Lineaire Algebra A en B
Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven 2010 – 2011
ii
Syllabus bij Lineaire Algebra A (2WF07) en Lineaire Algebra B (2WF08)
Inhoudsopgave 0 Vectorrekening in dimensies 2 en 3 0.1 Vectoren in het vlak en in de ruimte 0.2 Rechten en vlakken . . . . . . . . . . 0.3 Bases, co¨ ordinaten en vergelijkingen 0.4 Afstanden, hoeken en het inproduct 0.5 Het uitproduct . . . . . . . . . . . . 0.6 Vectoren en meetkunde . . . . . . . 0.7 Aantekeningen . . . . . . . . . . . . 0.8 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . 0.8.1 Oefenen op tentamenniveau .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
1 1 6 8 12 19 22 26 26 31
1 Complexe getallen 33 1.1 Rekenen met complexe getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.2 De complexe e–macht, sinus en cosinus . . . . . . . . . . . . . 40 1.3 Complexe polynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1.4 Complexwaardige functies van een re¨ele variabele, harmonische trillingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 1.5 Aantekeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 1.6 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 1.6.1 Oefenen op tentamenniveau . . . . . . . . . . . . . . . 62 2 Differentiaalvergelijkingen 65 2.1 Eerste orde lineaire differentiaalvergelijkingen . . . . . . . . . 65 2.2 Tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen met constante co¨effici¨enten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.3 Aantekeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.4 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.4.1 Oefenen op tentamenniveau . . . . . . . . . . . . . . . 79 i
ii
INHOUDSOPGAVE
3 Matrices en stelsels lineaire vergelijkingen 3.1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Rijreductie (vegen) . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Stelsels lineaire vergelijkingen . . . . . . . . 3.4 Aantekeningen . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Oefenen op tentamenniveau . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
81 . 81 . 87 . 90 . 97 . 97 . 102
4 Vectorruimten 4.1 Vectorruimten en lineaire deelruimten 4.2 Opspansels, (on)afhankelijke stelsels . 4.3 Aantekeningen . . . . . . . . . . . . . 4.4 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Oefenen op tentamenniveau . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
103 103 113 128 129 135
5 Rang en inverse van een matrix, determinanten 5.1 Rang en inverse van een matrix . . . . . . . . . . 5.2 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Aantekeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Oefenen op tentamenniveau . . . . . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
137 . 137 . 143 . 156 . 157 . 161
6 Inproductruimten 6.1 Inproduct, lengte en hoek . . . . . . . . 6.2 Orthoplementen en orthonormale bases 6.3 Afstandsbepalingen . . . . . . . . . . . . 6.4 Aantekeningen . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.1 Oefenen op tentamenniveau . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
163 163 172 183 187 187 190
7 Lineaire afbeeldingen 7.1 Lineaire afbeeldingen . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Matrices van lineaire afbeeldingen I . . . . . . . 7.3 Matrices van lineaire afbeeldingen II . . . . . . 7.4 Eigenwaarden en eigenvectoren, diagonaliseren 7.5 Invariante deelruimten . . . . . . . . . . . . . . 7.6 Duale ruimten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7 Aantekeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8.1 Oefenen op tentamenniveau . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
193 193 204 209 217 226 232 236 237 248
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
INHOUDSOPGAVE
iii
8 Orthogonale en symmetrische afbeeldingen 8.1 Orthogonale afbeeldingen . . . . . . . . . . 8.2 Symmetrische afbeeldingen . . . . . . . . . 8.3 Aantekeningen . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1 Oefenen op tentamenniveau . . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
251 251 261 270 270 275
9 Differentiaalvergelijkingen 9.1 Stelsels differentiaalvergelijkingen . 9.2 Laplace-transformaties . . . . . . . 9.3 Tabel Laplace–transformaties . . . 9.4 Aantekeningen . . . . . . . . . . . 9.5 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.1 Oefenen op tentamenniveau
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
277 277 287 297 298 298 301
. . . . . . .
303 . 303 . 303 . 304 . 305 . 306 . 306 . 307
A Voorkennis A.1 Notaties . . . . . . . . . . . A.1.1 Verzamelingen . . . A.1.2 Afbeeldingen . . . . A.2 Partieel integreren . . . . . A.3 Gonioformules . . . . . . . . A.4 Het Griekse alphabet . . . . A.5 Ellips, hyperbool, parabool B Antwoorden van de opgaven
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
311
iv
INHOUDSOPGAVE
Voorwoord Deze syllabus hoort bij de vakken Lineaire Algebra A en Lineaire Algebra B (2WF07 en 2WF08) van de Technische Universiteit Eindhoven. De syllabus is een bijgewerkte versie van een syllabus eertijds samengesteld door Prof. dr. F. Simons met medewerking van ondergetekende. In de editie 2008-2009 is aan het begin een nieuw hoofdstuk over vectormeetkunde in dimensies 2 en 3 opgenomen. In elk hoofdstuk is een paragraaf opgenomen waarin in kort bestek wordt aangeduid waar de ge¨ıntroduceerde begrippen en technieken vandaan komen en voor welke vakken en vakgebieden de begrippen van belang zijn; historische gegevens komen voornamelijk uit [1] (zie de literatuurlijst achter in de syllabus). Van de meeste opgaven in deze syllabus zijn achterin antwoorden opgenomen, maar geen uitwerkingen. Ook is een bijlage opgenomen met begrippen en notaties die gebruikt worden bij Lineaire Algebra A en B. In de editie 2010-2011 zijn nog wat kleine verbeteringen in de tekst aangebracht (met dank aan Benne de Weger). Naast deze syllabus is een studiewijzer op het web beschikbaar met informatie over de specifieke gang van zaken bij Lineaire Algebra A en B. Hans Sterk juli 2010
v
Hoofdstuk 0
Vectorrekening in dimensies 2 en 3 0.1
Vectoren in het vlak en in de ruimte
0.1.1 Het begrip vector is oorspronkelijk bedoeld om over grootheden te kunnen spreken die naast een grootte ook een richting hebben. De inspiratie ervoor komt vooral uit de natuurkunde waar bijvoorbeeld snelheid en kracht typische grootheden met grootte en richting zijn. In dit hoofdstuk voeren we vectoren in het platte vlak en in de driedimensionale ruimte in. In latere hoofdstukken introduceren we het abstracte begrip vectorruimte dat van belang is voor vrijwel elke tak van wiskunde. Het vlak en de ruimte zijn speciale gevallen van vectorruimten. 0.1.2 Het begrip vector Onder een vector verstaan we een pijl in het vlak of in de ruimte met een zekere richting en grootte. Verslepen we een vector zodat zijn beginpunt elders komt te liggen (maar richting en grootte onveranderd blijven), dan beschouwen we deze nieuwe pijl toch als een representant van dezelfde vector. Een vector kunnen we dan op verschillende plekken in het vlak of in de ruimte tekenen. In het vervolg zal het vaak voorkomen dat we een oorsprong in het vlak of in de ruimte gekozen hebben. In die situatie is het gebruikelijk vectoren te laten starten in de oorsprong. Soms zijn we niet consequent in het gebruik van beide zienswijzen, maar dat blijkt niet snel tot verwarring of fouten te leiden. 1
2
Vectorrekening in dimensies 2 en 3
O
Figuur 1: Links zijn representanten van dezelfde vector getekend: richting en grootte zijn hetzelfde. Rechts vectoren met hetzelfde beginpunt, namelijk een in het vlak gekozen oorsprong O. Vectoren noteren we doorgaans door een letter met een streep eronder: v. In de literatuur kom je diverse andere notaties tegen, zoals v, ~v of v¯. 0.1.3 De nulvector Er is ´e´en bijzondere vector, namelijk een vector van lengte 0. Deze vector bepaalt geen richting. We geven de nulvector aan met 0. 0.1.4 Scalaire vermenigvuldiging We noteren met λv de vector die uit de vector v ontstaat door deze vanuit zijn beginpunt met een factor λ te vermenigvuldigen, met dien verstande dat we de richting van de vector v eerst omkeren als λ < 0. We noemen λv een scalair veelvoud van v of kortweg veelvoud van v. De (schaal)factor λ waarmee we de vector vermenigvuldigen noemen we wel een scalar. Scalairen geven we vaak aan met Griekse letters, maar het is geen verplichting Griekse letters te gebruiken. Doorgaans schrijven we v in plaats van 1 v, −v in plaats van (−1)v, −3v in plaats van (−3)v enzovoort. De vector −v heet wel de tegengestelde van v. Soms is het zinvol de scalaire vermenigvuldiging duidelijk te laten uitkomen, bijvoorbeeld met een vermenigvuldigingspunt: 3 · v. We zetten de scalar altijd links van de vector. Voor de scalaire vermenigvuldiging gelden de volgende rekenregels. • 0 · v = 0 voor elke vector v.
0.1 Vectoren in het vlak en in de ruimte
u
3
−u
2u
Figuur 2: Scalaire vermenigvuldiging. • λ(µv) = (λµ)v voor elke vector v en alle scalairen λ en µ. In woorden: als je de vector v eerst met µ vermenigvuldigt en het resultaat vervolgens met λ, dan is het resultaat gelijk aan de vector die je verkrijgt door v met het product λµ te vermenigvuldigen. 0.1.5 Optelling van vectoren Als u en v twee vectoren zijn met hetzelfde beginpunt (daar kun je door verplaatsing altijd voor zorgen), dan is u + v de vector met hetzelfde beginpunt en met als eindpunt het vierde punt van het parallellogram opgespannen door u en v. De som van twee vectoren u en v is ook te bepalen door u en v kop aan staart te leggen. Als een van beide vectoren een scalair veelvoud is van de ander, dan kun je enkel de tweede constructie gebruiken. Merk nog op dat u + 0 = u.
u+v
u+v
v v u
u
Figuur 3: Vectoroptelling: links via de parallellogramconstructie, rechts door de vectoren kop-aan-staart te leggen. Hier volgen de voor ons relevante rekenregels en afspraken voor de optelling van vectoren (we gaan niet op bewijzen in):
4
Vectorrekening in dimensies 2 en 3 • Associativiteit van de optelling: (u + v) + w = u + (v + w) voor alle vectoren u, v en w. Dit is een rekenregel waarvan de betekenis je misschien ontgaat. Optelling van vectoren is echter beschreven voor twee vectoren. Wil je bijvoorbeeld drie vectoren optellen, dan moet je eerst twee van de drie vectoren uitkiezen om op te tellen, bijvoorbeeld de eerste en de tweede, en daarna het resultaat hiervan bij de derde vector optellen. Associativiteit vertelt je dan dat het niet uitmaakt met welke twee opeenvolgende vectoren je start, welke twee je daarna optelt enz. In de praktijk zullen we haakjes doorgaans weglaten tenzij dat voor de context van belang is, bijvoorbeeld in een redenering. Hier is een voorbeeld met haakjes: v 1 + ((v 2 + v 3 ) + v 4 ) lees je als volgt: tel eerst v 2 en v 3 op, tel het resultaat hiervan op bij v 4 , en tel tenslotte v 1 bij het resultaat van deze laatste berekening. • Commutativiteit van de optelling: v+w =w+v voor alle vectoren v en w. In de praktijk gebruik je deze rekenregel als volgt. Bij het optellen van twee of meer vectoren mag je de volgorde van de termen naar eigen inzicht veranderen. Dat blijkt soms handig bij berekeningen. • In plaats van v + −w schrijven we doorgaans v − w.
Er zijn ook rekenregels waarin scalaire vermenigvuldiging en optelling beide een rol spelen: • Distributiviteit van de vermenigvuldiging over de optelling: λ(v + w) = λv + λw voor alle vectoren v, w en voor alle scalairen λ. • Distributiviteit van de scalaire optelling over de scalaire vermenigvuldiging: (λ + µ)v = λv + µv voor alle scalairen λ, µ en alle vectoren v.
0.1 Vectoren in het vlak en in de ruimte
5
Optellen van een vector v en zijn tegengestelde −v levert de nulvector: v − v = 0. 0.1.6 Lineaire combinaties Is v 1 , v 2 , . . . , v n een n-tal vectoren en zijn λ1 , λ2 , . . . , λn re¨ele getallen, dan heet λ1 v 1 + λ2 v 2 + · · · + λ n v n een lineaire combinatie van de vectoren v 1 , v 2 , . . . , v n . Met de term lineaire combinatie geven we een naam aan vectoren die we kunnen bouwen uit een gegeven stelletje vectoren met behulp van de twee operaties vectoroptelling en scalaire vermenigvuldiging. 0.1.7 Voorbeelden. Rekenen met vectoren valt reuze mee. Na verloop van tijd zul je merken dat je bij berekeningen vaak enkele stappen overslaat. Pas wel op dat we vectoren niet met elkaar kunnen vermenigvuldigen (maar zie §0.5). a) 3v − w + 2v + 3w = 5v + 2w. Met tussenstappen verloopt deze berekening bijvoorbeeld als volgt. Vanwege commutativiteit mogen we de vier termen herschikken: 3v − w + 2v + 3w = 3v + 2v − w + 3w. Vervolgens gebruiken we distributiviteit en het feit dat −w = (−1)w: 3v + 2v − w + 3w = (3 + 2)v + (−1 + 3)w = 5v + 2w. In dit voorbeeld hebben we het plaatsen van haken achterwege gelaten; dat is vanwege associativiteit in orde. Met plaatsen van haakjes zou de berekening bijvoorbeeld als volgt kunnen starten: (3v+(−w+2v))+3w = (3v+(2v−w))+3w = ((3v+2v)−w)+3w = . . . b) De tegengestelde van λ v is −λv. Hier is λ een willekeurige scalar. c) In de berekening v + 21 (w − v) = 21 (v + w) zitten twee manieren verborgen om naar het midden van een lijnstuk te kijken. Zie je welke? d) Door de diverse rekenregels te gebruiken vind je: (−u + 2v + 3w) + (2u − v + w) = u + v + 4w.
6
Vectorrekening in dimensies 2 en 3
0.2
Rechten en vlakken
0.2.1 Na keuze van een oorsprong O in het vlak of in de ruimte bepaalt elk punt de vector van O naar dit punt. Omgekeerd bepaalt ook elke vector met beginpunt in de oorsprong precies ´e´en punt, namelijk het eindpunt. Op deze manier corresponderen punten met vectoren. Soms gebruiken we de woorden punt en vector dan wel eens door elkaar. Dat blijkt geen problemen op te leveren en is bijvoorbeeld handig als we het over de rechte door twee punten hebben. We nemen vanaf nu aan dat we een oorsprong gekozen hebben. De oorsprong zelf correspondeert met de nulvector 0. 0.2.2 Rechten De veelvouden x = λv van een vector v die zelf niet gelijk is aan 0, doorlopen precies de punten/vectoren van een rechte of lijn ℓ door de oorsprong.
a + λv
a
v
Figuur 4: Parametervoorstelling van een rechte met steunvector a en richtingsvector v. Elke vector op de rechte is te verkrijgen door een geschikt veelvoud van v op te tellen bij a. Is a een tweede vector, dan doorloopt, voor vari¨erende λ, het punt x = a + λv de rechte m door a parallel met ℓ. We noemen ℓ : x = λv en m : x = a + λv een parametervoorstelling of vectorvoorstelling van de rechte ℓ respectievelijk m. De vector v is een zogenaamde richtingsvector in beide gevallen. De vector a is een steunvector van de rechte m (je mag eventueel 0 steunvector van de rechte ℓ noemen). We noemen λ wel de parameter.
0.2 Rechten en vlakken
7
Samenvattend: voor de parametervoorstelling van een rechte heb je een steunvector nodig en een richtingsvector. Steun- en richtingsvector zijn niet uniek bepaald. 0.2.3 Voorbeeld. (Steun- en richtingsvector zijn niet uniek) De vector p+v ligt op de rechte ℓ met parametervoorstelling x = p+λv. Vul maar λ = 1 in. De vector p + v kan net zo goed als steunvector fungeren. De parametervoorstelling x = p+v+µv is net zo goed een parametervoorstelling van de rechte ℓ. Bij vari¨erende µ doorloopt p + v + µv dezelfde vectoren als p+λv bij vari¨erende λ. In feite kan elke vector op ℓ als steunvector fungeren. Naast v zijn ook 2v, −3v, π v richtingsvectoren van ℓ. De vectoren van p + µ(2v) doorlopen bij vari¨erende µ precies de punten van ℓ. 0.2.4 Vlakken Ook vlakken in de 3-dimensionale ruimte kunnen we beschrijven met behulp van parametervoorstellingen. Voor een vlak hebben we een steunvector nodig, twee richtingsvectoren en (dus) twee parameters. Om werkelijk een vlak op te spannen, mogen de twee richtingsvectoren geen veelvoud van elkaar zijn.
v
v u
u a
Figuur 5: Links het geval van een vlak door de oorsprong. Rechts het geval met steunvector a en richtingsvectoren u en v. Het vlak U met richtingsvectoren u en v heeft parametervoorstelling U : x = λu + µv. Het vlak V met steunvector a en richtingsvectoren u en v heeft parametervoorstelling V : x = a + λu + µv.
8
Vectorrekening in dimensies 2 en 3
Net als bij rechten zijn steun- en richtingsvectoren niet uniek bepaald: een vlak kan op meerdere manieren met steun- en richtingsvectoren beschreven worden. 0.2.5 Voorbeeld. (Steun- en richtingsvectoren zijn niet uniek) Het vlak V met parametervoorstelling V : x = a+λu+µv kan ook beschreven worden met de parametervoorstelling x = a + ρ(u + v) + σ(u − v). Dit betekent dat je elke vector van de vorm a + λu + µv ook in de vorm a + ρ(u + v) + σ(u − v) moet kunnen schrijven en omgekeerd. Dat dit zo is volgt uit de gelijkheden a + λu + µv = a + 12 (λ + µ)(u + v) + 21 )(λ − µ)(u − v) a + ρ(u + v) + σ(u − v) = a = (ρ + σ)u + (ρ − σ)v.
0.3
Bases, co¨ ordinaten en vergelijkingen
0.3.1 Om concrete berekeningen te kunnen uitvoeren is het handig om vectoren met behulp van getallen te beschrijven. De begrippen die we daarvoor nodig hebben zijn basis en co¨ ordinaat. 0.3.2 Basis • Het vlak In het vlak hebben we twee basisvectoren nodig, bijvoorbeeld e1 en e2 . v1 e1+ v2 e2
e2 e1
Figuur 6: Met behulp van de basis e1 , e2 kunnen we elke vector uit het vlak beschrijven met behulp van een tweetal co¨ ordinaten. Die twee vectoren mogen geen veelvoud van elkaar zijn. Elke vector v
0.3 Bases, co¨ ordinaten en vergelijkingen
9
uit het vlak is nu op unieke wijze te schrijven als lineaire combinatie van de vectoren e1 , e2 : v = v1 e1 + v2 e2 voor zekere getallen v1 en v2 die uniek zijn voor v. • De ruimte In de ruimte kiezen we drie vectoren e1 , e2 , e3 die niet samen met 0 in een vlak liggen. Elke vector x kunnen we dan schrijven als lineaire combinatie van deze drie vectoren: v = v1 e 1 + v 2 e 2 + v 3 e 3 , waarin de scalairen v1 , v2 en v3 eenduidig bepaald zijn (v1 e1 is een soort ‘projectie’ van v op de rechte x = λe1 , zodat v1 vast ligt, enzovoort). De vectoren e1 , e2 , e3 vormen een basis van de ruimte en de getallen v1 , v2 , v3 heten de co¨ ordinaten van de vector v ten opzichte van de basis. Als de vectoren e1 , e2 , e3 onderling loodrecht zijn en lengte 1 hebben, spreken we van een orthonormale basis. 0.3.3 De vectorruimten R2 en R3 Via de co¨ ordinaten correspondeert elke vector in de ruimte met een drietal co¨ ordinaten v1 , v2 , v3 zeg. Zo’n drietal re¨ele getallen, genoteerd als (v1 , v2 , v3 ), is een element van R3 . Zo’n drietal noemen we wel een co¨ ordinaatvector . Optelling van vectoren en scalaire vermenigvuldiging vertalen als volgt naar co¨ ordinaten: v + w ↔ (v1 + w1 , v2 + w2 , v3 + w3 ) λv ↔ (λv1 , λv2 , λv3 ) (waarbij w correspondeert met (w1 , w2 , w3 )). Via de keuze van een basis is de verzameling R3 de co¨ ordinaatruimte van de ruimte geworden. Let wel op dat de vertaling naar co¨ ordinaten afhangt van de keuze van oorsprong en basis! In deze co¨ ordinaatruimte kunnen we co¨ordinaatvectoren optellen (co¨ordinaatsgewijs) en met scalairen vermenigvuldigen (ook co¨ordinaatsgewijs). In Hoofdstuk 4 zullen we zien dat ruimte en co¨ordinaatruimte speciale gevallen zijn van het begrip vectorruimte. Op soortgelijke wijze kan R2 de rol van co¨ ordinaatvlak van het platte vlak spelen. Het co¨ordinaatvlak R2 en de co¨ ordinaatruimte R3 zijn voornamelijk bedoeld om expliciet met getallen te kunnen rekenen. In R2 respectievelijk R3 spelen (0, 0) en (0, 0, 0) de rol van nulvector.
10
Vectorrekening in dimensies 2 en 3
In de praktijk ‘identificeren’ we vaak de co¨ordinaatruimte met de ruimte (via de gekozen basis). We spreken dan rustig van de rechte in R2 of R3 , van vectoren in R2 of R3 , het vlak R2 , de ruimte R3 , een parametervoorstelling van een rechte in R2 enz. We zullen zelfs wel schrijven a = (a1 , a2 , a3 ) als (a1 , a2 , a3 ) de co¨ ordinaatvector is van a, ook al is dat strikt genomen niet in orde. 0.3.4 Rechten in het vlak in co¨ ordinaten Is ℓ : x = a + λv een rechte in het vlak met een zekere basis e1 , e2 , en zijn (a1 , a2 ) en (v1 , v2 ) achtereenvolgens de co¨ordinaatvectoren van de steunvector en richtingsvector, dan krijgen we in co¨ordinaten de volgende parametervoorstelling van de rechte: ℓ : (x1 , x2 ) = (a1 , a2 ) + λ(v1 , v2 ). Soms blijkt het handig bij deze beschrijvingen in kolommen te werken: µ
x1 x2
¶
=
µ
a1 a2
¶
+λ
µ
v1 v2
¶
.
Natuurlijk kunnen we ook gewoon schrijven: x1 = a1 +λv1 en x2 = a2 +λv2 . Door λ te elimineren uit deze twee relaties vinden we een vergelijking van de rechte. Vermenigvuldig x1 = a1 + λv1 met v2 en x2 = a2 + λv2 met v1 en trek af: v2 x1 − v1 x2 = v2 a1 − v1 a2 , een lineaire vergelijking in de onbekenden x1 en x2 . Vergelijkingen van rechten zijn niet uniek, net zo min als parametervoorstellingen. Vermenigvuldig je bijvoorbeeld een vergelijking met 2, dan beschrijft het resultaat natuurlijk dezelfde rechte. Een parametervoorstelling van een rechte beschrijft de vectoren/punten van een rechte expliciet: voor elke λ vind je een vector/punt op de rechte (of de co¨ordinaten daarvan). Een vergelijking van een rechte beschrijft de rechte impliciet: (y1 , y2 ) ligt op de rechte dan en slechts dan als de co¨ ordinaten aan de vergelijking voldoen. 0.3.5 Rechten in de ruimte in co¨ ordinaten Een parametervoorstelling ℓ : x = a + λv met a = (a1 , a2 , a3 ) en v = (v1 , v2 , v3 ) is ℓ : (x1 , x2 , x3 ) = (a1 , a2 , a3 ) + λ(v1 , v2 , v3 )
0.3 Bases, co¨ ordinaten en vergelijkingen
11
of, in kolomnotatie: v1 a1 x1 x2 = a2 + λ v2 . v3 a3 x3
Een rechte in de ruimte kun je ook door middel van twee lineaire vergelijkingen beschrijven. We gaan er hier nu niet op in. 0.3.6 Vlakken in de ruimte in coo ¨rdinaten Een parametervoorstelling V : x = a + λu + µv van een vlak kan op diverse manieren in co¨ ordinaten uitgeschreven worden. • Parametervoorstelling in ‘rijennotatie’: (x1 , x2 , x3 ) = (a1 , a2 , a3 ) + λ(u1 , u2 , u3 ) + µ(v1 , v2 , v3 ). • Parametervoorstelling in kolomnotatie: v1 u1 a1 x1 x2 = a2 + λ u2 + µ v2 . v3 u3 a3 x3 • Of gewoon elke co¨ ordinaat apart: x1 = a1 + λu1 + µv1 x2 = a2 + λu2 + µv2 x3 = a3 + λu3 + µv3 . Na eliminatie van de parameters λ en µ ontstaat een vergelijking van het vlak, een lineaire vergelijking in de onbekenden x1 , x2 , x3 , d1 x1 + d2 x2 + d3 x3 = d4 , voor zekere d1 , d2 , d3 , d4 . Minstens ´e´en van de co¨effici¨enten d1 , d2 , d3 moet hierbij ongelijk 0 zijn. 0.3.7 Voorbeelden. a) x = (1, 2) + λ(3, −1) en x = (1, 2) + µ(−6, 2) beschrijven dezelfde rechte. Waarom? b) Om een vergelijking van de rechte ℓ : x = (1, 2) + λ(3, −1) te bepalen, starten we met x1 = 1 + 3λ en x2 = 2 − λ. Vermenigvuldig de tweede vergelijking met 3 en tel het resultaat op bij de eerste: x1 + 3x2 = 1 + 3λ + 3(2 − λ) = 7. Een vergelijking van de rechte is dus x1 + 3x2 = 7.
12
Vectorrekening in dimensies 2 en 3 c) Het vlak V heeft 2x1 − x2 + 3x3 = 4 als vergelijking. Om hieruit een parametervoorstelling af te leiden, gaan we als volgt te werk. Aan de vergelijking zie je dat je bij elke waarde die je toekent aan x2 en x3 precies ´e´en bijpassende x1 krijgt. Kennen we aan x2 de waarde λ toe en aan x3 de waarde µ, dan wordt x1 = 2 + λ/2 − 3µ/2. Dus x1 = 2 + λ/2 − 3µ/2, x2 = λ, x3 = µ. In vectornotatie: (x1 , x2 , x3 ) = (2+λ/2−3µ/2, λ, µ) = (2, 0, 0)+λ(1/2, 1, 0)+µ(−3/2, 0, 1). Een parametervoorstelling is dan 1 3 V : x = (2, 0, 0) + λ( , 1, 0) + µ(− , 0, 1). 2 2 Om van de breuken af te komen kun je ook als parametervoorstelling nemen: V : x = (2, 0, 0) + ρ(1, 2, 0) + σ(−3, 0, 2). Zie je in waarom?
d) Om een vergelijking te vinden van het vlak V met parametervoorstelling x = (2, 0, 0) + λ(1, 1, 0) + µ(0, 2, 1) elimineren we λ en µ uit de drie betrekkingen x1 = 2 + λ, x2 = λ + 2µ en x3 = µ, bijvoorbeeld als volgt (meer systematische methoden komen in latere hoofdstukken aan de orde): – Vanwege x3 = µ kunnen we µ in x2 = λ + 2µ vervangen door x3 : x2 = λ + 2x3 . – Trek de betrekkingen x1 = 2 + λ en x2 = λ + 2x3 van elkaar af: x1 − x2 = 2 − 2x3 . Een vergelijking is dus x1 − x2 + 2x3 = 2.
0.4
Afstanden, hoeken en het inproduct
0.4.1 Met het oog op het vervolg blijkt het nuttig te zijn de begrippen afstand, lengte en hoek in verband te brengen met het begrip inproduct. Daartoe starten we in het vlak of de ruimte met een vaste oorsprong. De lengte van een vector x is de afstand van de oorsprong tot het eindpunt van x. De lengte geven we aan met k x k. De afstand tussen twee vectoren u en v is de lengte van de verschilvector u − v, dus k u − v k.
0.4 Afstanden, hoeken en het inproduct
13
0.4.2 Het inproduct Het inproduct van twee vectoren u en v, beide ongelijk aan 0, is gedefinieerd als k u k · k v k · cos ϕ, waarin ϕ de hoek is die de twee vectoren u en v met elkaar maken. Is een van beide vectoren de nulvector, dan is het inproduct per definitie gelijk aan 0. We noteren het inproduct met (u, v). Hebben de vectoren u en v bijvoorbeeld allebei lengte 4 en is de hoek tussen
v
φ u v cos φ Figuur 7: Als de hoek tussen de vectoren u en v hooguit π/2 is, dan is het inproduct gelijk aan het product van de lengte van u en de lengte van de projectie van v op de rechte x = λu. de twee vectoren gelijk aan 60◦ , dan is (u, v) = 4 · 4 cos 60◦ = 4 · 4 ·
1 = 8. 2
Bij een hoek van 120◦ wordt het inproduct −8. In het bijzonder kan het inproduct negatief zijn. In de literatuur komen ook andere notaties voor zoals u • v (Engelse naam: dot product). Het inproduct wordt ook wel inwendig product of scalair product genoemd. Enkele opmerkingen en eigenschappen (die we niet in detail uitwerken): • Nemen we voor v ook u, dan is natuurlijk de cosinus gelijk aan 1 zodat (u, u) =k u k2 . Dus p k u k= (u, u). In het bijzonder is (u, u) ≥ 0 voor elke vector u en treedt gelijkheid alleen op als u = 0.
14
Vectorrekening in dimensies 2 en 3 • Als je het inproduct van twee vectoren (ongelijk 0) kent en hun lengten, dan kun je de cosinus van de hoek tussen de vectoren berekenen: cos ϕ =
(u, v) . kuk·kvk
Zodra we het inproduct in co¨ordinaten hebben uitgedrukt, blijkt dit vaak bruikbaar. • Symmetrie van het inproduct: (u, v) = (v, u) voor alle vectoren u en v. • Gedrag ten aanzien van scalairen: λ(u, v) = (λu, v) = (u, λv) voor alle u, v en elke scalair λ. • Gedrag ten aanzien van de vectoroptelling: (u + v, w) = (u, w) + (v, w), (u, v + w) = (u, v) + (u, w) voor alle vectoren u, v en w. • Orthogonaliteit: Het inproduct van twee vectoren is precies gelijk aan 0 als de twee vectoren loodrecht op elkaar staan (men zegt ook wel: orthogonaal zijn). Merk op dat het inproduct sowieso gelijk aan 0 is als een van beide vectoren de nulvector is. De nulvector staat loodrecht op elke vector (voor het geval je tegenwerpt dat de nulvector geen richting heeft: beschouw het dan als een handige afspraak). 0.4.3 Voorbeelden. a) Veronderstel dat (u, v) = 2. Met de rekenregels vind je bijvoorbeeld dat (3 u, −4 v) = 3(u, −4 v) = 3 · −4 (u, v) = −12 · 2 = −24. b) Als k u k= 2, k v k= 3 en (u, v) = 1, dan kun je met de rekenregels bepalen wat bijvoorbeeld (u + v, u − 2v) is. Kijk maar: (u + v, u − 2v) = (u, u − 2v) + (v, u − 2v). Vervolgens pakken we de term eerste term uit het rechterlid, (u, u−2v), aan: (u, u − 2v) = (u, u) + (u, −2v) = (u, u) − 2(u, v).
0.4 Afstanden, hoeken en het inproduct
15
Nu is (u, u) =k u k2 = 4 en (u, v) = 1, dus vinden we (u, u − 2v) = 4 − 2 = 2. Net zo pakken we de term (v, u − 2v) aan: (v, u − 2v) = (v, u) + (v, −2v) = (v, u) − 2(v, v) = 1 − 2 · 9 = −17. We vinden dus: (u + v, u − 2v) = 2 − 17 = −15. 0.4.4 Het inproduct en co¨ ordinaten Laat e1 , e2 een basis van het vlak zijn waarbij e1 , e2 beide lengte 1 hebben en de twee vectoren loodrecht op elkaar staan (een orthonormale basis dus). Vertalen we dit geval naar co¨ ordinaten, dan krijgen we een eenvoudig te onthouden uitdrukking (in de gevallen waarin de basis niet orthonormaal is, is de beschrijving in co¨ ordinaten wat lastiger; we laten die beschrijving hier achterwege). Zijn namelijk v = v1 e1 + v2 e2 en w = w1 e1 + w2 e2 twee vectoren in het vlak, dan vinden we, met gebruikmaking van de rekenregels voor het inproduct en van het feit dat (e1 , e1 ) = 1, (e1 , e2 ) = 0, (e2 , e1 ) = 0, (e2 , e2 ) = 1: (v, w) = (v1 e1 + v2 e2 , w1 e1 + w2 e2 ) = v1 w1 (e1 , e1 ) + v1 w2 (e1 , e2 ) + v2 w1 (e2 , e1 ) + v2 w2 (e2 , e2 ) = v 1 w1 + v 2 w 2 . Dus: (v, w) = v1 w1 + v2 w2 . In het bijzonder vinden we een gemakkelijke (en bekende) uitdrukking voor de lengte van de vector v = v1 e1 + v2 e2 : q k v k= v12 + v22 . Voor de afstand tussen u = (u1 , u2 ) en v = (v1 , v2 ) krijgen we p k u − v k= (u1 − v1 )2 + (u2 − v2 )2 . Voor de cosinus van de hoek ϕ tussen de vectoren (beide ongelijk 0) v = v1 e1 + v2 e2 en w = w1 e1 + w2 e2 vinden we cos ϕ =
(v, w) v1 w1 + v2 w2 p . =p 2 kvk·kwk v1 + v22 · w12 + w22
Bij gebruikmaking van een orthonormale basis e1 , e2 , e3 in de ruimte (dus vectoren van lengte 1 die twee aan twee loodrecht op elkaar staan), vinden we
16
Vectorrekening in dimensies 2 en 3
de volgende uitdrukking in co¨ordinaten voor het inproduct van de vectoren v = v1 e1 + v2 e2 + v3 e3 en w = w1 e1 + w2 e2 + w3 e3 : v1 w 1 + v 2 w 2 + v3 w 3 . Voor de lengte van de vector v krijgen we q k v k= v12 + v22 + v32 . De afstand tussen u en v is gelijk aan p k u − v k= (u1 − v1 )2 + (u2 − v2 )2 + (u3 − v3 )2 . En voor de cosinus van de hoek tussen de vectoren v en w (beide ongelijk 0) geldt: cos ϕ =
v1 w1 + v2 w2 + v3 w3 (v, w) p =p 2 . kvk·kwk v1 + v22 + v32 · w12 + w22 + w32
0.4.5 R2 , R3 en het standaardinproduct Gemotiveerd door voorgaande discussie introduceren we het zogenaamde standaardinproduct in R2 en R3 , beschouwd als zelfstandige vectorruimte. Een vector in R2 is een paar re¨ele getallen, zoals (a1 , a2 ). Het standaardinproduct van twee vectoren a = (a1 , a2 ) en b = (b1 , b2 ) in R2 is gedefinieerd als (a, b) := a1 b1 + a2 b2 . In R3 luidt de definitie van het standaardinproduct van de vectoren a = (a1 , a2 , a3 ) en b = (b1 , b2 , b3 ): (a, b) := a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 . 0.4.6 Voorbeeld. De hoek ϕ tussen de twee vectoren u = (1, 0) en v = (1, 1) in R2 bepalen we als volgt: cos ϕ =
(u, v) 1·1+0·1 1 1√ √ 2. =√ =√ = 2 2 2 2 kuk·kvk 2 2 1 +0 · 1 +1
De hoek die hierbij hoort is π/4 of 45◦ . 0.4.7 Normaalvectoren Zijn u = (u1 , u2 , u3 ) en v = (v1 , v2 , v3 ) twee vectoren in het vlak V met
0.4 Afstanden, hoeken en het inproduct
17
vergelijking 2x1 − x2 + 3x3 = 6, dan geldt dus 2u1 − u2 + 3u3 = 6 en 2v1 − v2 + 3v3 = 6. Aftrekken van deze twee gelijkheden levert 2(u1 − v1 ) − (u2 − v2 ) + 3(u3 − v3 ) = 0. Deze gelijkheid kunnen we ook als volgt lezen: ((2, −1, 3), (u1 − v1 , u2 − v2 , u3 − v3 )) = 0, ofwel, de verschilvector u − v staat loodrecht op de vector (2, −1, 3). In het bijzonder is (2, −1, 3) een vector die loodrecht staat op alle richtingsvectoren van het vlak. We noemen (2, −1, 3) wel een normaalvector van het vlak. Wat we net in een concrete situatie hebben doorgerekend, blijkt ook algemeen te kunnen. Is a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 = d een vergelijking van het vlak V , dan kunnen we dit herschrijven als (a, x) = d, waarbij a = (a1 , a2 , a3 ) en x = (x1 , x2 , x3 ). Zijn nu u en v twee vectoren in het vlak, dan geldt dus (a, u) = d en (a, v) = d. Aftrekken van deze gelijkheden levert (a, u) − (a, v) = 0 en dus, via eigenschappen van het inproduct (welke?): (a, u − v) = 0. Met andere woorden: de verschilvector u−v staat loodrecht op a. In het bijzonder staan richtingsvectoren van het vlak V loodrecht op V . We noemen a een normaalvector van het vlak. Ook voor rechten in het vlak geldt iets soortgelijks: is a1 x1 +a2 x2 = d de vergelijking van een rechte, dan is (a1 , a2 ) een normaalvector van de rechte. De vector staat loodrecht op elke richtingsvector van de rechte. 0.4.8 Pythagoras Als u en v loodrecht op elkaar staan, dan vinden we voor het kwadraat van de lengte van de somvector u + v: k u + v k2 = (u + v, u + v) = (u, u) + 2(u, v) + (v, v) = (u, u) + (v, v) =k u k2 + k v k2 . Op dezelfde manier vinden we voor de verschilvector: k u − v k2 =k u k2 + k v k2 . Dit is een vectorvorm van de stelling van Pythagoras: de driehoek
18
Vectorrekening in dimensies 2 en 3 u + v
u −v v
v u
u
Figuur 8: Als u en v loodrecht op elkaar staan, dan gelden de gelijkheden k u + v k2 =k u k2 + k v k2 en k u − v k2 =k u k2 + k v k2 . De plaatjes illustreren de relatie met de stelling van Pythagoras. met als hoekpunten de (eind)punten 0, u en v is een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden ter lengte k u k en k v k. De schuine zijde, dat wil zeggen het lijnstuk dat u en v verbindt, heeft lengte gelijk aan k u − v k. Geef zelf een vergelijkbare interpretatie van k u + v k2 =k u k2 + k v k2 . 0.4.9 Voorbeeld. We bepalen de afstand van (het eindpunt van) p = (1, 2) tot de rechte ℓ : x = (8, 1) + λ(3, −4). Hiertoe zoeken we eerst een vector q op ℓ zodat p − q loodrecht op ℓ staat, dat wil zeggen loodrecht op a. Om q te vinden lossen we op: ((1, 2) − (8, 1) − λ(3, −4), (3, −4)) = 0 ofwel (−7) · 3 − 9λ + 1 · (−4) − 16λ = 0. Hieruit volgt dat λ = −1. Dus q = (5, 5). De afstand van p tot q is p (5 − 1)2 + (5 − 2)2 = 5. Dit is ook de afstand tussen p en de rechte ℓ: voor elke andere vector op ℓ blijkt de afstand tot p groter te zijn. Kijk maar. Is r een andere vector op ℓ, dan moeten we k p − r k en k p − q k vergelijken. Omdat p − q loodrecht staat op q − r (waarom?) kunnen we de stelling van Pythagoras toepassen op de driehoek met hoekpunten p, q en r. In vectortaal: we passen Pythagoras toe op de vectoren u = p − q, v = q − r en hun som u + v = p − r. We vinden dus: k p − r k2 =k p − q k2 + k q − r k2 . Kennelijk is k p − r k>k p − q k. We kunnen dus k p − q k met recht de afstand van p tot de rechte ℓ noemen.
0.5 Het uitproduct
19
q q
p r
p
r
Figuur 9: Om de afstand van p tot de rechte ℓ te bepalen zoeken we een vector q op ℓ zodat p − q loodrecht op ℓ staat. Is r een willekeurige andere vector op ℓ, dan illustreert het rechterplaatje dat de afstand tussen p en r groter is dan de afstand tussen p en q vanwege de stelling van Pythagoras.
0.5
Het uitproduct
0.5.1 Definitie van het uitproduct Het inproduct van twee vectoren is een getal. Er is echter ook een nuttige constructie, die bij twee vectoren in de ruimte een vector aflevert met bijzondere eigenschappen. We beperken ons hier tot een bespreking op het niveau van co¨ ordinaatvectoren ofwel een bespreking van de situatie in R3 . Het uitproduct v × w van de vectoren v = (v1 , v2 , v3 ) en w = (w1 , w2 , w3 ) is per definitie de vector (v2 w3 − v3 w2 , v3 w1 − v1 w3 , v1 w2 − v2 w1 ). Dit is een lastige uitdrukking die niet direct te doorgronden is. Het uitproduct v × w blijkt een vector te zijn die loodrecht staat op zowel v als w en waarvan de lengte gelijk is aan k v k · k w k · sin ϕ, waarbij ϕ de hoek (0 ≤ ϕ ≤ π) is tussen v en w. Bovendien is deze lengte gelijk aan de oppervlakte van het parallellogram opgespannen door v en w. Hier is een lijstje met eigenschappen die allemaal door uitschrijven te verifi¨eren zijn (er zijn nog meer eigenschappen, maar die voeren nu te ver). a) v × v = 0. b) Het uitproduct van v en w staat loodrecht op v en op w, dat wil zeggen het inproduct met deze twee vectoren is gelijk aan 0: (v × w, v) = 0 en (v × w, w) = 0.
20
Vectorrekening in dimensies 2 en 3 Deze eigenschap is handig om bijvoorbeeld, gegeven twee richtingsvectoren van een vlak, een normaalvector te bepalen. c) Antisymmetrie van het uitproduct: v × w = −(w × v).
w sin φ φ
v
Figuur 10: De lengte van het uitproduct van v en w is de oppervlakte van het parallellogram opgespannen door v en w. d) De lengte van het uitproduct in termen van de lengten van v, w en de hoek ϕ tussen v en w: k v × w k=k v k · k w k · sin ϕ. Dit is precies de oppervlakte van het parallellogram opgespannen door v en w (uit ‘lengte maal hoogte’, waarbij de lengte gelijk is aan k v k en de hoogte gelijk is aan k w k · k sin ϕ k). e) Relatie met vectoroptelling: u × (v + w) = u × v + u × w
en (v + w) × u = v × u + w × u.
f) Relatie met scalaire vermenigvuldiging: λ(v × w) = (λv) × w = v × (λw). De onderdelen b) en d) leggen het uitproduct van twee vectoren net niet helemaal vast: op grond van deze twee onderdelen kan het uitproduct nog twee kanten uitwijzen (loodrecht uit het vlak opgespannen door v en w). We zullen in de context van de ruimte aanduiden hoe je meetkundig kunt beschrijven naar welke kant het uitproduct wijst. In het algemeen blijkt namelijk het volgende te gelden: als de basis e1 , e2 , e3 z´o gekozen is dat
0.5 Het uitproduct
21
een kurketrekker die van e1 naar e2 gedraaid wordt in de richting van e3 beweegt, dan beweegt een kurketrekker die van v naar w gedraaid wordt in de richting van v × w. Beweegt de kurketrekker die van e1 naar e2 gedraaid wordt in de richting van −e3 , dan beweegt een kurketrekker die van v naar w gedraaid wordt in de richting van −v × w. 0.5.2 Over het bewijs van eigenschap d) Zoals gezegd volgen de bewijzen door uitschrijven met behulp van de definitie. Bij onderdeel d) moet je wel subtiel manoeuvreren om de gelijkheid voor elkaar te krijgen. Vandaar dat we hier het idee achter de berekening toelichten. Als je wilt bewijzen dat k v × w k=k v k · k w k · sin ϕ, is het handig om op de kwadraten over te stappen en aan te tonen dat k v × w k2 gelijk is aan k v k2 · k w k2 · sin2 ϕ. Als je hierin sin2 ϕ vervangt door 1 − cos2 ϕ, dan kom je op het spoor van het inproduct: k v k2 · k w k2 · sin2 ϕ =k v k2 · k w k2 ·(1−cos2 ϕ) =k v k2 · k w k2 −(v, w)2 . Wat je dus doet is, door uitschrijven bewijzen dat k v × w k2 gelijk is aan k v k2 · k w k2 −(v, w)2 , dus dat (v2 w3 − v3 w2 )2 + (v3 w1 − v1 w3 )2 + (v1 w2 − v2 w1 )2 gelijk is aan (v12 + v22 + v32 )(w12 + w22 + w32 ) − (v1 w1 + v2 w2 + v3 w3 )2 . Dat laten we aan de lezer over. 0.5.3 De inhoud van een parallellepipedum Is P een parallellepipedum opgespannen door de vectoren a, b en c, dan is axb c c cos φ
b
a
Figuur 11: De inhoud van het parallellepipedum is gelijk aan de absolute waarde van (a × b, c).
22
Vectorrekening in dimensies 2 en 3
de inhoud ervan uit te drukken met behulp van een in- en een uitproduct. Uitgangspunt is dat de inhoud gelijk is aan de oppervlakte van een basisparallellogram, laten we zeggen opgespannen door a en b, vermenigvuldigd met de hoogte. De oppervlakte van het parallellogram is gelijk aan k a × b k zoals we al zagen. Omdat a × b loodrecht staat op het parallellogram, is de hoogte gelijk aan de (lengte van de) projectie van c op a × b, dus aan de absolute waarde van k c k · cos ϕ waarbij ϕ de hoek is tussen c en a × b. De inhoud is dus k a × b k · k c k ·| cos ϕ| = |(a × b, c)|. Samengevat: de inhoud van het parallellepipedum opgespannen door de vectoren a, b en c is gelijk aan |(a × b, c)|. 0.5.4 Voorbeelden. a) Een normaalvector van het vlak V met parametervoorstelling x = (1, 2, 3) + λ(1, 2, 1) + µ(3, 1, 0) is (1, 2, 1) × (3, 1, 0) = (−1, 3, −5). Een vergelijking van het vlak is dus −x1 + 3x2 − 5x3 = d voor een of andere d. Vullen we (1, 2, 3) in, dan vinden we dat d = −10. Een vergelijking is dus −x1 + 3x2 − 5x3 = −10. b) De oppervlakte van de driehoek met hoekpunten (0, 0, 0), (1, 2, 1) en (2, −1, 3) is gelijk aan 1 1√ 1 65 . k (1, 2, 1) × (2, −1, 3) k= k (7, −1, −5) k= 2 2 2
0.6
Vectoren en meetkunde
0.6.1 Vectoren kunnen ook nuttig zijn bij het bestuderen van meetkundige kwesties. Met behulp van vectoren vertaal je meetkundige situaties naar vectorrekening. Op die manier komt de meer algebra¨ısche machinerie rondom vectoren tot je beschikking en dus weer een andere mogelijkheid om een probleem aan te pakken. 0.6.2 Zwaartelijnen in een driehoek Een bekende stelling uit de vlakke meetkunde spreekt uit dat de drie zwaartelijnen in een driehoek door ´e´en punt gaan. Een zwaartelijn in een driehoek is een rechte door een hoekpunt en door het midden van de tegenover dit hoekpunt liggende zijde van de driehoek.
0.6 Vectoren en meetkunde
23
C
1 (a + c) 2
A
1 (b + c) 2
1 (a + b) 2
B
Figuur 12: In driehoek △ABC gaan de drie zwaartelijnen door ´e´en punt. Van de middens van de zijden zijn de vectorbeschrijvingen aangegeven. Laat △ABC een driehoek zijn. De bij de hoekpunten horende vectoren geven we aan met a, b en c. Het midden van de zijde BC correspondeert 1 met de vector (b + c). Een parametervoorstelling van de zwaartelijn door 2 A is dan µ ¶ 1 x=a+λ (b + c) − a . 2 De twee andere zwaartelijnen hebben de parametervoorstellingen µ ¶ 1 x=b+µ (a + c) − b ¶ µ2 1 x=c+ρ (a + b) − c . 2 De vraag naar een gemeenschappelijk punt van de drie zwaartelijnen komt neer op de vraag of de parameters λ, µ en ρ z´o te kiezen zijn dat de drie parametervoorstellingen dezelfde vector opleveren. Het is niet moeilijk om in te zien dat als we voor λ, µ en ρ elk 2/3 kiezen, de drie parametervoor1 stellingen de vector (a + b + c) produceren. Het hiermee corresponderende 3 punt heet het zwaartepunt van driehoek △ABC. In feite levert de vectoraanpak meer op: het feit dat we voor de drie parameters de waarden 2/3 nodig hebben, laat zien dat het zwaartepunt elk van de drie linstukken van de zwaartelijnen binnen de driehoek verdeelt in de verhouding 2 : 1. Aan de vectorexpressie voor het zwaartepunt zien we dat het zwaartepunt een soort gemiddelde van de drie vectoren a, b en c is.
24
Vectorrekening in dimensies 2 en 3
0.6.3 Een parallellogram in een vierhoek Als tweede voorbeeld bekijken we een willekeurige vierhoek ABCD in het vlak, waarbij geen twee van de vier punten samenvallen. Laat E het midden zijn van AB, F het midden van BC, G het midden van CD en H het midden van AD. Uit het plaatje kun je de stelling al raden: vierhoek EF GH is een parallellogram (ongeacht de ligging van de punten A, B, C en D)!
C
G D
F H A
E
B
Figuur 13: De middens van de zijden van vierhoek ABCD vormen een parallellogram. Om deze stelling te bewijzen, zetten we onze vectoren weer in en vragen ons af wat we eigenlijk dienen te bewijzen. We moeten laten zien dat de zijden EF en HG parallel zijn en even lang. In vectortaal: e − f = ±(h − g), waarbij we de met de punten corresponderende vectoren op de gebruikelijke wijze aangeven. Eerst drukken we de vier vectoren e, f , g, h uit in de vectoren a, b, c, d: 1 1 1 1 e = (a + b), f = (b + c), g = (c + d), h = (a + d). 2 2 2 2 Hiermee werken we e − f en h − g uit: 1 1 1 e − f = (a + b) − (b + c) = (a − c) 2 2 2 en
1 1 1 h − g = (a + d) − (c + d) = (a − c). 2 2 2 Hieraan zien we dat we onze stelling bewezen hebben.
0.6 Vectoren en meetkunde
25
0.6.4 De hoogtelijnen van een driehoek gaan door ´ e´ en punt Een hoogtelijn in een driehoek is een rechte die door een hoekpunt gaat en bovendien loodrecht staat op de tegenover het hoekpunt liggende zijde. Met behulp van eigenschappen van het inproduct laten we zien dat de drie hoogtelijnen in driehoek △ABC door ´e´en punt gaan.
C
P
A
B
Figuur 14: De hoogtelijnen in driehoek △ABC gaan door ´e´en punt. De hoogtelijn uit B is gestippeld. Laat P het snijpunt van de hoogtelijnen uit A en uit C zijn en duid met p de bijbehorende vector aan. Er geldt dan p − a ⊥ b − c ofwel (p − a, b − c) = 0, p − c ⊥ a − b ofwel (p − c, a − b) = 0. We moeten nu aantonen dat p ook op de hoogtelijn uit B ligt, dus dat p − b loodrecht staat op a − c. In de volgende berekening herschrijven we het inproduct (p − b, a − c) met behulp van de gegevens tot 0. In de eerste stap brengen we p − a in de berekening door p − b te herschrijven als p − a + a − b en de expressie te zien als de som van p − a en a − b. Vervolgens passen we in de tweede stap de rekenregel (u + v, w) = (u, w) + (v, w) toe. In de derde stap vervangen we in de eerste term a − c door a − b + b − c. Zo ontstaat onder meer de term (p − a, b − c) die gelijk is aan 0 en dus geschrapt kan
26
Vectorrekening in dimensies 2 en 3
worden. Enz. (p − b, a − c) = (p − a + a − b, a − c) = (p − a, a − c) + (a − b, a − c) = (p − a, a − b) + (p − a, b − c) + (a − b, a − c) = (p − a, a − b) + (a − b, a − c) = (a − b, p − a + a − c) = (a − b, p − c) = 0. 0.6.5 Zodra we ook rotaties en spiegelingen in onze vectorrekening hebben ingebouwd, kunnen we nog meer situaties behandelen.
0.7
Aantekeningen
Dit hoofdstuk fungeert als een snelle inleiding in de vectormeetkunde: het gebruik van vectoren in meetkundige situaties. In Hoofdstuk 4 volgt een preciese introductie van het begrip vectorruimte. De technieken uit dit hoofdstuk zijn ook direct nuttig voor het vak Mechanica. De meeste begrippen in dit hoofdstuk zijn hier enigszins informeel ge¨ıntroduceerd. Die begrippen zult in steeds ruimere kaders terugzien bij vervolgvakken in uw studie, zowel bij analysevakken, algebravakken, als vakken uit de hoek van de kansrekening, statistiek en optimalisering.
0.8
Opgaven
§1 1 Teken, uitgaande van de vectoren u en v, de vectoren a. 2u + 3v, b. u − v. 2 Ga met behulp van de rekenregels voor vectoren na dat v 1 + ((v 2 + v 3 ) + v 4 ) = (v 2 + v 1 ) + (v 4 + v 3 ). §2 3 Gegeven zijn de (verschillende) vectoren u en v.
0.8 Opgaven
27
a. Waarom is x = u + λ(v − u) een parametervoorstelling van de rechte door u en v? b. Welke van de volgende uitdrukkingen is ook een parametervoorstelling van deze rechte? x = (1 − λ)u + λv, x = v + µ(u − v), x = 2v − u + ρ(u − v). c. Ga na of −2u + 3v op de rechte ligt. 4 Gegeven zijn de verschillende vectoren u, v, w (in de ruimte). a. Laat zien dat x = u + λ(v − u) + µ(w − u) een parametervoorstelling is van het vlak door u, v en w (waarbij we aannemen dat geen van de drie vectoren op de rechte door de andere twee ligt). b. Welke van de volgende uitdrukkingen is ook een parametervoorstelling van dit vlak? x = (1 − λ − µ)u + λv + µw, x = v + λ(v − u) + µ(w − u), x = u + λ(w − v) + µ(w − u). 5 De rechte ℓ heeft parametervoorstelling x = u + λ(v − u). a. Voor welke waarden van λ ligt x tussen u en v? b. Voor welke waarde van λ is x het midden van lijnstuk uv? c. Voor welke waarde van λ verdeelt x het lijnstuk uv in de verhouding 2 : 1? §3 6 Bepaal een parametervoorstelling van elk van de rechten in a) en b) en voor elk van de vlakken in c) en d). a. De rechte door (2, 1, 5) en (5, −1, 4). b. De rechte door (1, 2) en (2, 4).
28
Vectorrekening in dimensies 2 en 3 c. Het vlak door (1, 2, 2), (0, 1, 1) en (1, 3, 2). d. Het vlak dat zowel de rechte x = (−2, 1, 3) + λ(1, 2, −1) bevat als het punt (4, 0, 3).
7 Ga na of (3, 4, 0) op de rechte met parametervoorstelling x = (1, 2, 1) + λ(2, 2, −1) ligt. Zijn x = (3, 4, 0) + λ(2, 2, −1) en x = (1, 2, 1) + µ(−2, −2, 1) parametervoorstellingen van dezelfde rechte? 8 Bepaal een vergelijking voor elk van de volgende rechten. a. x = (1, 3) + λ(2, −1). b. x = (2, 2) + λ(1, −1). c. x = (3, 4) + λ(0, 2). 9 Bepaal een parametervoorstelling voor elk van de volgende rechten in R2 . a. 2x1 + 3x2 = 3. b. 3x1 − 4x2 + 7 = 0. c. 2x2 = 5. 10 Bepaal een vergelijking van elk van de volgende vlakken. a. x = (2, 0, 1) + λ(1, 0, 2) + µ(1, −1, 0). b. x = (1, 1, 1) + λ(1, 1, 0) + µ(0, 1, 1). c. x = λ(4, 1, 1) + µ(0, 1, −1). 11 Bepaal een parametervoorstelling voor elk van de volgende vlakken. a. x1 + x2 − 3x3 = 5. b. 2x1 + 3x2 + 5x3 = 0. c. x2 = 5. §4 12 Teken een vector u in het vlak met lengte 2. Schets alle vectoren in het vlak waarvan het inproduct met u gelijk is aan 1.
0.8 Opgaven
29
13 Toon met behulp van de rekenregels voor het inproduct aan dat geldt: a. (λu, µv) = λµ(u, v) voor alle vectoren u, v en scalairen λ en µ. b. (u + v, u − v) =k u k2 − k v k2 voor alle vectoren u en v. 14
a. Bepaal de lengte van de vector (−2, 2, 1). b. Bepaal de afstand tussen de vectoren (1, −1, 1) en (1, −4, 5). c. Bepaal de hoek tussen de vectoren (1, 1, 2) en (1, 1, −1). d. Bepaal het getal a z´o dat de vector (1, −2, a) loodrecht staat op de vector (3, 1, −1).
15 Bepaal in elk van de volgende gevallen een vergelijking van de rechte door het aangegeven punt en loodrecht op de gegeven rechte. Bepaal ook de afstand van het punt tot de rechte. a. P = (3, 2) en ℓ : x = (2, 1) + λ(1, −1). b. P = (1, 2) en ℓ : 3x1 − 4x2 = 20. 16 Het vlak V heeft vergelijking 2x − y + 2z = 18. a. Bepaal de afstand van (0, 0, 0) tot V . b. Het vlak W : 2x − y + 2z = 24 is parallel met V . Bepaal de afstand tussen V en W . §5 17 Gebruik het uitproduct om een normaalvector en een vergelijking van elk van de volgende vlakken te bepalen. a. x = (1, 2, 2) + λ(1, −1, 0) + µ(0, 1, 1). b. x = (2, 1, 0) + λ(1, 2, 0) + µ(0, 2, 3). 18 Bereken met behulp van het uitproduct: a. de oppervlakte van de driehoek met hoekpunten (1, 1, 0), (2, 1, 1), (1, 3, 3). b. de oppervlakte van de driehoek met hoekpunten (2, 0), (5, 1), (1, 4).
30
Vectorrekening in dimensies 2 en 3 c. de inhoud van het parallellepipedum opgespannen door (1, 1, 1), (2, 2, 3), (1, 0, 1).
§6 19 In 0.6.2 hebben we parametervoorstellingen van de drie zwaartelijnen gegeven. De waarden van de parameters die bij het gemeenschappelijke snijpunt horen, hebben we niet afgeleid, maar eenvoudigweg geponeerd. In deze opgave bekijken we hoe we je die parameterwaarden kunt afleiden. a) Laat zien dat snijden van de zwaartelijnen door A en door B leidt tot de vergelijking (2 − 2λ − µ)a + (λ − 2 + 2µ)b + (λ − µ)c = 0. b) Aan de vergelijking uit a) is voldaan als alle co¨effici¨enten gelijk zijn aan 0. Wat betekent dit voor λ en µ? Laat zien dat je op soortgelijke wijze aan de waarde van ρ kunt komen? c) Volgt noodzakelijkerwijs uit de vergelijking in a) dat de drie co¨effici¨enten gelijk moeten zijn aan 0? d) Bekijk onderdeel c) nog eens onder de aanname dat de oorsprong niet in het vlak van de driehoek ligt. 20 Zoals drie niet op ´e´en lijn gelegen punten een driehoek bepalen, zo bepalen vier niet in ´e´en vlak gelegen punten in de ruimte een viervlak. a) Definieer het begrip zwaartelijn in een viervlak ABCD naar analogie met het begrip zwaartelijn in een driehoek. b) Laat zien dat de vier zwaartelijnen in een viervlak door ´e´en punt gaan en beschrijf dit punt met vectoren. 21 De middelloodlijn van een lijnsegment is een rechte door het midden van het segment, die bovendien loodrecht staat op het segment. In deze opgave bewijzen we dat de drie middelloodlijnen in een driehoek door ´e´en punt gaan. Laat P , Q en R de middens zijn van achtereenvolgens de zijden BC, AC en AB van driehoek △ABC. a) Laat S het snijpunt zijn van de middelloodlijnen van AC en BC. Welke inproducten met de vectoren s − p en s − q zijn dan gelijk aan 0?
0.8 Opgaven
31 C
Q
P S
A
R
B
Figuur 15: De middelloodlijnen in een driehoek gaan door ´e´en punt. b) Bewijs dat s − r loodrecht staat op a − b. Conclusie? c) Een andere eigenschap van een middelloodlijn is dat voor elk punt op de middelloodlijn van een segment de afstanden tot de eindpunten van het segment gelijk zijn. Stel de parametervoorstelling op van de middelloodlijn van het segment AC en laat zien dat de afstand van elk punt op deze middelloodlijn tot A en tot C gelijk is.
0.8.1
Oefenen op tentamenniveau
22 (Januari 2007) Gegeven zijn de rechte ℓ: x = (3, 1, 2) + λ(1, 3, −2), de vector p = (6, 10, −4) en het vlak V met vergelijking x + y + z = 0. a) Laat zien dat p op ℓ ligt en bepaal het snijpunt van ℓ en V . b) De loodrechte projectie van de rechte ℓ op V (d.w.z. de verzameling loodrechte projecties op V van alle vectoren op ℓ) is een rechte. Bepaal een parametervoorstelling van deze rechte. 23 (Januari 2007) Gegeven is driehoek △ABC (de punten A, B en C liggen niet op ´e´en rechte). Punt P is het midden van BC en punt R is het punt op de rechte AB z´o dat A het midden is van lijnstuk BR. Bepaal met behulp van vectoren het snijpunt Q van de rechten P R en AC en laat zien dat AQ : QC = 1 : 2. 24 (Januari 2008) In R3 zijn gegeven de rechte ℓ: x = (3, 0, 3) + λ(1, −2, 2) en het vlak V : 2x + 2y + z = 0.
32
Vectorrekening in dimensies 2 en 3
a) Laat zien dat ℓ en V elkaar niet snijden. b) Bepaal de afstand van ℓ tot V . c) Het vlak W bevat ℓ en heeft ook (1, 0, 7) als richtingsvector. Bepaal een parametervoorstelling van de snijlijn van V en W . 25 (Januari 2008) In het platte vlak zijn twee verschillende rechten ℓ : x = λa en m : x = µb gegeven. De vectoren a en b hebben beide lengte 1. De vector p 6= 0 maakt gelijke hoeken met a en met b. Bereken voor elke (re¨ele) scalar α de loodrechte projecties van de vector α p op ℓ respectievelijk m en toon daarmee aan dat de afstand van α p tot ℓ gelijk is aan de afstand van α · p tot m.
