rovnice
Rovnice se separovan´ ymi promˇ enn´ ymi
Model radioaktivn´ıho rozpadu
Pˇr´ıklad Uvaˇzme radioaktivn´ı atomy v nˇejak´em izotopu chemick´eho prvku a oznaˇcme jejich poˇcet v z´avislosti na ˇcase N(t). Radioaktivita je pˇrirozen´y nebo umˇele navozen´y samovoln´y rozpad atomov´eho j´adra prov´azen´y vys´ıl´an´ım radioaktivn´ıho z´aˇren´ı. Ernest Rutherford uk´azal, ˇze rychlost rozpadu (tedy vlastnˇe zmˇena poˇctu atom˚ u) je pˇr´ımo u ´mˇern´a poˇctu atom˚ u pˇr´ısluˇsn´eho prvku. Napiˇste a vyˇreˇste diferenci´aln´ı rovnici popisuj´ıc´ı tento rozpad.
Aplikace
Co je to diferenci´ aln´ı rovnice
Rovnice se separovan´ ymi promˇ enn´ ymi
Newton˚ uv z´akon ochlazov´an´ı
Pˇr´ıklad Podle Newtonova z´akonu ochlazovan´ı je rychlost, jakou se tˇeleso ochlazuje vlivem okoln´ıho prostˇred´ı, pˇr´ımo u ´mˇern´a rozd´ılu teploty tˇelesa a okoln´ıho prostˇred´ı. Sestavte a vyˇreˇste rovnici popisuj´ıc´ı ochlazov´an´ı tˇelesa. Pomoc´ı t´eto rovnice vyˇreˇste n´asleduj´ıc´ı u ´lohu: Je-li teplota vzduchu T = 20◦ C a tˇeleso se za 20 minut ochladilo z poˇc´ateˇcn´ı teploty T0 = 100◦ C na 60◦ C , za jak dlouho se ochlad´ı na 30◦ C?
Aplikace
Co je to diferenci´ aln´ı rovnice
Rovnice se separovan´ ymi promˇ enn´ ymi
Aplikace
V´yvoj populac´ı
Pˇr´ıklad Na zaˇc´atku v´yvoje vˇetˇsina populac´ı roste pˇr´ımo u ´mˇernˇe poˇctu jedinc˚ u v populaci. Napiˇste diferenci´aln´ı rovnici popisuj´ıc´ı v´yvoj populace. V ˇcem je toto ˇreˇsen´ı nev´yhodn´e? V ˇcem je lepˇs´ı n´asleduj´ıc´ı model popisuj´ıc´ı v´yvoj velikosti populace P v ˇcase? P ′ P = kP 1 − K
Co je to diferenci´ aln´ı rovnice
Rovnice se separovan´ ymi promˇ enn´ ymi
Aplikace
Odbour´av´an´ı l´atek v krvi
Pˇr´ıklad Roztok gluk´ozy je nitroˇzilnˇe pod´av´an do krevn´ıho obˇehu konstantn´ı rychlost´ı r . Jak je gluk´oza pˇrid´av´ana, tak se mˇen´ı na dalˇs´ı l´atky a ub´yv´a v krvi rychlost´ı, kter´a je u ´mˇern´a jej´ı koncentraci. Najdˇete model popisuj´ıc´ı zmˇenu koncentrace C (t) gluk´ozy v krvi a najdˇete funkci C (t) v´ıte-li, ˇze C (0) = C0 . Jak se zmˇen´ı ˇreˇsen´ı u ´lohy, jestliˇze m´ısto gluk´ozy uvaˇzujeme odbour´av´an´ı alkoholu v krvi, kter´e prob´ıh´a podle stejn´eho principu, jen s t´ım rozd´ılem, ˇze alkohol jiˇz d´ale nepˇrij´ım´ame?
Co je to diferenci´ aln´ı rovnice
Rovnice se separovan´ ymi promˇ enn´ ymi
Aplikace
Dalˇs´ı moˇznosti
Dalˇs´ı (pomˇernˇe jednoduch´e) pˇr´ıklady vyuˇzit´ı rovnic (ne jiˇz nutnˇe se separovan´ymi promˇenn´ymi) je moˇzn´e naj´ıt:
http://goo.gl/mr6LhG
http://goo.gl/uadcOM
