´ UNIVERZITA V OPAVEˇ SLEZSKA Matematicky´ u´stav v Opaveˇ Na Rybnı´cˇku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNI´ STUDIUM
ALGEBRA Te´ma 5: Vektorove´ prostory Za´kladnı´ pojmy Vektorovy´ prostor nad polem P, rea´lny´ (komplexnı´) vektorovy´ prostor, prˇirozena´ ba´ze vektorove´ho prostoru P n , linea´rnı´ za´vislost a neza´vislost vektoru˚, ba´ze, dimenze; vektorove´ prostory konecˇne´ dimenze; sourˇadnice vektoru, matice prˇechodu mezi ba´zemi. Podprostor, genera´tory podprostoru, linea´rnı´ obal, podprostor urcˇeny´ soustavou homogennı´ch linea´rnı´ch rovnic; pru˚nik U ∩ V , soucˇet U + V podprostoru˚ U a V , prˇ´ıma´ suma U ⊕ V vektorovy´ch prostoru˚. Za´kladnı´ tvrzenı´ Steinitzova veˇta a jejı´ du˚sledky, veˇta o dimenzi soucˇtu a pru˚niku podprostoru˚. Za´kladnı´ u´lohy Rozhodnutı´ o linea´rnı´ za´vislosti a neza´vislosti, transformace sourˇadnic vektoru, urcˇenı´ podprostoru genera´tory / soustavou linea´rnı´ch rovnic, nalezenı´ ba´ze podprostoru, urcˇenı´ pru˚niku a soucˇtu podprostoru˚. Za´kladnı´ vzorce L(u 1 , . . . , u n ) ≡ [[u 1 , . . . , u n ]] = {a 1 u 1 + · · · + a n u n ; a i ∈ P} U + V = {u + v; u ∈ U, v ∈ V } pro vektorove´ podprostory U, V ⊆ W dim(U ∩ V ) + dim(U + V ) = dim U + dim V dim(W1 ⊕ W2 ) = dim W1 + dim W2 pro vektorove´ prostory W1 , W2 . Oznacˇenı´ R[x] vektorovy´ prostor polynomu˚ promeˇnne´ x s rea´lny´mi koeficienty C[x] vektorovy´ prostor polynomu˚ promeˇnne´ x s komplexnı´mi koeficienty. R∞ vektorovy´ prostor vsˇech posloupnostı´ rea´lny´ch cˇ´ısel C∞ vektorovy´ prostor vsˇech posloupnostı´ komplexnı´ch cˇ´ısl
1. Cvicˇenı´ Kontrolnı´ ota´zky 1. Definujte vektorovy´ prostor nad polem P. 2. Ukazˇte, zˇe kazˇde´ pole P je vektorovy´m prostorem nad P. 3. Mu˚zˇe by´t pra´zdna´ mnozˇina vektorovy´m prostorem?
Te´ma 5: Vektorove´ prostory
ALGEBRA
4. Definujte strukturu vektorove´ho prostoru na jednoprvkove´ mnozˇineˇ. Urcˇete jeho dimenzi. 5. Popisˇte vektorove´ prostory R, R2 , Rk nad R; C, C2 , Ck nad R resp. nad C; 6. Popisˇte vektorove´ prostory R[x], R∞ nad R, C[x], C∞ nad C. 7. Je-li V vektorovy´ prostor nad polem P, definujte vektorovou strukturu na mnozˇineˇ V n = |V × V{z . . . × V}. n−kra ´t 8. Definujte linea´rnı´ kombinaci vektoru˚, linea´rnı´ za´vislost a neza´vislost, mnozˇinu genera´toru˚ vektorove´ho prostoru. 9. Definujte ba´zi a dimenzi vektorove´ho prostoru, rozeberte take´ nekonecˇneˇrozmeˇrny´ prˇ´ıpad. 10. Ukazˇte, zˇe vektory 1, i ∈ C jsou linea´rneˇ neza´visle´ nad R, ale linea´rneˇ za´visle´ nad C. 11. Jakou dimenzi ma´ prostor C nad R a nad C? 12. Jakou dimenzi majı´ prostory R2 , Rk nad R; C2 , Ck nad R resp. nad C? Uved’te nejme´neˇ 2 ru˚zne´ ba´ze u kazˇde´ho z teˇchto prostoru˚. 13. Urcˇete dimenzi vektorove´ho prostoru Rn [x] polynomu˚ jedne´ neurcˇite´ stupneˇ ≤ n nad R a alesponˇ jednu jeho ba´zi. 14. Jakou dimenzi ma´ prostor R[x] polynomu˚ jedne´ neurcˇite´ nad R? Nalezneˇte k linea´rneˇ neza´visly´ch vektoru˚ pro kazˇde´ k ∈ N. 15. Je mnozˇina vsˇech polynomu˚ stupneˇ n s rea´lny´mi koeficienty vektorovy´ podprostor R[x]? 16. Jaky´ nejmensˇ´ı pocˇet vektoru˚ generuje vektorovy´ prostor konecˇne´ dimenze n? 17. Jaky´ nejveˇtsˇ´ı pocˇet linea´rneˇ neza´visly´ch vektoru˚ existuje ve vektorove´m prostoru konecˇne´ dimenze n? 18. Definujte podprostor vektorove´ho prostoru W , definujte pru˚nik U ∩V a soucˇet U +V podprostoru˚ U, V ⊆ W . 19. Definujte linea´rnı´ obal podmnozˇiny a podprostor generovany´ syste´mem vektoru˚. 20. Patrˇ´ı vektor (1, 1, 0, 1) do podprostoru v R4 generovane´ho vektory (1, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 0)? Sve´ tvrzenı´ dokazˇte. 21. Jake´ genera´tory ma´ podprostor U + V , ma´-li podprostor U resp. V genera´tory u 1 , . . . , u k resp. v1 , . . . , vl ? Co mu˚zˇeme rˇ´ıci o jeho dimenzi? 22. Udejte prˇ´ıklad podprostoru v R[x] dimenze 1, 2 resp. 3. 23. Udejte prˇ´ıklad vlastnı´ho podprostoru v R[x] nekonecˇne´ dimenze. 24. Pro ktera´ α, β ∈ R urcˇuje rovnice 2x 1 + 3x 2 + αx 3 = β podprostor v R3 ? 25. Jaky´ nejmensˇ´ı pocˇet linea´rnı´ch rovnic vymezuje v Rn podprostor dimenze k ≤ n? 26. Jakou soustavou rovnic je urcˇen podprostor U ∩ V v Rn , je-li podprostor U resp. V urcˇen soustavou rovnic a ij x j = 0 resp. bij x j = 0. 27. Uved’te soustavu homogennı´ch rovnic vymezujı´cı´ podprostor v R4 generovany´ vektorem (1, 1, 0, 0). 28. Ukazˇte, zˇe rovnice x 1 + x 2 + · · · + x k = 0 vymezuje podprostor v Rk . Jakou ma´ dimenzi? Uved’te neˇjakou jeho ba´zi. 29. Bud’ A neˇjaka´ matice nad R typu m/n. Porovnejte jejı´ hodnost s dimenzı´ podprostoru v Rm generovane´ho rˇa´dky matice A. Zdu˚vodneˇte. Prˇ´ıklady 1. Ukazˇte, zˇe v kazˇde´m vektorove´m prostoru V platı´ (−1)v = −v, 0v = 0 pro kazˇde´ v ∈ V . Na´vod: Upravte v + (−1)v.
2
Te´ma 5: Vektorove´ prostory
ALGEBRA
2. Ukazˇte, zˇe v kazˇde´m vektorove´m prostoru V nad T pro kazˇde´ v ∈ V, t ∈ T platı´ tv = 0 ⇒ (t = 0 nebo v = 0). 3. Ukazˇte, zˇe vektor u je linea´rneˇ za´visly´ ⇔ u = 0. 4. Bud’te u 1 , u 2 linea´rneˇ neza´visle´ vektory. Ukazˇte, zˇe vektory u 1 + u 2 , u 1 − u 2 jsou take´ linea´rneˇ neza´visle´. 5.
a) Je pravda, zˇe jsou-li x, y, z linea´rneˇ neza´visle´ vektory, pak take´ vektory x + y, y + z, z + x jsou linea´rneˇ neza´visle´? b) Jake´ podmı´nky musı´ splnˇovat rea´lne´ cˇ´ıslo ξ , aby vektory (ξ, 1, 0), (1, ξ, 1), (0, 1, ξ ) z R3 byly linea´rneˇ za´visle´? Jak tomu bude, zameˇnı´me-li R3 za Q3 ? c) Urcˇete ξ tak, aby vektory (1, 1, 1), (1, ξ, ξ 2 ) v R3 byly linea´rneˇ neza´visle´. d) V ba´zi {e1 , e2 , e3 , e4 } 4-rozmeˇrne´ho vektorove´ho prostoru V jsou da´ny vektory ξ = (1, 0, 0, 0), η = (1, 1, 0, 0), λ = (1, 1, 1, 0), κ = (1, 1, 1, 1). Vysˇetrˇete, zda ξ, η, λ, κ je ba´ze V . Nalezneˇte dveˇ ba´ze prostoru V , ktere´ nemajı´ zˇa´dny´ vektor spolecˇny´, a prˇitom prvnı´ obsahuje vektory ξ , η a druha´ vektory λ, κ.
6. Bud’te u 1 , u 2 , . . . , u k linea´rneˇ neza´visle´ vektory, bud’ v vektor takovy´, zˇe vektory u 1 , u 2 , . . . , u k , v jsou linea´rneˇ za´visle´. Ukazˇte, zˇe v je linea´rnı´ kombinacı´ vektoru˚ u 1 , . . . , u k . 7. Popisˇte vektorovy´ prostor R nad Q. 8.
a) Rozhodneˇte, zda mnozˇina vsˇech matic typu m/n s operacemi scˇ´ıta´nı´ matic a na´sobenı´ matice cˇ´ıslem, je vektorovy´ prostor. V kladne´m prˇ´ıpadeˇ urcˇete jeho dimenzi a nalezneˇte ba´zi. b) Rozhodneˇte, zda mnozˇina vsˇech cˇtvercovy´ch matic rˇa´du n s operacı´ na´sobenı´ matic a na´sobenı´ matice cˇ´ıslem, je vektorovy´ prostor.
9. Necht’V je mnozˇina vsˇech usporˇa´dany´ch dvojic rea´lny´ch cˇ´ısel. Pro libovolne´ prvky x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) z V a libovolny´ skala´r α ∈ R klademe: x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 ), αx = (αx1 , 0), −x = (−x1 , −x2 ) Je V prˇi takto definovany´ch operacı´ch vektorovy´ prostor? ∞ , x ∈ C, vyhovujı´cı´ podmı´nce 10. Uvazˇujme mnozˇinu vsˇech posloupnostı´ komplexnı´ch cˇ´ısel x = {xi }i=1 i P∞ 2 ´ nı´ posloupnostı´ a na´sobenı´ posloupnosti komplexnı´m cˇ´ıslem i=1 |x i | < ∞. Definujeme operace scˇ´ıta takto: ∞ , x + y = {xi + yi }i=1
∞ . α · x = {α · xi }i=1
Uvedenou mnozˇinu s operacemi + a · oznacˇme l 2 . Ukazˇte, zˇe l 2 je vektorovy´ prostor a urcˇete jeho dimenzi. (Na´vod: Vyuzˇijte Minkowske´ho nerovnost |ξ + η|2 ≤ 2(|ξ |2 + |η|2 ), kterou dokazˇte. 11. Oveˇrˇte prˇ´ımy´m vy´pocˇtem, zˇe vektory (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0) tvorˇ´ı ba´zi prostoru R3 . 12. Oveˇrˇte prˇ´ımy´m vy´pocˇtem, zˇe vektory 1 + i, 1 − i tvorˇ´ı ba´zi vektorove´ho prostoru C nad R. Jake´ sourˇadnice ma´ komplexnı´ cˇ´ıslo a + bi v te´to ba´zi? Jake´ sourˇadnice majı´ vektory 1 + i, 1 − i v te´to ba´zi? 13. Uvazˇujme mnozˇinu R4 vsˇech cˇtverˇic rea´lny´ch cˇ´ısel s obvykly´mi operacemi scˇ´ıta´nı´ cˇtverˇic a na´sobenı´ cˇtverˇice rea´lny´m cˇ´ıslem. Dokazˇte, zˇe R4 je vektorovy´ prostor, a zˇe mnozˇiny a) (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1) b) (0, 2, 3, 1), (−1, 3, 3, 1), (1, 1, 1, 1), (2, 1, −3, 5) tvorˇ´ı jeho ba´ze. Urcˇete slozˇky vektoru (0, 2, 3, 1) v ba´zi (a), slozˇky vektoru˚ z (b) v ba´zi (b) a slozˇky vektoru (−2, 0, 3, 1) v ba´zi (a) a v ba´zi (b). 14. Urcˇete vsˇechny hodnoty parametru α pro neˇzˇ jsou vektory (1, 1, 1), (1, α, 1), (2, 2, α) linea´rneˇ za´visle´. (Na´vod. Vyuzˇijte vlastnosti determinantu˚.) 15. Charakterizujte vsˇechny podprostory a) rea´lne´ho vektorove´ho prostoru R, 3
Te´ma 5: Vektorove´ prostory
ALGEBRA
b) komplexnı´ho vektorove´ho prostoru C, c) rea´lne´ho vektorove´ho prostoru C. 16. Rozhodneˇte, zda mnozˇina L = {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn | x1 + x2 + · · · + xn = 0} je podprostor v Rn . (Na´vod: Urcˇete dimenzi soucˇtu dany´ch podprostoru˚.) 17. Rozhodneˇte, zda na´sledujı´cı´ mnozˇiny tvorˇ´ı vektorove´ podprostory v R[x] W = { f ∈ R[x]; f (1) = 0}, W = { f ∈ R[x]; f (0) = 1}, W = {ax 3 + bx + c; a, b, c ∈ R}. Vy´sledky: ano, ne, ano. 18. Nalezneˇte ba´zi vektorove´ho podprostoru v R4 generovane´ho vektory (a) (1, 5, 6, 7), (2, 3, 5, 7), (1, 3, 4, 5), (3, 2, 5, 8) (b) (0, 2, 2, 1), (3, 5, 8, 4), (2, 4, 6, 3), (1, 3, 4, 2) Na´vod: Sestavte matici z uvedeny´ch rˇa´dkovy´ch vektoru˚, prˇeved’te ji na schodovity´ tvar, a vynechte nulove´ ˇra´dky. 19. Ukazˇte, zˇe na´vod k prˇedchozı´mu prˇ´ıkladu je spra´vny´. Na´vod: Ukazˇte, zˇe elementa´rnı´ rˇa´dkove´ u´pravy nemeˇnı´ linea´rnı´ obal mnozˇiny rˇa´dkovy´ch vektoru˚. 20. Urcˇete pru˚nik podprostoru˚ U, V ∈ R6 generovany´ch vektory U : u 1 = (1, 3, 7, −1, 0, 1), V : v1 = (2, −1, −2, 0, 3, 1),
u 2 = (2, 5, 2, 0, 1, −1) v2 = (5, 7, 7, −1, 4, 1)
Na´vod: Hledejte vsˇechna αi , βi , pro neˇzˇ α1 u 1 + α2 u 2 = β1 v1 + β2 v2 . P 21. Bud’ da´na soustava linea´rnı´ch homogennı´ch rovnic kj=1 ai, j x j = 0, ai, j ∈ R. Ukazˇte, zˇe mnozˇina vsˇech rˇesˇenı´ (x1 , . . . , xk ) tvorˇ´ı vektorovy´ podprostor v Rk . 22. Nalezneˇte ba´zi vektorove´ho podprostoru v R3 vymezene´ho soustavou rovnic 3x1 + 2x2 + 5x3 = 0 2x1 + x2 − x3 = 0 23. Nalezneˇte soustavu homogennı´ch rovnic vymezujı´cı´ podprostor v R5 s genera´tory (1, 3, 4, 2, 1), (3, 5, 8, 4, 3), (5, −1, 4, 2, 5). 24. Dokazˇte, zˇe vektory (1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 1) a vektory (2, −1, 3, 3), (0, 1, −1, −1) generujı´ ty´zˇ podprostor v R4 . Na´vod: Hledejtete dimenzi soucˇtu teˇchto podprostoru˚. 25. Dokazˇte, zˇe R4 je prˇ´ımy´m soucˇtem podprostoru˚ U, V generovany´ch vektory (1, 2, 1, 2), (2, 0, 2, 0) a (1, 1, 3, 3), (5, 5, −1, −1). Na´vod: Spocˇteˇte dim(U + V ), dim(U ∩ V ). 26. Ve vektorove´m prostoru V dimenze 6 jsou da´ny podprostory L 1 , L 2 . Urcˇete ba´zi a dimenzi teˇchto podprostoru˚ a zjisteˇte, zda jeden z nich nenı´ podprostorem druhe´ho: L 1 = [[(2, 1, 1, 0, 0, 1), (2, 2, 1, 1, 0, 0), (2, −1, 1, −2, 0, 3)]] L 2 = [[(0, 1, 0, 1, 0, −1), (4, 2, 2, 0, 0, 2), (1, 1, 0, 2, 1, 0)]] ([[]] oznacˇuje linea´rnı´ obal, vektory jsou zapsa´ny pomocı´ slozˇek v pevneˇ zvolene´ ba´zi). 4
Te´ma 5: Vektorove´ prostory
ALGEBRA
27. Necht’ L 1 , L 2 jsou podprostory v cˇtyrˇrozmeˇrne´m vektorove´m prostoru V . Urcˇete ba´zi a dimenzi L 1 + L 2 , L 1 ∩ L 2 , je-li L 1 = [[(1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 1)]] L 2 = [[(1, 0, 1, 0), (0, 2, 1, 1), (1, 2, 1, 2)]] 28. Vektory e10 , e20 , e30 majı´ v ba´zi e1 , e2 , e3 tyto sourˇadnice: e10 = (1, 1, 0),
e20 = (1, −1, 0),
e30 = (0, 0, −1).
Urcˇete matici prˇechodu od ba´ze (e1 , e2 , e3 ) k ba´zi (e10 , e20 , e30 ) a matici prˇechodu od ba´ze (e10 , e20 , e30 ) k ba´zi (e1 , e2 , e3 ). Jsou-li (2, 1, 3) sourˇadnice vektoru x v ba´zi (e1 , e2 , e3 ), urcˇete sourˇadnice tohoto vektoru v ba´zi (e10 , e20 , e30 ).
2. Za´pocˇtove´ prˇ´ıklady 1. Ukazˇte, zˇe syste´m vektoru˚ u, v, w je linea´rneˇ neza´visly´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ je syste´m u + v, v + w, u + w linea´rneˇ neza´visly´. 2. Urcˇete vsˇechny hodnoty parametru α, pro neˇzˇ jsou vektory (1, α, 1), (3, 4, 7), (α, 3, 5) linea´rneˇ za´visle´. 3. Nalezneˇte ba´zi vektorove´ho podprostoru v R6 generovane´ho vektory (1, 3, 4, 2, 5, 7), (5, 3, 8, 4, 13, 17), (3, −1, 2, 1, 5, 6), (5, −3, 2, 1, 7, 8), (3, 1, 4, 2, 7, 9), (7, −5, 2, 1, 9, 10). Popisˇte tento podprostor soustavou linea´rnı´ch homogennı´ch rovnic. 4. Nalezneˇte pru˚nik vektorovy´ch podprostoru˚ U, V ⊂ R6 generovany´ch vektory U : (1, 5, 6, 3, 4, 7), (2, 2, 1, 5, 2, 1), (3, 3, 2, 0, 1, 5), V : (2, 1, 1, 3, 2, 3), (5, 8, 8, 11, 8, 11), (7, 6, 4, 8, 5, 9). 5. Bud’ V podprostor konecˇneˇrozmeˇrne´ho vektorove´ho prostoru U, dim V = dim U. Dokazˇte, zˇe U = V . 6. Bud’te U, V dva podprostory vektorove´ho prostoru W . Necht’ dim U + dim V = dim(U + V ) = dim W . Ukazˇte, zˇe pak W = U ⊕ V . 7. Bud’ W = U ⊕ V rozklad vektorove´ho prostoru W na prˇ´ıme´ scˇ´ıtance, bud’ u 1 , . . . , u n ba´ze v U , bud’ v1 , . . . , vm ba´ze ve V . Dokazˇte, zˇe u 1 , . . . , u n , v1 , . . . , vm je ba´ze ve W . 8. Ukazˇte, zˇe platı´ U ⊂ V, U 6= V jsou-li U, V podprostory v R6 generovane´ vektory U : (3, 5, 2, 8, 1, 1), (2, 1, 1, 2, 3, 0), (0, 7, 1, 10, −7, 2) V : (−1, 3, 0, 4, −5, 1), (3, 5, 3, 1, 3, 1), (1, 4, 2, −1, 0, 1) 9. Necht’C[x] je syste´m vsˇech polynomu˚ promeˇnne´ t s komplexnı´mi koeficienty, uvazˇovany´ s operacemi scˇ´ıta´nı´ polynomu˚ a na´sobenı´ polynomu komplexnı´m cˇ´ıslem. a) Ukazˇte, zˇe C[x] je komplexnı´ vektorovy´ prostor. Co je nulovy´m prvkem v C[x]? b) Urcˇete, zda na´sledujı´cı´ vektory z C[x] jsou linea´rneˇ za´visle´ nebo neza´visle´: 1, t, t 2 , . . . , t n , . . .. c) Necht’u, x, y, z jsou vektory z C[x] definovane´ vztahy u(t) = 1 + t + t 2 ,
x(t) = 1,
y(t) = t,
z(t) = t 2 .
Ukazˇte, zˇe tyto vektory jsou linea´rneˇ za´visle´, ale libovolne´ trˇi z nich jsou linea´rneˇ neza´visle´. 10. Polynom x ∈ C[x] nazveme sudy´m, kdyzˇ x(−t) = x(t) pro kazˇde´ t a lichy´m, kdyzˇ x(−t) = −x(t) pro kazˇde´ t. Ukazˇte, zˇe trˇ´ıda M sudy´ch i trˇ´ıda N lichy´ch polynomu˚ tvorˇ´ı podprostor v C[x], a zˇe C[x] = M ⊕ N (prˇ´ımy´ soucˇet).
5
Te´ma 5: Vektorove´ prostory
ALGEBRA
11. Uvazˇujme vektorovy´ prostor M2 (R) cˇtvercovy´ch matic rˇa´du 2 nad R s operacı´ scˇ´ıta´nı´ matic a na´sobenı´ matice rea´lny´m cˇ´ıslem a) Urcˇete dimenzi tohoto prostoru a nalezneˇte alesponˇ jednu jeho ba´zi. Urcˇete slozˇky vektoru 1 2 2 −1 v te´to ba´zi. b) Rozhodneˇte, zda vektory 1 2 2 , 3 4 4
1 3
,
2 1
2 1
,
jsou linea´rneˇ za´visle´ nebo neza´visle´. c) Rozhodneˇte, zda podmnozˇina M vsˇech matic typu a 1 , a, b ∈ R 1 b tvorˇ´ı vektorovy´ podprostor M2 (R). d) Uved’te prˇ´ıklad 2-rozmeˇrne´ho podprostoru v M2 (R).
6
