2. Lineární algebra 2A. Matice a maticové operace. 2. Lineární algebra

2. Lineárn´ı algebra

2A. Matice a maticové operace

2. Line´ arn´ı algebra

Verze 5. ˇr´ıjna 2015

Teorie matic a determinant˚ u pˇredstavuje u ´vod do lineárn´ı algebry. Nejrozsáhlejˇs´ı aplikace maj´ı matice a determinanty pˇri ˇreˇsen´ı systém˚ u lineárn´ıch rovnic. Pojem determinantu zavedl jiˇz v roce 1693 nˇemeck´ y matematik W. G. Leibniz (1646–1716), ale jeho objev upadl v zapomenut´ı. V roce 1750 dospˇel znovu k pojmu determinantu ˇsv´ ycarsk´ y matematik G. Cramer (1704–1752). Vˇseobecnˇe se zaˇcalo v matematice pouˇz´ıvat determinant˚ u aˇz koncem 18. stolet´ı. Zaslouˇzili se o to zejména matematici A.-T. Vandermonde (1735–1796) a A. L. Cauchy (1789–1857). Souˇcasnˇe s teori´ı determinant˚ u se rozv´ıjela teorie matic, jej´ımˇz zakladatelem je anglick´ y matematik A. Cayley (1821–1895). Na dalˇs´ım rozvoji teorie matic se pod´ıleli zejména G. Frobenius (1849–1917), J. J. Sylvester (1814–1897) a K. Weierstrass (1815–1897).

´ operace 2A. Matice a maticove Zaˇcneme intuitivn´ı definic´ı matice: Definice 2.1. Bud’ X nepr´ azdn´ a mnoˇzina tzv. skal´ ar˚ u a m, n pˇrirozená ˇc´ısla. Matice A = (aij ) typu (m, n) nad mnoˇzinou X je schéma sloˇzené z m krát n prvk˚ u mnoˇziny X zapsan´ ych tabulky s m ˇrádky a n sloupci. Pˇresnˇeji matice A typu (m, n) nad X je zobrazen´ı mnoˇ ziny {1, . . . , m} × {1, . . . , n} do mnoˇ ziny X. Matici A typu (m, n) budeme zapisovat ve tvaru 

a11  .. A= . am1

... .. . ...

 a1n ..  , .  amn

nebo jen krátce A = (aij ), kde aij je prvek na i-tém ˇrádku a j-tém sloupci. Prvn´ı index i se pˇritom naz´ yv´ aˇ r´ adkov´ y index a druh´ y j sloupcov´ y index. Mnoˇzinu vˇsech matic typu (m, n) s prvky z mnoˇziny X budeme oznaˇcovat X m×n , napˇr´ıklad Rm×n . Mnoˇzina skal´ ar˚ u X obvykle b´ yv´ a mnoˇzina ˇc´ıselná. V dalˇs´ım budeme pˇredpokládat, ˇze X je mnoˇ zina ˇ c´ısel re´ aln´ ych R nebo komplexn´ıch C s operacemi sˇc´ıtán´ı a násoben´ı, které splˇ nuj´ı obvyklé asociativn´ı, komutativn´ı a distributivn´ı zákony. Nenulov´ ym prvkem lze i dˇelit. Prvky matic mohou b´ yt i komplikovanˇejˇs´ı objekty, napˇr´ıklad algebraické v´ yrazy, nebo funkce. ( ) 1 7 3 Pˇ r´ıklad: Matice A = je pˇr´ıkladem matice typu (2, 3) nad mnoˇzinou N. Plat´ı napˇr´ıklad, ˇze 2 6 4 a23 = 4, protoˇze prvek a23 leˇz´ı ve druhém ˇrádku a tˇret´ım sloupci matice A.

V´ yznaˇ cn´ e matice Uved’me nˇekolik význaˇcných matic, nˇekteré maj´ı své zavedené symboly: Definice 2.2. (a) Je-li m = n, matice se naz´ yv´ aˇ ctvercov´ a, v obecném pˇr´ıpadˇe m ̸= n obd´ eln´ıkov´ a. (b) Mnoˇzina vˇsech prvk˚ u aij s i = j se naz´ yvá hlavn´ı diagon´ ala matice; (c) Nulov´ a matice 0 je matice, jej´ıˇz vˇsechny prvky jsou nuly. (d) Jednotkov´ a matice E je ˇctvercov´ a matice, jej´ıˇz vˇsechny prvky na hlavn´ı digonále jsou rovny jedné, ostatn´ı prvky jsou nuly. (e) Matice A se naz´ yv´ a troj´ uheln´ıkov´ a, (pˇresnˇeji horn´ı troj´ uheln´ıkov´ a), pokud pod hlavn´ı diagonálou jsou samé nuly, pˇresnˇeji pro kaˇzdé dva indexy i > j plat´ı aij = 0. uheln´ıkov´ a matice má samé nuly nad hlavn´ı diagonálou, tj. aij = 0 pro i < j. Analogicky doln´ı troj´ (f) Dvˇe matice A, B se rovnaj´ı, pokud jsou stejného typu a maj´ı stejné prvky, tj. pro libovolné indexy i, j plat´ı aij = bij . Pak p´ıˇseme A = B. (g) Matice typu (1, n) má jenom jeden ˇr´ adek a naz´ yváme ji ˇ r´ adkov´ y vektor. Matice typu (m, 1) má jenom jeden sloupec a naz´ yv´ ame ji sloupcov´ y vektor.

´ FSI VUT v Brnˇe Studijn´ı text UM

1



Pˇ r´ıklad: Uved’me po ˇradˇe pˇr´ıklad matice jednotkové, nulové, horn´ı a doln´ı troj´ uheln´ıkové:         1 0 0 0 0 0 1 3 2 1 0 0  0 1 0   0 0 0   0 1 4   4 3 0  0 0 1 0 0 0 0 0 3 2 0 3

Operace s maticemi Na mnoˇzinˇe matic lze definovat ˇradu operac´ı. Operace transponován´ı má jenom jeden argument, je tedy operac´ı unárn´ı. Definice 2.3. (Transponov´ an´ı matice) Bud’ A = (aij ) matice typu (m, n). Matice k n´ı transponovan´ a je matice AT typu (n, m) s prvky (aji ), tj. AT = (aji ). Transponován´ı matici pˇreklop´ı“ pˇres hlavn´ı diagonálu, sloupce se mˇen´ı na ˇrádky a ˇrádky na sloupce. ” Pozn´ amky: Kaˇzdou matici lze transponovat, z matice typu (m, n) se stane matice typu (n, m). Sloupcov´ y vektor se transponov´ an´ım mˇen´ı na ˇrádkov´ y a obrácenˇe. Dalˇs´ım transponov´ an´ım dostaneme p˚ uvodn´ı matici: (AT )T = A. Pˇ r´ıklad: Transponov´ an´ım matice typu (2, 3) dostáváme matici typu (3, 2), napˇr´ıklad   ( ) 1 4 1 3 2 A= , AT =  3 0  . 4 0 5 2 5

Definice 2.4. (N´ asoben´ı matice ˇ c´ıslem) Matici A typu (m, n) lze vynásobit ˇc´ıslem c ∈ X. V´ ysledkem násobku cA je matice B = (bij ) stejného typu (m, n), s prvky bij = caij . Souˇcin je definován i v opaˇcném poˇrad´ı: (aij )c = (aij c). Pokud násoben´ı v X je komutativn´ı, plat´ı rovnost cA = Ac. Pozn´ amky: Matici cA se ˇr´ık´ a skal´ arn´ı n´ asobek matice A. Skalárem c pˇritom násob´ıme kaˇzd´ y prvek matice. V pˇr´ıpadˇe c = 1 se matice nezmˇen´ı, pro c = 0 dostáváme matici nulovou. (

Pˇ r´ıklad: Plat´ı 2·

1 3 0 1

2 4

4 3

)

( =

2·1 2·3 2·2 2·4 2·0 2·1 2·4 2·3

)

( =

2 0

6 2

4 8

8 6

) .

Definice 2.5. (Sˇ c´ıt´ an´ı a odˇ c´ıt´ an´ı matic) Matice A, B lze seˇc´ıst, jen kdyˇz jsou stejn´ eho typu (m, n). Souˇ ctem A + B matic A a B je matice C = (cij ) stejného typu (m, n), kde cij = aij + bij . Matice, pokud jsou stejného typu, lze také odeˇc´ıtat. Rozd´ıl D = A − B je definován jako souˇcet matic, kde druhou matici násob´ıme ˇc´ıslem −1: D = A − B := A + (−1) · B, tj. dij = aij − bij . Pozn´ amky: Pokud matice nemaj´ı stejn´ y typ, nelze je sˇc´ıtat ani odˇc´ıtat. Pˇri sˇc´ıtán´ı nebo odˇc´ıtán´ı matic sˇc´ıtáme nebo odˇc´ıtáme vˇsechny odpov´ıdaj´ıc´ı prvky matic. Matice stejného typu lze sˇc´ıtat, odˇc´ıtat a násobit skalárem stejnˇe jako ˇc´ısla (skal´ ary). Pˇ r´ıklad: Matici typu ( 1 0 ( 6 2

(2, 3) m˚ uˇzeme seˇc´ıst ) ( 3 2 5 2 + 1 4 2 5 ) ( 5 6 1 4 − 6 7 0 3

jen s matic´ı typu (2, 3), ) ( 4 1+5 3+2 = 3 0+2 1+5 ) ( 2 6−1 5−4 = 1 2−0 6−3

stejné pravidlo plat´ı i pro rozd´ıl: ) ( ) 2+4 6 5 6 = , 4+3 2 6 7 ) ( ) 6−2 5 1 4 = . 7−1 2 3 6

N´ asoben´ı matic Násoben´ı matic je komplikovanˇejˇs´ı neˇz souˇcet a násobek matic. Záleˇz´ı na poˇrad´ı matic a typy matic musej´ı na sebe navazovat. Maticové násoben´ı nám pozdˇeji umoˇzn´ı jednoduch´ y zápis i ˇreˇsen´ı soustav lineárn´ıch rovnic. ´ FSI VUT v Brnˇe Studijn´ı text UM

2



Definice 2.6. (N´ asoben´ı matic). Bud’ matice A = (aik ) typu (m, p) a matice B = (bkj ) typu (p, n). Potom souˇcinem A · B matic A a B je matice C = (cij ) typu (m, n) s prvky cij :=

p ∑

aik bkj = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + aip bpj .

(2.1)

k=1

Stejnˇe jako pˇri násoben´ı ˇc´ısel i pˇri násoben´ı matic se ˇcasto symbol · vynechává a p´ıˇse se jenom AB. Pozn´ amky: Dvˇe matice A, B lze násobit, jen kdyˇz typy matic na sebe navazuj´ı v následuj´ıc´ım smyslu: poˇcet sloupc˚ u prvn´ı matice se rovn´ a poˇctu ˇr´ adk˚ u druhé matice. D˚ uvodem je definice souˇcinu matic: pro prvek cij násob´ıme odpov´ıdaj´ıc´ı prvky i-tého ˇr´ adku (je jich p jako sloupc˚ u prvn´ı matice) a prvk˚ u j-tého sloupce (tˇech je jako poˇcet ˇrádk˚ u druhé matice) a tyto souˇciny seˇcteme. Proto poˇcet sloupc˚ u prvn´ı matice se mus´ı rovnat poˇctu ˇrádk˚ u druhé matice, symbolicky pro typy matic plat´ı: (m, p) · (p, n) = (m, n). Prvek leˇz´ıc´ı v i-tém ˇr´ adku a j-tém sloupci v´ ysledné matice tedy z´ıskáme tak, ˇze procház´ıme i-t´ y ˇrádek v matici A a jeho prvky postupnˇe násob´ıme prvky leˇz´ıc´ımi v j-tém sloupci matice B a souˇciny posˇc´ıtáme. Operace n´ asoben´ı matic nen´ı komutativn´ı, tj. poˇrad´ı matic nelze mˇenit. Po pˇrehozen´ı matic typu (m, p) a (p, n) nemus´ı matice na sebe navazovat pokud m ̸= n. A i kdyˇz m = n po zámˇenˇe poˇrad´ı dostáváme matici jiného typu (p, p) v pˇr´ıpadˇe, kdy m ̸= p. A ani kdyˇz m = p = n, tj. matice jsou ˇctvercové stejné velikosti, i v tomto pˇr´ıpadˇe jen v´ yjimeˇcnˇe dostaneme stejnou matici. Demonstrujme algoritmus násoben´ı matic podle vztahu (2.1) na pˇr´ıkladu: ( ( ) Pˇ r´ıklad: Urˇcete souˇcin A · B a souˇcin B · A, kde A = 12 01 31 a B= ˇ sen´ı: Reˇ

1 2 1

3 0 2

) .

 ( ) ( ) 1 3 1 0 3 1·1+0·2+3·1 1·3+0·0+3·2 4 9 A·B= · 2 0 = = . 2 1 1 2·1+1·2+1·1 2·3+1·0+1·2 5 8 1 2       ( ) 1 3 1·1+3·2 1·0+3·1 1·3+3·1 7 3 6 1 0 3 B·A= 2 0 · =  2 · 1 + 0 · 2 2 · 0 + 0 · 1 2 · 3 + 0 · 1  =  2 0 6 . 2 1 1 1 2 1·1+2·2 1·0+2·1 1·3+2·1 5 2 5 (

)



Pˇr´ıklad ukazuje, ˇze násoben´ı matic nen´ı komutativn´ı: A · B ̸= B · A. V´ ysledné matice maj´ı i odliˇsné typy. Vlastnosti operac´ı s maticemi shrneme v následuj´ıc´ı vˇetˇe: Vˇ eta 2.7. Vlastnosti maticov´ ych operac´ı. Pokud typy matic operaci umoˇzn ˇuj´ı, operace sˇc´ıtán´ı, násoben´ı i skalárn´ıho násobku matic splˇ nuje asociativn´ı zákon: (A + B) + C = A + (B + C),

(A · B) · C = A · (B · C),

(c · d) · A = c · (d · A).

Operace sˇc´ıtán´ı matic i skal´ arn´ı násobku jsou komutativn´ı (násoben´ı matic komutativn´ı nen´ı): A + B = B + A,

c · A = A · c,

[A · B ̸= B · A] .

Operace sˇc´ıtán´ı je s obˇema operacemi násoben´ı spojena distributivn´ımi zákony: A · (B + C) = A · B + A · C c · (A + B) = c · A + c · B

(A + B) · C = A · C + B · C (c + d) · A = c · A + d · A

Jednotková matice E m´ a podobnou vlastnost jako jedniˇcka a nulová matice se chová jako nula: A · E = E · A = A,

A · 0 = 0 · A = 0.

Pro transponov´ an´ı souˇctu a násobku matic plat´ı (A + B)T = AT + BT a (c · A)T = c · AT . Chován´ı souˇcinu vzhledem k transponov´ an´ı popisuje vztah (A · B)T = BT · AT .


3


2B. Hodnost matice

2B. Hodnost matice Velmi d˚ uleˇzitou charakteristikou matice je jej´ı hodnost. Je to poˇcet nezávisl´ ych ˇrádk˚ u nebo sloupc˚ u. Nejprve si ujasnˇeme pojem nezávislosti.

Nez´ avislost ˇ r´ adk˚ u ˇ adky matice Uvaˇzujme matici ˇc´ısel z mnoˇziny skal´ ar˚ u“ X, obvykle je to mnoˇzina reáln´ ych ˇc´ısel X = R. R´ ” jsou vektory stejné délky, které m˚ uˇzeme násobit ˇc´ıslem a sˇc´ıtat po sloˇzkách jako matice typu (1, n): Definice 2.8. Bud’ A = (aij ) matice typu (m, n) s prvky aij ∈ X. Matice A se sklád´ azmˇ r´ adk˚ u r1 , r2 , . . . , rm , délky n: ri = (ai1 , ai2 , . . . , ain ). Pro c1 , c2 , . . . , cm ∈ X line´ arn´ı kombinac´ı ˇrádk˚ u nazveme vektor c1 r1 + c2 r2 + · · · + cm rm := (c1 a11 + · · · + cm am1 ,

...,

c1 a1n + · · · + cm amn ),

Pokud ˇrádek r1 m˚ uˇzeme vyjádˇrit jako lineárn´ı kombinaci ˇrádk˚ u r2 , . . . , rm , tj. existuj´ı ˇc´ısla c2 , . . . , cn , ˇze r1 = c2 r2 + · · · + cm rm , ˇrekneme, ˇze ˇr´ adek r1 je z´ avisl´ y na ˇrádc´ıch r2 , . . . , rm . ˇ adek r1 = (−4, 4, 5, 1) je závisl´ Pˇ r´ıklad: R´ y na ˇrádc´ıch r2 = (1, 3, 2, 4), r3 = (2, 0, 1, 2), r4 = (0, −2, 4, −1) protoˇze pro r1 = 2r2 − 3r3 + r4 . Dále ˇrekneme, ˇze ˇr´ adky r1 , r2 , . . . , rm jsou line´ arnˇ e z´ avisl´ e, pokud alespoˇ n jeden z nich je závisl´ y na ostatn´ıch ˇrádc´ıch, tj. lze ho vyjádˇrit jako lineárn´ı kombinace ostatn´ıch ˇrádk˚ u. Pokud ˇzádn´ y z nich nen´ı závisl´ y na ostatn´ıch, ˇrekneme, ˇze ˇr´ adky jsou line´ arnˇ e nez´ avisl´ e. Matematicky to zapisujeme implikac´ı: ˇ adky r1 , r2 , . . . , rm matice A nazveme line´ Definice 2.9. R´ arnˇ e nez´ avisl´ e, pokud jediná jejich lineárn´ı kombinace, která dáv´ a nulov´ y vektor 0 = (0, . . . , 0), je kombinace nulová, tj. c1 r1 + c2 r2 + · · · + cm rm = 0

=⇒

c1 = c2 = · · · = cm = 0.

Pozn´ amky: Pˇresvˇedˇcme se, ˇze implikace definuje nezávislé ˇrádky. Kdyby alespoˇ n jedno z ci bylo nenulové, napˇr´ıklad c1 ̸= 0, potom z rovnosti c1 r1 + c2 r2 + · · · + cm rm = 0 plyne r1 = −

1 (c2 r2 + · · · + cm rm ), c1

tj. r1 je vyjádˇren jako lineárn´ı kombinace ˇr´ adk˚ u r2 , . . . , rm a je tedy na nich závisl´ y. Jestliˇze jsou vˇzdy vˇsechny ci = 0, potom ˇr´ adky ri jsou nezávislé. Jak zjist´ıme poˇcet nezávisl´ ych ˇr´ adk˚ u? Pokud v matici zjist´ıme ˇrádek, kter´ y je závisl´ y na ostatn´ıch, ˇrádek vyˇrad´ıme. Pokud ve zb´ yvaj´ıc´ıch ˇr´ adc´ıch najdeme dalˇs´ı závisl´ y, také odstran´ıme. Takto postupujeme, dokud nez˚ ustanou jenom ˇr´ adky lineárnˇe nezávislé, které urˇcuj´ı hodnost matice: Definice 2.10. Hodnost matice A je poˇcet jej´ıch lineárnˇe nezávisl´ ych ˇrádk˚ u. Znaˇc´ıme ji h(A). Pˇresnˇeji, h(A) = p pokud v matici existuje p nezávisl´ ych ˇrádk˚ u, pˇriˇcemˇz ostatn´ı ˇrádky jsou nich závislé. Hodnost nulové matice poloˇz´ıme h(0) = 0. Pozn´ amky: Nulov´ y ˇrádek je vˇzdy závisl´ y. Pokud jsou v matici dva stejné ˇrádky, jeden je závisl´ y na druhém. Hodnost matice je poˇcet nezávisl´ ych ˇr´ adk˚ u, proto hodnost matice A typu (m, n) je h(A) ≤ m. ˇ adky jednotkov´ R´ e matice jsou nez´ avisl´ e, proto jej´ı hodnost je rovna poˇctu jejich ˇrádk˚ u. Skuteˇcnˇe, ˇzádn´ y ˇrádek matice nelze vyjádˇrit pomoc´ı ostatn´ıch, protoˇze i-t´ y ˇrádek má na i-tém m´ıstˇe jedniˇcku a ostatn´ı ˇrádky tam maj´ı nuly a jedniˇcku nelze vyjádˇrit jako kombinaci nul. Hodnost matice se také dobˇre urˇcuje u schodovité matice: Definice 2.11. Matici A nazveme schodovitou nebo stupˇ novitou, pokud kaˇzd´ y dalˇs´ı nenulov´ y ˇrádek zaˇc´ıná v´ıce nulami“ neˇz ˇr´ adek pˇredchoz´ı. ”


4


2B. Hodnost matice 

Pˇ r´ıklad: Napˇr´ıklad matice typu (5, 7)

  A= 

2 0 0 0 0

0 1 0 0 0

1 2 0 0 0

3 0 0 0 0

5 6 2 0 0

0 2 4 0 0

2 1 7 5 0

    

je schodovitá, má postupnˇe schody“ ˇs´ıˇrky 1, 3 a 2, posledn´ı ˇrádek je nulov´ y. Má proto ˇctyˇri nezávislé ˇrádky, ” jej´ı hodnost je proto h(A) = 4. Jak urˇcit hodnost matice v praxi? Zjiˇst’ovat nezávislost ˇrádk˚ u nen´ı vˇec snadná. Dobˇre se to vˇsak zjiˇst’uje u schodovité matice. Kaˇzd´ y nenulov´ y ˇr´ adek je nezávisl´ y na ˇrádc´ıch následuj´ıc´ıch. Skuteˇcnˇe, je-li aij jeho prvn´ı nenulová sloˇzka v j-tém ˇr´ adku, vˇsechny dalˇs´ı ˇrádky maj´ı na j-tém m´ıstˇe nulu, a proto ˇzádnou jejich lineárn´ı kombinac´ı na j-tém m´ıstˇe aij nedostaneme. Hodnost schodovité matice je poˇ cet jej´ıch nenulov´ ych ˇ r´ adk˚ u. Pro zjiˇstˇen´ı hodnosti matice matici uprav´ıme“ na schodovit´ y tvar. Pouˇzijeme ovˇsem jenom ty u ´pravy, které ” nemˇen´ı poˇcet nezávisl´ ych ˇr´ adk˚ u a t´ım i hodnost matice: Vˇ eta 2.12. Následuj´ıc´ı tzv. element´ arn´ı ˇ r´ adkov´ eu ´ pravy nemˇen´ı hodnost matice A: (a) zmˇen´ıme poˇrad´ı ˇr´ adk˚ u, (b) ˇrádek vynásob´ıme nenulov´ ym ˇc´ıslem, (c) k ˇrádku pˇ riˇ cteme n´ asobek jin´ eho ˇ r´ adku nebo lineárn´ı kombinaci jin´ ych ˇrádk˚ u, (d) vypust´ıme nulov´ y ˇr´ adek. Pozn´ amky: Uved’me myˇslenku d˚ ukazu pˇredchoz´ı vˇety. Pˇri ˇzádné manipulaci s ˇrádky (pˇridán´ı nenulového ˇrádku nen´ı dovoleno) se nem˚ uˇze poˇcet nezávisl´ ych ˇr´ adk˚ u zv´ yˇsit, nevhodnou u ´pravou m˚ uˇzeme nezávisl´ y ˇrádek ztratit. Pokud po dané u ´pravˇe ˇr´ adk˚ u matice existuje u ´prava, kterou dostaneme matici p˚ uvodn´ı, hodnost matice se nezmˇenila. Projdˇeme jednotlivé u ´pravy: Pˇri zmˇenˇe poˇrad´ı ˇr´ adk˚ u nen´ı problém opaˇcnou zmˇenou poˇrad´ı dostat p˚ uvodn´ı matici. Pˇri násoben´ı ˇrádku nenulov´ ym ˇc´ıslem c staˇc´ı ˇr´ adek vynásobit ˇc´ıslem 1/c. Jestliˇze k ˇrádku pˇriˇcteme lineárn´ı kombinace jin´ ych ˇrádk˚ u, odeˇcten´ım stejné kombinace dostaneme p˚ uvodn´ı matici. Podstatné vˇsak je, ˇze pˇ riˇ c´ıtan´ a kombinace neobsahuje p˚ uvodn´ı ˇ r´ adek. A vypuˇstˇen´ı nulového ˇrádku nemˇen´ı poˇcet nezávisl´ ych ˇrádk˚ u. Vˇ eta 2.13. Kaˇzdou matici lze koneˇcn´ ym poˇctem elementárn´ıch ˇra´dkov´ ych u ´prav pˇrevést na schodovit´ y tvar. Hodnost matice ve schodovit´ em tvaru je rovna poˇ ctu jej´ıch nenulov´ ych ˇ r´ adk˚ u. Prvn´ı tvrzen´ı dokáˇzeme, kdyˇz naˇcrtneme postup, kter´ ym z libovolné matice A = (aij ) dostaneme matici schodovitou. Pokud v prvn´ım sloupci matice jsou nenulové prvky, vybereme prvn´ı ˇrádek, kter´ y má na prvn´ım m´ıstˇe nenulov´ y prvek ai1 ̸= 0, kterému se ˇr´ıká kl´ıˇ cov´ y. Ke kaˇzdému jinému k-tému ˇrádku, pro kter´ y je ak1 ̸= 0, pˇriˇcteme −ak1 /ai1 -n´ asobek i-tého ˇr´ adu. T´ımto z´ıskáme matici, která má v prvn´ım sloupci jedin´ y nenulov´ y prvek. Pˇr´ısluˇsn´ y ˇr´ adek pˇresuneme na prvn´ı m´ısto. T´ım máme zaruˇceno, ˇze druh´ y ˇrádek bude m´ıt na zaˇcátku v´ıce nul neˇz prvn´ı. V dalˇs´ıch kroc´ıch vˇzdy prvn´ı ˇrádky op´ıˇseme a budeme pracovat jenom s ˇrádky dalˇs´ımi. Dodejme, ˇze pokud by prvn´ı sloupec obsahoval samé nuly, pˇrejdeme hned ke sloupci druhému. Vybereme ˇr´ adek, kter´ y má na druhém m´ıstˇe nenulov´ y prvek a vhodn´ y násobek tohoto ˇrádku pˇriˇcteme ke vˇsem ˇrádk˚ um, které maj´ı na druhém m´ıstˇe nenulov´ y prvek, aby v druhém sloupci (kromˇe prvn´ıho ˇrádku) byl jenom jeden nenulov´ y prvek. T´ımto zp˚ usobem uprav´ıme postupnˇe vˇsechny sloupci, ˇc´ımˇz z´ıskáme schodovitou matici. Uveden´ y postup se naz´ yv´ a Gaussova eliminace. Pokud pˇri eliminaci nulujeme“ nejen prvky pod kl´ıˇcov´ ym ” prvkem, ale i nad kl´ıˇcov´ ym prvkem, mluv´ıme o Jordanovˇ e eliminaci. Pˇ r´ıklad 2.14. Urˇcete hodnost matice




 1 −1 2 A =  7 −6 5  . 0 1 2

5


2B. Hodnost matice

ˇ sen´ı: Matici pˇrevedeme element´ Reˇ arn´ımi ˇrádkov´ ymi u ´pravami do schodovitého tvaru.       1 −1 2 1 −1 2 1 −1 2  7 −6 5  / − 7 · r1 1 −9  1 −9  ∼  0 ∼  0 0 1 2 0 1 2 / − r2 0 0 11

Pˇ r´ıklad 2.15. Urˇcete hodnost matice



1 3 −5 6 3 B= 2 −2 −6 10

⇒

h(A) = 3.

 −1 8 . 2

ˇ sen´ı: Matici pˇrevedeme element´ Reˇ arn´ımi ˇrádkov´ ymi u ´pravami do    1 3 −5 −1 1  2 6 3 8  / − 2 · r1 ∼  0 −2 −6 10 2 / + 1 · r1 0

schodovitého tvaru.  3 −5 −1 0 13 10  ⇒ h(B) = 2. 0 0 0

Sloupcov´ eu ´ pravy Transponov´ an´ım matice se nezávislé ˇr´ adky mˇen´ı na nezávislé sloupce. Lze dokázat, ˇze hodnost matice se transponován´ım nemˇen´ı. V d˚ usledku toho hodnost matice je rovna i poˇctu nezávisl´ ych sloupc˚ u, které lze upravovat pomoc´ı sloupcov´ ych u ´prav analogick´ ych u ´pravám ˇrádkov´ ym. Vˇ eta 2.16. Bud’ A matice typu (m, n). Potom poˇcet nezávisl´ ych ˇrádk˚ u je roven poˇctu nezávisl´ ych sloupc˚ u a plat´ı h(AT ) = h(A). Hodnost matice A se rovn´ a poˇctu nezávisl´ ych sloupc˚ u. Hodnost matice je menˇs´ı nebo rovna minimu poˇctu ˇrádku a sloupc˚ u: h(A) ≤ min(m, n). arn´ı sloupcov´ eu ´ pravy nemˇen´ı hodnost matice: Následuj´ıc´ı tzv. element´ (a) zmˇen´ıme poˇrad´ı sloupc˚ u, (b) sloupec vynásob´ıme nenulov´ ym ˇc´ıslem, (c) ke sloupci pˇriˇcteme lineárn´ı kombinaci libovoln´ ych jin´ ych sloupc˚ u, (d) vypust´ıme nulov´ y sloupec.


6


2C. Soustavy lineárn´ıch rovnic

´ rn´ıch rovnic 2C. Soustavy linea Soustavy lineárn´ıch rovnic – zkrácenˇe SLR, se kter´ ymi jste se setkali jiˇz na stˇredn´ı ˇskole, maj´ı velk´ y v´ yznam v technické praxi, protoˇze ˇrada inˇzen´ yrsk´ ych situac´ı vede na ˇreˇsen´ı SLR. Soustavy lze v´ yhodnˇe zapsat a zkoumat pomoc´ı matic. Prvn´ı otázkou, kterou se budeme zab´ yvat, je zda daná soustava ˇreˇsen´ı má, pˇr´ıpadnˇe, kolik tˇechto ˇreˇsen´ı je. Ukáˇzeme si také praktickou metodu, kterou lze SLR ˇreˇsit. Definice 2.17. Necht’ aij , bi jsou reáln´ a ˇc´ısla. Pak soustava a11 x1 a21 x1 .. .

+ +

a12 x2 a22 x2

+ ··· + ···

+ +

a1n xn a2n xn .. .

= =

am1 x1

+ am2 x2

+ ···

+ amn xn

=

b1 b2 .. .

(2.2)

bm

se naz´ yvá soustava m line´ arn´ıch rovnic o n nezn´ am´ ych. ˇ ıslo aij se naz´ C´ yv´ a koeficient v i-té rovnici u j-té neznámé. ˇ ıslo bi se naz´ C´ yv´ a prav´ a strana nebo absolutn´ı ˇ clen i-té rovnice.

Maticov´ y z´ apis Uvedenou soustavu lze zapsat pomoc´ı matic a vektor˚ u. Pod´ıváme-li se na definici násoben´ı matic, zjist´ıme, ˇze prvn´ı rovnici lze zapsat jako maticov´ y souˇcin ˇrádkového vektoru (a11 , a12 , . . . , a1n ) a sloupcového vektoru (x1 , x2 , . . . , xn ), kter´ y se rovn´ a pravé stranˇe b1 . Stejn´ ym zp˚ usobem m˚ uˇzeme pˇrepsat i ostatn´ı rovnice. Protoˇze vˇsechny vektory jsou stejné délky, souˇciny maj´ı stejn´ y tvar a sloupcov´ y vektor je vˇzdy stejn´ y, soustavu rovnic (2.2) lze zapsat ve tvaru       a11 a12 · · · a1n x1 b1  a21 a22 · · · a2n   x2   b2        (2.3)  .. ..  ·  ..  =  ..  .  .     . . .  am1

am2

···

amn

xn

bm

Definice 2.18. Koeficienty aij uvedené soustavy rovnic tvoˇr´ı matici A typu (m, n) zvanou matici soustavy. Koeficienty bi tvoˇr´ı sloupcov´ y vektor prav´ ych stran b typu (m, 1) a neznámé xj sloupcov´ y vektor nezn´ am´ ych x typu (n, 1):       a11 a12 · · · a1n b1 x1  a21 a22 · · · a2n   b2   x2        A= . , b= . , x= . . (2.4)  . ..   ..  ..   ..  am1

am2

···

amn

bm

xn

em tvaru Soustavu lineárn´ıch rovnic (2.2) tak lze zapsat v maticov´ A · x = b. Rozˇ s´ıˇ renou matic´ı soustavy naz´ yv´ ame matici A rozˇs´ıˇrenou o vektor b oddˇelen´ y svislou ˇcárou:   a11 a12 · · · a1n b1  a21 a22 · · · a2n b2    A|b =  . .. ..   .. . .  am1

am2

···

amn

(2.5)

bm

Pozn´ amka. V pˇr´ıkladu maj´ı neznámé jména (x1 , x2 , . . . , xn ). V praxi vˇsak se neznámé mohou jmenovat“ ” jinak: napˇr´ıklad (x, y, z), nebo (s, t, u, v, w) nebo (a, b, c, d) a pod. Pozn´ amky: (Rovnost a rovnice) √ Vyjasnˇeme si jeˇstˇe tyto pojmy: ˇ Rovnost, napˇr´ıklad 2 + 3 = 5, 9 = 3, cos(π) = 1, je v´ yrok, kter´ y plat´ı nebo neplat´ı. Casto se zapisuje ve tvaru v´ yrokové formy s promˇenn´ ymi, pˇriˇcemˇz se kvantifikátory vynechávaj´ı, pˇredpokládá se, ˇze v´ yrok plat´ı pro ´ FSI VUT v Brnˇe Studijn´ı text UM

7



vˇsechny pˇr´ıpustné hodnoty: jsou to napˇr´ıklad tzv. vzorce jako a2 − b2 = (a − b)(a + b), kter´ y plat´ı pro kaˇzdé a, b ∈ R, nebo vzorec log(x y) = log(x) + log(y), kter´ y plat´ı pro kaˇzdá kladná reálná ˇc´ısla x, y ∈ R+ . Naproti tomu rovnice nen´ı v´ yrok. Napˇr´ıklad o kvadratické rovnici x2 +2 x−15 = 0 nemá smysl uvaˇzovat, zda je pravdivá nebo nepravdiv´ a. Je to v´ yrokov´ a forma a pˇredstavuje u ´ kol naj´ıt vˇ sechna ˇ reˇ sen´ı“, tj. hodnoty ” promˇenné x, pro které se z v´ yrokové formy stává pravdiv´ y v´ yrok. Tyto hodnoty se naz´ yvaj´ı ˇ reˇ sen´ı, v naˇsem pˇr´ıpadˇe jsou to dvˇe ˇc´ısla 3 a −5. Rovnice se tedy sklád´ a s v´ yrokové formy s promˇenn´ ymi a mnoˇzinou, ve které máme hledat ˇreˇsen´ı. U kvadratické rovnice a x2 + b x + c = 0 to mohou b´ yt reálná ˇc´ısla R nebo komplexn´ı ˇc´ısla C a naˇs´ım u ´kolem je vˇzdy naj´ıt mnoˇzinu vˇ sech ˇreˇsen´ı. Pouˇz´ıv´ ame pˇritom u ´pravy, pˇri kter´ ych se mnoˇzina ˇreˇsen´ı nemˇen´ı. Jeˇstˇe upˇresnˇeme pojem ˇreˇsen´ı soustavy lineárn´ıch rovnic: ˇ sen´ı soustavy line´ Definice 2.19. (Reˇ arn´ıch rovnic) Uvaˇzujme soustavu lineárn´ıch rovnic (2.2). Sloupcov´ y vektor x = (x1 , x2 , . . . , xn )T nazveme ˇ reˇ sen´ım soustavy (2.2), pokud po dosazen´ı hodnot x1 , x2 , . . . , xn do rovnic (2.2) za promˇenné x1 , x2 , . . . , xn dostaneme ve vˇsech rovnic´ıch (2.2) rovnosti. Mnoˇzina vˇsech ˇreˇsen´ı je proto podmnoˇzina mnoˇziny Rn×1 vˇsech sloupcov´ ych vektor˚ u x splˇ nuj´ıc´ıch (2.2).

ˇ sen´ı soustav line´ Reˇ arn´ıch rovnic Jak se ˇreˇs´ı SLR? Pomoc´ı ekvivalentn´ıch u ´ prav, pˇri kter´ ych se mnoˇzina ˇreˇsen´ı (sloupcov´ ych vektor˚ u x) nemˇen´ı, soustavu rovnic uprav´ıme na tvar s rovnicemi typu xi = b∗i , z kter´ ych lze zjistit hodnoty ˇreˇsen´ı. Které u ´pravy jsou ekvivalentn´ı? Rovnici lze násobit ˇc´ıslem a k rovnici lze pˇriˇc´ıst násobky jin´ ych rovnic. Pod´ıváme-li se na odpov´ıdaj´ıc´ı rozˇs´ıˇrenou soustavu rovnic, vid´ıme, ˇze (a) zmˇenˇe poˇrad´ı rovnic odpov´ıd´ a zmˇena poˇrad´ı ˇrádk˚ u rozˇs´ıˇrené matice, (b) násoben´ı rovnice nenulov´ ym ˇc´ıslem odpov´ıdá násoben´ı ˇrádku rozˇs´ıˇrené matice t´ımto ˇc´ıslem, (c) pˇriˇcten´ı násobku rovnice k jiné rovnici odpov´ıdá pˇriˇcten´ı stejného násobku odpov´ıdaj´ıc´ıho ˇrádku, (d) rovnici se sam´ ymi nulami lze vynechat stejnˇe jako vynechat nulov´ y ˇrádek. Ekvivalentn´ım u ´prav´ am soustavy rovnic tak odpov´ıdaj´ı elementárn´ı ˇrádkové u ´pravy matic, které jsme vyuˇzili pˇri zjiˇst’ován´ı hodnosti matic. V´ ysledky shrneme v následuj´ıc´ı vˇetˇe: Vˇ eta 2.20. Soustavu Ax = b tj. soustavu m lineárn´ıch rovnic o n neznám´ ych lze vzájemnˇe jednoznaˇcnˇe reprezentovat rozˇs´ıˇrenou matic´ı A|b. Ekvivalentn´ım u ´prav´ am SLR vzájemnˇe jednoznaˇcnˇe odpov´ıdaj´ı elementárn´ı ˇrádkové u ´pravy rozˇs´ıˇrené matice. Kaˇzdou SLR lze ekvivalentn´ımi u ´pravami pˇrevést na soustavu se schodovitou rozˇs´ıˇrenou matic´ı. Podle tvaru rozˇs´ıˇrené matice ve schodovitém tvaru m˚ uˇzeme uˇz zjistit zda soustava má ˇreˇsen´ı. Pokud posledn´ı nenulov´ y ˇrádek má tvar (0, 0, . . . , 0|b), kde b ̸= 0, ˇrádek reprezentuje rovnici 0 x1 + · · · + 0 xn = b, kterou nem˚ uˇze splnit ˇzádná n-tice ˇc´ısel (x1 , . . . , xn ). Z pˇredpokladu, ˇze soustava má ˇreˇsen´ı, jsme doˇsli ke sporu, soustava proto ˇreˇsen´ı nemá. Protoˇze rozˇs´ıˇren´ a matice má o jeden nenulov´ y ˇrádek v´ıc neˇz matice soustavy, hodnost soustavy h(A) je menˇs´ı, neˇz hodnost rozˇs´ıˇrené matice h(A|b). V opaˇcném pˇr´ıpadˇe, tj. kdyˇz h(A) = h(A|b), soustava ˇreˇsen´ı má. Pokud je nezávisl´ ych rovnic stejnˇe jako neznám´ ych, schodovit´ a matice A má vˇsechny schody“ ˇs´ıˇrky jedna. ” Posledn´ı (nenulov´ y) ˇr´ adek má tvar a∗nn xn = b∗n , odkud d´ıky a∗nn ̸= 0 m˚ uˇzeme spoˇc´ıtat xn = bn /a∗nn . ∗ ∗ ∗ V pˇredposledn´ı rovnici an−1,n−1 xn−1 + an−1,n xn = bn−1 pˇribyla jedna neznámá xn−1 . Protoˇze hodnotu xn uˇz známe a a∗n−1,n−1 ̸= 0, je jednoznaˇcnˇe urˇcena hodnota neznáme xn−1 . Protoˇze kaˇzd´ y schod“ schodovité matice má ˇs´ıˇrku 1, je vˇzdy dalˇs´ı neznámá urˇcena jednoznaˇcnˇe. V tomto ” pˇr´ıpadˇe tedy soustava má právˇe jedno ˇreˇsen´ı. V pˇr´ıpadˇe, ˇze schod“ matice A m´ a ˇs´ıˇrku 2, v rovnici pˇribyly dvˇe neznámé. Jedné neznámé m˚ uˇzeme pˇriˇradit ” ˇ sen´ı bude obsahovat parametr. Pro libovolnou hodnotu, tzv. parametr, druhá neznámá je urˇcena rovnic´ı. Reˇ libovolnou hodnotu parametru dostáv´ ame ˇreˇsen´ı. Proto soustava bude m´ıt nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı. Pˇri schodu“ ” ˇs´ıˇrky k ˇreˇsen´ı pˇribude k − 1 parametr˚ u. Pozn´ amky: Popsaná metoda se naz´ yv´ a Gaussova eliminace. Pokud pˇri u ´pravˇe nulujeme“ nejen prvky pod kl´ıˇcov´ ym ” prvkem, ale i nad n´ım, mluv´ıme o Jordanovˇ e eliminaci. ´ FSI VUT v Brnˇe Studijn´ı text UM

8



Dospˇeli jsme tak k velmi d˚ uleˇzité vˇetˇe, která vypov´ıdá o ˇreˇsen´ı soustavy lineárn´ıch rovnic pomoc´ı hodnosti matic soustavy, aniˇz bychom poˇc´ıtali jejich ˇreˇsen´ı: Vˇ eta 2.21. (Frobeniova) Uvaˇzujme soustavu m lineárn´ıch rovnic (2.2) o n neznám´ ych zapsanou v maticovém tvaru A · x = b s matic´ı soustavy A a rozˇs´ıˇrenou matic´ı A|b. Potom plat´ı (a) Jestliˇze h(A) < h(A|b), soustava nem´ aˇ reˇ sen´ı. (b) Jestliˇze h(A) = h(A|b) = n, soustava m´ a pr´ avˇ e jedno ˇ reˇ sen´ı. (c) Jestliˇze h(A) = h(A|b) < n, soustava m´ a pr´ avˇ e nekoneˇ cnˇ e mnoho ˇ reˇ sen´ı, které vˇsechny lze zapsat pomoc´ı n − h(A) parametr˚ u. Pozn´ amky: Frobeniova vˇeta je jednoduch´ ym a elegantn´ım kritériem ˇreˇsitelnosti soustav lineárn´ıch rovnic. V pˇr´ıpadˇe, kdy ˇreˇsen´ı je nekoneˇcnˇe mnoho, ˇcasto vˇsechna ˇreˇsen´ı lze zapsat r˚ uzn´ ymi zp˚ usoby. Uvˇedomme si, ˇze m˚ uˇze nastat právˇe jeden z tˇechto tˇr´ı pˇr´ıpad˚ u: (a) soustava nemá ˇz´ adné ˇreˇsen´ı (tzn. je neˇreˇsitelná), (b) soustava má jediné ˇreˇsen´ı, (c) soustava má nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı.

Pˇ r´ıklady Pˇri odvozován´ı pˇredchoz´ı vˇety jsme ukázali, jak lze danou rozˇs´ıˇrenou matici pˇrevést na matici schodovitou. Ilustrujme Gaussovu metodu ˇreˇsen´ı soustavy lineárn´ıch rovnic na nˇekolika typick´ ych pˇr´ıkladech: ˇ ste soustavu lineárn´ıch rovnic Pˇ r´ıklad 2.22. Reˇ x1 −2x1 x1

+ 2x2 − 3x2 + x2 x2

− x3 + 2x3 − x3

+ x4 − 3x4 + 2x4 + 2x4

= 1 = 2 = −1 = 3

ˇ sen´ı: Nap´ıˇseme rozˇs´ıˇrenou matici soustavy a pomoc´ı elementárn´ıch ˇrádkov´ Reˇ ych u ´prav ji pˇrevedeme na schodovit´ y tvar. Pokud je jeden ˇr´ adek násobkem druhého, jeden z nich vypust´ıme.       1 2 −1 1 1 1 1 1 2 −1 1 1 2 −1 1  −2 −3   0 1 2 −3 1 0 −1 0 −1 2  4  4    / + 2r1 ∼  0  . ∼  1  0 −1  0 0 1 −1 2 −1  / − r1 0 1 −2  / + r2 0 0 2  0 1 0 2 0 1 0 2 0 0 0 3 −1 3 3 / − r2 I kdyˇz posledn´ı matice jeˇstˇe nen´ı upravena na schodovit´ y tvar, vid´ıme, ˇze daná soustava nemá ˇreˇsen´ı, nebot’ ve tˇret´ım ˇrádku posledn´ı matice jsou vˇsechny koeficienty u neznám´ ych nulové, kdeˇzto absolutn´ı ˇclen nen´ı nula. Hodnost rozˇs´ıˇrené matice je 4, ale hodnost matice soustavy je jenom 3, protoˇze má jeden nulov´ y ˇrádek. ˇ ste soustavu lineárn´ıch rovnic Pˇ r´ıklad 2.23. Reˇ x1 x1 2x1 2x1 ˇ sen´ı: Reˇ 

1  1   2 2

−2 0 −5 −3

1 1 4 0

  −1  1   /− r1 ∼  0 /− 2r1  −4 /− 2r1

1 0 0 0

−2 2 −1 1

−

2x2

− −

5x2 3x2

1 0 2 −2

+ x3 + x3 + 4x3

= −1 = 1 = 0 = −4

  −1  2   ∼ 1  /+ 2 r2  2 −2 /− 12 r2

1 0 0 0

−2 2 0 0

1 0 2 −2

  −1 1 2  ∼ 0  3 0 −3

−2 1 0

1 0 2

 −1 1 . 3

Posledn´ı ˇra ´dek d´ av´ a rovnici 2x3 = 3, odkud x3 = 32 . Pˇredposledn´ı ˇra ´dek d´ av´ a pˇr´ımo x2 = 1. A koneˇcnˇe prvn´ı ˇra ´dek d´ av´ a ( ) a soustava m´ a tedy jediné ˇreˇsen´ı: − 21 , 1, 32 . rovnici x1 = −1 + 2x2 − x3 . Po dosazen´ı za x2 a x3 dostaneme x1 = − 21 . Dan´


9



ˇ ste soustavu lineárn´ıch rovnic Pˇ r´ıklad 2.24. Reˇ x1 x1 x1 ˇ sen´ı:  Reˇ

1  1 1

−2 −2 −2

1 1 −1 1 3 1

− 2x2 − 2x2 − 2x2

 2 −2  / − r1 6 / − r1

+ x3 − x3 + 3x3 

1 ∼  0 0

+ x4 + x4 + x4

−2 0 0

= 2 = −2 . = 6

1 1 −2 0 2 0

 ( 2 1  −4 ∼ 0 4

−2 1 1 0 1 0

2 2

) .

Dostali jsme soustavu 2 (nezávisl´ ych) rovnic pro 4 neznámé. Rozd´ıl 4 − 2 = 2 dává dvˇe volné neznámé, které budou parametry. Mohou to b´ yt kterékoliv dvˇe z neznám´ ych x1 , x2 , x4 , nikoliv vˇsak neznámá x3 . Zvol´ıme-li za volné neznámé napˇr. neznámé x2 , x4 , pak lehce vypoˇcteme, ˇze x3 = 2, x1 = 2x2 − x4 . Poloˇz´ıme-li x2 = t, x4 = s, pak daná soustava má nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı ve tvaru (2t − s, t, 2, s), kde t, s jsou parametry, tj. libovoln´ a ˇc´ısla. Pozn´ amky: Má-li soustava lineárn´ıch rovnic nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı, pak ze schodovitého tvaru rozˇs´ıˇrené matice plyne, kolik soustava bude m´ıt voln´ ych neznám´ ych, tj. pomoc´ı kolika parametr˚ u lze vyjádˇrit obecné ˇreˇsen´ı. Nen´ı vˇsak urˇceno, které neznámé máme zvolit za parametry. Pˇri schodu“ ˇs´ıˇrky 2 ze dvojice neznám´ ych m˚ uˇzeme ” zvolit kteroukoliv. Vyjádˇren´ı obecného ˇreˇsen´ı proto nen´ı jednoznaˇcné, záleˇz´ı na tom, které neznámé zvol´ıme za parametry.

Homogenn´ı soustavy line´ arn´ıch rovnic Speciáln´ım pˇr´ıpadem soustav lineárn´ıch rovnic jsou soustavy s nulami na pravé stranˇe: Definice 2.25. Necht’ aij jsou reáln´ a ˇc´ısla. Pak soustava a11 x1 a21 x1 .. .

+ +

am1 x1

+

a12 x2 a22 x2 .. .

+ ··· + ···

+ +

am2 x2

+ ···

+

a1n xn a2n xn .. .

= 0 = 0 .. .

amn xn

=

(2.6)

0

arn´ıch rovnic o n nezn´ am´ ych. se naz´ yvá homogenn´ı soustava m line´ Protoˇze rozˇs´ıˇren´ a matice soustavy (2.6), vznikla z matice A pˇridán´ım sloupce skládaj´ıc´ıho se ze sam´ ych nul, je zˇrejmˇe h(A) = h(A|b), a tedy podle Frobeniovy vˇety soustava má vˇzdy ˇreˇsen´ı: Vˇ eta 2.26. Kaˇzd´ a homogenn´ı soustava lineárn´ıch rovnic (2.6) má ˇreˇsen´ı. Je j´ım vˇzdy tzv. nulov´ e ˇ reˇ sen´ı x = 0 = (0, 0, . . . , 0)T . Homogenn´ı soustava lineárn´ıch rovnic (2.6) má bud’ jediné nulové ˇreˇsen´ı, nebo má nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı které lze zapsat s jedn´ım nebo v´ıce parametry. Poˇcet parametr˚ u ˇreˇsen´ı je n − h(A). ˇ ste homogenn´ı soustavu lineárn´ıch rovnic Pˇ r´ıklad 2.27. Reˇ x1 x1 ˇ sen´ı: Reˇ



1 2  0 1 1 3

1 1 −1 1 0 2

+ 2x2 x2 + 3x2

+ −

x3 x3

  1 2 0 0  ∼ 0 1 0 / − r1 0 1

+ + +

x4 x4 2x4

1 1 −1 1 −1 1

= = =

0 0 0.

 ( 0 1 2 0 ∼ 0 1 0

1 1 −1 1

0 0

) .

Poloˇz´ıme-li x3 = t, x4 = s, pak daná soustava má nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı ve tvaru (−3t + s, t − s, t, s), kde t, s jsou libovoln´ a ˇc´ısla. ´ FSI VUT v Brnˇe Studijn´ı text UM

10


2D. Determinanty

2D. Determinanty ˇ Ctvercov´ e matice s rovn´ ymi“ svisl´ ymi závorkami, jaké uˇz´ıváme pro absolutn´ı hodnotu, naz´ yváme determi” nanty. Je to vlastnˇe funkce, která ˇctvercové matici pˇriˇrad´ı skalár, tj. ˇc´ıslo. Determinanty byly dokonce pouˇz´ıvány ˇ ınˇe v 3. stolet´ı pˇr. n.l. k ˇreˇsen´ı soustav lineárn´ıch rovnic. Eliminac´ı lze zjistit, ˇze soustava dˇr´ıve neˇz matice v C´ dvou lineárn´ıch rovnic Ax = b, tj. a11 x1 + a12 x2 = b1 a21 x1 + a22 x2 = b2 má ˇreˇsen´ı, právˇe kdyˇz kombinace a11 a22 − a12 a21 ̸= 0. Tato kombinace se naz´ yvá determinant. I jednotlivá ˇ sen´ı soustavy tˇr´ı lineárn´ıch rovnic vede na ˇreˇsen´ı lze vyjádˇrit pomoc´ı determinant˚ u, jak si ukáˇzeme pozdˇeji. Reˇ podobné v´ yrazy – determinanty matic typu (3, 3). Této metodˇe ˇreˇsen´ı SLR se ˇr´ıká Cramerovo pravidlo. Obecná definice determinantu z matice libovolné velikosti n nen´ı jednoduchá. Neˇz k n´ı pˇristoup´ıme, ukáˇzeme si, jak se poˇc´ıtaj´ı determinanty stupnˇe n ≤ 3. Definice 2.28. Determinant ze ˇctvercové matice A zapisujeme |A| nebo det(A) nebo prostˇe det A. Determinanty stupnˇe 1, 2, 3 poˇc´ıt´ ame podle vzorc˚ u: n=1 Determinant matice A = (a11 ) je ˇc´ıslo det(A) = a11 , n=2 Determinant poˇc´ıt´ ame pomoc´ı tzv. kˇ r´ıˇ zov´ eho pravidla a a12 det(A) = 11 = a11 a22 − a12 a21 , a21 a22

(2.7)

n=3 Determinant poˇc´ıt´ ame pomoc´ı, tzv. Sarrusova pravidla a11 det(A) = a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 a33

= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − (a13 a22 a31 + a12 a21 a33 + a11 a23 a32 ) .

(2.8)

Pozn´ amky: V pˇr´ıpadˇe n = 2 je determinant podle kˇr´ıˇzového pravidla roven souˇcinu prvk˚ u na hlavn´ı diagonále ↘“ ” m´ınus souˇcin prvk˚ u na vedlejˇs´ı diagonále ↙“. ” V pˇr´ıpadˇe n = 3 determinant poˇc´ıt´ ame podle pravidla pojmenovaného podle francouzského matematika P. F. Sarruse (1798–1858). Vzorec (2.8) se dobˇre pamatuje, kdyˇz pod matici s ˇrádky r1 , r2 , r3 pˇrip´ıˇseme jeˇstˇe dva ˇrádky r1 , r2 a seˇcteme souˇciny prvk˚ u na tˇrech hlavn´ıch ˇcerven´ ych ↘ diagonálách a odeˇcteme souˇcet souˇcin˚ u na tˇrech vedlejˇs´ıch modr´ ych ↙ diagon´ al´ ach. Stejn´ y v´ ysledek dostaneme, kdyˇz matici se sloupci se sloupci s1 , s2 , s3 rozˇs´ıˇr´ıme o dva sloupce s1 , s2 a sˇc´ıt´ ame souˇciny prvk˚ u na diagonálách jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıpadˇe: a11 a21 a31 a11 a21

a12 a22 a32 a12 a22

a13 a23 a33 a13 a23

a11 a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 a33

a11 a21 a31

a12 a22 a32

Pozor, v pˇr´ıpadˇe n = 4 nelze uˇ z´ıt pravidlo analogické“ Sarrusovu pravidlu, dostali bychom chybn´ y ” v´ ysledek, protoˇze diagonály“ hlavn´ı i vedlejˇs´ı jsou jenom ˇctyˇri a sˇc´ıtanc˚ u je 24. ”

Matematick´ a definice determinantu stupnˇ en

Definice je zaloˇzena na pojmu permutace, tj. poˇrad´ı“ ˇc´ısel {1, 2, . . . , n}: ”

Definice 2.29. Bud’ n pˇrirozené ˇc´ıslo. Permutac´ı (poˇrad´ım) p = (p1 , p2 , . . . , pn ) nazveme uspoˇrádanou n-tici ˇc´ısel pi ∈ Nn := {1, 2, . . . , n}, pˇriˇcemˇz kaˇzdé ˇc´ıslo se v permutaci p vyskytuje právˇe jednou. Je to tedy bijekce Nn na sebe. Mnoˇzinu vˇsech permutac´ı n ˇc´ısel oznaˇc´ıme symbolem P (n): P (n) := {p : Nn → Nn : p – bijekce}. Z kombinatoriky je známo, ˇze mnoˇzina P (n) má |P (n)| = n! := n · (n − 1) · · · 2 · 1 prvk˚ u.


11


2D. Determinanty

Inverz´ı v permutaci p = (p1 , p2 , . . . , pn ) rozum´ıme dvojici (pi , pj ), pro kterou plat´ı i < j a pi > pj . Pokud je poˇcet inverz´ı v permutaci sud´ y, mluv´ıme o sud´ e permutaci, pokud je lich´ y, mluv´ıme o lich´ e permutaci. Znam´ enko permutace je sgn(p) := (−1)poˇcet inverz´ı, tj. sgn(p) = 1 pro sudé permutace a sgn(p) := −1 pro permutace liché. Pˇ r´ıklad: Permutace (1, 2, 3, 4, 5) je permutace sudá a sgn(p) = 1, protoˇze nemá ˇzádnou inverzi. Naproti tomu permutace (1, 4, 3, 2, 5) je lich´ a, protoˇze obsahuje 3 inverze: (4, 3), (4, 2) a (3, 2) a sgn(p) = −1. Pozn´ amka: M´ısto poˇctu inverz´ı m˚ uˇzeme k zjiˇstˇen´ı znaménka permutace pouˇz´ıt poˇcet v´ ymˇen dvou ˇclen˚ u permutace, pomoc´ı které vedou k identické permutaci. Napˇr´ıklad u permutace (1, 4, 3, 2, 5) staˇc´ı jediná v´ ymˇena 4 s 2, která vede na identickou permutaci (1, 2, 3, 4, 5), permutace je proto lichá. Nyn´ı m˚ uˇzeme pˇristoupit k definici determinantu libovolného stupnˇe: Definice 2.30. Determinant ˇctvercové matice A = (aij ) typu (n, n) je roven souˇctu ∑ det(A) = sgn(p) · a1p1 · a2p2 · · · · anpn .

(2.9)

p∈P (n)

Pozn´ amky: Definice dáv´ a stejné hodnoty pro n ≤ 3. Skuteˇcnˇe, pro n = 2 jsou jen dvˇe permutace: sudá (1, 2) a lichá (2, 1), proto ∑ a a12 det(A) = 11 sgn(p)a1p1 a2p2 = sgn(1, 2)a11 a22 + sgn(2, 1)a12 a21 = a11 a22 − a12 a21 . = a21 a22 p∈P (2)

V pˇr´ıpadˇe n = 3 v P (3) máme 6 permutac´ı: tˇri sudé (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2) a tˇri liché (1, 3, 2), (2, 1, 3), (3, 2, 1) a tud´ıˇz 6 sˇc´ıtanc˚ u. Snadno lze ovˇeˇrit, ˇze dostáváme vzorec (2.8) . V pˇr´ıpadˇe n = 4 uˇz máme souˇcet 4! = 24 souˇcin˚ u 4 ˇc´ısel. Pomoc´ı rozvoje podle zvoleného ˇrádku (nebo sloupce) determinant stupnˇe n lze pˇrevést na souˇcet n subdeterminant˚ u stupnˇe n − 1. Definice 2.31. Bud’ A ˇctvercov´ a matice stupnˇe n. Matici, která vznikne z matice A vynech´ an´ım i-tého ˇrádku a j-tého sloupce oznaˇc´ıme Aij . Determinant det(Aij ) nazveme subdeterminant nebo téˇz minor determinantu p˚ uvodn´ı matice A.

Vˇ eta 2.32. Laplaceova vˇ eta. Determinant stupnˇe n ≥ 2 lze rozepsat pomoc´ı rozvoje podle i-t´ eho ˇ r´ adku na souˇcet n subdeterminant˚ u stupnˇe n − 1: det(A) =

n ∑

(−1)i+k aik det(Aik ) = (−1)i+1 ai1 det(Ai1 ) + · · · + (−1)i+n ain det(Ain ),

(2.10)

k=1

nebo pomoc´ı rozvoje podle j-t´ eho sloupce opˇet na souˇcet n subdeterminant˚ u stupnˇe n − 1 det(A) =

n ∑

(−1)k+j akj det(Akj ) = (−1)1+j a1j det(A1j ) + · · · + (−1)n+j anj det(Anj ).

(2.11)

k=1

Idea d˚ ukazu. Odvod´ıme vzorec pro rozvoj podle 1-tého sloupce. Mnoˇzinu vˇsech permutac´ı P (n) rozdˇel´ıme na n skupin permutac´ı. Prvn´ı skupinu tvoˇr´ı permutace s p1 = 1. Vynecháme-li z tˇechto permutac´ı prvn´ı sloˇzku p1 = 1, dostaneme mnoˇzinu (n−1)! permutac´ı na mnoˇzinˇe (2, 3, . . . , n), kterou oznaˇcme P1′ (n−1). V souˇctu (2.9) kaˇzd´ y sˇc´ıtanec této skupiny zaˇc´ın´ a ˇc´ıslem a11 . Znaménko permutace (1, p2 , p3 , . . . , pn ) je stejné jako znaménko permutace (p2 , p3 , . . . , pn ). Souˇcet ˇclen˚ u s tˇemito permutacemi je ∑ ∑ sgn(p) · a1p1 · a2p2 · · · · anpn = a11 sgn(p′ ) · a2p2 · · · · anpn = a11 det(A11 ). p∈P (n),p1 =1

p′ ∈P1′ (n−1)

Dostáváme tak prvn´ı ˇclen rozvoje (2.11) s j = 1 a k = 1. Druh´ y ˇclen s j = 1 a k = 2 dostaneme z druhé skupiny permutac´ı s p1 = 2, zmˇen´ı se vˇsak znaménko permutace: sgn(2, p2 , p3 , . . . , pn ) = −sgn(p2 , p3 , . . . , pn ). Takto postupujeme dále s p1 = 3, . . . , n. ´ FSI VUT v Brnˇe Studijn´ı text UM

12


2D. Determinanty

Pˇ r´ıklad 2.33. Rozviˇ nte následuj´ıc´ı determinant (a) podle druhého ˇrádku a (b) podle tˇret´ıho sloupce: 1 3 2 6 2 1 5 3 5 2 3 1 . 4 1 0 4 ˇ sen´ı: (a) Rozvoj podle druhého ˇr´ Reˇ adku dává:

1 2 5 4

3 1 2 1

2 5 3 0

(b) Rozvoj podle tˇret´ıho 1 3 2 1 5 2 4 1

6 3 1 4

3 = −2 · 2 1

2 3 0

6 1 4

1 +1· 5 4

2 3 0

6 1 4

1 −5· 5 4

3 2 1

sloupce je v´ yhodn´ y, protoˇze d´ıky a43 = 0 posledn´ı ˇclen 2 6 2 1 3 1 3 6 1 3 5 3 5 2 1 − 5 5 2 1 + 3 2 1 = 2 3 1 4 1 4 4 1 4 4 1 0 4

6 1 4

1 +3· 5 4

3 2 1

2 3 0

6 3 1

.

.

vypadne: 6 3 4

1 − 0 2 5

3 1 2

Pozn´ amky: Pomoc´ı rozvoje determinantu stupnˇe 4 jsme dostali souˇcet ˇctyˇr determinant˚ u tˇret´ıho stupnˇe, které lze poˇc´ıtat pomoc´ı Sarrusova pravidla, nebo kaˇzd´ y znovu rozvést na souˇcet 3 determinant˚ u druhého stupnˇe. Ovˇsem, v obou pˇr´ıpadech po dopoˇc´ıt´ an´ı determinant vyjde stejnˇe. T´ımto zp˚ usobem lze postupnˇe kaˇzd´ y determinant stupnˇe n pˇrevést na souˇcet n subdeterminant˚ u stupnˇe n−1, kaˇzd´ y z nich na n − 1 (tj. celkem n(n − 1)) subdeterminant˚ u stupnˇe n − 2, aˇz se dostaneme na n · (n − 1) · · · 4 subdeterminant˚ u tˇret´ıho stupnˇe, které lze poˇc´ıtat pomoc´ı Sarrusova pravidla jako souˇcet 6 ˇclen˚ u. Celkem tedy sˇc´ıtáme n! ˇclen˚ u, tj. stejnˇe jako pˇri poˇc´ıt´ an´ı podle definice: poˇcet permutac´ı P (n) je n! . Pro velké n, napˇr´ıklad n = 50 je 50! = 3 · 1064 . Kdybychom umˇeli seˇc´ıst bilion sˇc´ıtanc˚ u za vteˇrinu, trvalo by 36 to ˇrádovˇe 10 let, tj. mnohem déle neˇz existuje vesm´ır.

Hodnota determinantu pˇ ri ˇ r´ adkov´ ych u ´ prav´ ach Pro v´ ypoˇcet velk´ ych“ determinant˚ u nutno vyuˇz´ıt jinou metodu. Studujme proto, jak se mˇen´ı determinant ” pˇri elementárn´ıch ˇr´ adkov´ ych u ´prav´ ach matice. Vˇ eta 2.34. Pˇri element´ arn´ıch ˇr´ adkov´ ych u ´pravách matice A hodnota determinantu det(A) (a) zmˇen´ı znaménko pˇri v´ ymˇenˇe dvou ˇr´ adk˚ u, (b) se vynásob´ı ˇc´ıslem c pokud jeden ˇr´ adek vynásob´ıme ˇc´ıslem c, (c) se nezmˇen´ı, pokud k danému ˇr´ adku pˇriˇcteme násobek jiného ˇrádku. D˚ ukaz. Bud’ A ˇctvercov´ a matice stupnˇe n, oznaˇcme jej´ı ˇrádky r1 , . . . , rn . Pro u ´sporu m´ısta ˇrádky budeme psát za sebou m´ısto pod sebou: A = (r1 , . . . , rn )T . Ze vztahu (2.9) v Definici 2.30 je okamˇzitˇe vidˇet, ˇze vynásoben´ım i-tého ˇrádku ˇc´ıslem c v kaˇzdém sˇc´ıtanci se aipi nahrad´ı c · aipi a proto se celkov´ a hodnota determinantu vynásob´ı ˇc´ıslem c: det(r1 , . . . , c ri , . . . , rn )T = c · det(r1 , . . . , ri , . . . , rn )T . V´ ymˇenou dvou ˇr´ adk˚ u se v souˇctu (2.9) zmˇen´ı znaménko kaˇzdé permutace a proto hodnota determinantu zmˇen´ı znaménko, napˇr´ıklad det(r1 , . . . , ri , . . . , rj , . . . , rn )T = − det(r1 , . . . , rj , . . . , ri , . . . , rn )T D˚ usledkem pˇredchoz´ı vlastnosti je skuteˇcnost, ˇze matice s dvˇema stejn´ ymi ˇrádky dává determinant nulov´ y. Skuteˇcnˇe, v´ ymˇenou tˇechto ˇr´ adk˚ u se má zmˇenit znaménko determinantu, a pˇritom se matice nezmˇenila. Rovnost c = −c plat´ı jen kdyˇz c = 0. Proto hodnota determinanty je nulová: r := ri = rj

(i ̸= j)

=⇒

det(r1 , . . . , r, . . . , r, . . . , rn )T = − det(r1 , . . . , r, . . . , r, . . . , rn )T = 0.

Pˇriˇcteme-li k i-tému ˇr´ adku násobek c násobek k-tého ˇrádku dostaneme dva determinanty: det(r1 , . . . , ri + c rk , . . . , rk , . . . , rn )T = det(r1 , . . . , ri , . . . , rk , . . . , rn )T + c det(r1 , . . . , rk , . . . , rk , . . . , rn )T prvn´ı je p˚ uvodn´ı determinant a druh´ y determinant je nulov´ y, protoˇze má dva stejné ˇrádky. ´ FSI VUT v Brnˇe Studijn´ı text UM

13


2D. Determinanty

Pozn´ amky: Determinant je nulov´ y, pokud obsahuje nulov´ y ˇrádek, nebo má dva stejné ˇrádky, nebo jeden ˇrádek je násobkem druhého. Protoˇze nav´ıc transponován´ım matice se hodnota determinantu nemˇen´ı, lze determinant upravovat také pomoc´ı element´ arn´ıch sloupcov´ ych operac´ı: Vˇ eta 2.35. Transponov´ an´ım matice se hodnota determinantu nemˇen´ı: det(AT ) = det(A). Pˇri elementárn´ıch sloupcov´ ych u ´prav´ ach matice A hodnota determinantu det(A) (a) zmˇen´ı znaménko pˇri zámˇenˇe dvou sloupc˚ u, (b) se vynásob´ı ˇc´ıslem c pokud jeden sloupec vynásob´ıme ˇc´ıslem c, (c) se nezmˇen´ı, pokud k danému sloupci pˇriˇcteme násobek jiného sloupce.

V´ ypoˇ cet determinantu V pˇr´ıpadˇe horn´ı troj´ uheln´ıkové matice A = (aij ) je determinant roven souˇcinu prvk˚ u na diagonále: det(A) = a11 · a22 · · · ann . Skuteˇcnˇe, protoˇze v posledn´ım ˇr´ adku je jedin´ y nenulov´ y prvek ann , permutace dávaj´ıc´ı nenulov´ y souˇcin mus´ı konˇcit prvkem pn = n. V pˇredposledn´ım ˇrádku mimo ˇclenu v posledn´ım sloupci, je jedin´ y nenulov´ y prvek an−1,n−1 , proto jediná permutace, která dáv´ a nenulov´ y souˇcin, je pn−1 = n − 1. Tak postupnˇe zjist´ıme, ˇze jediná permutace, která dáv´ a nenulov´ y souˇcin, je permutace identická p = (1, 2, . . . , n). Stejné tvrzen´ı plat´ı i pro doln´ı troj´ uheln´ıkovou matici. Protoˇze kaˇzdou matici lze upravit na troj´ uheln´ıkovou matici dostáváme následuj´ıc´ı návod k v´ ypoˇctu determinantu: Vˇ eta 2.36. Matici A = (aij ) vhodn´ ymi ˇrádkov´ ymi nebo sloupcov´ ymi u ´pravami uprav´ıme na horn´ı troj´ uheln´ıkovou matici A∗ s prvky a∗11 , a∗22 , . . . , a∗nn na diagonále, pˇriˇcemˇz – pˇri kaˇzdé u ´pravˇe typu (a) (v´ ymˇenˇe dvou ˇrádk˚ u nebo sloupc˚ u) zmˇ en´ıme znam´ enko a – pˇri kaˇzdém u ´pravˇe (b) (násoben´ı ˇr´ adku nebo sloupce ci ̸= 0) hodnotu determinantu n´ asob´ıme 1/ci . Potom 1 det(A) = (−1)m a∗ a∗ . . . a∗nn , c1 . . . cq 11 22 kde m je poˇcet zámˇen dvojic ˇr´ adk˚ u nebo sloupc˚ u a ci jsou konstanty z u ´prav typu (b).

Pˇ r´ıklad 2.37. Vypoˇctˇete determinant matice A následuj´ıc´ımi metodami: (a) pomoc´ı Sarrusova pravidla, (b) pˇrevodem na troj´ uheln´ıkovou matici, (c) rozvojem podle druhého ˇrádku, kde   2 −3 8 6 −7  . A= 4 −5 4 −9 ˇ sen´ı: Reˇ (a) Podle Sarrusova pravidla je det(A) = [2 · 6 · (−9) + (−3)(−7)(−5) + 8 · 4 · 4] − [8 · 6 · (−5) + (−3)4(−9) + 2(−7)4] = = (−108 − 105 + 128) − (−240 + 108 − 56) = −85 + 188 = 103. (b) Pˇrevodem na troj´ uheln´ıkovou matici 2 −3 2 8 6 −7 / − 2r1 = 0 det(A) = 4 −5 0 5 4 −9 / + r 2 1

pomoc´ı ˇrádkov´ ych u ´prav: 2 −3 −3 8 8 1 12 −23 (2 · 12 · 103) = 103. = 0 12 −23 = 24 7 7 103 11 / + r2 − 0 0 2

(c) Podle Laplaceovy vˇety 2.32 plat´ı 2 −3 8 −3 4 6 −7 det(A) = = (−4) 4 −5 4 −9

24

2 8 8 + 6 −9 −5 −9

24

+ 7 2 −5

−3 = 4

= (−4)(27 − 32) + 6(−18 + 40) + 7(8 − 15) = 20 + 132 − 49 = 103. ´ FSI VUT v Brnˇe Studijn´ı text UM

14


2D. Determinanty

Pozn´ amky: Srovn´ an´ım metod pouˇzit´ ych v pˇredchoz´ım pˇr´ıpadˇe vycház´ı Sarrusovo pravidlo jako nejrychlejˇs´ı. V pˇr´ıpadˇe determinant˚ u z velk´ ych matic vˇsak vyjde metoda pˇrevodu na troj´ uheln´ıkovou matici jako jediná moˇzná: pˇri pˇrevodu matice stupnˇe n na troj´ uheln´ıkovou potˇrebujeme ˇrádovˇe n3 operac´ı. Pˇri n = 50 to vycház´ı . na 125 000 = 1.25 · 105 , coˇz je proti 50! = 3 · 1064 podstatnˇe ménˇe.

ˇ sen´ı soustav line´ Reˇ arn´ıch rovnic pomoc´ı determinant˚ u Determinanty lze vyuˇz´ıt i pˇri ˇreˇsen´ı soustav lineárn´ıch rovnic ve speciáln´ım pˇr´ıpadˇe, kdy je matice soustavy A ˇctvercová, tj. rovnic je stejn´ y poˇcet jako neznám´ ych, a determinant z matice A je nenulov´ y, tj. |A| = ̸ 0. K urˇcen´ı ˇreˇsen´ı nám poslouˇz´ı následuj´ıc´ı tzv. Cramerovo pravidlo: Vˇ eta 2.38. (Cramerovo pravidlo) Necht’ je dána soustava n lineárn´ıch rovnic o n neznám´ ych A·x = b, jej´ıˇz matice soustavy A mám nenulov´ y determinant det(A) ̸= 0. Potom soustava má jediné ˇreˇsen´ı (x1 , x2 , . . . , xn ), pˇriˇcemˇz |A1 | |A2 | |An | x1 = , x2 = , . . . xn = , |A| |A| |A| kde matice Aj vznikla z matice A nahrazen´ım j-tého sloupce sj sloupcem prav´ ych stran b, tj. |A1 | = |b, s2 , s3 , . . . , sn | ,

|A2 | = |s1 , b, s3 , . . . , sn | ,

|A1 | = |s1 , s2 , s3 , . . . , b| .

...,

Pozn´ amky: Cramerovo pravidlo má sp´ıˇse teoretick´ y v´ yznam, protoˇze pro vˇetˇs´ı“ n je v´ ypoˇcet determinant˚ u numericky ” znaˇcnˇe nároˇcn´ y. Na druhou stranu vˇsak metoda dává vzorec pro pˇr´ım´ y v´ ypoˇcet jednotliv´ ych neznám´ ych, coˇz m˚ uˇze b´ yt nˇekdy v´ yhodné. Napˇr´ıklad v pˇr´ıpadˇe n = 2 a |A| ̸= 0 ˇreˇsen´ı soustavy A · x = b je dáno vzorci b1 a12 a11 b1 b2 a22 a21 b2 b1 a22 − a12 b2 a11 b2 − b1 a12 x1 = , x2 = . = = a a − a a a 11 22 12 22 11 a22 − a12 a22 a11 a12 a11 a12 a21 a22 a21 a22 Pˇ r´ıklad 2.39. Cramerov´ ym pravidlem urˇcete ˇreˇsen´ı soustavy 2 x1 x1 2 x1

− 3 x2 + 2 x2 + x2

+ x3 − x3 + x3

= 0 = 3 = 12

ˇ sen´ı: Spoˇc´ıt´ Reˇ ame nejprve determinant matice soustavy, kter´ y urˇc´ı, zda soustava má ˇreˇsen´ı. Pomoc´ı Sarrusova pravidla dostáváme 2 −3 1 2 −1 = 2 · 2 · 1 + (−3) · (−1) · 2 + 1 · 1 · 1 − 1 · 2 · 2 − (−3) · 1 · 1 − 2 · (−1) · 1 = 12 ̸= 0, |A| = 1 2 1 1 a proto matice A je regulárn´ı, tj. ˇreˇsen´ı existuje a je jediné. Spoˇctˇeme si determinanty matic, ve kter´ ych sloupec prav´ ych stran postupnˇe nahrazuje sloupec koeficient˚ u: 0 −3 1 2 −1 = 0 · 2 · 1 + (−3) · (−1) · 12 + 1 · 3 · 1 − 1 · 2 · 12 − (−3) · 3 · 1 − 0 · (−1) · 1 = 24, |A1 | = 3 12 1 1 2 0 2 −3 1 0 2 3 = 60. |A2 | = 1 3 −1 = 36, |A3 | = 1 2 12 2 1 1 12 Po Cramerova pravidla tedy x1 =

24 |A1 | = = 2, |A| 12

x2 =

|A2 | 36 = = 3, |A| 12

x3 =

|A3 | 60 = = 5. |A| 12

Soustava má právˇe jedno ˇreˇsen´ı x = (2, 3, 5)T . ´ FSI VUT v Brnˇe Studijn´ı text UM

15

ˇ 2E. Ctvercov´ e matice


ˇ ´ matice 2E. Ctvercov e ˇ Ctvercov´ e matice stejného stupnˇe n maj´ı zvláˇstn´ı postaven´ı mezi maticemi: lze je jako ˇc´ısla nejen navzájem sˇc´ıtat, ale i násobit bez omezen´ı. U ˇc´ısel ˇc´ıslo 1 hraje roli neutráln´ıho prvku: pro kaˇzdé ˇc´ıslo x ∈ X plat´ı x 1 = 1 x = x. U ˇctvercov´ ych matic stejnou roli hraje jednotková matice E: pro kaˇzdou matici A ∈ Rn×n plat´ı A · E = E · A = A. Inverzn´ı operac´ı k operaci násoben´ı ˇc´ısel je dˇelen´ı ˇc´ısel, dˇelit vˇsak m˚ uˇzeme jen ˇc´ıslem nenulov´ ym. Pro kaˇzdé nenulové ˇc´ıslo a existuje ˇc´ıslo b zvané pˇrevr´ acená hodnota takové, ˇze a b = b a = 1. Znaˇc´ıme ho a1 nebo a−1 . Je to vlastnˇe ˇreˇsen´ım rovnice a b = 1. U ˇctvercov´ ych matic analogicky zavedeme tzv. inverzn´ı matici: ˇ Definice 2.40. Bud’ A ˇctvercov´ a matice typu (n, n). Ctvercov´ a matice B typu (n, n) se naz´ yvá matic´ı inverzn´ı k matici A, jestliˇze A · B = B · A = E. (2.12) Matici inverzn´ı k matici A znaˇc´ıme A−1 . Na prvn´ı pohled nen´ı z uvedené definice zˇrejmé, zda matice B inverzn´ı k A existuje vˇzdy, zda je urˇcena jednoznaˇcnˇe a jak tuto matici vypoˇc´ıtat. K formulaci odpovˇedi nám pom˚ uˇze teorie determinant˚ u. Vˇ eta 2.41. Bud’te A, B matice stejného stupnˇe. Potom plat´ı: det(A · B) = det(A) · det(B). Protoˇze determinant jednotkové matice E je roven 1, z podm´ınky (2.12) det(A · B) = det(E) = 1 plyne, ˇze jak det(A) ̸= 0, tak det(B) ̸= 0. Ukáˇze se, ˇze je to i podm´ınka postaˇcuj´ıc´ı. Tyto matice nazveme regulárn´ı: Definice 2.42. Matici A nazveme regul´ arn´ı jestliˇze det(A) ̸= 0. Tuto d˚ uleˇzitou vlastnost lze definovat i pomoc´ı dalˇs´ıch podm´ınek: Vˇ eta 2.43. Bud’ A = (aij ) stupnˇe n. Následuj´ıc´ı podm´ınky jsou ekvivalentn´ı: (a) Matice A je regul´ arn´ı, tj. det(A) ̸= 0. (b) Matice A m´ a nejvˇ etˇ s´ı moˇ znou hodnost h(A) = n. (c) Matice A m´ a nez´ avisl´ eˇ r´ adky. (d) Matice A m´ a nez´ avisl´ e sloupce. Co znamená podm´ınka A · B = E? Oznaˇcme bj j-t´ y sloupec matice B a ej j-t´ y sloupec jednotkové matice E maj´ıc´ı jedniˇcku na j-tém m´ıstˇe, ostatn´ı nuly. Potom rovnost A · B = E pˇredstavuje n soustav rovnic pro jednotlivé neznámé bj s prav´ ymi stranami ej : A · b1 = e1 ,

A · b2 = e2 ,

...

, A · bn = e n .

Matice soustavy ve vˇsech pˇr´ıpadech je matice A, a proto podle Frobeniovy vˇety pokud hodnost matice A je maximáln´ı, tj. h(A) = n, kaˇzd´ a soustava má právˇe jedno ˇreˇsen´ı bj , které tvoˇr´ı inverzn´ı matici B = A−1 . Dospˇeli jsme tak k vˇetˇe: Vˇ eta 2.44. Ke kaˇzdé regulárn´ı matici A existuje právˇe jedna matici inverzn´ı A−1 . Pˇredchoz´ı u ´vaha také dáv´ a zp˚ usob v´ ypoˇctu inverzn´ı matice. Protoˇze vˇsechny soustavy maj´ı stejnou matici soustavy, zap´ıˇseme je do jedné soustavy s n vektory prav´ ych stran ej a n vektory neznám´ ych bj : A · (b1 , . . . , bn ) = (e1 , . . . , en ) tj. maticovˇe A · B = E . ´ FSI VUT v Brnˇe Studijn´ı text UM

16



V´ ypoˇcet potom prob´ıh´ a tak, ˇze rozˇs´ıˇrenou matici (A|E) typu (n, n+n) pˇrevedeme postupnˇe ˇrádkov´ ymi u ´pravami (tzv. Jordanovou eliminac´ı) na tvar, kdy vlevo na m´ıstˇe matice A vznikne matice jednotková. Pˇritom vpravo na m´ıstˇe matice E vznikne matice inverzn´ı B, schématicky (A|E)

∼

Pˇ r´ıklad 2.45. Vypoˇctˇete inverzn´ı matici A−1 k matici  2 1 A= 1 1 1 2 ˇ sen´ı: Rozˇs´ıˇrenou matici Reˇ  2 (A|E) =  1 1

(E|B) = (E|A−1 ) .

∼

ˇr´ adkové u ´pravy

 1 2 . 0

(A|E) postupnˇe upravujeme ˇrádkov´ ymi u ´pravami:   1 1 1 0 0 / − 2r3 0 −3 1 1 0 1 2 0 1 0  / − r3 ∼  0 −1 2 0 1 2 0 0 0 1 1 1 2 0 0 0

(2.13)

 −2 / − 3r2 −1  ∼ 1 / + 2r2

     4 2 1 0 0 −5 1 −3 1 1 0 0 0 0 −5 1 −3 1 5 −5 −5   1 3  2 1 3   0 −1 2 0 1 −1  / + 25 r1 ∼  0 −1 0 − 25 5 5 ∼ 0 1 0 5 −5 −5  . 4 2 1 3 1 1 0 4 0 2 −1 / + 4 r1 1 0 0 0 0 1 − 15 5 5 −5 −5 5 −5 

Druhá matice je hledaná inverzn´ı matice:



 A−1 = 

4 5 2 5 − 15

− 25 − 15 3 5

 − 15  − 35  . − 15

Adjungovan´ a matice Ukáˇzeme si jeˇstˇe jeden zp˚ usob v´ ypoˇctu inverzn´ı matice zaloˇzen´ y na pojmu adjungovaná matice: Definice 2.46. Bud’ A = (aij ) ˇctvercov´ a matice stupnˇe n. Oznaˇcme Aij matici vzniklou z matice A vynechán´ım i-tého ˇrádku a j-tého sloupce. Algebraick´ ym doplˇ nkem prvku aij nazveme ˇc´ıslo dij = (−1)i+j det(Aij ) , kde matice Aij vznikla z matice A vynech´ an´ım i-tého ˇrádku a j-tého sloupce. Transponovanou matici algebraick´ ych doplˇ nk˚ u nazveme adjungovanou matic´ı k matici A a oznaˇc´ıme: A∗ = (dij )T . Z definice je vidˇet, ˇze ke kaˇzdé matici lze sestavit matici adjungovanou. Z následuj´ıc´ı vlastnosti je vidˇet, ˇze adjungovaná matice má podobnou vlastnost jako matice inverzn´ı a lze ji vyuˇz´ıt k v´ ypoˇctu inverzn´ı matice: Vˇ eta 2.47. Bud’ A ˇctvercov´ a matice. Potom existuje matice adjungovan´ a A∗ a plat´ı A · A∗ = A∗ · A = det(A) · E .

(2.14)

odkud v pˇr´ıpadˇe, ˇze det(A) ̸= 0, dostáv´ ame vztah pro v´ ypoˇ cet inverzn´ı matice: A−1 =

1 A∗ det(A)

(2.15)

D˚ ukaz. Naznaˇcme d˚ ukaz rovnosti (2.14), která je podstatou v´ ypoˇctu inverzn´ı matice. Mˇejme matici A = (aij ). Prvky adjungované matice A∗ oznaˇcme a∗ij . Algebraick´ y doplnˇek prvku aij znaˇc´ıme dij = (−1)i+j det(Aij ), kde Aij je matice A bez i-tého ˇr´ adku a j-tého sloupce. Proto plat´ı a∗ji = dij = (−1)i+j det(Aij ). ´ FSI VUT v Brnˇe Studijn´ı text UM

17


2. Lineárn´ı algebra Uvaˇzujme souˇcin B := A · A∗ . Prvek bij souˇcinu B je bij = (A · A∗ )ij =

n ∑

aik a∗kj =

k=1

n ∑

aik djk =

k=1

n ∑

aik (−1)i+k det (Ajk ) .

k=1

V pˇr´ıpadˇe j = i podle Laplaceovy vˇety 2.32 je bij rovno rozvoji determinantu matice A podle i = j-tého ˇrádku (2.10), tj. pro i = j m´ ame bij = det(A). V pˇr´ıpadˇe j ̸= i je to rozvoj determinantu matice, ve kterém je m´ısto ˇrádku rj ˇrádek ri , protoˇze matice Ajk maj´ı vynechan´ y j-t´ y ˇrádek, m´ısto nˇeho maj´ı ˇrádek i-t´ y. Jde tedy o rozvoj determinantu s dvˇema stejn´ ymi ˇr´ adky, determinant je proto nulov´ y. Dostáváme tak bij = 0 pro j ̸= i. Matice B je tedy jednotkov´ a. Druhou rovnost A∗ · A = E lze dokázat rozvojem determinantu podle sloupce. Pˇ r´ıklad 2.48. Vypoˇctˇete adjungovanou matici A∗ a inverzn´ı matici A−1 k matici z Pˇr´ıkladu 2.45   2 1 1 A =  1 1 2 . 1 2 0 ˇ sen´ı: Adjungovanou matici podle (2.14) dostaneme transponován´ım matice algebraick´ Reˇ ych doplˇ nk˚ u:      A∗ =    

−

1 2 1 2 1 1

1 2 − 1 0 2 1 1 0 2 1 − 1 2

2 0 1 0 1 2

−

T 1 1 1 2    −4 2  2 1   2 −1 =  1 2  1 −3  2 1  1 1

T  1 −4 −3  =  2 1 1

2 −1 −3

 1 −3  . 1

Pˇred v´ ypoˇctem matice inverzn´ı nejprve spoˇc´ıtáme determinant matice A. Libovolná metoda v´ ypoˇctu dává det(A) = −5. Matice A je tedy regulárn´ı a podle Vˇety 2.44 existuje k matici A matice inverzn´ı. Pomoc´ı (2.15) dostáváme    4  − 25 − 15 −4 2 1 5 1 1   1 3  2 −1 −3  =  − 52 A−1 = · A∗ = 5 5 . det(A) −5 1 3 1 1 −3 1 − − 5

5

5

Dospˇeli jsme k matici stejné jako pˇri v´ ypoˇctu ˇrádkov´ ymi u ´pravami v Pˇr´ıkladu 2.44. Pozn´ amky: Kterou metodou budeme poˇc´ıtat inverzn´ı matice z velké“ matice? K v´ ypoˇctu adjungované matice ” stupnˇe n potˇrebujeme spoˇc´ıtat n2 determinant˚ u stupnˇe n − 1. Vzhledem k nároˇcnosti v´ ypoˇctu determinant˚ u velké matice, inverzn´ı matice k velké matici lze poˇc´ıtat jedinˇe pomoc´ı ˇrádkov´ ych u ´prav matice (A|E).

Maticov´ e rovnice

Podobnˇe jako ˇc´ıselné rovnice napˇr. a · x = b máme i maticové rovnice A · X = B, za pˇredpokladu ˇze matice maj´ı takové typy, ˇze dané operace a rovnosti jsou definované – maj´ı smysl“. Pˇri ˇreˇsen´ı tˇechto rovnic opˇet ” budeme vyuˇz´ıvat u ´pravy, které nemˇen´ı mnoˇzinu vˇsech ˇreˇsen´ı rovnice: Vˇ eta 2.49. Ekvivalentn´ı u ´ pravy maticov´ ych rovnic Za pˇredpokladu, ˇze pro dané typy matic pˇr´ısluˇsné operace sˇc´ıtán´ı, násoben´ı i relace rovnosti jsou definované pˇri následuj´ıc´ıch u ´pravách se mnoˇzina vˇsech ˇreˇsen´ı maticové rovnice nemˇen´ı: (a) Pˇriˇcten´ım stejné matice k obˇema stranám rovnice. (b) Násoben´ım obou stran rovnice stejn´ ym nenulov´ ym ˇc´ıslem. (c) Násoben´ım obou stran rovnice stejnou regulárn´ı matic´ı zleva. (d) Násoben´ım obou stran rovnice stejnou regulárn´ı matic´ı zprava. Pozor, n´ asoben´ı nen´ı komutativn´ı, nelze mˇ enit poˇ rad´ı matic v souˇ cinu! Pˇri ˇreˇsen´ı lze vyuˇz´ıvat také vlastnosti inverzn´ı matice:


18


2. Lineárn´ı algebra Vˇ eta 2.50. Pro regulárn´ı matice A, B plat´ı: (A−1 )−1 = A ,

(A · B)−1 = B−1 · A−1 ,

(AT )−1 = (A−1 )T .

Pˇ r´ıklad 2.51. Soustava line´ arn´ıch rovnic. Pomoc´ı inverzn´ı matice lze vyjádˇrit i ˇreˇsen´ı soustavy n lineárn´ıch rovnic pro n neznám´ ych A · x = b. ˇ sen´ı: Za pˇredpokladu, ˇze matice soustavy A je regulárn´ı, existuje matice inverzn´ı A−1 . Vynásoben´ım obou Reˇ stran rovnice zleva matic´ı A−1 dost´ av´ ame A−1 · A · x = A−1 · b Protoˇze A−1 · A · x = E · x = x dost´ av´ ame v´ ysledek x = A−1 · b.

ˇ ste rovnice s neznámou matic´ı X: Pˇ r´ıklad 2.52. Reˇ (a) A X = B, (b) X A = B, (c) A X B + C = D, (d) A−1 X BT = C. Za jak´ ych pˇredpoklad˚ u pro matice ˇreˇsen´ıexistuje? ˇ sen´ı: Pˇredpoklád´ Reˇ ame, ˇze matice jsou typu (n, n). Pokud matice A je regulárn´ı, existuje inverzn´ı matice A−1 : (a) Prvn´ı rovnici vynásob´ıme matic´ı A−1 zleva a dostáváme X = A−1 B. (b) Druhou rovnici násob´ıme matic´ı A−1 zprava a dostáváme X = B A−1 . (c) Pokud nav´ıc B je regulárn´ı, po odeˇcten´ı matice C tˇret´ı rovnici násob´ıme inverzn´ı matic´ı A−1 zleva a inverzn´ı matic´ı B−1 zprava. Dostáv´ ame tak ˇreˇsen´ı X = A−1 (D − C) B−1 . (d) Pokud nav´ıc B je regulárn´ı, ˇctvrtou rovnici násob´ıme matic´ı A zleva a matic´ı (BT )−1 zprava. Dostáváme tak ˇreˇsen´ı X = A C (BT )−1 .


19

2. Lineární algebra 2A. Matice a maticové operace. 2. Lineární algebra

Recommend Documents