Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) dr. G.R. Pellikaan
1
∗
Voorkennis
Middelbare school stof van wiskunde en natuurkunde. Eerste gedeelte (Blok A) van Lineaire Algebra voor E (2DE04).
2
Globale doelen
Veel verschijnselen kunnen met behulp van een stelsel lineaire vergelijkingen of van een stelsel lineaire differentiaal vergelijkingen beschreven worden. In de elektrotechniek is dit bijvoorbeeld het geval bij netwerken van weerstanden, condensatoren en spoelen. In de wiskunde worden de abstracte eigenschappen van zulke stelsels systematisch bestudeerd in de vakken Lineaire Algebra en Lineaire Analyse. Dit college beperkt zich tot de lineaire algebra. Vrijwel alle problemen in de lineaire algebra worden vertaald in een stelsel lineaire vergelijkingen. Zo’n stelsel wordt omgezet in een uitgebreide matrix, deze wordt vervolgens geveegd (Gauss eliminatie) tot een standaard vorm waaruit alle oplossingen, indien ze bestaan, afgelezen kunnen worden. Van studenten wordt verwacht de verschillende begrippen, definities en stellingen te kunnen toepassen in concrete voorbeelden en deze met de hand te kunnen doorrekenen. De voorkomende matrices zullen veelal niet groter zijn dan 4 × 4 of 3 × 5.
∗
Faculteit Wiskunde en Informatica, Capaciteitsgroep Wiskunde, Leerstoelgebied Coderingstheorie en Cryptologie
1
3
Eindtermen
Het college bestaat uit 5 weken van 2 uur, met een begeleidende instructie eveneens van 8 weken van 2 uur. Het studiemateriaal bestaat uit het boek: B. Kolman en D. R. Hill, Elementary Linear Algebra, Prentice Hall, 8th edition, ISBN 0-13-121933-2 paperback, ISBN 0-13-045787-6 hard cover.
2
3.1
Week 1: Determinanten
• Boek: 6.1, 6.2, 6.3 • Onderwerpen: – definitie en eigenschappen van determinanten – cofactor en het ontwikkelen van een determinant • Begrippen en definities: – permutatie, inversie, (on)even – determinant – minor, cofactor • Stellingen en eigenschappen: – Regel van Sarrus voor de determinant van een 3 × 3 matrix – det(A) = det(AT ) – Regels hoe de determinant van een matrix zich gedraagt onder de 3 elementaire operaties – det(A) = 0, als twee rijen of kolommen hetzelfde zijn – als A een bovendriehoeks matrix, dan det(A) = a11 · · · ann – berekenen van een determinant door het vegen tot een bovendriehoeks matrix – det(EA) = det(E) det(A), voor een elementaire matrix E – det(AB) = det(A) det(B), voor alle n × n matrices A en B – A is niet singulier dan en slechts dan als det(A) 6= 0 – als A niet singulier dan geldt det(A−1 ) = (det(A))−1 – ontwikkelen van een determinant naar een rij (kolom) m.b.v. cofactoren – berekenen van een oppervlak van een driehoek of parallellogram
3
3.2
Week 2: Toepassingen van determinanten
• Boek: 6.4, 6.5 • Onderwerpen: – geadjungeerde en inverse van een matrix – toepassingen van determinanten – regel van Cramer • Begrippen en definities: – geadjungeerde matrix • Stellingen en eigenschappen: Voor een n × n matrix A zijn de volgende beweringen equivalent – det(A) 6= 0 – A is niet singulier – de rijen (kolommen) van A zijn onafhankelijk – x = 0 is de enige oplossing van Ax = 0 – de rang van A is n
4
3.3
Week 3: Lineaire afbeeldingen, eigenwaarden en eigenvectoren
• Boek: 5.1, 7.1, 7.2 • Onderwerpen: – lineaire afbeeldingen – eigenwaarden en eigenvectoren – karakteristieke polynoom – diagonaliseren van matrices en gelijkvormige matrices • Begrippen en definities: – lineaire afbeelding of operator – spiegeling, projectie, uitrekking en inkrimping, rotatie – lineaire afbeelding van een matrix – matrix van een lineaire afbeelding t.o.v. een basis – eigenvector van een lineaire afbeelding met geassocieerde eigenwaarde – karakteristieke polynoom en vergelijking – gelijkvormige en diagonaliseerbare matrices • Stellingen en eigenschappen: – voor een lineaire afbeelding L geldt L(0) = 0 en L(u − v) = L(u) − L(v) – de eigenwaarden zijn de nulpunten van het karakteristieke polynoom – gelijkvormige matrices hebben dezelfde eigenwaarden en karakteristieke polynoom – een lineaire afbeelding L is diagonaliseerbaar dan en slechts dan als L een basis van eigenvectoren heeft – een matrix A is gelijkvormig met een diagonaal matrix D dan en slechts dan als A een basis van eigenvectoren heeft. Bovendien staan dan de eigenwaarden van A op de diagonaal van D – een n × n matrix is diagonaliseerbaar als deze n vershillende eigenwaarden heeft
5
3.4
Week 4: Differentiaalvergelijkingen, lengte en hoeken
• Boek: 8.1, 4.1 • Onderwerpen: – differentiaalvergelijkingen – lente en richtingen in het valk en de ruimte – standaard inprodukt • Begrippen en definities: – differentiaalvergelijking, (homogeen) stelsel differentiaalvergelijkingen – algemene oplossing van een differentiaalvergelijking m.b.v. eigenvectoren – lengte, afstand, hoeken, cosinus regel – standaard inprodukt, dot produkt – orhtogonale (loodrechte) vectoren, eenheids vector • Stellingen en eigenschappen: – De algemene oplossing van een differentiaalvergelijking x0 = Ax is van de vorm x(t) = b1 p1 eλ1 t +· · ·+bn pn eλn t met b1 , . . . , bn willekeurig te kiezen re¨ele getallen, als A een n × n diagonaliseerbare matrix is met p1 , . . . , pn een basis van eigenvectoren met bijbehorende eigenwaarden λ1 , . . . , λn – cosinus regel – de eigenschappen van het standaard inprodukt: positief definiet, symmetrie en lineariteit
6
3.5
Week 5: Vectorruimten met inproduct
• Boek: 4.3, 4.4 en 4.5 (met uitzondering van QR factorizatie, projecties en toepassingen, Fourier reeksen) • Onderwerpen: – vectorruimten met inproduct – procedure van Gram-Schmidt – orthogonale complement • Begrippen en definities: – axiomatische definitie van een inprodukt: positief definiet, symmetrie en lineariteit – invoering van een inprodukt op Rn door (u, v) = uT Av waarbij A een symmetrische positief definiete n × n matrix is – lengte van een vector, afstand en hoek tussen twee vectoren – orthogonale en orthonormale stelsels – procedure van Gram-Schmidt voor het vinden van een orthonormale basis – orthogonale complement W ⊥ van W in een inproduktruimte V • Stellingen en eigenschappen: – de symmetrische matrix C met cij = (vi , vj ) ten opzichte van basis v1 , . . . , vn is symmetrisch en bepaalt het inprodukt volledig – Cauchy-Schwarz ongelijkheid – cosinus regel en driehoeks ongelijkheid – een orthogonaal stelsel vectoren (ongelijk aan de nulvectoren) is onafhankelijk – de i-e co¨ordinaat van vector v ten opzichte van een orthonormale basis v1 , . . . , vn is gelijk aan (v, vi ) – W ⊥ is een deelruimte, W ⊥ ∩W = {0} en (W ⊥ )⊥ = W als V eindig dimensionaal is – de nulruimte van AT is het orthogonale complement van de kolommenruimte van A – x in de nulruimte van een matrix A dan en slechts dan als xT in het orthogonale complement van de rijenruimte van A
7
