Matematika I Ètvercové matice - determinanty RNDr. Renata Klufová, Ph. D.
Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky
Co u¾ známe? - základní operace (sèítání, odèítání, násobení reálným èíslem, skalární souèin, norma vektoru) vektory
- základní operace (sèítání, odèítání, násobení reálným èíslem, souèin matic) matice
vektorový prostor lineární závislost/nezávislost hodnost souboru vektorù/matice podprostory vektorového prostoru Vn c Klufová 2011
Determinant
Def. Pro ka¾dou ètvercovou matici A je de nováno èíslo detA,
které nazýváme determinant matice A.
Pro matice 1. a¾ 3. øádu se vypoète determinant takto: • 1. øád: A = (a11), detA = a11 !
a11 a12 ,tzv. køí¾ové pravidlo: a21 a22 detA = a11 · a22 − a12 · a21
• 2. øád: A =
a11 a12 a13 • 3. øád: A = a21 a22 a23 ,tzv. Sarussovo pravidlo: a31 a32 a33 detA = (a11 · a22 · a33 + a12 · a23 · a31 + a13 · a21 · a32)− −(a13 · a22 · a31 + a12 · a21 · a33 + a11 · a23 · a32) c Klufová 2011
Schéma výpoètu determinantu pomocí Sarussova pravidla
c Klufová 2011
Ukázka výpoètu determinantù ni¾¹ích øádù Vypoètìte determinanty matic: A = (−26), B =
−3 13 5 −10
!
,
0
1
−3
C = 5 −2 −3
4 10
0
c Klufová 2011
Jiné znaèení determinantù
V literatuøe se mù¾eme setkat s jiným znaèením determinantù: ukázka: 1 −1 2 1 −1 2 det 2 0 3 = 2 0 3 = −2 0 0 1 0 0 1
c Klufová 2011
Submatice a algebraický doplnìk
Def.
Je-li
ètvercová matice øádu n ≥ 2, pak pro ka¾dé a pro ka¾dé j = 1, 2, . . . , n vytvoøíme její submatici (podmatici) A#ij øádu n − 1 tak, ¾e z pùvodní matice A vy¹krtneme i−tý øádek a j−tý sloupec. A i = 1, 2, . . . , n
Pro ka¾dý prvek aij matice A de nujeme jeho algebraický doplnìk v matici A, který oznaèíme symbolem Aij a vypoèteme podle vztahu: Aij = (−1)i+j · detA#ij .
c Klufová 2011
Ukázka výpoètu algebraických doplòkù Vypoètìte algebraické doplòky matic: B=
−3 13 5 −10
!
,
0 1 −3 C = 5 −2 −3 4 10 0
c Klufová 2011
Výpoèet determinantù vy¹¹ích øádù
Def a vìta o rozvoji. Je-li A ètvercová matice øádu n ≥ 2, pro
ka¾dé i = 1, 2, . . . , n de nujeme determinant matice A rozvojem podle i−tého øádku jako výraz: det A=ai1 · Ai1 + ai2 · Ai2 + . . . + ain · Ain a pro ka¾dé
j = 1, 2, . . . , n de nujeme determinant rozvojem podle j−tého sloupce jako výraz:
matice
A
det A=a1j · A1j + a2j · A2j + . . . + anj · Anj
c Klufová 2011
Ukázka výpoètu determinantù vy¹¹ích øádù rozvojem Vypoètìte rozvojem determinanty matic: 1
0
0
0 −1 −1 0 1 −3 C = 5 −2 −3 , D = 2 0 0 1 −2 0 4 10 0
0
0
0
−1 0 0 0 0
1 0 1 0 3
c Klufová 2011
Vlastnosti determinantù
Vìta o matici a determinantu.
Ka¾dá ètvercová matice
A
má tyto vlastnosti:
1. pøi vzájemné výmìnì dvou libovolných øádkù se mìní znaménko detA na opaèné, 2. jestli¾e zvolený øádek matice A násobíme (dìlíme) libovolným nenulovým èíslem r, pak se hodnota detA r−krát zvìt¹í (zmen¹í), 3. jestli¾e ke zvolenému øádku matice A pøièteme lineární kombinaci øádkù ostatních, hodnota detA se nezmìní, c Klufová 2011
Vlastnosti determinantù 4. je-li v matici detA = 0,
A
nulový øádek nebo dva stejné øádky, pak
5. vlastnosti (1) - (4) platí i pro sloupce, 6.
detA = detAT ,
7. je-li
B libovolná ètvercová det(A · B) = detA · detB ,
matice stejného øádu jako A, pak
8. je-li A trojúhelníková matice, pak detA je roven souèinu prvkù na hlavní diagonále. c Klufová 2011
Strategie pro výpoèet determinantu matice A úpravami 1. Je-li v matici A nulový øádek èi sloupec, pak
detA = 0.
2. Není-li v matici A øádek nebo sloupec, jeho¾ prvky a¾ na jeden jsou nulové, pak takový "pøipravíme" pomocí pøípustných úprav. 3. Provedeme rozvoj podle øádku (sloupce), kde jsou v¹echny prvky a¾ na jeden nulové. 4. Jediný potøebný determinant matice øádu o 1 ni¾¹ího vypoèteme buï pøímo nebo popstupem popsaným v bodech (1) (4). Variantní strategie: úprava matice
A
na trojúhelníkový tvar. c Klufová 2011
Výpoèet determinantu matice úpravami Vypoètìte úpravami a následným rozvojem determinant matice: 1
0
0
0 −1 −1 M = 2 −1 0 1 −2 0
0
0
0
−1 0 0 0 1
1 0 1 0 3
c Klufová 2011
Aplikace 1: Cramerovo pravidlo = metoda výpoètu øe¹ení soustavy lineárních rovnic pomocí determinantù a11x1 + a12x2 = b1 a21x1 + a22x2 = b2
vytvoøíme pomocné matice: ! a11 a12 b1 A= , A1 = a a b 21
øe¹ení:
22
a12 2 a22
!
,
A2 =
a11 b1 a21 b2
!
,
1 , x = detA2 x1 = detA 2 detA detA
obecnì: Aj . . . matice, která vznikne nahrazením j−tého sloupce sloupcem pravých stran detA
xj = detAj c Klufová 2011
Aplikace 1: Cramerovo pravidlo Øe¹te Cramerovým pravidlem soustavu
3x1 + 5x2 = 8 4x1 − 2x2 = 7
c Klufová 2011
Aplikace 2: Vektorový souèin
Vìta o vektorovém souèinu.
Ve vektorovém prostoru Vn, n ≥ 1, oznaème ~e1, ~e2, . . . , ~en základní jednotkové vektory. Pro libovolný soubor n−1 vektorù tohoto prostoru S : ~v1, ~v2, . . . , ~vn−1 vytvoøíme následující pomocnou matici M : (i)
øádky
(ii)
poslední øádek matice ~e1, ~e2, . . . , ~en.
i = 1, 2, . . . , n − 1 ~v1, ~v2, . . . , ~vn−1,
M
tvoøí pøímo jednotlivé vektory
je tvoøen seznamem symbolù c Klufová 2011
Aplikace 2: Vektorový souèin Determinant matice M nazveme vektorovým souèinem souboru S . Je to speciální lineární kombinace základních jednotkových vektorù, pro kterou platí: 1. Je-li soubor
S
závislý, pak
detM = ~ o.
2. Je-li S nezávislý, je detM nenulový vektor kolmý ke v¹em vektorùm souboru S . 3. Vektor detM má jako slo¾ky algebraické doplòky prvkù posledního (n−tého) øádku matice M , tj. je roven (Mn1, Mn2, . . . , Mnn). c Klufová 2011
Aplikace 2: Vektorový souèin
Speciálnì pro
n=3
. . . . vektorový souèin dvou vektorù:
u1 u2 u3 ~ u × ~v = det v1 v2 v3 = (M31, M32, M33) = ~e1 ~e2 ~e3
= det
u2 u3 v2 v3
!
, −det
u1 u3 v1 v3
!
, det
u1 u2 v1 v2
!!
c Klufová 2011
Aplikace 2: Vektorový souèin Pomocí determinantù urèete vektorový souèin vektorù ~ u = (1, 2, 4), ~v = (−1, 5, 3)
c Klufová 2011
Aplikace 3: Determinanty v geometrii Jsou-li A = [a1, a2], B = [b1, b2], C = [c1, c2] tøi body v rovinì, potom pro obsah trojúhelníku ABC platí:
a1 a2 1 · det S = ±1 b b 1 1 2 2 c1 c2 1
Nech»
A, B, C, D jsou body v prostoru. Zaveïme ~a = A − D = (a1, a2, a3),~b = B − D = (b1, b2, b3) (c1, c2, c3). Potom objem ètyø¹tìnu ABCD je:
vektory a ~c = C − D
=
a1 a2 a3 V = ±1 · det b b b 1 2 3 6 c1 c2 c3 c Klufová 2011
