2013 HAN pabo Groenewoud Gerard Boersma
[ONTLUIKENDE ALGEBRA] [Type the abstract of the document here. The abstract is typically a short summary of the contents of the document. Type the abstract of the document here. The abstract is typically a short summary of the contents of the document.]
Inhoudsopgave Ontluikende algebra ......................................................................................................................... 3 Verantwoording ............................................................................................................................ 3 Inhoudsverkenning........................................................................................................................ 5 Doelen uit de toetsgids ................................................................................................................. 7 Doelen (didactisch)........................................................................................................................ 7 Lessuggesties .................................................................................................................................... 9 Materialen ..................................................................................................................................... 9 Lessuggesties ................................................................................................................................. 9 Werkmateriaal ‘Ontluikende algebra’ ......................................................................................... 12 Bibliography .................................................................................................................................... 22 Bijlage 1 Starter............................................................................................................................... 23
2
Ontluikende algebra Verantwoording
In dit ontwerp zijn de volgende ontwerpprincipes gehanteerd: 1. de wiskunde die aan de orde is verheldert en verdiept inhouden die wel direct zichtbaar zijn in de basisschool en de daarbij behorende didactiek (dit sluit aan bij de werkvorm ‘Wiskundig-didactisch practicum); 2. het ontwerp geeft zicht op de wiskunde die aan de horizon ligt, waarbij de horizon over de grens po-vo kan liggen (dit sluit aan op het idee van ‘horizon content knowledge’, goed uitgewerkt voor inhouden die zichtbaar zijn in de basisschool, minder uitgewerkt voor inhouden die dat niveau overstijgen); 3. er worden werkvormen gebruikt die een beroep doen op kennis en vaardigheden die van een leerkracht gevraagd worden, vergelijk Marcinek (Marcinek, 2012); 4. het ontwerp bevat extra handvatten voor docenten zonder of met beperkte wiskundige achtergrond.
Principe 1
De wiskunde van de basisschool die aan de orde is betreft het domein verbanden. Er is geen kerninzicht, zoals beschreven in Oonk et al. (2011) dat direct betrekking heeft op dit onderwerp. Indirect spelen kerninzichten die betrekking hebben op het domein meten een rol. Het gaat dan met name over het verband tussen grootheden. Ook daar is er geen kerninzicht voor geformuleerd. De inhouden sluiten aan bij de kerndoelen 23, 25, 27, 32 en 33 (SLO, 2009)
Kerndoel 23 De leerlingen leren wiskundetaal gebruiken. Groep 3/4: Modellen en schema's voor het uitdrukken van tellen en bewerkingen (bijv. busmodel). Groep 5/6: Modellen, schema's en grafieken voor het uitdrukken van verbanden/verloop (bijv. tabellen, lijngrafiek). Groep 7/8: Modellen, schema's en grafieken voor het uitdrukken van verbanden van tijd en afstand, groei, en andere tijdgebonden zaken (bijv. lijngrafiek, staafgrafiek: histogram).
Kerndoel 25 De leerlingen leren aanpakken bij het oplossen van rekenwiskundeproblemen te onderbouwen en leren oplossingen te beoordelen. Groep 7/8: onderbouwen en beoordelen van redeneringen op bijvoorbeeld de volgende gebieden: verbanden, zoals verhoudingen en samengestelde maten. Kerndoel 32: De leerlingen leren eenvoudige meetkundige problemen op te lossen. Groep 3/4: ontdekken en voortzetten van patronen
Kerndoel 27 De leerlingen leren de basisbewerkingen met gehele getallen in elk geval tot 100 snel uit het hoofd uitvoeren, waarbij optellen en aftrekken tot 20 en de tafels van buiten gekend zijn. 3
In het ontwerp spelen modellen die hierbij gebruikt wordt een rol: pijlenkettingen en machientjes.
Kerndoel 33 De leerlingen leren meten en leren te rekenen met eenheden en maten, zoals bij tijd, geld, lengte, omtrek, oppervlakte, inhoud, gewicht, snelheid en temperatuur. Hieronder worden allen die elementen van de leerlijn bij dit kerndoel genoemd die direct betrekking hebben op het verband tussen grootheden of op rekenregels en formules Groep 7/8: verkenning en oefening van het werken met de formule 'oppervlakte is lengte x breedte' voor het bepalen van de oppervlakte van rechthoekige objecten zoals een tuin, een muur of een kamer. verkenning van het bepalen van de inhoud van een balk en van de formule die daarbij gebruikt kan worden: 'lengte x breedte x hoogte'.
Principe 2
Het ontwerp richt zich met name op dit principe. In de starter bepaalt de student de volgorde waarin diverse opgave over rekenregels en formules op de basisschool en het voortgezet onderwijs aan de orde komen. Hij leert verschillende representaties voor eenzelfde verband waardoor het werken met formules, voor het grootste deel een inhoud uit het voortgezet onderwijs, meer betekenis en relevantie krijgt. Tot slot maakt hij kennis met de didactiek van algebra en leert dat aspecten daarvan al op de basisschool een rol spelen.
Principe 3
Dit principe speelt een ondergeschikte rol.
Principe 4
Er is een inhoudsverkenning en er zijn lessuggesties. Daarnaast zijn er uitwerkingen bij het practicum.
4
Inhoudsverkenning
De overgang tussen rekenen en algebra wordt gemarkeerd door de overgang van uitspraken over afzonderlijke gevallen naar overeenkomstige gegeneraliseerde uitspraken waarbij variabelen worden gebruikt (Flores, 2002). Amerom (2002, p. 20-24) geeft aan dat verschillen tussen rekenen en algebra te maken hebben met: betekenis van letters, concept bij uitdrukkingen (proces en product), redeneren met onbekenden. Zij constateert tevens dat een rekenkundige benadering van algebra goed aansluit bij het niveau van leerlingen in groep 8. Vanuit een geschiedkundige benadering onderscheidt zij drie fasen in de ontwikkeling: • Retorische fase: beschrijvingen in natuurlijke taal. • Gesyncopeerde fase: beschrijvingen vermengd met afkortingen en wiskundige symbolen. • Symbolische fase: de moderne algebraïsche symbolentaal. Deze drie fasen vinden we al in de basisschool, waarbij het werken met formules beperkt blijft tot formules voor omtrek en oppervlakte van rechthoeken en inhoud van balken. In sommige methodes wordt in groep 8 aandacht besteed aan formules voor omtrek en oppervlakte van een cirkel. Deze worden veelal vanuit het generaliseren van allerlei bijzondere gevallen opgesteld (Gravemeijer et al.,2007). In functionele situaties gaat het bij algebra om het verband tussen grootheden. Deze verbanden worden door leerlingen al op jonge leeftijd gelegd, bijvoorbeeld in groep 4 bij de fase van begripsvorming in de leerlijn tafels. Als 1 auto 4 wielen heeft dan hebben 5 auto’s 5 keer 4 wielen. Verbanden waarbij sprake is van een evenredig verband komen we tegen bij vermenigvuldigen, delen en verhoudingen. We zien hier gebruik van natuurlijke taal en wiskundige symbolen. Onder functionele contexten horen ook allerlei vuistregels, bijvoorbeeld de regel die het verband aangeeft tussen de tijd die verstrijkt tussen de bliksem en de donder en de afstand van het onweer, het uitrekenen van de BMI of vuistregels voor het berken van de verwachte lengte van een kind als de lengte van de ouders bekend is. In het referentiekader (Meyerink, 2009) staat dit type contexten met name bij niveau 2F en 3F. Bij niet evenredige verbanden gaat het om bijvoorbeeld het goedkoopste telefoonabonnement waarbij naast een vast bedrag per maand kosten per hoeveelheid belminuten moeten worden betaald. Vergelijkbaar van structuur is een situatie met voorrijkosten en uurloon voor de reparateur van de centrale verwarming. Verschillende voorstellingsvormen van een verband. Faarts et al. (2012) Nog uitwerken Van Amerom (2002) pleit ervoor het symboliseren een resultaat te laten zijn van activiteiten van leerlingen. Naast wiskundige symbolen voor bewerkingen gaat het ook om variabelen. Het begrip ‘variabele’ heeft de volgende aspecten (Drijvers, Streun, & Zwaneveld, 2013): 1. Plaatshouder: een lege plaats waar een getal voor kan worden ingevuld. 2. Veranderlijke: op het moment dat verschillende waarden in een in-uitvoermachientje worden ingevuld en gekeken wordt wat er gebeurt. 3. Generalisator: eigenschappen die voor alle waarden van de variabele geldig zijn. 5
4. Onbekende: getalswaarde die een vergelijking waar maakt. 5. Parameter: ‘veranderlijke constante’ Voorbeelden bij de eerste 4 aspecten uit de leerstof voor de basisschool: 1. Machientjes: er gaat een getal in en er komt een getal uit. 2. Er wordt gekeken wat er met de uitvoer van een x2 machientje gebeurt als de invoer telkens 1 wordt opgehoogd. 3. Formules die verbanden aangeven, bijvoorbeeld: oppervlakte rechthoek = lengte x breedte, oppervlakte cirkel = 2 x pi x straal2. 4. Stipsommen als: 2 + … = 5 ; 8 = 12 - …. Ook opgaven als: Jan is 2 keer zo oud als Piet. Samen zijn ze 99. Hoe oud is Jan? (Flores, 2002) beschrijft hoe geometrische representaties van relaties tussen getallen kunnen helpen bij de overgang van rekenen naar algebra. Tevens maakt hij duidelijk wat hierbij aandachtspunten zijn: • De overgang van uitspraken over afzonderlijke gevallen naar overeenkomstige gegeneraliseerde uitspraken waarbij variabelen worden gebruikt. • Het verschuiven van de focus op procedures naar eigenschappen van en relaties tussen getallen en bewerkingen. • De focus op de methode en het proces in plaats van op het antwoord. Deze aandachtspunten passen uitstekend binnen het realistisch reken-wiskundeonderwijs (Treffers, Moor, & Feijs, Proeve, 1989), waar ook eigen oplossingen en redeneringen van de leerlingen centraal staan alsmede het zoeken naar alsmaar efficienter werkwijzen en generaliseren, het zogenaamde verticaal mathematiseren. De geometrische representaties die Flores gebruikt zijn vooral rechthoeken en blokkenbouwsels. Beide representaties komen voor in het curriculum van de basisschool (Heuvel-Panhuizen, Buys, & Treffers, 2001; Gravemeijer, et al., 2007), waarbij uitsluitend het rechthoekmodel in de context van ontluikende algebra wordt ingezet. Neem het kwadraat van een heel getal, tel daar dat getal zelf en het daaropvolgende getal bij. Het resultaat is het kwadraat van dat volgende getal. Bijvoorbeeld: 42 + 4 + 5 = 52
Afbeelding 2 Meetkundige representatie van eigenschappen van getallen en bewerkingen
6
Het zogenaamde ‘Schieten op 100’ (Treffers, Het rekentheater, 2010ii) maakt duidelijk hoe verweven rekenen en ontluikende algebra kunnen zijn in een opleidingscontext waar het gaat om differentiëren aan de hand van verschil in oplossingsniveau en om productief oefenen. Kies 2 getallen onder 20, bijvoorbeeld 4 en 16. Het derde getal is de som van deze 2 getallen: 20 Het vierde getal is de som van het tweede en het derde getal: 36 Zo ontstaat een rij getallen. Zoek begingetallen waarbij je op 100 uitkomt. In dit voorbeeld: 4 – 16 – 20 – 36 – 56 – 92 – mis! Oplossingen van studenten (observatie GB) variëren van lukraak proberen tot een meer systematische aanpak: • Wat gebeurt er als ik het eerste getal 1 ophoog? • Wat gebeurt er als ik het tweede getal 1 ophoog? • Kan ik ook bij 100 beginnen en teruguit werken? Studenten hanteren niet uit zichzelf een algebraïsche aanpak waarbij voor het eerste en het tweede getal in de rij een variabele wordt gekozen. Na interventie van de docent in de nabespreking kan het merendeel van de studenten deze werkwijze wel volgen. Ziehier hoe een vraagstuk dat eind groep 4 op de basisschool al aan de orde kan worden gesteld voldoende uitdaging biedt voor volwassenen. Zeker als restricties worden losgelaten: breuken hanteren, negatieve getallen, schieten op 1000 of een andere getal.
Doelen uit de toetsgids
De student kan: • regelmaat herkennen in een getallenrij en die gebruiken bij berekeningen (waarbij eerst zo nodig herordend wordt); • bij het omrekenen van niet metrische maten een formule of omrekenregel gebruiken. • in alledaagse situaties in eenvoudige gevallen een formule construeren bij een verband tussen maten; • grafieken koppelen aan eenvoudige vergelijkingen of rekenregels en omgekeerd. • formele rekenregels (ook voor breuken) toepassen voor de 4 hoofdbewerkingen, ook wanneer in eenvoudige gevallen gerekend wordt met variabelen; • rekenregels in verhoudingstabel en dubbele getallenlijn toepassen en begrijpen, ook wanneer deze zijn aangeduid in variabelen; • met een gegeven formule en wanneer voldoende gegevens bekend zijn, de oppervlakte en inhoud berekenen.
Doelen (didactisch)
De student: • kent het verschil tussen rekenen en algebra; • kent didactische aandachtspunten bij de overgang van rekenen naar algebra; • herkent aspecten van het begrip variabele in opgaven; • kan ontluikende algebra bij leerlingen en lesmateriaal van de basisschool herkennen. 7
Didactische theorie en begrippen die wordt besproken: • Aspecten van het begrip variabele. • Fasen in de ontwikkeling van algebra. • Verschillende voorstellingvormen van een verband (tabel, grafiek, woordformule, pijlenketting, formule) en de vertaalvaardigheden. • Verschil tussen proces en objectbenadering van verbanden. • Rollen van formules: machientje of procedure, beschrijving van een verband, op zichzelf staand verband waarmee je kunt manipuleren.
8
Lessuggesties Materialen
Voldoende kopieën van het werkmateriaal. PowerPoint dia’s.
Lessuggesties Starter
Kaartjes (zie bijlage 1) met erop machientjes, pijlenkettingen, formules, grafieken. De vraag om ze te ordenen naar de groep of klas waar ze uit komen: groep 1/2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, vo klas 1 en vo klas 3. Eén van de conclusies die naar aanleiding van deze activiteit kunnen worden getrokken is dat (ontluikende) algebra al bij jonge kinderen naar voren komt.
Doelen
Met studenten de doelen bespreken voor deze les, zie hierboven. Je kunt dit ook na afloop doen, studenten hebben dan een duidelijker beeld van wat de doelen voorstellen.
Activiteiten
Handenschudvraagstuk Hoeveel keer worden handen geschud als ieder elkaar een hand geeft? Inventariseer oplossingen van studenten en leg de relatie tussen de oplossingen. Hieronder itwerkingen voor 25 studenten Mogelijke oplossingen: Verkleinen en zoeken naar regelmaat: Aantal studenten 1 Aantal keren handen schudden 0
2 1
3 3
Ieder student die erbij komt geeft natuurlijk iedere student die er al was een hand. Dus student n geeft n-1 handen. Stug doortellen naar 25 studenten. Tekenen, bijvoorbeeld bij 5 studenten: Student A begint en geeft 4 handen. B nog maar 3, C 2 en D 1. We zien hier de structuur van de vorige oplossing. Je ziet ook dat iedere student 4 handen geeft. Er zijn 5 studenten dus 20 handen. Alleen is alles 9
4 6
5 10
6 15
etc
dubbel geteld, dus 10. De sprong naar 25 studenten is nu makkelijk gemaakt: 25 studenten geven ieder 24 handen, en dan delen door 2: 300 handen. Laten we het aantal studenten n noemen, hoe kunnen we dan het aantal handen uitrekenen? In woorden: n vermenigvuldigen met n-1 en dan het resultaat delen door 2. In formulevorm: n x (n-1) : 2 of 1 2
jes wegwerken geeft x (n2 – n)
𝑛 𝑥 (𝑛−1) 2
1 2
of x n x (n-1). Hierbij kun je het x-teken weglaten. Haak-
In een tabel zijn de formules ook te herkennen: A
B
C
D
A
E
B
C
D
E
A B C D E
A B C D E
1 2
x n x (n-1)
1 2
x (n2 – n)
Oefening met stippenpatronen. Studenten zoeken verschillende representaties van het verband. Je kunt dit bv doen aan de hand van de app ‘Stippel-algebra opdrachten’: http://www.fisme.science.uu.nl/toepassingen/06006/ In de PowerPoint is een eenvoudig verband uitgewerkt. Vraag hierbij naar die figuur met 100 stippen. Een manier om dit te beredeneren is om de pijlenketting andersom te gebruiken: -1 en :2. Je ziet dan dat 100 en 100 stippen niet kunnen omdat het aantal oneven is. Als er tijd is kun je de app ‘Algebra pijlen’ demonsteren: http://www.fisme.science.uu.nl/toepassingen/02008/ Merk op dat het werken met formules nog geavanceerder kan met behulp van EXCEL. Je kunt laten dit laten zien aan de hand van het handenschudvraagstuk. Bouw de formules samen met de studenten op.
10
In nabespreking theorie aan oplossingen van studenten koppelen, zie PowerPoint, didactische doelen en inhoudsverkenning.
Practicum
Introductie van het practicum. Studenten werken er in groepen aan.
Verwerking
Leerlijnen: van rekenen naar algebra, van basisschool naar voortgezet onderwijs: http://www.fisme.science.uu.nl/wiskrant/artikelen/271/271september_dekker-wijers-spekzwaart.pdf Ga bij leerlingen in je groep na of ze zoeken naar algemene geldigheid van eigenschappen, of ze op zoek zijn naar patronen, welke woorden ze erbij gebruiken. Welke schriftelijke representaties gebruiken ze (indien van toepassing)? Schrijf 1 observatie uit en neem deze volgende les mee.
Meer oefenen
http://www.fisme.science.uu.nl/toepassingen/06006/ Som-som puzzel: http://www.fisme.science.uu.nl/toepassingen/00504/ Rekenmethodes voor vo.
11
Werkmateriaal ‘Ontluikende algebra’ Vuistregels
Geef de vuistregels weer met wiskundige symbolen. 1. De afstand van onweer in kilometer bereken je door de tijd in seconden tussen bliksemflits en donder te delen door 3. 2. Als je de lengte van de ouders in cm weet kun je de verwachte lengte van hun kind in cm berekenen: a. Voor een meisje tel je de lengte van de ouders op, deel je deze door 2 en trekt je 3 af van het resultaat. b. Voor een jongen tel je de lengte van de ouders op, deel je deze door 2 en telt je er 9 bij op. 3. De body mass index (BMI) bereken je door je gewicht in kg te delen door het kwadraat van je lengte in m.
Formules bij meten
Oppervlakte en inhoud Oppervlakte cirkel = πr2
Inhoud/volume bol =
Omtrek cirkel = 2πr
Oppervlakte bol = 4πr2
4 πr3 3
4. Een fietswiel heeft een straal van 35 cm. Hoe groot is de omtrek van het wiel? 5. Een strandbal heeft een straal van 30 cm. Hoe groot is de oppervlakte en het volume van de bal. 6. Vertaal de formule voor oppervlakte van een cirkel naar een pijlenketting. 7. De oppervlakte van een cirkelvormige trampoline is 15 m2. Hoe groot is de diameter van de trampoline? Gebruik de pijlenketting in omgekeerde richting. De inhoud van een cilinder = oppervlakte grondvlak x hoogte 8. Bereken de inhoud van een cilinder met een diameter van 10 cm en een hoogte van 20 cm.
12
Graden Fahrenheit naar Celsius en andersom 5 9
Temperatuur in Celsius = x (temperatuur in Fahrenheit – 32) 9. 10. 11. 12.
Hoeveel °C is 90°F? Vertaal de formule naar een pijlenketting. Hoe ziet de pijlenketting van Celsius naar Fahrenheit er uit? Hoe ziet de formule van Celsius naar Fahrenheit er uit?
Controle bv hier: http://www.lenntech.nl/calculatoren/temperatuur/temperatuur.htm
Niet metrische maten 13. Maak een formule om de ene maat naar de andere maat om te rekenen. Bijvoorbeeld gallons naar liters en andersom. 1 gallon = 3,785 l (Amerika) 1 inch = 2,5 cm 1 foot = 30,5 cm 1 mile = 1,6 km
Rekenregels met breuken en variabelen 14.
𝑎 𝑏
+
a.
15.
𝑎 2
b.
×
3 𝑏
3𝑎 2𝑏 𝑎 3
2𝑎 5
=
b.
=
b.
𝑎+3 2𝑏
2𝑎 6
c.
c.
𝑎+3 𝑏2
𝑎2 5
d.
d.
𝑎+3 𝑏
𝑎2 6
16. Bedenk zelf zo’n opgave met uitwerking inclusief foutieve antwoorden. 1 7
1 8
1 𝑛
17. Wat is meer: of ? Hoe weet je dat? Wat is meer: of
1 𝑛+1
? Hoe weet je dat?
Rekenregels in verhoudingstabel met variabelen.
18. Wat staat er op de lege plaats? a *a 5 25 b 19. Bedenk zelf zo’n opgave en geef de uitwerking. 13
b + 10
Rekenvolgorde
20. Marijke is lid van de fitnessclub. Ze betaalt € 30,- per maand en € 2,- per keer dat ze gaat sporten. Met welke formule kan Marijke berekenen hoeveel ze per maand moet betalen? a. Kosten per maand = (30+2) x aantal keren sporten b. Kosten per maand = 30 x aantal keren sporten + 2 c. Kosten per maand = 30 + 2 x aantal keren sporten
Theorie
21. Welk aspect van het variabelebegrip herken je in opgaven met formules over meten? Welke aspecten in de opgaven over rekenregels met breuken en variabelen? • • • • •
Plaatshouder. Veranderlijke. Generalisator. Onbekende. Parameter.
22. Welke fase in de ontwikkeling van algebra herken je bij: a. rekenregels in verhoudingstabel en variabelen; b. rekenvolgorde; c. graden Fahrenheid naar Celsius en andersom? • • •
Beschrijvingen in natuurlijke taal. Beschrijvingen vermengd met afkortingen en wiskundige symbolen. De moderne algebraïsche symbolentaal.
23. Een aantal verbanden is beschreven met een mengeling van afkortingen en wiskundige symbolen. Sommige zijn met alleen wiskundige symbolen beschreven. Bedenk beschrijvingen in natuurlijke taal en bespreek deze.
14
Uitwerkingen Vuistregels
Geef de vuistregels weer met wiskundige symbolen. 1. De afstand van onweer in kilometer bereken je door de tijd tussen bliksemflits en donder te delen door 3. Bijvoorbeeld: Afstand (km) = tijd (s) : 3 2. Als je de lengte van de ouders in cm weet kun je de verwachte lengte van hun kind in cm berekenen: a. Voor een meisje tel je de lengte van de ouders op, deel je deze door 2 en trekt je 3 af van het resultaat. Bijvoorbeeld: Lengte meisje (cm) = (lengte vader (cm) + lengte moeder (cm)) : 2 - 3 b. Voor een jongen tel je de lengte van de ouders op, deel je deze door 2 en telt je er 9 bij op. Bijvoorbeeld: Lengte jongen (cm) = (lengte vader (cm) + lengte moeder (cm)) : 2 + 9 3. De body mass index (BMI) bereken je door je gewicht in kg te delen door het kwadraat van je lengte in m. BMI = gewicht (kg) : (lengte (m))2 of BMI =
Formules bij meten
𝑔𝑒𝑤𝑖𝑐ℎ𝑡(𝑘𝑔) 𝑙𝑒𝑛𝑔𝑡𝑒 (𝑚))2
Oppervlakte en inhoud Oppervlakte cirkel = πr2
Inhoud/volume bol =
Omtrek cirkel = 2πr
Oppervlakte bol = 4πr2
4 πr3 3
4. Een fietswiel heeft een straal van 35 cm. Hoe groot is de omtrek van het wiel? Omtrek = 2 x π x 35 ≈ 220 cm 5. Een strandbal heeft een straal van 30 cm. Hoe groot is de oppervlakte en het volume van de bal.
15
Oppervlakte = 4 x π x 302 = 3600 x π ≈ 11.310 cm2 ≈ 1,13 m2. Volume =
4 3
x π x 303 = 36.000 x π ≈ 113.097 cm3 ≈ 113 dm3.
6. Vertaal de formule voor oppervlakte van een cirkel naar een pijlenketting.
straal
x straal
x π
7. De oppervlakte van een cirkelvormige trampoline is 15 m2. Hoe groot is de diameter van de trampoline? Gebruik de pijlenketting in omgekeerde richting. De omgekeerde pijlenketting is: :π
Oppervlakte
15
√ 4,775
:π
√
2,19
Toelichting bij de pijlenketting: 15 : π ≈ 4,775 ; √4,775 (reken verder met het getal dat in het venster van je rekenmachine staat) ≈ 2,19 ; De straal is dus ongeveer 2,19 m. De diameter is ongeveer 4,37 m. De inhoud van een cilinder = oppervlakte grondvlak x hoogte 8. Bereken de inhoud van een cilinder met een diameter van 10 cm en een hoogte van 20 cm. Inhoud cilinder = oppervlakte grondvlak x hoogte = π x r2 x hoogte = π x 52 x 20 ≈ 1571 cm3.
Graden Fahrenheit naar Celsius en andersom 5 9
Temperatuur in Celsius = x (temperatuur in Fahrenheit – 32) 9. Hoeveel °C is 90°F? Temperatuur in °C =
5 9
x (90 – 32) =
5 9
x 58 ≈ 32
10. Vertaal de formule naar een pijlenketting. Temperatuur in Fahrenheit
16
-32
x
5 9
11. Hoe ziet de pijlenketting van Celsius naar Fahrenheit er uit? Temperatuur in Celsius
5 9
:
+ 32
12. Hoe ziet de formule van Celsius naar Fahrenheit er uit? 5 9
Temperatuur in Fahrenheit = (Temperatuur in Celsius : ) + 32 Of:
9 5
Temperatuur in Fahrenheit = (Temperatuur in Celsius x ) + 32 Controle bv hier: http://www.lenntech.nl/calculatoren/temperatuur/temperatuur.htm
Niet metrische maten 13. Maak een formule om de ene maat naar de andere maat om te rekenen. Bijvoorbeeld gallons naar liters en andersom. 1 gallon = 3,785 l (Amerika); inhoud (gallon) = inhoud (liter) x 3,785 1 inch = 2,5 cm ; lengte (inch) = lengte (cm) x 2,5 1 foot = 30,5 cm ; lengte (foot) = lengte (cm) x 30,5 1 mile = 1,6 km ; afstand (mile) = afstand (km) x 1,6
Rekenregels met breuken en variabelen 𝑎 𝑏
14.
c.
+
3 𝑏
3𝑎 2𝑏
=
b.
𝑎+3 2𝑏
c. 𝑎 𝑏
Noemers zijn gelijk, dus +
krijg
5 je: 9
+
15.
3 9
𝑎 2
d.
=
×
5+3 𝑏 𝑎 3
2𝑎 5
=
b.
2𝑎 6
c.
𝑎+3 𝑏2
3 𝑏
𝑎2 5
=
d. 𝑎+3 𝑏
d.
𝑎2 6
𝑎+3 𝑏
Vul voor a en b eens een getal in, bv a = 5 en b = 9, dan
𝑎 𝑎 𝑎 × 𝑎 𝑎2 × = = 6 2 3 2 ×3
16. Bedenk zelf zo’n opgave met uitwerking inclusief foutieve antwoorden. Laat iemand anders je uitwerking controleren.
17
1 7
1 8
1 𝑛
17. Wat is meer: of ? Hoe weet je dat? Wat is meer: of 1 7
8 gelijke 1 . 𝑛
1 8 1 stukken. 𝑛 is
is meer dan , bijvoorbeeld omdat bij dus meer
1 dan 𝑛+1
1 7
1 𝑛+1
? Hoe weet je dat?
een eenheid in 7 gelijke stukken is verdeeld en bij
omdat bij
1 𝑛+1
1 8
in
de eenheid in 1 stuk meer is verdeeld dan bij
Rekenregels in verhoudingstabel met variabelen. 18. Wat staat er op de lege plaats? a 5 25
*a b
b + 10
De verhouding a : 5 moet gelijk zijn aan de verhouding tussen het antwoord en 25. Op de lege plaats staat dus 5a. 𝑎 𝑏
*Noem de lege plaats n. Dan geldt: =
𝑛 𝑏+10
Dus: 𝑛 =
19. Bedenk zelf zo’n opgave en geef de uitwerking.
𝑎×(𝑏+10) 𝑏
=
𝑎𝑏+10𝑎 𝑏
=𝑎+
10𝑎 𝑏
Laat iemand anders je uitwerking controleren.
Rekenvolgorde
20. Marijke is lid van de fitnessclub. Ze betaalt € 30,- per maand en € 2,- per keer dat ze gaat sporten. Met welke formule kan Marijke berekenen hoeveel ze per maand moet betalen? a. Kosten per maand = (30+2) x aantal keren sporten b. Kosten per maand = 30 x aantal keren sporten + 2 c. Kosten per maand = 30 + 2 x aantal keren sporten
c is het goede antwoord.
18
Theorie
21. Welk aspect van het variabelebegrip herken je in opgaven met formules over meten? Welke aspecten in de opgaven over rekenregels met breuken en variabelen? • • • • •
Plaatshouder. Veranderlijke. Generalisator. Onbekende. Parameter.
Bij meten vooral plaatshouder (je kunt een getal in de formule invullen en kijken wat er uit komt) en generalisator (geeft het verband aan tussen de grootheden). Bij rekenregels met breuken en variabelen vooral plaatshouder. Je kunt een getal invullen voor de variabele en dan moet het kloppen 22. Welke fase in de ontwikkeling van algebra herken je bij: a. rekenregels in verhoudingstabel en variabelen (moderne symbolentaal) b. rekenvolgorde (mengvorm); c. graden Fahrenheid naar Celsius en andersom (mengvorm) • • •
Beschrijvingen in natuurlijke taal. Beschrijvingen vermengd met afkortingen en wiskundige symbolen. De moderne algebraïsche symbolentaal.
23. Een aantal verbanden is beschreven met een mengeling van afkortingen en wiskundige symbolen. Sommige zijn met alleen wiskundige symbolen beschreven. Bedenk beschrijvingen in natuurlijke taal en bespreek deze. Geen uitwerkingen, je bespreekt je eigen uitwerking met een andere student.
19
Vraagstukken
Hier staat een aantal vraagstukken dat je kunt gebruiken om vanuit specifieke gevallen te zoeken naar algemene geldigheid van een regel. Neem het kwadraat van een positief geheel getal, tel daar het getal zelf en het erop volgende getal bij op. Het resultaat is het kwadraat van dat volgende getal. Bijvoorbeeld: 42 + 4 + 5 = 52
Neem een oneven geheel getal, kwadrateer het en trek 1 af van het resultaat. Het resultaat is deelbaar door 8. Bijvoorbeeld: 92 – 1 = 81 – 1 = 80 N is een even getal. De lengte van de rechthoek is 2 groter dan de breedte en even. Dat betekent dat zowel de lengte als de breedte deelbaar is door 2 en de lengte of de breedte deelbaar door 4. Hun product is dus deelbaar door 8.
Vermenigvuldig 4 opeenvolgende hele getallen. Tel 1 bij het resultaat op. Het resultaat is een kwadraat. Bijvoorbeeld: 3 x 4 x 5 x 6 + 1 = 360 + 1 = 361 = 192 Het product van het eerste en laatste getal is altijd 2 minder dan het product van het tweede en derde getal. En (n-1)(n+1) + 1 = n2 wat ook in te zien is met het rechthoeksmodel. 20
21
Bibliography Drijvers, P., Streun, A. v., & Zwaneveld, B. (2013). Handboek wiskundedidactiek. Utrecht: Epsilon. Faarts, J., Goris, T., Konings, T., Monquil, A., & Soto y Koelemeijer, G. (2012). Algebra voor leerlingen van 12-16. Utrecht: APS. Flores, A. (2002). Geometric Representations in the Transition from Arithmatic to Algebra. Representations and Mathematics Visualisation - Part 1 , pp. 9-29. Meyerink. (2009). Referentiekader Taal en Rekenen. Enschede. Treffers, A. (2010ii). Het rekentheater. Amsterdam/Antwerpen: Atlas. Vakcommissie. (2013). Toetsgids pabo rekenen-wiskunde. Zanten, M. v., Barth, F., Gool, A. v., & Keijzer, R. (2009). Kennisbasis Rekenen-Wiskunde voor de lerarenopleiding basisonderwijs. Den Haag: HBO-raad.
22
Bijlage 1 Starter De afbeeldingen worden gebruikt in de starter. Per groepje studenten 1 set. Print ze, knip ze op in afzonderlijke opgaven en stop ze door elkaar in 1 envelop per set. De opgaven komen uit De Wereld in Getallen en Moderne Wiskunde. In de PowerPoint staat aangegeven uit welk leerjaar de opgaven komen.
23
