2015-2016 Laatste nieuws 2DN60 Lineaire algebra en vectorcalculus Kwartiel 2, week 7.b Op het college op donderdagochtend 7 januari is behandeld: - hoek tussen vectoren en cosinus regel - driehoeksongelijkheid en stelling van Pythagoras - orthogonaliteit - orthogonale en orthonormale basis - Gram-Schmidt procedure - kleinste kwadraten benadering - data fitting is genoemd, lees zelf §6.5 voor y = mx + c Dit was het laatste college. Bij voldoende belangstelling zal op dinsdag 12 januari het 5e en 6e uur in zaal Flux 1.02 een vragenuur worden gehouden. Hiertoe dienen van te voren vragen opgestuurd te worden per email naar de docent. Op het tentamen komt geen formuleblad. Mocht een formule van belang zijn dan wordt die in eventueel een opgave vermeld. De deadline voor het maken van opgaven op Oncourse is verschoven naar woensdag 13 januari 24.00 uur. Kwartiel 2, week 7.a Op het college op dinsdagmiddag 5 januari is behandeld: - complexe vectorruimten - complexe eigenwaarden en eigenvectoren - voor re¨ele matrix geldt: complex conjugeren van eigenvector en eigenwaarde, geeft weer een eigenvector met bijbehorende eigenwaarde - symmetrische re¨ele nxn matrix heeft alleen re¨ele eigenwaarden - inproduct en inproductruimten - lengte en afstand - stelling van Cauchy-Schwarz 1
- Nog niet: hoek en orthogonaliteit
Kwartiel 2, week 6.b Op het college op donderdagochtend 17 december is behandeld: - matrix transformatie is een lineaire afbeelding - eigenwaarden en eigenvectoren - karakteristieke polynoom - eigenruimte - algebra¨ısche en geometrische multipliciteit van een eigenwaarde - diagonaliseren van matrices - gelijkvormige matrices - een nxn matrix met n verschillende eigenwaarden is diagonaliseerbaar Nog niet behandeld is: - complexe vectorruimten. De komende twee weken is er geen college. Het eerstvolgende college is op dinsdag 6 januari. Gebruik de komende weken om een eventuele achterstand in het maken van de huiswerkopgaven en/of de Oncourse opgaven. Kwartiel 2, week 6.a Op het college van dinsdagmiddag 15 december is behandeld: - definitie van een functie, afbeelding, operator, transformatie - matrixtransformatie van een matrix - voorbeelden van matrix transformaties - spiegeling, loodrechte projectie en rotatie - eigenschappen van matrix transformaties Vorige week zijn de begrippen overbepaald lineair systeem (meer vergelijkingen dan variabelen: m > n) en onderbepaald (minder vergelijkingen dan variabelen: m < n), niet behandeld. Het hoort wel tot de stof van dit college. Lees zelf Theorem 4.8.6 en het bewijs op blz. 229.
2
Kwartiel 2, week 5.b Op het college op donderdagochtend 10 december is behandeld: - (nogmaals) verandering van basis en overgangsmatrix (niet op slides) - nulruimte, kolommenruimte en rijenruimte - methoden om bases te vinden voor deze ruimten - rang van een matrix - dimensiestellingen - opmerking: opgave 70 van hoofdstuk 4 is fout geformuleerd, er moet staan: Are the following matrices a basis of M22 ? De stof is hoofdzakelijk uitgelegd aan de hand van slides. Deze slides en de bijbehorende handouts zijn weer op de website te vinden. Kwartiel 2, week 5.a Op het college van dinsdagmiddag 8 december is behandeld: - lineair afhankelijk en opspansel - co¨ordinaten en basis - dimensie - co¨ordinatenovergang/basistransformaties (niet op slides) De stof is op het laatste onderdeel na, uitgelegd aan de hand van slides. Deze slides en de bijbehorende handouts zijn weer op de website te vinden.
3
Kwartiel 2, week 4.b Op het college op donderdagochtend 3 december is behandeld: - meetkunde van lineaire systemen - vectorruimten - deelruimten - lineaire combinatie - opspansel - lineair voortgebracht De handouts van college 4.b staan op de website: www.win.tue.nl/~ruudp/courses/2DN60/2DN60-slides.html Op Oncourse: https://oncourse.tue.nl/2015/ staan de testen voor lineaire algebra. Het maken van de opgaven op Oncourse werkt net zoals voor Calculus. Je kan de opgaven net zolang over doen totdat je de maximale score hebt. Na sluiten blijft de score staan. Alle testen kunnen tot een week voor de eindtoets gemaakt worden. De deadline is dus: 12 januari 2016. Bij de Introductie staan ook oefeningen die als voorkennis komende van 2DN50 worden verondersteld. Die kun je wel maken maar leveren geen punten op voor 2DN60. De uitwerkingen van de tussentoets van 1 december 2015 staan op de website: www.win.tue.nl/~ruudp/courses/2DN60/2DN60-tent.html
4
Kwartiel 2, week 4.a Op het college van dinsdagmiddag 1 december is een overzicht gegeven van alle integraal stellingen (Green, divergentie, Gauss, Stokes) en zijn enkele voorbeelden behandeld. Daarna was de tussentoets in plaats van begeleide zelfstudie/instructie. Op dinsdagmiddag 1 december is de tussentoets van 16.00 - 17.00 uur in de zalen AUD 9, 12 en 16 en in Paviljoen B2 voor de instructiegroepen 1, 2, 3 en 4, respectievelijk.
5
Kwartiel 2, week 3.b Op het college op donderdagochtend 26 november is behandeld: - div(F)(P) als limiet van een flux over een bol oppervlak om P - rot(F)(P) als limiet van circulatie over cirkel met middelpunt P, hierbij stond ten onrechte in de noemer 4πε2 , moest zijn πε2 - herhaling: rot (grad (phi)) = 0 en div(rot(F))=0 - divergentievrij/solenoidaal veld - rotatievrij/irrotationaal veld - een conservatief veld is rotatievrij veld - een rotatievrij veld op een enkelvoudig samenhangend gebied is conservatief - vectorpotentiaal - veld met en vector-potentiaal is divergentievrij - een divergentievrij veld op domein waarin elk gesloten oppervlak de rand is van een deel domein heeft een vectorpotentiaal - ge¨ınduceerde ori¨entatie van een randkromme van een oppervlak - integraal stelling van Green - divergentie stelling in het vlak en de ruimte Nog niet gedaan, maar vorige keer wel genoemd: - divergentie stelling in de ruimte
6
Kwartiel 2, week 3.a Op het college van dinsdagmiddag 24 november is behandeld: - gradient, divergentie en rotatie (curl) - interpretatie van divergentie als flux dichtheid - Laplaceoperator - rekenregels met gradient, divergentie en rotatie (curl) Nog niet behandeld: - interpretatie van rotatie als circulatiedichtheid - bronsterkte - solenoidaal veld - irrotationaal veld - ”dirac functies” hoort niet tot de stof Dinsdagmiddag 1 december is er eerst 2 uur college en vervolgens de tussentoets van 16.00 - 17.00 uur Er kunnen vragen over de stof tot en met college 3.b gesteld worden. Een formuleblad is tijdens toetsen niet toegestaan en worden ook niet uitgereikt. Soms wordt een relevante formule wel als hint bij een opgave gegeven. Oude tussen- en eindtoetsen met de uitwerkingen zijn te vinden op: http://www.win.tue.nl/~ruudp/2DN60.html http://www.win.tue.nl/~ruudp/courses/2DN60/2DN60-tent.html
7
Kwartiel 2, week 2.b Op het college op donderdagochtend 19 november is behandeld: - kettingregel voor functies in meerdere variabelen - Jacobiaan Df(x) en determinant hiervan - transformatie van een meervoudige integraal bij een co¨ordinaten trf. - oppervlakken en hun parametrisering - scalair oppervlakte-element, - normaalvector - ge¨orienteerd oppervlak - vectorieel oppervlakte-element, - flux van een vectorveld door een oppervlak Nog te doen: - glad oppervlak - oppervlak element van een impliciet gedefinieerd oppervlak: G(x,y,z)=0 Oude tussen- en eindtoetsen met de uitwerkingen zijn te vinden op: http://www.win.tue.nl/~ruudp/2DN60.html http://www.win.tue.nl/~ruudp/courses/2DN60/2DN60-tent.html
8
Kwartiel 2, week 2.a Op het college van dinsdagmiddag 17 november is behandeld: - Herhaling: differentiaal vergelijking voor veldlijnen - vectorveld in poolcoordinaten - diff. vgl. voor veldlijnen in poolcoordinaten - voorbeeld: nodige voorwaarde voor conservatief veld is niet voldoende - lijnintegraal van een functie (scalaire veld) - massadichtheid en totale massa - momenten en zwaartepunt van een draad - lijnintegraal van vectorveld - circulatie van vectorveld over gesloten kromme - samenhangend en enkelvoudig samenhangend gebied Nodig en voldoende voorwaarde van een vectorveld F: (a) F is conservatief (b) circulatie van F over gesloten kromme is 0 (c) lijnintegraal van F langs kromme hangt alleen van het begin- en eindpunt van de kromme af - Het bewijs: (a) ⇒ (b) ⇒ (c) is gegeven - Ga zelf het bewijs van (c) ⇒ (a) na in het boek Niet behandeld: - dipoolveld (kort genoemd, lees details in het boek) - equipotentiaalvlakken/lijnen van f staan loodrecht op veldlijnen van een vectorveld F met potentiaal f (lees zelf)
9
Kwartiel 2, week 1.b Op het tweede college is op donderdagochtend 12 november is behandeld: - scalar velden, niveau kromme/oppervlak = hoogtelijn/oppervlak - vectorvelden en enige voorbeelden daarvan - gravitatieveld van een punt massa - temperatuur, druk of hoogte gradient - vectorveld in poolco¨ordinaten - veldlijn = integraalkromme = trajectorie = stroomlijn - differentiaal vergelijking voor veldlijnen - potentiaal van een conservatief vectorveld - nodige voorwaarde van een conservatief vectorveld - gravitatieveld van een punt massa heeft een potentiaal Nog niet behandeld is: - vb. van een vectorveld waarbij de nodige voorwaarde niet voldoende is. - dipoolveld (lees zelf) Niet-lineaire systemen en Liapunov functies van 15.1 behoren niet tot de stof van dit college
10
Kwartiel 2, week 1.a Op het eerste college van 10 november is behandeld: - vectorwaardige functies en hun afgeleiden - plaats-, snelheid- en versnellingsvector - raakvector - rekenregels voor vectorfuncties - krommen en hun (her)parametrisering - booglengte van een kromme - lengte-element - booglengteparametrisering Niet behandeld: - gesloten, enkelvoudige, gladde kromme (lees zelf) - stuksgewijs glad (lees zelf) Op dit college wordt veel theorie behandeld en is er niet veel tijd om voorbeelden voor te doen. Die staan wel in het boek en het is belangrijk die wel zelf door te lezen en te begrijpen! Het eerste college begint op dinsdagmiddag 11 november het 5-e en 6-e uur. De eerste instructie is direct daarna het 7-e en 8-ste uur. Het tweede college is op donderdagochtend 13 september het 1-e en 2-e uur. De tweede instructie is direct daarna het 3-e en 4-e uur. Zie de de studiewijzer op OASE of de webpagina: http://www.win.tue.nl/~ruudp/2DN60.html De volgende twee boeken worden hiervoor gebruikt: Calculus, A Complete Course by Robert A. Adams, Addison Wesley, Don Mills, etc., 8th edition Elementary Linear Algebra with supplemental Applications by Howard Anton and Chris Rorres, John Wiley & Sons, 11th edition De 7e editie van Adams en de 10e van Anton-Rorres zijn nog steeds bruikbaar. Alleen verschillen de nrs van opgaven soms. De oude studiewijzer van 20132014 is op OASE te vinden met verwijzingen naar deze 7e en 10e editie. 11
