KVANTITATÍV MÓDSZEREK
reive! együtt dolgozik. Az ú] tudományág határtenilet a matematika, a gazdaságtudomány és a számítástudomány között. Az operációkutatás középpontjában a közgazdasági és a matematikai rnodell áll. Hosszú az út a döntési probléma megfogalmazásáról a modell megalkotásáig. A feladat a probléma részletes leírásával - a változók, a korlátozó feltételek megadásával - kezdődik, majd a célra vonatkozó ismeretek mélyítésével, pontosításával folytatódik. A szükséges adatok megszerzése és pontosságuknak ellenőrzése után következik az adott körülményeknek legjobban megfelelő modell számszerűsítése és megoldása. A modell helycsségét a gyakorlattal való egybevetéssol ellenőrizzük.
1. A LINEÁRIS ALGEBRA ALAPJAI
1.1 MÁTRIXARITMETIKA A mátrix fogalma Definíció.
A döntéshozó szempontjából a modelleknek kettős hasznuk van. Egyik oldalról a döntéshozó a rendszer részletekbe meno vizsgálatára kényszerűl; a modell előkészítése során fel kell tárnia a rendszer összefüggéseit, és így a modcll a gazdasági folyamat elemzésének eszközévé válik. Másrészt viszont az operáciokutatási rnodell alkalmas a vizsgált paraméterek különböző kritériumok szerinti optirnális értékeinek meghatározására, ezért képes a döntés orientálására is. Könyvünk a lineáris algebrai alapok után a lineáris programozásba, a hozzárendelési probléma modellezésébe, a hálótervezésbe és a döntésanalízisbe vezeti be az olvasót. A szerzők várják, és előre is köszönik a tisztelt Olvasók észrevételeit, megjegyzéseit. Budapest,
2005. január
A szerkesztá BGF Kűlkereskedelmi Főiskolai Kar Matematika-statisztika Tanszék
Legyen adva
III .
n számú
ajj valós szám, ahol i = 1, 2, ... , /11;j
=
1.
2, ... , ll. Akkor ezen számok a In
a 2:!
alj a ;-J
n 2n
ail
a i2
ajj
ain
aml
a m2
Umj
amil
ali
a 12
a 21
alakú elrendezését mátrixnak nevezzük. Mivel ennek a mátrixnak /JI sora és II oszlopa van, tn . Il-es, vagy /II . 11 típusú mátrixnak nevezzük. A matrixban lévő ajj számok a mátri x elemei; pontosabban szólva az ajj szirnbólum a mátrix i-edik sorának j-edik clcmét, illetve j-edik oszlopának i-edik elemct jelöli. Az elrendezésben az elem első indexe az ún. sorindex, a második pedig az ún. oszlopindex. Ennek megfelelően az ajj elem - az ún. általános elem - az í-edik sorj-edik elemét jelenti. A gyakorlatban sokszor találkozunk mátrixokkal. hiszen a legtöbb statisztikai kimutatás mátrixalakban jelenik meg. Példaképpen felírunk egy 3 . 4 típusú mátrixot:
KVANTITATÍV MÓDSZEREK
A lineáris algebra alapjai
A mátrixot a részletes kiírás helyett a következő módon is szokás jelölni: A = [ aj;~ ] ( i = 1,2, ... , m.] = 1,2, ... ,11), vagy ru-n A, amit Így olvasunk: 11/ . 11 típusú A mátrix, vagy egyszerű en A, azaz jelőlhetjük bármely mátrixot egyetlen szimbólummal is. Nyomtatort szövegben a mátrixok jelölése általában félkövér latin nagybetű, kézírásban aláhúzolt latin nagybetű. Az III . Il tÍpusú mátrixok halmazát M(m; n)-nel jelölve, ezt is irhatjuk: AE M(lI1; 11).
Egy 11/ . Il tipusú matrix transzponáltja 11 . 11/ tipusú matrix. Transzponálás során az i-edik sor j-edik eleme a j-edik sor i-edik elemévé válik. Ennek megfelelően a transzponálás lényegétjól kifejezi az [ajj]* = [aj;] ,(i = 1,2, ... , nt;] = 1,2, ... ,17) összefüggés. így a transzponálás fogalmából következik, hogya transzponált mátri x transzponáltja egyenlő az eredeti mátrixszal, azaz (A *)* = A.
Mátrixok
Sor és oszlopvektor
egyenlősége
és a nagyságrendi
relációk
Dcfiníció. Két azonos típusú A és B matrix között sebb), > (nagyobb), ::::;(kisebb egyenlő), ~ (nagyobb melyike áll fenn, akkor és csak akkor ha az illető érvényes, azaz bármely lehetséges i ésj index esetén reláció teljesűl.
az = (egyenlő), < (kiegyenlő) relációk valareláció elemről elemre ajj és bjj között az illető
Ismeretes, hogy két valós szám között mindig fennáll az = , < , > , relációk valamelyike, addig az azonos típusú mátrixok között ez nem így van.
Definíció. Az egyetlen oszlopból álló (tehát III . l tipusú) mátrixot (m elemű) oszlopvektornak. az egyetlen sorból álló (tehát 1 . 11 tÍpusú) mátrixot (n elemű) sorvektornak nevezzük. A vektor elemeit a vektor komponensei nek, vagy koordinátáinak is szoktuk nevezni. A továbbiakban az 111 el emlí oszlopvektorok halmazút a Vm szimbolúmrnal, az 11 elemű sorvektorok halrnazát pedig aV;: szimbolummal fogjuk jelölni. A vektor jelölése nyomtatásban félkövér, kézírás ban aláhúzott latin kisbetű.
Például ha
A = [1-3
D
akkor definíciónk értelmében A = B, A < vizsgált relációk egyike sem áll fenn. Mátrix
e, B
=
s D, de
[1-2 2]8 ' e
és D között a
transzponáltja
Az A matrix transzponáltján azt a mátrixot értjük, amelynekj-edik sora az A j-cdik oszlopával (kővetkezésképpen, j-edik oszlopa az A j-edik sorával) egyenlő mindenj-re. Az A mátrix transzponáltjút A *-gal jelöljük.
s Legyen például A egy 3 . 2 típusú
mátrix:
A= 3
r akkor transzponáltja
-1
a következő 2 . 3 tipusú matrix:
.Ji] O
,
13 A' = [~
3O -1] 13 .
Az oszlopvektor
jelölése:
A sorvektor jelölése:
2 a= a
- [a l'.
-
h· = [hl; b.: ... ; h,,l.
Itt a * (csillag) mutatja, hogyasorvektor egy oszlopvektor trauszponáltjaként fogható fel. Nyomdatechnikai okból gyakran Írják az oszlopvektort egy sorvektor transzponálíjaként.
Például
"{!}
[-1:
5: 3J'.
Egy /11 . n típusú matrix valójában 111 darab II komponensű sorvektornak, illetve 11 darab tn komponensű oszlopvektornak egymás mellé rendezése. Az A mátri x oszlopvektorait rendre a" a2' ... , an vektorral jelölve, a mátrix így írható fel:
KVANTITATÍV
A lineáris algebra alap/ni
MÓDSZEREK
az A mátri x sorvektorait rendre al *, a2 =, ...
Hasonlóan,
A
, am* vektorraljelölve:
=[:11' am
Speciálls
zetükből nem derülne ki komponenseik száma, és fontos a közlendőnk szempontjából, akkor meg kell mondanunk az elemeik számát. Megállapodás szerint tehát O, 1, e, mindig oszlopvektorokat jelölnek. Speciális
mátrixok
A nullmatrix (zérusmátrix) minden eleme O. Jele: O. Például a 3 . 4 típusú nullmatrix a következő:
vektorok
A nullvektor (zérusvektor) olyan vektor, amelynek minden eleme O. Jele: O. Például a negyelemű null vektor így írható fel:
o
rO
o o=
O O
illetve
0= [ O; O; O; 0]* .
O Az egységvektor olyan vektor, amelynek egyik eleme 1, a többi nulla. Szimbolikusan ej-vel jelöljük, ahol az i index mutatja, hogy az egyes hányadik helyen áll. Például a háromelemű vektorok között pontosan három külőnböző egységvektor található. Oszlopvektor alakban a következők:
Az összcgző A négyelemű
vektor olyan vektor, amelynek minden eleme 1. Jele: 1 . összegző vektor így Írható fel: 1
1=
1 1
illetve
1=[1;1;1,1]*
O O 0j
0=0000.
O O
o
Ha egy mátrix sorainak és oszlopainak száma egyenlő (m = ll), akkor azt négyzetes vagy kvadratikus mátrixnak nevezzük. A négyzetes mátrix sorainak (illetve oszlopainak) száma a matrix rendje. Az alI> a22, ... , ann elemeket, amelyek az ún. főátlót alkotják, diagonális elemeknek nevezzük.
Az
~I
A{i ; -:4
mátrix például egy negyedrendű négyzetes (kvadratikus) matrix, amelynek diagonális elemei: 3; O; -4; 8. Diagonális mátrixnak nevezzük az olyan négyzetes rnátrixot, amelynek csak a főátlóban van O-tóI különböző eleme. Ha az
ali
O
O
O
O
a 22
O
O
A= O
O
a:;:;
O
O
()
()
a un
1 A nullvektor, az egységvektor és az ősszcgző vektor jelöléséből nem derül ki, hogya vektor hány elemű. Általában a környezetéből, az elvégzendő műveletekből egyértelműen következik, hogy hány elernűek. Ha a kőrnye12
mátrix esetén van olyan a., amely nem O, akkor A valódi diagonális
matrix. 13
~ KVANTITATív
t
MÓDSZEREK
A diagonális
mátri x jelölésére
szimbólumot Például:
használjuk.
í f
< aJ
1;
a 22 ; .•.
O O
O
O O
O
O
1
O
O O
-8
[~
I
az ;
i
>
II nil
I
=<5;0;1;-8>
.
t
Az egységmátrix olyan diagonális mátrix, amelynek minden diagonális eleme 1, azaz oszlopai egységvektorok. A másod- illetve harmadrendű egységmatrix a következő:
I
=
Általánosan: En, II-ed rendű egységmatrix. Háromszög-, vagy trianguláris mátrixnak nevezzük az olyan kvadratikus mátrixokat, amelyekben vagy a főátló feletti, vagy a főátló alatti elemek mind nullák. Az első esetben alsó háromszögmátrixról, a másodikban felső háromszögmátrixról van szó. a következő
Az A kvadratikus mátrixot szimmetrikusnak nevezzük, ha a főátlóhoz képest szimmetrikusan elhelyezkedő elemei egyenlőek, azaz aij = aji minden lehetséges i ésj értékre igaz. Vagyis az A mátrix egyenlő a saját transzponáltjával: A=A*. Az A kvadratikus mátrixot ferdén szlmmetrikusnak nevezzük, ha a főátlóhoz képest szimmctrikusan elhelyezkedő elemek egymás ellcntettjci, azaz ajj = -ajj minden lehetséges i és j értékre igaz. (A főátló elemei a definició kővetkeztében nullák.) Vagyis ebben az esetben: A = -A *. Például az
I
s
I
I
E,- [1O O], 1
Például alsó hárornszögmátrix
!
A lineáris algebra alapjai
l =l~ ~ ~ J
és F =
O 6 -5
mátrixok közül S szimmetrikus, A mátrixok
c=[OO -2]O '
0=
7
5
O
()
O
4
O O
3
O
O
O
'~l
mátrixot. Itt a kövctkcző
Ali
~
=
416
-6
O
F pedig ferdén szimmetrikus
mátrix.
7
O 2. 4
-1
2
1 8. O -2
-2
1
O. O
3
2
O
O 4
O
2
O 6
-1
-------------
négy blokkról van szó:
[~ -2
A21 14
O
A gyakorlatban előforduló nagyméretű mátrixokat sokszor - függőleges és vízszintes osztovonalakkal - kisebb részekre, ún. blokkokra (vagy minormátrlxokra) bontjuk. Az ilyen felbontást particiouálásnak is szoktuk nevezni. Tekintsük pl. az
A és II mátrix:
C és O mátri x pedig felső háromszögmátrix:
-4
-2
blokkokra bontása
A
A kővctkezö
l~
1 1
O = [:
O
2
~J'
~J
A
12
An
=
=
[4 ,lj
~ ;2 ,
[: -~J
15
KVANTiTATív
A lineáris algebra alapjai
MÓDSZEREK
Az A mátrixot a következő
módon is felírhatjuk:
A
=
[A A
II
A
21
A22
12].
A blokkokból
felépített mátrixot tekinthetjük olyan mátrixnak, amelynek elemei is mátrixok. Az ilyen mátrixelcmű matrixokat hipermátrixoknak is neveznI. A particionálás gyakran alkalmazott esete az, amikor az adott mátrixot oszlopvektorokra. vagy sorvektorokra bontjuk szét. Ha pl. az A matrix oszlopvektorait rendre az al; a2; a3; a, szimbólumokkal jelöljük, akkor A
= [
al; a2; a3; a4]
r:il,
vagy A
nullvektornak. Például:
lS
A+()=
~
=
az A sorvektorait
lb,; b,; bJJ', vagy A'
=
jelölik,
akkor A
lb,; b,; bJJ .
Mátrixok
összeadása
Az összeadás és ki vonás művelete csak azonos típusú mátrixok esetén van értelmezve a következő definíció szerint. Definíció. Két m . n típusú A = [ajj] és B = [bjj] matrix összegén [ill. kűlönbségén] azt az m . Il-es C = [Cjj] mátrixot értjük, amelynek minden elemére igaz, hogy: Cjj = ajj + bjj, [ill. Cjj = ajj - bij]. Az összeadást és kivonást tehát elemenként végezzük. =
9O 3]-1 + l"O "O O
O
O
O O
~H~ 2
lJ
4
O
3~I ] = A,
-1 O
b+O=l1H~H1j=b skalárral
szorzása
definiálására.
és kivonása
lao]lj + [b] lj
4
()
vagy
Mátrixok
Ezek után rátérünk az alapműveletek
2
-I O
,
ha pedig a b,"; b2*; b3* szimbólumok felírható a következő módon is:
A =
A valós számok ősszeadásánál sajátságos szerepet játszik a nulla. A O hozzáadása ugyanis bármely valós számot változatlanul hagyja. Hasonló szercpük van a mátrixok között a nullmátrixoknak, illetve vektorok esetében a
[a lj + b]lj és [a-ollj - [b] lj
=
[a lj - b]lJ'
Például:
Definíció. Tetszőleges III . Il tipusú A = [ajj] matrixnak valamely 1 skalárral (valós számmal) való szorzatán azt az III . n-es C = [Cjj] mátrixot értjük, amelynek minden elemére igaz, hogy Cjj = 1 . ajj' A skalárral való szorzást tehát clemenként végezzük: A . [ajJ = [1 . ajj] . Például:
3 • [12 16] -4 ,vagy
4· [ ~ ~IJ= ~ Ha 1
=
6· [O; 2; -1; 3]
=
[O; 12; -6; 18].
20
1, akkor a szorzat A . A
=
A, vagyis
l-gyel szorozva
a mátri x nem
változik. 1 = -1 esetén (-1) . A = -A olyan matrix, amelynek minden eleme (-1)szerese az A mátrix megfelelő elemének; ezért a -A mátrixot A ellentettjé-
és
[0-6 25 51J _[-2 4 O3 4J2 = [--22 22 -3J 3 . 16
nek nevezzük. Az A + (-1) . B összeadás eredménye ezért éppen az A - B matrix. Egy mátrixot az ellentett jével összeadva nullmátrixot kapunk: A + (-A) = O. Al = O skalárral való szorzás eredménye szintén nullrnátrix: O . A = O. 17
KVANTITATív
A lineáris algebra alapjai
MÓDSZEREK
A mátrixok elemei valós számok, ezért az elemenkénti műveletvégzésből és a valós számok halmazában érvényes műveleti azonosságokból adódik, hogy a bevezetett műveletekre teljesülnek a következő azonosságok. A mátrixok összeadása és a mátrixnak skalárral való szorzása kommutativ művelet, azaz:
Például: Az
mátrixoknak
A mátrixok összeadása asszociatív művclet, és a mátrix skalárral zására is érvényes az ún. vegyes asszociativitás, azaz és
+ AB
és
Mátrixok
=
6; Al
=
-3; A3 = O skalárokkal
képzett lineáris kornbiná-
:)] =
=[1: ~:]+[_03~]+[~ ~]=[I: ~~]
mátrix.
mind az összeadásra.
mind a
(A + fi)A = AA + )lA.
A transzponálás és az összeadás, illetve a transzponálás szorzás sorrendje felcserélhető, azaz (A + B)*
való szor-
(Afi)A = A(uA).
Mátrixnak skalárral való szorzása disztributív, skalárösszeadásra nézve, azaz A (A + B) = AA
=
[O1 -1]O'
6[ ~ ~] + (-3{ ~ -Ol] + o[~~
A·A=A·A.
(A + B) + C = A + ( B + c)
a Al
A~ =
ciója a
A+B=B+A és
=[~ ~l
A,
A * + B* és (AA)*
=
és a skalárral
való
I1
A . A *.
f
lineáris kombinációja
lineáris kombinációja
a 2b, + 5b~ - 3b1 + b , =
[-:31 _3
vektor.
J
Definíció. A AIAI + AlA} + ... + AkAk lineáris kombinációt az Al; Al; ... ; Ak mátrixok konvex lineáris kombinációjának nevezzük, ha a benne szercplő skalárok nem negatívak, és az összegük 1. k
Az összeadás és a skalárral való szorzás alkalmazásával kapcsolatos, szerepet játszó fogalom, a lineáris kombináció fogalma.
fontos
Detiníció. Adott m . Il típusú Ab A2' ... , Ak mátrixokat rendre megszorozva a tetszőleges Ab ,12, ... , Ak skalárokkal, majd az így nyert szorzatokat összeadva a k AIAI A2A2
+ ... + AkAk = L,AjAj i = I
kifejezésnek megfelelő 11/ . Il-es mátrixhoz jutunk, melyet az Al, mátrixok egyik lineáris kombinációjának nevezünk.
18
Al, ... , Ak
( Aj
:s: O és
L, A = i
i
=
1).
I
Vektorok skaláris szorzata A mátrixok
szorzásának
értelmezéséhez.
szükségünk
lesz a vektorok skulá-
ris szorzatának ismeretére. Dcfiuíció. Két II elemű a és b vektor skaláris szorzután azt a valós számot értjük, amelyet úgy kapunk, hogya és b azonos indexű kornponcnscit összeszorozzuk, és a kapott szorzatokat összeadjuk. A szorzat kijelölésekor az első tényezőt sor-, a másodikat oszlopvektor formájában írjuk fel. Ezen Írásmód előnye a későbbiekben fog kitűnni. 19
KVANTlTA71v
MÓDSZEREK A lineáris algebra alapjai
bl
illetve
b2
*
II
a b=[al;a2;a3;
...
;a,,]·
b3 =albl+aobo+ --
... +a b ="'a.b lill
II
1*b=[I;I;
L.JII· j::;1
... ;11,
= b, + bl + ... + b" =
L b, . j
ea ]
b"
Például, ha a = [5; 2; 8; O; -1]* és b = [O; -1; 3; 2; -2]*, akkor
f6;4;3;-SIII=6+4+3+(_S)=
Például,
O
8
-I
a* b=[5;2;8;0;-I]·
3
=0+(-2)+24+0+2=24.
2
Mátrix
szorzása
mátrixszal
-2
A vektorok skaláris szorzása kornmuratív abban az értelemben, hogy mindegy, melyik tényezőt írjuk első, és ezért sorvektorként, és melyiket második tényezőként oszlopvektor formájában. Ez a tulajdonság a valós számok szorzásának kommutativitásán alapul: a' b= ~ab
L..,;II i::;
li::;
= ~ba
L..JII
=b'a
.
I
Előző példánk esetében: 5
A vektorok skaláris szorzatának ismeretében definiálhatjuk két matrix szorzatát abban az esetben, ha az első tényező oszlopvektorainak száma egyenlő a második tényező sorvektorainak számával. Az ilyen matrixokat az adott sorrendben konformáhilisnak nevezzük, s csakis ilyen mátrixok escten értelmezzük a szorzást. Definicíé. Az III . P típusú A = [ajj] mátrix és ap' 1/ tipusú B = [bjj] mátrix szorzatán azt az 111 . JI típusú C = [Cjj] mátrixot értjük, amelynek bármely i,j indexű eleme az A mátri x i-edik sorvektorának és a B mátrixj-edik oszlopvektorának a skaláris szorzata. Azaz
2 b*a=[O;-1;3;2;-2].
8
blj
=0+(-2)+24+0+2=24=a'b.
O Cíj = [3 il ; a í2; a íJ; ... ;
-1
_
.•.
;a ]. II
ip
1)
La
1· b 3j = a í1 b lj + a í2b 2j + ... + a ip b pj=
íkb kJ.
k =1
Ha egy tetszőleges II elemű a vektort az II elemű összegző vektorral szorzunk, akkor eredményül az a vektor komponenseinek összegét kapjuk. Ezért nevezzük a csupa 1-ből álló véktort összegző vektornak.
a*1=[al;ao;
a
bT~
Az A . B szorzatmátrixot tehát az első tényező, azaz a szorzandó A matrix sorvektorokra és a második tényező, azaz a szorzó B matrix oszlopvektorokra bontásaval a következőképpen írhatj uk fel: al
"
=31 +32 + ... +3 = "'a. n
~.,
j::;1
A·B= m·p
p-u
'j .
a; . [b . •
3m
1>
b2;
b n ]=
a;bl
a;02
a'h 1 n
a;bl
a;b;!
a;h"
a~nb, a~lIb2
a' b III
II
20 21
KVANTITATÍV
A lineáris algebra alapjai
MÓDSZEREK
Az összeadás és a skalárral való szorzás művelete nem változtatja meg a mátri x típusát. Pontosabban fogalmazva: az 11/ . Il típusú mátrixok összege és ilyenek skalárszorosai (ahol III és II rögzítctt szám) szintén 11/ . 11 típusú mátrixok. Ezt úgy is mondjuk, hogy az /11 • 11 típusú mátrixok halmaza zárt az előbbi két műveletre nézve. A szorzás esetén más a helyzet. A szorzásban szereplő tényezők általában különböző típusú mátrixok, és a szorzat általában ismét más típusú. Természetescn az ll-ed rendű négyzetes matrixok halmaza zárt a szorzásra nézve. A szorzatmátrix elemei nek kiszámítása nagy figyelmet kíván, mert a sok elem nehezen áttekinthető. Elkerülendő a hibákat, célszerű a két mátrixot a kövctkező, ún. Falk-séma szerint írni:
IT] [EJ Azaz részletesebben
ali a21
al2 a22
2 O 1 -3
O A
2 -1 4
-4
-2 4
-4 16
2
S 8
4 8 O
16 ~
-10
IABI
bl2
bpl
bp2 CI2 C22
bn
Cll C21
blj b2j
bln b2n
bpj
bpn
Clj C2j
Cin C2n
ai2
aip
Ci!
Ci2
Cij
Cin
a I
am:!
amp
C I
Cm:?:
Cl\lj
emil
III
Például: Határozzuk meg az A . B szorzatnak szorzatnak megfelelő D mátrixot, ahol
megfelelő
C , majd aB'
-1
O
O -2
S
-!O
8 8
-2
18
-s
II
-10
19
2 4
AB =C. I
-101 18
-2 -2 -S
II
19
.
1
Majd a BA szorzatot a Falk-séma bll bn
4 -1
O 4
1 3
[
ail III
szerint felírva: 2
Tehát AB = C =
felírva:
alI' a2p
Az AB szorzatot a Falk-séma
szerint kiszámitva: A
O 2
II
A
2 1
O
3
2
azaz B A= D =
4
r: 24
4 -1 O II 1
-1 O 5
1;1
2 O
-2 4 2
-1
1
4 -8 9 24
-3
I
II 1
3 12 7
-9
BA =D,
adódik.
-9
Látjuk, hogy AB nem egyenlő BA -val, vagyis a mátrixok A = [~ !)~L,I -1 4
22
~ 1
~21
-3
1
2
és
-lj
O . S
szorzása nem
kommutatív művelet. A mátrixszorzás tulajdonságai: A mátrixok szorzása - amint a fenti példában is láttuk - általában nem kOI/1mutatív művelet, sőt egyes esetekben a tényezők felcserélése már a konfonnábilitás megkövetelése miatt sem lehetséges. 7i
KVANTlTATiv
MÓDSZEREK
A lineáris algebra alapjai
A mátrixok szorzása asszociatív művelet, azaz (A . B) . C feltéve, hogy az A . B és B . C szorzatok léteznek. Érvényesek továbbá a következő azonosságok: A(B + c) = AB + AC (baloldali disztributivítás); (A + B)C = AC + BC (jobb oldali disztributivítás); ,1(AB) = (,1A)B (vegyes asszociativitás); és (A B)* = B*A*.
szorzása
Sorvektor
A . (B . C),
=
to ra, hiszen a többi sorvektor
l/l
a'
= [1; 2]
és
B=G
2 5
akkor a fentiek értelmében: [1;
2]{1
2 2
~] = 1· [1;
5
J' -,
Mátrix
szorzása
egyenlő az A matrix összes elelllének az összegével.
oszlopvektorral
al; a2; ... , a/l-nel jelöljük,
a b vektor koordinátái
~J
b.; b2;
12;
fl;
2 O]=
2]. [~
5
7
1·2 + 2 ·5;
[1. 1+ 2 . 2;
... ;
b; akkor
Ab
=
14 ] A
Természetesen akkor is ugyanehhez az eredményhez szorzásának definiciója szerint járunk el, azaz:
pedig:
Legyen
7]= [5;
5;
0]+2·[2;
= [~
jutunk, ha a mátrixok
és mátrix szorzásának
1. O + 2 . 7]
a Falk-sémája
= [5;
a következő:
I
b A
24
I
Ab
számokkal
al b,
+ a2bl+ ... + aJ)/I'
3 0] 4
5
és b
akkor a fentiek értelmében: 12;
14].
2
3 O 4 5
3 1 2
r~ 17
=
l:l
[~~~]r!l [a3 [!], [~]2 [~7l +
=
A sorvektorok
lineáris kombiná-
Az Ab szorzat az A oszlopvektorainak az a lineáris kornbinációja, amelyben az egyes oszlopvektorokhoz tartozó sk al árok a b vektor megfelelő koordinátái. Ha az A matrix oszlopvektorait
... +al/l b.,*
Legyen
CI
Alkaltnas
szorzat eredménye
al bl* + a~ b~* +
vesz részt
tehát kiválaszthatjuk
Az a*B szorzat a B sorvektorainak az a lineáris kombinációja, amelyben az egyes sorvektorokhoz tartozó skalárok az a* vektor megfelelő koordinátái. Ha aB mátrix sorvektorait: b*I , b*2 , ... , b* -rnel jelöljük, az a* vektor koordinátái pedig: ([ 1, al, ... , a/l" akkor =
() egyiitthatóval
egységvektor transzponáltjáva! (balról) való szorzással a matrix megfelelő sorát. Világos, hog)! az 1* A szorzat eredménye az A matrix sorvektorainak az összege, és így az 1*(A 1) = (1 * A) 1 cioban.
mátrixszal
a'~ B
Az Jn . Il tipusú A mátrixot balról megszorozhatjuk az nl komponensű 50rvektorral (1 . III típusú mátrixszal) és az eredmény egy n kornponensű sorvektor lesz (1 . II tipusú mátrix). Jegyezzük meg, hogy az ei*A szorzat eredménye az A matrix i-edik sotvek-
Természetesen ugyanehhez az eredményhez nak értelmezése szerint járunk el, azaz
[2 3 1
4
+
=
j utunk, ha a mátrixok szorzásá-
o].r;J = [2.3 3·1 0..2] [9].
5
2
+ + 1·3 + 4·1 + 5·2
=
17
25
KVANTITATÍV
A lineáris algebra alapjai
MÓDSZEREK
Mátrix és oszlopvektor
szorzásának
a Falk-sémája
Ab
2 3 O 1 4 5
számokkal
III .
oszlopvektorral, dig egy
111
(azaz
II .
l tipusú
megszorozhatjuk
mátrixszal)
kornponensű oszlopvektor
Jegyezzük vektora,
n típusú A mátrixot
9
letrendszernek
17
Alkalmas
egységvektorral
a matrix megfelelő
min-
(jobbrol)
Az egyenletrendszert
O esetben inhomogén
megoldani annyit jelent, mint
amelyek kielégítik az Ax
=b
lőséget. Ha az M halmaz az üres halmaz, akkor az cgyenletrendszert zisztensnek,
ellenkező
egyen-
esetben konzisztensnek
egyeninkon-
nevezzük.
rendre:
vesz részt a lineáris való szorzással
így ki-
az összege, és így az l*(Al) = (l*A)l
ménye az A mátrix oszlopvektorainak
of:.
nevezzük. Az egyenletrendszert
azon x vektorok M halmazár.
Jelölje az A mátri x oszlopvektorait
Világos, hogy az Al szorzat ered-
oszlopát.
mátrixa. b
az A matrix i-edik oszlop-
a többi osz/op vektor O egyiitthatóval
kombinácioban. választhatjuk
és az eredmény
(m . l típusú mátrix) lesz.
meg, hogy az Ae, szorzat eredménye hiszen
együttható
b = Oesetén homogén egyenletrendszernek,
egy n komponensű
jobbról
révén tömören így írható:
Az A matrix az egyenletrendszer
megadni A tetszőleges
bevezetése
Ax =b.
3 1 2
b A
jelölések
a következő:
Akkor, mint tudjuk, az Ax szorzat az A oszlopvektorainak
binációja,
tor megfelelő
koordinátái,
azon lineáris kom-
tartozó skalárok
amelyben az egyes oszlopvektorokhoz
az x vek-
azaz
amint már tudjuk, egyenlő az A mátrix összes elemének
szorzat eredménye, az összegével.
Ezért igaz a következő:
Lineáris egyenletrendszer
felírása matrix
Tétel. Annak sziikséges és
formában
szemek A mátri x szorzása
esete a lineáris egyenletrendszerek sa, megoldása Az
XI;
X,; -
gyakori
előfordulásának
(ill. egyenlőtlenség-rendszerek)
... ; X.;
... ; X
}
/1
a21xI + a22x2 +
egyenletek
véges halmazát
=
+ (/ljXj + a2jxj
+ +
+ (l1"X"
=
+ a2"x"
Természetesen
VI
=
a
26
a mátrixuritmctika
egyenletrendszerek
v
2
esetében,
esetében is alkalmazhatjuk. Például az x.: X2; ... ; .'lj;"';
lineáris egyenletrendszemek
al2
([lj
a
([22
{/o . -l
(1 ]"
(/~I
III
QIII2
«,
legyen az A nuit-
felírása mátrix formában
nevezzük,
allxl
tömör kifejezésmódját hanem a lineáris
x" ismeretleneket
+ 012X" + ... + ClljX) +
+ .. ,+ ([2jXj +
nemcsak a lineáris
egyenlőtlenség-rendszerek
tartalmazó
+ (/I"X" :S; VI + ([2".\" :S; h2
lll
X
I
= b egyenletrend-
egy lineáris kombinaciojakéut.
a21xI + 022X:.
[ a"
hogy az Ax
b vektor előállítható
tartalmazó
amely az
A
az, hogya
Lineáris egyenlőtlenség-rendszer
ismeretleneket
+ {/12X2 +
rix oszlopvektorainak
elegségesfeltétele.
megadá-
során jelentkezik.
al 1.\1
lineáris
típusú szorzat
oszlopvektorral
legyen megoldása
ali/Il
=
[~:1 .
x
"
és
b
=
[ b, h2 típusú lineáris egyenlőtlenségek
által megadott lineáris egyenlőtlenség-rend\'zer
bili
27
KVANTITATív
A lineáris algebra alapjai
MÓDSZEREK
az
5. [ a'l au A = ~ ami
jelölések
{/12
alj
an
a,-}.
«:
ali/2
bevezetésevel
G,,, ] Cl:'/I
.
,
X
=
[X,].r,.x
ClJ/UI
"
b,
és
b=
[b'- ] b:"
a tömör Ax ::;b
alakban írható fel.
B) 1. Minden a E V elemhez és A. valós számhoz egyértelrnűen hozzá van rendelve a V halmaznak egy A. a-val jelölt eleme, amelyet az a vektor A. skalárral vett szorzatának nevezünk. 2. A skalárral való szorzás kornrnutativ, azaz A. a = a A. minden a E V és minden A. valós szám esetén igaz. 3. A skalárral való szorzás asszociatív, azaz í\.(j,t a) = (í\.JI) a nunden a EVés tetszőleges A., JI valós számok esctéri igaz. 4. Minden a E Vesetén igaz, hogy la = a. c) 1.
1.2 LINEÁRIS
TEHEK (VEKTORTEREK)
Ebben a részben ismertetjük a lineáris térrel kapcsolatos alapfogalmak definícióit, továbbá a bevezetett fogalmak közötti kapcsolatokat, összefüggéseket kimondó alapvető állításokat. Az állításokat megfogalmazó tételeket bizonyítás nélkül közöljük. A lineáris
tér (vektortér)
fogalma
Definíció. Elemek (az úgynevezett vektorok) egy V halmazár a valós számhalmaz feletti lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük, ha rendelkezik a következő tulajdonságokkal: A) 1.
kornmutatív,
azaz a + b
b + a minden a, b E Vesetén
2.
Az összeadás Igaz.
3.
Az összeadás asszociatív, azaz (a + b) + c = a + (b + c) minden a, b, c E V cs etén igaz. V-ben van olyan O-val jelölt zéruselem. hogya + O = el minden a E V esetén igaz.
4.
28
V-ben értelmezve van egy összeadásnak nevezett (+ jellel jelölt) művelct, azaz a V-beli elemekből képzett bármely (a; b) párhoz egyértelműen hozzá van rendelve az a és b összegének nevezett szintén Vbeli a + belem. =
Minden a E V elemnek van úgynevezett ellentett je, azaz minden a E V-hez található olyan (-a) E V, amelyre a + (-a) = O
2.
A skalárral való szorzás a skalár összeadásra nézve disztributiv, azaz (A. + ft) a = í\. a + JI a minden a EVés tetszőleges A. ,fl valós számok esetén igaz. A skalárral való szorzás a V-beli összeadásra nézve disztributív, azaz A. (a + b) = A. a + A. b minden a, bEV és tetszőleges A. valós szám esetén igaz.
Például az Ill' 11tipusú mátrixok M(III; ll) halmaza lineáris teret alkot a valós számok felett (Ill. n rögzitett). Az összeadást és a skalárral való szorzást végezzük elemenként, ahogy azt a mátrixok körében definiáltuk. A lineáris tér axiómáinak teljesülésének könnyen elvégezhető igazolását az olvasóra hagyjuk. Speciálisan az II elemű oszlop vektorok VII (sorvektorok V,,') halmaza szintén lineáris teret alkot a valós számok felett.
AItér, lineáris
kombináció,
gClledtolTelldszcr
A továbbiakban lineáris tér (vektortér) kifejezés alatt mindig a valós számok halmaza feletti lineáris teret (vektorteret) fogunk érteni. Definíció. Egy V vektortér valamely W (ncm üres) részhalmazát a V vektortér egyalterének nevezzük, ha vektorteret alkot a V-ben értelmezett műveletekre nézve.
29
KVANTiTATÍV
A lineáris algebra alapja,
MÓDSZEREK
Például könnyen belátható, hogya V3 vektortér azon vektorainak za, amelyeknek a 3. komponense O egyalteret alkot Vrban. Tétel,
Egy
valamely
V vektortér
nem iires W részhalll/aza
akkor alter; ha zárt a V-ben definiált összeadásra zásra nézve. Tétel.
Tetszőleges
V vektortérnek
valall/int
Ezen kél vektor összes lineáris kornbinációinak
akkor
és a skalárokkal
altere önmaga,
W halma-
és csak
valo szor-
az egyedill
a
O vektorból állo részhalmaza. Ezeket triviális altereknek nevezik. Az öszszes többi altér neve valódi altér. A O vektorból álló alteret Iluliatérnek is mondjuk, A mátrixok esetén bevezetett lineáris kombináció fogaI mát tetszőleges vektorterek elemei esetén is értelmezhetjük a következő módon: Definíció. Egy V vektortér al; a2; .. -; ak vektorainak lineáris kornbinációin értj ük az összes Ala I + A2a2 + ... + Aka k alakú vektort, ahol Al; A2;"'; Ak tetszőleges skalárok. Az üres vektorhalmaz tartozik.
lineáris kombinációi
közé
egyetlen vektor, a O vektor,
A definícióban nem tettük fel, hogy a szereplő vektorok különbözőek. Beszélhetünk például az a, a, 2a vektorok lineáris kombinációiról. Ha a vektorok kölönbözőségét nem kívánjuk meg, akkor vektorrendszerről beszélünk. Definíció. A Ala I + A2a2 + ... + Akak lineáris kombinációt az al; a2; .. ·; ak vektorok konvex lineáris kombinációjának nevezzük, ha a benne szereplő skalárok nem negatívak, és az összegük 1. k
( Aj 2: O és
L Aj = i
=
az
tetszőleges
V-hen egyalteret
al; a2;···;
I g.l "
~I:.
30
al; a2;···;
ak vektorrendszer
ak vektorainak
~j
tipusú
vektorokból álló halmaz, ahol x és y tetszőleges valós számok. Mivel Wegy altér V3 -ban, így az CI és Cl által generált altér W. Definíció. Az al; a.: .. -: ak vektorrenc!szert a fl vektortér véges generatorrendszerének nevezzük, ha az általuk generált alter megegyezik V-vci.
Példá ul Vrbó I ki vá laszt va az c,
+l
e, =
lJ +1 és c,
vektor o kal az
ezek által generált altér maga a fl3 tér lesz.
Lineáris
függetlenség
és összefüggés
Deflnícíó. A fl vektortér al; a 2;"'; ak vektorait lineárisan fiiggetlcnekncv; nevezzük, ha lineáris kornbinációjukként a O vektor csak trivialis módon állítható elő, azaz ha a
egyenlőség csak A = A2 = ... = Ak = O esetén teljesűl. A V vektortér al; a2; .. ·; ak vektorait lineárisan összejiiggőknek (nem Figgetleneknek) nevezzük, ha lineáris kombinációjukként a O vektor nemcsak triviális módon állítható elő, azaz ha találhatók olyan Al; A2;'" ;Ak skalárok, amelyek közül legalább egy nem O, és a
összes lineáris kom-
Azt mondjuk, által generált altere V-nek.
- jelölje
Például tek intsűk a V3 vektortér
i
r
I
Tétel. A V vektortér binácioi
1.)
W halmaza az
e,
ezt W - alkotnak.
=
l~j l~j és c,
=
hogy W
Alal
egyenlőség Például,
+ A2a2 + ... + Akak
teljesü!.
a V3 vektortér escten az a, =
=
O
l~l = r~j l~1 n,
és a, =
vektorokból
vekto rai t a O vektor csak triviális móc!on állítható elő, így ezek egy lineárisan független vektorrendszert alkotnak. 31
KVANTiTATív
MÓDSZEREK
A lineáris algebra alapjai
Tétel. Egy vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan összejL'iggő, ha vall olyan eleme, amely eláállithatá a többi elem lineáris kombináciojaként.
Az előző példa könnyen általánosítható a Vn (n>2) vektorterre. Világos, hogy az 100
O Bázis
el
és dimenzió
A vektortér egy lineárisan független generátorrendszerót bázisnak nevezzük. Deflníció.
al; a2;···; a"
elemekből
=
I
O
c2
=
O
álló
O
O .: ",c"
O
=
o
vektorok Vn-ben bázist alkotnak, a
Jin
tér
1 X1
X2
Tétel. Egy vektortér al; a2;···; a" elemei akkor és csak akkor lllkalnak bázist, ha a vektortér tetszőleges a vektora egyértelmiren előállítható az al: a2:-··; a" vektorok lineáris kombinációjaként.
Legyen B = {a 1; a2;···; a} a V vektortér egy bázisa. A tér egy tetszőleges a vektorának a= Alal A a Aka" előállításában szereplő Al; ~; .. ';A" skalárokat az a vektor B = {al; a2;···; a" } bázisra vonatkozó koordinátáinak nevezzük. Definíció.
+ 2 2 + ... +
Bármely vektortérben a bázist alkotó vektorok száma egyértelműen meg V([11 határozva. . Tétel.
Dcfiuíció. Azt moudjuk, hogya V vektortér dill/ellziója II, ha V-nek van II elemű bázisa. A nullatér dimenziója O.A V vektortér dimenziója végtelen, ha V-nek nincs véges sok elemből álló bázisa. Tétel. Az
11
dimenziós V vektortér Wa/terének
tn dimenziójára igaz, hogy
m:S:n.
Például:
tekintsük
risan függetlenek
a
V2
vektortér
CI
és V} tetszőleges
=
[~J [~J
x=
és
[:J
Cl
=
vektorait,
egyenlő »-ncl
és tetszőleges x
x1
I
O
O
x2
O
I
O
= XI O
x= "
O
E
V:, vektor csctén:
" = L,xjc;.
+ x2 O +···+X"
j=1
O
X
=
O
1
1.3 MÁ TRIXARITMETIKAI
PÉLDÁK
1.1 példa.
J3 ezek lineá-
8
vektorok eseten szárnitsuk
ki az a + II és
-2 vektora esetén teljesűl, hogy
X=XI[~]+X2[~]=[~~+x~]=[:~J Tehát az el és c} vektorok bázist alkotnak Vrben és így V2 dunenzrója egyenlő 2-vel. 32
dimenziója
2
a c - b vektorokat! Megoldás. Az adott vektorok mindegyike 4 dimenziós oszlopvektor, így a kívánt összeadás, ill. ki vonás elvégezhető. Az összeadást, ill. a kivonást elemenként (komponensenként) végezzük a következőképpen:
33
KVANTITATiv
a+
MÓDSZEREK
[Ol
_2+21
h 3: ~_~) =
[
A lineáris algebra alapjai
= ~
1+(-3)
cs c -
h~
-2
.fi - 2
.fi - 2
R-O
R
-2-(-1)
-1
2-(-3)
5
1.3 példa. (a) Számítsuk
b, Al
1.2 példa.
Legyen
A
= [;
-~
I
I
~1 °
és B
-~
= [~
5
-1
-;
~
-2
4
A+B=
2
-3
1
1
O
[4+5
= 2+3
1+(-1)
-1
4
3H5
-3
~1· °
O
7 I
21
-2
4
O
0+3
O 5
-1
0+(-3)
-1 + 7 4+ 1
-3+0 1+ (-2)
0+4
[4-5
= ?-3
1- (-1)
34
0-(-3) -3-0 1 - (-2)
-1-7
=r~l
=r-}ektoroknak a
b,
képzett lineáris kornbinációja!
b = 3bl
-
2b} + 5b3 + Ib4 = 3 531 - 2[--161 + 5 [31 O + I [41 -1
r
(b) Számitsuk Al
-2
°
5
I
0 [9 + 12+ 15+ 41 [ -1 = 15 + 2 + -1 = 16 1
°
-6-10+0+1
-15
ki azt a mátrixot, amely az
[-1 2]
1
= 3 5'
=[2
A2
- 2 A) = [ 3
- 1] O '
~] mátrixoknak
képzett lineáris kornbinációjal
2·2
= 5
5+0
-3
6
-3
5
-1
4
;1 1.4 példa.
Legyen
=
-2
b,
Megoldás. Az adott típusú Al, Al, A) matrixokat rendre megszorozzuk a megfelelő A" Al, AJ skalárokkal, majd a nyert szorzatokat összeadjuk.
-~~1-[~ ; ~~1 ° ° -1
+J
= 3; A2 = -2; A) = 5; A2 = 1; skalárokkal
és
5
b,
a Al = 5; ..1.2 = O; AJ = -2 skalárokkal
3 =
3+21 [9 ° 0+3
=r-~J
Megoldás. Az adott azonos mérctű b., b2, b), b4 vektorokat rendre mcgszorozzuk a megfelelő Al, Al, A), A4 skalárokkal, majd a nyert szorzatokat összeadjuk:
Szárnitsuk ki az A + B összeget és az A - B különbséget! Megoldás. Mivel két 111 . 11 típusú A = [ajj] és B = [bjj] mátrix összegén, ill. különbségén azt az m . Il-es C = [Cjj] mátrixot értjük, amelynek minden elemére igaz, hogy: Cjj = ajj + bjj, ill. Cjj = ajj - bjj. Ezért az összeadást ill. a kivonást clemenként végezzük az [aij] + [bjJ = [ajj + bjj] ill. az [ajJ - [bjj] = [ajj - bjj] képletnek megfelelően. Így
r
ki azt a b vektort, amely a
A{ 'lY')
4
3
-8
4-1
O-3
= -1
-3
3
O-4
5-O
2
3
-4
3-21 [-1
:1
4
-5
-1
°
4
2
3
O
-3
1
és
U=[: ",,,4
2
O 3
2
-I
6
O
-11 °. 7
Szarnitsuk ki az A . B szorzutnak megfelelő C, majd aB· A szorzntnak megfelelő D mátrixot! Megoldás. Két mátrix szorzatát csak abban az esetben számíthatjuk, hu az adott sorrendben konformábilisek, azaz az első tényező oszlopvektorainak száma egyenlő a második tényező sorvektorainak számával. Ez a feltétel 35
KVANTITATív
MÓDSZEREK A lineáris algebra alapjai
most teljesül és így a szorzás elvégezhető. szerint felírva:
3 A
4 O 2 -3
I -1
O
Tehát AB
=C =
[ 22 12
12 -13
Majd a BA szorzatot
4 O 5 2 2 6 22 -22 12 24 12 22 -13 O
-5 4 3 I
-22
5
24
3
22
-5
O
3
a Falk-séma
Az AB szorzatot
a Falk-séma
B 3 -1 -1 O O 7 5 -38 3 27 22 -5 3 7
AB
=C.
1.4 GAZDASÁGI FELADATOK MEGOLDÁSA MÁ TRIXARITMETIKÁ VAL A szállítási mátrix A szállítási mátrixot olyan esetekben készítik el, ha több raktárban tárolnak termékeket és ezeket több rendeltetési helyre kell kiszállítani. Gyakran az egyszerű termékek (pl. burgonya, káposzta, alma srb.) szállításával kapcsolatban készítik el a szállítási mátrixot. A mátrixban a fajlagos szállítási költségeket tüntetik fel, vagyis azt, hogy az áru egy egységének (pl. l tonna) elszállítása mennyibe kerül. 1.5 példa.
-381 27 22 . 7 szerint kiszámítva:
Tekintsük azt az esetet, amikor négy raktárból (RI, R2, R3' R) három rendeltetési helyre (Hi> H2' HJ) kell szállítani! Az RI, R2' R3, R4 raktárak mindegyikben csak egyfajta termék van, de mindegyikben más és más termék. Például az Rj-ben burgonyát, az Rrben káposztát, az Rrban almát és az Rr ben spárgát tárolnak. A tonnánkénti szállítási költségeket ezer Ft-ban az alábbi táblázat tartalmazza:
A
I~
B
4 5 2
O
2 6
3 -1 O
-1 O
7
4 -5 I O 4 -1 2 3 O -3 I 9 25 -22 18 18 -12 12 -13 21
RI R2 Rj R4
= ~
=fl:
12 -13
-22j -12 adódik. 21
Látjuk, hogy az AB szorzat nem egyenlő a BA szorzattal. Tudjuk, hogy ez általában így van, a mátrixok szorzása nem kommutatív művclct.
36
21 19
13 19
Hj
20 12 15 13
18 I7 16 22
alkotják az A, ún. szállítási mátrixot:
21 20 181 19 12 17 13 15 16 .
25 18
H2
BA =D,
Ezek a számadatok
azaz BA
HI
Raktár
3
A =
[ j
9
13 22
Például a harmadik sor második eleme: 15 aztjelenti, hogy egy tonna almának az Rj-as raktározási helyről a Hres szállítási helyre való szállítása 15 ezer Ft-ba kerül. 37
KVANTiTATÍV
MÓDSZEREK
il lineáris algebra alapjai
Legyen az egyes termékek felvásárlási tonnánként. Ebből képezzük a
ára rendre
52, 40, 39, 58 ezer Ft
(c) szállítottak
el a T2 telephelyről.
(d) vásárolt Göteborg; (e) exportáltak
összesen?
52 B = 40
52 40
52] 40
Megoldás.
[ 39 58
39
39
Az adott szállítási
58
58
meg. A mátrix minden sorához tartozik egy feladóhely
~:1átri~ot., A ~ajl.agos szállítási osszkoltsegmatnxot megkapjuk
és felvásárlási költségek összegéből álló ha kiszámít juk az A és B mátri x összegét.
egy 3 . 4-es A mátri x segítségével
programot
(rendre: aT
adhat juk 1,
a T 2, és
a T3 telephely), és minden oszlopához tartozik egy rendeltetési hely (rendre: Göteborg, Malmö, Stockholm és Uppsala). Megállapodunk abban, hogy az
r-edik sor j-edik eleme azt fogja mutatni, hogy hány kg mézet szállítottak az i-edik telephelyről
A + B
72 52 54
70j 57 55
77
71
80
=
73 59 52
[
aj-edik
250 [ (a) Az egyes telephelyekről komponensei kg-ban:
Egy külkereskedelmi
(c) A T2 telephelyről:
MalmőA méz szúllítúsa három telep-
be, St,~ck~oln:ha és Uppsalába rnézct exponált. helyről (1" 12, T3) történt a következő bontásban. Rendeltetési
hely
méz
O
295
O
O
250 mennyiségeket
az l' . A sorvektor
(d) Göteborg:
i' .A·
e; . A·1 = 475
adják
A technológiai
el.
el = 430 kg mézet vásárolt.
I" . A·}
=
1475 kg volt.
mátrix
TI
Malmő
160 kg
1.7 példa.
TI
Stockholm
175 kg
T2 T2
Tekintsünk
Göteborg
180 kg
és Ts) gyárt. A gyártáshoz
Stockholm
295 kg
Az üzemi adatok szerint a termékegységre
T3
Stockholm
250 kg
alábbi táblázat muratja:
T3
Uppsala
165 kg
rendre az egyes svéd városok;
komponensei
kg mézet szállítottak
Göteborg
(b) importáltak
az A . loszlopvektor
A· 1 = [585, 475, 415f.
TI
250 kg
Határa,zz,uk meg mátrixalgebrai eszközökkel, hogy hány kg niézet (a) szállitouak el rendre az egyes tclephelyckről;
38
180
vásárlását
(e) A teljes mézexport:
Elszállított
175
1'· A= [430,160,720,165].
1.6 példa. városba Göteborgba,
160
elszállítandó
adják (kg-ban):
(b) Az egyes városok
Feladóhely
=
A
A~ A, és, B m,á:rixok ismerete szükséges ahhoz, hogy a lehető legkevesebb koltsegrafordltassallehessen fedezni a raktározási helyek készleteiból ,, . a sza'IIítasi helyek szükségleteit.
vállalat négy svédországi
városba.
Erőforrás jele
egy üzemet, amely 5-féle tennéket háromféle
(jelölje
ezeket: TI' T2' T3' T4
erőforrás: EI, E2 és E3 áll rendelkezésre. eső ráfordításokat
ezer Ft-ban az
Termék iele
E1
TI 3
T2 2
T3 O
T4 4
E2
4
3
1
2
TI 5 2
E}
1
2
4
O
3 39
KVANTlTATiv MÓDSZEREK
Ezek a számadatok
A lineáris algebra alapjai
alkotják a T ún. technológiai
T = [:
~
4
3
=
a" ·T
~l
~ ;
1 2
mátrixot:
[3; 8; 5]· ~ ~ : [
~
~] = [46; 40;
28; 28; 46]
O 3J
Ha az üzemnek a TI> T2, T3, T4, Ts termékből rendre 50, 30, 10, 40, 80 egységnyit kell előállítania, akkor ezt a programot a
1.8 példa, Egy vállalat három üzemeben féle erőforrás
p = [50; 30; 10; 40; 80]*
(E I ' E2 és EJ)
4-féle termeket (T I ' T 2 felhasználásával.
'
T 3 és T 4
)
gyárt, 3-
Ismertek a következő
táblá-
zatok adatai. az ún. programvektorral
oszlopvektorral, termelési program tásban. Tehát:
adjuk meg. A Tp szorzat az adott
szükségletét
nyersanyag
mutatja erőforrások
szerinti bon-
A tennelés
megoszlása
az üzemek között
50 30 10
770] 540 .
= [
40
1. üzem 2. üzem 3. üzem
390
80 A rendelkezésre oszlopvektort programok
álló erőforrások
realizálhatók,
Egyik crőforrús
tekintetében
amivel
szokás
amelyek
lában több ilyen program szerűbbet,
kapacitásait
kapaclrésvcktornak
kielégítik
sem léphetünk is lehetséges.
az optimum
egységárait
k = [800,560,400]*
nevezni.
Csak azon termelési
a Tp
:5
kell kiválasztani
foglalkozik.
Az üzemek
ISO
400 100 350
200 100
T~ 410 520 200
erőforrás-felhasználása
k egyenlőtlenséget.
túl a kapacitáskorlátokon.
Ilyenkor
számítás
program szerinti termelés végrehajtható, tása nagyobb, mint a szükséglet. Az egyes erőforrások
tartalmazó
TI 300 250 500
A termelés mennyiségc (természetes mértékegyséuben) TJ T2
a legcél-
Esetünkben
mert mindegyik
ÁltaErőforrás
az előírt
erőforrás
EI E2
kapaci-
Erőforrásokból (természetes 1. üzem 2. 80 60
SO
E)
(itt most ezer Ft-ban) tartalmazó
felhasznált mcnnyiség mértékegységben) üzem 3. üzem 90 100 45 65 30 60
sorvektor:
a*=[3;8;5] Egységárak az ún. árvcktor. Az előírt termelési zatból határozható
meg, azaz:
a'·T.p
= [3;
program
anyagköltsége
az a*Tp szor-
[770] 8;
= 8580.ezerFt.
5]·540 390
A fajlagos 40
anyagköltséget
(termékenként
rendre) az a*T szorzat adja:
Az erőforrás egységára (ezer Ft)
A termék egységára (ezer Ft)
I
TI
2
EI
2
T2
1,5
E2
1
T3
3
EJ
3
T4
4
41
KVANTITATiv
MÓDSZEREK
A kiindulási
adatok könnyen
A lineáris algebra alapjai
kezelhetővé
válnak, ha azokat megfelelő
Megoldás.
mát-
rixok, ill. vektorok alakjában írjuk fel. A táblázatokba foglalt adatok által meghatározott mátrixokat és vektorokat a kővctkczőkóppcu vezetjük be.
Legyen T
300 250
400 100
150 200
4101 520 a tennelés megoszlásának
[ 500
350
100
200
= ki]=
(a) A készárutermelést mátrix sorainak
t·=1*T=[I;
mátrixa,
termékfajránkénti
ősszcgzcscvcl
1;
300
400
150
410
1] 250 [ 500
100
200
520
350
100
2001
(b) Az erőforrásonkénti ahol tjdelenti
az Í-edik üzemben
F=
Legyen
[fJ =
80 60 [
50
aj-edik
90 45
1001 65 a felhasználási
30
60
ahol fjjjelenti az Í-edik erőforrásból Továbbá és b
=
legyen [2;
=
a
1,5;
3,
[2;
termekből
termélt
mennyiséget.
erőforrás-felhasználást
nálási mátrix oszlopainak
mátrix,
f
összegzésévei
1; 3 J az erőforrások
egységárvektora
(el) Az árbevételt
egységárvektora.
termékfajtánként
és speciális
módszerek,
vektorok
segítsége
révén adjunk választ a következő
(a) Mennyi a vállalat készárutermelése (természetes rnértékcgységben)? (b) Mennyi mészetes (c) Mennyi
a vállalat
300
400
ISO
410
kérdésekre!
A = T(b) = [250 500
100 350
200 100
520
termékfajtánként
összes erőforrás-felhasználása
erőforrásonként
(ter-
tel vektorát
az árbevétel:
(c 1) termékfajtánként
és egyben
(c2) termékfajtánként
összesen,
(c3) üzemenként
T
850;
450;
I 130].
megadá f vektort a felhasz-
kapjuk meg:
2 O O O]
1~
200
Ce2) Az A mátrix sorvektorait
mértékegységben)?
ti
bernutató
A mát-
kell szorozni Ci = 1, 2, 3, 4), azaz:
mátrixok
azaz a T, F, a, b valamint diagonális
= [1050,
és egyben üzemenként
Feladat: Mátrixaritmetikai
t* vektor
rendre a T matrix i-edik oszlopát az i-edik termék egy-
rix kiszámításához ségárával
megadó
80 90 60 45 100jl'j 65 1 = l270j 170 . l50 30 60 1 140
= F .1 =
aj-edik üzemben felhasznált mennyiséget.
4J a termékek
bontásban
adódik:
O
600
I~~ ~ ~ = [ 500 1000 O O 4
összegezve
600
450
1640
150 525
600 300
20801 800
a termékfajtánkénti
összes árbcvé-
kapjuk: 600
üzemenként. 1*A = I'T(b) = [1;
1; 1] [
összesen,
600
500
150
450 600
16401 2080 =
1000
525
300
800
(c4) összesen? (d) Mennyi
a közvetlen
(d 1) erőforrásonként
és egyben üzemenként,
(d2) erőforrásonként
összesen,
(d3) üzemenként (d4) összesen?
42
= [2100;
költség:
összesen,
I
(e3) Az A mátrix tel vektorát
1275;
oszlopvektorait
II
4520]
összegezve
az üzcmenkénti
összes árbevc-
kapjuk:
I
I
1350;
600
450
500
ISO
600
1000
525
300
600 Al=T(b)l= [
1640
1] 2080]: 800 [ 1
3290
J3330j . l2625
43
KVANTiTATÍV
A lineáris algebra alapjai
MÓDSZEREK
(c4) Az A mátrix valamennyi
elemet összeadva az összes árbevételt
Külföldi cégek
kapjuk: Évek
329°1 1; 1]3330 =9245 (eFt.). [ 2625
l'Al=l'T(b)l=[l;
költség erőforrásonkénti
és egyben üzemenkénti
bontásban:
180 költség erőforrásonként
összesen:
160 180 200j[11 [540j (a)Fl = 60 45 65 1 = 170 . [ 150 90 180 1 420 (d3) A közvetlen
költség üzemenként 160
r' (a)F = [1; 1; 1] 60 [ (d4) A közvetlen
ISO
összesen:
180 200~ 45 65 = [370; 315; 90
445].
180
költség összesen:
f(a)F.l~r370;
315; 445{:j~1l30
J.
...
11.
2.
200~ 65 .
(d2) A közvetlen
2.
(partnerek)
1.
(d) A kőzvctlen költségre vonatkozó kérdések válaszait is hasonló gondolatmenet alapján adhat juk meg. (CI 1) A közvetlen
1.
(cFi).
(/
Í.
..
lj
lll.
Írjuk fel matrixaritmetikai jelölésekkel. (a) a 8. partnerrel a vizsgált időszakban lebonyolított forgalom ősszcrtékét: (b) az utolsó két év forgaimát partnerenként részletezve és összesen; (c) az egy év alatt egy partnerrel lebonyolított forgalom átlagos nagyságát' Megoldás. Jelöljük a táblázat forgalmi mátrixát A-val, azaz A = [ajJ egy 111 • II-CS mátrix. (a) A 8. partnerrel lebonyolított összforgalmat megkapjuk. ha az A mátri x 8. oszlopának adatait összegezzük. A 8. oszlopot kiválaszthatjuk a mátrixból, ha azt egy olyan egységvektorral szorozzuk jobbról, amelynek 8. komponense az 1. Az eredményül kapolt oszlopvektor elemeit egy összegző sorvektorral való skaláris szorzás segítségével összegezzük: 1*(Acg). Természetesen (1 * A)cx sorrendben is számolhatunk; itt 1* A az egyes partnerekkellebonyolított összforgalmakat tartalmazó vektor; az cs-caI való szorzás ebből választja ki a 8. komponenst. (b) A mátrix utolsó két sorának összegét kell előálliranunk: [e'" + e* ] . A. n Az utolsó két év összforgalma a kapott vektor elemeinek összegezésévei nyerhető: [e* +c*]·A·1. 11-1
A forgalmi
mátrix
,,-1
lJ
1.9 példa. Egy külkereskedelmi vállalat II (Il :s 8) kűl földi céggel tart fenn állandó piaci kapcsolatot. Az utolsó 111 (m :s 2) év forgalmi adatait a következő táblázat tartalmazza, amelynek i-edik sorában aj-edik elem, (vagyis Cli') azt adja meg, hogy az i-edik évben a j-edik partnerrel mekkora forgalmát bonyolított le a vállalat. 44
(c) A mátri x elemeinek összegét kell osztanunk az évek és a partnerek számával: 1 (l*Al). m-n
45
KVANTITATÍV
MÓDSZEREK
A lineáris algebra alapjai
1.10 példa.
Alkatrész jele
Egy vállalatnak a tavalyi évben 263 alkalmazottja volt. Legyen D = [djJ az a mátrix, amelynek djj eleme azt mutatja, hogy a vállalat í-edik dolgozójának mennyi volt a keresete az elmúlt év j-edik hónapjában, továbbá legyen III = [mk] az a 12 elemű vektor, amelynek elemei rendre az egyes hónapok munkanapjainak számát adják meg (feltesszük, hogya tavalyi év folyamán a letszámot illetően scm felvétel, sem kilépés a vállalatnál nem volt). Írjuk fel mátrixalgebrai jelölésekkel, hogy mennyi volt: (a) a dolgozók június havi összkeresete, (b) az egy dolgozóra jutó átlagos évi kereset, (c) az egy dolgozóra j utó átlagos havi kereset, (d) az egy dolgozóra jutó átlagos numkanapi kereset az egész évi adatok alapján, (c) a vállaluutál kifizetett összbénnennyiség a harmadik ncgyedévbcn, (f) a dolgozók május havi átlagkeresete, (g) az egy dolgozóra jutó átlagos munkanapi kereset a második negyedévben? Megoldás. (a) 1* . D· e 6,.
(b)
r ·0·1 263
(d)
(f)
r
·D·1
I" . ITI' 263 1'·0·e5 263
(c)
r ·0·1
Végtermék jele
Al 3
A2
VI V2
2
O
VJ
1
V4
O
3 5
Az egyes alkatrészek
3
6
2
O
2
2
O
3
2
6
1
3 4
3
O
O
5
4
3
j
46
6
4
3
O
I
4
3
időszakra
vonat-
az alkatrész felhasználás mátrixa,
ahol ajj jelenti az i-edik termék előállítása használt darabszámot.
Aa=
során aj-edik
3 2
6O 23
O 2
21: 1 6
1
3
4
3
O
5
I
4
3
°
alkatrészből
fel-
Aa ,
(a) A termékek fajlagos alkatrészköltsége: Lll példa. Egy üzemben importból beszerzett 5-féle alkatrészből 4-fajta végtermeket szerel nek össze. Egy megfigyelt időszak alatt a VI termékből 50, a V2 termékből 70, a V3 termekből 32, a V4 termekből 20 egységet állítanak elő. A! egyes termékek fajlagos alkatrész-szükségletét a kövctkező táblázat mutatja:
2
Megoldás. Legyen a = [3, 2,1; 2; 1,4; 1]' az alkatrészek beszerzési egységárvektora és p = [50; 70; 32; 20)' a termelés programvektora!
12·263 '
I.' ·B·(e.j + c5 + er,) , 111 ·(e.j + es + e(,)· 263
2
Feladat. Határozza meg mátrixaritmetikával, a megfigyelt kozóan, a következőkct: (a) Mekkora a termékek fajlagos alkatrészkőltsége? (b) Az egyes alkatrészekből hány db-ot kell importálni? (c) Mennyi a teljes importköltség?
(e) 1* . D . (e, + Cs + e9);
(g)
As
O
beszerzési ára rendre: 3; 2, 1; 2; 1,4; I ezer Ft/db.
'Továbbá legyen A = [aJ=
,
A4
AJ 2 3
6
2
1,4 I
=
27,61 20,8 21,5 . 21,1
47
KVANTITATív
MÓDSZEREK
A lineáris algebra alapjai
(b) Az alkatrész-szükséglet
• Il A = [50;
70;
32,
p'A ,
vektora:
(b)
3 6 2 O 2] 20326
20]
1
Cc) A teljes importköltség:
O
343
O 5
143
p"A . a
=
= [322;
496,
451;
316,
A=
580]
(c)
ll' .Aa .
Adja össze a következő -2
-5
3
3
4
2
-3
1
-3
I
-6
O
O
O
-b
O
-<1
-b
O
2a
O
O
O
-a
a
Af 1.1
(d)
Adja össze a következő
3
-8
1
O
O2 ]
5
2
5
8
-1
-2
,
3
n"[~ a
O
O
-b
-1
a
O
O
-b
b
1
O
O
- J
?
5]
B= O
2
-2 .
vektorokat: [
O
O
JO
1.2
(a)
Legyen X" [~
Számítsa
48
ki az X
-1
-3
14
1
O
+ Y összeget
1.3
c = [3; -3; 2,5]*.
JI
v,
[
-3 3
O
-1
-2
és az Y - X különbséget!
O - 2] I
3
-4
O
.
Írja fel a következő
(b)
lineáris kombinációk
7
9
- 1 -5
+ B és a B - A ? által meghatározott
vektort:
4a -2b +5c, ha
a* = [1; -1; 5; -2]; Cc)
-3 .
O
3
Milyen speciális matrix az A, a B, az A
a = [7; 2; -3]*; b = [-1; O; 0,5]*;
-2]
- 1
Legyen
és
(b)
-1 O
c=
'
J
mátrixokat:
Adja össze a következő
-1
1.5 FELADATOK
B=
mátrixokat:
-2a +3b -5c - 3d, ha
b* = [O; 3; -1; 5];
c*
= [1; O; -1; O].
KVANTITATÍV
1.4
M6DSZEREK
A lineáris algebra alapjai
Írja fel a következő lineáris kombinációk (a)
által meghatározott
mátrixot:
1.7
3A-Sil-C,ha
Mivel egyenlő Ca)
x*·A·y,ha
- 2 3 O 5] A = 30
[O
(b)
~1 tl 2
[2
7
A=[~
O
4
1
-2
ll= ~
[2
(b)
[-~
-1
1
3
4
2
O 4
7',
5',
[8;
3;
4
-2
O
1
-1
:2
O
-1
O
O
-S
(c)
-1
°
-
1-'
szorzásokat: a
1.8
Igazolja az ismert!' (a)
Y-
[0]
2 . -51 '
vektor eseten.
Határozza
meg a következő szorzalnak megfelelő mátrixot:
A· B és B . A, ahol
(a)
A
= a' és (a)1 = a azonosságole teljesülését az
{1
= [ ~ ~ ~:~
- 1
(b)
-3]. ?- O O 5 9
50
5
4] x- [ ,--/
6 ,
l =l H II
~,3
vektor-mátri x szorzásokat:
[
(b)
c=
3
-~J[-n :;]Fl· O
[-3' ,
- 1
mátrix-vektor
Végezze el a következő
(a)
5
O
O
-2
1.6
'
Végezze el a következő
(a)
-6
-SA +3 -3C, ha 8
1.5
2
:2
X
=
X' Y és Y . X, ahol
2 3 -5] 1 -1
[4
O 2
3 O
-1
2
'
y
=[~ °
o
8
5
- 1
2
O
-2] ~
.
-1;
51
KVANTITATÍV
(c)
MÓDSZEREK
A lineáris algebra alapjai
Igazolja a mátrixok szorzásának asszociativitását [azaz, hogy (A . = A . (B . C)] a következő mátrixok esetén:
B) . C
B = [O -2 2 9] 4
5
O
3 '
c ~ :~ ~ O
(d)
Igazolja az ismert (A . B)* következő mátrixok esetén:
II =
O
~l! teljesülését
E2 E3 Gyártondó mennviség:
a
l-~ ;!j .:
erőforrás jele EI
2
B* . A * azonosság
=
Az
O
termék jele T3 T4 ----4 5 3 O 3 O
Az
A
TI --I
2 4 100
T2 ~--O 2 6 90
130
150
TS 2 I 2
erőforrások egységára
.-
S
10 15
50
Számítsa ki mátrixarirmctika segitségével: (a) Mennyi a termékek fajlagos crőforrásköltsége? (b) Mennyi a termelési program crőforrús-szükséglcrc (erőforrásonként részletezve)? (c) Mennyibe kerül az adott termelési program erőforrás-szükséglctc? 1.12 A "Hunimpex" külkereskedelmi vállalat az elmúlt gazdasági évben tíz külföldi céggel (partnerrel) tartott fenn állandó piaci kapcsolatot. Az év forgalmi adatait az F = [fjj] matrix tartalmazza, amelynek f eleme azt adja meg (alkalmas rnértékegységben), hogy az r-edik hónapban a j-edik partnerrel mekkora forgalmat bonyolított le a vállalat.
Számusuk
(e) a* Mb;
ki a kövctkező
szorzatokar:
(b) 1* MI;
(c) l*ba*l;
(d) b* M*l;
(f) b* M*a;
(g) ba* 1\1;
(h) Mba*.
1.10 Az egyik főiskola nappali első évfolyamán 6 tárgyból vizsgázott 351 hallgató. Jelentse az A = [ajj] mátrix ajj eleme az i-edik hallgatónak aj-edik tantárgyból elért vizsgajegyét. Írja fel mátrixaritmetikai jelölésekkel: (a) az évfolyamnak az 5. tantárgyból elért átlagár; (a) a 4. hallgató vizsgajegyeinek átlagát; (b) az évfolyam vizsgajegyeinek átlagát! 1.11 Egy üzem 3 erőforrás segítségével ötféle termeket állít elő. A termékegységre vonatkozó ráfordításokat, az erőforrások egységárait (ef t-ban), valamint az egyes termékekből gyártandó mennyiségeket (db-ban) a következő táblázat mutatja.
52
Írja fel matrixaritmetikai jelölésekkel a következőket! (a) A k-adik céggel lebonyolított havi forgalmak vektora, (1 :S:k :S:10). (b) A k-adik céggel az elmúlt évben lebonyolított összforgalom, (l:S:k:S:lO). (c) A p-edik hónap forgalma partnerenként részletezve, (J :s: p :s: 12) . (d) A p-edik hónap összforgalrna, (1:S: P :s:12). (e) Az utolsó negyedév forgalma partnerenként részletezve. (f) Az utolsó negyedév osszforgalma. (g) Egy hónap alatt egy céggel lebonyolított forgalom átlagos nagysága 1.13 A .Dunagép KFT" egyik üzemeben ll-féle erőforrás felhasználásával m-féle végtermeket gyártanak. Az F = [fjj] mátri x fjj eleme jelenti, hogy ajedik végtermék egy egységének előállitásához felhasznált i-edik erőforrás mennyiségét (természetes mértékegységben). Valamely időszakra vonatkozóan a p vektor komponensei jelentsék rendre az egyes végtermékekből előállítandó rnennyiséget, az a vektor komponensei pedig jelentsék rendre a különböző erőforrások egységárait. Az F, P. a, valamint diagonális mátrixok és speciális vektorok segítségével írja fel a következőket! 53
KVANTiTATÍV
MÓDSZEREK
A lineáris algebra alapjai
(a)
A P program erőforrás-szükséglete rásból (l:S;k:S;/l).
(b)
A P program erőforrásköltsége a k-adik erőforrásból (I:S; k:S; ll). A fajlagos (egységnyi termékre eső) erőforrásköltség termékenként. A q-adik termék egységének erőforrásköltsége erőforrásenként
Cc) (d)
termékenként
a k-adik erőfor-
(I:S;q:S;I7l).
(e)
A q-adik termék erőforrásonkénti
szükséglete
a p programban
(I:S;q:S;/Il). (f)
A q-adik termék erőforrásköltsége
a p programban
1.16 A .Jvlikroelektronika Rt." egy megfigyelt héten tn-féle alapanyag felhasználásávaln-féle termeket gyártott. A T = [tij] technológiai mátrix tij eleme jelenti aj-edik termék egy egységének készítéséhez felhasznált i-edik alapanyag mennyiségét (természetes mértékegységben mérve). Jelentsék a q programvektor komponensei rendre az egyes termékekből gyártott mennyiséget a megfigyelt héten, az a vektor komponensei rendre a felhasznált alapanyagok egységárait, a b vektor komponensei pedig rendre a termékek eladási egységárain
(1 :S; q :S; /Il). Fogalmazza
1.14 Egy üzemben
importból beszerzett 5-féle alkatrészből 4-fajta végterméket szerelnek össze. Egy megfigyelt időszak alatt a VI termékből 50, a V2 termékből 70, a V) termékből 32, a V4 termékből 20 egységet állítanak elő. Az egyes termékek fajlagos alkatrész-szükségletét a következő táblázat mutatja: Alkatrész jele Termék jele Al VI V2 Vj V4
A2 6
Aj 2 3
A4
1
3
°
4
2 3
As 2 6 O
°
5
l
4
3
3
2
°
Az egyes alkatrészek beszerzési ára rendre: 3; 2,1; 2; 1,4; 1 ezer Ft/db. Határozza meg mátrixaritmetikával a megfigyelt időszakra vonatkozóan a következőket: Ca) . Mekkora a termékek fajlagos alkatrészköltsége? Cb) Az egyes alkatrészekből hány db-ot kell importálni? (c) Mennyi a teljes importköltség ? 1.15 Egy külkereskedelmi vállalat Jn fajta terméket exportál II számú különböző országba. Az A mátrix aijeleme jelentse az /-edik termékból aj-edik országban eladott darabszámot. Legyen (I:s; k :s; 11/) és (1 :s; P :s; ll) ! Fogalmazza meg, mit jelentenek a következő kifejezések. (a) e: ·A; (b) e~·A·ep; (c) A· 1.
54
meg, hogy mi a jelentése a következő kifejezeseknek.
(a) T(q) ; (d) e~Tq, (I:S; «< 111); (g)
a*T;
(j)
b-M*a.
(b) TI; (e) qb ;
Cc) Tq;
(h) a*Tq;
(i) T(a);
(f) (q)b;
1.17 Egy vállalat ll-féle végtermeket gyárt 111-féle alapanyag felhasználásával. Az A = [ap'!] mátrix apq eleme jelenti, hogy ap-edik végtermék egy egységének előállításához mennyit használtak fel (természetes mértékegységben) a q-adik alapanyagból. Ismert az x programvektor, amelynek komponensei rendre az egyes végtermékekből előállítandó mennyiséget mutatják és adott az alapanyagok egységárait tartalmazó a vektor is. Az A, x, a, valamint diagonális mátrixok és speciális vektorok segítséI ge révén ÍJja fel a következőket! (a)
Az x program anyagszükséglete alapanyagonként. (b) Az egyes végtermékek fajlagos anyagköltsége az i-edik alapanyagból(l::::; i« 111). (c) A j-edik végtermék egységének alapanyagköltsége (I::::;.i::::; II). (d) Az x program anyagköltsége: (d 1) alapanyagonként; (d2) végtermékenként, (d3) végtermékenként és egyben alapanyagonként. 1.18 Egy megfigyelt időszakban a "Célgép KFT" egyik gyáregysége II-féle erőforrás felhasználásával 8-féle végterméket gyártott. Az M = [tnij] mátrix Jnijeleme jelenti aj-edik végtermék (1 ::::;j s 8) egy egységének 55
KVANTITATív
A lineáris algebra alapjai
MÓDSZEREK
készítéséhez mészetes ponensei figyelt
felhasznált
(1:S i :s 11) mennyiségét
Í-edik erőforrás
mértékegységben
mérve). Jelentsék
rendre az egyes végtermékekből időszak
1.6 MEGOLDÁSOK
a meg-
rendre az erőforrások
pedig rendre a termékek
AZ 1. FEJEZET
egység-
1.1 Megoldás:
(a)
f2+h] -~,2
ségével (a)
diagonális
mátrixok
és speciális vektorok
(b)
1.2 Megoldás:
erőforrás-szükséglete
A q program
termékféleségenként
forrásonként
részletezve.
(b)
A q program
erőforrás-szükséglete
(c)
A q program
(azaz az időszak) árbevétele.
(d)
Az időszak
(e)
A terrnékenkénti
árbevétele
(f)
A termelés
(g)
A termékenkénti
(erőforrásonkénti
összköltsége
A termékek
1.19 A műanyag
egy egységének
termékek
gyártására
végrehajtása
figyelt héten n- féle terméket
rész-
(b)
val. Az M
[miJ technológiai
=
(1 ~ i ~ n) egy egységének anyag (1 ~ j ~ 12) mennyiségét Jelentsék
a q programvektor
ből gyártott mennyiséget rendre a felhasznált
I 2-féle alapanyag
(természetes
felhasználásá-
(c)
A+B==
az i-edik ter-
felhasznált
j-edik
mértékegységben
komponensei
alapanyagok
pedig rendre a termékek
.Plasztik KFT" egy meg-
készítéséhez
a megfigyelt
>
(e) Ma
(g)
56
=
(a).M
M(a)l
5
,.
O
X-Y==
2
-1
3
-3
-13
-4
3;
-5
-8
-b-l
-b
O
a
1
mérve),
,
-1
-7
b1
Oa
-a
2a - bb' -a
a
r2 O 92j
rendre az egyes termékek(d)
11 10
[ aII
alap-
héten, az a vektor komponensei
egységárait,
Az A, B, A + II == O 3
a b vektor komponensei
O O
-
r-4 4 1j
és II - A == O
10
O
1
-2
mátrixok
O -4
eladási egységárait!
meg, hogy mi a jelentése
(a) (q)M (c) qb bq
-4
2
mindegyike Fogalmazza
-1
18
mátri x mij eleme jelenti
mék
3;
343
A+B+C==
fedezete.
gyártott
15
[412
esetén.
költség erőforrásonként
szakosodott
13
bontásban.
letezve. (h)
-3
költség.
a q program
fajlagos termelési
rl7 7 -1 lj
(a) X + Y = 4
-1
termékféleségenkénti
fajlagos termelési
és erő-
bontásban).
In
L 6
segít-
ÍJja fel a következőket!
l~1 r -13 1 -Sj (c)
;
árait! Az M, q, a, b valamint
FELADATAIHOZ
kom-
gyártott mennyiséget
alatt, az a vektor keruponensei
a 1>vektor komponensei
egységárait,
(ter-
a q programvektor
a következő
(b) q*M (d) (q)b=
=
f
felső háromszögmátrix.
kifejezéseknek!
1.3 Megoldás:
qlM
(1))q = 1>*(q) = q*(b)
(f) a *Mq , vagy 1*a
l'
Mq
(h) 1>- Ma, vagy 1>*- a*IVI*
(a)
r::l
(b) [-I\O}
(c)
r-3-7)51 3
.
5 -18
57
KVANTITATív
1.4
1.5
MÓDSZEREK
Megoldás:
(a)
Megoldás:
A lineáris algebra uíapjai
25
[6 -5
-5
-4
-19
[2:
(a)
- 28
:j
[_7
-15
(b)
_: O
-7
-50 - 33
l2]
-I
-1~
-5
27
.
l (b) [,:3]
Megoldás:
(a) [-13;
1.7
Megoldás:
(a) 55;
22;
17];
(d)
(b)[25;
-27;
6;
-13].
1;
8
12
-1
- 21
6
- 40
-5
. alapján
(AB)*:::
IJ~
lO
~
~l:::[2;
O
4J
* A*
8
fA
[-34 8
12
-21
-1
6
-1 O] -1 438 4
.
-40] . -5
r
és így (A . B)*
=
12
- 21
-1
6
[- 34
- 3
2
1
'
-
40]
-5
B* . A * valóban teljesűl.
Megoldás: (a) e, *M 1::: 2, az M mátrix 3. sorvektorának (b) 1* MI
=
komponenseit
összegcztük;
5, az M mátri x elemeit összegeztűk;
Megoldás: (a)
AB = [~
~],
ebből a példából is látható, hogy két nem-nulla mát-
rix szorzata lehet egy nulla matrix, másrészt
BA = r4~6 O
(b)
XY
=[~ ~ 10
9 58
j
-38
5 -22 °3 -26j :::
-7 =[ O
1; 4]=a'
1.9
1.8
'29
-42
másrészt
B (c)f(a)=[I;
AB =
- 34
72
r -75 :~] = 20 -40
20
-)
-12 1.6
2
és A(Be) = A [-10 _
10
-1
13
8 -10 33
-24j -14
16
~
9,~5l.
O
J
O
(c) 1*ba*l = -3; (d) b* M*l = -14; (f) b* M*a = (a* Mb)*= -3;
(g) ba * !VI =
r
. 1.10 Megoldás:
(a)
j
5
6
4
-2
-3
-2 ;
-4
-6
-4
351
,
O
--J'O O
4
1*(A·e5).
(e) a* Mb = -3;
(h) Mba*=
I
O
O
O
[
Cb) (e:-A)·l. 6
,
O]
-10 - 20
O
2
O·
O
O
Cc) l'·A·l 351·6
59
y-
KVANTITATív
(
MÓDSZEREK
1.11 Mcgoldás: Legyen A a technológiai matrix, a az erőforrások egységárait tartalmazó vektor és II a termékekre vonatkozó, a gyártandó mennyiségeket tartalmazó, programvektor. Akkor a szöveg
alapján:
1.12 Megoldás: (a) A k-adik (1::; k ::; 10) céggel lebonyolított a k-adik oszlopot kiválasztjuk
ek egységvektorral vektorral
r' F·
partnerekkel
Ck sorrendben
lebonyolított
árait
(a fajlagos
költséget)
lelő e:. egységvektorral
1 O 15]. 2 2 [ 460
ha az A mátrix
megkapjuk, megfelelő Azaz
elemeivel,
5
21
3
O
I =[88;
62;
(erőforrásonként) oszlopait rendre megszorozzuk a p vektor
és az így kapott oszlopvektorokat
=
3
2
J 150
820
[
költségét
összegezzük.
összegző
1" . FCk . itt l' F az egyes
tartalmazó
.
megkapjuk.
vektor; az Ck-
ha c;'F sorvektor
ele-
vektorral való skaláris szorzás segítségé-
c;' . F 1. sorrendben
forgalmakat
tartalmazó
ki a p-edik
komponenst,
(e) Az F mátrix
is számolhatunk;
vektor; az
e:
itt F·1 a havi össz-
-val való szorzás ebből választja
(1::; P ::; 12).
utolsó
három
e;1 <2 f .
sorának
(e;o + + (f) Az utolsó három hónap összforgalma
nyerhető:
(g) Az F mátri x elemeinek I • számával. (1 Fl).
összegét
kell előállítanunk:
a most kapott vektor elemei-
(c;o +c:1 +c:2f·1.
összege osztva a hónapok és a partnerek
f
120
1
11490
50 (c) A termelés
összegezzük:
vel összegezzük:
nek összegezésévei 470
O
56].
Természetesen
100
6
85,
erőforrás-szükséglerét
~~~~ll~~
j
!
1.13 Megoldás:
az a * Ap
szorzat adja:
(a) c: F(p). (b) c: (p)F(p)l,
(vagy
c:
(p)Fp).
(c) pF, (vagy l*(p)F). a*Ap=a*
60
.Ap=[8;
10,
1470] 15] 820 =42310 [ 1490
.~ 1·,
sor-
* balról: cJ".
megszorozzuk
hónap összforgalmát
meit egy megfelelő 110;
3 2
(a p program)
(b) A termelés
4
Fck. elemeit egy összegző
ki a k-adik komponcnst,
az
(d) A p-edik 10,
ha
(1 ::; k ::; 10). (c) Ap-edik (1::; p::; 12) hónapban lebonyolított forgalmar megkapjuk. ----------..----.::-:1a~a::-:-:p~-e::-:r:-l'-'-::0c:cSz:::T:::"0:::-p-;::-0 t;:-r;-:l::-:vTa"'a";;"sz~tJ U k az F má trix bó 1, azaz ha azt a megle-
50 előállítási
megkapjuk.
azaz ha azt a meg telelő
is számolhatunk;
összforgalmakat
val való szorzás ebből választja
(a) Az egyes termékek a * A szorzat adja:
jobbról:
kapott FCk oszlopvektor
való skaláris szorzás segítségével
Természetesen
forgalmai
az F mátrixból,
megszorozzuk
(b) Az eredményül
100
a*A=[8;
..
A lineáris algebra alapjai
(eh).
(d)
Fe'l.
(e) F'p
IC'I.
(f) a*F(p)cq,
(vagy l'(a)·F(p)c,J
61
KVANTITATÍV
A lineáris algebra alapjai
MÓDSZEREK
1.14 Megoldás:
[1
Legyen A = [a,,]= ~
2
O
2
O
3
2
6
3
4
3
O
5
1
4
3
az z-edik
ahol ajj jelenti
legyen
mátrixa,
országba során aj-edik
alkatrészból
(a) A termékek
2,1;
70;
2;
1,4; 32;
IT az
20 Ja
alkatrészköltsége:
fajlagos
alkatrészek
°
2 3
O2
1
3
4
3
O
O
5
1
4
3'
Aa =
6
[
2]2 1 6' 2
tennelés programvektora!
Aa,
=
21,5
(b) Az alkatrész-szükséglet 3 •
pA = [50;
70;
32,
6
2
[
(i) A termékenkénti
= [322;
496,
451;
I/A·a
451;
=
316;
580]
2
=3946
27,6]
62
32,
termelési
végrehajtása
költség,
esetén.
alapanyagonként
rész-
fedezete.
580]
21,5
[ 21,1
x" A,
(vagy 1* (x)A
).
e~a· Ae, (vagy A.a e.). (c) c; ·A·a, (vagy e;A. al). (d 1) (x)A(a). (d2) x*A(a), (vagy C(x)A(a) (d3) (x)Aa, (vagy (x)A(a)1 ).
(eFt),és
= 3946 (eFt). .
).
1.18 Megoldás: (a) M(q). (b) Mq, vagy
20,g
20]
költség.
a q program
fajlagos
bontásban).
(b)
p*. Aa .
1
70;
316,
(a)
1,4
p' . Aa = [50;
bontásban.
1.17 Megoldás: 143
2,1 496;
alapanyagonkénti
és alap-
letezve.
3
p*A·a=[322;
termékfélcségenként
fajlagos termelési
(h) A termelés összköltsége
p *A ,
13430
(c) A teljes importköltség:
1.16 Megoldás: (a) A q program alapanyag-szükséglete
(j) A termékek egy egységének
O 5
összetermék
bontásban.
(g) A termékenkénti
O 2
20326
20]
.
vektora:
oszlopvektorainak
összes darabszáma,
(c) A q program alapanyag-szükséglete (alapanyagonkénti (d) A q program szükséglete a k-adik alapanyagból. (e) A hét (a q program) árbevétele. (f) A hét árbevétele termékféleségenkénti bontásban.
21,1
1
az eladott termékek
anyagonként részletezve. (b) A faj lagos alapanyag-szükséglet
[27,6] 20,8
14
jelenti. az A mátrix
beszerzési
3 3 2
gével, így jelentése: szerinti
a = [3;
eladott darabszámot
(c) Az A . 1 szorzat megegyezik
termék előállítása
és p = [50;
egységárvektora
" "{'
az alkatrész felhasználás
darabszámot.
felhasznált Továbbá
(j
1.15 Megoldás: (a) Az el; * A szorzat egyenlő az A mátrix k-adik sorvektorával, amely a k-aJik termekből országonkent eladott darabszámokat adja meg. (b) Az e~ . A . cI' =akp egyenlőség alapján, a k-adik termekből ap-edik
M:q 1.
qb, vagy b*q. (d) (q)b, vagy q *(b), vagy b* (q), vagy (b)q. (c)
63
