ALGEBRA
Hatványozás
Hatványozás
1.
számológéppel: Jele:
kitevő Példa: 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 = 𝟑𝟒 alap
𝒙𝒚
vagy
^
A kijelző „lineárisan” tud megjeleníteni:
Ha a kitevő 𝒏 természetes szám, akkor 𝒂 = 𝒂 𝒂 𝒂 𝒂 𝒏
3^11 = 177147
𝒏 db tényező
Ha
negatív
számot
hatványozunk,
figyeljünk a zárójelezésre! (−3)^11 = −177147
Bármely szám első hatványa önmaga 𝒂𝟏 = 𝒂
Megjegyzés: A négyzetre emelésre és a köbre emelésre általában van külön
Bármely nullától különböző szám nulladik hatványa egy. 𝒂𝟎 = 𝟏 (𝒂 𝟎)
gomb is.
(00 nem értelmezett)
𝒙𝟐
𝒙𝟑
Definíció: Bármely nullától különböző szám negatív egész kitevős hatványa egyenlő ugyanezen alap pozitív kitevőjű hatványának a reciprokjával. 𝟏 . 𝒂𝒏
𝐇𝐚 𝒂 𝟎, 𝐚𝐤𝐤𝐨𝐫 𝒂−𝒏 = Példa: 1)
2)
1
3−2 = 32 =
1 9
Pl.: 24 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2
Írd fel szorzat alakban! a)
115 =
b)
e)
𝑥6 =
f)
g)
2−4 =
h)
k)
10−1 =
l)
2
c)
4 7
g)
𝑎2 =
11−5 =
i)
−2
−3
𝑥 −6 =
m)
−𝑦
−4
(−2)3 = −𝑦
4
=
d)
101 =
h)
𝑘1 =
=
j)
4 7
=
n)
=
−2
=
𝑎−2 =
Pl.: 3 3 3 3 = 34
Írd fel hatvány alakban! a)
(−1) (−1) (−1) = b)
2 2 ∙ = 3 3
c)
111111 =
d)
7 =
e)
𝑏𝑏 =
(−𝑥) (−𝑥) (−𝑥) =
g)
𝑐𝑐𝑐𝑐 =
h)
𝑝 𝑝 ∙ = 𝑞 𝑞
f)
1
Hatványozás azonosságai I. Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. 𝒂𝒏 ∙ 𝒂𝒎 = 𝒂𝒎+𝒏
1)
Pl.: 34 3 32 = 37
Írd hatvány alakba a szorzatokat! a) e)
81 80 = −3
−6
−6
−2 1 −2
b) 2
=
−1
= c)
−11
9
−11
−6
=
d)
−3 4 −3 −7
f)
44 4−2 =
g)
3−5 33 =
h)
𝑐5 𝑐0 =
j)
g)
𝑎5 𝑎3 =
h)
𝑏0 𝑏3 =
i)
k)
22 23 21 =
l)
32 30 31 35 =
m)
−𝑎 5 −𝑎
−2
−𝑎
−3
2
−7
𝑑 −5 𝑑 −3 =
=
II. Azonos alapú hatványokat úgy osztunk, hogy az osztandó kitevőjéből kivonjuk az osztó kitevőjét. 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎−𝒏 𝒂𝒎
2)
Írd hatvány alakba a hányadosokat!
Pl.:
−2 1 = −2 −1
c)
a) e)
81 = 80
b)
−6 −3 = −6 2
36 34
(𝒂 ≠ 𝟎)
= 32
−11 9 = −11 −6
−3 −3
4
d)
2
0
=
f)
44 = 4−2
g)
35 = 3−2
h)
−7 −7
𝑐5 = 𝑐0
j)
𝑑 −5 = 𝑑 −3
n)
𝑥 5 ∙ 𝑥 −2 = 𝑥4 ∙ 𝑥3
g)
𝑎5 = 𝑎3
h)
𝑏0 = 𝑏3
i)
k)
22 23 = 21
l)
32 30 = 31 35
m)
−𝑎 5 −𝑎 −𝑎 −3
−2
=
1
=
III. Hatványt úgy hatványozunk, hogy a kitevőket összeszorozzuk. (𝒂𝒏 )𝒎 = 𝒂𝒏∙𝒎
3)
Pl.: 43
Írd fel egy hatványként és végezd el a hatványozást! a)
52
2
e)
5−3
= 5
=
b)
24
3
f)
7−9
= −1
=
c)
92
−2
g)
80
3
=
=
2
2
d)
3−4
2
h)
115
0
= 46 = 4096 = =
0 1
= =
4)
Pl.: 𝑎3
Írd fel egy hatványkitevővel! a)
𝑎−3
2
e)
𝑒 −10
=
5
=
b)
𝑏−3
3
f)
𝑓 −8
−1
= =
2
= 𝑎6
c)
𝑐 −2
g)
𝑔4
𝑥
−2
= d)
=
h)
𝑑 −4 𝑦
0
3
= =
IV. Azonos kitevőjű hatványokat úgy szorzunk, hogy az alapok szorzatát hatványozzuk. 𝒂𝒏 ∙ 𝒃𝒏 = 𝒂𝒃
5)
6)
𝒏
Pl.: 34 ∙ 24 = 64 = 1 296
Írd fel szorzat hatványaként és végezd el a hatványozást! a)
32 ∙ 310 =
b)
25 ∙ −5
e)
0,57 ∙ 27 =
f)
0,18 ∙ 28 =
5
=
c)
4−2 ∙ 2−2 =
d)
g)
04 ∙ 114 =
h)
2∙3
2
=
b)
5 ∙ 10
e)
6∙𝑥
3
=
f)
2𝑎
5
3
4
∙ 44 =
19 ∙ 39 =
Pl.: (2 ∙ 5)6 = 26 ∙ 56
Írd szorzat alakba az alábbi hatványokat! a)
−3
=
=
c)
2,4 ∙ 3
6
g)
3𝑎𝑏
4
=
=
d)
5∙3
−4
1 1 ∙ 2 3
4
h)
= =
IV. Azonos kitevőjű hatványokat úgy osztunk, hogy az alapok hányadosát hatványozzuk. 𝒂𝒏 𝒂 = 𝒃𝒏 𝒃
7)
8)
𝒏
(𝒃 ≠ 𝟎)
Írd tört alakba és végezd el a hatványozást! a)
2 3
4
7 6
0
e)
=
b)
3 7
2
f)
2 5
−1
=
Írd tört alakba! 𝑥 𝑦
4
a)
0
e)
𝑝 𝑞
Pl.:
𝑥 3 𝑦
= =
Pl.:
2 3 5
c)
5 8
5
4 5
−2
g)
𝑎 𝑏
5
c)
𝑥 5
−2
g)
23
𝟖
= 53 = 𝟏𝟐𝟓
= =
9 5
−3
d)
𝑥 3
3
h)
𝑦 5
−3
d)
𝑎 𝑐
4
h)
=
𝑥3
= 𝑦3
=
3 𝑎
2
b)
=
𝑎 5
−1
f)
= =
3
= =
=
9)
Hozd egyszerűbb alakra az alábbi kifejezéseket és határozd meg a hatvány értékét! 24 ∙ 23 27 1 −2 = = 2 = 23 ∙ 26 29 4
Pl.:
a) d) g)
2 ∙ 5 3 ∙ 52 ∙ 21 = 22 3 ∙ 53
∙ 53 3 ∙ 5−7
−5 2
=
34 ∙ 152 ∙ 52 = 32 3 ∙ 53
23 ∙ 23 24 2
3
=
c)
32 4 ∙ 3−3 ∙ 31 = 33 2 ∙ 3−2
e)
3−5 ∙ 5−3 3−1 3 ∙ = 52 ∙ 3−6 3−3 ∙ 56
f)
3−5 ∙ 5−3 3−1 3 ∙ = 52 ∙ 3−6 3−3 ∙ 56
h)
(2 ∙ 5)3 ∙ 5−3 ∙ 23 = 22 3 ∙ 52
i)
103 ∙ 53 ∙ 23 = 23 2 ∙ 54
k)
722 ∙ 213 ∙ 342 = 34 10 ∙ 7−5 −5
l)
83 ∙ 22 ∙ 43 = 24 ∙ 162 ∙ 22
Hozd egyszerűbb alakra az alábbi kifejezéseket! 𝑎4 ∙ (𝑎3 )8 𝑎4 ∙ 𝑎24 𝑎28 = = = 𝑎22 𝑎3 4 ∙ 𝑎−6 𝑎12 ∙ 𝑎−6 𝑎6
Pl.:
a)
11)
−3
b)
5−2 52
j)
10)
23 ∙ 2−1 ∙ 26 = 24 ∙ 2−3
𝑎5 ∙ 𝑎−1 ∙ 𝑎11 = 𝑎4 ∙ 𝑎−15
b)
𝑎3 ∙ 𝑎3 𝑎7 2
10
=
c)
d)
𝑎−4 −5 ∙ 𝑎8 −3 = 𝑎2 3 ∙ 𝑎−10 5
e)
𝑎−5 ∙ 𝑎−3 𝑎−1 5 ∙ = 𝑎2 ∙ 𝑎−6 𝑎−4 ∙ 𝑎6
f)
g)
𝑥𝑦 3 ∙ 𝑥 2 ∙ 𝑦 1 = 𝑦2 3 ∙ 𝑥3
h)
(𝑥𝑦)3 ∙ 𝑥 −3 ∙ 𝑦 3 = 𝑥2 5 ∙ 𝑦2
i)
j)
𝑎4 ∙ (𝑎𝑏)2 ∙ 𝑏2 = 𝑎2 3 ∙ 𝑏 3
k)
𝑥 22 ∙ 𝑥𝑦 3 ∙ 𝑦 42 = 𝑥 40 10 ∙ 𝑦 −5 5
l)
𝑎7 2 ∙ 𝑎−8 ∙ 𝑎1 = 𝑎3 7 ∙ 𝑎−7 𝑎−5 ∙ 𝑎−8 𝑎−1 4 ∙ = 𝑎2 ∙ 𝑎−7 𝑎−10 ∙ 𝑎 𝑎𝑏 3 ∙ 𝑎4 ∙ 𝑏3 = 𝑎3 3 ∙ 𝑏 4 (𝑎 ∙ 𝑎)3 ∙ 𝑎2 ∙ 𝑎−3 = 𝑎∙𝑎∙𝑎∙𝑎 2
Alakítsd át egy egész szám hatványára az alábbi kifejezéseket! 1 32𝑥 32𝑥 ∙ 3𝑥 ∙ 9 ∙ = 3−3 ∙ 3𝑥 ∙ 32 ∙ 1 = 3𝑥−1 ∙ 32𝑥−1 = 33𝑥−2 27 3 3
Pl.:
a)
2 ∙ 2𝑥 =
d)
3 ∙ 3𝑥 ∙ 9 ∙
g)
𝑥
1 32𝑥 𝑥
10 ∙ 0,1 ∙ 100 =
b)
2𝑥 2∙ 3 = 2
c) 2 ∙ 22
e)
27 ∙ 3𝑥 ∙ 9𝑥 =
f)
1 27 3𝑥 ∙ ∙ 𝑥 = 3 9
h)
10𝑥 ∙ 1000𝑥 = 0,001
i)
15𝑥 ∙ 25 = 3𝑥
4
𝑥
∙
1 4
Számok normálalakja A mindennapi életünkben bizonyos adatokat nagyon nagy, illetve nagyon kicsi számokkal írhatunk le. Definíció: Minden pozitív szám egyértelműen felírható egy olyan kéttényezős szorzatként, melynek első tényezője 1 és 10 közötti szám, második tényezője pedig 10 egész kitevőjű hatványa. Ez a számok normál alakja. 𝒃 = 𝒂 ∙ 𝟏𝟎𝒏
𝑛=3
52 800 = 5,28 10𝑎
345 000 = 3,45 10𝑏
45,5 = 4,55 10𝑐
560,5 = 5,605 10𝑑
45,45 = 4,545 10𝑒
2125 = 2,125 10𝑓
430 000 = 4,3 10𝑔
0,004 = 4 ∙ 10
0,0000013 = 1,3 ∙ 10𝑖
0,000254 = 2,54 ∙ 10𝑗
0,00001 = 1 ∙ 10𝑘
0,15 = 1,5 ∙ 10𝑙
Pl.: 7500 = 7,5 ∙ 103
Írd fel a számokat normál alakban!
13)
a)
950 =
b)
456,7 =
c)
56 000 000 =
d)
5 =
e)
93,4 =
f)
40,07 =
g)
4323,6 =
h)
5 000 =
i)
6,45 =
j)
0,005 =
k)
0,000000007 =
l)
0,000014 =
Add meg az alábbi szorzatok értékét normál alakban!
14) a) d)
15)
Pl.: 3254,5 = 3,2545 ∙ 10𝑛
Határozd meg az ismeretlen kitevőt!
12)
(𝟏 ≤ 𝒂 < 10; 𝑛 ∈ ℤ)
5 ∙ 106 ∙ (3.5 ∙ 108 )
b)
3.2 ∙ 1012 6 ∙ 1023
e)
Pl.: 7,5 ∙ 103 ∙ 2 ∙ 104 = 15 ∙ 107 = 1,5 ∙ 108
7 ∙ 10−22 ∙ (−2 ∙ 10−34 ) 4 ∙ 1020 2 ∙ 1019
c)
(5 ∙ 10−21 ) ∙ (2 ∙ 1030 )
f)
9 ∙ 1059 4.5 ∙ 1023
Add meg az alábbi összegek értékét normál alakban! Pl: 3 ∙ 1023 − 5 ∙ 1022 = 3 ∙ 1023 − 0,5 ∙ 1023 = 2,5 ∙ 1023
a) d)
5 ∙ 106 + (3.5 ∙ 108 ) 3,2 ∙ 1012 − 2 ∙ 1011
b) e)
7 ∙ 10−22 + (2 ∙ 10−20 ) 3 ∙ 1025 − 7 ∙ 1022
5
c) f)
5 ∙ 1033 + (2 ∙ 1030 ) 8 ∙ 1015 − 2 ∙ 1017
Algebrai kifejezések
2.
Egy algebrai kifejezés konstansokból (vagy állandóból), változókból (vagy ismeretlenekből) és algebrai műveletekből áll. A konstansok számok, míg a változókat általában betűkkel (ritkán más jelekkel) reprezentáljuk. 7𝑘 + 3
2𝑎2 − 3
𝑥2 + 𝑥 + 1
Kétváltozós algebrai kifejezések:
𝑎𝑏
𝑥+𝑦
𝑎2 + 𝑏2
Négyváltozós tartalmazó algebrai kifejezések:
5𝑎2 − 2𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 2
Példák: Egyváltozós algebrai kifejezések:
Egyéb fogalmak: (1) Kitevő: A változók hatványkitevője. (2) Együttható: Ha egy konstanssal szorzunk egy változót, azt a változó kitevőjének nevezzük. (3) Tag: Egy kitevőből és egy vagy több változó szorzatából áll és azok hatványaiból. (4) Előjel: Egy tag lehet negatív vagy pozitív. (Az összeadás és a kivonás jele is előjel.) Alaphalmaz: Az alaphalmaz egy számhalmaz, mely elemeit a változók helyettesítik. Példák:
Ha 𝑘 ∈ ℤ, akkor a 2𝑘 + 1 algebrai kifejezés jelenti az összes páratlan egész számot. Ha 𝑛 ∈ ℕ+ , akkor a 3𝑛 kifejezés jelenti 3 pozitív többszöröseit. 1
Ha 𝑥 ∈ ℝ ∖ {0}, akkor az 𝑥 kifejezés alaphalmaza egyben az értelmezési tartománya.
1) Karikázd be különböző színnel az együtthatókat és a változókat! Ha nem „látszik” az együttható, akkor írd olyan alakba a kifejezést, hogy meg tudd oldani a feladatot! a)
2𝑎
b)
– 5𝑏2
c)
3 − 𝑥3 2
d)
4𝑥 2 𝑦
e)
𝑎2 𝑏𝑐
f)
𝑎∙4
g)
𝑏2 ∙ (−5)
h)
𝑐 2 ∙ (−1,5)
Ha az algebrai kifejezésbe a változók helyére konkrét számokat írunk, és a műveleteket elvégezzük, akkor a kifejezés behelyettesítési értékét kapjuk. 2) Határozd meg a kifejezések behelyettesítési értékét! a) 𝑎 + 2,5
2𝑎 – 3,1
3 – 2𝑎
ha 𝑎 = 4
b) 𝑥 2 + 4
𝑥2 + 𝑥
𝑥 3 + 2𝑥 2 + 𝑥
ha 𝑥 = 2
2
Két algebrai kifejezés egynemű, ha csak együtthatóiban különböznek. 3) A következő algebrai kifejezésekből gyűjtsd külön az egynemű kifejezéseket! x yx 2 x2 y 2 x; 3x 2 y; ; x 2 ; y; ; y 2 x; x; x 2 y; ; 2 2 2 1 1 2 2x y y; x ; y 2 x; 3x 2 ; ; 1,8 x 2 y; ; 3,16 y 2 x; 0,5 y 2 x. 2 3 3 5
Egy többtagú algebrai kifejezésben az egynemű tagokat összevonhatjuk. 4) Végezd el a lehetséges összevonásokat! Pl.: 5 − 2𝑥 2 + 3𝑥 2 − 7𝑥 + 3𝑥 − 4 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 1 a)
3𝑥 + 2 + 4𝑥 =
b)
5𝑥 + 6 − 4 =
c)
3𝑥 + 2 + 4𝑥 − 6 =
d)
4𝑎2 − 9𝑎 + 𝑎2 + 3𝑎2 =
e)
2𝑎2 − 5𝑏 − 9𝑎 − 𝑎 =
f)
5𝑥 + 7 − 3𝑥 + 6 + 2𝑥 − 11 =
g)
– 2𝑦 − 𝑦 − 4𝑥 2 − 4𝑦 =
h)
3𝑥 + 7 + 4𝑥 − 9 =
i)
3𝑥 2 + 4𝑥 + 2 − 3𝑥 2 − 6 =
j)
3𝑥 2 + 3𝑥 2 − 7 − 4𝑥 2 =
k)
−8𝑥 2 − 8𝑥 2 + 8𝑥 =
l)
5) Végezd el a szorzásokat!
6𝑥 + 5 − 8𝑥 − 9 + 5𝑥 + 2 =
Pl.: 2𝑥 2 ⋅ 3𝑥𝑦 = 6𝑥 3 𝑦
a)
5𝑥 6𝑦 =
b)
7𝑥 2 8𝑥𝑦 =
c)
9𝑦 2 8𝑥 2 𝑦 3 =
d)
𝑥 5 𝑥6 =
e)
2𝑥𝑦 (−3𝑥𝑦) =
f)
5𝑥 2 𝑦 (−6𝑥) =
g)
3𝑥𝑦 2 7𝑥 2 =
h)
– 5𝑥 2 (−6𝑥𝑦 2 ) =
i)
(3𝑦 3 ) (2𝑦 4 ) =
j)
𝑥 (3𝑥3𝑦) =
k)
(−𝑦) (7𝑥 2 𝑦4) =
l)
4𝑥 2𝑥 2 =
A szorzás az összeadásra nézve disztributív, azaz az összeg szorzását tagonként is elvégezhetjük. 6) Végezd el az alábbi szorzásokat, azaz bontsd fel a zárójelet! Pl: 4𝑎 7𝑎 − 3 = 28𝑎2 − 12𝑎 a)
2(𝑎 − 2) =
b)
3(𝑥 − 4) =
c)
– 4(𝑏 − 3) =
d)
– 5(𝑐 + 2) =
e)
– 3(4 − 𝑎) =
f)
5(6 − 𝑏) =
g)
1,2(𝑥 − 4) =
h)
– 5,2(𝑦 + 1,2) =
i)
(3 − 𝑎) 4 =
j)
(3 + 𝑎) (−2) =
k)
𝑦(2𝑥2 − 5𝑦 + 1) =
l)
6𝑥(−7𝑥 − 1) =
6
7) Bontsd fel a zárójelet, és végezd el a lehetséges összevonásokat! Pl: 4𝑎 + 1 7𝑎 − 3 = 28𝑎2 − 12𝑎 + 7𝑎 − 3 = 28𝑎2 − 5 a)
(𝑥 + 1)(𝑥 + 3) =
b)
(2𝑥 − 5)(𝑥 − 3) =
c)
(𝑥 − 1)(𝑥 + 3) =
d)
(𝑦 + 5)(𝑦 − 1) =
e)
(𝑥 + 0,7)(2𝑥 − 1,2) =
f)
(𝑎 − 3)(𝑎 − 4) =
g)
(2 − 𝑥)(𝑥 + 4) =
h)
(𝑧 + 1,5)(𝑧 − 1,5) =
i)
𝑥2 + 3 𝑥 − 1 =
j)
(𝑎 − 0,5)(𝑎 + 2) =
k)
(1,8𝑎 − 2)(2𝑎 + 3) =
l)
𝑎+𝑏 𝑎−𝑏 =
Nevezetes szorzatok Néhány többtagú kifejezések szorzatát érdemes fejből tudni. Ezek az úgynevezett nevezetes szorzatok. A három legfontosabb nevezetes szorzat: 𝒂+𝒃
𝟐
= 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
𝒂−𝒃
𝟐
= 𝒂𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
𝒂 + 𝒃 𝒂 − 𝒃 = 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 Pl: 4𝑎 + 1
8) Végezd el a négyzetre emeléseket! a)
𝑥+𝑦
2
=
b)
5𝑎 + 3𝑏
d)
𝑎+3
2
=
e)
𝑎 + 0,2
2
g)
2𝑥 + 1
h)
0,5 + 𝑏
2
j)
3𝑥 + 2𝑦
k)
𝑐2 + 1
2
= 2
=
2
2
a)
𝑥−𝑦
2
=
b)
5𝑎 − 3𝑏
d)
𝑎−3
2
=
e)
𝑎 − 0,2
2
g)
2𝑥 − 1
h)
0,5 − 𝑏
2
j)
3𝑥 − 2𝑦
k)
𝑐2 − 1
2
= 2
=
2
2
= 16𝑎2 + 8𝑎 + 1
=
2
c)
𝑥+1
=
f)
𝑦 + 2𝑥
2
=
=
i)
2 + 𝑑2
2
=
l)
4 + 𝑓4
2
=
=
Pl: 4𝑎 − 1
9) Végezd el a négyzetre emeléseket!
2
2
=
= 16𝑎2 − 8𝑎 + 1
=
2
c)
𝑥−1
=
f)
𝑦 − 2𝑥
2
=
=
i)
2 − 𝑑2
2
=
l)
4 − 𝑓4
2
=
=
10) Végezd el a szorzást, vagyis bontsd fel a zárójeleket és vonj össze!
=
Pl: 4𝑎 + 1 (4𝑎 − 1) = 16𝑎2 − 1
a)
𝑥 − 𝑦 (𝑥 + 𝑦) =
b)
5𝑎 − 3𝑏 (5𝑎 + 3𝑏) =
c)
𝑥+1 𝑥−1 =
d)
𝑎−3 𝑎+3 =
e)
𝑎 + 0,2 𝑎 − 0,2 =
f)
𝑦 + 2𝑥 𝑦 − 2𝑥 =
g)
2𝑥 − 1 2𝑥 + 1 =
h)
0,5 + 𝑏 0,5 − 𝑏 =
i)
2 + 𝑑 2 (2 − 𝑑 2 ) =
j)
3𝑥 − 2𝑦 (2𝑦 + 3𝑥) =
k)
𝑐 2 − 1 (𝑐 2 + 1) =
l)
𝑓 4 + 4 (4 − 𝑓 4 ) =
23
11) Írjuk fel szorzatalakban (vagy két tag négyzeteként), az alábbi kifejezéseket! a)
𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 =
b)
𝑎2 − 2𝑎 + 1 =
c)
𝑥2 – 𝑦2 =
d)
4𝑐 2 + 4𝑐𝑑 + 𝑑 2 =
e)
4𝑥 2 − 4𝑥𝑦 + 𝑦 2 =
f)
4𝑐 2 – 𝑑 2 =
g)
4 + 12𝑘 + 9𝑘 2 =
h)
𝑏2 − 6𝑏𝑐 + 9𝑐 2 =
i)
36𝑝2 − 25 =
j)
1 + 10𝑥 + 25𝑥 2 =
k)
25𝑥 2 − 20𝑥𝑦 + 4𝑦 2 =
l)
4 − 9𝑘 2 =
m)
36𝑝2 + 60𝑝𝑞 + 25𝑞2 =
n)
25𝑎2 − 40𝑎𝑏 + 16𝑏2 =
o)
𝑥4 − 1 =
Az egyváltozós másodfokú kifejezéseket a nevezetes szorzatok segítségével át tudjuk úgy alakítani, hogy a változó csak egy kéttagú kifejezés négyzetében fordul elő. Ezt nevezzük a teljes négyzetté alakításnak. Példa: 𝑥 2 + 6𝑥 + 8 = 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟗 − 1 = 𝒙 + 𝟑
𝟐
−1
12) Alakítsuk teljes négyzetté az alábbi kifejezéseket! a)
𝑥 2 + 2𝑥 + 1 =
b)
𝑥 2 − 10𝑥 + 13 =
c)
𝑥 2 + 8𝑥 + 2 =
d)
𝑥 2 − 6𝑥 + 10 =
e)
𝑥 2 + 12𝑥 + 39 =
f*) 𝑥 2 + 7𝑥 + 13 =
13) Bontsuk fel a zárójeleket és vonjunk össze! (Ügyeljünk az előjelekre!) Pl.: 𝑎 + 3
2
− 𝑎 + 1 𝑎 − 1 − 5𝑎 𝑎 − 2 = 𝑎2 + 6𝑎 + 9 − 𝑎2 + 1 − 5𝑎2 + 10𝑎 = −5𝑎2 + 16𝑎 + 10 2
a)
𝑥+1
b)
2𝑥 + 𝑦
c)
𝑎+𝑏
+ 𝑥+2 𝑥−2 +4 𝑥+3 = 2
2
− 6𝑥 + 𝑦
5𝑥 𝑥 + 3 + 𝑥 + 9
e)
8𝑥 𝑥 − 2 − 𝑥 − 2
f)
𝑥 𝑥+3
g)
𝑎+8
h)
+𝑦 𝑥+3 =
−𝑎 𝑏−1 −𝑏 𝑎+2 =
d)
2
2
2
2 2
− 11 = + 7+𝑥 𝑥−7 =
− 𝑥3 =
−5 𝑎−3 +7 𝑎+2 𝑎−2 =
8𝑥𝑦 3 + 𝑥 − 𝑥𝑦 8𝑥 + 24 − 𝑥 − 𝑦
2
=
9
Szorzattá alakítás (többtagú algebrai kifejezések egytagúvá alakítása)
A szorzattá alakításnak több módszere van: 1) Kiemelés 2) Nevezetes szorzat használata Kiemelés: Egy többtagú kifejezésben meg kell találni a tagokban a közös szorzótényezőt, és azt kiemelve a zárójel elé (esetleg mögé) írjuk. 3𝑥 + 6 = 3(𝑥 + 2) 5𝑥 2 + 2𝑥 = 𝑥(5𝑥 + 2) 2𝑥 3 + 5𝑥 2 + 2𝑥 = 𝑥(2𝑥 2 + 5𝑥 + 2)
Példák:
14) Alakítsd szorzattá az alábbi kifejezéseket! a)
3𝑎 + 3𝑏 =
b)
10𝑥 − 5𝑦 =
c)
𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 =
d)
𝑎2 + 𝑎 =
e)
4 − 6𝑥 =
f)
5𝑎𝑏 − 5𝑎𝑐 =
g)
3𝑥𝑦 − 6𝑥𝑧 =
h)
15𝑥 − 10𝑦 =
i)
−2𝑥 − 4𝑦 =
j)
𝑎3 − 𝑎2 =
k)
5𝑥 3 + 10𝑥 2
l)
18𝑥 6 − 24𝑥 3
m)
𝑎3 − 2𝑎2 − 𝑎 =
n)
3𝑥 3 + 6𝑥 + 9 =
o)
𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 =
Nevezetes szorzat használata: Ha nem találunk közös szorzótényezőt, akkor meg kell vizsgálni a kifejezést, hogy nevezetes szorzatról van-e szó. Példák: 𝑥 2 + 2𝑥 + 1 = 𝑥 + 1 2 4𝑦 2 − 10𝑦 + 9 = 2𝑦 + 3 2 𝑎2 − 16 = 𝑎 + 4 (𝑎 − 4) 15) Alakítsd szorzattá az alábbi kifejezéseket! a)
𝑥2 − 𝑦2 =
b)
𝑘2 − 1 =
c)
𝑎2 − 4 =
d)
25 − 𝑥 2 =
e)
1 − 𝑥2 =
f)
4𝑎2 − 9 =
g)
𝑥 2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 =
h)
𝑎2 + 6𝑎 + 9 =
i)
𝑥 2 + 1 − 2𝑥 =
j)
4𝑎2 + 4𝑎 + 1 =
j)
9𝑥 2 − 6𝑥 + 1 =
k)
𝑎4 + 2𝑎2 𝑏 + 𝑏2 =
16) Az alábbi kifejezésekből emeljünk ki, majd bontsuk további tényezőkre. a)
3𝑎2 − 3𝑏2 =
b)
5𝑥 2 − 5 =
c)
5𝑎2 − 20𝑏2 =
d)
2𝑥 2 + 4𝑥𝑦 + 2𝑦 2 =
e)
3𝑎2 − 6𝑎 + 3 =
f)
𝑥 3 + 2𝑥 2 + 𝑥 =
10
Algebrai törtek Definíció: Algebrai törteknek nevezzük az olyan algebrai kifejezéseket, ahol a nevezőben ismeretlen szerepel. Egy tört nem értelmezhető, ha a nevező értéke nulla. 17) Az ismeretlenek mely értékeire nem értelmezhetők a következő törtek. Pl.: (Avagy határozzuk meg a kifejezések értelmezési tartományát!)
a) d) g) j)
3 𝑥
b)
𝑎2 − 4 𝑎+3 𝑏 𝑏−𝑎
e) h) 5
j)
𝑥−1 𝑥+3
𝑥+2 𝑥 6𝑞 + 3 5𝑞 + 1
c) f)
5 𝑥+𝑦
i)
𝑥−1 𝑥 + 1 (𝑥 − 2)
k)
5 𝑥+2
𝑥 ≠ −2
𝑥+2 𝑥+3 𝑥−6 𝑥+6 𝑏2
𝑏 −4
7 2𝑎 + 1 𝑎 − 2 (𝑎 + 3)
Algebrai törtek egyszerűsítése: Az algebrai törteket akkor csak akkor tudjuk egyszerűsíteni, ha szorzat alakban vannak (vagyis a számlálóban, és a nevezőben is egy – egy tag szerepel). Ebben az esetben a közös szorzótényezővel leoszthatjuk a számlálót és a nevezőt. Példák:
2𝑥 + 8 𝟐(𝑥 + 4) 𝑥 + 4 = = 2𝑥 𝟐𝑥 𝑥 10 𝟏𝟎 2 = = 10𝑎 − 15 𝟓(2𝑎 − 3) 2𝑎 − 3
(Itt a közös szorzótényező a 2.)
𝑥+2 𝒙+𝟐 1 = = 2 𝑥 −4 𝒙 + 𝟐 (𝑥 − 2) 𝑥 − 2
(Itt a közös szorzótényező az 𝒙 + 𝟐.)
(Itt a közös szorzótényező az 5.)
18) Egyszerűsítsük az alábbi algebrai törteket (a változók megengedett értékei mellett). a) d)
5𝑥 − 5𝑦 = 10 2𝑎 − 4 = 3𝑎 − 6
b) e)
5𝑎 = 5𝑎 + 15𝑏 5𝑦 + 15 = 6𝑦 + 18
c) f)
g)
𝑎2 − 𝑏 2 = 𝑎+𝑏
h)
𝑥+2 = 𝑥2 − 4
i)
j)
𝑎2 − 𝑏 2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2
j)
𝑥2 − 4 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 4
k)
11
7𝑥 = 14 − 21𝑥 7𝑥 = 2 𝑥 + 3𝑥 𝑥2 + 𝑥 = 𝑥2 − 1 3𝑏 − 6 = 𝑏2 − 4𝑎𝑏 + 4
Algebrai törtek összevonása: Az algebrai törteket úgy tudunk összevonni, hogy közös nevezőre hozzuk őket. A közös nevező megtalálásában sokat segít, ha először szorzattá alakítjuk a nevezőben szereplő kifejezést, majd úgy találjuk meg a közös többszöröst. Az összevonásnál ügyelnünk kell az előjelekre. Példák:
3 5 3 5 9−5 4 − = − = = 𝑥 + 1 3𝑥 + 3 𝑥 + 1 3(𝑥 + 3) 3(𝑥 + 3) 3(𝑥 + 3) 𝑥 3 𝑥 3 4𝑥 + 15 + = + = 10𝑥 + 5 8𝑥 + 4 5(2𝑥 + 1) 4(2𝑥 + 1) 20(2𝑥 + 1) 𝑎 4 𝑎 + = 𝑎2 + 2𝑎 + 1 3𝑎 + 3 𝑎+1
+ 2
4 3𝑎 + 4𝑎 + 4 7𝑎 + 4 = = 3(𝑎 + 1) 3 𝑎+1 2 3 𝑎+1 2
18) Vonjuk össze az alábbi kifejezéseket! (a változók megengedett értékei mellett). a) d) g) j)
2 5 + 3𝑥 − 3 𝑥 − 1 5 3 − 2𝑥 − 4 𝑥 − 2 3 𝑎−2 + 2 2𝑎 + 6 𝑎 + 6𝑎 + 9 5 4 − 3𝑎 − = 2𝑎2 + 6𝑎 𝑎2 − 9
b) e) h) j)
2𝑎 7𝑎 − 5𝑎 + 15 2𝑎 + 6 1 𝑎−2 − 2𝑎 + 6 3𝑎 + 9 5+𝑏 6 + − 8𝑏 + 16 2𝑏 − 8 𝑥+3 𝑥−1 + 𝑥 2 − 4𝑥 + 4 𝑥 2 − 4 𝑏2
12
c) f) i) k)
7𝑥 3 + 10𝑥 − 8 5𝑥 − 4 𝑦 3 − 2 𝑦 + 3𝑦 2𝑦 + 6 3 12 − 2 2𝑥 + 4 𝑥 − 4 5 2 + = 2𝑥 2 + 12𝑥 + 18 4𝑥 + 12
3. Gyökvonás
Négyzetgyökvonás számológéppel:
A négyzetgyök fogalma
Jele:
Definíció: Ha 𝑎 ≥ 0, akkor
𝒂 jelenti azt a nemnegatív számot, A kijelző „lineárisan” tud megjeleníteni:
amelynek a négyzete 𝑎.
0,0625 = 0,25 Ha törtszámból vonunk gyököt,
𝒃 = 𝒂 ⟺ 𝒃𝟐 = 𝒂 é𝒔 𝒂; 𝒃 ≥ 𝟎
megtehetjük zárójelek segítségével! (2 ÷ 3) = 0,81649658
1) Mivel egyenlő? (Ahol kell, ott kerekíts két tizedesjegy pontossággal. a)
4=
b)
16 =
c)
0=
d)
1=
e)
64 =
f)
−64 =
g)
25 =
h)
4096 =
g)
2≈
h)
35 ≈
i)
11 ≈
j)
20 ≈
k)
0,25 =
l)
1 = 9
m)
25 = 36
n)
3 ≈ 4
Definíció: A racionális számokat felírhatjuk két egész szám hányadosaként (normál törtalakban). Ha egy szám nem írható fel két egész szám hányadosaként, akkor irracionális számnak nevezzük. Megjegyzés: A racionális számok véges vagy végtelen szakaszos tizedes törtek, míg az irracionális számok végtelen nem szakaszos tizedes törtek. Példák:
10 5 = =𝟓 2 1 12 1 = = 𝟎, 𝟓 6 2 5 = 𝟏, 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 3
felírható két egész szám hányadosaként tehát az 5 racionális szám
végtelen szakaszos tizedestört
2 ≈ 1,414213562 …
végtelen nem szakaszos tizedestört, irracionális szám
2) Határozzuk meg a következő kifejezések értelmezési tartományát!
Pl.: 𝑥 + 4
a)
𝑥+1
b)
𝑥+3
c)
𝑥+2−3
d)
2𝑥 + 1
e)
1 − 2𝑥
f)
𝑥2
13
𝑥 ≥ −4
A négyzetgyökvonás azonosságai I. Szorzat négyzetgyöke egyenlő a tényezők négyzetgyökének szorzatával. 𝒂∙𝒃= 𝒂∙ 𝒃
( 𝒂 ≥ 𝟎 és 𝒃 ≥ 𝟎)
36 = 4 ∙ 9 = 4 ∙ 9 = 2 ∙ 3 = 6
Példa:
36 = 6
3) Végezzük el a következő műveleteket: a)
100 ∙ 49 =
81 ∙ 400 =
b)
c)
121 ∙ 64 =
II. Tört négyzetgyöke megegyezik a számláló és a nevező négyzetgyökének hányadosával. 𝒂 𝒂 = 𝒃 𝒃 4
Példa:
25
=
4 25
( 𝒂 ≥ 𝟎 és 𝒃 > 𝟎) 2
4
= 5 = 0,4
25
= 0,4
4) Végezzük el a következő műveleteket: a)
25 = 81
1 = 9
b)
c)
9 25 ∙ = 4 16
III. A négyzetgyökvonás és a hatványozás művelete felcserélhető. 𝒂 Példa:
𝒌
=
𝒂𝒌
(𝒂 ≥ 𝟎 és 𝒌 ∈ ℤ) 9
5
= 35 = 243
95 = 59049 = 243
5) Végezzük el a következő műveleteket: a)
253 =
49 =
b)
c)
813 =
III. A négyzetgyökös kifejezés páros kitevőjű hatvány megegyezik a kitevő felére emelt hatvánnyal. 𝒂
𝒌
𝒌
= 𝒂𝟐
(𝒂 ≥ 𝟎 és 𝒌 páros egész)
6) Végezzük el a következő műveleteket: a)
52 =
d)
3 4
b)
28 =
e)
−3
4
=
4
=
14
c)
74 =
f)
1 2
12
A négyzetgyökvonás azonosságainak alkalmazása Sokszor ahhoz hogy össze tudjunk hasonlítani négyzetgyökös kifejezéseket, vagy könnyebben tudjuk műveleteket végezni velük, szükség lehet arra hogy átalakítsuk a kifejezéseket. I. Egy természetes szám négyzetgyök alól való kihozása: Példa: 8 = 4 ∙ 2 = 4 ∙ 2 = 2 2 7) Hozzuk ki a négyzetgyökjel elé a lehető legnagyobb természetes számot: a)
12 =
b)
27 =
c)
54 =
d)
75 =
e)
162 =
f)
108 =
c)
12 − 27 +
8) Vonjuk össze az alábbi négyzetgyökös kifejezéseket! Pl.: 8 + 32 − 18 = 2 2 + 4 2 − 3 2 = 3 2 a)
3 2 + 32 − 200 =
b)
d)
5 3+
1 27 − 48 = 3
e)
2 72 − 50 − 2 8 = 1 20 + 3 45 = 2
80 +
1 48 = 2
3 32 − 50 + 36 =
f)
II. Négyzetgyökjel alá való bevitel: Példa: 𝟑 7 = 9 ∙ 7 = 9 ∙ 7 = 63 9) Négyzetgyökjel alá vitellel írjuk egyszerűbb alakba a következő kifejezéseket! a)
3 2=
b)
4 5=
c)
2 6=
d)
3
2 = 3
e)
7
2 = 7
f)
5
3 = 7
Állapítsuk meg melyik szám a nagyobb, számológép használata nélkül.
10)
Pl.:
4 2 vagy 3 3
⟶
32 >
27
a)
3 5 vagy 20
b)
4 5 vagy 80
c)
4 8 vagy 8 2
d)
4 5 vagy
e)
3 2 vagy 5 0,5
f)
1 1 54 vagy 150 3 5
45
Bontsuk fel a zárójeleket! Pl.:
11)
a) d)
3( 2 + 5) 5− 3
2
3+ 2
2
=
b)
3− 2
e)
5− 3
3
2
+2 3 2+
2
5+ 3
15
2
2
=3+2 6+2= 𝟓+𝟐 𝟔 2
c)
2+1
f)
7+ 2
7+ 2
Nevező gyöktelenítse (A kifejezés szorzása 1-gyel olyan alakban, hogy a gyökjel eltűnjön): Példa: 1
= 3+1
1 2
=
1
1
∙ 3+1
2
1
=
2
3−1
= 3−1
∙
2 2
=
3−1 3−1
2 2
=
3−1 2
Gyöktelenítsük az alábbi törtekben a nevezőket!
12)
a)
1 3
b)
d)
2 𝑎
e)
𝑎 5 7
5 10
𝑎 h)
3−1
3
k)
2− 7
5
i)
3+2
3 j)
7
f)
3
2 g)
3
c)
3− 2 3
l)
2+ 7
2− 7
Összetettebb feladatok: Számítsuk ki a következő kifejezések értékét!
13)
2
a)
15 + 10 2 − 15 − 10 2
c)
13 + 3 ∙
e)
g*)
12 + 27 3
2
=
13 − 3 = =
2− 3 2− 2− 3
b)
12 + 23 + 12 − 23
d)
61 − 5 ∙
6 63 − 2 175
f) +
2+ 3 2+ 2+ 3
61 + 5 =
2 7
=
16
=
=
Az n-edik gyök fogalma
Gyökvonás
Definíció:
számológéppel:
Ha 𝑛 páros egész és 𝑎 ≥ 0, akkor
𝒏
𝒂 jelenti azt a nemnegatív
Jele:
számot, amelynek az 𝑛-edik hatványa 𝑎. Ha 𝒏 páros: 𝒃 =
𝒏
Ha 𝑛 páratlan egész, akkor
𝒙
𝒂 ⟺ 𝒃𝒏 = 𝒂 és 𝒂; 𝒃 ≥ 𝟎
𝒏
A gyökvonás
𝒂 jelenti azt a számot, amelynek az
vagy általában
𝒙𝟏/𝒚 másodlagos
funkció, és a hatványozás gomb felett
𝑛-edik hatványa 𝑎.
található.
Ha 𝒏 páratlan: 𝒃 =
𝒏
𝒂 ⟺ 𝒃𝒏 = 𝒂
Az ilyen funkciókat a SHIFT vagy a 2ndf gombbal lehet használni. A kijelző „lineárisan” tud megjeleníteni: 4 𝑥 81 = 3
Mivel egyenlő? (Ahol kell, ott kerekíts két tizedesjegy pontossággal.)
14)
a)
e)
g) k)
3
27 =
b)
4
16 =
f)
5
32 =
h)
6
729 =
l)
3
−8 =
c)
4
−81 =
g)
5
−1024 =
i)
6
−100 =
m)
3
8 = 125
d)
4
625 = 81
h)
5
0,00032 =
j)
6
4096 =
n)
3
10 ≈
4
25 ≈
5
2 ≈ 3
6
1=
4
Határozzuk meg a következő kifejezések értelmezési tartományát!Pl.: 𝑥 − 2
15) a) d) e)
3
𝑥+3
b)
6
8 − 2𝑥
e)
9
𝑥3 + 𝑥 + 1
f)
4
5−𝑥
c)
7
0,21𝑥 + 7
f)
10
𝑥−2
2
g)
Megjegyzés: A négyzetgyök is n-edik gyök (második gyök), csak közös megegyezés alapján nem tesszük ki az indexet. 2 𝑎= 𝑎
17
5
𝑥−4
8
2𝑥 + 3
11
8 − 2𝑥 𝑥+3
𝑥≥2
Az n-edik gyök azonosságai I. Szorzat n-edik gyöke megegyezik a tényezők n-edik gyökének szorzatával. 𝒏 3
3
Példa: 1000 =
8 ∙ 125 =
3
𝒏
𝒂∙𝒃=
𝒂∙
𝒏
𝒃
3
3
8 ∙ 125 = 2 ∙ 5 = 10
1000 = 10
Végezzük el a következő zárójelfelbontásokat, és hozzuk a kifejezést egyszerűbb alakba!
16)
3
3
Pl.: 2 a) d)
3
4
3
3
3
4
3
13,5 + 4 =
𝟑
3
9 + 576 =
𝟐∙
3
3
b)
4
27 − 21879 =
3
13,5 + 2 ∙ 4 = 3
4
e)
2 2
3
3
3
27 + 8 = 3 + 2 = 𝟓
3
4 − 32 =
4
8−
4
40,5 =
c) f)
𝟑 3
5
4
5
3
4
25 +
3
5,4 =
3,2 +
4
16,2 =
II. Tört n-edik gyöke egyenlő a számláló és a nevező n-edik gyökének hányadosával. 𝒏
𝒂 = 𝒃
𝒏
𝒂
𝒏
𝒃
Hozd egyszerűbb alakra és határozd meg az eredményt!
17)
3
Pl.:
16
3 3
a)
54
3 3
d)
2
2
3
=
8=2 3
=
b) 3
135 + 40 3
5
=
e)
10
=
d)
3
1,25
3
54 + 250
3
3
2
f)
3
𝑎7
3
𝑎4
3
3000 + 1029
= 3
3
3
III. A gyökvonás és a hatványozás felcserélhető műveletek. 𝒏
𝒂
𝒌
=
𝒏
𝒂𝒌
Hozd egyszerűbb alakra, és határozd meg az eredményt!
18) a) d)
3 10
4
4
= 5
=
b) e)
8
4
2
6
27
= 3
e)
=
f)
18
12
3
2
3
22
6
= =
=
IV. Gyöknek a gyökét felírhatjuk úgy is, hogy a gyökjelek alatti kifejezésből olyan kitevővel vonunk gyököt, amely az eredeti gyökkitevők szorzata. 𝒎 𝒏
𝒂=
𝒏∙𝒎
𝒂
Hozd egyszerűbb alakra!
19) a)
3 2
d)
𝑎=
2∙
b) 3
3 4
6
e)
5=
𝑎∙ 𝑎∙
12
𝑏=
3 4
4 5
f)
7 3
𝑎
f)
2∙ 3∙
10
3=
3 7
12 =
V. A gyök és a hatványkitevő egyszerűsíthető, illetve bővíthető. 𝒏∙𝒎
𝒂𝒌∙𝒎
Hozd egyszerűbb alakra!
20)
3
a) d)
4
3
𝑎6 =
b)
3
2∙ 3=
e)
3
𝑎12 =
4 5
g)
6
𝑎∙ 𝑎
4
f)
210 = 3
𝑎∙ 𝑎=
Összetett feladatok: 3
4
3
4
a)
2− 4+ 8
d)
3 + 9 − 27
f)
2− 3
4
2= 3=
4
3
4
b)
3 10 − 2 4 + 25
e)
2+1 1− 3 =
g*)
9−4 5∙ 2+ 5=
3
3
3+ 2 =
19
2=
HASZNOS WEBOLDALAK:
Magyarázó videók és online tesztek http://zanza.tv/matematika/szamtan-algebra/hatvanyozas-az-egesz-szamok-halmazan http://zanza.tv/matematika/szamtan-algebra/hatvanyozas-azonossagai http://zanza.tv/matematika/szamtan-algebra/szamok-normalalakja http://zanza.tv/matematika/szamtan-algebra/algebrai-kifejezesek http://zanza.tv/matematika/szamtan-algebra/nevezetes-azonossagok-negyzetre-es-kobre-emeles http://zanza.tv/matematika/szamtan-algebra/az-algebrai-tortek-ertelmezesi-tartomanya-es-muveletek-azalgebrai http://zanza.tv/matematika/szamtan-algebra/algebrai-tortek-egyszerusitese http://zanza.tv/matematika/szamtan-algebra/negyzetgyokvonas-definicioja-es-azonossagai
Egy tankönyvkiadó online segédanyaga https://www.mozaweb.hu/Lecke-MAT-Sokszinu_matematika_9-2_Hatvanyozas-100909 https://www.mozaweb.hu/Lecke-MAT-Sokszinu_matematika_10-4_Szamok_n_edik_gyoke-100649 https://www.mozaweb.hu/Lecke-MAT-Sokszinu_matematika_9-6_Nevezetes_szorzatok-100920
Oktatási céllal létrehozott közösségi oldal http://tudasbazis.sulinet.hu/hu/matematika/matematika/matematika-9-osztaly/algebra http://tudasbazis.sulinet.hu/hu/matematika/matematika/matematika-9-osztaly/algebra/hatvanyozasnevezetes-szorzatok-negyzetgyok http://tudasbazis.sulinet.hu/hu/matematika/matematika/matematika-10-osztaly/algebra/negyzetgyokvonas-nedik-gyokvonas
20
