Lineární algebra
1.
1
LINEÁRNÍ ALGEBRA
1.1. Matice 1.1.1. Základní pojmy Maticí typu m/n nazýváme schéma m.n prvků, které jsou uspořádány do m řádků a n sloupců: a11 a12 a1n a 21 a 22 a 2 n Am/n = A = = (aij). a m1 a m 2 a mn V tomto schématu • pro řádky a sloupce užíváme společný název řada, • číslo i = 1, 2, …, m nazýváme řádkový index, • číslo j = 1, 2, …, n je sloupcový index, • prvek aij s řádkovým indexem i a sloupcovým indexem j je umístěn v i-tém řádku a j-tém sloupci, • prvky a11 , a 22 ,...., a nn nazýváme diagonální prvky matice, tyto prvky tvoří hlavní diagonálu matice, • prvky am1, am-1,2, am-2,3, … tvoří vedlejší diagonálu matice. Matice libovolného typu, • jejíž všechny prvky jsou 0, se nazývá nulová matice a značí se O, • která vznikne z dané matice A výměnou řádků za sloupce se nazývá matice transponovaná k matici A a značí se AT, je zřejmé, že platí (AT)T = A, • v níž platí m = n, se nazývá čtvercová matice řádu n. Čtvercová matice, • která má nenulové prvky pouze pod hlavní diagonálou nebo pouze nad hlavní diagonálou se nazývá trojúhelníková matice, • která má nenulové prvky pouze na hlavní diagonále, se nazývá diagonální matice, • jejíž všechny prvky na hlavní diagonále se rovnají 1 a zbývající prvky jsou nulové, se nazývá jednotková matice a značí se E,
1 0 0 například E = 0 1 0 je jednotková matice řádu 3, 0 0 1 • která má pouze jeden řádek nebo pouze jeden sloupec se nazývá aritmetický vektor, buď řádkový u = (u1, u2, u3, …, un)
v1 v2 nebo sloupcový v = = (v1 , v 2 , , v n ) T. v n
Jarmila Doležalová
Lineární algebra
2
1.1.2. Operace s maticemi Rovnost matic A = B Dvě matice A a B jsou si rovny, jestliže jsou téhož typu a vzájemně si odpovídající prvky jsou si rovny: aij = bij pro ∀i, j. Součet matic A + B téhož typu je matice C stejného typu, pro jejíž prvky platí: C = (cij) = (aij + bij) pro ∀i, j. Součin matice A a reálného čísla k je matice D téhož typu jako A, pro jejíž prvky platí:
D = (dij) = (kaij) pro ∀i, j.
Součin matic A a B Součinem matice A typu m/n a matice B typu n/p (počet sloupců matice A musí být roven počtu řádků matice B) v tomto pořadí je matice C typu m/p, pro niž platí: C = (cij) = (ai1.b1j + ai2.b2j + … + ain.bnj). Prvek cij vznikne vynásobením prvků i-tého řádku matice A odpovídajícími prvky j-tého sloupce matice B (je to skalární součin i-tého řádku matice A a j-tého sloupce matice B) . Součin matic obecně není komutativní: A.B ≠ B.A 3 4 1 0 −3 2 a B = Příklad 1.1: Jsou dány matice A = . 0 2 −1 1 −1 2 Vypočítejte matice A+B, A-B, B-A, 3A, 4B, 3A+4B. 2 + 1 3 + 0 4 − 3 3 A+B = = 2 −1 0 + 1 1 −1 + 2 3.3 −1 − 3 − 7 3.2 , 3A = A = 3.2 1 3( −1) 3 −3 4 0 − 12 10 , 4B = 3A+4B = 5 8 − 4 4
Řešení:
3 1 1 3 7 A-B = , , 1 1 − 3 3 − 1 3.4 6 9 12 , = 3.0 − 3 6 0 9 0 . 2 4
Příklad 1.2: V autosalónech A a B se doprodávají staré modely (SM) a současně zavádějí nové modely (NM) automobilu. Přehled tržeb (v tisících Kč po řádcích pro autosalóny A, B) za prosinec je dán maticí P, přehled za leden maticí L. SM
NM
SM
18000 36000 A P = 0 B 36000 Vypočítejte:
NM
72000 144000 A L = 90000 108000 B
a) Jaké byly celkové tržby za jednotlivé modely v obou autosalónech? b) O kolik vzrostla tržba v lednu? c) Provize z prodeje činí 5%. Kolik činí provize pro jednotlivé prodejny podle modelů aut v lednu? Řešení: a)
SM
NM
90000 180000 A P+L = 126000 108000 B Jarmila Doležalová
b)
SM
NM
54000 108000 A L-P= 54000 108000 B
c)
SM
NM
3600 7200 A 0,05L = 4500 5400 B
B-
Lineární algebra
3 3 3 1 C= 1 1 1
Příklad 1.3: Jsou dány matice
a
Vypočítejte matice K = C.D a M = D.C.
2 3 D = 1 0 . 2 0
Řešení: Matice C je typu 2/3 a matice D typu 3/2, můžeme je tedy násobit v tomto pořadí, přičemž výsledná matice K = C2/3.D3/2 bude typu 2/2. Uvedené matice můžeme násobit také v opačném pořadí, přičemž výsledná matice M = D3/2.C2/3 bude typu 3/3. 9 9 5 11 9 , K = C.D = M = D.C = 3 3 1 , 5 3 6 6 2 k11 = 3.2+3.1+1.2 = 11 m11 = 2.3+3.1 = 9 m12 = 2.3+3.1 = 9 k12 = 3.3+3.0+1.0 = 9 m13 = 2.1+3.1 = 5 m21 = 1.3+0.1 = 3 k21 = 1.2+1.1+1.2 = 5 m22 = 1.3+0.1 = 3 m23 = 1.1+0.1 = 1 k22 = 1.3+1.0+1.0 = 3 m31 = 2.3+0.1 = 6 m32 = 2.3+0.1 = 6 m33 = 2.1+0.1 = 2 Je zřejmé, že C.D ≠ D.C. 1.1.3. Cvičení
2 − 1 3 1 0 1 1 2 3 , B = a C = 1. Jsou dány matice A = . − 1 0 1 0 1 2 0 1 0 Vypočítejte matice: a) 3A, b) -2B, c) A+B, d) 3A-2B, e) (A+B)+C, f) A+(B+C). 3 6 9 3 1 6 − 4 2 − 6 − 1 8 3 4 1 7 , b) , c) , d) , e, f) ] [a) 3 1 1 − 0 3 − 3 0 − 2 − 4 − 3 − 2 − 1 − 1 2 3
2. Z rovnice 3A + 2X = 5B vypočítejte neznámou matici X, jsou-li matice A a B zadány 7 −11 3 v příkladu 1. [ 32 25 7 ] 2 2 2 1 3. Jsou dány matice A = −1
2 a B= 0
1 0 4. Jsou dány matice C = 0 1 1 0 Vypočítejte matice: a) C.D,
1 − 1 . Vypočítejte matice: a) A.B, b) B.A. 0 1 2 2 1 1 , b) ] [a) −1 0 − 1 1
1 0 a D = 1 b) D.C.
− 1 1 − 1 1 − 1 1 . 1 1 − 1
0 2 − 2 [a) 1 − 1 1 , b) 0 2 − 2
Jarmila Doležalová
− 2 1 − 2 2 −1 2 ] 0 1 0
Lineární algebra
4
2 1 1 0 . Vypočítejte matice: a) F.G, b) G.F. 5. Jsou dány matice F= 1 2 a G= 0 1 1 0 [a) F, b)nelze] a b 2 − 3 1 − 2 . + = 6. Určete neznámé a, b, c, d z rovnice: c d 0 1 3 − 4 [a=-1, b=1, c=3, d=-5] 3x 5 2 y − 3 7 + = 7. Vypočítejte neznámé x a y, platí-li: 6 1 4 y − x − − − 7
2 . 2
[ x = 1, y = 2 ]
8. Akciová společnost vyrábí ve dvou závodech U a V dva výrobky R a S. Výrobní cena každého výrobku složená z ceny materiálu M a ceny práce P je dána maticemi: závod U závod V R S R S M P
30 25 60 80
M P
36 27 54 74 R
Vypočítejte průměrnou cenu výrobků z obou závodů.
[M P
S
33 26 ] 57 77
1.2. Determinanty 1.2.1. Základní pojmy Determinantem řádu n čtvercové matice A, jejímiž prvky jsou reálná čísla, nazýváme číslo, které označujeme det A nebo také A nebo pouze A a pro které platí: Je-li n = 1, pak det A = a11 ,
a11 a pro n > 1 je det A = 21 ... a n1 = a11
a12 a 22 ... an2
... a1n ... a 2 n = a11 D11 − a12 D12 + ... + (−1)1+ n a1n D1n = ... ... ... a nn
a 22 a 2 n a 21 a 23 a 2 n a 21 a 2,n −1 1+ n − a12 + ... + (−1) a1n . a n 2 a nn a n1 a n3 a nn a n1 a n,n −1
Toto vyjádření determinantu nazýváme Laplaceovým rozvojem determinantu podle prvního řádku. Obecně můžeme determinant vypočítat Laplaceovým rozvojem podle libovolného řádku, případně sloupce. Determinant D, který přísluší matici D n-tého řádu, obecně lze vyjádřit: Laplaceovým rozvojem podle i-tého řádku n
D=
∑ (−1) i+ j aij Dij = (−1) j =1
Jarmila Doležalová
i +1
ai1 Di1 + (−1) i + 2 ai 2 Di 2 + ... + (−1) i + n ain D in ,
Lineární algebra
5
nebo Laplaceovým rozvojem podle j-tého sloupce n
D=
∑ (−1) i+ j aij Dij = (−1) i =1
1+ j
a 1 j D1 j + (−1) 2+ j a 2 j D2 j + ... + (−1) n + j a nj D nj .
• Výraz (-1)i+j nazýváme znamení prvku aij (nabývá pouze dvou hodnot +1 nebo -1) . • Determinant Dij, který vznikne z determinantu D, jestliže v něm vynecháme i-tý řádek a j-tý sloupec, nazýváme subdeterminant vzhledem k prvku aij. • Součin znamení prvku a příslušného subdeterminantu (-1)i+j Dij nazýváme algebraický doplněk k prvku aij . Determinant je tedy součet součinů prvků některé řady s jejich algebraickými doplňky Protože výpočet determinantu Laplaceovým rozvojem podle některé řady bývá velmi pracný, uvedeme důležité vlastnosti determinantu, které nám výpočet usnadní: • Hodnota determinantu se nezmění, zaměníme-li v něm řádky za sloupce. • Determinant, v němž některá řada obsahuje pouze nuly, je roven nule. • Vyměníme-li v determinantu dvě rovnoběžné řady, determinant změní znaménko. • Má-li determinant dvě rovnoběžné řady shodné, je roven nule. • Determinant, v němž je některá řada násobkem jiné, s ní rovnoběžné řady, je roven nule. • Násobíme-li některou řadu determinantu D reálným číslem c ≠ 0, dostaneme determinant, jehož hodnota je cD. • Přičteme-li k některé řadě determinantu nenulový násobek jiné, s ní rovnoběžné řady, hodnota determinantu se nezmění. 1.2.2. Výpočet determinantu 2. a 3. řádu Pro determinant 2. a 3. řádu existují speciální způsoby výpočtu. Není tedy nutno počítat je Laplaceovým rozvojem podle vhodné řady (ale samozřejmě to možné je). Determinant 2. řádu vypočteme, jestliže od součinu prvků na hlavní diagonále odečteme součin prvků na vedlejší diagonále: a11 a 12 det A = = a11a22 − a21a12 , a21 a22 Příklad 1.4: Vypočtěte determinant B = Řešení:
1 3 . 4 5
B = 1.5 – 4.3 = 5 - 12 = -7
Determinant 3. řádu počítáme pomocí Sarrusova pravidla: a11 a12 a13 a a 23 a a 23 a a 22 det A = a 21 a 22 a 23 = a11. 22 - a12. 21 + a13. 21 = a32 a33 a31 a33 a31 a32 a31 a32 a33 = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 - ( a31a22a13 + a11 a32a23 + a21a12a33). Výpočet si snadno zapamatujeme, jestliže matici daného determinantu rozšíříme o čtvrtý a pátý řádek, které jsou rovny prvnímu a druhému řádku. Nyní sečteme tři součiny tří prvků ve směru hlavní diagonály a od nich odečteme součet tří součinů tří prvků ve směru vedlejší diagonály. K témuž výsledku dojdeme rozšířením matice determinantu o čtvrtý a pátý sloupec, do nichž přepíšeme první a druhý sloupec. Jarmila Doležalová
Lineární algebra
a11 a 21 a 31 a11 a 21
a12 a 22 a32 a12 a 22
a13 a 23 a33 a13 a 23
6
,
a11 a 21 a31
Příklad 1.5: Vypočtěte determinant C =
a11 a 21 a31
a13 a 23 a33
a12 a 22 a32
6 0
a12 a 22 . a32
1 2 3 −1 . 2 1
4 Řešení: Příslušná upravená matice má tvar:
6 0 4 6 0
1 2 3 − 1 2 1 , případně 1 2 3 − 1
6 1 2 6 1 0 3 − 1 0 3 . 4 2 1 4 2
Výpočet podle Sarrusova pravidla: C= 6.3.1 + 0.2.2 + 4.1.(-1) – [2.3.4 + (-1).2.6 + 1.1.0] = = 18 + 0 - 4 - ( 24 - 12 + 0 ) = 14 - 12 = 2 Poznámka: Pro determinanty vyššího řádu než třetího obdobné pravidlo neplatí!!! 2 Příklad 1.6: Vypočtěte determinant D =
0
4
2
3 −2
3
1
0
4
5 −1
−1
2
1
.
3
Řešení: Determinant vypočítáme Laplaceovým rozvojem podle vhodné řady. Přitom za vhodnou řadu považujeme tu řadu, ve které je nejvíce nul. Další nuly můžeme v determinantu vytvořit na základě jeho vlastností: - V determinantu D nejprve z druhého sloupce vytkneme před determinant 2. - Dvojnásobek druhého řádku přičteme k řádku třetímu. - Ke čtvrtému řádku přičteme řádek druhý. - Laplaceův rozvoj (1b) provedeme podle druhého sloupce, ve kterém nyní jsou 3 nuly. 2 0 4 2 2 0 4 2 2 4 2 3 −1 3 1 3 −1 3 1 2+2 D=2 =2 = 2 (-1)(-1) 6 11 1 = 6 0 11 1 0 2 5 −1 2 4 4 2 0 4 4 −1 1 1 3 = -2 [ 88 + 48 + 8 - ( 44 + 8 + 96 )] = 8 (výpočet podle Sarrusova pravidla) nebo ještě dále upravíme odečtením prvního řádku od řádku třetího a pak provedeme Laplaceův rozvoj (1a) podle třetího řádku: 2 4 2 2 4 2 2 4 D = -2 6 11 1 = -2 6 11 1 = -2.2.(-1)3+3 =8. 6 11 2 4 4 0 0 2 Poznámka: Uvedený postup řešení není jediný možný. Způsobů, jak získat v některé řadě determinantu co nejvíce 0, je celá řada. Jarmila Doležalová
Lineární algebra
7
1.2.3. Hodnost matice Čtvercová matice A se nazývá • regulární, je-li její determinant různý od nuly, • singulární, je-li její determinant roven nule. Hodnost matice A je maximální řád regulární matice, kterou lze z dané matice vybrat.
Příklad 1.7: Rozhodněte, zda matice D =
2
0
3 −2 0 4 −1
2
2 3 1 je regulární. 5 − 1 1 3
4
Řešení: Protože příslušný determinant D = det D = 8 (viz příklad 1.6.) je nenulový, je matice D regulární. Hodnost matice D je proto h(D)= 4.
1 0 2 1 Příklad 1.8: Určete hodnost matice A = 0 1 3 2 . 1 1 5 3 Řešení: Z matice A vybereme čtvercovou matici řádu 1, kterou vytvoří její libovolný nenulový prvek, například A1 = (a11) = (1). Protože její determinant je nenulový (A1 = 1), je matice A1 regulární a hodnost matice A je tedy aspoň 1. Nyní vytvoříme čtvercovou matici řádu 2 takovou, aby obsahovala matici A1 : 1 0 , její determinant je nenulový (A2 = 1), a proto je matice A2 regulární a hodnost A2 = 0 1 matice A je tedy aspoň 2. Vytvoříme čtvercovou matici řádu 3 takovou, aby obsahovala matici A2 : 1 0 2 A3 = 0 1 3 , její determinant A3 = 0, a proto je matice A3 singulární. 1 1 5 Musíme tedy vytvořit jinou čtvercovou matici řádu 3, která obsahuje matici A2 : 1 0 1 A3 = 0 1 2 , rovněž její determinant A3 = 0, a proto je také matice A3 singulární. 1 1 3 Protože žádná další čtvercová matice řádu 3, která obsahuje matici A2 neexistuje, je hodnost matice A rovna h(A)=2. Poznámky: 1. Postup určení hodnosti matice použitý v příkladu 1.8. se nazývá vroubení. 2. Jiný způsob určení hodnosti matice spočívá v převedení matice na trojúhelníkový tvar pomocí následujících ekvivalentních úprav, které nemění hodnost matice. • výměna dvou řádků, • vynásobení řádku nenulovým číslem, • vynechání řádku se samými nulami, • přičtení nenulového násobku jednoho řádku k řádku jinému.
Jarmila Doležalová
Lineární algebra
8
Hodnost matice je pak rovna počtu nenulových řádků matice v trojúhelníkovém tvaru. Tuto metodu určení hodnosti matice budeme používat při řešení soustav lineárních algebraických rovnic. Příklad 1.9: Určete hodnost matice A z příkladu 1.8. převedením na trojúhelníkový tvar. Řešení: V matici A nejprve odečteme od třetího řádku řádek první a pak v této upravené matici odečteme od třetího řádku řádek druhý
1 0 2 1 1 0 2 1 1 0 2 1 A = 0 1 3 2 ≈ 0 1 3 2 ≈ 0 1 3 2 . 1 1 5 3 0 1 3 2 0 0 0 0 V trojúhelníkové matici zůstaly 2 nenulové řádky, proto je hodnost matice A rovna h(A) = 2. 1.2.4. Cvičení 1. Vypočítejte determinanty: a)
2 −5
3 2 , b) 5 4
1
7
, c)
1 3 5 2 a −1 , d) , e) . 2 9 0 1 a a −a [a) 2, b) 19, c) 3, d) 5, e) 0]
2. Pomocí Sarrusova pravidla vypočítejte determinanty: 1 2 0 1 5 −3 3 −2 4 a
−a
a a) 3 −2 4 , b) −1 5 3 , c) 2 0 3 , d) a a −a . 0 1 2 2 6 −1 2 −4 −3 a −a −a [a) –33, b) –39, c) –11, d) –4a3]
3. Vyřešte rovnice:
−1 −2 2x −3 1 a) = 0, b) 1 x − 1 1− x
x
x
x2 1 = 0, c) x
4 2
1
1
1 2
9 3 = 0. 1
[a) 1, 32 , b) 2, c) 2, 3] 4. Pomocí Laplaceova rozvoje podle vhodné řady vypočítejte determinanty: 2 6 4 −2 6 7 7 −1 2 9 9 4 5 22 19 2 − 10 − 9 − 9 0 2 −3 12 8 a) , b) , c) . 1 5 7 1 0 −1 − 2 2 4 8 3 −5 2 11 8 3 6 6 7 0 1 2 6 4 [a) -28, b) 0, c) 147] 5. Vypočítejte hodnost matic: 1 −3 2 − 7 1 2 , b) 4 a) 5 , c) 1 6 − 3 − 6 2 0 2 6 f) −3 5
0 1 5 16
Jarmila Doležalová
1 3 2 −1 3 2 4 , d) 4 −3 5 , e) −1 3 2 , 9 5 −1 2 −1 4 2
− 1 1 0 −1 0 − 1 1 0 1 , g) 1 0 2 1 −1 7 − 5 −1 −1 0 1
1 0 2 . 1 2 3 − 1 [a) 2, b) 2, c) 2, d) 3, e) 3, f) 4, g) 4]
0
Lineární algebra
9
1.3. Inverzní matice 1.3.1. Základní pojmy Ke každé regulární matici A řádu n existuje inverzní matice řádu n, kterou značíme A−1 a pro −1 kterou platí A= . A−1 A= .A E . det A= 0 → A je singulární → A−1 neexistuje, det A ≠ 0 → A je regulární → A−1 existuje.
a11 a12 a1n a a22 a2 n 21 Je-li dána regulární matice A = , pak její inverzní matice má tvar an1 an 2 ann 1 A −1 = adjA , kde adjA je matice adjungovaná k matici A. det A − D12 D11 − D21 D22 adjA = n +1 n+2 ( −1) Dn1 ( −1) Dn 2
( −1)1+ n D1n ( −1)2+ n D2 n , Dnn
kde Dij je subdeterminant k prvku aij v matici AT transponované k matici A. Poznámka: Jiný postup určení inverzní matice spočívá v převedení matice A pomocí ekvivalentních úprav na jednotkovou matici E . Provedeme-li tytéž ekvivalentní úpravy s jednotkovou maticí E téhož řádu, převedeme ji na matici inverzní A−1 : E A stejné ekvivalentní úpravy
E
A −1
1.3.2. Výpočet inverzní matice Praktický výpočet provádíme podle následujícího algoritmu: 1. Vypočítáme determinant dané matice det A . 2. Pokud platí det A = 0 , je matice A singulární a inverzní matice A−1 k ní neexistuje (tedy ji NEPOČÍTÁME!!!). Pokud platí det A ≠ 0 , je matice A regulární a inverzní matice A−1 k ní existuje (pokračujeme dále). 3. Utvoříme transponovanou matici AT ( výměnou řádků za sloupce). 4. Vytvoříme adjungovanou matici adjA tak, že všechny prvky aij transponované matice AT nahradíme jejich algebraickými doplňky ( −1)i + j Dij .
Jarmila Doležalová
Lineární algebra
10
5. Inverzní matici získáme dosazením do vzorce A−1 =
1 adjA . det A
−1 6. Kontrolu správnosti provedeme zkouškou: A= . A−1 A= .A E
1 2 Příklad 1.10: Určete k matici A = matici inverzní. −1 3 1 2 Řešení: 1. det A = = 3 − ( −2) = 5 −1 3 2. Platí det A ≠ 0 , tedy matice A je regulární a inverzní matice A−1 k ní existuje. 1 −1 AT = 2 3 4. Nejprve určíme subdeterminanty Dij příslušné k jednotlivým prvkům aij v transponované matici AT : D11= 3 = 3 D12= 2 = 2 D21= −1 = -1 D22= 1 = 1
3. Vypočítáme výměnou řádků za sloupce transponovanou matici AT :
Doplněním znamének jednotlivých prvků aij k příslušným subdeterminantům Dij získáme −2 3 algebraické doplňky ( −1)i + j Dij , které vytvářejí adjungovanou matici adjA = −( −1) 1 5. Dosadíme do vzorce A−1 =
1 adjA = det A
1 5
−2 1 3 −2 3 −( −1) 1 = 5 1 1 .
−1 1 2 1 3 −2 6. Provedeme zkoušku: A. A = . 5 . 1 1 = −1 3
Řešení: 1. det B =
5 0 1 0 0 5 = 0 1 = E
5 3 matici inverzní. 1
4 2 Příklad 1.11: Určete k matici B = 3 2 0 −2 4 2 3 2 0 −2
1 5
5 3 = 8 - 30 +0-(0- 24 + 6) = -4 1
2. Platí det B ≠ 0 , tedy matice B je regulární a inverzní matice B −1 k ní existuje.
3 0 4 2 −2 3. Vypočítáme výměnou řádků za sloupce transponovanou matici B : B = 2 3 1 5 4. Nejprve určíme subdeterminanty Dij příslušné k jednotlivým prvkům bij v transponované matici BT : 2 −2 2 −2 2 2 D11= =8 D12= = 12 D13= = -4 3 1 5 1 5 3 T
D21=
Jarmila Doležalová
3
0
3
1
=3
D22=
4
0
5
1
=4
D23=
T
4
3
5
3
= -3
.
Lineární algebra
11
3 0 4 4 0 3 = -6 D32= = -8 D33= =2 2 −2 2 −2 2 2 Doplněním znamének jednotlivých prvků bij k příslušným subdeterminantům Dij získáme algebraické doplňky ( −1)i + j Dij , které vytvářejí
D31=
adjungovanou matici adjB =
−12 −4 8 −3 4 −( −3) . −6 −( −8) 2
8 −12 1 4 5. Dosadíme do vzorce B = adjB = − 41 −3 det B 8 −6 −1
6. Provedeme zkoušku: 2 5 8 −12 4 −1 B.B = 3 2 3 .( − 41 ) −3 4 1 8 0 −2 −6
−4 3 = − 41 2
−4 3 . 2
0 0 −4 0 = 0 −4 0 −4 0
1 0 0 0 1 0 = E 0 0 1
1.3.3. Cvičení K dané matici určete inverzní matici:
0 1 −1 1 0 0 5 −3 0 4 1 −2 a) ; c) ; b) ; d) 3 1 0 ; e) 1 0 −1 ; 1 6 8 6 −4 −3 0 −1 1 0 3 1 1 −1 1 −3 2 1 −3 1 1 f) −4 −5 6 ; g) 2 −5 0 ; h) 3 −8 5 . −3 −3 4 3 −8 6 2 −3 −3
[
2 a) 91 3
5 18 1 6
0 0 , e) neexistuje, 1
1 0 −1 1 1 2 , b) 13 6 , c) − 15 , d) −3 1 3 1 4 0 9 −3
1 −1 2 f) 2 −1 2 , g) 3 0 1
15 −12 6 −5 −3 4
5 2 , h) 1
−8 2 −3 0 0 −1
1 1 1
]
1.4. Soustavy lineárních algebraických rovnic 1.4.1. Definice soustavy Soustavou m lineárních algebraických rovnic o n neznámých nazýváme systém rovnic tvaru: a11 x1 + a 21 x1 + a m1 x1
+
a12 x 2
+
a 22 x 2
+
am2 x2
+
V soustavě nazýváme: • x1, x2, …, xn neznámé, Jarmila Doležalová
+
a1n x n
=
b1
+
a2n xn
=
b2
+
a mn x n
=
bm
.
Lineární algebra
12
• reálná čísla aik (i = 1, 2, …, m, k = 1, 2, ..., n) koeficienty, • reálná čísla bi (i = 1, 2, ..., m) pravé strany soustavy,
• matici
• matici
a11 a Am/n = 21 a m1
a12 a 22 am 2
a1n a2n maticí soustavy, a mn
x1 x Xn/1 = 2 maticí neznámých, x n
b1 b • matici Bm/1 = 2 maticí pravých stran, b m a11 a12 a1n b1 a 21 a 22 a 2 n b2 • matici A|Bm/n+1 = , která vznikne připojením matice B a m1 a m 2 a mn bm k matici A, rozšířenou maticí soustavy. Soustavu nyní můžeme jednoduše zapsat ve tvaru Am/n . Xn/1 = Bm/1. Platí-li v soustavě pro všechny pravé strany b1 = b2 = ... = bm = 0, nazývá se soustava homogenní: Am/n.Xn/1 = O. Řešením soustavy nazýváme každý sloupcový vektor k = ( k1 , k 2 ,, k n )T takový, že po dosazení čísel k1 , k 2 ,, k n do rovnic soustavy za neznámé x1 , x2 ,, xn jsou všechny tyto rovnice současně splněny. O existenci řešení soustavy rozhodujeme na základě Frobeniovy věty: Soustava m lineárních algebraických rovnic o n neznámých má řešení právě tehdy, když hodnost matice soustavy je rovna hodnosti rozšířené matice soustavy. Označíme-li tuto společnou hodnost h, pak platí: je-li h = n, má soustava jediné řešení, je-li h < n, má soustava nekonečně mnoho řešení, která můžeme vyjádřit pomocí n-h parametrů. Homogenní soustava má vždy nulové (triviální) řešení (0, 0, ..., 0)T. 1.4.2. Gaussova eliminační metoda Universální metoda, pomocí které můžeme vyřešit každou soustavu lineárních algebraických rovnic, se nazývá Gaussova eliminační metoda. Její princip spočívá v převedení rozšířené matice soustavy A|B na trojúhelníkový tvar pomocí ekvivalentních úprav, které nemění hodnost matice: Postup řešení si předvedeme na příkladech.
Jarmila Doležalová
Lineární algebra
13
Příklad 1.12: Vyřešte soustavu rovnic
x1 + 2 x 2 + 5 x3 = − 9 x1 − x 2 + 3 x3 = 2 3 x1 − 6 x 2 − x3 = 25
.
Řešení: V zadané soustavě je počet rovnic shodný s počtem neznámých: m = n = 3. Rozšířenou matici soustavy upravíme pomocí tabulky, pro jejíž poslední (kontrolní) sloupec, označený v záhlaví ∑, vždy platí: součet prvků v příslušném řádku rozšířené matice soustavy se po provedení příslušné řádkové ekvivalentní úpravy v celém řádku musí rovnat prvku v sloupci kontrolním. x1 x2 1 2 1 -1 3 -6 1 2 0 -3 0 -12 1 2 0 -3 0 0
x3 5 3 -1 5 -2 -16 5 -2 -8
b -9 2 25 -9 11 52 -9 11 8
Σ -1 5 21 -1 6 24 -1 6 0
úpravy r2-r1 r3-3r1
r3-4r2
Upravená rozšířená matice soustavy v trojúhelníkovém tvaru má stejnou hodnost jako původní rozšířená matice soustavy. Pro hodnosti platí: h(A) = h(A|B) = 3 = n. Podle Frobeniovy věty má soustava jediné řešení, které snadno vypočítáme řešením nové soustavy: x1 + 2x2 + 5x3 = -9 ⇒ x1 = -9 – 2x2 – 5x3 = -9 + 6 + 5 = 2 - 3x2 - 2x3 = 11 ⇒ x2 = -(11 + 2x3)/3 = -(11-2)/3 =-3 ⇒ x3 =-1 8x3 = 8 V závěrečném výpočtu jsme postupovali směrem zdola nahoru, tedy od třetí rovnice k rovnici první. Příklad 1.13: Vyřešte soustavu rovnic: x1 + x2 + x3 = 3 x1 + x2 - 3x3 = -1 x1 + 2x2 - 3x3 = 1 2x1 + x2 - 2x3 = 1. Řešení: V zadané soustavě je počet rovnic m = 4 a počet neznámých n = 3. Úpravy rozšířené matice soustavy opět zapíšeme do tabulky: x1 1 1 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0
x2 1 1 2 1 1 0 1 -1 1 1 0 -1
Jarmila Doležalová
x3 1 -3 -3 -2 1 -4 -4 -4 1 -4 -4 -4
b 3 -1 1 1 3 -4 -2 -5 3 -2 -4 -5
Σ 6 -2 1 2 6 -8 -5 -10 6 -5 -8 -10
úpravy r2-r1 r3-r1 r4-2r1 r2↔r3
r4+r2
Lineární algebra
14
1 1 1 3 6 0 1 -4 -2 -5 0 0 -4 -4 -8 0 0 -8 -7 -15 r4-2r3 1 1 1 3 6 0 1 -4 -2 -5 0 0 -4 -4 -8 0 0 0 1 1 V tomto případě je hodnost h(A) = 3, kdežto hodnost h(A|B) = 4, proto podle Frobeniovy věty soustava nemá řešení. Na první pohled to je zřejmé rovněž ze sporu v posledním řádku upravené matice soustavy 0x1 + 0x2 + 0x3 = 1, v němž na levé straně je 0, kdežto na pravé straně 1. Příklad 1.14: Vyřešte soustavu rovnic:
4x1 + x2 - 3x3 - x4 = 0 2x1 + 32 + x3 - 5x4 = 0 x1 - 2x2 - 2x3 + 2x4 = 0 .
Řešení: Jde o homogenní soustavu, v níž m = 3 a n = 4. Pro snadnější úpravy vyměníme v rozšířené matici soustavy první a třetí řádek, aby na hlavní diagonále prvního řádku byl koeficient 1. x1 x2 x3 x4 b Σ úpravy 1 -2 -2 2 0 -1 2 3 1 -5 0 1 r2-2r1 4 1 -3 -1 0 1 r3-4r1 1 -2 -2 2 0 -1 0 7 5 -9 0 3 r2.9 0 9 5 -9 0 5 r3⋅(-7) 1 -2 -2 2 0 -1 0 63 45 -81 0 27 r2:9 0 -63 -35 63 0 -35 r3+r2 1 -2 -2 2 0 -1 0 7 5 -9 0 3 0 0 10 -18 0 -8 Z poslední úpravy je zřejmé, že pro hodnosti platí h(A) = h(A|B) = 3, kdežto n = 4. Proto podle Frobeniovy věty má soustava nekonečně mnoho řešení, která závisí na n – h = 4 – 3 = 1 parametru. Zvolme jako parametr neznámou x4: x4 = p. Pak upravená soustava má tvar: x1 - 2x2 - 2x3 + 2p = 0 ⇒ x1 = -2p + 2x3 + 2x2 = -2p + 18p/5 + 0 = 8p/5 7x2 + 5x3 - 9p = 0 ⇒ x2 = (9p – 5x3)/7 = (9p – 9p)/7 = 0 10x3 -18p = 0 ⇒ x3 = 9p/5 Volíme-li za parametr p libovolná reálná čísla, získáme příslušná řešení soustavy: například pro p = 0: x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0, x4 = 0 (triviální řešení), pro p = 5: x1 = 8, x2 = 0, x3 = 9, x4 = 5, pro p = -5: x1 = -8, x2 = 0, x3 = -9, x4 = -5, atd. 1.4.3. Cramerovo pravidlo Pomocí Gaussovy eliminační metody můžeme řešit libovolnou soustavu lineárních algebraických rovnic. Ve speciálních případech, kdy počet rovnic je roven počtu neznámých (m = n: řešíme tedy soustavu n algebraických rovnic o n neznámých) a matice soustavy je regulární, můžeme k řešení použít Cramerovo pravidlo: Jarmila Doležalová
Lineární algebra
15
Je-li A matice typu n/n a determinant matice soustavy det A = Ds ≠ 0, pak soustava A.X = B má právě jedno řešení 1 X= .(D1, D2,…, Dn)T, Ds kde determinant Di (i = 1, 2, …, n) vznikne z determinantu Ds , nahradíme-li v něm i-tý sloupec sloupcem pravých stran. Poznámka: Podmínka regulárnosti matice soustavy je zřejmá z tvaru řešení (ve jmenovateli zlomku nesmí být 0). Příklad 1.15: Vyřešte soustavu rovnic: 3x1 + x2 + 2x3 = 5 x1 - 5x2 + 2x3 = 7 7x2 + 3x3 = -7 . Řešení: V zadané soustavě je počet rovnic shodný s počtem neznámých: m = n = 3. Ověříme ještě, zda matice soustavy je regulární: 3 12 Ds = 1 − 5 2 = - 76 (≠ 0).
0 73 Vypočítáme determinanty 5 12 3 1 5 3 52 D1 = 7 − 5 2 = - 152, D2 = 1 7 2 = 76, D3 = 1 − 5 7 = 0 −7 7 3 0 7 −7 0 −7 3 a pomocí Cramerova pravidla určíme jednotlivé neznámé: D D D − 152 76 0 x1 = 1 = x2 = 2 = x3 = 3 = = −1 , = 2, =0 . Ds − 76 Ds − 76 Ds − 76 1.4.4 Cvičení 1. Vyřešte vhodnou metodou zadané soustavy rovnic: a) 2x + 3y = 3, 3x + 7y = 2 [x = 3, y = -1] b) 5x – 6y + 3 = 0, x + 2y +7 = 0 [x = -3, y = -2] c) 2x – 6y = 4, 3x – 9y = 1 [nemá řešení] d) 2x + 3y = 5, x – y = -5, x + 2y = 4 [x = -2, y = 3] e) x + 3y – z = 0, y = 1, x – y = -1 [x = 0, y = 1, z = 3] f) x – 3y –2z = -7, 2x + z = 1, 4x –2y + 3z = -11 [x = 2, y = 5, z = -3] g) x – y + z = 2, 2x –3y + 4z = 4, x – z = 2 [x = p+2, y = 2p, z = p] h) 3x –2y –z + t = 0, 2x – y + 4z –3t = 0, x + y – z = 0 [x = p, y = 2p, z = 3p, t = 4p] i) 2x + y – z + t = 0, x – y + z – t = 3, x + 2y – 2z + 2t = 1, 2x + y + 2t = 3 [nemá řešení] j) x + y + z + t = 2, 2x + 3y + 2z + 4t = 8, 2x + 2y + z – 3t = 1, x + y + z – t = 0 [x = 1, y = 2, z = -2, t = 1] 2. V závodě se vyrábějí tři druhy výrobků A, B, C postupně na třech výrobních linkách A B C P 0,6 1 1,5 P, Q, R v následujícím časovém limitu: . Q 0,6 0,9 1,2 R 0,2 0,3 0,5 Týdenní kapacita linek A, B, C je postupně 380, 330, 120 hodin.
Jarmila Doležalová
Lineární algebra
16
Kolik kusů jednotlivých druhů výrobků je nutno vyrobit, aby byla využita plná kapacita závodu? [A: 50 ks, B: 200 ks, C: 100 ks] 3. Vyřešte příklad 2 pro týdenní kapacitu výrobních linek postupně 260, 234, 82 hodin. [A: 100 ks, B: 140 ks, C: 40 ks] 4. Zlaté šperky se vyrábějí ze slitiny: 24 karátové zlato je čisté, 12 karátové zlato obsahuje 18 karátové zlato obsahuje 18 zlata, atd. Kolik 12 karátového a 24 18 karátového zlata musí klenotník smíchat, aby získal 10 g 14 karátového zlata? 12 karátového zlata] [ 103 18 karátového a 20 3 5. Vyřešte příklad 4 v případě, kdy má klenotník k dispozici pouze 10 karátové a čisté zlato. [ 50 10 karátového a 20 čistého karátového zlata] 7 7
Jarmila Doležalová
12 24
zlata,
