Lineáris algebra Gyakorló feladatok 2012. október 31.
1. Feladat: Határozzuk meg
2a, −4b,
2 c 3
és
a − b − 2c
vektorokat, ha
a = (10; −2; 5; 1; 3) b = (0; 2; −1; −1; 1) c = (−2; 0; 5; −3; 1) . 2. Feladat: Határozzuk meg
2 ||a||, || − 4b||, ha, ci 3
és
ha − b; 2c + bi
kifejezések értékét, ha
a = (10; −2; 5; 1; 3) b = (0; 2; −1; −1; 1) c = (−2; 0; 5; −3; 1) . 3. Feladat: Adjuk meg
a = (3; 1; 4; ) , b = (0; 2; 5) , c = (1; 5; 3) vektorok
λ1 = 2
λ3 = −5
λ2 = 4
együtthatókkal képzett lineáris kombinációját. 4. Feladat: Bizonyítsuk be, hogy az alábbi vektorok lineárisan függetlenek.
c1 = (5; 0; −1) 5. Feladat: Állítsuk el® a
P1 (x) = 3x2 ,
c2 = (0; 4; 3)
Q(x) = 3x2 + 8x
polinomot a
P2 (x) = 2x + 6,
polinomok lineáris kombinációjaként.
1
c = (7; 1; 1)
P3 (x) = x2 + 4
6. Feladat: Vizsgáljuk meg,hogy az alábbi vektorok lineárisan összefügg®ek vagy függetlenek-e. Ha összefügg®ek írjuk fel az egyik vektort a másik kett® lineáris kombinációjaként. (a)
b1 = (2; −1; 3; 4)
b2 = (1; 2; 1; −1)
b3 = (−1; 0; 1; 0)
(b)
a1 = (4; −3; 2; 1)
a2 = (1; 2; 0; −4)
a3 = (11; −11; 6; 7)
7. Feladat: Vizsgáljuk meg, hogy az alábbi vektorok egy
3
dimenziós
vektorteret alkotnak-e.
1 b1 = 2 5 8. Feladat: Állítsuk el®
3 b2 = 5 −4 b
vektort
a1
és
a2
−1 1
−3 b3 = 2 1 vektorok lineáris kombináci-
ójaként., ha
8 5
b=
a1 =
9. Feladat: Állítsuk el®
a
vektort
a2 =
b1 , b2
és
b3
−4 0
vektorok lineáris kombi-
nációjaként., ha
−6 a = −2 24
1 b1 = 2 5
3 b2 = 5 −4
−3 b3 = 2 1
10. Feladat: Legyen
5 1 3 A = −2 10 −1 1 3 4 Határozzuk meg
0 2 −1 4 B= 5 3 5 3 0
2A + B, A − 3B
és
AT − 2BT
mátrixokat.
11. Feladat: Legyen
A=
2 2 1 5
Határozzuk meg
B=
4 7 2 1
C=
2A − B + 4C, 3BT − A + 2CT , 2
1 1 −1 0
mátrixokat.
12. Feladat: Legyen
A=
2 2 1 5
Határozzuk meg
B=
4 7 2 1
AB, BT ACT , A2
és
C=
(CT )3
1 1 −1 0
mátrixokat.
13. Feladat: Legyen
1 0 A= 2 3 −2 5 X
Határozzuk meg azt az
4 −2 B = 0 10 1 −4 3A − X = 4B
mátrixot, amelyre
teljesül.
14. Feladat: Legyen
A=
0 1 2 1 −5 3
Határozzuk meg
B=
5 −1 0 −2
1 1 C = 0 10 2 3
AB + C, AT B + C, CBT + AT
és
BCT + A
mát-
rixokat.
AB, BA, ACT
15. Feladat: Határozzuk meg
és
CBT
5 A = 10 −4
B=
3 2 −6
szorzatokat,ha
C=
10 2 4 0 4 2
.
16. Feladat: Legyen
A=
2 2 1 5
Határozzuk meg
B=
4 7 2 1
C=
det(BC), det(ABT + CT )
17. Feladat: Határozza meg az
A=
AB
és
1 0 2 1 −2 −1
3
BT AT
1 1 −1 0
determinánsok értékeit.
mátrixokat, ha
x B= y z
18. Feladat: Legyen
Határozzuk meg
A=
5 1 1 1
és
B=
0 2 2 3
.
det(2B − 3A), det(AB), det(A2 ) és det(AT A) érté-
két. 19. Feladat: Milyen
λ
valós számra van megoldása a
det (A − λI) = 0
egyenletnek, ha
A= és
I
a
2×2
1 6 7 2
egységmátrix.
20. Feladat: Jelentse
A
egy lineáris egyenletrendszer mátrixát és
vített mátrixát. Határozzuk meg
AB
,
BA, BT A
és
A2
B
a b®-
mátrixokat,
ha
3x1 − 5x2 = 0 . x1 + 2x2 = 2 21. Feladat: Jelentse
A
egy lineáris egyenletrendszer mátrixát és
vített mátrixát. Határozzuk meg
det(A2 )
B
a b®-
determináns értékét, ha
x1 + x3 = 1 x1 + 2x2 − x3 = 0 x1 + x2 − x3 = 2 22. Feladat Lineáris egyenletrendszerek megoldásánál Gauss-módszerrel az eliminálást befejeztük és a következ® táblázatokat kaptuk.Olvassuk le a megoldásokat.
(a) Táblázat
x1
x2
x3
b
2 0
-2
3
0
1
-6
5
0
0
2
4
x1
x2
x3
b
1
5
3
3
0
-1
3
2
0
0
0
0
x1
x2
x3
b
3
4
1
3
0
3
0
0
0
0
0
0
(b) Táblázat
(c) Táblázat
4
(d) Táblázat
x1
x2
x3
b
1
-2
-3
3
0
0
0
0
0
3
1
4
23. Feladat: Lineáris egyenletrendszerek megoldásánál Gauss-Jordan módszerrel a következ® táblázatokat kaptuk. Fejezzük be az eliminálást és olvassuk le a megoldásokat. (a) Táblázat
x1
x2
x3
b
2
-2
3
0
0
1
-6
5
0
0
2
4
(b) Táblázat
x1
x2
x3
b
1
4
5
2
0
-1
3
-1
0
2
-6
2
x1
x2
x3
b
1
2
3
5
0
3
0
3
0
4
0
4
x1
x2
x3
b
1
-2
-3
3
0
0
0
0
0
3
1
4
(c) Táblázat
(d) Táblázat
24. Feladat: Oldja meg Gauss vagy Gauss-Jordan eliminációval a következ® egyenletrendszert!
2x1 + x2 − x3 = 1 3x1 + x2 + x3 = 8 4x1 − x2 = 2 Megoldás:
x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3
5
25. Feladat: Határozzuk meg
λ
értékét úgy, hogy következ® mátrixnak
legyen inverze.
1 2 0 −2 −3 λ 0 λ 4 λ 6= ±2,
Megoldás: Ha
akkor létezik inverz.
26. Feladat: Határozza meg a következ® mátrix inverzét!
3 2 −3 −1
27. Feladat: Határozzuk meg a következ® mátrix inverzét.
0 2 0 0 3 A= 0 7 −4 5 A
28. Feladat: Az
mátrix egyik sajátértéke
λ = 4.
Határozzuk meg a
mátrix ezen sajátértékéhez tartozó sajátvektorát.
2 0 3 0 4 0 0 2 1 29. Feladat: Az alábbi vektorok közül válasszuk ki azokat, amelyek az
A
mátrix sa játvektorai, ha
A=
3 3 1 5
,
√ 15 2 √ a= , b = −5 2
és
c=
4 3
30. Feladat: Határozzuk meg a következ® mátrix sajátértékeit.
Megoldás:λ1
=2
és
−4 −2 −3 1
λ2 = −5
31. Feladat: Határozzuk meg a következ® mátrix sajátértékeit és sajátvektorait.
3 0 0 0 1 0 0 0 −2
Megoldás: A sajátértékek:
λ1 = 3, λ2 = 1
és
λ3 = −2.
A sajátvektorok:
sλ1
1 0 0 = t 0 , sλ2 = t 1 , sλ3 = t 0 , t 6= 0 0 0 1 6
1.
Összetett feladatok
32. Feladat: Milyen
a
esetén van pontosan egy megoldása a következ®
egyenletrendszernek?
ax1 − 5x3 = 0 5x1 − x2 + 2x3 = 0 2x1 − x2 + ax3 = 0 Megoldás:
a ∈ R,
de
a 6= −1, a 6= 3
33. Feladat: Oldja meg Gauss vagy Gauss-Jordan eliminációval a következ® egyenletrendszert!
x1 x1 −x1 3x1 Megoldás:
+ − + −
x2 x2 x2 x2
− x3 + x3 + x3 − 3x3
= 17 = 13 = 7 = 3
x1 = 15, x2 = 12, x3 = 10
34. Feladat: Oldja meg Gauss vagy Gauss-Jordan eliminációval a következ® egyenletrendszert!
x1 + 2x2 − x3 = 0 2x1 − x2 + x3 = 0 −x1 + 3x2 − 4x3 = −5 Megoldás:
x1 = − 21 , x2 = 32 , x3 =
5 2
35. Feladat: Oldja meg Gauss vagy Gauss-Jordan eliminációval a következ® egyenletrendszert!
2x1 3x1 5x1 2x1
+ x2 − 2x2 + x2 − x2
− x3 + 2x3 − x3 + x3
+ x4 + 3x4 + 2x4 − 3x4
= 1 = 2 = −1 = 4
Megoldás: Az egyenletrendszernek nincs megoldása. 36. Feladat: Oldja meg Gauss vagy Gauss-Jordan eliminációval a következ® egyenletrendszert!
x1 − x2 + x3 = 5 −2x1 + x2 + x3 = −3 −x1 − x2 + 5x3 = 9 Megoldás:
x1 = −2 + 2x3 , x2 = −7 + 3x3 , x3 ∈ R 7
37. Feladat: Oldja meg Gauss vagy Gauss-Jordan eliminációval a következ® egyenletrendszert!
x1 + x2 + x3 = 0 2x1 − x2 − x3 = 0 −x1 + 4x2 − 5x3 = 0 Megoldás:
x1 = x2 = x3 = 0
38. Feladat: Oldja meg Gauss vagy Gauss-Jordan eliminációval a következ® egyenletrendszert!
x1 2x1 3x1 x1 Megoldás:
+ 3x2 − x2 − 5x2 + 17x2
+ + + +
2x3 3x3 3x3 4x3
= = = =
0 0 0 0
x1 = x2 = x3 = 0
39. Feladat: Oldja meg Gauss vagy Gauss-Jordan eliminációval a következ® egyenletrendszert!
2x1 x1 3x1 x1 Megoldás:
− x2 − x2 + x2 + 2x2
+ 3x3 − 2x3 + 2x3 − x3
+ x4 + 3x4 − x4 − 2x4
= = = =
0 0 0 0
x1 = −x3 , x2 = 3x3 , x3 ∈ R, x4 = 2x3
40. Feladat: Oldja meg Gauss vagy Gauss-Jordan eliminációval a következ® egyenletrendszert!
x1 + x2 2x1 − 3x2 − 5x2 3x1 − 2x2 Megoldás:
− x3 + 2x3 + 4x3 + x3
+ x4 − x5 + 2x4 − x5 + x5 + 3x4 − 2x5
= = = =
0 0 0 0
x1 = 4x2 − 3x3 − x4 , x2 , x3 , x4 ∈ R, x5 = 5x2 − 4x3
41. Feladat: Határozzuk meg a következ® mátrix inverzét!
−2 0 −2 2 3 −1 4 2 1 Megoldás:
5 6
− 23 1 −1 1 −1 4 2 −3 3 −1
8
42. Feladat: Határozzuk meg a következ® mátrix sajátértékeit és sajátvektorait.
4 1 1 0 0 −2 0 1 1
Megoldás: A sajátértékek:
λ1 = −1, λ2 = 2
és
λ3 = 4.
A sajátvektorok:
s λ1
1 −1 1 1 , sλ3 = t 0 , t 6= 0 = t −10 , sλ2 = t 5 1 0
9
