1
Lineaire Algebra 2015 - organisatie van het vak
Het vak Lineaire Algebra uit het eerste semester van de Bachelor Wiskunde van de Universiteit van Amsterdam telt 6 EC, en dat staat voor 168 uur studie. De studiebelasting is ±10 uur per week gedurende de 14 weken hoor/werkcollege en tutoraat De rest van de tijd is voor de laatste voorbereidingen op de tussentoets en het tentamen, die samen met de zes tweewekelijkse werkcollegetests het eindcijfer voor het vak bepalen.
1.1
Literatuur
Het boek behorend bij dit vak is Lineaire Algebra van de Vlamingen Paul Igodt en Wim Veys. Uitgever: Universitaire Pers Leuven, ISBN: 978 94 6270 052 9 (tweede herwerkte druk). Deze druk verschijnt in augustus 2015. De eerste druk kan niet meer besteld worden.
Het boek heeft zes hoofdstukken die we in de volgorde 1,3,4,2,5,6 zullen doorlopen. Het boek bevat secties met oefeningen. Elders in de tekst staan ook opdrachten, en soms wordt gevraagd een bewijs van een lemma of stelling zelf te geven of af te maken. Je wordt geacht om uiteindelijk ieder van de items horend bij een week, zoals beschreven in Sectie 1.4, te kunnen maken en zo op te schrijven, dat het voor anderen begrijpelijk is. Dit betekent nu ook weer niet dat je iedere week alle oefeningen en opdrachten zou moeten maken. Sommige lijken behoorlijk op elkaar, weer andere zijn relatief eenvoudig. Dus, beter om een moeilijkere oefening te proberen in plaats van te vaak te herhalen wat je al kunt. Maak er wel genoeg gedurende de tien uur per week die je gemiddeld aan het vak besteedt! Wiskunde lezen. Het boek is zeker geen eenvoudig boek. Het niveau is pittig. Het vraagt van de lezer om actieve deelname en betrokkenheid bij wat hij precies leest. Het lezen van wiskunde is sowieso slecht vergelijkbaar met het lezen van een tekst van een andere aard. Bij iedere zin moet je je afvragen of je werkelijk begrijpt wat er medegedeeld wordt. Vaak lees je “hieruit volgt” of “en dus” of “natuurlijk”. In tegenstelling tot wanneer je een roman leest, zou je dergelijke zinsneden zeer kritisch moeten evalueren: volgt dit echt? Is de conclusie terecht? Is het echt zo evident als hier wordt beweerd? Zo niet is het beter een stap terug te doen, en te onderzoeken op welk punt je de aansluiting bent verloren!
1.2
Actief je feedback organiseren, verkrijgen, en delen met anderen
Zorg er altijd voor dat je optimaal gebruik maakt van de mogelijkheden om feedback te krijgen op je werk. Feedback krijgen over je vaardigheden is nuttig, belangrijk, en vaak ook
confronterend: de praktijk leert dat studenten niet zelden denken dat hun uitwerking perfect is, maar dat wij dat niet vinden. Aangezien wij uiteindelijk jullie cijfer bepalen, is het dus van belang deze confrontatie wekelijks aan te gaan. Feedback moet je vooral durven krijgen!
De vuistregen omtrent het verkrijgen van feedback op je wekelijkse werk is de volgende: Per week kan een student maximaal twee onderdelen inleveren ter verkrijging van feedback Reden is natuurlijk dat je werkgroepleider slechts een beperkte hoeveelheid nakijk-tijd heeft! Let op: Een onderdeel is niet hetzelfde als een oefening. Zie Sectie 1.4, waarin we per week aangeven wat we precies verstaan onder de onderdelen van die week. Maak verstandige keuzes en maak optimaal gebruik van de beschikbare capaciteit. Dus, lever: • niet iets in waar niet serieus over na is gedacht (belast je werkgroepleider niet onnodig); • soms ook iets in waarvan je denkt dat het perfect is (en vind uit of wij dat ook denken); • vooral dingen in waar je niet zeker van bent (wiskundig en/of schrijf-technisch). Vind je twee onderdelen te weinig? Werk dan samen en lever met z’n twee¨en vier verschillende onderdelen in, of met z’n drie¨en zes, of met z’n vieren acht verschillende onderdelen. Vaak zullen vier tot zes onderdelen de nieuwe stof voor die week al heel goed dekken! Bespreek dan natuurlijk achteraf wel onderling de verkregen feedback. Omdat dit met groepen groter dan vier lastiger te organiseren is, stellen we voor om het op maximaal vier personen te houden.
Het is bij samenwerking wel belangrijk dat je het onderling eens bent over een bepaalde uitwerking. Als dat niet zo is, is het misschien beter dat ieder zijn eigen uitwerking inlevert, om er zo achter te komen welke uitwerking door ons als de beste wordt gezien. Bij samenwerking is het nog steeds zo dat een student maximaal twee van de uitwerkingen uitgeschreven mag hebben. We willen zo ontmoedigen dat twee mensen samenwerken, en ´e´en van de twee alles opschrijft. Toekijken en opschrijven heeft namelijk absoluut niet hetzelfde leer-effect. 2
Ondanks dat je per week slechts twee onderdelen voor feedback kunt inleveren, raden we je nogmaals aan er zoveel mogelijk te maken in de tijd die je ter beschikking hebt in die week. Je kan onderdelen tot uiterlijk aan het begin van het hoorcollege volgend op de week waarin de oefeningen aan bod zijn gekomen inleveren. Voorin de zaal bij hoorcollege worden vier stapels ingeleverd werk gevormd, die dan soms al direct worden opgehaald door de werkgroepleiders. Dringend verzoek: Lever per week alleen de onderdelen in waarop je feedback wilt krijgen, het liefst op een enkel los A4-tje. Vermeld altijd je naam en die van je werkgroepleider. Dus, liever geen schriften of een hele collectie onderdelen waar de nakijker in moet gaan zoeken naar de onderdelen waarop feedback wordt gevraagd! Om aan te moedigen dat er binnen iedere werkgroep zoveel mogelijk verschillende onderdelen worden gemaakt, zodat er altijd wel een groepsgenoot is aan wie je een vraag over een bepaald onderdeel kunt stellen, organiseren we de Lineaire Algebra HouseCup competitie.
1.3
De Lineaire Algebra HouseCup
c in de geest van Harry Potter. In 2008 ontstond het idee voor de Lineaire Algebra HouseCup
De vier werkgroepen van Lineaire Algebra 1 bestrijden elkaar gedurende het semester, en de winnende groep wordt door de docent uitgenodigd voor twee rondjes bier, frisdrank, of een andere legale substantie (bijvoorbeeld Andorian Ale). Reden om het op deze manier in te richten is simpelweg dat het niet zo praktisch is om met 100 studenten een caf´e te bezoeken. Iedere werkgroep scoort automatisch punten voor de HouseCup: per week tellen we het aantal verschillende voor feedback ingeleverde onderdelen van een werkgroep. Dus, we moedigen aan dat een groep zichzelf goed organiseert en een flinke variatie aan onderdelen inlevert. Disclaimer: Deze afdelingscompetitie staat formeel gezien geheel los van het vak. Studenten die er geen affiniteit mee hebben zullen niet worden getransfigureerd, versteend, vergiftigd, of onder de imperius curse worden geplaatst. Enkele studenten merkten bij een evaluatie van het vak op dat deze competitie toch wel een beetje kinderachtig was. Van deze studenten is sindsdien nooit meer iets vernomen. Tot slot: jullie feedback aan ons Ook wij horen graag jullie feedback over het vak. Het is natuurlijk leuk voor ons om te horen als iets goed gaat, maar vooral ook nuttig om te horen als we dingen kunnen verbeteren. Je kan opmerkingen en suggesties sturen naar de docent op
[email protected] Je kan desgewenst natuurlijk ook met een tutor of studiebegeleider praten. 3
1.4
Onderverdeling van oefeningen en opdrachten in onderdelen
Hier geven we per week aan hoe de diverse oefeningen, opdrachten, en bewijs-opgaven zijn onderverdeeld in onderdelen waarop je feedback kunt vragen. Hint: Print onderstaand schema uit en hou wekelijks bij wie van je groepsgenoten feedback heeft gekregen waarop, zodat je er later eventueel nog eens over kunt praten! 1.4.1
Week 1: Matrixvorm, Gauss-eliminatie, echelonvorm, rijgereduceerde vorm
Na afloop van week 1 word je geacht de oefeningen 1,2,3,4,5,6,9,10,11,15 uit Sectie 1.7 te kunnen maken. Deze worden als volgt onderverdeeld in 20 onderdelen. 01. 02. 03. 04. 05.
1 1 2 2 3
A1 A2 B1 B2
06. 07. 08. 09. 10.
4 5 5 5 5
(a)(b) (a) (b) (c) (d)
11. 12. 13. 14. 15.
6 6 6 6 9
(a) (b) (c) (d) (a)(b)
16. 17. 18. 19. 20.
10 10 11 11 15
(a)(b)(c)(links) (a)(b)(c)(rechts) (a) (b)
Met ”10 (a)(b)(c) (links)” bedoelen we ”maak (a)(b)(c) van opgave 10 voor het linker stelsel”. Merk op: Onderdelen 01 t/m 05 zijn sterk gerelateerd. Onderdeel 06 test of je de uitgebreide matrix-notatie begrijpt (en het stelsel kan oplossen). Onderdelen 07 t/m 14 zijn wederom sterk gerelateerd, deze keer zelfs in twee opzichten: de tweede vier stelsels bij oefening 6 verschillen slechts van de eerste vier in oefening 5 in de getallen in het rechterlid! Je kan hier handig gebruik van maken. Verder lijken onderdelen 15 t/m 17 op elkaar, en zo ook onderdelen 18 t/m 20. Goedbeschouwd zijn er dus maar vier types onderdelen in deze week. Dit ondersteunt de uitspraak dat als twee personen samenwerken, ze door vier verschillende onderdelen in te leveren, al goede feedback kunnen krijgen op de totale stof van deze week! 1.4.2
Week 2: matrixrekening, inverteren, elementaire matrices
Na afloop van week 2 word je geacht de oefeningen 18,19,21,23,24,27,31,34 en 35 uit Sectie 1.7 en de opdrachten 1.25, 1.27, en 1.35 uit Secties 1.3 en 1.4 te kunnen maken. Deze worden als volgt verdeeld in 20 onderdelen. 01. 02. 03. 04. 05.
18 19 21 (a)(b)(c) 21 (d) 23
06. 07. 08. 09. 10.
24 24 24 24 27
A1 A2 A3 A4 (a)
11. 12. 13. 14. 15.
27 (b) 31 34 (a) 34 (b) 35
16. 17. 18. 19. 20.
Opdr. 1.25 Opdr. 1.27 Opdr. 1.35 (1) Opdr. 1.35 (2) Opdr. 1.35 (4)
Bij onderdelen 06,07,08,09 (oefening 24) hoef je alleen maar de inverse van de gegeven matrices te bepalen, en niet de matrix en zijn inverse als product van elementaire matrices te schrijven. 1.4.3
Week 3: vectorruimte-axioma’s, deelruimte, lineaire combinatie, opspansel
Na afloop van week 3 word je geacht de oefeningen 1,2,3,4,5,6,7 uit Sectie 3.6, de opdrachten 3.9, 3.17, en 3.18 uit Secties 3.1 en 3.2, en de bewijzen van Lemma’s 3.7 en 3.8-(3) en Propositie 4
3.14 te kunnen maken. De 20 onderdelen van deze week zijn: 01. 02. 03. 04. 05.
1 1 1 1 2
(a) (b) (c) (d) W1 , W2 , W3
06. 07. 08. 09. 10.
2 W4 , W6 , W7 2 W8 , W9 2 W10 , W11 3 4
11. 12. 13. 14. 15.
5 ‘als0 5 ‘slechts als0 6 7 Lemma 3.7
16. 17. 18. 19. 20.
Lemma 3.8 (3) Prop. 3.14 Opdr. 3.9 Opdr. 3.17 (1) Opdr. 3.18
Oefening 5 is dus onderverdeeld in de twee onderdelen 11 en 12, te weten: (1) Toon aan dat U ∪ W een deelruimte van V is als U ⊂ W of W ⊂ U ; (2) Toon aan dat U ∪ W een deelruimte van V is slechts als U ⊂ W of W ⊂ U . Deze twee kunnen we ook herformuleren als: (1’) Veronderstel dat U ⊂ W of W ⊂ U . Bewijs dat U ∪ W een deelruimte is van V ; (2’) Veronderstel dat U ∪ W een deelruimte is van V . Bewijs dat U ⊂ W of W ⊂ U . 1.4.4
Week 4: lineaire onafhankelijkheid, basis, dimensie, co¨ ordinaten
Na afloop van week 4 word je geacht de oefeningen 9,10,12,14,16,17,19,21,22 uit Sectie 3.6, opdracht 3.30 uit Sectie 3.4 en deel (2) van Stelling 3.35 te kunnen maken. Deze worden als volgt onderverdeeld in 20 onderdelen. 01. 02. 03. 04. 05.
9 (a) 9 (b) 9 (c) 10 12
06. 07. 08. 09. 10.
14 14 16 16 17
basis rest basis rest basis
11. 12. 13. 14. 15.
17 19 19 21 22
rest (a) (b) (a)
16. 17. 18. 19. 20.
22 (b) 22 (c) Opdr. 3.30 (1) Opdr. 3.30 (2) Stelling 3.35 (2)
Oefeningen 14, 16 zijn onderverdeeld in twee onderdelen. Het eerste onderdeel is het bewijs dat de gegeven vectoren een basis vormen; het tweede onderdeel bevat de rest van de opgave. Ook oefening 17 is verdeeld in een onderdeel waarin je een basis geeft, en een onderdeel waarin je de rest van de vragen beantwoord. Het tweede onderdeel is echter niet te maken zonder het eerste te maken. Je kan oefening 17 daarom in zijn geheel inleveren en aangeven of je feedback wilt op onderdeel 10, of 11, of op 10 ´en 11. 1.4.5
Week 5: directe som, nulruimte, kolomruimte en rijruimte
Na afloop van week 5 word je geacht de oefeningen 23,24,26,27,28,29,30,32 uit Sectie 3.6, opdracht 3.55 uit Sectie 3.4 en Stelling 3.53 (2) te kunnen maken. Deze worden als volgt onderverdeeld in 20 onderdelen. 01. 02. 03. 04. 05.
23 24 24 24 26
A1 A2 A3 (a)
06. 07. 08. 09. 10.
26 26 27 27 28
(b) (c) (a) (b)
11. 12. 13. 14. 15.
29 29 30 30 30
(a) (b) (a)(b) (c)(d) (e)(f )
16. 17. 18. 19. 20.
32 (a)(b) 32 (c)(d) 32 (e) Opdr. 3.55 Stelling 3.53 (2)
Hier bedoelen we met Stelling 3.53 (2) het bewijs van het voortbrengend zijn. 5
1.4.6
Week 6: lineaire afbeeldingen en transformaties, matrixvoorstelling
Na afloop van week 6 word je geacht de oefeningen 1,2,3,4,5,6,7 uit Sectie 4.8, opdrachten 4.5 en 4.9 uit Secties 4.1 en 4.2 en de bewijzen van Lemma 4.2 en Propositie 4.11 te kunnen maken. Deze worden als volgt onderverdeeld in 20 onderdelen. 01. 02. 03. 04. 05.
1 1 1 2 2
(a) L1 , L2 , L3 (a) L5 , L7 , L8 (a) L9 , eva , exp kern, beeld, basis injectief, surjectief
06. 07. 08. 09. 10.
3 4 4 5 5
11. 12. 13. 14. 15.
(a) (b) L1 L2
5 6 6 6 7
L3 (a) (b) (c)
16. 17. 18. 19. 20.
Opdr. 4.9 (1) Opdr. 4.9 (2a) Opdr. 4.9 (2b) Lemma 4.2 Propos. 4.11
Van oefening 1 maak je dus (a) en (b) voor de afbeeldingen L1 , L2 , L3 , enzovoorts. 1.4.7
Week 7: basistransformaties
Na afloop van week 7 word je geacht de oefeningen 8,11,12,13,14,15 uit Sectie 4.8, opdrachten 4.19 en 4.30 uit Sectie 3.4 en deel (2) van Stelling 3.35 te kunnen maken. Deze worden als volgt onderverdeeld in 20 onderdelen. 01. 02. 03. 04. 05.
8 (a) 8 (b) 11 (a) 11 (b) 11 (c)
06. 07. 08. 09. 10.
12 12 12 13 13
(a) (b) (c) (a) (b)
11. 12. 13. 14. 15.
13 14 14 15 15
(c) (a) (b) (a) (b)
16. 17. 18. 19. 20.
15 (c) Opdr. 4.19 (1) Opdr. 4.19 (2) Opdr. 4.30, manier 1 Opdr. 4.30, manier 2
Dit eerste blok wordt afgesloten met de tussentoets. 1.4.8
Week 8: determinantafbeeldingen
Na afloop van week 8 word je geacht de oefeningen 1,2,4,6,9,10,11,14,18,23 uit Sectie 2.4 te kunnen maken. Deze worden als volgt onderverdeeld in 15 onderdelen. 01. 02. 03. 04. 05. 1.4.9
1 A1 , A7 1 A2 , A8 1 A3 , A9 1 A4 , A10 1 A5 , A6
06. 07. 08. 09. 10.
2 4 6 9 10
11. 12. 13. 14. 15.
11 14 18 A2 , A4 18 A1 , A3 23
Week 9: determinantafbeeldingen en eigenwaarden
Na afloop van week 9 word je geacht de oefeningen 13,15,21,22,25 uit Sectie 2.4, en oefeningen 3,4,5,6,7,8 uit Sectie 5.7 te kunnen maken. Deze worden als volgt onderverdeeld in 15 onderdelen. 01. 13 06. 22(b) 11. 4 A2 , A4 02. 15 07. 22(c) 12. 5 03. 21(a) 08. 25 13. 6 04. 21(b) 09. 3 14. 7 05. 22(a) 10. 4 A1 , A3 15. 8 6
1.4.10
Week 10: Eigenwaarden en eigenvectoren
Na afloop van week 10 word je geacht de oefeningen 9,10,11,12,13,14,15,17,18,19 uit Sectie 5.7 te kunnen maken. Deze worden als volgt onderverdeeld in 10 onderdelen. 01. 02. 03. 04. 05. 1.4.11
9 10 11 12 13
06. 07. 08. 09. 10.
14 15 17 18 19
Week 11: Inproductruimtes
Na afloop van week 11 word je geacht de oefeningen 1, 2, 3, 4 uit Sectie 6.8 te kunnen maken. Daarnaast Opdracht 6.8, het bewijs van Stelling 6.11, het bewijs van Stelling 6.14 in het complexe geval (zie extra pdf), en de gevraagde beweringen in Opmerking 6.20. Deze worden als volgt onderverdeeld in 10 onderdelen. 01. 02. 03. 04. 05. 1.4.12
1 2 3 4 Opdr. 6.8 (1)
06. 07. 08. 09. 10.
Opdr. 6.8 (1) Stelling 6.11 Opm. 6.20 (1) Opm. 6.20 (2) Stelling 6.14 (C)
Week 12: Inproductruimtes
Na afloop van week 12 word je geacht de oefeningen 5, 6, 7, 8, 9, 10, 15, 17 uit Sectie 6.8 te kunnen maken. Deze worden als volgt onderverdeeld in 10 onderdelen. 01. 02. 03. 04. 05. 1.4.13
5 6 7 8(a) 8(b)
06. 07. 08. 09. 10.
8(c) 9 10 15 17
Week 13: Inproductruimtes
Na afloop van week 13 word je geacht de oefeningen 11, 12, 13, 14 uit Sectie 6.8 te kunnen maken. Daarnaast de Extra Opgaven E1 , E2 , E3 , E4 van de pdf van deze week. Deze worden als volgt onderverdeeld in 10 onderdelen. 01. 02. 03. 04. 05.
11 12 13 14(A1 ) 14(A2 )
06. 07. 08. 09. 10.
7
14(A3 ) E1 E2 E3 E4
