P(x,p)
se nazývají nerovnice s parametrem p. Definice: Řešit rovnici L(x,p)=P(x,p) v R s parametrem p R znamená určit rozklad množiny oboru parametru tak, aby rovnice měla v každém prvku rozkladu žádné, jedno, dvě, atd, nekonečně mnoho řešení S(p) = {x R ; L(x,p)=P(x,p) } v závislosti na hodnotě parametru p výčtem nebo intervalem. Poznámka: Definice řešení nerovnosti je táž jen místo = napíšeme některé z relačních znamének < > ≤ ≥ .
Poznámka: Volně řešeno - řešit rovnici s parametrem znamená rozdělit množinu R na části a rovnice má pak v každé části pro každou hodnotu parametru stejný počet řešení pro neznámou. Poznámka: Vždycky musíme zdůraznit, která proměnná je parametr, protože rozdíl mezi neznámou a parametrem spočívá nikoli v zápisu rovnice ale ve způsobu řešení. Ukážeme si to na příkladech. pokračování
@086 zpět Úkol: Řešte rovnici v R s parametrem t R a výsledek znázorněte na číselné ose
1 x 1 x Rovnice nemá žádné řešení pro x=1 t = -1 t=x
t
@089 zpět Správně. Řešte rovnici v R s parametrem t R a výsledek znázorněte na číselné ose
1 x 1 x
t
Řešení: rozbor rovnice má smysl jen pro x ≠ 1, to budeme muset v závěru prověřit; řešením nemůže být 1
1 + x = t - xt xt + x = t - 1 x(t + 1) = t - 1 Nyní pozor, nulou nelze dělit!!! Proto musíme množinu R parametru t rozložit na části rozklad
t = -1 jedna konkrétní hodnota
rozbor pokračuje
konkrétní hodnotu musíme dosadit do zadané rovnice a tuto řešit od začátku
t ≠ -1 koeficient u x je různý od nuly, rovnici lze dělit
x
t 1 t 1
x
t 1 t 1
1 x 1 1 x 1 + x = -1 + x 1 = -1 kandidáti na řešení
dostaly jsme nepravdivý výrok Ø
zkouška odpověď souhrn
není co
t t t 1 t t
1 L P
pod tabulkou
Rovnice
1 1 1 1
t 1 t t 1 t
1 x 1 x
t s parametrem t
pro t = -1
nemá žádné řešení
pro t ≠ -1
má jediné řešení x
t 1 1 t 1 1
2t 2
t
t 1 t 1
Tedy L=P pro každé t ≠ -1 . ALE ještě tu máme podmínku x ≠ 1. Proto musíme prozkoumat, jestli se pro nějaké t nemůže x rovnat 1. Pokud tomu tak bude, budeme muset toto t taky vyloučit (pro něj nebude mít rovnice řešení). rozbor
(x )
t 1 1 t 1 t 1 t 1 rozbor ukazuje, že takový případ (takové t) neexistuje 1 1
pokračování
@092 Má, ale jediné. Původní rovnice pro n = 2 má tvar 2(x - 1) = x + 2 2x - 2 = x + 2 x=4 Zkoušku proveďte sami. Přesvědčí vás, že pro n=2 má rovnice jediné řešení. znovu prostudujte a řešte
@095 zpět Správně. odpověď souhrn
Rovnice n(x - 1) = x + n s parametrem n pro n
{1}
nemá žádné řešení
pro n
(-∞;1) (1;+∞)
má jediné řešení x
2n n 1
Příklad: Řešte v R rovnici s parametrem k R
2y 2y k
k 1
Řešení: rozbor Aby rovnice měla smysl, nesmí být ve jmenovateli nula, tedy 2y Rovnici vynásobíme (2y - k)
k, ověříme na konci.
2y = (2y-k)(k+1) 2y = 2ky + 2y - k2 - k 2 k + k = 2ky k(k+1) = 2ky
rozklad
k = 0 jedna konkrétní hodnota
rozbor pokračuje
konkrétní hodnotu musíme dosadit do zadané rovnice a tuto řešit od začátku
k ≠ 0 a zároveň k ≠ -1 koeficient u y je různý od nuly, rovnici lze dělit
y
k 1 2
y
k 1 2
2y 1 2y 1=1 kandidáti na řešení zkouška
pokud je y ≠ 0 jde o pravdivý výrok pro všechna ostatní reálná čísla y nekonečně mnoho kandidátů obrácením postupu
pod tabulkou
odpověď souhrn
Rovnice
2y 2y k
k 1 s parametrem k
pro k = 0
má nekonečně mnoho řešení y R\{0}
pro k ≠ 0
má jediné řešení y
k 1 2
Zkouška pro k ≠ 0
k 1 2 k 1 2 k 2 k 1 2
L
P
k 1 k 1 k
k 1
Zkouška L = P dokazuje správnost řešení pro k ≠ 0 Na začátku rozboru jsme si poznamenali, že 2y nastat.
k. Zkoumejme, pro jaké k by to mohlo
(2y =) k+1 = k 1=0 nepravdivý výrok => nikdy nemůže nastat. Úkol: Řešte v R rovnici s parametrem a
x a 2 a pokračování – výsledek
x a 2 a
@084 zpět Příklad: Řešte v R rovnici s parametrem p v oboru reálných čísel
px + 3 = 2x - p . Řešení: rozbor Neznámá je x, proto musíme provést takové úpravy, abychom x osamostatnili na jedné straně rovnice a na druhé straně rovnice bude nějaký výraz s parametrem (proměnnou) p.
px + 3 = 2x - p px - 2x = - 3 - p x(p - 2) = -(3 + p) Nyní pozor, nulou nelze dělit!!! Proto musíme množinu R parametru p rozložit na části rozklad
p = 2 jedna konkrétní hodnota
rozbor pokračuje
konkrétní hodnotu musíme dosadit do zadané rovnice a tuto řešit od začátku
p ≠ 2 koeficient u x je různý od nuly, rovnici lze dělit
3 p p 2 3 p x 2 p 3 p x 2 p x
2x + 3 = 2x – 2 3=2 kandidáti na řešení
dostaly jsme nepravdivý výrok Ø
zkouška odpověď souhrn
není co pod tabulkou Rovnice px + 3 = 2x - p s parametrem p
L
3 p 2
p p
3
P
2
3 2
p p
p
pro p = 2
nemá žádné řešení
pro p ≠ 2
má jediné řešení x
p2 6 2 p
p2
p2 6 2 p
p) 3( 2 2 p
p)
3p
2( 3
p) 2
p)
6 2p 2p 2 p
Tedy L=P pro každé p ≠ 2 .
p p
p2 3 p 6 2 p
p( 3
p( 2 p
3 2
Poznámka: Vždycky musíme zdůraznit, která proměnná je parametr, protože rozdíl mezi neznámou a parametrem spočívá nikoli v zápisu rovnice ale ve způsobu řešení. pokračování
@087 Bohužel. Máte sice pravdu, že x = 1 nemůže být řešením, protože pro tuto hodnotu nemá levá strana rovnice smysl, ale zaměnil jste parametr t za proměnnou=neznámou x.
znovu prostudujte
@090 zpět Výstraha: Zkoušku nelze pokládat za formální proces. Někdy změní (doplní) rozklad množiny oboru parametru o další část. Příklad: Řešte rovnici v R s parametrem a R a graficky znázorněte závěry na číselné ose
2ax 1 2
ax 2 x 3
Řešení: rozbor Aby rovnice měla smysl, nesmí být ve jmenovateli nula, tedy x Rovnici vynásobíme 2(x-3)
3, ověříme na konci.
(2ax-1)(x-3) = 2ax2 2ax2 - x - 6ax + 3 = 2ax2 x + 6ax = 3 x(1+6a) = 3 rozklad
a = -1/6 jedna konkrétní hodnota
rozbor pokračuje
konkrétní hodnotu musíme dosadit do zadané rovnice a tuto řešit od začátku
a ≠ -1/6 koeficient u x je různý od nuly, rovnici lze dělit
1 1 2 x 1 x 6 6 2 x 3 (-2x-6)(x-3) = -2x2 -2x2+6x-6x+18=-2x2 18 = 0
x
3 1 6a
x
3 1 6a
2
kandidáti na řešení
dostaly jsme nepravdivý výrok Ø
zkouška odpověď souhrn
není co Rovnice
Zkouška pro a ≠ -1/6
pod tabulkou
2ax 1 2
2
ax s parametrem a x 3
pro a
{-1/6; 0}
nemá žádné řešení
pro a
R\{-1/6; 0}
má jediné řešení x
3 1 6a
3 1 6a (1 6a ) 1 1 6 a L 2 2(1 6a ) 2(1 6a ) 3 2 a( ) 9a(1 6a ) 9a 1 6 a P 2 3 3 (1 6a ) ( 3 3(1 6a )) (1 6a )( 3 3 18a ) 1 6a 9a 1 18a(1 6a ) 2(1 6a ) 2a
Zkouška pravé strany rovnice vyžaduje ještě požadovat a ≠ 0, jinak úpravy nemají smysl. Zkouška L = P dokazuje správnost řešení pro a ≠ -1/6 , a ≠ 0 Na začátku rozboru jsme si poznamenali, že x ≠ 3. Zkoumejme, pro jaké a by to mohlo nastat.
(x )
3 3 1 6a 1 1 6a 0 a
To je ovšem právě ten případ, kdy vypočíst pravou stranu zkoušky nelze. Tomu odpovídá souhrn uvedený v tabulce.
Úkol: Řešte v R rovnici s parametrem n R
n(x - 1) = x + n Který z těchto výroků platí pro n = 0
nemá rovnice řešení
pro n = 2
má rovnice nekonečně mnoho řešení
pro n = 1
nemá rovnice řešení
zpět
@093 zpět Správně. Úkol: Které grafické znázornění závěrů o řešení rovnice n(x - 1) = x + n v R s parametrem n je správné?
varianta A:
varianta B:
varianta C:
@096 zpět Řešte v R rovnici s parametrem a
x a 2 a odpověď souhrn
Rovnice
x a 2 a
x a x a s parametrem a 2 a 2 a pro a = 0 má nekonečně mnoho řešení x R pro a {-2; 2} nemá žádné řešení pro a R \{-2; 0; 2} má jediné řešení x = 2
KONEC LEKCE