M - Rovnice - lineární a s absolutní hodnotou

M - Rovnice - lineární a s absolutní hodnotou

1

± Rovnice a jejich ekvivalentní úpravy Co je rovnice Rovnice je matematický zápis rovnosti dvou výrazů. př.:

2x + 5 = 7x - 3

Písmeno zapsané v rovnici nazýváme neznámá. Pokud určíme hodnotu neznámé, získáváme tzv. řešení rovnice nebo též kořen rovnice.


Rovnice můžeme mít s jednou neznámou, se dvěma neznámými, s parametrem, s absolutní hodnotou; rovnice mohou být lineární, kvadratické, kubické, exponenciální, logaritmické, apod. Zabývat se budeme i řešením soustav rovnic, což je zápis dvou nebo více rovnic, zpravidla o dvou nebo více neznámých, přičemž všechny rovnice platí současně.

Ekvivalentní úpravy rovnic 1. ekvivalentní úprava K oběma stranám rovnice můžeme přičíst (resp. odečíst) stejné číslo. př.: 2x + 3 = 7 - 3x /+3x 5x + 3 = 7 Pozn.: V praxi se nejedná o nic jiného než o poznatek, který nám říká, že při převodu členu obsaženého v součtu nebo v rozdílu z jedné strany rovnice na druhou měníme u tohoto členu znaménko.

Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia.

2. ekvivalentní úprava Obě strany rovnice můžeme vynásobit, případně vydělit stejným číslem různým od nuly. př.: 8x = 24 /:8 x=3 Pozn.: Pokud se o u rovnic vyskytuje neznámá ve jmenovateli, musíme před zahájením řešení stanovit podmínky řešitelnosti. Pozn.: Zatím se budeme zabývat tzv. lineárními rovnicemi, což jsou takové rovnice, u nichž se neznámá vyskytuje pouze v první mocnině. Pozn.: Pokud při řešení rovnice vyjde závěr, kterým je nepravdivá rovnost (nerovnost), pak daná rovnice nemá řešení. Pokud při řešení rovnice vyjde závěr, kterým je pravdivá rovnost, pak daná rovnice má nekonečně mnoho řešení; řešením jsou pak všechna reálná čísla, jedná-li se o rovnici bez neznámé ve jmenovateli anebo všechna reálná čísla s výjimkou těch, která odporují podmínce řešitelnosti, jedná-li se o rovnici s neznámou ve jmenovateli. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Řešení jednoduchých rovnic - ukázkové příklady Příklad 1:

VARIACE

1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu doSystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na www.dosli.cz.

Řešení:

25.2.2006 17:29:52

Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)

1 z 17


1


1

Řešení:

Příklad 2:

Řešení:

± Jednoduché lineární rovnice 1.

830

Příklad 3: Výsledek:

13

2.

813

Řešení:

Výsledek:

-1

3.

839

Příklad 4: Výsledek:

Řešení:

-1

4.

826

x = 9/7 Příklad 5: Výsledek:

25.2.2006 17:29:52


2 z 17

25.2.2006 17:29:52

5


3 z 17


1

5.

822

Výsledek:


816

10

6.

Výsledek:

823

Výsledek:

1

11.

1

12.

-1,2

815

819

7.

Výsledek:

0,5

13.

Výsledek:

825

Výsledek:

-2

8.

845

1 3

14.

850

Výsledek:

Výsledek:

-

0

15.

1 3

9.

848

828

Výsledek:

0,1

16. Výsledek:

824

4 3

10.

Výsledek:

833

2

17.

Výsledek:

834

-0,5

Výsledek:

25.2.2006 17:29:52


4 z 17

25.2.2006 17:29:52

-2,5


5 z 17


1

18.

849


842

Výsledek:

Výsledek:

1

25.

0,5

26.

Všechna reálná čísla

19.

831

832

Výsledek:

Výsledek:

-4

27.

-5

20.

812

814

Výsledek:

Výsledek:

-10

28.

2

21.

817

840

Výsledek:

10

29. Výsledek:

-

846

1 3

22.

836 Výsledek: Výsledek:

11

-5

30.

23.

809

841

Výsledek:

0,5

24.

844

Výsledek:

25.2.2006 17:29:52

Výsledek:

0,5

-1


6 z 17

25.2.2006 17:29:52


7 z 17


1

31.

821

Výsledek:


847

Výsledek:

3

32.

829

-9

40.

810

Výsledek: Výsledek:

1

39.

5

13 41.

33.

811

843

Výsledek:

0

Výsledek: 820

34.

Výsledek:

-0,5

42.

827

3

35.

806

Výsledek:

-0,5

43.

Výsledek:

-1

Výsledek:

4

36.

835

808

Výsledek:

5

44. 37.

837

Výsledek:

12

818 Výsledek:

6

45.

38.

805

838

Výsledek:

25.2.2006 17:29:52

87

Výsledek:


8 z 17

25.2.2006 17:29:52

2 3


9 z 17


1

46.

807

Výsledek:

-


1

5.

1 6

761

Výsledek:

8

6.

771

± Složitější lineární rovnice 1.

777 Výsledek:

-33

7.

Výsledek:

770

4

2.

766

Výsledek:

8.

758 Výsledek:

Výsledek:

-4

5

9. 3.

763

768

Výsledek:

Nemá řešení

4.

762 Výsledek:

8

10.

Výsledek:

767

2 Výsledek:

25.2.2006 17:29:52


10 z 17

25.2.2006 17:29:52

3


11 z 17


1

11.

775

Výsledek:

12.

x

3

x

2

=

Výsledek:

-0,5 776

774

Výsledek:

757

14

19.

Nemá řešení

14. Výsledek:

772

764

1 x

13.

Výsledek:

1

18.

Nekonečně mnoho řešení

(x + 1)3 - ( x + 1)2 Výsledek:


1

20.

759

-1

15.

765 Výsledek:

1,2

21.

Výsledek:

16.

-12

(2 x - 1)2 - (x - 1)3 = 10 x 2 - ( x + 1)3 - 1 Výsledek:

769

760

Výsledek:

Nemá smysl

1

17.

773

± Lineární rovnice s absolutní hodnotou Rovnice s absolutní hodnotou je taková rovnice, která ve svém zadání obsahuje jednu nebo více absolutních hodnot. I v tomto případě se může jednat jak o rovnici lineární, tak o rovnici kvadratickou. Připomeňme si:

Výsledek:

Absolutní hodnota kladného čísla je kladné číslo. - př. ê5ê= 5 Absolutní hodnota nuly je nula. - př.: ê0ê= 0 Absolutní hodnota záporného čísla je kladné číslo. - př.: ê-6ê=+6 Dále platí: êaê= a ... pro a > 0 êaê= -a ... pro a < 0 êaê= 0 ... pro a = 0

Nemá řešení

Postup při řešení lineárních rovnic s absolutní hodnotou:

25.2.2006 17:29:52


12 z 17

25.2.2006 17:29:52


13 z 17


1. 2. 3. 4. 5.

6.

1

Stanovíme tzv. nulové body, tj. určíme čísla, pro něž jsou zadané absolutní hodnoty nulové. Nulové body znázorníme na číselné ose. Z číselné osy vytvoříme - za pomoci zakreslených nulových bodů - intervaly, které užijeme v dalším řešení; mezní bod je výhodnější vztahovat do "vyššího" intervalu. Vytvoříme si tabulku, kde sloupečky představují jednotlivé intervaly a řádky zadané absolutní hodnoty; do tabulky vyznačíme, zda příslušná hodnota nabývá v daném intervalu kladné hodnoty nebo záporné hodnoty. Řešíme rovnici pro jednotlivé typy intervalů, absolutní hodnoty odstraňujeme tak, že pokud nabývá v zadaném intervalu kladné hodnoty, přeměníme ji na závorku a pokud nabývá záporné hodnoty, též ji přeměníme na závorku, avšak změníme znaménka všech členů v závorce na opačná. Kořen rovnice vždy konzultujeme, zda vyhovuje zadanému intervalu; pokud ne, kořen je v tomto případě neplatný. Pokud v některém intervalu vyjde závěr "nekonečně mnoho řešení", pak řešením této části rovnice je zadaný interval, v němž jsme řešili. Všechna vzniklá řešení sloučíme do množiny, případně intervalů.


1

x + 1 - x + 3x - 3 = 2x - 4 + x + 2 0=0 ... řešení xÎ <2; +¥) Celkový závěr: x Î {-2} È <2; +¥) Příklad 2:

Ukázkové příklady: Příklad 1:

Řešení: Nulovým bodem je číslo 3.

Řešení: 1. Řešení pro xÎ (-¥; 3) Nulové body:

êx+ 1ê êxê êx - 1ê êx - 2ê

-1; 0; 1; 2

xÎ (-¥; -1) -

(12 - 4a ) = 1 xÎ <-1; 0) + -

xÎ <0; 1) + + -

xÎ <1; 2) + + + -

12 - 4 a

xÎ <2; +¥) + + + +

12 - 4a = 12 - 4a 0=0 ... řešením je xÎ (-¥; 3) 2. Řešení pro xÎ (3; +¥) (Interval je otevřený vzhledem k podmínce řešitelnosti)

1. Řešení pro xÎ (-¥; -1)

(- 12 + 4a ) = 1

(-x - 1) - (-x) + 3.(-x + 1) = 2.(-x + 2) + x + 2 -x - 1 + x - 3x + 3 = -2x + 4 + x + 2 -2x = 4 x = -2 ... zadanému intervalu vyhovuje

-12 + 4a = 12 - 4a 8a = 24 a=3 ... nevyhovuje zadanému intervalu

2. Řešení pro xÎ <-1; 0)

Celkový závěr: xÎ (-¥ ; 3)

12 - 4a

(x + 1) - (-x) + 3.(-x + 1) = 2.(-x + 2) + x + 2 x + 1 + x - 3x + 3 = -2x + 4 + x + 2 0=2 ... nemá řešení

± Rovnice s absolutní hodnotou - procvičovací příklady

3. Řešení pro xÎ <0; 1)

1.

(x + 1) - (x) + 3.(-x + 1) = 2.(-x + 2) + x + 2 x + 1 - x - 3x + 3 = -2x + 4 + x + 2 -2x = 2 x = -1 ... zadanému intervalu nevyhovuje

867

Výsledek:

4. Řešení pro xÎ <1; 2)

2.

(x + 1) - (x) + 3.(x - 1) = 2.(-x + 2) + x + 2 x + 1 - x + 3x - 3 = -2x + 4 + x + 2 4x = 8 x=2 ... zadanému intervalu nevyhovuje

859

Výsledek:

5. Řešení pro xÎ <2; +¥) (x + 1) - (x) + 3.(x - 1) = 2.(x - 2) + x + 2 25.2.2006 17:29:52


14 z 17

25.2.2006 17:29:52


15 z 17


1

3.

856


1

12.

Výsledek:

852

Výsledek:

13.

4.

851

Výsledek:

Výsledek:

Nemá řešení

5.

864

Výsledek:

855

14.

Nemá řešení

854

Výsledek:

6.

860 15.

Výsledek:

858

Výsledek:

7.

866

16.

861

Výsledek:

8.

862

Výsledek:

-2

Výsledek:

17.

9.

857

863 Výsledek: Výsledek:

0,5

10.

865

Výsledek:

11.

853

Výsledek:

25.2.2006 17:29:52


16 z 17

25.2.2006 17:29:52


17 z 17


1

Obsah Rovnice a jejich ekvivalentní úpravy Jednoduché lineární rovnice Složitější lineární rovnice Lineární rovnice s absolutní hodnotou Rovnice s absolutní hodnotou - procvičovací příklady

25.2.2006 17:29:52


1 3 10 13 15

M - Rovnice - lineární a s absolutní hodnotou

Recommend Documents