@056
5. Lineární rovnice s absolutní hodnotou rovnice Když se řekne s absolutní hodnotou, znamená to, že zadaná rovnice obsahuje neznámou v absolutní hodnotě. není (ne)rovnice s absolutní hodnotou neznámá x není v absolutní hodnotě
je (ne)rovnice s absolutní hodnotou
2x - │-7│ = 0
│2x - 7│ = 0
│2│x - 7 = 0
│2x - │7││ = 0
Připomeňme si, jak je absolutní hodnota definována (varianty – 1. je základní)
|x|
x 0 x
x 0 x 0 x 0
|x|
x x
x 0 x 0
|x|
x x
x 0 x 0
Dále si připomeňme vlastnosti absolutní hodnoty, které budeme potřebovat |x-a| = 0 <=> x = a |x|2 = |x2| = x2
|-x| = |x| |x - a| = |a - x|
|xy|=|x||y| |x / y| = |x| / |y| y
Přepišme si definici absolutní hodnoty s trochu složitějším argumentem
| x a|
x 0 x
x a x a x a
| ax
b|
x 0 x
x b/a x b/a a 0 x b/a
Všimněte si, že definice absolutní hodnoty se skokem mění v případě, kdy je výraz v absolutní hodnotě roven nule. Takové body se nazývají body zvratu. Příklady: na určení bodů zvratu |x - 3| |x + 2| |x – ½ | |2x - 6|
položíme nule a vypočteme x – 3 = 0 => x = 3 je bod zvratu bod zvratu x = -2 bod zvratu x = ½ bod zvratu x = 3
0
|4 - x| |3 + 2x| |5x + 2| |3 – 3x|
bod zvratu bod zvratu bod zvratu bod zvratu
x=4 x = -3/2 x = -2/5 x=1
Úmluva: Z technických důvodů budeme často místo zlomku
8 = 8/7 7 pokračování
5 = -5/2 2
4 = 4/11 11
atp.
a psát jednodušeji a/b. b
@056c zpět Řešte v R rovnici
|x + 1| = 2x
Řešení: -∞ x+1 rozbor
kandidáti zkouška odpověď
-1
-1
— + -(x + 1) = 2x 1 + x = 2x –x - 1 = 2x 1=x -1 = 3x -1/3 = x x = -1/3 x=1 -1/3 (-∞; -1) 1 <-1; +∞) -1/3 není kandidát !!! zkouška je v tomto intervalu L(1) = |1 + 1| = 2 zbytečná; chybí kandidát P(1) = 2.1 = 2 zkouška dokázala, že x = 1 je jediný kořen zadané rovnice, že množina řešení je jednoprvková S = {1}
Příklad: Řešte v R rovnici
│x + 1│ - 2│x - 1│ = x
tradiční školní řešení tabulková metoda - pokračování
+∞
@057a zpět Grafické řešení rovnice │x + 1│ - 2│x - 1│ = x spočívá v tom, že provedeme grafické řešení v jednotlivých intervalech, na které se rozpadla množina reálných čísel zvlášť. Upravíme si levou stranu a položíme = y, a podobně pravou stranu. Pak vyneseme jednotlivé přímky (omezeno na intervaly jde už o polopřímky či úsečky) do soustavy souřadnic. Body zvratu pro přehlednost vyznačíme tečkovanou/čárkovanou rovnoběžkou s osou y. Nakonec odečteme kořeny jako x-ové souřadnice průsečíků, kde se lomená čára levé strany protíná s pravou stranou. -∞ x+1 — x-1 — přímka, úsečka -(x + 1) + 2(x – 1) = y levé x–3=y strany L(x) = y přímka úsečka pravé y=x strany y = P(x)
pokračování
-1
-1
1 + —
(x + 1) + 2(x – 1) = y 3x – 1 = y
y=x
1
+∞ + +
(x + 1) – 2(x – 1) = y x+3=y
y=x
@058b zpět správně Řešte v R rovnici
2│x + 1│ - 4│x - 1│ = x
Řešení: -∞
-1
-1
1
1
+∞
— + + — — + -2(x + 1) + 4(x – 1) = x 2(x + 1) + 4(x – 1) = x 2(x + 1) – 4(x – 1) = x -2x – 2 + 4x – 4 = x 2x + 2 + 4x – 4 = x 2x + 2 – 4x + 4 = x 2x – 6 = x 5x = 2 6 = 3x x=6 x = 2/5 2=x kandidáti x=6 x = 2/5 x=2 6 (-∞; -1) 2/5 <-1; 1) 2 <1; +∞) 6 není kandidát !!! L(2/5) = P(2/5) L(2) = P(2) zkouška odpověď řešením rovnice je dvouprvková množina S = {2/5; 2} rovnice má dva kořeny x1 = 2/5 a x2 = 2 x+1 x–1 rozbor
L(2/5) = 2│2/5 + 1│- 4│2/5 - 1│ = 2│7/5│ - 4│-3/5│ = 2(7/5) - 4(3/5) = 14/5 - 12/5 = 2/5 P(2/5) = 2/5 L(2) = 2│2 + 1│ - 4│2 - 1│ = 2│3│ - 4│1│ = 2.3 – 4.1 = 6 - 4 = 2 P(2) = 2 Úkol: Řešte graficky rovnici pokračování – výsledek
2│x + 1│ - 4│x - 1│ = x
@060 zpět Řešte v R rovnici
│x│ = 1 + x
Řešení: 0 0
-∞ x rozbor kandidáti zkouška
— -x = 1 + x -1 = 2x - 1/2 = x x = - 1/2 - 1/2 (-∞; 0) L(-1/2) =│-1/2│= 1/2 P(-1/2) = 1 - 1/2 = 1/2 L(-1/2) = P(-1/2)
odpověď
nepravdivý výrok Ø
řešení rovnice S = {-1/2} rovnice má jediný kořen x = -1/2
Úkol: Řešte v R rovnici │x + 1│ + 3│x - 1│ = 2│x│ + 3 - x pokračování – výsledek
+∞ + x=1+x 0=1
@062 zpět správně Řešte v R nerovnici
│x + 2│ < 8
Řešení: -∞ x+2 rozbor kandidáti zkouška odpověď
-2 -2 — + -x - 2 < 8 x+2<8 -10 < x x<6 (-∞; -2) (-10; +∞) <-2; +∞) (-∞; 6) (-10; -2) <-2; 6) se provede obrácením postupu řešení rovnice je sjednocení dílčích intervalů (-10; -2) <-2; 6) = (-10; 6)
+∞
Následující úkol je obtížnější a těžší než jsme dosud uvedli. Přesto jej nejprve řešte sami, než si projdete moje vzorové řešení. Úkol: Řešte v R rovnici |3 - |x + 1|| = 2x návod: začněte odstraňovat absolutní hodnotu zevnitř pokračovat – výsledek
@056a zpět Příklad: Řešte v R rovnici
2|x - 3| = x
Řešení: rozbor Abychom mohli rovnici vyřešit, musíme nejprve odstranit absolutní hodnotu – ty dvě svislé čárky změnit na závorky. Víme, že se absolutní hodnota chová v různých částech číselné osy chová jinak a bod zvratu určuje hranici, kde se to mění. Musíme tedy nejprve určit bod zvratu. Bodem zvratu x = 3 se nám rozpadá číselná osa na dva intervaly (bod zvratu nevylučujeme, jen ho přidáme k jednomu z nich, viz 2. variantu definice absolutní hodnoty): (-∞,3), <3,+∞) tabulková metoda řešení: Podobně jako jsme to dělali při řešení nerovnic s racionalitou zobrazíme v prvním řádku tabulky číselnou osu a vyznačíme do ní body zvratu (jednoduchá čára, protože se body zvratu nevylučují). Do dalšího (dalších) řádku zaznamenáme znaménka, jichž nabývají výrazy v absolutních hodnotách. Znaménko určíme jednoduše dosazením do výrazu libovolné číslo ze zpracovávaného intervalu. sem patří např. 0 0 – 3 = -3 < 0 znaménko bude — -∞ x-3
3 3
sem patří např. 5 5–3=2>0 znaménko bude +
+∞
Do dalšího řádku tabulky nyní přepíšeme zadanou rovnici s odstraněnou absolutní hodnotou (pozor na znaménka!) a v každé části provedeme rozbor rovnice až po získání kandidátů řešení. -∞
3 3
— + -2(x – 3) = x 2(x – 3) = x -2x + 6 = x 2x – 6 = x 6 = 3x x=6 2=x kandidáti x=2 x=6 prověříme přípustnost podle 2 (-∞;3) 6 <3;+∞) zkouška zkouška se zásadně dělá do původní rovnice L(2) = 2|2 - 3| = 2|-1|=2.1=2 L(6) = 2|6 - 3| = 2|3|=2.3=6 P(2) = 2 P(6) = 6 odpověď zkouška dokázala, že x1 = 2 a x2 = 6 jsou kořeny zadané rovnice, že množina řešení je dvouprvková S = {2; 6} x-3 rozbor
Úkol: Řešte v R rovnici výsledek
|1 - 2x| = 5
+∞
@056d zpět Řešte v R rovnici
│x + 1│ - 2│x - 1│ = x
Řešení: Tradiční způsob vedení řešení v bodech uvádím jen jako ukázku pro ty, kteří si potřebují připomenout, co se kdysi učili. Body jsou vytvářeny kombinacemi kladných a záporných podmínek jednotlivých výrazů v absolutních hodnotách, tak, aby se rovnice dala zapsat bez značek ||. I. podmínka x + 1 0 a zároveň x – 1 0 dohromady x 1 za této podmínky se odstraní značky absolutní hodnoty beze změny znaménka │x + 1│ = x + 1 a │x - 1│ = x - 1 rovnice se upraví na tvar
x+1 - 2(x-1) = x -x + 3 = x 3 = 2x x = 3/2 vyhovuje podmínce x
1
L(3/2) =│3/2 + 1│- 2│3/2 - 1│ = │5/2│ - 2│1/2│= 5/2 - 2(1/2) = 5/2 - 1 = 3/2 zkouška vyšla
P(3/2) = 3/2
II. podmínka x + 1 0 a zároveň x – 1 < 0 dohromady -1 x < 1 x -1 x<1 za této podmínky se odstraní značky absolutní hodnoty takto │x + 1│ = x + 1 a │x - 1│ = -(x – 1) rovnice se upraví na tvar
x+1 - 2(-x+1) = x 3x - 1 = x 2x = 1 x = 1/2 vyhovuje podmínce -1
x<1
L(1/2) =│1/2 + 1│ - 2│1/2 - 1│ = │3/2│ - 2│-1/2│ = 3/2 - 2(1/2) = 3/2 - 1 = 1/2 P(1/2) = 1/2
zkouška vyšla
III. podmínka x + 1 < 0 a zároveň x – 1 0 podmínky si odporují, není kde řešit x < -1 x 1 IV. podmínka x + 1 < 0 a zároveň x – 1 < 0 dohromady x < -1 za této podmínky se odstraní značky absolutní hodnoty beze změny znaménka │x + 1│ = -(x + 1) a │x - 1│ = -(x – 1) rovnice se upraví na tvar
-x-1 - 2(-x+1) = x x-3 =x -3 = 0
Dostali jsme nepravdivý výrok, proto z této části nedostáváme žádné řešení. Zkouška dokázala, že zadaná rovnice má dva kořeny: x=1/2 a x=3/2 zpět
@058 zpět Úkol: Řešte v R rovnici Rovnice má dva kořeny jeden kořen tři kořeny
2│x + 1│ - 4│x - 1│ = x
@058c zpět Řešte graficky rovnici
2│x + 1│ - 4│x - 1│ = x
Řešení: -∞
-1
x+1 — x-1 — přímka, úsečka -2(x + 1) + 4(x – 1) = y levé 2x – 6 = y strany L(x) = y přímka úsečka pravé y=x strany y = P(x)
pokračování
-1
1 + —
2(x + 1) + 4(x – 1) = y 6x – 2 = y
y=x
1
+∞ + +
2(x + 1) – 4(x – 1) = y -2x + 6 = y
y=x
@061 zpět Řešte v R rovnici │x + 1│ + 3│x - 1│ = 2│x│ + 3 - x Řešení: -∞
-1
x x+1 x-1 rozbor
— — — -x-1-3x+3=-2x+3-x -4x + 2 = -3x + 3 -1 = x
kandidáti
x = -1 -1 (-∞; -1) Ø
zkouška odpověď
-1
0 0 1
— + — x+1-3x+3=-2x+3-x -2x + 4 = -3x + 3 x = -1 x = -1 -1 <-1; 0) L=P
L=P
L(1/3) = │1/3+1│ + 3│1/3-1│ = 4/3 + 3│-2/3│ = 10/3 P(1/3) = 2│1/3│ + 3 - (1/3) = 2/3 + 8/3 = 10/3
Úkol: Úkol: Řešte v R nerovnici
(-10; 2> (-10; 6) (-2; 6) zpět
L=P
řešením rovnice je tříprvková množina S = {-1; 1/3; 5/3} rovnice má tři různé kořeny x1 = -1 , x2 = 1/3 , x3 = 5/3
L(5/3) = │5/3+1│ + 3│5/3-1│ = 8/3 + 3│2/3│ = 14/3 P(5/3) = 2│5/3│ + 3 - (5/3) = 10/3 + 4/3 = 14/3 │x + 2│ < 8
+∞
+ + + + — + x+1-3x+3=2x+3-x x+1+3x-3=2x+3-x -2x + 4 = x + 3 4x – 2 = x + 3 1 = 3x 3x = 5 1/3 = x x = 5/3 x = 1/3 x = 5/3 1/3 <0; 1) 5/3 <1; +∞)
L(-1) = │-1 + 1│ + 3│-1 - 1│ = │0│ + 3│-2│ = 3.2 = 6 P(-1) = 2│-1│ + 3 - (-1) = 2│1│ + 4 = 6
Řešením je interval
1
@056b zpět Řešte v R rovnici
|1 - 2x| = 5
Řešení: 1/2 1/2
-∞ 1 – 2x rozbor
kandidáti zkouška
odpověď
+∞ — -(1 - 2x) = 5 -1 + 2x = 5 2x = 6 x=3 x=3 3 <1/2; +∞)
+ 1 - 2x = 5 –4 = 2x -2 = x
x = -2 -2 (-∞; 1/2) zkouška se zásadně dělá do původní rovnice L(-2) = |1 – 2(-2)| = |1 + 4|=5 L(3) = |1 – 2.3| = |-5|=5 P(-2) = 5 P(3) = 5 zkouška dokázala, že x1 = -2 a x2 = 3 jsou kořeny zadané rovnice, že množina řešení je dvouprvková S = {-2; 3}
Úkol: Řešte v R rovnici pokračování - výsledek
|x + 1| = 2x
@057 zpět Řešte v R rovnici
│x + 1│ - 2│x - 1│ = x
Řešení: Určíme body zvratu a načrtneme si tabulku. Body zvratu jsou dva x = -1 a x = 1 a tak bude číselná osa rozdělena na tři intervaly. -∞ x+1 x-1 rozbor
-1
-1
1
1
+∞
— — -(x + 1) + 2(x – 1) = x -x – 1 + 2x – 2 = x x–3=x -3 = 0
kandidáti zkouška odpověď
+ + — + (x + 1) + 2(x – 1) = x (x + 1) – 2(x – 1) = x x + 1 + 2x – 2 = x x + 1 –2x + 2 = x 2x = 1 3 = 2x x = 1/2 3/2 = x x = 1/2 x = 3/2 Ø 1/2 <-1; 1) 3/2 <1; +∞) L(1/2) = P(1/2) L(3/2) = P(3/2) řešením rovnice je dvouprvková množina S = {1/2; 3/2} rovnice má dva kořeny x1 = 1/2 x2 = 3/2
Zkouška se většinou z prostorových důvodů do políčka v tabulce nevejde a tak ji propočítáme pod tabulkou. L(1/2) =│1/2 + 1│ - 2│1/2 - 1│ = │3/2│ - 2│-1/2│ = 3/2 - 2(1/2) = 3/2 - 1 = 1/2 P(1/2) = 1/2 L(3/2) =│3/2 + 1│- 2│3/2 - 1│ = │5/2│ - 2│1/2│= 5/2 - 2(1/2) = 5/2 - 1 = 3/2 P(3/2) = 3/2 pokračování
@058a Bohužel. znovu prostudujte
@059 zpět
nerovnice Nerovnice se řeší stejně. Jen si musíme dát pozor při úpravách na změnu znaménka a počítat s tím, že většinou půjde o nekonečně mnoho řešení. Příklad: Řešte v R nerovnici
2│x + 1│ ≤ 2 + │x - 1│
Řešení: -∞ x+1 x–1 rozbor
kandidáti zkouška odpověď
-1
— — -2(x + 1) ≤ 2 - (x – 1) -2x – 2 ≤ 3 – x –5≤x (-∞; -1) <-5; +∞) <-5; -1)
-1
1
+ — 2(x + 1) ≤ 2 - (x – 1) 2x + 2 ≤ 3 - x 3x ≤ -1 x ≤ -1/3 <-1; 1) (-∞; -1/3> <-1; -1/3>
1
+∞ + + 2(x + 1) ≤ 2 + (x – 1) 2x + 2 ≤ 1 + x x ≤ -1 <1; +∞)
(-∞, -1/3> Ø
zkouška se musí udělat obráceným postupem kořeny nerovnice jsou všechny reálná čísla z intervalu S = <-5; 1/3>
Celkový výsledek je sjednocením dílčích výsledků <-5; 1/3> = <-5; -1)
<-1; 1/3>
Ø
Řešení grafické se provede ve třech krocích: Nejprve se graficky vyřeší rovnice, kterou dostaneme z nerovnice záměnnou relačního znaménka za rovnost 2│x + 1│ = 2 + │x - 1│ Pak v grafu vyznačíme x-ové souřadnice průsečíků levé a pravé strany prázdným nebo plným kroužkem podle toho, jaké je v nerovnici relační znaménko: pro a půjde o plný kroužek, pro < a > půjde o prázdný kroužek. Nakonec vyznačíme interval na ose x, kdy je graf levé strany nad či pod grafem pravé strany podle zadané nerovnice.
Úkol: Řešte v R rovnici pokračování - výsledek
│x│ = 1 + x
@061a Bohužel. Zkontrolujte si pečlivě svůj postup. zpět
@062a zpět Řešte v R rovnici |3 - |x + 1|| = 2x Řešení: Nejprve si rozložíme číselnou osu podle bodu zvratu nejvnitřnější absolutní hodnoty -∞
+∞
-1 -1 — |3 + (x + 1)| = 2x |x + 4| = 2x
x+1
+ |3 – (x + 1)| = 2x |2 - x| = 2x
Tím jsme dostali dvě rovnice s absolutní hodnotou, kde řešení není na celém R, ale jen na dílčím intervalu. Další postup je již standardní. -∞
-1
|x + 4| = 2x -4 -4 -1 x+4 — + rozbor -(x + 4) = 2x x + 4 = 2x -x – 4 = 2x 4=x -4 = 3x -4/3 = x kandidáti x = -4/3 x=4 -4/3 (-∞; -4) 4 <-4; -1) Ø Ø zkouška není co
+∞
-1
-∞
|2 – x| = 2x 2 2 +∞ + — 2 – x = 2x - (2 – x) = 2x 2 = 3x -2 + x = 2x 2/3 = x -2 = x
-1 2-x rozbor
kandidáti
x = 2/3 2/3 <-1; 2)
zkouška
viz níže
Zkouška musí být provedena do zadané rovnice !!! L(2/3) = |3 - |2/3 + 1|| = |3 – 5/3| = |4/3| = 4/3 P(2/3) = 2.(2/3) = 4/3
KONEC LEKCE
x = -2 -2 <2; +∞) Ø není co
