LINEÁRIS ALGEBRA

LINEÁRIS ALGEBRA • Bércesné Novák Ágnes • Honlap: http://digitus.itk.ppke.hu/~b_novak • Követelményrendszer: http://digitus.itk.ppke.hu/~b_novak/LA/2014_LA_kovetelmeny.docx

• Gauss elimináció • Vektoralgebra: • http://digitus.itk.ppke.hu/~b_novak/dmat/Vektorfolcop.pdf

Lineáris egyenletrendszerek GAUSS ELIMINÁCIÓ (kiküszöbölés)

Definíció: A lineáris egyenletrendszer (nevének megfelelően) lineáris egyenletekből áll. Lineáris az egyenlet, ha a benne szereplő ismeretlenek legfeljebb első hatványon szerepelnek. A lineáris egyenletrendszer általános alakja n≠m: Példa: a11x1+a12x2+ a13x3…a1nxn =b1 a21x1+a22x2+ a23x3…a2nxn =b2 a31x1+a32x2+ a33x3…a3nxn =b3 …

am1x1+am2x2+ am3x3…amnxn= bm

x1+ 2x2+ 3x3+ 4x4 = 5 6x1+ 7x2+ 8x3+ 9x4 = 10 11x1+12x2+ 13x3+14x4 =15 16x1+17x2+ 18x3+19x4= 20

Hol fordulnak elő egyenletrendszerek?

- Mindenhol , pl.: - Csillagászat: Gauss és a Ceres kisbolygó - Közgazdaságtani számítások - Biológiai számítások

- Fizikai számítások - Kémiai számítások

CSILLAGÁSZAT Lineáris egyenletrendszerek és a Ceres aszteroida 22 éjjel, 40 megfigyelés

Febr. 11., ELTŰNT! „Napárnyék” 22 éjjel, 40 megfigyelés (idő, szög1, szög2)

Guiseppi Piazzi Felfedezte a Ceres-t 1801, Jan. 1

Szeptemberben publikálta

← Carl Friedrich Gauss (24), Megoldotta a 17 egyenletből és 3 ismeretlenből álló rendszert GAUSS eliminációval Sir Isaac Newton → „Az ilyesfajta számítások a legnehezebbek az astronómiában”

← Gauss vázlata a Ceres pályájáról. Ceres képe a Hubble távcsővel→

KÖZGAZDASÁGTAN Vaszilij Leontief –NOBEL DÍJ 1973 közgazdaságtan USA gazdasági rendszere-250 000 adat 500 egyenlet 500 ismeretlen (redukálta 42-42-re): MARK II számítógép, lyukkártyás, 56 óra alatt oldotta meg  Maga program is több hónapi munka volt! Példa: Egy év alatt azt figyelték meg, hogy 1. 1 egységnyi szolgáltatáshoz ( 0.3 egységnyi saját terméket, 0.3 egységnyi energiát, és 0.3 egységnyi nyersanyagot használnak fel. 2. 1 egységnyi energia előállításához 0.4 egységnyi szolgáltatás, 0.1 egységnyi energia és 0.5 egységnyi nyersanyag szükséges. 3. 1 egységnyi nyersanyag előállítása pedig 0.3 egységnyi szolgáltatást, 0, 6 egységnyi energiát, és 0.2 egységnyi (egyéb) nyersanyagot igényel. Mennyit kell termelni az egyes szektorokban, hogy egyensúly legyen, ti. minden szektor elegendő forrással rendelkezzék?

Példa: Egy év alatt azt figyelték meg, hogy 1. 1 egységnyi szolgáltatáshoz ( 0.3 egységnyi saját terméket, 0.3 egységnyi energiát, és 0.3 egységnyi nyersanyagot használnak fel. 2. 1 egységnyi energia előállításához 0.4 egységnyi szolgáltatás, 0.1 egységnyi energia és 0.5 egységnyi nyersanyag szükséges. 3. 1 egységnyi nyersanyag előállítása pedig 0.3 egységnyi szolgáltatást, 0, 6 egységnyi energiát, és 0.2 egységnyi (egyéb) nyersanyagot igényel. Mennyit kell termelni az egyes szektorokban, hogy egyensúly legyen, ti. minden szektor elegendő forrással rendelkezzék? Tételezzük fel, hogy a model ZÁRT: nincsen egyéb forrás és rendszerből nem távozik el termék.

0.3 p1 0.4 p1 0.3 p1

 0.3 p 2  0.1 p 2  0.6 p 2

 0.3 p3   0.5 p3   0.2 p3 

p1 p2 p3

 p1  0.82t   p 2  0.92t  p t  3

KÖZÉPISKOLA Lineáris, kétismeretlenes egyenletrendszerek

1 közös pont Egy megoldás: X=0, y=-2 Az egyenletek konzisztensek

Nincs közös pont,az egyenesek párhuzamosak Nincs megoldás Inkonzisztens, ellentmondó egyenletek

Minden pont közös Végtelen sok megoldás Összefüggő (és konzisztens) egyenletek

A fenti tapasztalat általában is igaz: Minden lineáris egyenletrendszernek

(1) vagy pontosan egy megoldása van, (2) vagy végtelen sok megoldása van

(3) vagy nincs megoldása

Síkok helyzete a térben Bizonyítható,hogy az egyenesekhez hasonlóan a síkok egyenlete is a térben lineáris. 3 ismeretlenes lineáris egyenletrendszer 3 sík helyzetét írja le. Írja az ábrák alá a megfelelő állítás számát!

Minden lineáris egyenletrendszernek

(1) vagy pontosan egy megoldása van, (2) vagy végtelen sok megoldása van (3) vagy nincs megoldása

Példa: LÉPCSŐS ALAK ÉS MEGOLDÁSA

x  2 y  3z  9 y  3z  5 z  2

(1) (2) (3)

z2 y  3(2)  5 y  1

y  1

z2

x  2( 1)  3(2)  9 x  1

x  1, y  1, z  2

De ha nem lépcsős?! Akkor azzá tehető, hiszen: - Szabad egyenleteket felcserélni -

Nem nulla számmal szorozni

- Egyik egyenlet számszorosát a másikhoz hozzáadni Fentieket elemi sorműveleteknek nevezzük.

GAUSS ELIMINÁCIÓ: Sorműveletek segítségével az egyenletrendszert lépcsős alakra hozzuk

GAUSS ELIMINÁCIÓ:

Sorműveletek segítségével az egyenletrendszert lépcsős alakra hozzuk a11x1+a12x2+ a13x3…a1nxn =b1 a21x1+a22x2+ a23x3…a2nxn =b2 a31x1+a32x2+ a33x3…a3nxn =b3

α11x1+ α 12x2+ α13x3+… α 1nxn =1 α 22x2+ α23x3+… α 2nxn =2 α33x3+… α 3nxn =3

…

…

am1x1+am2x2+ am3x3…amnxn= bm

α mnxn=m

GAUSS ELIMINÁCIÓ: Az i. lépésben az aii segítségével nullázzuk az ALATTA levő aji (i<j) együtthatókat.

Példa:

x  2 y  3z  9  x  3y  4 2 x  5 y  5z  17

(1) (2) (3)

MO:: (1)  (2)  (2) Gauss: 1. lépés

x  2 y  3z  9 y  3z  5 2 x  5 y  5 z  17

(4) Gauss: 2. lépés

(1)  ( 2)  (3)  (3) x  2 y  3z  9 y  3z  5  y  z  1 (4)  (5)  (5)

Gauss: 2. lépés

(6)  12  (6)

x  2 y  3z  9 y  3z  5 2z  4

x



2y y

 

3z 3z z

  

9 5 2

Ezt meg már láttuk, hogy visszahelyettesítéssel hogyan lehet megoldani.

(5)

A MEGOLDÁS (1 db): (6)

x  1, y  1, z  2

Példa:

x1  3x2  x3  1 (1) 2 x1  x2  2 x3  2 (2) (3) x1  2 x2  3x3   1 MO: (1)  ( 2)  (2)  (2) (1)  ( 1)  (3)  (3) x1  3x2  x3  1 5 x 2  4 x3  0 ( 4) (5) 5 x 2  4 x3   2 ( 4)  ( 1)  (5)  (5) x1  3 x2  x3  1 5 x 2  4 x3  0 0  2

? 0= -2 ? → inkonzisztens rendszer !

Példa:

x2  x1   x1  3x2 MO: (1)  ( 2) x1  x2   x1  3x2 (1)  (3)  (3) x1  x2  3 x2  x1 x2

x2  x3 ,

x3  0 3 x3   1  1

(1) (2) (3)

3 x3   1 x3  0  1

(1) (2) (3)

3 x3 x3 3 x3  

 1  0  0 3x3 x3

 

(4) 1 Végtelen sok megoldás: x1  3t  1, 0

x1  1  3 x3

x2  t , x3  t ,

tR

Példa arra, hogy az ismeretleneket nem kell leírni:

x-2y+3z=1 2x+y+z=-3 -x+2y-2z=0 1 2 3 1 1 2 3 1 2 1 1 3  0 5 5 5 1 2  2 0 0 0 1 1