ROVNICE A NEROVNICE Lineární rovnice s absolutní hodnotou I.
Mgr. Jakub Němec
VY_32_INOVACE_M1r0106
LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU
Kapitolu pojednávající o lineárních rovnicích s absolutní hodnotou rozdělíme do dvou částí. V této první části se budeme věnovat definování absolutní hodnoty a využití definice při řešení jednoduchých rovnic. V rámci řešení využijeme znalostí z nižších ročníků (řešení jednoduchých nerovnic a intervaly) a nově nabytých znalostí o lineárních rovnicích.
ABSOLUTNÍ HODNOTA
Absolutní hodnota se definuje pro jakékoli reálné číslo 𝑎 (𝑎 ∈ ℝ) tak, že: 𝑘𝑑𝑦ž 𝑎 ≥ 0, 𝑝𝑜𝑡é 𝑎 = 𝑎, 𝑛𝑎𝑝ř. 5 = 5 𝑘𝑑𝑦ž 𝑎 < 0, 𝑝𝑜𝑡é 𝑎 = −𝑎, 𝑛𝑎𝑝ř. −5 = − −5 = 5.
Na základě znalosti definice jsme schopni řešit lineární rovnice s absolutní hodnotou. Na začátku řešení je vždy nutné určit si podmínky pro odstranění absolutní hodnoty a poté můžeme řešit rovnice, jak jsme zvyklí. Nakonec musíme nalezené kořeny podrobit podmínkám, což je nutná součást řešení.
GEOMETRICKÝ VÝZNAM ABSOLUTNÍ HODNOTY
Jak jistě dobře víte, absolutní hodnota se dá také definovat jako vzdálenost mezi dvěma body. Tomuto pojetí absolutní hodnoty se říká geometrické. Řešení je založeno na nalezení vzdálenosti od počátku, resp. nulového bodu absolutní hodnoty. Příklady geometrického řešení najdete na dalším snímku. Je však nutné připomenout, že toto řešení je výhodné pouze v případě, kdy známe vzdálenost a v absolutní hodnotě je pouze lineární člen.
PŘÍKLADY GEOMETRICKÉHO ŘEŠENÍ ABSOLUTNÍ HODNOTY 𝒙 =𝟓
𝒙−𝟑 = 𝟓
VLASTNOSTI ABSOLUTNÍ HODNOTY Absolutní hodnota má několik specifických vlastností, které je velmi výhodné znát, protože nám mohou usnadnit řešení některých rovnic. Pro jakákoliv přirozená čísla a, b (𝑎, 𝑏 ∈ ℝ) platí:
𝑎 ≥0 𝑎 = −𝑎 𝑎−𝑏 = 𝑏−𝑎 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎∙𝑏 𝑎 𝑏
=
𝑎 𝑏
, 𝑗𝑒𝑠𝑡𝑙𝑖ž𝑒 𝑏 ≠ 0.
𝑥 =7 𝑥≥0
𝑥<0
𝑥=7
−𝑥 = 7 𝑥 = −7
7≥0
−7 < 0
𝐾= 7
𝐾 = −7
𝑲 = 𝟕 ∪ −𝟕 = −𝟕; 𝟕
Začneme s nejjednodušším možným příkladem. Určete kořeny rovnice a ověřte je zkouškou. Na začátek si dle definice absolutní hodnoty určíme podmínky pro řešení. První z nich znamená, že výraz v absolutní hodnotě bude kladný. Druhá znamená, že výraz bude záporný. Podle toho se můžeme absolutní hodnoty „zbavit“. Pro kladná čísla vypouštíme beze změny. Pro záporná čísla otáčíme celý výraz v absolutní hodnotě. Po vyřešení vzniklých lineárních rovnic dostaneme kořeny, které ověříme vůči podmínce. Napíšeme konečnou množinu kořenů rovnice. Zkouška je banální záležitostí.
𝑥−5 =6 𝑥−5≥0
𝑥−5<0
𝑥≥5
𝑥<5
𝑥−5=6 𝑥 = 11
− 𝑥−5 =6 −𝑥 + 5 = 6 −𝑥 = 1 𝑥 = −1
11 ≥ 5 𝐾 = 11
−1 < 5 𝐾 = −1
𝑲 = 𝟏𝟏 ∪ −𝟏 = −𝟏; 𝟏𝟏
Další příklady jsou založeny na obdobném postupu řešení jako v předchozím příkladu. Určete kořeny rovnice a ověřte jejich platnost zkouškou. Nejprve určíme podmínky pro kladný a záporný výraz v absolutní hodnotě. V případě, že je kladný, vypouštíme výraz v absolutní hodnotě beze změny a dořešíme rovnici. V případě záporného výrazu v absolutní hodnotě jej celý otočíme a dopočteme rovnici. Na základě podmínek ověříme platnost získaných kořenů. Sestavíme množinu kořenů dané rovnice. Zkouška je lehké cvičení.
𝑥 + 7 = −1 𝑥+7≥0
𝑥+7<0
𝑥 ≥ −7
𝑥 < −7
𝑥 + 7 = −1
− 𝑥 + 7 = −1
𝑥 = −8
−𝑥 − 7 = −1 −𝑥 = 6 𝑥 = −6
−8 ≱ −7
−6 ≮ −7
𝐾= ∅
𝐾= ∅
𝑲= ∅ ∪ ∅ = ∅
Řešení dané rovnice je obdobné jako v předchozím příkladu. Popis řešení bude tedy stručnější. Určete kořeny rovnice a proveďte zkoušku. Určíme podmínky pro výraz v absolutní hodnotě. Vyřešíme rovnici pro kladný výraz v absolutní hodnotě.
Vyřešíme rovnici pro záporný výraz v absolutní hodnotě. Na základě podmínek jsme zjistili, že žádný kořen nevyhovuje. Zapíšeme tuto skutečnost pomocí množiny kořenů rovnice. Zkouška není nutná.
Určete kořeny rovnice a proveďte zkoušku.
𝑥−8 =𝑥 𝑥−8≥0
𝑥−8<0
𝑥≥8
𝑥<8
𝑥−8=𝑥
− 𝑥−8 =𝑥
0𝑥 = 8
−𝑥 + 8 = 𝑥 −2𝑥 = 8 𝑥 = −4 −4 < 8
𝐾= ∅
𝐾 = −4
𝑲 = ∅ ∪ −𝟒 = −𝟒
Určíme podmínky pro výraz v absolutní hodnotě. Vyřešíme rovnici pro kladný výraz v absolutní hodnotě. Vyřešíme rovnici pro záporný výraz v absolutní hodnotě. První část řešení nemá kořen. Druhá část řešení odpovídá podmínce, je tedy kořenem. Zapíšeme výsledek pomocí množiny kořenů rovnice. Zkouška je lehké cvičení.
𝑥+9 =𝑥+9 𝑥+9≥0
Určete kořeny rovnice a proveďte zkoušku.
𝑥+9<0
𝑥 ≥ −9
𝑥 < −9
𝑥+9=𝑥+9
− 𝑥+9 =𝑥+9
0𝑥 = 0
−𝑥 − 9 = 𝑥 + 9 −2𝑥 = 18 𝑥 = −9 −9 ≮ −9
𝐾 =< −9; ∞)
𝐾= ∅
𝑲 =< −𝟗; ∞) ∪ ∅ =< −𝟗; ∞)
Určíme podmínky pro výraz v absolutní hodnotě. Vyřešíme rovnici pro kladný výraz v absolutní hodnotě. Vyřešíme rovnici pro záporný výraz v absolutní hodnotě. V případě kladného výrazu nám vyšlo nekonečně mnoho kořenů. Výsledek však musí podléhat podmínce, proto získáme interval odpovídající podmínce. Záporná hodnota výrazu nám díky podmínce nepřinesla žádný další kořen. Sjednotíme výsledky do množiny kořenů rovnice. Zkouška je lehké cvičení.
ÚKOL ZÁVĚREM
Řešte rovnice a proveďte zkoušku: a) b) c) d)
𝑥−7 =5 2𝑥 + 5 = −2 𝑥−3 =3 4𝑥 − 5 = 4𝑥 + 5
ZDROJE
Literatura:
CHARVÁT, Jura; ZHOUF, Jaroslav; BOČEK, Leo. Matematika pro gymnázia: Rovnice a nerovnice. 4. vydání. Praha: Prometheus, 2010, 223 s. ISBN 987-80-7196-362-2.
