2.3. DETERMINANTY MATIC
V této kapitole se dozvíte: •
definici d etermin antu čtvercové matice;
•
co je to subdeterminant nebo-li minor;
•
základní vlastnosti determinantů , p oužívan é v mn o ha praktických úlohách;
•
výp očetní fo rmu le p ro výpočet determinantu prvního, druhého a t řetíh o řádu včetn ě Sarrusov a p ravidla;
•
přesné znění věty o rozvoji determinan tu podle řádku nebo slou p ce a její praktický význam při výpočtech determin antů vyšších řádů .
Klíčová slova této kapitoly: determinant, subdeterminant (minor), Sarrusovo pravidlo, vlastnosti determinantů, rozvoj determinantu podle dané řady.
Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 0,5 + 0,5 hodiny (teorie + řešení příkladů )
Definice. Determinantem čtvercové matice A = ( aik ) řádu n nazýváme číslo det A ≡ ∑ z ( P ) a1k1 a2 k2 ...ankn , kde sčítáme přes všechny permutace P = ( k1 , k2 , ..., kn ) P
množiny {1, 2, ..., n} . Veličina z ( P ) je znaménko permutace P . Poznámka. r a) Znaménko permutace P je dáno vztahem z ( P ) = ( −1) , kde r je počet tzv. inverzí v permutaci P. Inverzí v permutaci P = ( k1 , k2 , ..., kn ) nazýváme každou dvojici
( k , k ) , pro kterou platí ( i < j ) ∧ ( k i
j
i
> k j ) . Pokud je číslo r sudé, hovoříme o sudé
permutaci a její znaménko je rovno 1, pokud je r liché, jedná se o lichou permutaci a její znaménko je rovno –1. Např. permutace P = ( 3, 1, 2, 5, 4 ) je lichá, protože obsahuje 3 inverze: ( 3, 1) , ( 3, 2 ) , ( 5, 4 ) . b) Kromě uvedeného značení pomocí symbolu „ det “ se v praxi často používá také řeckého písmene ∆ (většinou s nějakým rozlišujícím indexem, např. ∆1 nebo ∆ x apod.). Jinou možností je zápis analogický zápisu matice, kdy kulaté závorky nahrazují svislé čáry jako u absolutní hodnoty. Např. symbol
1 −2 3 0
označuje determinant matice
1 −2 3 0
.
c) Sčítance z ( P ) a1k1 a2 k2 ...ankn se nazývají členy determinantu. Z definice determinantu je zřejmé, že každý člen determinantu det A obsahuje součin n prvků matice A , přičemž z každého řádku a sloupce matice A je vybrán právě jeden prvek. Definice. Matice, jejíž determinant je různý od nuly, se nazývá regulární. V opačném případě hovoříme o matici singulární. Definice. Subdeterminantem (minorem) k -tého řádu matice A typu ( m, n ) nazýváme determinant matice, která vznikne z matice A vypuštěním tolika řádků a sloupců, aby z ní zbyla čtvercová matice k-tého řádu. Vlastnosti determinantů. Věta. a) det E = 1 ( E je čtvercová jednotková matice). b) det A = det A T ( A je libovolná čtvercová matice). c) det ( AB ) = det A ⋅ det B (pro čtvercové matice A , B téhož řádu). d) Zaměníme-li v matici navzájem dva řádky nebo dva sloupce, změní determinant znaménko. e) Společného nenulového činitele jednoho řádku nebo sloupce lze vytknout před determinant. f) Determinant je roven nule právě tehdy, jestliže prvky alespoň jednoho řádku (sloupce) jsou rovny nule nebo jestliže nějaký řádek (sloupec) je lineární kombinací ostatních řádků (sloupců).
g) Determinant se nezmění, přičteme-li k libovolnému řádku (sloupci) jakoukoliv lineární kombinaci ostatních řadků (sloupců). Výpočet determinantů. Pro matici prvního řádu A ≡ ( a11 ) platí: det A = a11 . Determinantem je tedy hodnota jediného prvku této matice. Determinant matice druhého řádu: det A ≡
a11 a12 a21 a22
= a11a22 − a12 a21 .
Pro výpočet determinantu matice třetího řádu se používá schéma zvané Sarrusovo pravidlo: K matici A připíšeme první dva sloupce (obdobně je možné formulovat toto pravidlo pro řádky) a pak provádíme součiny po přímých čárách tak, jak je naznačeno na obrázku, přičemž ve směru zleva doprava je znaménko kladné, ve směru zprava doleva záporné.
Výpočet determinantů matic čtvrtého a vyšších řádů není vhodné provádět přímo podle definice (ani v počítačových programech), protože počet členů je příliš velký a výpočetní čas rychle roste s řádem matice. Proto se používá jiných metod, založených na vybraných vlastnostech determinantů. Rozvoj determinantu podle prvků jedné řady. Definice. i+k Algebraickým doplňkem prvku aik matice A ≡ ( aik ) nazýváme číslo Aik = ( −1) M ik , kde M ik je subdeterminant (minor) vzniklý z matice A vynecháním i -tého řádku a k -tého sloupce. Věta. Nechť A = ( aik ) je libovolná čtvercová matice, Aik algebraický doplněk prvku aik . Platí: n
a) rozvoj determinantu podle i-tého řádku: det A = ∑ aik Aik ; k =1
n
b) rozvoj determinantu podle k-tého sloupce: det A = ∑ aik Aik . i =1
Poznámka. Věta převádí výpočet determinantu n-tého řádu na výpočet n subdeterminantů (n-1)-ho řádu. V praxi je výhodné počítat determinant rozvojem podle prvků té řady, která obsahuje nejvíce nulových prvků. Pak se totiž nemusí počítat příslušné determinanty nižšího řádu a to vede k významnému urychlení výpočtu. Navíc, před vlastním výpočtem determinantu je možné ve vybrané řadě vynulovat co nejvíce prvků použitím úprav, které nemění hodnotu determinantu (viz výše). „Maximálním programem“ je převést matici na trojúhelníkovou, tzn. vynulovat všechny prvky pod nebo nad hlavní diagonálou.
Věta. Determinant trojúhelníkové (horní nebo dolní) matice (a tedy i libovolné matice diagonální) je roven součinu jejích hlavních prvků. Důkaz. Uvažujme např. dolní trojúhelníkovou matici A ≡ ( aik ) řádu n. V prvním řádku této matice může být pouze jediný nenulový prvek, diagonální prvek a11 . Rozvoj jejího determinantu podle prvního řádku má tedy pouze jeden člen: det A = a11 A11 . Algebraický doplněk A11 ≡ ( −1)
1+1
M 11 = M 11 je roven determinantu matice vzniklé z matice A odstraněním
prvního řádku a prvního sloupce. Tato matice je řádu o jedna menšího a je rovněž dolní trojúhelníková. Můžeme tudíž provést analogický rozvoj jejího determinantu podle prvního řádku. Opakováním provedených úvah dojdeme až k jednoprvkové matici ( ann ) (jejíž determinant je roven jejímu jedinému prvku) a odtud k závěrečnému vyjádření det A = a11a22 ...ann . Cbd.
Shrnutí kapitoly: Každé čtvercové matici A můžeme přiřadit číslo, zvané determinant, které značíme většinou det A nebo ∆ A nebo svislými čarami (jako u absolutní hodnoty). Definice determinantu je poměrně abstraktní, je však třeba ji znát, i když se ve výpočetní praxi bez ní zpravidla obejdeme. Matice, jejichž determinant je různý od nuly, nazýváme regulárními maticemi, ostatní pak singulárními. Subdeterminantem (minorem) nazýváme determinant matice, která v znikne z výchozí matice odebráním urči tého počtu řádků nebo sloupců. Determinanty se vyznačují mnoha zajímavými vlastnostmi. Napříkl ad hodnota determinantu se nezmění, přičteme-li k libovolnému řádku (sloupci) matice jakoukoliv lineární kombinaci ostatních jejích řádků (sloupců). Výpočet determinantů je snadný u matic prvního a druhého řádu, při použití Sarrusova pravidla také u matic třetího řádu. Výpočet determinantů čtvrtého a vyššího řádu je již znatelně náročnější. Nejpoužívanější metodou je rozvoj determinantu podle řady, ve které vystupuje nejvíce nulových prvků. Tuto řadu si můžeme připravit pomocí vhodných operací, které nemění hodnotu determinantu. Jednoduchý je výpočet determinantů trojúhelníkových a diagonáln ích matic, kdy je determinant roven součinu prvků na hlavní diagoná le.
Otázky: •
Jak zní definice determinantu čtvercové matice? Co je to permu t ace mn o žin y {1, 2, ..., n} ? Co je to inverze v permu taci, znaménk o p ermu tace a jak p oznám e sudou a lichou permu taci?
•
Objasněte pojem subdeterminant nebo-li mino r.
•
Jak é základ ní vlastn osti determinantů znáte? Jak vypadá determi nant jednotkové matice, matice tran spo n ované a sou činu matic?
•
Kdy je determinant ro v en nule? J ak se změní h odnota determinan t u, kd yž v yměn íme dvě řad y neb o kd yž libovolnou řadu vynásobíme konstant ním činitelem?
•
Jak se změní hodno ta d etermin antu, přičteme-li k libovolnému řá dku nebo slou pci jak oukoliv lineární ko mbinaci ostatních řadků nebo slou pců?
•
Podle jaké výpočetní fo rmu le b ys te počítali d etermin ant p rvního , d ruh ého a třetího řádu ? Jak zn í Sarru so vo pravidlo a kdy lze uplatnit?
•
Formulu jte přesn ě větu o ro zvo ji d eterminan tu podle řádk u nebo sloupce. Jaký má tato věta praktický význam?
Příklad 1. Vypočtěte determinant druhého řádu: a)
−1 2 2 −3 5 4 1 1 ; b) ; c) ; d) . −4 7 1 4 3 2 −1 −1
Příklad 2. Vypočtěte determinant třetího řádu: 2 1 −2 1 3 4 3 −1 − 1 −2 7 1 a) −1 1 −1 ; b) 0 12 4 ; c) −2 2 −1 ; d) 2 2 −2 . 3 −5 3 2 13 3 −1 − 3 3 8 0 8 Příklad 3. Vypočtěte determinant čtvrtého řádu rozvojem podle libovolné řady: 1 −1 1 −3 −1 4 3 2 . 3 −5 −3 −2 0 −1 2 − 1 Poznámka. Řešte jednak přímo, jednak po předchozím použití úprav, které nemění determinant, a kterými převedete determinant na takový tvar, kdy ve vybrané řadě je co nejvíce nul.
Řešení příkladů. 1a) 1; 1b) 11; 1c) −2 ; 1d) 0 . 2a) −8 ; 2b) 64 ; 2c) 56 ; 2d) 96 . 3) 50 . Další zdroje: 1. POLÁK, J. Přehled středoškolské matematiky. 6. vyd. Praha: Prometheus, 1997. 2. POLÁK, J. Středoškolská matematika v úlohách I. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996. 3. POLÁK, J. Středoškolská matematika v úlohách II. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996. 4. REKTORYS, K. a spol. Přehled užité matematiky. 6. přepr. vyd. Praha: Prometheus, 1995.
ZÁVĚR: [Tady klepněte a pište]
