Lineární algebra. Vektorové prostory

Lineární algebra Vektorové prostory

Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326

Obsah

1

Vektorové prostory Aritmetický vektorový prostor Vlastnosti operací

Lineární kombinace a závislost vektorů Báze vektorového prostoru Vn

2

Příklady

3

Příklady pro samostatné studium

Lucie Doudová (UO Brno)

Lineární algebra

2 / 27

Obsah

1



2

Příklady

3



Lineární algebra

2 / 27

Obsah

1



2

Příklady

3



Lineární algebra

2 / 27

Vektorové prostory

Obsah přednášky

1



2

Příklady

3



Lineární algebra

3 / 27

Vektorové prostory

Aritmetický vektorový prostor


Definice Nechť R je množina reálných čísel. Utvořme množinu V n = R × R × · · · × R = Rn | {z } n krát

všech uspořádaných n-tic (a1 , . . . , an ) reálných čísel (kde ai ∈ R pro i = 1, 2, . . . , n). Každou uspořádanou n-tici nazveme aritmetickým vektorem, n jeho dimenzí. Vektory budeme značit ~ a = (a1 , . . . , an ). Další možnosti označení jsou a nebo a.


Lineární algebra

4 / 27

Vektorové prostory



Definice b = (b1 , . . . , bn ). Na množině Vn definujeme rovnost a operace Nechť ~ a = (a1 , . . . , an ), ~ sčítání vektorů a násobení vektoru reálným číslem následujícími axiomy: b jsou si rovny (píšeme ~ a=~ b), jestliže platí: A1: ~ a, ~ a1 = b1 , . . . , an = bn . A2: Součtem vektorů ~ a, ~ b rozumíme vektor, který značíme ~ a+~ b a platí: ~ a+~ b = (a1 + b1 , . . . , an + bn ). A3: Součinem vektoru ~ a s reálným číslem k rozumíme vektor, který značíme k~ a a platí: k~ a = (ka1 , . . . , kan ). Množinu Vn s takto definovanými operacemi nazýváme n-rozměrný reálný aritmetický vektorový prostor dimenze n, jeho prvky nazýváme aritmetickými vektory.


Lineární algebra

5 / 27

Vektorové prostory



Věta Nechť je dáno zobrazení Vn × Vn → Vn , které každé uspořádané dvojici vektorů b) ∈ Vn × Vn přiřazuje vektor ~ a+~ b ∈ Vn tak, že pro každé vektory ~ a, ~ b, ~ c ∈ Vn , platí: (~ a, ~ 1 ~ b=~ b+~ a, (komutativní zákon) a+~ 2

~ a + (~ b+~ c ) = (~ a+~ b) + ~ c , (asociativní zákon pro sčítání)

3

ke každému vektoru ~ a ∈ Vn existuje vektor o~ ∈ Vn tak, že platí ~ a + o~ = ~ a (vektor o~ = (0, . . . , 0) se nazývá nulový aritmetický vektor),

4

ke každému vektoru ~ a ∈ Vn existuje vektor −~ a ∈ Vn tak, že platí ~ a + (−~ a) = o~ (vektor −~ a se nazývá vektor opačný k vektoru ~ a).


Lineární algebra

6 / 27

Vektorové prostory



Věta Nechť je dáno zobrazení R × Vn → Vn , které každé uspořádané dvojici (r , ~ a ) ∈ R × Vn přiřazuje vektor r ~ a ∈ Vn tak, že pro každá reálná čísla r , s ∈ R a každé vektory ~ a, ~ b ∈ Vn , platí: 1

1~ a=~ a,

2

r (s~ a) = (rs)~ a, (asociativní zákon pro násobení vektoru číslem)

3

(r + s)~ a = r~ a + s~ a, (distributivní zákon) r (~ a+~ b) = r ~ a + r~ b. (distributivní zákon)

4


Lineární algebra

7 / 27

Vektorové prostory



Označení Vektory e~1 , . . . , e~n nazýváme jednotkové vektory e~1 = (1, 0, 0, . . . , 0) e~2 = (0, 1, 0, . . . , 0) .. . e~n = (0, 0, . . . , 0, 1)


Lineární algebra

8 / 27

Vektorové prostory

Lineární kombinace a závislost vektorů


Definice Vektor u~ ∈ Vn se nazývá lineární kombinací vektorů ~ a1 , . . . , ~ ar ∈ Vn (r ≥ 1), existují-li reálná čísla p1 , . . . , pr tak, že u~ = p1 ~ a1 + · · · + pr ~ ar . Příklady 1

Nulový vektor je lineární kombinací libovolných vektorů (volíme p1 = · · · = pr = 0).

2

Vektor u~ = (−7, −17) lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů a~1 = (1, 2), a~2 = (3, 7) ∈ V2 . u~ = 2a~1 − 3a~2 = 2(1, 2) − 3(3, 7) = (2, 4) − (9, 21) = (−7, −17)


Lineární algebra

9 / 27

Vektorové prostory



Příklad Ve V3 vyjádřete vektor u~ = (u1 , u2 , u3 ) jako lineární kombinaci vektorů e~1 = (1, 0, 0), e~2 = (0, 1, 0), e~3 = (0, 0, 1). u~ = (u1 , 0, 0) + (0, u2 , 0) + (0, 0, u3 ) = = u1 (1, 0, 0) + u2 (0, 1, 0) + u3 (0, 0, 1) = = u1 e~1 + u2 e~2 + u3 e~3 Poznámka Libovolný vektor u~ ∈ Vn lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů e~1 , e~2 , . . . , e~n .


Lineární algebra

10 / 27

Vektorové prostory



Příklad Zjistěte, zda vektor u~ = (−2, 1, 6) je lineární kombinací vektorů a~1 = (4, 0, −1) a a~2 = (2, 0, 5). u~ = p1 a~1 + p2 a~2 −2 = 4p1 + 2p2 1 = 0p1 + 0p2 6 = −1p1 + 5p2 Tato soustava zřejmě nemá řešení (viz druhá rovnice), proto vektor u~ není lineární kombinací vektorů ~ a1 , ~ a2 .


Lineární algebra

11 / 27

Vektorové prostory



Definice Nechť ~ a1 , . . . , ~ ar jsou vektory z vektorového prostoru Vn , r ≥ 1. Řekneme, že vektory ~ a1 , . . . , ~ ar jsou lineárně závislé (LZ), jestliže existují reálná čísla p1 , . . . , pr , z nichž alespoň jedno je různé od nuly, taková, že platí p1 ~ a1 + · · · + pr ~ ar = o~ . Pokud je tato rovnost splněna pouze pro p1 = · · · = pr = 0 nazývají se vektory ~ a1 , . . . , ~ ar lineárně nezávislé (LN).


Lineární algebra

12 / 27

Vektorové prostory



Příklad Zjistěte, zda jsou vektory e~1 = (1, 0), e~2 = (0, 1) lineárně závislé nebo nezávislé. p1 e~1 + p2 e~2 = o~ p1 (1, 0) + p2 (0, 1) = (0, 0) (p1 , 0) + (0, p2 ) = (0, 0) (p1 , p2 ) = (0, 0) ⇒ p1 = p2 = 0 Poznámka Vektory e~1 , . . . , e~n ∈ Vn jsou lineárně nezávislé.


Lineární algebra

13 / 27

Vektorové prostory


Lineární kombinace a závislost vektorů Věta Skupina vektorů ~ a1 , . . . , ~ ar ∈ Vn , r ≥ 2, je lineárně závislá právě když jeden z vektorů ~ a1 , . . . , ~ ar je lineární kombinací ostatních vektorů. Důkaz I. „⇒ÿ p1 ~ a1 + · · · + pr ~ ar = o~ p1 6= 0 :

p1 ~ a1 = −p2 ~ a2 − . . . − pr ~ ar p2 pr ~ a1 = − ~ a2 − . . . − ~ ar p1 p1

II. „⇐ÿ ~ a1 = p2 ~ a2 + · · · + pr ~ ar o~ = −~ a1 + p2 ~ a2 + · · · + pr ~ ar odtud p1 = −1 6= 0.


Lineární algebra

14 / 27

Vektorové prostory



Příklad Lze v prostoru Vn najít skupinu n + 1 lineárně nezávislých vektorů? p1 ~ a1 + · · · + pn ~ an + pn+1 ~ an+1 = o~

(1)

Vektorová rovnice (1) reprezentuje homogenní systém n rovnic o n + 1 neznámých (p1 , . . . , pn+1 ). Tento systém je řešitelný neboť hodnost matice soustavy je stejná jako hodnost rozšířené matice soustavy (přidáme pouze nulový sloupec) a má tedy nekonečně mnoho řešení ⇒ tedy má i nenulové řešení ⇒ LZ. Poznámka Je-li mezi vektory a~1 . . . , a~r některý vektor nulový, pak jsou tyto vektory LZ. Věta Maximální počet lineárně nezávislých vektorů ve Vn je n. (Skupina n + 1 vektorů je vždy lineárně závislá; neexistuje více než n lineárně nezávislých vektorů).


Lineární algebra

15 / 27

Vektorové prostory

Báze vektorového prostoru Vn


Definice Nechť a~1 , . . . , a~r jsou vektory z vektorového prostoru V . Jestliže lze libovolný vektor u~ ∈ V vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů a~1 , . . . , a~r , říkáme, že vektorový prostor je generován vektory a~1 , . . . , a~r a této množině vektorů říkáme množina generátorů vektorového prostoru V . Definice Množina n lineárně nezávislých generátorů vektorového prostoru Vn se nazývá báze vektorového prostoru. Definice Počet vektorů v libovolné bázi vektorového prostoru V se nazývá dimenze vektorového prostoru V a značí se dimV .


Lineární algebra

16 / 27

Vektorové prostory



Věta: Platí: 1

Vn má nekonečně mnoho bází

2

Každá báze ve Vn obsahuje právě n vektorů

3

Každý vektor u~ ∈ Vn lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů báze.

4

Je-li báze tvořena vektery ~ a1 , . . . , ~ an , pak u~ = p1 ~ a1 + · · · + pn ~ an . Čísla p1 , . . . , pn se nazývají souřadnice vektoru u~ v bázi B. Píšeme u~ = (p1 , . . . , pn )B .


Lineární algebra

17 / 27

Vektorové prostory



Poznámka Ortonormální báze: B0 = h~ e1 , . . . , e~n i. Je-li u~ = (u1 , u2 , . . . , un ), pak u~ = u1 e~1 + · · · + un e~n , tj. u~ = (u1 , u2 , . . . , un )B0 Není-li u souřadnic index báze uveden, předpokládáme, že jde o souřadnice vzhledem k ortonormální bázi B0 .


Lineární algebra

18 / 27

Vektorové prostory



Příklad Nalezněte souřadnice vektoru u~ = (7, −4) v bázi B = ha~1 , a~2 i, kde a~1 = (1, 3), a~2 = (−1, 2). u~ = p1 a~1 + p2 a~2 (7, −4) = p1 (1, 3) + p2 (−1, 2) 7 = p1 − p2 −4 = 3p1 + 2p2 tedy p1 = 2, p2 = −5. Souřadnice vektoru u~ v bázi B jsou tedy: u~ = (2, −5)B


Lineární algebra

19 / 27

Příklady

Obsah přednášky

1



2

Příklady

3



Lineární algebra

20 / 27

Příklady

Řešené příklady

Příklad Vektor u~ = (0, 1) vyjádřete jako lineární kombinaci vektorů ~ a1 = (−5, 2), ~ a2 = (3, 3). Řešení: u~ = p1 ~ a1 +p2 ~ a2 −5p1 + 3p2 = 0 2p1 + 3p2 = 1 Odečtením první rovnice od druhé dostáváme 7p1 = 1

⇒

a dosazením například do první rovnice: 1 −5 + 3p2 = 0 ⇒ 7 u~ =


p1 =

1 7

p2 =

5 21

1 5 ~ ~ a1 + a2 7 21

Lineární algebra

21 / 27

Příklady

Řešené příklady

Příklad ~ = (0, 2, 7) jsou lineárně Rozhodněte, zda dané vektory u~ = (1, 1, 1), ~ v = (3, 6, 9) a w závislé nebo lineárně nezávislé. Řešení: ~ = o~ p1 u~ + p2 ~ v + p3 w p1 + 3p2

=0

p1 + 6p2 + 2p3 = 0 p1 + 9p2 + 7p3 = 0 Z první rovnice máme p1 = −3p2 . Dosazením do zbývajících rovnic dostáváme: 3p2 + 2p3 = 0 6p2 + 7p3 = 0 Pokud nyní od druhé rovnice odečteme dvakrát první rovnici dostaneme: 3p3 = 0. Tedy p3 = 0. Postupným dosazováním vypočteme p2 a p3 . Soustava má jediné řešení a to p1 = p2 = p3 = 0 tedy vektory jsou lineárně nezávislé.


Lineární algebra

22 / 27

Příklady

Řešené příklady Příklad ~ i, kde u~ = (1, 1, 0), ~ Vektor ~ a = (3, 2, 4) vyjádřete v dané bázi Bh~ u, ~ v, w v = (0, 1, 1), ~ = (1, 0, 1). w p1 + p3 = 3 p1 + p2

=2

p2 + p3 = 4 Odečtením první rovnice od druhé dostáváme soustavu: p1 + p3 = 3 p2 − p3 = −1 p2 + p3 =

4

Nyní odečteme druhou rovnici od třetí rovnice: p1 + p3 =

3

p2 − p3 = −1 2p3 =

5

Z poslední rovnice vypočteme p3 = 25 . Postupným dosazováním dostáváme p2 = p1 = 12 . Tedy souřadnice vektoru ~ a v bázi B jsou ~ a = (1/2, 3/2, 5/2)B . Lucie Doudová (UO Brno)

Lineární algebra

3 2

a

23 / 27

Příklady

Příklady k procvičení

1

2

3

Určete vektor ~ v =~ a + 2~ b − 3~ c , který je lineární kombinací vektorů ~ a = (1, −1, 3), ~ b = (4, 0, −1), ~ c = (2, 3, 1). ~, Určete vektor ~ x , pro který platí: 2(~ x + u~) = 3~ v +w ~ = (0, 0, 2) kde u~ = (1, −3, 0), ~ v = (0, 2, 1), w Vektor ~ a vyjádřete jako lineární kombinaci ostatních vektorů. a) b) c)

4

~ a = (5, 1, 11), ~ b = (3, 2, 2), ~ c = (2, 3, 1), d~ = (1, 1, 3) ~ ~ = (1, 1, 1), ~ ~ = (0, 2, 7) a = (1, −2, 4), u v = (3, 6, 9), w ~ a = (1, −4, −6, −4), ~ b = (1, 3, 2, 1), ~ c = (1, −1, 3, 2), d~ = (2, −1 − 1, 3), e~ = (3, −2, −1, −1)

Vektor ~ a vyjádřete v dané bázi B. ~ i, u ~ = (1, 1, 0), ~ ~ = (1, 0, 1) a) ~ a = (3, 2, 4), B = h~ u, ~ v, w v = (0, 1, 1), w b) ~ a = (4, 6, 12, 6), B = hu~1 , u~2 , u~3 , u~4 i, kde u~1 = (2, 4, 8, 3), u~2 = (2, 3, 5, 3), u~3 = (−1, −1, −3, −2), u~4 = (1, 2, 4, 2)


Lineární algebra

24 / 27


Obsah přednášky

1



2

Příklady

3



Lineární algebra

25 / 27


Příklady pro samostatnou práci

Příklad 1: Najděte vektor u~ pro který platí: a) u~ = −3(−1, 2, 0) + (1, 3, −2) + 2(0, 3, 1) b − u~) − 2~ a, kde ~ a = (0, −1, 2, 3) a ~ b = (2, −3, 2, 0) b) ~ a + 2~ u = 3(~ Příklad 2: Rozhodněte, zda dané vektory jsou lineárně závislé nebo nezávislé. ~ = (1, 4, 2) a) u~ = (0, 2, 1), ~ v = (3, 2, 2), w ~ = (0, 2, 7) b) u~ = (1, 1, 1), ~ v = (3, 6, 9), w ~ Příklad 3: Vektor ~ a vyjádřete jako lineární kombinaci vektorů u~, ~ v, w ~ = (1, −2, 4) a) ~ a = (0, 2, 7), u~ = (1, 1, 1), ~ v = (3, 6, 9), w ~ = (2, 2, 4) b) ~ a = (−1, −4, −2), u~ = (1, 2, 4), ~ v = (1, −1, 1), w Příklad 4: Zapište souřadnice vektoru ~ a v bázi B ~ i, u~ = (2, 3, 3), ~ a) ~ a = (4, 11, 11), B = h~ u, ~ v, w v = (−1, 4, −2), ~ = (−1, −2, 4) w b) ~ a = (6, 2, 6, −7), B = hu~1 , u~2 , u~3 , u~4 i, u~1 = (1, 3, 2, 3), u~2 = (1, −1, 3, 2), u~3 = (−6, −6, 9, 3), u~4 = (−4, −4, 2, 8)


Lineární algebra

26 / 27

Konec

Následuje téma Matice.


Lineární algebra

27 / 27

Lineární algebra. Vektorové prostory

Recommend Documents