1
Determinanty a inverzn´ı matice
Definice 1 Necht’ A = (aij ) je matice typu (n, n), n ≥ 2. Subdeterminantem Aij matice A pˇr´ısluˇsn´ym pozici (i, j) naz´yv´ ame determinant matice, kter´ a vznikne z A vypuˇstˇen´ım i-t´eho ˇra ´dku a j-t´eho sloupce. Doplˇ nkem Dij naz´yv´ ame ˇc´ıslo Dij = (−1)i+j Aij . Vˇ eta 1 Necht’ A = (aij ) je matice typu (n, n), n ≥ 2. Pak pro kaˇzd´e i ∈ {1, . . . , n} plat´ı det A = ai1 Di1 + ai2 Di2 + · · · + ain Din . Nav´ıc pro kaˇzd´e j ∈ {1, . . . , n}, j 6= i, m´ ame ai1 Dj1 + ai2 Dj2 + · · · + ain Djn = 0 . Pˇ r´ıklad 2 −1 3 −2 2 −1 −2 0 0 4 0 0 0 = −4 · 3 · D21 = = 4 · D23 = 4 · (−1)2+3 · 3 3 0 −1 0 1 −3 2 1 −3 5 2 2+1 −1 −2 = 12 · (−2 − 6) = −96 = −12 · (−1) · −3 2 Vˇ eta 2 Necht’ A je matice typu (n, n). Pak A je regul´ arn´ı p.t.k. det A 6= 0.
D˚ ukaz: Pˇredpokl´ adejme, ˇze det A = 0 a A je regul´ arn´ı (tj. A−1 existuje). Pak 1 = det E = det (A · A−1 ) = det A · det A−1 = 0 · det A−1 = 0 , coˇz je spor. Pˇredpokl´ adejme, ˇze det A 6= 0. Pak uk´aˇzeme, ˇze A−1 =
1 (Dij )T , det A
kde (Dij )T je transponovan´ a matice vˇsech doplˇ nk˚ u matice A. Oznaˇcme B = (Dij )T a vypoˇcteme A · B = C = (cij ). Pak ( det A pro i = j , cij = ai1 Dj1 + ai2 Dj2 + · · · + ain Djn = 0 pro i 6= j . Takˇze C = (det A) · E. Podobnˇe se uk´aˇze, ˇze B · A = (det A) · E.
Pˇ r´ıklad Necht’ A = ad − bc 6= 0, potom A
−1
a b je obecn´ a matice typu (2, 2). Pak det A = ad − bc. Pokud c d
1 1 (Dij )T = = ad − bc ad − bc
T 1 d −c d −b = . −b a a ad − bc −c
1
2
Soustavy line´ arn´ıch rovnic
Mˇejme soustavu m line´ arn´ıch rovnic o n nezn´am´ ych: a11 x1 .. .
+ ···
am1 x1 + · · ·
+
a1n xn .. .
=
b1 .. .
(1)
+ amn xn = bm
Pokud oznaˇc´ıme
a11 .. A= .
am1
··· .. . ···
a1n .. , . amn
x1 x = ... , xn
b1 b = ... , bm
pak m´ısto (1) m˚ uˇzeme ps´ at struˇcnˇeji A·x = b. Matici A naz´ yv´ ame matic´ı soustavy (1), vektor bT = (b1 , . . . , bm ) vektorem prav´ ych stran a vektor xT = (x1 , . . . , xn ) vektorem nezn´am´ ych. Matici (A | b) naz´ yv´ ame rozˇs´ıˇrenou matic´ı soustavy. Pozn´ amka 1 Aˇckoliv x a b jsou jednosloupcov´e matice a ne vektory, budeme s nimi bˇeˇznˇe pracovat jako s vektory, protoˇze je vˇetˇsinou z kontextu jasn´e, kdy je m´ ame ch´ apat jako jednosloupcov´e matice. Vˇsimˇeme si tak´e, ˇze soustava (1) lze pˇrepsat takto: a11 a1n b1 .. .. .. x1 · . + · · · + xn · . = . . am1 amn bm
To znamen´a, ˇze pokud vektor (α1 , . . . , αn ) je jej´ım ˇreˇsen´ım, pak vlastnˇe vektor b je line´ arn´ı kombinac´ı sloupc˚ u matice A a koeficienty t´eto line´ arn´ı kombinace jsou pr´avˇe α1 , . . . , αn . Vˇ eta 3 (Frobeniova) Soustava A · x = b m´ a ˇreˇsen´ı p.t.k. hod A = hod (A | b). D˚ ukaz: Vektor (α1 , . . . , αn ) je ˇreˇsen´ım soustavy A · x = b p.t.k. b je line´ arn´ı kombinac´ı sloupc˚ u A s koeficienty α1 , . . . , αn . To znamen´ a , ˇ z e soustava A · x = b m´ Taˇreˇsen´ı p.t.k. T A A = hod AT . = hr : AT i a to je p.t.k. hod bT ∈ hr : AT i to je p.t.k. r : T bT b Protoˇze pro kaˇzdou matici B m´ ame hod BT = hod B, dostaneme hod (A | b) = hod A. ˇ ık´ Definice 2 Necht’ A · x = b a C · x = d jsou soustavy line´ arn´ıch rovnic. R´ ame, ˇze tyto soustavy jsou ekvivalentn´ı, pokud maj´ı stejn´e mnoˇziny ˇreˇsen´ı. Vˇ eta 4 Ke kaˇzd´e soustavˇe A · x = b lze nal´ezt ekvivalentn´ı soustavu C · x = d, kde C je horn´ı troj´ uheln´ıkov´ a. D˚ ukaz: Zˇrejmˇe (A | b) ∼ (C | d), kde C je horn´ı troj´ uheln´ıkov´a. Staˇc´ı tedy uk´azat, ˇze soutavy A · x = b a C · x = d jsou ekvivalentn´ı. Protoˇze (A | b) ∼ (C | d), existuje regul´ arn´ı matice P t.ˇz. (C | d) = P · (A | b) = (P · A | P · b) . 2
Takˇze C = P · A a d = P · b. Necht’ a je ˇreˇsen´ı soustavy A · x = b, tj. A · a = b. Pak P · A · a = P · b, tj. C · a = d. Obr´acenˇe, necht’ z je ˇreˇsen´ım C · x = d. Pak P · A · z = P · b. Vyn´asoben´ım matic´ı P−1 zleva dostaneme A · z = b. Definice 3 Necht’ A · x = b je soustava lin. rovnic a b = o. Pak naz´yv´ ame tuto soustavu homogenn´ı. Vˇ eta 5 Mnoˇzina M ˇreˇsen´ı homogenn´ı soustavy A·x = o o n nezn´ am´ych tvoˇr´ı lin. podprostor n lin. prostoru R . D˚ ukaz: Zˇrejmˇe o ∈ M . Necht’ u, v ∈ M a α ∈ R. Pak A · (u + v) = A · u + A · v = o + o = o a A · (α · u) = α · (A · u) = α · o = o. Takˇze u + v ∈ M a α · u ∈ M . Vˇ eta 6 Necht’ A · x = o je homogenn´ı soustava lin. rovnic o n nezn´ am´ych a M = {u ∈ Rn | A · u = o}. Pak dim M = n − hod A. D˚ ukaz: V´ıme, ˇze (A | o) ∼ (C | o), kde C je horn´ı troj´ uheln´ıkov´a, jej´ıˇz poˇcet nenulov´ ych ˇr´adk˚ u je hod A. Na popis ˇreˇsen´ı budeme tedy potˇrebovat k = n−hod A parametr˚ u p1 , . . . , pk ∈ R. Necht’ tedy xi1 = p1 , . . . , xik = pk . Protoˇze vektor prav´ ych stran je nulov´ y, m˚ uˇzeme ostatn´ı sloˇzky ˇreˇsen´ı vyj´ adˇrit jako line´ arn´ı kombinace parametr˚ u p1 , . . . , pk . To znamen´a, ˇze libovoln´e ˇreˇsen´ı m˚ uˇzeme vyj´ adˇrit ve tvaru: (x1 , . . . , xn ) = p1 u1 + · · · + pn un . Takˇze M = hu1 , . . . , uk i. Zb´ yv´ a uk´azat, ˇze {u1 , . . . , uk } je LN. Necht’ α1 u1 + · · · + αk uk = o . Protoˇze u1 m´ a na pozici i1 ˇc´ıslo 1 a ostatn´ı vektory u2 , . . . , uk nulu, plat´ı pro i1 sloˇzku α1 · 1 + α2 · 0 + · · · + αk · 0 = 0, tj. α1 = 0. Podobnˇe uk´aˇzeme, ˇze i α2 = · · · = αk = 0. Pˇ r´ıklad Najdˇete b´azi a dimenzi lin. prostoru M lin. rovnic: 1 2 3 4 0 0 1 2 0 0 0 0
vˇsech ˇreˇsen´ı n´asleduj´ıc´ı homogenn´ı soustavy 5 0 3 0 . 0 0
Necht’ p1 , p2 , p3 ∈ R. Volme x5 = p1 a x4 = p2 . Z rovnice x3 + 2x4 + 3x5 = 0 dostaneme x3 = −2p2 − 3p1 . D´ ale volme x2 = p3 . Z rovnice x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 = 0 dostaneme x1 = −2p3 − 3(−2p2 − 3p1 ) − 4p2 − 5p1 = −2p3 + 2p2 + 4p1 .
(x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) = (−2p3 + 2p2 + 4p1 , p3 , −2p2 − 3p1 , p2 , p1 ) = = p1 (4, 0, −3, 0, 1) + p2 (2, 0, −2, 1, 0) + p3 (−2, 1, 0, 0, 0)
3
Mnoˇzina {(4, 0, −3, 0, 1), (2, 0, −2, 1, 0), (−2, 1, 0, 0, 0)} je b´aze lin. prostoru M a dim M = 3. Ukaˇzme, ˇze {(4, 0, −3, 0, 1), (2, 0, −2, 1, 0), (−2, 1, 0, 0, 0)} je LN. α1 (4, 0, −3, 0, 1) + α2 (2, 0, −2, 1, 0) + α3 (−2, 1, 0, 0, 0) = (0, 0, 0, 0, 0) . Uk´aˇzeme napˇr. ˇze α2 = 0. Parametr p2 odpov´ıd´ a ˇctvrt´e sloˇzce ˇreˇsen´ı x4 . Pro ˇctvrtou sloˇzku z pˇredchoz´ı rovnice tedy m´ ame α1 · 0 + α2 · 1 + α3 · 0 = 0, tj. α2 = 0. Definice 4 Necht’ A · x = b je nehomogenn´ı soustava lin. rovnic a v je jedno jej´ı ˇreˇsen´ı. Pak v naz´yv´ ame partikul´ arn´ı ˇreˇsen´ı a soustavu A · x = o naz´yv´ ame pˇridruˇzenou homogenn´ı soustavou k A · x = b. Vˇ eta 7 Necht’ v je partikul´ arn´ı ˇreˇsen´ı soustavy A · x = b a M0 je lin. prostor ˇreˇsen´ı pˇridruˇzen´e homogenn´ı soustavy A · x = o. Pak pro mnoˇzinu M vˇsech ˇreˇsen´ı A · x = b plat´ı: M = {v + u | u ∈ M0 } . D˚ ukaz: Nejprve uk´aˇzeme, ˇze v + u je ˇreˇsen´ı pro libovoln´ y vektor u ∈ M0 . M´ ame A · (v + u) = A · v + A · u = b + o = b . Nyn´ı uk´aˇzeme, ˇze kaˇzd´e ˇreˇsen´ı w ∈ M lze vyj´adˇrit ve tvaru v + u′ pro nˇejak´ y vektor u′ ∈ M0 . ′ ′ Volme u = w − v. Vektor u ∈ M0 , protoˇze A · u′ = A · (w − u) = A · w − A · v = b − b = o . Vzhledem k tomu, ˇze v + u′ = v + (w − v) = w, d˚ ukaz je hotov.
Pokud {u1 , . . . , uk } je b´aze lin. prostoru M0 vˇsech ˇreˇsen´ı pˇridruˇzen´e homogenn´ı soustavy A · x = o, pak mnoˇzinu ˇreˇsen´ı soustavy A · x = b obvykle zapisujeme takto: M = v + M0 = v + hu1 , . . . , uk i . Vˇ eta 8 (Cramerovo pravidlo) Necht’ A je regul´ arn´ı ˇctvercov´ a matice. Pak pro i-tou sloˇzku ˇreˇsen´ı soustavy A · x = b plat´ı det Bi , αi = det A kde matice Bi je shodn´ a s matic´ı A aˇz na i-t´y sloupec, kter´y je nahrazen sloupcem prav´ych stran b. D˚ ukaz: Protoˇze A je regul´ arn´ı, m´ ame x = A−1 · b. D´ ale pro inverzn´ı matici A−1 plat´ı: Dji −1 , kde (Dij ) je matice doplˇ nk˚ u k matici A. A = (cij ) = det A Necht’ b = (b1 , . . . , bn ), pak αi =
n X j=1
n X Dji 1 det Bi cij bj = bj = (D1i b1 + · · · + Dni bn ) = . det A det A det A j=1
4
Pˇ r´ıklad Pro n´asleduj´ıc´ı soustavu spoˇctˇete nezn´amou x2 : 0 x1 1 2 3 3 2 1 · x2 = 1 x3 0 1 1 0 1 0 3 3 1 1 1 0 0 0 + 0 + 0 − (3 + 0 + 0) 3 = x2 = =− . 1 2 3 0 + 2 + 9 − (6 + 1 + 0) 4 3 2 1 1 1 0
3
Maticov´ e rovnice
Algoritmus Gaussovy eliminaˇcn´ı metody lze jednoduˇse zobecnit na maticov´e rovnice tvaru A·X = B. Necht’ b1 , . . . , bk jsou sloupce matice B and x1 . . . , xk sloupce matice X. Vˇsimˇeme si, ˇze rovnice A · X = B je ekvivalentn´ı s k-tic´ı rovnic A · x1 = b1 , . . . , A · xk = bk , protoˇze i-t´ y sloupec souˇcinu A · X z´avis´ı pouze na i-t´em sloupci xi . Rovnice A · xi = bi jsou jiˇz norm´aln´ı soustavy lin. rovnic. Vzhledem k tomu, ˇze maj´ı vˇsechny stejnou matici soustavy, lze je ˇreˇsit jednou eliminac´ı najednou, jen mus´ıme matici soustavy rozˇs´ıˇrit o vˇsechny prav´e strany b1 , . . . , bk . Postupujeme takto: (A | B) = ( A | b1 · · ·
bk ) ∼ ( C | d1 · · ·
dk ) ,
kde C je horn´ı troj´ uheln´ıkov´a. Kaˇzd´ y sloupec xi matice X potom vyj´adˇr´ıme nez´avisle ze soustavy (C | di ). ˇ ste rovnici A · X = B, kde Pˇ r´ıklad Reˇ −1 0 1 2 4 B = −2 −5 . A = 2 −1 3 , 1 5 −1 3 1 1 2 4 −1 0 −1 0 −1 0 1 2 4 1 2 4 2 −1 3 −2 −5 ∼ 0 −5 −5 0 −5 ∼ 0 1 1 0 1 −1 3 1 0 5 5 0 0 0 1 5 0 5 0 0 −1 1 2 4 x11 0. Necht’ x31 = p, p ∈ R. Z ame ze soustavy 0 1 1 Sloupec x1 = x21 z´ısk´ 0 0 0 x31 0 druh´e rovnice x21 + x31 = 0 plyne x21 = −p. Z prvn´ı rovnice x11 + 2x21 + 4x31 = −1 plyne x11 = −1 − 2p. 1 2 4 x12 0 1. Necht’ x32 = t, ame ze soustavy 0 1 1 Podobnˇe sloupec x2 = x22 z´ısk´ x32 0 0 0 0 t ∈ R. Z druh´e rovnice x22 + x32 = 1 plyne x22 = 1 − t. Z prvn´ı rovnice x12 + 2x22 + 4x32 = 0 plyne x12 = −2 − 2t. Dohromady −1 − 2p −2 − 2t 1 − t , p, t ∈ R . X = −p p t 5
Metodu je moˇzn´e upravit i na rovnice tvaru X · A = B. Pomoc´ı transpozice pˇrevedeme rovnici na AT · XT = BT . Pomoc´ı pˇredchoz´ıho postupu nalezneme XT , tj. eliminuje matici (AT | XT ), a nakonec opˇet pomoc´ı transpozice z´ısk´ ame X = (XT )T .
6
