@166
14. Soustava lineárních rovnic s parametrem Hned úvodem upozorňuji, že je velký rozdíl mezi soustavou rovnic řešenou parametrizováním, protože má nekonečně mnoho řešení zadaná soustava rovnic obsahuje jen číselné koeficienty a soustavou rovnic, která obsahuje parametr a my musíme jako součást řešení uvést rozklad oboru parametru do částí, v nichž má soustava rovnic jediné řešení, žádné řešení a nekonečně mnoho řešení zadaná soustava rovnic obsahuje na místě některých koeficientů písmena ve funkci parametrů
Příklad: Řešte soustavu rovnic pro dvě neznáme x, y R a parametr a R ax + y = 0 x+y=1 Řešení: 1. způsob - rozbor z 2. rovnice vypočteme y = 1 – x a výsledek jako substituci dosadíme do 1. rovnice ax + (1 - x) = 0 (a-1)x = -1 rozklad
a = 1 jedna konkrétní hodnota
rozbor pokračuje
konkrétní hodnotu musíme dosadit do původní soustavy a tuto řešit od začátku
a ≠ 1 koeficient u x je různý od nuly, rovnici lze dělit x = 1/(1-a) dosadíme do substituce y = 1 – x = a/(1-a)
1.x + y = 0 x+y=1 kandidáti na řešení zkouška odpověď souhrn
součet neznámých nemůže být [1/(1-a), a/(a-1)] zároveň roven jedné a nule Ø není co pod tabulkou Soustava ax + y = 0 x+y=1 s parametrem a pro a = 1 pro a ≠ 1
zkouška
nemá žádné řešení má jediné řešení [1/(1-a), a/(a-1)]
L1 = a.1/(1-a) + a/(a-1) = a/(1-a) + a/(a-1) = a/(1-a) - a/(1-a) = 0 = P1 L2 = 1/(1-a) + a/(a-1) = -1/(a-1) + a/(a-1) = 1 = P2 pokračování
@169 Bohužel pro t = 0 má soustava tvar x = 1 x- y= 0 která má jediné řešení [1; 1]
znovu prostudujte
@171a zpět Aniž budete soustavu řešit, jen využijete předchozí případ, určete řešení soustavy (A)
x+y=1 x- y=1
výtah: soustava
(B)
x + 2y = 1 x- y=4
(C)
x - 3y = 1 x- y=9
x + ty = 1 x - y = t2 pro t ≠ -1 má jediné řešení [t2-t+1; 1-t]
Porovnáním zjistíme, že soustavu (A) dostaneme pro t = 1 a tedy řešením je [1; 0], (B) t = 2 => [3; -1], (C) t = -3 => [13; 4] Úkol: Řešte soustavu lineárních rovnic s parametrem a R ax + y + z = 1 x + ay + z = a x + y + az = a2 varianta A: pro a = -2 nemá soustava žádné řešení varianta B: pro a = 1 má soustava nekonečně mnoho řešení varianta C: pro a R\{-2,1} má soustava jediné řešení
@167 zpět Řešte soustavu rovnic pro dvě neznáme x, y R a parametr a R ax + y = 0 x+y=1 Řešení: 2.způsob – rozbor - použití determinantů
D
a 1 1 1
a 1,
Dx
0 1 1 1
1,
Dy
a 0 1 1
a
1) Je-li determinant soustavy různý od nuly má soustava jediné řešení, tedy pro D = a-1 ≠ 0, tj a ≠ 1, je řešením (zkoušku jsme již provedli)
[-1/(a-1); a/(a-1)]
2) Je-li determinant soustavy roven nule a aspoň jeden další determinant je různý od nuly (v našem případě vždy platí Dx ≠ 0), pak soustava nemá žádné řešení. pro D = a-1 = 0, tj. a = 1, nemá soustava rovnic řešení Souhrn zapsán přehledně: Soustava ax + y = 0 x+y=1 pro a = 1 pro a ≠ 1
s parametrem a nemá žádné řešení má jediné řešení [1/(1-a); a/(a-1)]
Úkol: Řešte soustavu rovnic s parametrem p R px + y + z = p x+ y+ z=0 x + y + 2z = 1 výsledek
@170 Bohužel pro t = 1 má soustava tvar x +y= 1 x- y= 1 která má jediné řešení [1; 0]
znovu prostudujte
@168 zpět Řešte soustavu rovnic s parametrem p R px + y + z = p x+ y+ z=0 x + y + 2z = 1 Řešení: rozbor – použijeme determinanty
p 1 1 1 1 1 1 1 2
D
Dy
p 1 1
p 1 0 1 1 2
p 1,
Dx
1 2 p,
p 1 1 0 1 1 1 1 2
Dz
p
p 1 p 1 1 0 1 1 1
p 1
1) Determinant soustavy je roven nule D = p – 1 = 0, právě když p = 1. V tom případě je zároveň Dx = 1 ≠ 0 Dy = -1 ≠ 0 Dz = 0 Dokonce dva další determinanty jsou různé od nuly => soustava rovnic nemá řešení 2) Je-li p ≠ 1, je determinant soustavy různý od nuly D ≠ 0 a soustava má jediné řešení [p/(p-1); (1-2p)/(p-1); 1] Zkoušku přenechávám čtenáři. Úkol: Řešte soustavu rovnic s parametrem t R x + ty = 1 x - y = t2 pro t = -1 má soustava nekonečně mnoho řešení pro t = 0 nemá soustava žádné řešení pro t = 1 má soustava nekonečně mnoho řešení
@171 zpět Správně Řešte soustavu rovnic s parametrem t R x + ty = 1 x - y = t2 Řešení: Z druhé rovnice vypočteme x a dosadíme do první rovnice x = t2 + y
Použijeme determinanty
D 2
t + y + ty = 1 (1+t)y = 1 - t2
Dx
(1+t)y = (1-t)(1+t)
Dy
1 1
t
( t 1)
1
1 t2
t 1
(1 t 3 )
(1 t )( t 2 t 1) 1 1 t2 1 2 1 t ( t 1)( t 1)
pro t = -1 nelze dělit výrazem (1+t) a musíme se vrátit k původní sestavě s dosazením t = -1
D = - (t+1) = 0
t = -1
přitom Dx = - (1+(-1)3) = 0 Dy = (-1)2 – 1 = 0
x- y=1 x- y=1 Tato sestava má nekonečně mnoho řešení a musíme parametrizovat.
Tedy soustava má nekonečně mnoho řešení a musíme se vrátit k původní sestavě.
x- y=1 y vezmeme jako parametr, tedy x = 1 +y a kandidátem řešení je uspořádaná dvojice [1+y; y], kde y R pro t ≠ -1 můžeme rovnici vydělit a dostaneme pro t ≠ -1 je determinant soustavy (1+t)y = (1-t)(1+t) D≠0 a proto kandidátem řešení je y = 1-t a zpětně dosazeno uspořádaná dvojice 2 x=t –t+1 a kandidátem řešení je uspořádaná dvojice [t2-t+1; 1-t] 2 [t -t+1; 1-t]
Zkouška je přenechána čtenáři. souhrn pro t = -1
má soustava nekonečně mnoho řešení [1+y; y], kde y R
pro t ≠ -1
má soustava jediné řešení [t2-t+1; 1-t]
Úkol: Aniž budete soustavu řešit, jen využijete předchozí případ, určete řešení soustavy (A)
x+y=1 x- y=1
pokračování
(B)
x + 2y = 1 x- y=4
(C)
x - 3y = 1 x- y=9
@172 zpět Správně – platí všechny tři varianty: Řešte soustavu lineárních rovnic s parametrem a R ax + y + z = 1 x + ay + z = a x + y + az = a2 Řešení: rozbor první rovnici opíšeme, od druhé rovnice odečtěme první, od třetí odečteme první, dostaneme:
(*)
ax +y + z= 1 -(a-1)x + (a-1)y = (a-1) -(a-1)x + (a-1)z = (a2-1)
Druhá a třetí rovnice by šla vydělit výrazem (a-1), ale jen, když tento výraz nebude roven 0 I) případ a = 1 dělit nelze; jde o jednu hodnotu parametru a, tak se vracíme k původní sestavě x+ y+ z=1 x+ y+ z=1 x+ y+ z=1 Tato sestava má nekonečně mnoho řešení ve tvaru [x; y; 1-x-y] , x,y R zkoušku provedeme zpaměti II) pro a≠1 můžeme výrazem (a-1) 2. a 3. rovnici soustavy (*) vydělit (vykrátit) ax + y + z = 1 -x + y = 1 -x + z = a+1 (a) z 2. rovnice dostáváme (b) z 3. rovnice dostáváme
y=1+x z = 1+a+x
získané výrazy (a), (b) dosadíme do první rovnice a upravíme
(**)
ax + 1 + x + 1 + a + x = 1 (a+2)x = -(a+1)
Rovnici (**) lze vydělit výrazem (a+2) jen tehdy, když je nenulový; musíme rozbor znovu rozdělit IIa) případ a = -2 dělit nelze; jde o jednu hodnotu parametru a, tak se vracíme k původní sestavě
-2x + y + z = 1 x - 2y + z = -2 x + y - 2z = 4 Když všechny tři rovnice sečteme dostaneme 0.x + 0.y + 0.z = 3 kterou nelze splnit žádnou trojicí reálných čísel x, y, z. Tedy soustava nemá žádné řešení. IIb) pro a ≠ -2 můžeme rovnici (**) vydělit výrazem (a+2) a dostáváme x = -(a+1)/(a+2) dosadíme do (a) do (b)
y = 1/(a+2) z = (a+1)2/(a+2)
což znamená, že původní soustava rovnic má v tomto případě jediné řešení [-(a+1)/(a+2); 1/(a+2); (a+1)2/(a+2)] Zkouška je přenechána čtenáři. Shrnutí: Soustava lineárních rovnic s parametrem a R ax + y + z = 1 x + ay + z = a x + y + az = a2 pro a = -2
nemá soustava žádné řešení
pro a = 1
má soustava nekonečně mnoho řešení [x; y; 1-x-y] , x,y R
pro a R\{-2; 1} má soustava jediné řešení [-(a+1)/(a+2); 1/(a+2); (a+1)2/(a+2)]
KONEC LEKCE
