11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ
Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů. 2. Porozumět zavedení kartézské soustavy souřadnic na přímce, v rovině, v prostoru. Ovládat vzájemné přiřazování bodů a jejich souřadnic v rovině a v prostoru.Umět určit souřadnice vektoru ze souřadnic bodů jeho umístění. Umět sčítat, odčítat a násobit reálným číslem vektory určené souřadnicemi. Umět určit velikost vektoru a vzdálenost dvou bodů, souřadnice středu úsečky a těžiště trojúhelníku, rozhodnout o kolineárnosti bodů, rovnoběžnosti vektorů a lineární závislosti vektorů, jsou-li dány příslušné souřadnice. 3. Umět určit skalární součin dvou nenulových vektorů geometricky [u.v = u . v .cosα ] i algebraicky [u.v = u1v1 + u2v2 (+ u3v3 )] . Umět ho aplikovat při určování velikosti úhlu dvou vektorů, odchylky dvou přímek a při rozhodování o jejich případné kolmosti. 4. Znát geometrický význam definice vektorového součinu; umět určit jeho souřadnice. Umět určit obsah trojúhelníku a normálový vektor roviny\ pomocí vektorového součinu. 5. Pomocí směrových vektorů přímek a normálových vektorů rovin umět určit odchylku přímky a roviny a odchylku dvou rovin.
Úlohy:
Vektorová algebra 1. Na ose y určete bod A tak, aby měl od bodu B[-6;-5 ] vzdálenost d = 10. A1[0;3] , A2[0;-13] 2. V rovině jsou dány body K[2`3], L[1`-4], M[-1`-3]. Dokažte, že trojúhelník KLM je pravoúhlý . Vypočtěte jeho obsah . [ ano, je pravoúhlý, S = 7,5]
1
3. Určete vektor u tak, aby měl velikost 10 a přitom byl kolmý k danému vektoru v =(-1;2). [u = ( 4 5 ;2 5 ) nebo u = − 4 5 ;−2 5 ]
(
4. Je dán trojúhelník ABC o vrcholech A[1;0], B[1;-6], C[5;-3]. Vypočtěte délku těžnice ta. Vypočtěte velikost úhlu β .
5.
[|ta| = 4,924;
Zjistěte, zda body A[3;7], B[10;-2], C[5;1] leží na jedné přímce.
)
β = 53°8´] [ne]
6. Jsou dány vektory a = (3;5), b = (6;2). Najděte vektor c kolmý k vektoru b, pro který platí 1 a.c = 4. [c = − ;1 ] 3
Analytická geometrie 1. a) Zapište parametrické vyjádření přímky a , která prochází body A [0;-5] B [3;-3 ] [ a: x = 3 t y = -5 + 2 t ; t ∈ R ] b) Zapište parametrické vyjádření přímky b , která je dána bodem B [3; -7 ] a směrovým vektorem B b ( -2 ; 5 ) [ b: x = 3 – 2t y = -7 + 5t ; t ∈ R ] 2. Zjistěte, zda body M [-4; 7 ] A [11 ;8 ] leží na přímce AB ;A [2;5] B [ -1; 6 ] [ M ∈ ↔ AB , N ∉ ↔ AB ] 3. Určete 2.souřadnici bodu C tak, aby ležel na přímce AB, A[ 3; -1], B[ 1; 3], jestliže a) C [ 1; y ] [y=3] b) C [ 2,5; y ] [y=0]
4. Jsou dány body A[ 2; -3] B [-1; -2 ] .Napište: a) parametrické vyjádření úsečky AB
[ ↔ AB: x = 2-3t y = -3+ t; t ∈ 〈 0;1 〉 ] [ α AB; x = 2-3 t y = -3+ t; t ∈ 〈 0; ∞ )]
b) parametrické vyjádření polopřímky AB c) par,vyjádření polopřímky opačné k α AB
2
[opačná k AB: x = 2-3 t y = -3+ t; t ∈ (- ∞ ; 0 〉 ]
[ α BA: x = -1+3 t y = -2- t; t ∈ 〈 0; ∞ ) ]
d) par.vyjádření polopřímky BA
5. Jsou dány body A [-5; -6 ], B [11;2], C [3; 4 ]. a) Napište par.vyjádření přímky AC, b) napište par.vyjádření těžnice t a ∆ABC, c) napište par.vyjádření výšky v c ∆ABC (přímky,na které leží výška v c ). [ ↔ AC: x = -5+8 t y = -6+10 t; t ∈ R ] [ ta : x = -5+12 s y = -6+9 s; s ∈ 〈 0; 1 〉 ] [ v c : x = 3-8 r y = 4+16 r; r ∈ R ] 6. Napište parametrické vyjádření osy úsečky KL, K[+3; -3]; L[-1; -2] [ o: x = 1+ t y = -2,5 + 4 t; t ∈ R ] 7. a) Napište parametrické vyjádření přímky m , která prochází bodem M[2; -1,3] a je rovnoběžná s přímkou q , danou bodem Q [-3; 0 ] a bodem R [ 3; -4 ] . [m: x = 2+6 t y = -1,3-4 t ]
b) Napište par.vyjádření přímky k , která je kolmá na přímku m z předchozí úlohy a prochází bodem K [-2; 0 ] [ k: x = -2+4 t y = 6 t; t ∈ R ] 8. Napište obecnou rovnici přímky, která je určena ρ a) bodem A [-3; 2] a normálovým vektorem n ( 2; 1 ) ρ b) bodem A [ 3;-1 ] a směrovým vektorem s (3; -2 )
[ 2x + y + 4 = 0 ] [ 2x + 3y – 7 = 0]
c) body A [2; 1 ], B [-2; 4 ] [x+y–2=0] d) parametrickým vyjádřením:x = 2 - t y = -3 +2 t; t ∈ R [ 2x + y – 1 = 0 ] e) směrnicovým tvarem rovnice: y = -5x + 3 [ 5x + y – 3 = 0 ]
3
9. Je dán ∆ ABC: A [6; 2 ] B [-2; 4] C [-2; 0]. Určete obecné rovnice přímek,které obsahují: a) stranu AB [c: x + 4y – 14 = 0 ] b) těžnici t a [t a : y – 2 = 0 ] c) těžnici t b
[t b : 3x + 4y – 10 = 0 ]
10. K dané přímce napište obecnou rovnici přímky r , která je rovnoběžná s přímkou p a prochází bodem A a) p: 3x – y + 1 = 0; A [3;-1 ] [ r : 3x – y – 10 = 0 ] b) p: x = 1 + 2t y = 2 – t t ∈ R; A [3; 4 ] [ r : x + 2y – 11 = 0 ] 11. Napište obecnou rovnici tečny kružnice v době dotyku T [6; 2 ], jestliže střed je S[3;-4] [ t: x + 2y – 10 = 0 ]
12. Určete vzájemnou polohu přímek A jsou-li různoběžné, určete souřadnice jejich průsečíku : a) a: 2x – y + 3 = 0 b: x + y – 6 = 0 různoběžné , P [1; 5 ] b) a: x – 3y – 1 = 0 b: -2x + 6y + 5 = 0 rovnoběžné, a ≠ b c) a: 3x – 2y + 1 = 0 b: x = -1 - t y = 4 + t, t ∈ R různoběžné, P [1; 2 ] d) a: x + 2y – 5 = 0 b: x = 1 – 2t a=b y = 2 + t, t ∈ R e) a: x = -1 – t b: x = 3 – 2s y = 3 , t∈ R y = 2 + s, s ∈ R různoběžné, P [1; 3 ] 13. Sestavte rovnici přímky m (obecnou rovnici), která prochází bodem A [2;-3 ] a průsečíkem přímek a: 2x + 7y – 8 = 0 b: x + 2y – 1 = 0 [m: x + y +1 = 0 ]
14. Průsečíkem přímek k, l veďte přímku p tak, aby byla rovnoběžná s přímkou r : k: x – 3y – 9 = 0 l: 4x – y + 8 = 0 r: 2x + 3y – 18 = 0 Zapište obecnou rovnici přímky p. [p:
15. Určete odchylku přímek p, q : a) p: 2x – y + 1 = 0 b) p: x – y + 1 = 0 c) p: x – 2y + 13 = 0 d) p: x = 1 – 3t y = 2 + t, t ∈ R
q: 3x + y 1 = 0 q: y = ⅔x + 2 q = ↔ AB: A [0; -1], B [4; 1] q: x = 3 – s y = 1 – 3s, s ∈ R
4
[ α = 45°] [ α = 11° 19‘] [ α = 0°] [ α = 90°]
16. Mezi všemi přímkami 5x + 12y + c = 0 najděte tu, jejíž vzdálenost od počátku soustavy souřadnic je 3. [ 2 řešení: p 1 : 5x + 12y + 39 = 0 p 2 : 5x + 12y - 39 = 0 ]
17. Určete vzdálenost bodu M od přímky p, je-li : a) M [2; -1] p: 3x + 4y – 12 = 0 b) M [-4; -3] p = ↔ AB, A [1; 1]
[d=2]
B [2; 3]
c) M [2; 4 ]
[d=
p: x = 6 + 3t y = -8 – 4t; t ∈ R
6 5 5
]
[ d = 4]
18. Určete směrnici přímky p: 2x + 3y – 5 = 0
[k=-
2 ] 3
[k=
2 ] 3
19. Určete směrnici přímky AB: A [1; 3 ] B [-2; 1 ]
20. a) Napište směrnicový tvar rovnice přímky a, která prochází bodem A [4; 3 ] a je kolmá k přímce p: y = 2x + 1 1 [ a: y = - x + 5 ] 2 b) Napište směrnicový tvar rovnice přímky b, která prochází bodem B [-1; 6 ] a je rovnoběžná s přímkou p: y = 3x + 5 [ b: y = 3x + 9 ]
21. Určete vzájemnou polohu přímek, jsou-li různoběžné , vypočtěte odchylku : a) p: 3x – y + 6 = 0 q: x = 2 + t y = 1 – t t∈ R [ α = 63°26‘ ] [ α = 71°34‘ ]
b) p: 2x – y + 3 = 0
q: x + y – 6 = 0
c) p: x + y – 2 = 0
q : 2x + 2y – 4 = 0
[ p = q]
d) p: x = -1 –t y = 4 + t t∈ R
q : 3x – 2y + 1 = 0
[ α = 78°41‘ ]
e) p: x = 1 – 2 t y = 3 + t t∈ R f) p: x = -1 – t
q: x = 3 – 2 s y=s
s∈ R
[ rovnoběžné ]
q: x = 3 – 2s
s∈ R
[ α = 26°34‘]
5
22. Určete vzájemnou polohu přímek, jsou-li rovnoběžné. Vypočtěte jejich vzdálenost : a) a: x = 2 – 3 t b: 2x – 6y + 5 = 0 y = 1 – t t∈ R [ v = 0,474 j ] b) a: x = 1 – t y=2+t
t∈ R
c) a: x + 2y – 7 = 0
b: x = -1 - s y=4+s
s∈ R
[a=b]
b: x = 3 – 2 s y=s s∈ R
[ v = 1,79 j ]
d) a: y = -2 x + 5
b : y = -2 x – 1
[ v = 2,68 j ]
e) a: x + y + 6 = 0
b: x+y–4=0
[v=5 2j]
f) a: x = 2 + 3 t
b: y =
4 x–2 3
[ v = 0,8 j ]
23. Určete na ose y bod Y, který má od přímky p : y = -2x + 4 vzdálenost 2 5 .
[ Y 1 [0; -6] ; Y 2 [0; 14 ]
24. Na přímce p : x + 3y – 2 = 0 určete bod M tak, aby jeho vzdálenost od přímky q : 5x + 12y – 4 = 0 byla 3 . [ M 1 [ 35;-11 ] ; M 2 [ -43; 15 ] ] 25. Určete hodnotu parametru c ∈ R tak, aby vzdálenost počátku soustavy souřadnic od přímky p : 2x – y + c = 0 byla 4 . [ c1 = ±4 5 ] 2
26. Vypočtěte délky výšek v ∆ ABC : a) A [ 5; 2 ] [ v a = v c = 5 j; v b =
B [ 1; 5 ]
27. Vypočtěte odchylku přímky p : 8 x – 15y + 10 = 0 od osy x .
5 2 j] 2
[ α = 28°04‘ ]
28. Je dán ∆ ABC, A [ -1; 4 ], B [ 2; -2 ], C [ 5; -1 ]. Vypočítejte odchylku osy úsečky AB od souřadnicové osy x . [ α = 26°34‘ ] 29. Průsečíkem přímek p: 3x + y – 2 = 0, q: x – y – 6 = 0 veďte rovnoběžku s přímkou [ 2x – y – 8 =0 ] r: 2x – y + 4 = 0. Určete její obecnou rovnici.
6
30. Určete hodnotu parametru m ∈ R tak, aby přímka mx + y + m – 11 = 0 procházela průsečíkem přímek p: 2x + y + 6 = 0, q: x – 2y + 8 = 0. [ m = -3 ]
31. Jsou dány body A[ 2; 3; -1 ], B[ 4; 3; -2 ]. a) Rozhodněte, zda body K[0; 4; 2; ] a L[2 3 ; 3; - 3 ] leží na přímce AB. b) Určete r,s ∈ R tak, aby bod M [r; 2r; s ] ležel na přímce AB. 3 3 [a)K ∉↔ AB, L ∈↔ AB, b) M[ ;3;− ] 2 4
32. Zapište parametrické vyjádření ρ a) přímky p, která je určena bodem A [5;-8;2]a vektorem u (4;3;−1) . b) přímky q, která prochází bodem A[9;-3;1] a je rovnoběžná s přímkou BC, B[-4;-7;6] a C[2;-5;3]. c) přímky a procházející body K[-1;2;-5] a L[3;-2;-4]. d) přímky m, která je rovnoběžná s přímkou p = {[2t;1-3t;4+5t]; t ∈ R } a prochází bodem M[-3;0;2]. [a) p: x = 5 + 4t, y = -8 + 3t, z = 2 – t; t ∈ R b) q: x = 9 + 6t, y = -3 + 2t, z = 1 – 3t; t ∈ R c) a: x = -1 + 4t, y = 2 – 4t, z = -5 + t; t ∈ R d) m: x = -3 + 2t, y = -3t, z = 2 + 5t, t ∈ R] 33. Rozhodněte, jakou vzájemnou polohu mají přímky p,q: a) p = {[8 - 4t; 4 + 8t; -12t],t ∈ R } , q = {[3 + 3s; 1 - 6s; -2 + 9s ],s ∈ R } b) p = {[3 - t; -2 + 2t; 3t],t ∈ R } , q = {[2 + s; 1- s; 9 + 3s],s ∈ R } c) p = {[1- t; 2 + t; -6 - 2t],t ∈ R } , q = {[4 + s; -1 - s; 2s],s ∈ R } d) p = {[2t; 3 - t; 4 - t],t ∈ R } , q = {[2 - 2s; -1 + s; 6 + 2s],s ∈ R } [a) rovnoběžné různé ;b) různoběžné ; c) totožné ; d) mimoběžné]
34. Zjistěte vzájemnou polohu, pokud jsou různoběžné, určete i průsečík a) a = {[2 – 3t; 6 + t; -t],t ∈ R}, b = {[1 – 2s; 3s; 2 + s], s ∈ R} b) a = {[4 – 2t; 1 + 3t; -5 – 3t], t ∈ R}, b = {[7 – 7s; 2 + 5s; -8 -3s], s ∈ R} [a) mimoběžné; b)[0; 7; -11]
35. Jsou dány body A[3; 2; 1], B[-5; -10; 5], C[4; 7; -3] ,D[3; 5; -2].Určete , pokud existuje, průsečík přímek AB a CD. [ P [-3; -7; 4 ] ]
36. Určete vzájemnou polohu přímek p,q, jestliže přímka p je dána body A[7; 6; -3], →
B[6;8; -6], přímka q bodem C[6, -5, 7] a směrovým vektorem s (-2; 4; -6). [rovnoběžné různé ]
7
37. Napište parametrické vyjádření roviny určené body: a) A[ 1; 3; -1], B[ 2; 3; 3], C[ -2; -5; -7] b) A[ -1; -1; 0], B[ 1; 1; 2], C[ 2; 2; 3] c) A[ 1; 1; 0], B[ 2; 2; 1], C[ 0; 0; 0] [a) x = 1 + t – 3s; y = 3 - 8s; z = -1 + 4t – 6s; t,s ∈ R; b) body leží v jedné přímce, neurčují jednu rovinu; c) x = 1 + t – s; y = 1 + t – s; z = t; t,s ∈ R ] 38. Napište parametrické vyjádření roviny dané bodem a přímkou: a) M[3; 2; -1], p = {[ 2 – t, 3 + 2t, -t] ,t ∈ R} b) M[ -3; 1; -3], p = {[ 1 – t, t; -2 + 3t] ,t ∈ R} [a) x = 2 – t + s; y = 3 + 2t – s; z = -t – s; t,s ∈ R; b) x = 1 – t – 4s; y = t + s; z = -2 + 3t – s; t,s ∈ R] 39. Zjistěte, zda bod B [ 5; -2; 6] leží v rovině určené bodem A [ 2; -1; 3] a přímkou p = {[ 3 + t, 2 – t, 1 + 2t], t ∈ R} [ ano leží ]
40. Napište obecnou rovnici roviny, která prochází bodem A [ -3; 5; -7] a je kolmá k vektoru →
n ( 1; -2; -1).
[ x – 2y – z + 6 = 0 ]
41. Určete číslo d tak, aby rovina ρ : 7x – 8y -2z + d = 0 procházela bodem A [ 7; 6; -3 ]. [ d = -7 ]
42. Zapište obecnou rovnici roviny, která je dána parametricky: ρ = {[1 – t + 3s, 7 + 2t – s, -3 – t + s], t,s ∈ R}
[x – 2y – 5z – 2 = 0 ]
43. Napište obecnou rovnici roviny, která prochází body A[ 3; 2; -1] a B[ 4; 1; 1] a je rovnoběžná s přímkou p = {[ 5 – t, -3 + 3t, 4 + 2t], t ∈ R} [4x + 2y – z – 17 = 0 ]
44. Napište obecnou rovnici roviny, která prochází bodem A[7; -5; 3] a je kolmá k přímce p = {[2 + 3t, 5t, 7 – 2t], t ∈ R}. [ 3x + 5y – 2z + 10 = 0 ] 43. Rozhodněte o vzájemné poloze přímky a roviny a) p = {[ 4 – 3t, 5 – 3t, 4 – 4t], t ∈ R ; ρ =[1 – 2r + 5s, 2 + 3r, 4s],r,s ∈ R} b) p = {[ 4 + 5t,3 – 5t, 1 + 2t], t ∈ R; ρ =[ 2 – r + 3s, 3r – 4s, 7 + 2r], r,s ∈ R } [a) p|| ρ , p leží v ρ ; b) p|| ρ , p neleží v ρ ]
8
44. Určete jakou vzájemnou polohu má rovina a přímka a) ρ : x – 5y + 4z – 6 = 0], p = {[2 – t, 3t, 3 + 4t], t ∈ R} b) ρ : 3x + y – 3z – 13 = 0], p = {[3 – 2t, 1 + 3t, -1 –t], t ∈ R} c) ρ : 2x – 7y + z – 5 = 0], p = {[4 – t, 8 – 3t, 3 + 2t], t ∈ R} [a) p|| ρ , p neleží v ρ ; b) p|| ρ , p leží v ρ ; c) p|| ρ ] 45. Dokažte, že ↔ AB : A [3; -2; -1], B [4; 1; 3] je různoběžná s rovinou σ : 2x - 3y +z -2 = 0. Potom najděte průsečík.
[ P [6; 7; 11] ]
6. Určete vzájemnou polohu rovin σ = 2x – y – z – 1 = 0, ρ = 5x – 3y + 2z – 5 = 0 →
→
[různoběžné, v ≠ k . u ]
47. Vypočítejte vzdálenost bodu A[5; -1; 3] od přímky p = {[-1 + 2t, -5 + 3t, -2 + 2t] t∈R} [3]
48. Vypočtěte vzdálenost bodu B[1; 2; 3] od přímky určené bodem A[5; 10; -1] a směrovým →
vektorem u (-1; -2; 1) .
[0]
49. Vypočtěte vzdálenost bodu A od roviny ρ : a) A [ 3; 5; -6], ρ = 2x -2y + z – 8 = 0 b) A [-1; 3; 2 ], ρ = 3x -4y + 5z 15 = 0
[a) 6; b)
2 ]
50. Vypočtěte vzdálenost dvou rovnoběžek a ={[1 + t,1 + 2t, -t],t∈R},b= {[2r, 4r, -2r], r∈R} 51. Jsou dány roviny: ρ = {[2s, 2r, 2 - r – s],r,s∈R a σ = {[1 – u – 2v, u, v ],u,v∈R. Ověřte, zda jsou rovnoběžné a určete jejich vzdálenost.
52. Určete vzdálenost dvou rovnoběžných rovin α:x+y+z–6=0; β:x+y+z–3=0
[
6 ] 2
[
3 ]
[
2 ] 2
53. Určete vzdálenost bodu D [0; 2; -2] od roviny ABC určené třemi body A [1; -2; -2], B [2; -1; -1], C [1;-1; -2]
9
54. Vypočtěte odchylku dvou přímek a) p = {[2 + t, t, 7 – 2t],t∈R}, q = [4 – k, 5, -3 + k],k∈R} b) p = {[2 – 2t,1 + t,4 – 3t],t∈R}, q = [1 + k, 1 – k, 4 – k],k∈R} c) p = {[2 + t, 2t, - 3t],t∈R}, q = [1 – k, 2 – 2k, 3 + 3k],k∈R}
55. Určete odchylku přímky od roviny a) p = {[5 + t, 1 + 3t, -2t],t∈R}, ρ : 2x – y + 3z – 4 = 0 b) p = {[4 – 2t, 1 – 2t, t],t∈R} , ρ : x + 4y + z – 1 = 0
[a) β = 30°, b)
]
56. Zjistěte odchylku dvou rovin ρ1 : 2x + y – z + 4 = 0 , ρ 2 :2x + 4y + 2z – 5 = 0
57. Určete hodnotu parametru a∈R tak, aby přímka p = {[1 + t, 2 + at, - 1- t], t∈R} a rovina ρ : x + y – z + 8 = 0 byly rovnoběžné.
10
