8. Lineární rovnice s parametrem

@082

8. Lineární rovnice s parametrem Příklad: Řešte lineární rovnice v R. a) x + 1 = 5 d) x + 4 = 5 g) x + 7 = 5

b) x + 2 = 5 e) x + 5 = 5 h) x + 8 = 5

c) x + 3 = 5 f) x + 6 = 5 i) x + 9 = 5

Řešení: Všechny rovnice se řeší stejně. K oběma stranám rovnice přičteme (odečteme) vhodné číslo: a) b) c) d) e) f) g) h) i)

x + 1 = 5 => x+2=5 x+3=5 x+4=5 x+5=5 x+6=5 x+7=5 x+8=5 x + 9 = 5 =>

x=5-1 x=5-2 x=5-3 x=5-4 x=5-5 x=5-6 x=5-7 x=5-8 x=5-9

=>

=>

x= 4 x= 3 x= 2 x= 1 x= 0 x = -1 x = -2 x = -3 x = -4

Poznámka: Takováto sada příkladů jistě potěší žáka ze 3. třídy apod., protože myslí pouze s konkrétními čísly a tak ještě nedokáže postřehnout, že je to strašná nuda. Ovšem my starší tu nudu cítíme a chtěli bychom všechny ty příklady vyřešit najednou.

Úkol: Rozmyslete si, jak by bylo možné všech devět rovnic vyřešit najednou. Návod: Uvědomte si, že z geometrického hlediska představují všechny levé strany y = x + 1, y = x + 2, y = x + 3, … rovnice rovnoběžných přímek

pokračování

@085 zpět A teď stejnou výrokovou formu, ale "obráceně"; parametr totiž nemusí být vždy označován p ale třeba i x. Nesmíme si plést neznámou a parametr. Příklad: Řešte v R rovnici s parametrem x v oboru reálných čísel

px + 3 = 2x - p . Řešení: rozbor Neznámá je p, proto musíme provést takové úpravy, abychom p osamostatnili na jedné straně rovnice a na druhé straně rovnice bude nějaký výraz s parametrem (proměnnou) x.

px + 3 = 2x - p xp + p = 2x - 3 p(x + 1) = 2x - 3 Nyní pozor, nulou nelze dělit!!! Proto musíme množinu R parametru x rozložit na části rozklad

x = -1 jedna konkrétní hodnota

x ≠ -1 koeficient u x je různý od nuly, rovnici lze dělit

rozbor pokračuje

konkrétní hodnotu musíme dosadit do zadané rovnice a tuto řešit od začátku

p

2x 3 x 1

p

2x 3 x 1

-p + 3 = -2 – p 3 = -2 kandidáti na řešení

dostaly jsme nepravdivý výrok Ø

zkouška odpověď souhrn

není co pod tabulkou Rovnice px + 3 = 2x - p s parametrem x

L P

2x x

3

x

1 2x 3 2x x 1

3

pro x = -1

nemá žádné řešení

pro x ≠ -1

má jediné řešení p

(2 x

3) x

3( x

1 2 x ( x 1) ( 2 x 3) x 1

Tedy L=P pro každé x ≠ -1 .

2x 2

1)

x

3x x

2x

2

2x 3 x 1 3x

1 2x 2x 3 x 1

2x 2

3

x 2x 3 x 1 2

3 1

pokračování

@088 Bohužel Když se podíváte na výše řešené příklady, tak nikde nenajdete, že by se rozdělení množiny parametru odvolávalo, nějak záviselo, na proměnné = neznámé. Tedy rozklad množiny parametru na neznámé proměnné nesmí záviset. V dané části rozkladu je pak určeno řešení (existuje-li), kde je výraz určující závislost neznámé na parametru.

znovu prostudujte

@091 Ale má. Původní rovnice pro n = 0 má tvar 0.(x - 1) = x + 0 0=x Zkoušku proveďte sami. Přesvědčí vás, že pro n=0 má rovnice jediné řešení. znovu prostudujte a řešte

@094 Bohužel znovu rovnici vyřešte

@083 zpět Když místo čísel 1,2,3,4,5,6,7,8,9 napíšeme písmeno p, můžeme všechny rovnice napsat jednou formulkou

x+p=5 s tím, že p může nabývat některé hodnoty 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Od obou stran rovnice odečteme číslo p a dostaneme

x=5-p Zkouška :

L(5-p) = (5-p) + p = 5 - p + p = 5 P(5-p) = 5 Zkouška dokazuje, že x = 5 - p je řešením pro všechna číslo p=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Poznámka: Proměnné p z výše uvedeného příkladu říkáme parametr a množině {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} obor parametru - obvykle bývá R. Rovnici

x+p=5 pak nazýváme rovnicí s parametrem p. Všimněte si, že musíme říct, která proměnná je parametr, protože bychom to jinak neměli jak poznat. Definice: Nechť L(x,p) a P(x,p) jsou dvě názvové formy, kde x,p R. Výroková forma

L(x,p)=P(x,p) se nazývá rovnice s parametrem p. Výrokové formy

L(x,p)P(x,p)

se nazývají nerovnice s parametrem p. Definice: Řešit rovnici L(x,p)=P(x,p) v R s parametrem p R znamená určit rozklad množiny oboru parametru tak, aby rovnice měla v každém prvku rozkladu žádné, jedno, dvě, atd, nekonečně mnoho řešení S(p) = {x R ; L(x,p)=P(x,p) } v závislosti na hodnotě parametru p výčtem nebo intervalem. Poznámka: Definice řešení nerovnosti je táž jen místo = napíšeme některé z relačních znamének < > ≤ ≥ .

Poznámka: Volně řešeno - řešit rovnici s parametrem znamená rozdělit množinu R na části a rovnice má pak v každé části pro každou hodnotu parametru stejný počet řešení pro neznámou. Poznámka: Vždycky musíme zdůraznit, která proměnná je parametr, protože rozdíl mezi neznámou a parametrem spočívá nikoli v zápisu rovnice ale ve způsobu řešení. Ukážeme si to na příkladech. pokračování

@086 zpět Úkol: Řešte rovnici v R s parametrem t R a výsledek znázorněte na číselné ose

1 x 1 x Rovnice nemá žádné řešení pro x=1 t = -1 t=x

t

@089 zpět Správně. Řešte rovnici v R s parametrem t R a výsledek znázorněte na číselné ose

1 x 1 x

t

Řešení: rozbor rovnice má smysl jen pro x ≠ 1, to budeme muset v závěru prověřit; řešením nemůže být 1

1 + x = t - xt xt + x = t - 1 x(t + 1) = t - 1 Nyní pozor, nulou nelze dělit!!! Proto musíme množinu R parametru t rozložit na části rozklad

t = -1 jedna konkrétní hodnota

rozbor pokračuje


t ≠ -1 koeficient u x je různý od nuly, rovnici lze dělit

x

t 1 t 1

x

t 1 t 1

1 x 1 1 x 1 + x = -1 + x 1 = -1 kandidáti na řešení



není co

t t t 1 t t

1 L P

pod tabulkou

Rovnice

1 1 1 1

t 1 t t 1 t

1 x 1 x

t s parametrem t

pro t = -1


pro t ≠ -1

má jediné řešení x

t 1 1 t 1 1

2t 2

t

t 1 t 1

Tedy L=P pro každé t ≠ -1 . ALE ještě tu máme podmínku x ≠ 1. Proto musíme prozkoumat, jestli se pro nějaké t nemůže x rovnat 1. Pokud tomu tak bude, budeme muset toto t taky vyloučit (pro něj nebude mít rovnice řešení). rozbor

(x )

t 1 1 t 1 t 1 t 1 rozbor ukazuje, že takový případ (takové t) neexistuje 1 1

pokračování

@092 Má, ale jediné. Původní rovnice pro n = 2 má tvar 2(x - 1) = x + 2 2x - 2 = x + 2 x=4 Zkoušku proveďte sami. Přesvědčí vás, že pro n=2 má rovnice jediné řešení. znovu prostudujte a řešte

@095 zpět Správně. odpověď souhrn

Rovnice n(x - 1) = x + n s parametrem n pro n

{1}


pro n

(-∞;1) (1;+∞)


2n n 1

Příklad: Řešte v R rovnici s parametrem k R

2y 2y k

k 1

Řešení: rozbor Aby rovnice měla smysl, nesmí být ve jmenovateli nula, tedy 2y Rovnici vynásobíme (2y - k)

k, ověříme na konci.

2y = (2y-k)(k+1) 2y = 2ky + 2y - k2 - k 2 k + k = 2ky k(k+1) = 2ky

rozklad

k = 0 jedna konkrétní hodnota

rozbor pokračuje


k ≠ 0 a zároveň k ≠ -1 koeficient u y je různý od nuly, rovnici lze dělit

y

k 1 2

y

k 1 2

2y 1 2y 1=1 kandidáti na řešení zkouška

pokud je y ≠ 0 jde o pravdivý výrok pro všechna ostatní reálná čísla y nekonečně mnoho kandidátů obrácením postupu

pod tabulkou

odpověď souhrn

Rovnice

2y 2y k

k 1 s parametrem k

pro k = 0

má nekonečně mnoho řešení y R\{0}

pro k ≠ 0

má jediné řešení y

k 1 2

Zkouška pro k ≠ 0

k 1 2 k 1 2 k 2 k 1 2

L

P

k 1 k 1 k

k 1

Zkouška L = P dokazuje správnost řešení pro k ≠ 0 Na začátku rozboru jsme si poznamenali, že 2y nastat.

k. Zkoumejme, pro jaké k by to mohlo

(2y =) k+1 = k 1=0 nepravdivý výrok => nikdy nemůže nastat. Úkol: Řešte v R rovnici s parametrem a

x a 2 a pokračování – výsledek

x a 2 a

@084 zpět Příklad: Řešte v R rovnici s parametrem p v oboru reálných čísel

px + 3 = 2x - p . Řešení: rozbor Neznámá je x, proto musíme provést takové úpravy, abychom x osamostatnili na jedné straně rovnice a na druhé straně rovnice bude nějaký výraz s parametrem (proměnnou) p.

px + 3 = 2x - p px - 2x = - 3 - p x(p - 2) = -(3 + p) Nyní pozor, nulou nelze dělit!!! Proto musíme množinu R parametru p rozložit na části rozklad

p = 2 jedna konkrétní hodnota

rozbor pokračuje


p ≠ 2 koeficient u x je různý od nuly, rovnici lze dělit

3 p p 2 3 p x 2 p 3 p x 2 p x

2x + 3 = 2x – 2 3=2 kandidáti na řešení



není co pod tabulkou Rovnice px + 3 = 2x - p s parametrem p

L

3 p 2

p p

3

P

2

3 2

p p

p

pro p = 2


pro p ≠ 2


p2 6 2 p

p2

p2 6 2 p

p) 3( 2 2 p

p)

3p

2( 3

p) 2

p)

6 2p 2p 2 p

Tedy L=P pro každé p ≠ 2 .

p p

p2 3 p 6 2 p

p( 3

p( 2 p

3 2

Poznámka: Vždycky musíme zdůraznit, která proměnná je parametr, protože rozdíl mezi neznámou a parametrem spočívá nikoli v zápisu rovnice ale ve způsobu řešení. pokračování

@087 Bohužel. Máte sice pravdu, že x = 1 nemůže být řešením, protože pro tuto hodnotu nemá levá strana rovnice smysl, ale zaměnil jste parametr t za proměnnou=neznámou x.

znovu prostudujte

@090 zpět Výstraha: Zkoušku nelze pokládat za formální proces. Někdy změní (doplní) rozklad množiny oboru parametru o další část. Příklad: Řešte rovnici v R s parametrem a R a graficky znázorněte závěry na číselné ose

2ax 1 2

ax 2 x 3

Řešení: rozbor Aby rovnice měla smysl, nesmí být ve jmenovateli nula, tedy x Rovnici vynásobíme 2(x-3)

3, ověříme na konci.

(2ax-1)(x-3) = 2ax2 2ax2 - x - 6ax + 3 = 2ax2 x + 6ax = 3 x(1+6a) = 3 rozklad

a = -1/6 jedna konkrétní hodnota

rozbor pokračuje


a ≠ -1/6 koeficient u x je různý od nuly, rovnici lze dělit

1 1 2 x 1 x 6 6 2 x 3 (-2x-6)(x-3) = -2x2 -2x2+6x-6x+18=-2x2 18 = 0

x

3 1 6a

x

3 1 6a

2

kandidáti na řešení



není co Rovnice

Zkouška pro a ≠ -1/6

pod tabulkou

2ax 1 2

2

ax s parametrem a x 3

pro a

{-1/6; 0}


pro a

R\{-1/6; 0}


3 1 6a

3 1 6a (1 6a ) 1 1 6 a L 2 2(1 6a ) 2(1 6a ) 3 2 a( ) 9a(1 6a ) 9a 1 6 a P 2 3 3 (1 6a ) ( 3 3(1 6a )) (1 6a )( 3 3 18a ) 1 6a 9a 1 18a(1 6a ) 2(1 6a ) 2a

Zkouška pravé strany rovnice vyžaduje ještě požadovat a ≠ 0, jinak úpravy nemají smysl. Zkouška L = P dokazuje správnost řešení pro a ≠ -1/6 , a ≠ 0 Na začátku rozboru jsme si poznamenali, že x ≠ 3. Zkoumejme, pro jaké a by to mohlo nastat.

(x )

3 3 1 6a 1 1 6a 0 a

To je ovšem právě ten případ, kdy vypočíst pravou stranu zkoušky nelze. Tomu odpovídá souhrn uvedený v tabulce.

Úkol: Řešte v R rovnici s parametrem n R

n(x - 1) = x + n Který z těchto výroků platí pro n = 0

nemá rovnice řešení

pro n = 2

má rovnice nekonečně mnoho řešení

pro n = 1

nemá rovnice řešení

zpět

@093 zpět Správně. Úkol: Které grafické znázornění závěrů o řešení rovnice n(x - 1) = x + n v R s parametrem n je správné?

varianta A:

varianta B:

varianta C:

@096 zpět Řešte v R rovnici s parametrem a

x a 2 a odpověď souhrn

Rovnice

x a 2 a

x a x a s parametrem a 2 a 2 a pro a = 0 má nekonečně mnoho řešení x R pro a {-2; 2} nemá žádné řešení pro a R \{-2; 0; 2} má jediné řešení x = 2

KONEC LEKCE

8. Lineární rovnice s parametrem

Recommend Documents