ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE

ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE

Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro nižší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

Prostějov 2009

2

Algebra

Úvod Vytvořený výukový materiál pokrývá předmět matematika, která je vyučována v osnovách a tematických plánech na gymnáziích nižšího a vyššího stupně. Mohou ho však využít všechny střední a základní školy, kde je vyučován předmět matematika, a které mají dostatečné technické vybavení a zázemí.

Cílová skupina: Podle chápání a schopností studentů je stanovena úroveň náročnosti vzdělávacího plánu a výukových materiálů. Zvláště výhodné jsou tyto materiály pro studenty s individuálním studijním plánem, kteří se nemohou pravidelně zúčastňovat výuky. Tito studenti mohou s pomocí našich výukových materiálů částečně kompenzovat svou neúčast ve vyučovaném předmětu matematika, formou e-learningového studia.

Algebra

3

Obsah Poměr, měřítko plánů, map. ....................................................................................................... 7 Poměr ..................................................................................................................................... 7 Měřítko plánu, mapy .............................................................................................................. 9 Poměr, plány, mapy .......................................................................................................... 10 Varianta A ........................................................................................................................ 10 Poměr, plány, mapy .......................................................................................................... 12 Varianta B ........................................................................................................................ 12 Poměr, plány, mapy .......................................................................................................... 14 Varianta C ........................................................................................................................ 14 Výrazy ...................................................................................................................................... 15 Číselné výrazy ...................................................................................................................... 15 Číselné výrazy .................................................................................................................. 16 Varianta A ........................................................................................................................ 16 Číselné výrazy .................................................................................................................. 17 Varianta B ........................................................................................................................ 17 Číselné výrazy .................................................................................................................. 18 Varianta C ........................................................................................................................ 18 Výrazy s proměnnými, mnohočleny .................................................................................... 19 Výrazy s proměnnými, mnohočleny ................................................................................ 20 Varianta A ........................................................................................................................ 20 Výrazy s proměnnými, mnohočleny ................................................................................ 22 Varianta B ........................................................................................................................ 22 Výrazy s proměnnými, mnohočleny ................................................................................ 23 Varianta C ........................................................................................................................ 23 Mnohočleny, operace s nimi ................................................................................................ 25 Mnohočleny, operace s nimi ............................................................................................ 30

4

Algebra

Varianta A ........................................................................................................................ 30 Mnohočleny, operace s nimi ............................................................................................ 32 Varianta B ........................................................................................................................ 32 Mnohočleny, operace s nimi ............................................................................................ 34 Varianta C ........................................................................................................................ 34 Lomený výraz ....................................................................................................................... 36 Lomený výraz ................................................................................................................... 37 Varianta A ........................................................................................................................ 37 Lomený výraz ................................................................................................................... 39 Varianta B ........................................................................................................................ 39 Lomený výraz ................................................................................................................... 41 Varianta C ........................................................................................................................ 41 Rovnice..................................................................................................................................... 43 Lineární rovnice ................................................................................................................... 43 Lineární rovnice ............................................................................................................... 45 Varianta A ........................................................................................................................ 45 Lineární rovnice ............................................................................................................... 46 Varianta B ........................................................................................................................ 46 Lineární rovnice ............................................................................................................... 48 Varianta C ........................................................................................................................ 48 Rovnice s neznámou ve jmenovateli .................................................................................... 50 Rovnice s neznámou ve jmenovateli ................................................................................ 51 Varianta A ........................................................................................................................ 51 Rovnice s neznámou ve jmenovateli ................................................................................ 52 Varianta B ........................................................................................................................ 52 Rovnice s neznámou ve jmenovateli ................................................................................ 53 Varianta C ........................................................................................................................ 53

Algebra

5

Vyjádření neznámé ze vzorce, slovní úlohy......................................................................... 55 Vyjádření neznámé ze vzorce, slovní úlohy ..................................................................... 58 Varianta A ........................................................................................................................ 58 Vyjádření neznámé ze vzorce, slovní úlohy ..................................................................... 59 Varianta B ........................................................................................................................ 59 Vyjádření neznámé ze vzorce, slovní úlohy ..................................................................... 61 Varianta C ........................................................................................................................ 61 Soustava dvou lineárních rovnic .......................................................................................... 63 Soustava dvou lineárních rovnic ...................................................................................... 67 Varianta A ........................................................................................................................ 67 Soustava dvou lineárních rovnic ...................................................................................... 69 Varianta B ........................................................................................................................ 69 Soustava dvou lineárních rovnic ...................................................................................... 71 Varianta C ........................................................................................................................ 71 Kvadratické rovnice, nerovnice ............................................................................................ 73 Kvadratické rovnice, nerovnice ........................................................................................ 78 Varianta A ........................................................................................................................ 78 Kvadratické rovnice, nerovnice ........................................................................................ 79 Varianta B ........................................................................................................................ 79 Kvadratické rovnice, nerovnice ........................................................................................ 80 Varianta C ........................................................................................................................ 80 Nerovnice ................................................................................................................................. 81 Lineární nerovnice, soustavy lineárních nerovnic ................................................................ 81 Lineární nerovnice, soustavy lineárních nerovnic ............................................................ 83 Varianta A ........................................................................................................................ 83 Lineární nerovnice, soustavy lineárních nerovnic ............................................................ 85 Varianta B ........................................................................................................................ 85

6

Algebra

Lineární nerovnice, soustavy lineárních nerovnic ............................................................ 87 Varianta C ........................................................................................................................ 87

Algebra

7

Poměr, měřítko plánů, map. Poměr Porovnáme-li dvě veličiny ( například obsahy, obvody, délky, počty lidí, peněz…) rozdílem… použijeme slovní spojení „o kolik“ (např. Petr má 60 Kč, Milan 20 Kč, o kolik Kč má Petr víc než Milan? 60-20=40. Petr má o 40 Kč víc jak Milan.). Porovnáme-li dvě veličiny podílem … použijeme slovní spojení „kolikrát“(Kolikrát má Petr víc než Milan?: 60 20 = 3. Petr má třikrát víc Kč než Milan.). Porovnáme-li dvě veličiny podílem, nazýváme potom příslušný zápis poměr (počet Kč Petra a Milana jsou v poměru 60:20, čteme 60 ku 20). V praxi se s poměrem často setkáváme, například v hokeji zvítězili domácí nad hosty 2:1, poměr branek daných domácími hráči a branek hostů je 2:1, tedy domácí dali dvakrát víc branek než hosté, čteme „dva ku jedné“. Poměr a : b čteme „a ku be“ , kde a= 1. člen poměru, b = 2. člen poměru. Poměr k němu převrácený je b : a. Při stanovení poměru musíme oba členy vyjádřit ve stejných jednotkách (strana 1. čtverce a=13cm, strana 2. čtverce b=2dm. Poměr délek stran 1. a 2. čtverce je 13:20). Poměr můžeme napsat do tvaru zlomku potřeby. Např.

. A lze jej tedy krátit nebo rozšiřovat podle

.

Krácení poměru = členy poměru vydělím stejným nenulovým číslem (např. poměr krátíme 3 na poměr

.

Rozšiřování poměru = členy poměru vynásobím stejným nenulovým číslem .

8

Algebra

Rozdělení celku v daném poměru: Tyč dlouhou 4,2 m rozděl v poměru Tyč, která je dlouhá 4,2 m se má rozdělit na dvě nestejně části, které jsou v poměru 2:5 První část tyče představuje 2 nějaké díly stejné velikosti, druhá část tyče představuje těchto stejných dílů 5, aby byl daný poměr zachován. Dohromady tedy 7 dílů tyče. … to je 1 díl. část 1. …

, část 2. …

. Tyč se rozřeže na díly dlouhé 1,2m a

3m. Kdybychom si chtěli provést kontrolu výpočtem: 1,2m + 3m = 4,2m celková délka tyče odpovídá součtu jejích dílů, 1,2 : 3 máme jakýsi poměr, který jsme spočítali a který rozšíříme 10, abychom z něj odstranili desetinnou čárku, tedy dostáváme 12 : 30, následně tento daný poměr ještě vykrátíme 6, dostaneme 2 : 5, což je zadaný poměr. (Poměr 1,2 : 3 jsme mohli přímo krátit č. 0,6) . Zvětšování a zmenšování v daném poměru: Upravit v daném poměru znamená tímto poměrem vynásobit Poměr lze psát zlomkem, tedy dané číslo, rozměr, počet … tímto zlomkem vynásobíme. Je-li zlomek

, tedy 1. člen menší jak 2. člen, jde o zmenšení,

je-li zlomek

, tedy 1. člen větší jak 2. člen, potom jde o zvětšení.

Např.: č. 200 uprav v daném poměru a) 1:400 b) 2:5 c) 11:4 a) b) c) Postupný poměr – má víc jak dva členy. Jirka má 100 Kč, Petr 60 Kč, Martin 340 Kč. Jejich obnosy jsou v poměru 100:60:340, po zkrácení 20 jsou v poměru 5:3:17. Postupný poměr krátíme (rozšiřujeme) jako poměr, tedy každý člen poměru vydělíme (vynásobíme) stejným nenulovým číslem. Poměr v základním tvaru je poměr, jehož členy mají největšího společného dělitele č.1. Členy poměru jsou tedy nesoudělná přirozená čísla.

Algebra

9

Měřítko plánu, mapy Měřítko plánu, mapy – v běžném životě je zapotřebí, aby se dali příliš velké nebo malé objekty znázornit na papíře v přiměřené velikosti. K tomuto účelu slouží měřítko plánu, měřítko mapy. Je to zápis na plánku, mapě, který je ve tvaru poměru, jehož 1.člen udává vzdálenost (rozměr) na mapě, plánku, a 2. člen ve skutečnosti. a:b a = rozměr na mapě (plánku) b = rozměr skutečný např. M 1:5 000 znamená, že 1cm na mapě je 5000 cm ve skutečnosti, tedy 50 metrů např. M 1: 2 000 000 znamená, že 1 cm na mapě je 2 000 000 cm ve skutečnosti (2 000 000cm = 20 km), tedy 1 cm na mapě znamená 20 km ve skutečnosti (nebo také 1dm na mapě znamená 2 000 000 dm tedy 200 km ve skutečnosti, 1mm na mapě znamená 2 000 000 mm ve skutečnosti, tedy 2m, atd. . Někdy malé věci potřebujeme znázornit ve větším rozměru, potom máme třeba poměr M 3:1 a znamená to, že 3 cm na výkresu představují 1 cm ve skutečnosti, tedy skutečný šroub dlouhý 1cm je na mapě 3cm, šroub dlouhý 2 cm je na obrázku znázorněn o délce 6 cm, šroub dlouhý 5cm je na mapě 15 cm. Chci-li zjistit, jaká bude délka na mapě, je-li zadané měřítko mapy a skutečná délka, (vzdálenost), tak daným měřítkem (poměrem) tuto skutečnou vzdálenost vynásobím. Např. Máme mapu s měřítkem 1:500 000. Trasa z Olomouce do Prostějova je dlouhá 15 km. Urči, kolik měří tato trasa na dané mapě: 15 km = 1 500 000cm na mapě. Kdybychom převedli danou skutečnou vzdálenost na dm, tak bychom ji vynásobili opět daným poměrem (měřítkem), ale rozměr by vyšel v dm: 15 km = 150 000dm, tedy

. Což odpovídá již dříve spočítané

hodnotě 3cm. Vždy se jedná o poměr obrázek : skutečnost Chci-li určit měřítko plánu a mapy, položím stejné jednotky (!) do poměru tak, že 1. členem je plánek, mapa, 2. členem je skutečnost a krátím. Například urči měřítko mapy, na níž 4 cm představují skutečnou vzdálenost 60 km. Dostávám poměr 4 : 60 000, krátím 4 a dostávám M 1 : 15 000.

10

Algebra

Poměr, plány, mapy Varianta A Upravte poměr na základní tvar:

Příklad:

Výsledek řešení:

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C 1) Ve škole je 320 chlapců a 440 dívek. V jakém poměru jsou chlapci a dívky ve škole?

2) Upravte na základní tvar poměr

3) Číslo 20 upravte v poměru

4) Utvořte poměr v základním tvaru převrácený k poměru

5) Tyč dlouhou 3 m rozděl v poměru 2:1

Algebra

11

6) Tyč dlouhou 18 dm rozděl v poměru 5:4 7) Na šňůře o délce 24 cm udělej uzly a tím šňůru rozděl na tři části v poměru 1:6:5. V jaké vzdálenost bude 1. Suk od kraje a jak dlouhé budou jednotlivé díly šňůry?

8) Mapa má měřítko 1: 150 000. Jaký úsek ve skutečnosti představuje na mapě a) 1cm

b)1dm

c) 8cm

d) 30cm

9) Jaké je měřítko plánku, je-li skutečná velikost 8 mm znázorněna na plánku 12 cm?

12

Algebra

Poměr, plány, mapy Varianta B Výdělek z brigády si Jana, Hana a Jirka rozdělili v poměru 5:3:9. Dohromady si vydělali 2040 Kč. Kolik Kč dostal každý z nich? Příklad:

Jana … Hana … Jirka … Provedení zkoušky:

Výsledek řešení: Jana si vydělala 600 Kč, Hana 360 Kč, Jirka 1080 Kč.

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C 1) Tyč dlouhá 5,2 m se má rozřezat na 4 díly v poměru 1:2:3:7. Kolik budou měřit díly?

2) Měřítko mapy je 1:250000. Kolik km představuje 8 cm?

3) Najděte neznámý člen v poměru

Algebra

13

4) 18 cm na plánku představuje 6 m ve skutečnosti. Určete měřítku plánku. 5) Měřítko mapy je

. Jak dlouhá je vzdálenost na mapě, je-li skutečná vzdálenost 1,3

km? 6) Měřítko technického výkresu je

. Jaká je skutečná délka součástky, je-li na obrázku

dlouhá 21 cm? 7) Měřítko mapy je cm?

. Kolik ve skutečnosti představuje úsečka dlouhá na mapě 8

14

Algebra

Poměr, plány, mapy Varianta C Strany obdélníku jsou v poměru 4:9, jeho obvod je 598 cm. Jaký je jeho obsah? Příklad: Součet délek všech 4 stran je 598 cm, součet strany a a b je polovina obvodu, tedy 299 cm.


Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C 1) Určete dvě dvojciferná čísla, aby byla v poměru 7:4 a jejich rozdíl byl 27. 2) Na plánku má obdélníkový pozemek rozměry 18 cm a 7 cm. Plánek je v poměru 1:300. Určete výměru pozemku. 3) Čtverce mají délky stran v poměru 2:5. V jakém poměru budou jejich obvody, obsahy? 4) Mapa má měřítko 1:300000. Jaká je na ní vzdálenost měst A a B, je-li ve skutečnosti jejich vzdálenost rovna 42 km? 5) Měřítko plánu je 2:15. Jaká bude plocha čtverce na plánku, jestliže jeho skutečná plocha je

Algebra

15

Výrazy Číselné výrazy Číselný výraz = zápis, v němž se vyskytují pouze čísla a početní operace jako je sčítání, odčítání, násobení, dělení, umocňování, odmocňování, závorky, apod. . Jestliže určujeme hodnotu číselného výrazu, musíme dodržovat správný postup: Nejdříve umocňujeme a odmocňujeme, potom násobíme a dělíme a až nakonec sčítáme a odčítáme. Jsou-li ve výrazu závorky, počítáme nejprve hodnoty výrazů v závorkách, tedy odstraňujeme závorky. Pokud je ve výrazu více druhů závorek, postupujeme od závorek vnitřních kulaté  , potom odstraníme závorky hranaté  a nakonec vypočítáme hodnotu výrazu závorky vnější, tedy složené. Opačný výraz – má opačná znaménka u jednotlivých členů – např. opačný výraz k výrazu 5,2  10 je výraz  5,2  10 .

Převrácený výraz – „převrátíme jej“, tedy čísla z čitatele dáme do jmenovatele a naopak – např. k výrazu 5,2  10 je výraz převrácený 6  1,5 . 8

1 8 , k výrazu je převrácený výraz 5,2  10 6  1,5

16

Algebra

Číselné výrazy Varianta A Určete hodnotu číselného výrazu 3  8  80  (12  15)

Výsledek řešení: 3  8  80  (12  15)  24  80  (3)  104  3  107

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) a) 5-(-2)+18 b) 5-(2)+(-18) c) 2 2  (3)  2  3 d)  3  (1)  (2)  15 e) 2  3  5  4  9

2) a) 169  15  (120  15  3)  b) 2  (18 

2  15)  9

3) a) Rozdíl čísel 15 a 7 zvětši o dvojnásobek čísla 11

25  15  72  21 2 [-97] [-9]

[30]

b) Polovinu nejmenšího dvojciferného čísla zvětši o dvojnásobek největšího jednociferného čísla.

[23]

c) Součet čísel 17 a 11 zmenši o jejich rozdíl.

[22]

4) a) Rozdíl druhé mocniny čísla 8 a třetí mocniny čísla 2 ztrojnásob.

[168]

b) Polovinu druhé mocniny čísla 12 zvětši o součin čísel 2 a 5.

[82]

c) Součin součtu a rozdílu čísel 8 a 2 zmenši o jejich podíl.

[56]

Algebra

17

Číselné výrazy Varianta B Určete hodnotu číselného výrazu 3  5  80  55  2  4  2  2  25  5  7  22  7  3


3  5  80  55  2  4  2  2  25  5  7   2 2  7  3  15  80  55  8  20  7   4  21   15  80  20  4  21 15  4  4  21 44 Operace umocňování, násobení a dělení má přednost před sčítáním a odčítáním.

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

Příklady k procvičení: 1) 32  2 4 



15  9 5 8  2 6 18  3



2) 110  0,1  2  0,2  0,2 2  203 

[ 16

1 ] 6

[8320]

3) a)Druhou mocninu rozdílu čísel 8 a 6 zmenši o součet dvojnásobku čísla 3 a poloviny čísla 14.

[-9]

b) Druhou mocninu rozdílu čísel 5 a 1 zmenši o polovinu druhé mocniny čísla 8. [-16] 4) a) Podíl dvojnásobku čísla 16 a trojnásobku čísla 16 zvětši o polovinu druhé mocniny 1 [ 18 ] 3

čísla 6. b) Druhou odmocninu rozdílu čísel 196 a 27 zvětši o podíl čísel 8 a 12.

[

]

18

Algebra

Číselné výrazy Varianta C





Určete hodnotu číselného výrazu 5  25  32  0,5 103  80  200  0,12










5  2 5  32  0,5  10 3  80  200  0,12  5  32  9  500  80  2  5  32  9  500  82   5  441  2205

Dodržujeme správný sled operací, závorky řešíme od vnitřních (kulatých) po vnější (hranaté případně složené).

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 2   1 2  3   3 5  1) 2           3  4 36     2   4 (6) 

2)

[

8,2  4  2 3     1,96  0,6 3  0,036     0,82  7  5 4 

[71,5]

2  4 3 2   2  2  3  5 4 3  2 3) 3 1 1 5 2   1  0,2  4 5 3 13



[



]

4) 100  3,2  320  0,53  10  3  0,2  0,4  2  5   2  0,04  25 2

3

]

[-149]

Algebra

19

Výrazy s proměnnými, mnohočleny Chceme-li vypočítat obvod obdélníku, známe vzorec O  2  a  2  b . Písmena a, b jsou proměnné. Jestliže dosazujeme různé číselné hodnoty za strany a, b podle konkrétních obdélníků, zjistíme hodnotu výrazu, tedy obvod zadaných obdélníků. Tento výraz byl dvojčlenem o dvou proměnných a, b . Čísla v jednočlenech, členech mnohočlenu se nazývají koeficienty, 2 je tedy koeficient jak prvního tak druhého členu v daném vzorci. Písmeno ve významu čísla se nazývá proměnná, dosazením za proměnnou vypočítáme hodnotu výrazu. Pozn.: násobení proměnné číslem (koeficientem) nebo násobení více proměnných se obvykle píše bez znaku násobení, tedy např. 2  x 2  y  2 x 2 y, O  2  a  2  b  2a  2b

Mnohočlen s jedním členem se nazývá jednočlen, se dvěma členy dvojčlen, se třemi členy trojčlen, …. Jednotlivé členy jsou odděleny znaménkem + nebo - . Jednočlen neobsahuje součet nebo rozdíl.

 0,2,

6 x 5 y,  a 4 b 2 c 5

Jednočlen

5, 3a,

Dvojčlen

2 x  1, 6 x 3  xyz 6 , 1  2abc,

Trojčlen

1  1  2 x  y, 6a 3  2a 2  , m 3 n 2  n  125000 4

Čtyřčlen

6 2m 3  2m 2 n 4  25mn 4  0,025

2 2 3 x y  0,02ax 3 z 3

20

Algebra

Výrazy s proměnnými, mnohočleny Varianta A Určete hodnotu výrazu 3a - (6 – 10a) + 20 pro a = 1; 0; (-10):

Příklad: a = 1 : 3  1  6  10  1  20  3   4  20  27 a = 0 : 3  0  6  10  0  20  0  6  0  20  6  20  14 a = (-10):

3   10  6  10   10  20   30  6  100  20   30  106  20   116 Výsledek řešení:

pro a  1 : 27,

pro a  0 : 14,

pro a   10 :

 116

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Určete hodnotu výrazu 10 – m + 0,1m

pro m = (-1); 20; 100; 0,5 Řeš.: 10,9; (-8); (-80); 9,55

2) a) Napiš vzorec pro obvod a obsah obdélníku o stranách s a 2p Řeš.: o  2  s  2 p  , S  s  2 p  2 ps b) Napiš vzorec pro obvod obdélníku, jehož jedna strana má délku stejnou jako strana čtverce o obvodu 4n a druhá strana obdélníku je třikrát delší. Řeš.: o  n  3n  2

Algebra

3) Zapiš jako výraz (neupravuj): a) dvojnásobek čísla x zvětši o třetinu čísla y Řeš.: 2  x 

y 3

b) polovinu trojnásobku čísla m zvětši o šestinu m. 3m m  6 Řeš.: 2

c) desetinásobek čísla x vyděl trojnásobkem čísla y.

10 x Řeš.: 3 y 4) Určete počet členů mnohočlenu a) 2  a  3  7  a  b 3  250  a 2  c 5  1 b) x 6 y  2 x 3 y 2 z  50 Řeš.: a) 4,

b) 3

21

22

Algebra

Výrazy s proměnnými, mnohočleny Varianta B y 10  Určete hodnotu výrazu  2  x    10  x  y 2  2 y 

pro x = 3; y = (-10)

Příklad:

 10 10  2 2 2  3  2   10  3   10   10  6   5  10   7    1     11  10  49  1  110  50  60 Pozor na přednost operací a na počítání se zápornými čísly. Výsledek řešení: hodnota  60

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1)

Určete hodnotu výrazu 3  a 

b 3  6 2  4  b  b  a  pro a) a = 2; b= 0 5

b) a = 1; b = 10 Řeš.: a) 20 b) výraz nemá smyl – číselný výraz pod odmocninou musí být nezáporný

2)

Martina koupila 0,5 kg jablek po a Kč, 2kg cukru po b Kč, 5 prášků do pečiva po c Kč, 6 lízátek po d Kč. Platila bankovkou h hodnoty. Kolik Kč jí prodavačka vrátila? Řeš.: h  0,5  a  2  b  5  c  6  d 

3)

Do čtverce o straně a je vepsána kružnice. Spočítejte délku této kružnice. Řeš.: O    a

4)

Zapiš výraz (neupravuj): Polovinu součtu druhé mocniny čísla x a třetí odmocniny čísla y zvětši o rozdíl dvojnásobku čísla y a nejmenšího prvočísla. Řeš.:





1 2 3  x  y  2  y  2 2

Algebra

23

Výrazy s proměnnými, mnohočleny Varianta C První obkladač obloží za 1 hodinu k metrů stěny, druhý obkladač obloží za tutéž dobu o 1,2 m méně. Druhý obkladač pracoval h hodin, první o 1a půl hodiny méně než druhý. Kolik metrů obložili oba dohromady?

Příklad: 1. Obkladač……..k metrů za hodinu……..pracoval h  1,5 hodin …obložil tedy h  1,5  k 2. obkladač …….. k  1,2 metrů za hodinu ….pracoval h hodin …obložil tedy h  k  1,2 Dohromady tedy h  1,5  k  h  k  1,2

Výsledek řešení: Obkladači dohromady obložili

h  1,5  k  h  k  1,2 metrů stěny. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1)

Ve třídě je n žáků. Zavázali se, že odevzdají ve sběrně m kg papíru. Do třídy nastoupili 2 noví žáci. a)kolik kg papíru měl donést každý žák původně? b) kolik kg papíru má donést každý žák nyní, jestliže zůstal zachován původní plán závazku sběrně a sběr donesou i dva noví žáci? c) kolik odevzdají ve sběrně papíru, jestliže zůstane zachován závazek kg na žáka a donesou i dva noví žáci? Řeš.: a)

m kilogramů n

b)

m kilogramů n2

c)

m  n  2 kilogramů n

24

2)

Algebra

Zapiš výraz : Dvojnásobek třetí mocniny čísla x zmenši o součet druhé mocniny rozdílu čísel m a n a pětinásobku druhé mocniny nejmenšího dvojciferného složeného čísla. Určí hodnotu daného výrazu pro x = 5; m = (-11); n = (-13).









Řeš.: 2  x 3  m  n  5  10 2  2  53   11   13  5  10 2   254

3)

2

2

Do kvádru o podstavných hranách a a b a výšce v byl vyřezán čtvercový otvor do středu horní podstavy o straně x do hloubky h. Všechny rozměry jsou v cm. Napiš vzorec pro objem a povrch takto vzniklého tělesa a toto vypočítej pro a = 20; b = 12; v = 52; x = 6; h = 30. Řeš.: V  a  b  v  x 2  h

V  11400cm 3

S  2  a  b  a  v  b  v   4  x  h

4)

S  4528cm 2

Zapiš výraz: Podíl třetí mocniny rozdílu čísel m a n a druhé mocniny trojnásobku čísla x zvětši o součin druhé mocniny součtu čísel m a n a třetí odmocniny rozdílu dvojnásobku čísla x a poloviny čísla n. Urči hodnotu daného výrazu pro m = 1; n = (-4); x = 3.

Řeš.:

m  n3  m  n2  3 2  x  n 2 3  x 2

;

hodnota: 19

44 81

Algebra

25

Mnohočleny, operace s nimi Mějme mnohočlen

A: 3x 4  2 x 3  x 2  8 B: 11x 4  14 x 2  6 x  30 C: 2 x D: x 2  3

Sčítání mnohočlenů Sčítat můžeme pouze ty členy mnohočlenů, které mají stejný základ i exponent (tedy takové členy, které se liší nanejvýš v koeficientech). Základ s exponentem opíšeme a sčítáme koeficienty podle pravidel pro sčítání reálných čísel.

Např. A+B:

3x

4

 



 2 x 3  x 2  8  11x 4  14 x 2  6 x  30  3  11x 4  2 x 3  1  14x 2  6 x   8  30 

14 x 4  2 x 3  15 x 2  6 x  38 Opačný mnohočlen má znaménka jednotlivých členů opačná Např. –A =  3x 4  2 x 3  x 2  8 Odčítání mnohočlenů Mnohočlen odčítáme tak, že přičítáme mnohočlen opačný Např. D – A = D+ (-A)









D  A  x 2  3  3x 4  2 x 3  x 2  8  x 2  3   3x 4  2 x 3  x 2  8  3x 4  2 x 3  11

Násobení mnohočlenů Násobíme-li mezi sebou jednočleny s různými proměnnými, jednočleny pouze opíšeme s tím, že vynecháme znaménko krát. Např.: a 2  b  a 2 b , 3m5  n 2  5o 3  15m5 n 2 o 3 . Koeficienty jednotlivých členů se násobí podle pravidel platných pro násobení reálných čísel. Násobíme-li různé mocniny stejné proměnné, proměnnou opíšeme a umocníme ji součtem exponentů. Koeficienty vynásobíme. Např.: 1 1 x 3  x 2  x 3 2   x 5 , 6a 7  2a 3  a  6  2  a 731  4a11 . 3 3

Algebra

26

Mnohočleny násobíme tak, že každý člen jednoho mnohočlenu násobíme každým členem druhého mnohočlenu (násobíme-li mnohočlen jednočlenem, každý člen mnohočlenu tímto jednočlenem vynásobíme). Získané jednočleny sečteme. Např.





C  B  2 x  11x 4  14 x 2  6 x  30  2 x  11x 4  2 x  14 x 2  2 x   6 x   2 x   30   22 x  28 x  12 x  60 x 5

3

2







A  D  3x 4  2 x 3  x 2  8  x 2  3  3x 4  x 2  3x 4  3  2 x 3  x 2  2 x 3  3  x 2  x 2  x 2  3  8  x 2  8  3   3x 6  9 x 4  2 x 5  6 x 3  x 4  3x 2  8 x 2  24  3x 6  2 x 5  10 x 4  6 x 3  5 x 2  24

Dělení mnohočlenů (podíl můžeme vždy napsat jako zlomek) a) Jednočlen jednočlenem: koeficienty jednočlenů vydělíme podle pravidel pro dělení reálných čísel, mocniny o stejném základu dělíme tak, že základ umocníme rozdílem exponentů. Pokud má dělenec vyšší exponent než dělitel, mocnina zůstává v čitateli např.:

x11 x 4 x x  7   x 4 neboli x11  x 7  x 117   x 4 . 1 x 11

7

Pokud jsou si exponenty mocniny rovny, exponent mocniny je 0, např.: 6 x 3  2 x 3  3x 33  3x 0  3  1  3 . pozn.: cokoliv   1 . 0

Pokud má dělitel exponent větší než dělenec, mocnina zůstane ve jmenovateli (nebo v čitateli, ale se záporným exponentem), např.: x 2  x 9 

x2 1  7 9 x x

neboli x  . 7

Pokud jsou mocniny o různém základu, necháme je ve tvaru zlomku, např.:

x3  y 2 

x3 y2

neboli x

3

y 2



Algebra

27

Několik řešených jednoduchých příkladů:

a 7  a 3  a 7 3   a 4 , 6 x 2  12 x  0,5 x, 4m 2  m 6 



4m 2 4  4 neboli 4m  4 6 m m







a5 a  b  3 neboli a 5 b 3 , b 16 x 3 8 x 3 16 x 3  2 y 11   11 neboli 8 x 3 y 11 , 11 2y y 5

3







15a 5 b 3 50a 4 15a b  0,3ab   neboli 50a 4 b 1 4 b 0,3ab 5

3

4



b) Mnohočlen jednočlenem: Dělence (mnohočlen) uspořádáme sestupně (od nejvyššího řádu – exponentu - po nejnižší). Každý člen dělence vydělíme dělitelem, jednočlenem. Tedy dostáváme dělení jednočlene jednočlenem. Např.:

6x

6







 30 x 4  12 x 3  3x 2  6 x 6  3x 2   30 x 4  3x 2  12 x 3  3x 2  2 x 4  10 x 2  4 x

c) Mnohočlen mnohočlenem: Dělence i dělitele uspořádáme sestupně. Dělíme první člen dělence prvním členem dělitele, výsledkem dělení je první člen podílu. Vynásobíme tímto výsledkem dělitele a výsledný mnohočlen odečteme od dělence. Tím získáme nového dělence pro další dělení stejným postupem. Tento postup opakujeme s nově získaným dělencem tak dlouho, dokud není zbylý mnohočlen nižšího stupně než dělitel. Např.:

8x

2



 4 x 3  x  3  3  2 x 

Dělence i dělitele uspořádáme sestupně a potom dělíme první člen dělence prvním členem dělitele

4 x  4 x



3

 8 x 2  x  3  2 x  3  2 x 2

3

 6x 2



výsledek násobíme dělitelem a zapíšeme pod

2x  x  3 2

dělence, odečteme, výsledkem je nový dělenec dělení opakujeme s novým dělencem

Algebra

28

2 x  x  3  2 x  3  x  2 x  3x  2

2

opět dostáváme nový dělenec, dělení se opakuje

 2x  3

 2 x  3  2 x  3  1   2 x  3 0

Algoritmus dělení je stejný jako dělení víceciferných čísel a zapisujeme takto:

4 x  4 x



3

 8 x 2  x  3  2 x  3  2 x 2  x  1

3

 6x 2



2x 2  x  3



 2 x 2  3x



 2x  3   2 x  3 0 Kontrola správnosti dělení : podíl vynásobím dělitelem a dostaneme dělenec (jako u reálných čísel). Dělení mnohočlenu mnohočlenem se zbytkem:

2a  7a  8a  7  a  2  2a  2a  4a  3

2

3

2

 3a  2 

3 a2

2

3a 2  8a  7



 3a 2  6a



2a  7  2a  4  3 …konečný mnohočlen je nižšího řádu než dělitel, tedy jej napíšeme jako zbytek ve tvaru zlomku, kdy do jmenovatele dáváme dělitele a do čitatele onen zbylý mnohočlen (v našem případě č.3).

Algebra

29

Umocňování jednočlenů, mnohočlenů

a  a1 a0  1 a2  a  a c3  c  c  c

b 

2 4

 b 2  b 2  b 2  b 2  b8

xy 2  xy  xy  x 2  y 2

2ab 

3 3

 2ab 3  2ab 3  2ab 3  8a 3b 9

a  22  a  2  a  2  a 2  4a  4 a  23  a  22  a  2  a 2  4a  4 a  2  a 3  6a 2  12a  8 Pro některé mocniny dvojčlenů používáme vzorce – viz. Rozklad mnohočlenů na součin. Na mocniny algebraických výrazů s přirozeným mocnitelem (exponentem) pohlížíme stejně jako na mocniny reálných čísel s využitím znalostí o násobení jednočlenů, mnohočlenů. Rozklad mnohočlenů na součin a)

Vytýkáním – společné činitele jednotlivých členů mnohočlenu mohu vytknout, tedy je to opak násobení mnohočlenu jednočlenem, případně mnohočlenem.





Např.: 6 x 3  2 x  2 x  3x 2  1

… v zadaném dvojčlenu byl největším společným

dělitelem obou členů 2 x , tedy po vytknutí 2 x zůstává z prvního člene 3x 2 a z druhého člene 1 . Kontrolu správnosti vytýkání lze provést opětovným roznásobením. b) Užitím vzorců

a  b 2  a 2  2ab  b 2 a  b 2  a 2  2ab  b 2 a  b   a  b   a 2  b 2 a  b 3  a 3  3a 2 b  3ab 2  b 3 a  b 3  a 3  3a 2 b  3ab 2  b 3 a 3  b 3  a  b   a 2  ab  b 2  a 3  b 3  a  b   a 2  ab  b 2 

30

Algebra

Mnohočleny, operace s nimi Varianta A Upravte:

2 x  x  3  x 2  3x  2  x 

Příklad: 2 x  x  3  x 2  3x  2  x  = roznásobíme závorku jednočlenem 2x a dvojčlen 2-x odečtu

tak, že přičtu mnohočlen opačný  2 x 2  6 x  x 2  3x   2  x  a teď už jen sečteme nebo odečteme členy, které mají stejný základ i exponent  3x 2  8x  2 . Výsledek řešení: 3x 2  8x  2


Příklady k procvičení: 1)

Zapiš stručně jednočlen: a) 3  x  5  x 2

b) 0,2m  m  m  20  n

c) 3k 2  2  l  k

d) a  b 2  a  b 3  a 4  c  b  c

e) 2  x   4  x  y

f)  2  p 3  q  r 2  p  p  p  q 2  q 3  0,1 p 2  q  q 3

Řeš.: a) 15x 3

b) 4m 3 n

f)  2 p 3 qr 2  3 p 3 q 3  0,1 p 2 q 4

c) 6k 3l

d) a 6 b 6 c 2

e) 2 x  4 xy

Algebra

Vypočítej:

2)



 

a) 2a  3b  a  b  12

f) 4 x 2  2 x 3  7  5  10 x 3  11x 3

b) x  23x 3  0,4 x 3  5x 2  6 x 3

g) (3x  y)  ( x  5 y)  (7 x  2 y)

c)

3h

2

 

 5h  25m  h  m  h  3h  m  m 3

2



d) a 2  2a  0.2a 3  a 2  2a 3

2

2

3





6a  2b  2,5a  10b  3  6a 2  4a  12,7  b Řeš.:a) 3a  2b  12

h) 2  (a  2b)  a  3b i) x  y  2 x  3 y  z   5 y  z  1 2 2 k) 2  x   3x  6 x  4 x 

b)  16,6 x 3  5x 2  x

c)  3h  26m3  2m 2

d) 2,2a 3  2a

e) ¨6a 2  4,5a  11b  9,7 g) 11x  2 y



2 2 j) 2  x  y   x  y   x  6 y

e)

f) 3x 3  4 x 2  12

h) a  7b

2 2 j) 3x  y  x  6 y

3)

31

i)  x  9 y  2 z  1

2 k) 2  3x  3x

a) 2a  3  5

b) 2 x  3  5x 

c) a  2b  1  a 2

d) 3m  m  2n  8

e)  p  2q   1  3 p  f) 6  2a   3b  1 g) 2  x  y  x  y   x 2  6 y 2

h) a  2  2a  1

Řeš.: a) 10a  15

c) a 3  2a 2 b  a 2

2

b) 6 x  10 x 2

2

d) 3m 2  6mn  24m

f)  2a  6ab  18b  6 g) x 2  4y 2

e) 3 p 2  p  6 pq  2q 2 h)  3a  8a  3

4)

Vypočítej:





a) 18x 3  6

b) 24m 6  m 2

c)  10 x 7 y 2  5xy

d) a 5b 4  ab 3

e) a  2b 

f) 3x  1

5 3 g) 144 x  12 x

2 3 2 5 3 h) 16a b c  2abc i) 3a  2b

2

Řeš.: a) 3x 3 b) 24m 4 f) 9 x 2  6 x  1

2



c)  2 x 6 y g) 12x

2



2

d) a 4 b

e) a 2  4ab  4b 2

2 2 h) 8a bc

2 4 i) 9a  12ab  2b

32

Algebra

Mnohočleny, operace s nimi Varianta B

 

 

a)Upravte 2 x  3 5x  x  2  x  1  3  x 2  x3  2 x 2 2

2

2

b)Rozložte na součin: Příklad:

 

a) 2 x  3  5x  x  2  x  1  3  x 2 2

2

 

 x 3  2x 2

2



Operace umocňování má přednost před násobením a dělením a to před sčítáním a odčítáním





10 x 2  15 x  x 2  4 x  4  x  1  3x 4  x 3  4 x 4   10 x 2  15 x  x 3  x 2  4 x 2  4 x  4 x  4  x 4  x 3   x 4  7 x 2  15 x  4 b) Rozlož na součin:

nejdříve se

vytkl největší spol. dělitel 2a, potom se závorka rozložila pomocí vzorce. Výsledek řešení:a) x 4  7 x 2  15x  4 b)








 





b) 3a 4  a 3b  3a 2 b 2  b 4









a) 2  a 2 b 2  c 2  b 2 c 2  1  c 2 a 2  b 2  b 2 1  a 2 b) 4a  b  c   2a  b  c   3 a  b  c  Řeš.: a) 0

b) 5a-3b+9c



b) a 4  3a 2 b 2  2a 4  a 3b  b 4

Řeš.: a)  4a 3  3a 2  4a  1

2)





a) 2a  3a 2  4a 3  2a  1





Algebra

3)





 

b) x 2  xy

Řeš.: a) m 2  3 4)



a) 15  9m  5m 2  3m3  5  3m b) x 4  x 3 y  x 2 y 2  xy 3  x 2  y 2

b) 16a 2  a  b

Rozlož na součin a) 8x 2  18 y 2 c)

2

p 4 a  b  16q 2 a  b

Řeš.: a) 22 x  3 y   2 x  3 y 





c) a  b p 2  4q  p 2  4q

d) a 2  6ab  9b 2  c 2

b) 3a  b  5a  b



d) a  3b  c   a  3b  c 



33

34

Algebra

Mnohočleny, operace s nimi Varianta C Rozlož na součin













a p  q  12 ax 2  b  b p  q  12 bx 2  a  2abx 2  p  q  12

Příklad:





a p  q  12  ax 2  b  b p  q  12  bx 2  a  2abx 2  p  q  12  ...vytkneme z daného trojčlenu  p  q  12 a závorky roznásobíme...









  p  q  12  a 2 x 2  ab  b 2 x 2  ab  2abx 2   p  q  12  a 2 x 2  b 2 x 2  2abx 2 





...vytkneme x ...   p  q  12  x  a  b  2ab  ... poslední závorkaje vzorec... 2

2

2

2

 x   p  q  12  a  b 

2

2

Výsledek řešení: x 2   p  q  12 a  b

2

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení:

1)

Rozlož na součin a) a  b   c 4 4



b) 6 x 2  12 xy  6 y 2  ax  ay

Řeš.: a) a  b  c   a  b  c   a  b  c 2

2)

2



b) x  y   6 x  6 y  a 

Určete nejmenší společný násobek výrazů: 4  a 2 , 8  a3



Řeš.: 2  a   2  a   4  2a  a 2



Algebra

3)



Řeš.: a) 5 x 2  x  2  4)



b) 4m  40  4m 3  10m 2  m  3

1 2x  1

b) 4m 2  2m  10 

a) 10 x 3  1  7 x 2  3x  1  2 x 





10 m3

        b) 0,4a  2a  3,1  50,5a  a   0,2a  3,1 0,1a

Vypočítej: a)  2 x 2  5x  x 2  4  1  x 2  3x  2  4 x 2  8x  0,1x 3 2

Řeš.: a) 0,2 x 5  0,6 x 4  0,1x 3

2

b)  45a  52

35

36

Algebra

Lomený výraz Lomený výraz je výraz tvaru , kde

jsou mnohočleny,

.

Rozšiřování lomených výrazů – čitatele i jmenovatele lomeného výrazu násobíme stejným číslem, výrazem, různým od 0. Např.

daný výraz rozšířen výrazem 5y.

Krácení lomených výrazů – čitatele i jmenovatele lomeného výrazu dělíme stejným číslem, výrazem, různým od 0. Např.

daný výraz krácen č. 8.

Sčítání a odčítání lomených výrazů – jako u zlomků. Tedy výrazy převedeme na nejmenšího společného jmenovatele (rozšiřováním) a potom sečteme (odečteme) čitatele podle pravidel pro sčítání (odčítání) mnohočlenů. Např. Násobení a dělení lomených výrazů – Lomené výrazy násobíme tak, že čitatele násobíme čitatelem, jmenovatele jmenovatelem. Před vynásobením krátíme. Dělíme tak, že násobíme výrazem převráceným. Postup při násobení: 1. Čitatele i jmenovatele rozložíme na součin ( vytýkáním nebo pomocí vzorců ) 2. Krátíme 3. Součin čitatelů lomíme součinem jmenovatelů 4. Uvedeme podmínky

Např.

před vynásobením rozložíme čitatele i jmenovatele na součin a krátíme

Např. Umocnění lomeného výrazu – umocníme čitatele i jmenovatele Např. Složené lomené výrazy – upravujeme obdobně jako složené zlomky s dodržováním pravidel pro operace s mnohočleny a stanovením podmínek, za kterých má výraz smysl.

Algebra

37

Lomený výraz Varianta A Stanovte, kdy mají dané výrazy smysl a upravte je. a)

b)

c)

d)

e)

Příklad: a) čitatel jsme vytknutím

rozložili na součin a výrazem

se potom celý výraz vykrátil. Podmínky – jmenovatel nesmí být nulový, protože nulou dělit nelze. b) nejmenší společný jmenovatel dvou lomených výrazů, které máme sečíst, je rozšířil výrazem

, druhý zlomek výrazem

, tedy první zlomek se

Potom již čitatele i jmenovatele jen

upravíme. Podmínky: jmenovatel lomených výrazů musí být nenulový, tedy

c)

nejprve jsme první lomený výraz upravili v čitateli na součin a vykrátili výrazem

, následně

nejmenším společným jmenovatelem obou lomených výrazů byl výraz

, tak jsme

oba lomené výrazy na něj rozšířili a následně upravili čitatel. Podmínky pro první výraz a nutnost jeho nenulového jmenovatele

d) . výrazy rozložili na součin a poté krátili výrazem nenulovost jmenovatelů daných lomených výrazů, tedy

vytknutím druhého čitatele jsme , podmínky: opět pro .

38

Algebra

e) dělili jsme výrazem tak, že jsme násobili převrácenou hodnoutou a poté již násobili podle pravidel násobení lomených výrazů. Před vynásobením se krátilo výrazem

. U podmínek

musíme dbát na nenulovost dělitele, tedy celého druhého výrazu, protože nulou dělit nelze. Tedy i jeho čitatel musí být nenulový.

Výsledek řešení:a)

b)

c)

d) e)

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Pomocí rozšiřování nebo krácení doplňte tak, aby platila rovnost a)

2) Kraťte a)

b)

c)

b)

c)

d)

d)

e)

f)

g)

3) Stanovte, kdy má daný výraz smysl: a)

4) Stanovte podmínky a upravte a)

b)

c)

d)

Algebra

39

Lomený výraz Varianta B Zjednodušte

Příklad:

V prvním kroku jsme oba lomené výrazy rozložili na součin pomocí vytýkání, potom jsme v prvním lomeném výrazu krátili výrazem

a v druhém lomeném výrazu jsme

jmenovatele ještě rozložili no součin pomocí vzorce a následně krátili výrazem

.

Násobit lomený výraz celistvým výrazem znamená násobit tímto výrazem čitatele (lze si celistvý výraz představit jako lomený výraz se jmenovatelem 1, tedy v našem případě Nakonec se k lomenému výrazu přičetla 1, tedy výraz Podmínky:

tedy

.

z druhého lomeného výrazu určujeme podmínky až po

rozložení jmenovatele na součin, kdy ani jeden z činitelů nesmí být nulový, tedy a z toho podmínky



).

.

Algebra

40

Příklady k procvičení: 1) a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

0 )3 + ) 2

1 ;

)2 +34

)2

2 3 2

b)

c)

d)

e)

g)

3) 4)

;

2;

2) a)

0 )

; ,

, ,

)38 3 4; , ,

)1;

1;2

f)

Algebra

41

Lomený výraz Varianta C

Upravte a rozhodněte, kdy má výraz smysl:

Příklad:

Tento složený lomený výraz upravíme tak, že nejdříve čitatele i jmenovatele převedeme na společný jmenovatel a potom vše upravíme na součin. Následně krátíme výrazem , tím dostáváme jednoduchý lomený výraz, kde upravíme čitatel i jmenovatel a po rozložení na součin opět krátíme, a to výrazem

. Podmínky: Jednak jednotlivé zlomky v lomeném

výrazu musejí mít smysl, tedy jejich nenulové jmenovatele složeného lomeného výrazu musí být nenulový, tedy ještě Výsledek řešení:


, i celý jmenovatel

42

Algebra

Příklady k procvičení: 1) 2) 3) 4)

Algebra

43

Rovnice Lineární rovnice … rovnost … rovnice s neznámou x … rovnice s neznámou a

Řešit rovnici znamená najít taková čísla, která když do rovnice za neznámou dosadím, dají rovnost. Každé takové číslo se nazývá řešení rovnice neboli kořen rovnice. Správnost řešení rovnice prověříme zkouškou. Tj. řešení rovnice dosadíme do levé strany rovnice i do pravé strany rovnice a pokud máme správný kořen, dostaneme rovnost. Ekvivalentní úpravy rovnic jsou takové úpravy rovnic, při nichž se řešení rovnice nezmění. Kořen rovnice se nezmění a) přičteme-li k oběma stranám rovnice totéž číslo, týž výraz, nebo zaměníme-li levou a pravou stranu rovnice b) násobíme-li obě strany rovnice týmž nenulovým číslem, výrazem. Např.:

k oběma stranám rovnice přičtu 5

obě strany rovnice vydělím 3

Zkouška:

=3

tedy dostali jsme rovnost, č. 4 je kořenem naší rovnice.

44

Algebra

Pokud při řešení rovnice dojdeme k nepravdě, např. 0=8, rovnice nemá řešení, říkáme, že řešením je prázdná množina, neboli

.

Pokud při řešení rovnice dojdeme k pravdě, např. 0=0, rovnice má nekonečně mnoho řešení, řešením jsou všechna čísla z oboru rovnic, v němž řešíme.

Algebra

Lineární rovnice Varianta A

Danou rovnici vyřešte a proveďte zkoušku

Příklad: /-x-32

/

Zk.:


Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: Dané rovnice řešte a proveďte zkoušky 1) 2) 3) 4)

45

46

Algebra

Lineární rovnice Varianta B

Řešte danou rovnici a proveďte zkoušku

Příklad: odstraníme závorky správným roznásobením a sčítáním výrazů

chceme neznámou na levé straně, čísla na straně pravé, tedy k oběma stranám rovnice přičteme

a posčítáme

tedy dostali jsme pravdu, 0=0, rovnice má nekonečně mnoho řešení, tedy řešením je každé reálné číslo. Zkoušku nelze provést, pouze ověření pro náhodně zvolené číslo: např.: m=10

Výsledek řešení: rovnice má nekonečně mnoho řešení


Algebra


47

48

Algebra

Lineární rovnice Varianta C Řešte rovnici a proveďte zkoušku:

Příklad: roznásobíme závorky mohli bychom násobit celou rovnici nejmenším společným jmenovatelem, tedy č. 36, ale když se podíváme, je lépe nejdříve sečíst některé zlomky, tedy k oběma stranám rovnice přičíst společným jmenovatelem zlomků, abychom zlomky odstranili. nyní celou rovnici vynásobíme č. 9 k oběma stranám přičteme (-1) obě strany rovnice vydělíme č. (-12) . Zk.:


;

a až poté vynásobit

Algebra

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) 2) 3) 4)

49

50

Algebra

Rovnice s neznámou ve jmenovateli Při řešení rovnic, v nichž se vyskytuje neznámá ve jmenovateli, musíme vyloučit ty hodnoty neznámé, pro něž daná rovnice nemá smysl, tedy zajistíme nenulovost jmenovatelů v rovnici. Po stanovení podmínek můžeme obě strany rovnice vynásobit nejmenším společným jmenovatelem lomených výrazů v dané rovnici a tím odstranit z rovnice zlomky.

Algebra

51

Rovnice s neznámou ve jmenovateli Varianta A Řešte danou rovnici

Příklad: /

vyloučíme nulovost jmenovatelů a obě strany rovnice

vynásobíme nejmenším společným jmenovatelem daných lomených výrazů, tedy 4x. / /

Výsledek řešení: ;


52

Algebra

Rovnice s neznámou ve jmenovateli Varianta B

Řešte rovnici a proveďte zkoušku:

Příklad: / /

/ z podmínek pro rovnici ale plyne, že rovnice nemá řešení, tedy Výsledek řešení:

;


x   3;5

2)

x  6;0

3)

5  x   ;2,5 7 

4)

 7,5

, tedy

Algebra

Rovnice s neznámou ve jmenovateli Varianta C Řešte danou rovnici:

Příklad:

Rovnice má smysl, pokud má nenulové jmenovatele, tedy

/

/ /

Zk.:

Výsledek řešení: ;


53

54

Algebra


  2;2

 3;5 a   2;3

Algebra

55

Vyjádření neznámé ze vzorce, slovní úlohy Chceme-li ze vzorce vyjádřit nějakou neznámou, nějakou veličinu, řešíme vlastně rovnici, kdy ekvivalentními úpravami tuto veličinu osamostatníme. Na ni pohlížíme jako na neznámou v rovnici, na ostatní veličiny a písmena jako na čísla a postupně osamostatňujeme. Např. ze vzorce pro obsah lichoběžníku vyjádři c: / / /

Rovnice nám slouží k řešení slovních úloh. Typové slovní úlohy na rovnice: A) Žáci na výletě ujeli na kolách první den 2/7 trasy, druhý den 1/3 trasy a třetí den 48 km. Jak dlouhá byla trasa? Celková délka trasy…………..x 1. den………………….2/7x 2. den………………….1/3x 3. den…………………..48

… Trasa měřila 126 km. U slovních úloh tohoto typu je potřeba si správně stanovit neznámou a ostatní údaje vyjádřit pomocí ní. Zkoušku správnosti lze provést návratem do zápisu.

56

Algebra

B) Na dvoře běhalo celkem 36 zvířat – slepice a králíci. Bylo tam celkem od těchto zvířat 106 nohou. Kolik tam bylo slepic a kolik králíků? Dvounohé slepice……………..x ks Čtyřnozí králíci………………(36-x) ks Noh slepičích……………….2x Noh králičích………………4(36-x) Celkem nohou……………..106 … návratem do zápisu je králíků Slepic je 19, králíků 17. Zkoušku lze provést návratem do zápisu a ověřit počet nohou. U slovních úloh tohoto typu (směsi) je zapotřebí vyjádřit jak množství jednotlivých složek, tak i jejich „kvalitu“= cenu, počet, teplotu,… a dát do rovnice. C) Obkladač obloží koupelnu sám za 20 hodin, jeho učeň ji sám obloží za 30 hodin. Za jak dlouho ji obloží společně? Společně to budou obkládat ………………… hodin Obkladač sám za 1 hodinu obloží .... Učeň sám za 1 hodinu… Za x hodin tedy spolu obloží……

…za x hodin… …za x hodin… , tedy také za x hodin spolu obloží 1 celek, jednu

celou koupelnu, tedy rovnice /

Společná práce bude trvat 12 hodin. U slovních úloh na společnou práci je vždy nutné si uvědomit, jakou část celku udělá daná osoba, stroj …, za jednotku času, celek je potom označen jako 1, jeden celek.

Algebra

57

D) Místa A, B jsou od sebe vzdálena 310 km. V 9.00 hodin vyjela z místa A motorka průměrnou rychlostí 60 km/h, proti ní z místa B v 8.30 hodin auto průměrnou rychlostí 80 km/h.V kolik hodin a jak daleko od B se potkají?

součet ujeté dráhy motorky a auta je celková vzdálenost míst A, B. jednotlivé dráhy vyjádříme vzorcem a dosadíme … Neznámou x byla doba jízdy motorky, tedy se potkají 2,5 hod. po vyjetí motorky, tj. v 11.30 hodin. Auto z B vyjelo až po půl hodině, jelo tedy 2 hodiny, za tu dobu ujelo 160 km. Potkají se tedy 160 km od B. V úlohách o pohybu je dobré si načrtnout obrázek a do něj zaznamenat všechny údaje. Obvykle se rovnice vytvoří z ujeté dráhy. Úloh tohoto typu je ale hodně.

58

Algebra

Vyjádření neznámé ze vzorce, slovní úlohy Varianta A Z daného vzorce vyjádři a:

Příklad: / /-b Výsledek řešení:

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Z daného vzorce vyjádři :

2) Červených kabelek je o 20% méně než černých. Celkem je 72 kabelek. Kolik je červených kabelek? 3) Za tři dny nasbírali žáci celkem 690 kg papíru. První den nasbírali o 20% víc jak druhý den, třetí den dvakrát tolik, kolik první den. Kolik kg nasbírali v jednotlivých dnech? 4) Z jednoho místa vyjeli současně opačným směrem motorka průměrnou rychlostí 70 km/h a auto průměrnou rychlostí 90 km/h. Za jak dlouho budou od sebe 368 km?

Algebra

59

Vyjádření neznámé ze vzorce, slovní úlohy Varianta B

Z Kostelce vyjede kolo v 11.00 hodin průměrnou rychlostí 15 km/h. V 15.00 hodin vyjede za ním z Prostějova přes Kostelec vozidlo průměrnou rychlostí 55 km/ h. Prostějov je od Kostelce vzdálený 10 km. V kolik hodin dojede vozidlo kolo a jak daleko od Kostelce?

Rovnici sestavíme z ujetých drah. Aby vozidlo dojelo kolo, musí ujet tutéž vzdálenost a navíc vzdálenost mezi Prostějovem a Kostelcem, dráha kola je tedy o 10 km kratší než vozidla

Příklad:

Rovnici sestavíme z ujetých drah. Aby vozidlo dojelo kolo, musí ujet tutéž vzdálenost a navíc vzdálenost mezi Prostějovem a Kostelcem, dráha kola je tedy o 10 km kratší než vozidla

doba jízdy kola Auto dojede kolo za 5 hodin a 45 minut od vyjetí kola, tedy v 16 hodin, 45 minut a budou od Kostelce vzdáleni

.

Výsledek řešení: Auto dojede kolo za 5 hodin a 45 minut od vyjetí kola, tedy v 16 hodin, 45 minut a budou od Kostelce vzdáleni .

60

Algebra

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Ze vzorce

vyjádři .

2) Tři kamarádi měli našetřeno 3920 Kč. Petr měl o 25% více než Jirka a Pavel měl o 40% více než Petr. Kolik měl každý? 3) Kolik gramů 80 %ního a kolik gramů 50 %ního roztoku je potřeba na vytvoření 100 gramů 62 %ního roztoku? 4) První stroj by sám zpracoval materiál za 15 hodin, druhý stroj by jej sám zpracoval za 10 hodin. Nejdříve pracoval jen první stroj, po dvou hodinách byl zapnut i stroj druhý. Jak dlouho pracoval druhý stroj?

Algebra

61

Vyjádření neznámé ze vzorce, slovní úlohy Varianta C Stroj během týdne obrobil 7644 dílů. První i druhý den obrobil stejně, třetí den obrobil o 20% víc jak první den, čtvrtý den o 20 % méně než třetí den a pátý den o 20% více než třetí den. Kolik obrobil v jednotlivých dnech? Příklad: Stroj během týdne obrobil 12880 dílů. První i druhý den obrobil stejně, třetí den obrobil o 20% víc jak první den, čtvrtý den o 20 % méně než třetí den a pátý den o 20% více než třetí den. obrobil v jednotlivých dnech? Jednotlivé dny vyjádříme pomocí neznámé x: 1. den ……….…………. x 2. den …………………... x 3. den ………………..1,2 x 4. den ……………….. 0,8(1,2x) 5. den ……………….. 1,2(1,2x) Celkem ………………12880dílů Součet všech pracovních dnů je celkový počet dílů vyrobených v týdnu:

Návratem a dosazením do zápisu jednotlivých dnů získáme požadovaný výsledek: 1. a 2. den 2300 dílů, 3. den 2760 dílů, 4. den 2208 dílů a 5. Den 3312 dílů. 1. Výsledek řešení: 1. a 2. den 2300 dílů, 3. den 2760 dílů, 4. den 2208 dílů a 5. Den 3312 dílů.


62

Algebra

Příklady k procvičení: 1) Na dvojkolejné trati mezi stanicemi A, B jely proti sobě dva vlaky. První vlak projel vzdálenost mezi stanicemi za dvě hodiny, druhý, který jel za hodinu průměrně o 25 km rychleji, to ujel za 1,5 hodiny. Vypočítejte průměrnou rychlostí obou vlaků a vzdálenost mezi stanicemi A a B. 2) Součet dvou čísel je 57. Rozdíl jejich druhých mocnin je také 57. O jaká jde čísla? 3) Kolik litrů roztoku 48%-ního musíme nalít do 120 l roztoku 8%-ního, abychom dostali roztok 24%-ní? 4) Sýpka se jedním otvorem naplní sama za 9 hodin, druhým otvorem sama za 6 hodin. Má se zřídit třetí otvor, aby se sýpka všemi otvory naplnila za 2 hodiny. Za jakou dobu by se sýpka naplnila jen třetím otvorem?

Algebra

63

Soustava dvou lineárních rovnic Soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých řešíme buď početně nebo graficky. Grafické řešení: Pomocí grafů lineárních funkcí lze soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých řešit graficky. A to tak, že každou rovnici z dané soustavy si upravíme na tvar rovnice lineární funkce, sestrojíme do jedné soustavy souřadnic jejich grafy a vyčteme řešení. Pokud jde o dvě přímky rovnoběžné, úloha nemá řešení, pokud jde o různoběžky, řešením je jejich průsečík, jehož souřadnice vyčteme na ose x a ose y, pokud jde o přímky splývající, úloha má nekonečně mnoho řešení a v tom případě vyjádříme jednu neznámou pomocí druhé a zapíšeme obecné řešení . Např. Jak 1. tak i 2. rovnici upravíme:

6

y

y=2x-1

5 4 3 2 1

x

0 -2

-1

0 -1 -2

Řešení

1

2

3

řešení : x=2; y=3

4

5

6 y=-x+5

7

Algebra

64

Řešením soustavy

je prázdná množina, jedna

;

rovnice je až na absolutní člen násobkem druhé rovnice a graficky se toto projeví jako rovnoběžky – obr.a). Řešením soustavy je nekonečně mnoho bodů, jedna rovnice je celá reálným násobkem druhé - grafické znázornění=oba grafy splývají – obr.b). 6

a)

5

6

b)

y

y

f1=f2

4

4

jedna rovnice je násobkem druhé

3

3

y=2x-1

2

2

1

y=-x+1

-1-1 0 -2

1

y=-x+5 x

0 -2

5

1

2

3

4

5

6

nemá řešení

Soustava nemá řešení

7

x

0 -2

-1-1 0 -2

1

2

3

4

5

6

7

nekonečně mnoho řešení

Řešením je uspořádaná dvojice

Metoda početní: a) Metoda dosazovací (substituční): Z jedné ze zadaných rovnic vyjádříme jednu neznámou (substituce) a dosadíme do druhé rovnice. Tím dostaneme 1 rovnici o jedné neznámé, tu vyřešíme a vrátíme se do substituce na dořešení druhé neznámé. Např.:

…….substituce:

Dosadím do 2.rovnice:

Návratem do substituce získáme y: řešením je

Algebra

65

Zkoušku provádíme pro obě rovnice dosazením daného řešení za neznámé: Pro 1.rovnici:

Pro 2. Rovnici:

b) Metoda sčítací: Rovnice napíšeme pod sebe tak, aby jednotlivé stejné neznámé i absolutní člen byly pod sebou. Potom rovnice násobíme reálným číslem tak, aby po jejich sečtení došlo k vyloučení jedné ze dvou neznámých. Vyřešíme tuto rovnici a následně se s výsledkem vracíme do soustavy do jedné ve dvou rovnic k dořešení druhé neznámé. Např.: .:

/

……rovnice sečteme

Návratem do jedné z rovnic (třeba do první) dopočítáme x: ….. [4;7] je řešením dané soustavy. Soustava může mít 1 řešení (viz. uvedený příklad), nekonečně mnoho řešení (jedna rovnice je celá reálným násobkem druhé) nebo nemá řešení (jedna rovnice je celá reálným násobkem druhé až na absolutní člen).

66

Algebra

Slovní úlohy na soustavy dvou rovnic o dvou neznámých jsou obdobné jako u lineárních rovnic, viz. kapitola „Vyjádření neznámé ze vzorce, slovní úlohy“ Např.: Na dvoře běhalo celkem 36 zvířat – slepice a králíci. Bylo tam celkem od těchto zvířat 106 nohou. Kolik tam bylo slepic a kolik králíků? slepic……………..x ks králíků………………y ks Noh slepičích……………….2x Noh králičích………………4y Celkem zvířat ……………..36 Celkem nohou……………..106 /

-2 ….rovnice sečteme

Dopočítáme

návratem do rovnice

Slepic je 19, králíků 17. Zkoušku lze provést návratem do zápisu a ověřit počet nohou.

Algebra

Soustava dvou lineárních rovnic Varianta A Řešte soustavu:

Příklad: /

… rovnice sečteme

Návratem do 2. Rovnice:

Zk:



67

68

Algebra

Příklady k procvičení: 1) Řešte soustavu:

2) Řešte soustavu:



Algebra

69

Soustava dvou lineárních rovnic Varianta B Na poště měli 100 kolků v hodnotě 20 Kč nebo 50 Kč v celkové hodnotě 3110 Kč. Kolik bylo kterých? Příklad: 2

Z první rovnice vyjádříme x pomocí y a dosadíme do 2. Rovnice:

Kolků v hodnotě 20 Kč bylo 63 kusů, kolků v hodnotě 50 Kč bylo 37 kusů. Výsledek řešení: Kolků v hodnotě 20 Kč bylo 63 kusů, kolků v hodnotě 50 Kč bylo 37 kusů.


70

Algebra

Příklady k procvičení: 1) V obchodě měli 2 druhy sešitů v celkové hodnotě 1722 Kč. Sešitů bylo celkem 40 kusů. Jeden druh byl po 35 Kč, druhý po 49 Kč. Kolik bylo kterých? 2) Řešte početně i graficky:



Algebra

Soustava dvou lineárních rovnic Varianta C Řešte soustavu:

Příklad: /:2 /:3 a roznásobíme závorky

/



a rovnice sečteme

71

72

Algebra

Příklady k procvičení: 1) Řešte soustavu:



4) Určete čísla, jejichž rozdíl i podíl se rovná 5.

Algebra

Kvadratické rovnice, nerovnice Kvadratické rovnice jsou takové rovnice, kde se neznámá vyskytuje ve druhé mocnině. ;

Řešení: a) Rovnice bez absolutního i lineárního členu /

Např.

b) Rovnice bez absolutního členu ……vytkneme x ……součin je roven 0, je-li nulový jeden z činitelů

Např.:

73

74

Algebra

c) Rovnice bez lineárního členu

…….. .......... Např.:

Např.:

d) Řešení rovnice vzorcem

je

Algebra

75

Rozklad kvadratického výrazu na součin lineárních dvojčlenů: ….. a=1

Kvadratické nerovnice:

a) Využíváme znalosti grafu kvadratické funkce. Vyřešíme jako rovnici. Tím, že určíme její kořeny určíme průsečíky s osou x, znázorníme si parabolu (pozor, je-li kvadratický koeficient (+), parabola je otevřená nahoru, je-li (-), je otevřená směrem dolů. Pokud jsme měli nerovnici , vypíšeme, pro která x je parabola nad osou x nebo na ní (protože je připuštěna i rovnost) , vypíšeme, pro která x je parabola nad osou x , vypíšeme, pro která x je parabola pod osou x nebo na ní (protože je připuštěna i rovnost) ; vypíšeme, pro která x je parabola pod osou x

76

Algebra

Např.:

Funkce je nad osou nebo na ose x pro Např.:

Algebra

77

Kvadratické nerovnice lze řešit i rozkladem na součin. Musíme si uvědomit, kdy je součin dvou činitelů kladný a kdy záporný, případně připustit nulovost výrazu.

78

Algebra

Kvadratické rovnice, nerovnice Varianta A Řeš rovnici Příklad: Jedná se o vzorec - druhá mocnina rozdílu Rovnice má jeden dvojnásobný kořen Kdybychom řešili vzorcem, došli bychom ke stejnému závěru, diskriminant = 0:


Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Řeš rovnici 2) Řeš rovnici 3) Řeš rovnici 4) Řeš rovnici

Algebra

Kvadratické rovnice, nerovnice Varianta B Řeš rovnici Příklad:

Příklad:


Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Řeš rovnici 2) Řeš rovnici 3) Řeš nerovnici 4) Řeš nerovnici

79

80

Algebra

Kvadratické rovnice, nerovnice Varianta C Čitatele i jmenovatele zlomku

rozložte na součin a potom kraťte na základní tvar.

Příklad:

Podmínky:

Výsledek řešení: Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

Příklady k procvičení: 1) Rozložte na součin a následně kraťte: 2) Najděte kvadratickou rovnici, která má kořeny (-11) a 6. 3) Řešte rovnici: 4)

Algebra

81

Nerovnice Lineární nerovnice, soustavy lineárních nerovnic Nerovnost:

Uvedené nerovnosti jsou pravdivé. Nerovnost např.

je nepravdivá (nepravda).

Lineární nerovnice: vyskytuje se neznámá např.

.

Řešením lineární nerovnice je každé číslo, které po dosazení za neznámou do dané nerovnice dá pravdivou nerovnost. Ekvivalentní úpravy při řešení nerovnic: řešení nerovnice se nezmění, přičteme-li (odečteme-li) k oběma stranám nerovnice

-

totéž číslo, tentýž výraz řešení nerovnice se nezmění, násobíme-li (dělíme-li) obě strany nerovnice stejným

-

číslem, výrazem větším jak 0. řešení nerovnice se nezmění, násobíme-li (dělíme-li) obě strany nerovnice stejným

-

číslem, výrazem menším jak 0. Znak nerovnosti se ale obrátí: tedy . Grafické znázornění řešení lineární nerovnice s jednou neznámou = polopřímka: Obr.1:

:

2

7,7 Obr.1

3,5

Obr.2

-3 Obr.3

Obr.4

82

Algebra

Pokud není uvedeno, v jakém oboru nerovnice řešíme, tedy zda v množině přirozených čísl N, celých čísel - Z, je bráno automaticky řešení v R – množině čísel reálných. Z našeho obr. 1, by bylo řešení v N: řešení v Z: řešení v R: Z našeho obr. 2, by bylo řešení v N: řešení v Z: řešení v R: Z našeho obr. 3, by bylo řešení v N: řešení v Z: řešení v R: Z našeho obr. 4, by bylo řešení v N: řešení v Z: řešení v R: Soustavy lineárních nerovnic o jedné neznámé: Máme-li řešit soustavu dvou nebo i více lineárních nerovnic o jedné neznámé, řešíme každou nerovnici ze soustavy zvlášť a řešením soustavy je průnik jednotlivých řešení. Je dobré si řešení jednotlivých nerovnic znázornit graficky do jednoho obrázku, lépe se potom řešení soustavy určuje. Např.: řešte soustavu dvou nerovnic:

/ +1 / :2 … 1. nerovnice ... 2. nerovnice

Řešením této soustavy je průnik daných intervalů, tedy Graficky:

6

14,2

Algebra

Lineární nerovnice, soustavy lineárních nerovnic Varianta A Řešte graficky i početně: a) b) Příklad: a)

/ : 10 ………. 0,5

jedná se o soustavu dvou lineárních nerovnic:

a)

…….. řešením je

a zároveň

…….. řešením je

3

15

Řešení soustavy :

Výsledek řešení: a)


; b)

83

84

Algebra

Příklady k procvičení: 1) Řešte nerovnice: a) 2) Řešte nerovnice a) 3) Řešte nerovnice 4) Řešte :

Algebra

Lineární nerovnice, soustavy lineárních nerovnic Varianta B a) nerovnici b) Soustavu lineárních nerovnic Příklad: a) / -2x / +1 …………

b) ……………………………. ……

……….…

-1,5

3

Řešení:

Výsledek řešení: a)


b)

85

86

Algebra

Příklady k procvičení: 1) Řešte nerovnici: 2x-5 2) Řešte nerovnici: 3) Řešte nerovnici: 4) Řešte soustavu nerovnic:

Algebra

Lineární nerovnice, soustavy lineárních nerovnic Varianta C Řešte nerovnici

Příklad: / / -9 - 2x / : (-8) …… pozor, otočíme znaménko nerovnosti!

……………..



87

ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE

Recommend Documents