1. LINEÁRNÍ ALGEBRA Vektorový prostor 1.1. Definice
Nechť V je množina na které jsou definovány operace sčítání + : tj. zobrazení V × V → V násobení i : tj zobrazení R × V → V . Množinu V nazýváme vektorovým prostorem, jsou-li splněny následující axiomy A1 − A8 . A1 ∀x , y ∈ V : x + y = y + x A2
∀x , y, z ∈ V : ( x + y ) + z = x + ( y + z )
A3
∃o ∈ V ∀x ∈ V : x + o = x ,
o = nulový vektor
A4
∀x ∈ V ∃ ( − x ) ∈ V :
x + ( − x ) = o , − x = opačný vektor
A5
∀x , y ∈ V , ∀a ∈ R : a ⋅ ( x + y ) = ax + ay
A6
∀x ∈ V , ∀a, b ∈ R :
A7
∀x ∈ V , ∀a, b ∈ R :
A8
∀x ∈ V :
( a + b ) ⋅ x = ax + bx ( ab ) ⋅ x = a ( bx )
1⋅ x = x
Pozn. Prvky z V se nazývají vektory, reálná čísla skaláry. Nejběžnější typy vektorových prostorů: aritmetický vektorový prostor: prvky jsou uspořádané n- tice reálných čísel x = ( x1 , x2 , x3 , xn ) geometrický model vektorového prostoru: množina všech orientovaných úseček v rovině nebo v prostoru 1.1. Věta Nechť V je vektorový prostor a x ∈ V , pak platí: 1. 0x =o 2. z rovnosti x + y = o vyplývá x = − y 3. ( −1) x = − x
Lineární závislost a nezávislost vektorů 1.2. Definice Vektory v1 , v2 ⋅⋅⋅⋅⋅ vn ∈ V nazýváme lineárně nezávislé, jestliže rovnice c1v1 + c2 v2 ⋅⋅⋅⋅⋅ + cn vn = o je splněna pouze v případě, že skaláry c1 , c2 ⋅⋅⋅⋅⋅ cn jsou všechny rovny nule. Vektory v1 , v2 ⋅⋅⋅⋅⋅ vn ∈ V nazýváme lineárně závislé, jestliže je splněna rovnice c1v1 + c2 v2 ⋅⋅⋅⋅⋅ + cn vn = o , přičemž alespoň jeden ze skalárů c1 , c2 ⋅⋅⋅⋅⋅ cn je různý od nuly.
1
Pozn. Levou stranu rovnice c1v1 + c2 v2 ⋅⋅⋅⋅⋅ + cn vn = o nazýváme lineární kombinací vektorů v1 , v2 ⋅⋅⋅⋅⋅ vn ∈ V .
Dimenze vektorového prostoru 1.3. Definice Vektorový prostor V se nazývá n - dimenzionální nebo také prostor dimenze n , n > 0 , existuje-li ve vektorovém prostoru V n - lineárně nezávislých vektorů v1 , v2 ⋅⋅⋅⋅⋅ vn a platí-li, že každý vektor z V lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů v1 , v2 ⋅⋅⋅⋅⋅ vn . označ. Vn
Báze vektorového prostoru 1.4. Definice Každou množinu n lineárně nezávislých vektorů v1 , v2 ⋅⋅⋅⋅⋅ vn ∈ Vn nazýváme bází ve Vn a zapisujeme v1 , v2 ⋅⋅⋅⋅⋅ vn . Pozn. Nechť V je vektorový prostor a v1 , v2 ⋅⋅⋅⋅⋅ vn jeho báze. Vyjádření každého vektoru u ∈ Vn ve tvaru lineární kombinace vektorů báze je jednoznačné.
Matice 1.5. Definice
Schéma m ⋅ n reálných (komplexních) čísel ⎛ a11 … a1n ⎞ ⎟ ⎜ A=⎜ ⎟ nazýváme maticí A typu (m,n). ⎜a amn ⎟⎠ ⎝ m1
Pozn. 1. ai , j - prvek matice, leží v i –tém řádku a j –tém sloupci 2. čtvercová matice řádu n, je-li m=n 3. hlavní úhlopříčka je tvořena prvky a11, a22 , a33 , a44
4. nulová matice: všechny prvky matice ai , j jsou rovny nule 5. jednotková matice E je čtvercová matice řádu n, prvky na hlavní úhlopříčce jsou rovny 1, ostatní prvky jsou rovny 0 6. AT je transponovaná matice k matici A, vznikne z matice A výměnou řádků za sloupce 7. symetrická matice: platí –li A = AT tj. aij = a ji 8. trojúhelníková matice typu ( m, n ) má pod hlavní úhlopříčkou nulové prvky
2
Základní operace s maticemi 1.6. Definice Rovnost matic: A = B ⇔ aij = bij
∀i ∈1 ⋅⋅⋅ m, ∀j ∈1⋅⋅⋅ n
C = A + B ⇔ cij = aij + bij ∀i ∈1⋅⋅⋅ m, ∀j ∈1⋅⋅⋅ n Násobení matice reálným číslem: B = k ⋅ A ⇔ bij = k aij ∀i ∈1 ⋅⋅⋅ m, ∀j ∈1⋅⋅⋅ n, k ∈ R Součet matic:
Pro sčítání matic a násobení matic reálným číslem platí: 1. komutativní zákony: A + B = B + A , k A = Ak , k ∈ R 2. asociativní zákony: ( A + B ) + C = A + ( B + C ) , k ( lA ) = ( kl ) A ,
k, l ∈ R
3. distributivní zákony: k ( A + B ) = k A + k B ,
k, l ∈ R
(k + l ) A = k A + l A ,
4. existence nulové matice: A + O = A 5. existence opačné matice: A + ( − A ) = O
Násobení matic 1.7. Definice
Nechť A = ( aij ) je maticí typu ( m, n ) a B = ( b jk ) je maticí typu
( n, p ) . Součinem matic
A ⋅ B v tomto pořadí je matice C = A ⋅ B = ( cik ) typu ( m, p ) , kde n
cik = ∑ aij ⋅ b jk = ai1 ⋅ b1k + ai 2 ⋅ b2 k ⋅⋅⋅ ain ⋅ bnk . j =1
Pro násobení matic platí: 1. asociativní zákon: ( AB ) C = A ( BC )
( A + B ) C = AC + BC násobení zprava C ( A + B ) = CA + CB násobení zleva
2. distributivní zákon: 3. 4. 5. 6.
AE = EA = A , kde A je matice řádu n AO = OA = O , kde O je nulová matice je-li AB = O , pak nemusí být ani A = O ani B = O T existuje-li součin matic AB , pak ( AB ) = BT AT
7. pro násobení matic obecně neplatí komutativní zákon: AB ≠ BA.
Hodnost matice 1.8. Definice Maximální počet lineárně nezávislých řádků dané matice nazýváme hodností této matice. Označ. h ( A ) , h ( B ) Mějme matici A a vytvořme z ní matici B některou z těchto úprav: 1. vyměníme řádky matice za sloupce 2. zaměníme pořadí řádků matice A 3. vynásobíme některý řádek matice A číslem k ≠ 0
3
4. vynecháme z matice A řádek, který je tvořen nulami 5. vynecháme z matice A řádek, který je lineární kombinací ostatních řádků 6. přičteme k některému řádku matice A lineární kombinací ostatních řádků Potom matice A a B mají stejnou hodnost a říkáme, že jsou ekvivalentní, značíme A ∼ B . Jak vyplývá z bodu (1) úpravy (2) až (6) platí i pro sloupce matice. Pozn. A je čtvercová matice řádu n je-li h ( A ) = n nazýváme matici A regulární je-li h ( A ) < n nazýváme matici A singulární Výpočet hodnosti matice: 1. z dané matice vynecháme řádky, které jsou lineární kombinací ostatních řádků 2. pomocí úprav (1) až (6) převedeme danou matici na trojúhelníkovou matici 3. počet nenulových řádků je roven hodnosti matice
Determinant 1.9. Definice Determinantem řádu n čtvercové matice A řádu n jejímiž prvky aij jsou reálná popřípadě komplexní čísla, nazýváme číslo, které značíme det A nebo A a definujeme takto: 1. 2.
je-li n = 1 , pak det A = a11 je-li n ≥ 2 , potom je a11 … a1n n 1+ j det A = = ∑ ( −1) a1 j det A1 j j =1 an1 ann
kde matice A1 j vznikne z matice A vynecháním prvního řádku a j-tého sloupce. Pozn. 1. det Aij nazýváme subdeterminantem vzhledem k prvku aij 2. součin ( −1)
i+ j
det Aij nazýváme algebraickým doplňkem prvku aij a značíme Aij ∗
1.2 Věta (Laplaceův rozvoj) Pro det A řádu n platí: n
det A = ∑ ( −1)
i+ j
j =1
n
det A = ∑ ( −1) i =1
i+ j
aij det Aij
rozvoj podle i- tého řádku
aij det Aij
rozvoj podle j- tého sloupce,
kde det Aij vznikne z det A vynecháním i-tého řádku resp. j-tého sloupce.
4
Vlastnosti determinantů: 1. hodnota determinantu se nezmění, zaměníme-li řádky za sloupce 2. jestliže v determinantu jeden řádek tvoří samé nuly, rovná se determinant nule 3. jestliže v determinantu vyměníme 2 řádky, determinant změní znaménko 4. jestliže má determinant dva řádky stejné, rovná se nule 5. je-li některý řádek determinantu násobkem jiného řádku, je determinant roven nule 6. vynásobíme-li některý řádek determinantu reálným číslem c ≠ 0 , dostaneme determinant pro který platí det A′ = c det A 7. přičteme-li k některému řádku determinantu násobek jiného řádku, determinant se nezmění Výpočet determinantů: obecně determinant vypočteme rozvojem podle libovolného řádku nebo sloupce
Je-li 1. determinant řádu n = 1 : 2. determinant řádu n = 2 :
a11 = a11
a11 a21
a12 = a11a22 − a12 a21 a22
3. determinant řádu n = 3 : počítáme pomocí Sarrusova pravidla a11
a12
a13
a21 a31
a22 a32
a23 = a 11a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31+ a 21a 32 a 13 −a 31a 22 a 13 − a 21a 12 a 33 − a 32 a 23 a 11 a33
4. determinant řádu n > 3 : počítáme rozvojem podle vybraného řádku resp. sloupce Pozn. Determinante matice A, která je upravena na trojúhelníkový tvar, se rovná součinu prvků na hlavní úhlopříčce.
Inverzní matice 1.10. Definice Inverzní maticí k čtvercové matici A řádu n rozumíme takovou čtvercovou matici A−1 řádu n, pro kterou platí : A ⋅ A−1 = A−1 ⋅ A = E , kde E je jednotková matice řádu n. Pozn. A je čtvercová matice řádu n je-li h ( A ) = n nazýváme matici A regulární, tj det A ≠ 0 je-li h ( A ) < n nazýváme matici A singulární, tj det A = 0
5
1.3. Věta Nechť A je regulární matice řádu n ≥ 2 a A∗ je matice utvořená z algebraických doplňků Aij∗ prvků aij ∈ A . Pak platí A−1 =
Potom můžeme psát: A−1 =
T 1 A∗ ) , kde ( det A
(A )
∗ T
= A nazýváme adjungovanou maticí.
1 A. det A
Pozn. algebraický doplněk : Aij∗ = ( −1)
i+ j
det Aij
Maticové rovnice: V těchto rovnicích hledáme neznámou matici X. Schematicky tyto rovnice můžeme zapsat např. takto: AX = B , XA = B , AXB = C , řešíme pomocí inverzních matic.
Soustavy lineárních rovnic 1.11. Definice Soustava m lineárních rovnic o n neznámých x1 , x2 ⋅⋅⋅ xn má tvar a11 x1 + a12 x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a2 n xn = b2 am1 x1 + am 2 x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + amn xn = bm kde aij ∈ R nazýváme koeficienty soustavy, i ∈1 ⋅⋅⋅ m,
j ∈1⋅⋅⋅ n , b1 ⋅⋅⋅ bm je sloupec
pravých stran. Každý vektor x jehož složky x1 , x2 ⋅⋅⋅ xn vyhovují všem rovnicím nazveme řešením soustavy. Je-li
bi = 0
pro ∀i (tj. pro i = 1,2,...,m), pak soustavu nazýváme homogenní, jinak
nehomogenní. Soustavu můžeme zapsat v maticovém tvaru: ⎛ a11 ⎜ ⎜ a21 ⎜ ⎜ ⎝ am1
kde
a12 a22 am 2
… a1n ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ … a2 n ⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜ b2 ⎟ = ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ … amn ⎠ ⎝ xn ⎠ ⎝ bm ⎠ ⎛ a11 ⎜ a A = ⎜ 21 ⎜ ⎜ ⎝ am1
a12 a22 am 2
A⋅ X = B
nebo
… a1n ⎞ ⎟ … a2 n ⎟ ⎟ ⎟ … amn ⎠
je matice soustavy,
6
⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ x2 ⎟ je matice tvořená neznámými ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ xn ⎠ ⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ b2 ⎟ je matice tvořená sloupcem pravých stran. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ bm ⎠
Sestavme matici ve tvaru:
⎛ a 11 ⎜ ⎜ a 21 ⎜ ⎜ ⎝ a m1
a 12
… a 1n
a 22
… a 2n
a m 2 … a mn
b1 ⎞ ⎟ b2 ⎟ ⎟ ⎟ bm ⎠
Tuto matici značíme A / B a nazýváme ji rozšířenou maticí soustavy.
1.4. Věta (Frobeniova) Soustava A ⋅ X = B má řešení, právě když h ( A ) = h ( A / B ) . Označíme-li h ( A ) = h ( A / B ) = h , pak v případě, že 1. 2.
h = n (n počet neznámých) má soustava jediné řešení h < n má soustava nekonečně mnoho řešení, která můžeme zapsat pomocí n − h parametrů
Gaussova eliminační metoda řešení soustav lineárních rovnic: Předpokládejme, že matice A′ / B′ vznikne z rozšířené matice soustavy A / B úpravami: 1. výměnnou 2 libovolných řádků 2. vynásobením libovolného řádku číslem ≠ 0 3. vynecháním řádku se samými nulami 4. přičtením k násobku ( k ≠ 0 ) řádku k jinému řádku Pak soustavy AX = B a A′X = B′ mají stejná řešení. Úpravy (1) až (4) nemění hodnost matice A ani v A / B . Frobeniovu větu budeme aplikovat až na vhodně upravenou soustavu rovnic, tj. úpravami (1) až (4) budeme postupně upravovat A / B na trojúhelníkový tvar.
7
1.5. Věta Cramerovo pravidlo Je-li matice A řádu n a je-li det A ≠ 0 , pak má soustava A ⋅ X = B právě jedno řešení. 1 T X= ( det A1 , det A2 det An ) , det A Kde det Ai , i ∈1 n, je determinant, který dostaneme z determinantu soustavy nahrazením i-tého sloupce sloupcem pravých stran.
8
