LQ45* dalam TMA

LQ45* dalam TMA Yun Hariadi1 dan Yohanes Surya2 1

Dept. Dynamical System Modeling Bandung Fe Institute [email protected]

2

Dept. Physics Univ. Pelita Harapan, Board of Advisory Bandung Fe Institute [email protected]

Abstrak. Paper ini menggunakan pendekatan teori matrik acak(TMA)/random matrix theory (RMT) untuk menyelidiki perilaku data saham LQ45*. Hal menarik yang diperoleh dalam paper ini adalah matrik korelasi silang membentuk distribusi normal dengan nilai rata-rata 0.2 dan matrik acak konsisten terhadap distribusi normal denga rata-rata nol. Lebih jauh bahwa distribusi peluang terhadap nilai eigen dari ke dua matrik tersebut mengikuti distribusi normal, dan terdapat sejumlah sedikit nilai eigen dari data saham LQ45* yang berada jauh diluar rentang nilai eigen matrik acak. Nilai eigen terbesar dari data saham LQ45* memiliki nilai 6.6 kali lebih besar dari maksimal nilai eigen matrik acak. Kata kunci. Teori matrik acak (TMA), saham, nilai eigen, korelasi silang.

1.Pendahuluan Metode utama yang digunakan Teori Matrik Acak (TMA) dalam menyelidiki perilaku data sahan atau keuangan adalah sifat statistika: korelasi silang. Bentuk dasar dari fungsi korelasi adalah fungsi otokorelasi yang mana sifat pengaruh diselidiki didalam satu anggota data dalam satu kelompol.Penyelidikan terhadap fungsi otokorelasi telah dilakukan sebelumnya dan cukup berhasil misalnya dengan menggunakan GARCH [1-3] atau menggunakan DFA [4,5]. Korelasi silang berguna dalam optimasi portofolio karena membandingkan antara sifat data saham satu dengan saham lainnya. Ide dasar penggunaan TMA sendiri sebenarnya berasal dari fisika, secara sederhana metode yang digunakan dalam TMA ini adalah membandingkan antara perilaku statistik dari data acak terhadap data yang akan diselidiki. Sejauh mana data yang diamati memiliki kesesuaian dengan data acak, dan sejauh mana data tersebut terpisah dari data acak?. Beberapa penyelidikan terhadap data saham dengan menggunakan TMA telah berhasil dilakukan dengan perolehan hasil yang cukup baik [6-9]. Hal serupa akan dilakukan pada paper ini dengan melakukan penyelidikan terhadap harga saham yang tergabung dalam LQ45. Paper ini tersusun sebagai berikut: bagian ke dua menjelaskan secara singkat dari tahap sederhana terhadap TMA, yang disusul pada bagian ke tiga yaitu simulasi dan analisa, simulasi pada bagian ini terdiri atas dua bagian yaitu simulasi untuk

1

mendapatkan matrik korelasi silang dan ke dua simulasi untuk mendapatkan nilai eigen dari matrik simulasi pertama, bagian terakhir merupakan kesimpulan dan kerja lebih jauh.

2.Teori Matrik Acak Teori matrik acak (TMA) pada awalnya berkembang dalam bidang fisika sekitar tahun 50an, pada saat itu digunakan untuk memahami data spektrokospik yang tidak diketahui aturan/hukum interaksi di dalamnya, hadirnya TMA merupakan prediksi terhadap semua kemungkinan interaksi tersebut [6]. Sementara dalam bidang ekonomi, penyelidikan terhadap perilaku data saham dan keuangan membutuhkan perangkat matematika yang cukup bisa menggambarkan tingginya tingkat transaksi tersebut. Transaksi bisa berlangsung beberapa kali dalam satu detik dan yang menarik transaksi tersebut tercatat. Satu hal yang cukup menarik dalam penyelidikan data saham atau keuangan ini adalah penyelidikan sifat statistika, misalnya otokorelasi dan bentuk distribusi peluang. Pada pertengahan 50an berkembang model otokorelasi yang menganggap bahwa data memiliki variansi yang berubah, model otokorelasi ini dikenal sebagai GARCH [1-3], model pendekatan dengan GARCH ini terasa lebih masuk akal dibandingkan model otokorelasi sebelumnya misalnya AR, MA, maupun ARMA yang mengasumsikan bahwa variansi data adalah konstan. Model otokorelasi GARCH ini akan bekerja dengan baik untuk sifat data yang tidak murni acak, sehingga syarat penggunaan GARCH ini adalah adanya jaminan bahwa data tersebut tidak bersifat murni acak. terhadap data saham dan keuangan hal ini bisa terpenuhi [1-2]. Model otokorelasi yang digunakan pada modelmodel tersebut lebih bersifat ke dalam, yang artinya bahwa model otokorelasi tersebut hanya melihat hubungan diantara anggota masing-masing data. Berbeda dengan model otokorelasi sebelumnya, pada TMA otokorelasi yang digunakan adalah model otokorelasi silang, yang berarti bahwa otokorelasi tidak membandingkan antar anggota data, tetapi antar anggota data yang berbeda. Misalnya, jika penyelidikan dalam model-model sebelumnya otokorelasi bertugas mencari bagaimana pengaruh kenaikan harga saham x pada saat t akan mempengaruhi harga saham x pada saat t+k. sedangkan pada model otokorelasi silang pertanyaan tersebut berubah menjadi bagaimana pengaruh perubahan harga saham x pada saat t terhadap perubahan harga saham y pada saat t+k. Selanjutnya, model otokorelasi silang tersebut dituliskan dalam bentuk matrik. Dengan baris maupun kolom mewakili masing-masing nama data saham dari perusahaan yang berbeda sehingga untuk nilai mij merupakan nilai korelasi antara saham dalam barisi dan saham dalam kolom-j. Ide dasar dari munculnya penggunaan matrik acak adalah untuk membandingkan bagaimana perilaku dari data percobaan tertentu terhadap perilaku dari data acak. yang dalam simulasi ini, perilaku data saham akan dibandingkan dengan perilaku data acak. matrik yang berisi nilai korelasi silang terhadap masing-masing data disebut matrik korelasi silang.

2

Penyelidikan terhadap otokorelasi ini memiliki akar sejarah yang panjang sejak penyelidikan Markowitz pada optimasi portofolio [6]. Terlihat dengan jelas bahwa kegunaan yang paling nyata dari model otokorelasi silang ini adalah dalam bidang portofolio, yaitu saat menentukan pasangan saham yang memiliki resiko kecil untuk suatu jangka panjang tertentu. Misalkan terdapat N saham yang berbeda pada saat t yaitu S1 (t ), S 2 (t ),..., S N (t ) dalam rentang waktu pengamatan L atau t = 1, 2,..., L . Data saham tersebut dirubah menjadi data return,

⎛ S (t + ∆t ) ⎞ Gi (t ) ≡ ln ⎜ i ⎟ ⎝ Si (t ) ⎠

(i)

Selanjutnya data return ini dinormalkan terhadap standar deviasinya gi (t ) ≡ dengan σ i ≡

Gi2 − Gi

2

Gi (t ) − Gi

σi

,

(ii)

, dan fungsi korelasi silang didefinisikan sebagai

Cij ≡ gi (t ) g j (t )

(iii)

dengan sifat ⎧1, korelasi _ sempurna ⎪ Cij ⎨ 0, tidak _ berkorelasi ⎪ −1, anti _ korelasi ⎩ Persamaan (iii) bisa dituliskan dalam bentuk

C≡

1 GGT L

(iv)

dengan G ≡ {gij gij ≡ gi ( j∆t ), j = 1,..., L − 1, i = 1,..., N } , sedangkan untuk matrik acak, setiap anggota dari matrik di atas dibangkitkan secara acak, hal ini ditulis sebagai

R≡

1 AAT L

(v)

dengan A adalah matrik yang beranggotakan data acak. baik G maupun A merupakan matrik dengan ukuran N × L .

3

Simulasi pertama yang akan dilakukan pada paper ini adalah membandingkan bagaimana perilaku data saham dalam hal ini distribusi peluang dari korelasi silang dibandingkan dengan distribusi peluang dari korelasi silang data acak, membandingkan persamaan (iv) dengan persamaan (v). fungsi TMA dalam hal ini sebagai pembanding seberapa dekat atau seberapa terpisah jarak distribusi tersebut terhadap data saham. Selanjutnya pada simulasi ke dua, hasil simulasi pertama dicari nilai eigen yang kemudian dicari bagaimana bentuk distribusi peluang dari nilai eigen tersebut. Hal menarik dari model ini adalah jikan dihubungkan dengan teoerma limit pusat (TLP), yaitu ketika ukuran matrik sedemikian besarnya dan distribusi peluang nilai eigen memiliki sifat universal, hal ini merupakan akibat langsung dari TLP [11]. Untuk matrik yang diperoleh dari persamaan (iv), fungsi kepadatan peluang nilai eigen didefinisikan sebagai

ρ (λ ) ≡

1 N

N

∑ δ (λ − λ )

(vi)

j

j =1

dengan λ j menyatakan nilai eigen dari saham-j dan δ nerupakan fungsi Dirac. Apa yang terjadi jika N → ∞, L → ∞ ?, Bouchad [11] menunjukkan melalui TLP bahwa akan diperoleh

ρ (λ ) =

( λmaks − λ )( λ − λmin )

Q 2πσ

2

λ

maks λmin = σ 2 (1 + 1/ Q ± 2 1/ Q ) ,

,

(vii) (viii)

dengan Q = L N dan λ ∈ [λmin , λmaks ]

hasil yang diperoleh pada simulasi ini adalah melihat sejauh mana data saham menyimpang terhadap data acak. Sifat statistika dari data yang dimodelkan dalam TMA akan menghasilkan dua hal, yang pertama adalah gangguan dan yang ke dua adalah informasi. Merupakan gangguan jika sifat statistika tersebut sesuai atau mirip dengan perilaku data acak, demikian sebaliknya bahwa data tersebut merupakan informasi jika berada diluar sifat data acak. sehingga penyelidikan tentang data saham dengan menggunakan TMA adalah mencari sejauh mana data saham menyimpang dari data acak. Hal utama yang ingin diperoleh pada RMT adalah membedakan antara informasi yang berguna dan gangguan yang dalam hal ini bisa diketahui melalui nilai eigen dan vektor eigen. cara yang digunakan untuk menentukan prosedur ini adalah melalui perbandingan antara matrik korelasi data saham terhadap matrik korelasi data acak. sejauh mana penyimpangan yang terjadi merupakan petunjuk bahwa informasi dari data merupakan informasi yang berguna, validitas metode RMT dari nilai eigen yang

4

merupakan hasil dari matrik korelasi silang. simpangan terhadap RMT merupakan informasi yang tidak bisa dijelaskan dari model acak [7]. Beberapa penyelidikan terhdapap 1000 perusahan terbesar di US selama dua tahun 1994-1995 menunjukkan adanya kesesuaian anatara sebagian besar nilai eigen terhadap matrik acak meski ada sedikit penyimpangan terhadap nilai eigen yang paling besar [7]. Simulasi berikut ini merupakan penyelidikan terhadap saham di Indonesia yang tercatat dalam LQ45.

3.Simulasi dan Analisa Simulasi yang dilakukan berikut ini menggunakan data saham LQ45, namun dari data saham LQ45 tidak semuannya memiliki data yang lengkap pada tanggal 04-01-2000 s/d 12-03-2004, sehingga data yang digunakan terbatas pada data yang lengkap saja yaitu hanya melibatkan 36 saham dari 45 saham yang tercatat pada saham LQ45, pada paper ini ditulis sebagai data saham LQ45*. Bagian pertama dari simulasi ini adalah mencari matrik korelasi dari data return saham, seperti biasa dalam simulasi deret waktu terhadap data keuangan atau saham data semula dirubah menjadi data return untuk mendapatkan distribusi peluang yang mendekati normal [2,3]. Pentingnya sifat statistika dari otokorelasi untuk melihat keterhubungan antar data saham, dalam simulasi ini melibatkan sejumlah data saham yang berbeda yang dituliskan dalam bentuk matrik dan dikenal sebagai matrik korelasi silang.

Gambar 1 Kedua kurva mewakili bentuk distribusi peluang yang berbeda dari data saham LQ45* dan data acak, terlihat bahwa distribusi peluang dari korelasi silang data acak konsisten terhadap distribusi normal.

5

Meski terlihat bahwa distribusi peluang korelasi silang data saham LQ45* tidak tepat mengikuti distribusi normal dibandingkan data acak, tetapi secara umum bentuk distribusi tersebut dekat dengan distribusi normal dengan rata-rata mendekati 0.2, hal ini memberi informasi bahwa data saham LQ45* memiliki peluang yang lebih besar untuk berkorelasi positif, yang berarti akan muncul sejumlah keterhubungan secara positif diantara harga saham dalam LQ45* tersebut, sehingga kenaikkan satu harga saham akan memiliki pengaruh positif terhadap harga saham lain. Juga terlihat bahwa munculnya kemungkinan korelasi mutlak (Cij=1) dan anti korelasi (Cij=-1) hampir mustahil setidaknya jika dibandingkan dengan munculnya sifat tak berkorelasi (Cij=0). Namun secara umum perilaku data saham tersebut memiliki korelasi yang lemah hal ini ditunjukkan oleh kecenderungan data yang mengumpul pada 0.2 yang lebih dekat pada Cij=0 daripada Cij=1. Permasalahan di sini bisa berkembang menjadi, apa hubungan korelasi silang antara saham A dan saham B jika keduanya tercatat dalam saham LQ45*?. Dari gambar 1, belum terlihat secara jelas bagaimana peran data acak dalam membangun hubungan antara data saham dengan data acak itu sendiri, dari simulasi di atas yang menggunakan sifat statistika korelasi silang tidak mampu menunjukkan hubungan antar kedua data yang berbeda tersebut. Data acak masih menunjukkan sifat khasnya yaitu memiliki bentuk distribusi yang mendekati distribusi normal. Bagian kedua simulasi ini memberi peran yang lebih jelas terhadap matrik acak dalam membangun hubungan dengan data saham. Jika simulasi pertama menyelediki sifat statistika distribusi peluang korelasi silang yang ternyata tidak mampu menunjukkan hubungan yang cukup berarti terhadap data saham, pada simulasi kedua berikut ini sifat statistika yang diamati dikembangkan lebih lanjut menjadi distribusi peluang dari nilai eigen matrik korelasi. Secara sederhana simulasi kedua ini mecari nilai eigen dari hasil yang diperoleh pada simulasi pertama, yang selanjutnya akan digunakan untuk menyusun distribusi peluang dari nilai eigen tersebut. Hasil simulasi kedua yang ditunjukkan oleh gambar 2 memperlihatkan bahwa hasil yang diperoleh pada simulasi ini cukup baik dibandingkan dengan simulasi pertama dari segi sebaran distribusi peluang. Hal ini terlihat adanya kedekatan antara jarak kedua distribusi tersebut meski keduanya memiliki sumber data yang berbeda. Meski keduanya tidak tepat memiliki bentuk distribusi normal tetapi keduannya menunjukkan adanya bentuk distribusi yang mirip. Apa informasi yang disampaikan oleh kenyataan ini?. Lebih jauh tidak semua dari nilai eigen ini tercakup dalam lingkup nilai eigen data matrik acak, hal ini ditunjukkan pada gambar inset bahwa terdapat sejumlah nilai eigen yang jauh melebihi nilai eigen dari matrik acak. Berdasarkan pendekatan persamaan

6

[viii], dengan nilai L=1020 dan N=36, maka nilai eigen matrik korelasi dari data saham akan berada pada selang (0.6596,1.4110), nilai eigen yang berada diluar rentang tersebut memberi informasi bahwa bahwa saham dengan nilai tersebut berada dalam wilayah yang teratur dan tergolong dalam kelompok informasi yang berguna jika dibandingkan dengan data yang memiliki nilai eigen di dalam selang nilai eigen matrik acak yang termasuk dalam kelompok gangguan/noise.

Gambar 2 Dibandingkan dengan gambar 1, distribusi nilai eigen data saham LQ45* memiliki jarak yang relatif kecil terhadap distribusi nilai eigen matrik acak, juga terlihat bahwa nilai eigen terbesar dari data saham memiliki nilai 6.6554 kali lebih besar dari nilai eigen terbesar dari matrik acak (gambar inset).

4.Kesimpulan Dua simulasi yang berbeda pada paper ini menunjukkan peran matrik acak sebagai model terhadap data saham LQ45*. Simulasi pertama mampu menunjukkan bahwa bentuk distribusi dari matrik korelasi silang dari data saham LQ45* memiliki bentuk yang serupa dengan distribusi normal meski memiliki rata-rata 0.2, sementara untuk data acak memiliki distribusi yang konsisten dengan distribusi normal dengan ratarata nol. Sedangkan simulasi kedua mampu menampilkan peran yang cukup penting dari matrik acak sebagai pendekatan terhadap data saham LQ45*, hal ini terlihat dari bentuk distribusi peluang untuk nilai eigen dari masing-masing matrik korelasi silang. Bentuk distribusi dari simulasi kedua ini mirip distribusi normal untuk kedua macam data yang

7

berbeda tersebut (data saham dan data acak). sementara untuk nilai terbesar dari nilai eigen data saham adalah 6.6554 kali nilai eigen terbesar matrik acak. nilai yang berada di luar rentang nilai eigen data acak merupakan kelompok informasi yang berguna dibanding dengan nilai eigen yang terdapat dalam selang, hal yang terakhir tersebut disebut dengan gangguan.

Kerja lebih Jauh dan Pengakuan Perlu melibatkan data yang lebih banyak dan lebih panjang untuk memenuhi syarat dalam penerapan TLP, misalnya data IHSG. Distribusi peluang tidak hanya dikembangkan terhadap nilai eigen tetapi juga terhadap vektor eigen, termasuk juga terhadap selisih nilai eigen. Penulis menyampaikan terimakasih kepada Lembaga Fisika Indonesia atas bantuan dana dan Yohanis atas penyediaan data saham.

Daftar Pustaka 1. Hariadi, Yun & Surya, Yohanes. Kulminasi Prediksi Data Deret Waktu Keuangan: Volatilitas dalam GARCH(1,1) . Working Paper WPF2003. Bandung Fe Institute. 2. Hariadi, Yun & Surya, Yohanes. Peramalan dalam Selang GARCH(1,1). Working Paper WPH2003. Bandung Fe Institute. 3. Lo, M.S. Generalized Autoregressive Conditional Heteroscescedastic Time Series Model. A Project Submitted in Partial Fulfillment of the Requirements for Degree of Master of Science. Simon Fraser University. 2000. 4. Hariadi, Yun & Surya, Yohanes. DFA pada Saham. Working Paper WPB2004. Bandung Fe Institute. 5. Hu, K., Ivanov, P.Ch., Chen, Z., Carpena, P., Stanley, H.E. Effect of trend on Detrended Fluctuation Analysis. Physical Review E 64:011114. 6. Plerou, V., Gopikrishnan, P., Rosenow, B. Amaral, L.A.N, Guhr, T., Stanley, H.E. Random matrix approach to cross correlations in financial data. Physical Review E, Vol.65, 066126. 2002. 7. Plerou, V., Gopikrishnan, P., Rosenow, B. Amaral, Stanley, H.E. Universal and Nonuniversal Properties of Cross Correlations in Financial Time Series. Physical Review Letters. Vol.83.Num.7.1999. 8. Burda, Z.& Jurkiewicz, J. Signal and Noise in Financial Correlation Matrices. Preprint submitted to Elsevier Science. arXiv:cond-mat/0312496v2. 9. Utsugi, A., Ino, K., Oshikawa, M. Random Matrix Theory of Cross Correlations in Financial Markets.arXiv:cond-mat/0312643v1. 10. Forresters, P.J., Snaith, N.C., Verbaarschot, J,J,M, Developments in Random Matrix Theory. arXiv:cond-mat/0303207v1.2003. 11. Bouchaud, J.P.m Potters, M, Theory of Financial Risk. Crambidge University Press. 2001.

8

PETUNJUK PENGGUNAAN DOKUMEN BFI 1. Tentang Dokumen Dokumen ini adalah hasil riset sebagai sikap umum dari Bandung Fe Institute (BFI). Dokumen ini telah melalui proses seleksi dan penjurian yang dilakukan oleh Board of Science BFI bersama dengan penulisnya dan beberapa narasumber terkait. Tanggung jawab terhadap kesalahan yang mungkin terdapat dalam isi dari masing-masing makalah berada di tangan penulisnya. Segala bentuk usulan perbaikan, tambahan analisis, maupun penerapan harus dilakukan dengan konsultasi dengan penulis bersangkutan melalui Kantor Administrasi BFI (alamat di bawah). 2. Tentang Ketersediaan & Penggunaan Dokumen • Dokumen ini disediakan secara gratis dalam bentuk kopi elektronis yang dapat diakses melalui alamat web: www.geocities.com/bandungfe. Siapapun yang berkeinginan untuk melihat dan memiliki kopi elektronis dari dokumen ini dapat memperolehnya secara gratis dengan men-download dari alamat tersebut. • Dokumen yang di-download dapat diperbanyak, didistribusikan, ataupun dikutip untuk penggunaan non-komersil, pengayaan riset ilmiah, dan keperluan pendidikan tanpa perlu meminta izin tertulis dari BFI. Khusus untuk pengutipan, dapat dilakukan tanpa izin tertulis dari BFI namun harus menyebutkan dengan baik sumber kutipan, meliputi nama penulis, nomor seri dokumen, penerbit BFI Press, dan tahun penerbitan sesuai dengan standar penulisan bibliografi di mana kutipan dilakukan. • Hard-Copy dari dokumen ini dapat diperoleh dengan permintaan tertulis kepada Kantor Administrasi BFI pada alamat di bawah. Hard-Copy dapat diperoleh dengan membayar uang pengganti cetak dokumen. Hard-Copy dapat diperbanyak, didistribusikan, ataupun dikutip untuk penggunaan non-komersil, pengayaan riset ilmiah, dan keperluan pendidikan tanpa perlu meminta izin tertulis dari BFI. Khusus untuk pengutipan, dapat dilakukan tanpa izin tertulis dari BFI namun harus menyebutkan dengan baik sumber kutipan, meliputi nama penulis, nomor seri dokumen, penerbit BFI Press, dan tahun penerbitan sesuai dengan standar penulisan bibliografi di mana kutipan dilakukan. • Segala kebijakan teknis, implementasi apapun yang dilakukan berdasarkan usulan teknis dari dokumen ini tanpa melalui koordinasi langsung di bawah arahan peneliti BFI yang bersangkutan dan tanpa melalui persetujuan dengan kantor administrasi BFI bukan merupakan tanggung jawab BFI sebagai institusi ataupun peneliti yang bersangkutan secara individual. Hak-hak intelektual BFI dan penelitinya dilindungi oleh undang-undang. Pelanggaran terhadap ketentuan-ketentuan tersebut di atas adalah bentuk pelanggaran hukum dan mendapat ancaman hukuman/sanksi sesuai peraturan perundangan yang berlaku di Indonesia. Untuk informasi lebih lanjut hubungi Kantor Administrasi BFI dengan alamat: BANDUNG FE INSTITUTE Jl. Cemara 63 Bandung 40161 JAWA BARAT – INDONESIA URL: http://www.geocities.com/bandungfe Mail: [email protected] Ph./Fax.: +62 22 2038628