Variace
1
Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz.
3.2.2012 13:36:40
Powered by EduBase 2
Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická
1
1. Lineární funkce s absolutní hodnotou
Lineární funkce s absolutní hodnotou Jedná se o funkci lineární, tedy funkci danou rovnicí y = ax + b, která ale ve svém zápise obsahuje absolutní hodnotu.
Ukázkové příklady: Příklad 1: Narýsujte graf funkce y = |x - 1| Řešení: Podobně jako při řešení rovnic nebo nerovnic s absolutní hodnotou nejprve stanovíme nulové body, tj. bod, v nichž jednotlivé absolutní hodnoty nabývají nulových hodnot. V tomto případě je nulový bod pouze jeden, a jím je číslo 1. Řešení máme tedy rozděleno na dvě části: 1. x < 1 V tomto případě je vnitřek absolutní hodnoty záporný, proto absolutní hodnotu odstraníme tak, že ji změníme na závorku, ale před ní bude znaménko minus. Narýsujeme tedy graf funkce y = -(x - 1), neboli y = -x + 1, ale z tohoto grafu využijeme pouze část, kde x < 1 2. x 1 V tomto případě je vnitřek absolutní hodnoty nezáporný, proto ji odstraníme tak, že ji změníme na závorku. Rýsujeme tedy graf funkce y = x - 1, ale z tohoto grafu využijeme pouze část, kde x 1 Závěr:
Příklad 2: Narýsujte graf funkce y = |2x - 1| Řešení: Nulovým bodem je 0,5 1. x < 0,5 Rýsujeme graf funkce y = -2x + 1 a využíváme část, kde x < 0,5 2. x 0,5 Rýsujeme graf funkce y = 2x - 1 a využíváme část, kde x 0,5 Závěr: 3.2.2012 13:36:40
Powered by EduBase 2
2
Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická
1
2. Funkce s absolutní hodnotou - procvičovací příklady 1.
1423
Načrtněte graf funkce f: y = -|x - 2|
OK
2.
Načrtněte graf funkce f: y = 2 . |x + 1| - 3 . |x - 1|
1420
OK
3.
1422
Načrtněte graf funkce f: y = |x| - x
OK
3.2.2012 13:36:40
Powered by EduBase 2
3
Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická
4.
Načrtněte graf funkce f: y = 2x - |x + 3| - 5 + |x - 1|
1 1428
OK
5.
Načrtněte graf funkce f: y = |2x - 1| + |x - 2| - x
1424
OK
6.
1419
Načrtněte graf funkce f: y = 3 - |2 - x|
OK
7.
1426
Načrtněte graf funkce f: y = -|x| + 2
OK
3.2.2012 13:36:40
Powered by EduBase 2
4
Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická
8.
Načrtněte graf funkce f: y = |x + 1| - |1 - x|
1 1425
OK
9. OK
1421
Načrtněte graf funkce f: y = |x - 3| - 2 . |x + 1| + 2 . |x| - (x - 1)
1427
10. Načrtněte graf funkce f: y = |x| - 3 OK
11. Načrtněte graf funkce f: y = 2 - |2 - x| - 2 . |x + 4| - 3x
1429
OK
3.2.2012 13:36:40
Powered by EduBase 2
5
Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická
1
3. Exponenciální funkce
Exponenciální funkce Definice: Exponenciální funkce je funkce, která je dána rovnicí y = ax, kde a > 0 a zároveň a 1 Grafem exponenciální funkce je křivka, kterou nazýváme exponenciála (exponenciální křivka). její průběh je velmi závislý na velikosti čísla a. Je-li a > 1, pak je průběh následující:
Je-li 0 < a < 1, pak je průběh následující:
Je-li základ exponenciální funkce číslo 10, pak ji nazýváme dekadickou exponenciální funkcí. Má rovnici y = 10x Je-li základem exponenciální funkce číslo e (Eulerovo číslo), pak se funkce nazývá přirozená exponenciální funkce. Má rovnici y = ex. Pozn.: Eulerovo číslo e = 2,718 28...
Vlastnosti exponenciální funkce:
D(f) = (-; +); H(f) = (0; +) Není sudá, ani lichá. ax > 0, proto je funkce omezená zdola, shora omezená není. Je klesající pro 0 a < 1 a rostoucí pro a 1 Nemá maximum ani minimum. Je inverzní k logaritmické funkci. Je v R spojitá.
4. Exponenciální funkce - procvičovací příklady 1.
Načrtněte v téže kartézské soustavě souřadnic grafy těchto funkcí: f(x) = 4x g(x) = 4x + 2 h(x) = 4x - 1
1380
OK
3.2.2012 13:36:40
Powered by EduBase 2
6
Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická
2.
1 1364
Načrtněte graf funkce y = 2x + 1
OK
3.
1382
Načrtněte graf funkce f(x) = -(2-2x)
OK
4.
1378
Je dána funkce f: y = 0,5x - 3. Načrtněte graf funkce |f(|x|)|.
OK
5.
1377
Je dána funkce f: y = 0,5x - 3. Načrtněte graf funkce f(|x|).
OK
3.2.2012 13:36:40
Powered by EduBase 2
7
Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická
6.
1 1376
Je dána funkce f: y = 0,5x - 3 Načrtněte graf funkce |f(x)|.
OK
7.
1381
Načrtněte graf funkce y = 32x - 2 - 1
OK
8.
1374
Načrtněte graf funkce y = 0,5x - 3
OK
9.
1365
Načrtněte graf funkce y = 2x - 1
OK
3.2.2012 13:36:40
Powered by EduBase 2
8
Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická
1 1368
10. Načrtněte graf funkce y = 2x - 2-x OK
11.
OK
1370
Pro která čísla a je funkce klesající?
a>1
12. Je dána funkce f: y = 2x + 1. Načrtněte graf funkce |f(|x|)|
1373
OK
13. Načrtněte a porovnejte grafy funkcí y = 2x a y = 2-x
1366
OK
14.
OK
1369
Pro která čísla a je funkce rostoucí?
a>2
3.2.2012 13:36:40
Powered by EduBase 2
9
Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická
1 1367
15. Načrtněte graf funkce y = 2x + 2-x OK
16.
1383
Načrtněte graf funkce
OK
17.
Načrtněte v téže kartézské soustavě souřadnic grafy těchto funkcí: f(x) = 0,4x g(x) = 0,4-x h(x) = f(|x|)
1379
OK
18. Je dána funkce f: y = 2x + 1. Načrtněte graf funkce |f(x)|.
1371
OK
3.2.2012 13:36:40
Powered by EduBase 2
10
Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická
19. Je dána funkce f: y = 2x + 1. Načrtněte graf funkce f(|x|).
1 1372
OK
1375
20. Načrtněte graf funkce y = 0,5x + 3 OK
5. Logaritmická funkce
Logaritmická funkce Definice: Logaritmická funkce je funkce, která je dána rovnicí y = logax. Jedná se o funkci inverzní k exponenciální funkci o stejném základu. Pozn.: Inverzní funkci získáme záměnou x a y v předpisu funkce. Grafy funkce a funkce k této funkci inverzní jsou souměrné podle osy I. a III. kvadrantu. Pozn.: Zápis y = loga x vyjadřuje totéž jako zápis x = ay Graf logaritmické funkce se nazývá logaritmická křivka (logaritma). Průběh grafu logaritmické funkce v závislosti na velikosti a:
3.2.2012 13:36:40
Powered by EduBase 2
11
Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická
1
Funkční hodnoty logaritmické funkce se nazývají logaritmy.
Vlastnosti logaritmické funkce:
Definiční obor D(f) =(0; +) Obor hodnot H(f) = R Není sudá, ani lichá Není zdola ani shora omezená. Pro 0 < a < 1 je klesající Pro a > 1 je rostoucí. Funkce nemá maximum ani minimum. Pro x (0; +) je spojitá.
Při konstrukci grafu logaritmické funkce postupujeme zpravidla tak, že k zadané rovnici logaritmické funkce vytvoříme rovnici funkce k ní exponenciální. Graf vzniklé exponenciální funkce snadno narýsujeme a pak sestrojíme graf souměrný podle osy I. a III. kvadrantu.
6. Logaritmická funkce - procvičovací příklady 1.
OK
2. OK
3.
OK
1460
Určete definiční obor funkce f:
D(f) = <10; +)
Určete definiční obor funkce a načrtněte její graf. f: y = |log4 x|
1451
D(f) = (0; +)
1462
Určete definiční obor funkce f:
D(f) = (-; -1) ( 2; +)
3.2.2012 13:36:40
Powered by EduBase 2
12
Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická
4. OK
5.
OK
6. OK
7. OK
8.
Určete definiční obor funkce a načrtněte její graf. f: y = log4 x
1 1448
D(f) = (0; +)
1432
Urči definiční obor funkce: D(f) = (4; +); a > 0, a 1
Určete definiční obor funkce a načrtněte její graf. f: y = log4 |x|
1452
D(f) = R \ {0}
Načrtněte graf funkce f: y = 2 . log x a určete definiční obor funkce.
1456
D(f) = (0; +)
1436
Načrtni graf funkce f: y = log2 (x + 2)
OK
3.2.2012 13:36:40
Powered by EduBase 2
13
Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická
9.
OK
1 1439
Urči definiční obor funkce:
D(f) = (2; 9) 1435
10. Načrtni graf funkce f: y = log x 2 OK
11. Je dána funkce f: y = log 1/3 (x + 2). Načrtni graf funkce |f(x)|.
1445
OK
1455
12. Načrtněte graf funkce f: y = log x2. OK
13.
D(f) = R \ {0}
1444
Načrtni graf funkce:
OK
3.2.2012 13:36:40
Powered by EduBase 2
14
Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická
14. Určete definiční obor funkce f: y = log (-x2 + 6x - 9) OK
15.
OK
1431
Urči definiční obor funkce
D(f) = (-; -3) ( 5; +); a > 0, a 1 1457
D(f) = (-2; +)
17. Urči definiční obor funkce y = log (2x +3) a OK
1461
D(f) = { }
16. Načrtněte graf funkce f: y = log (x + 2) - 3 a určete definiční obor funkce. OK
1
1430
D(f) = (-1,5; +); a > 0, a 1
18. Určete definiční obor funkce a načrtněte její graf.
1453
f: y = |log4 |x|| OK
D(f) = R \ {0}
19. Určete definiční obor funkce a načrtněte její graf.
1449
f: y = -log4 x OK
D(f) = (0; +)
3.2.2012 13:36:40
Powered by EduBase 2
15
Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická
20.
Urči definiční obor funkce
OK
D(f) = (-1; 1); a > 0, a 1
1 1433
1441
21. Je dána funkce f: y = log2 (x - 4).
Načrtněte graf funkce |f(x)|.
OK
1440
22. Načrtněte graf funkce f: y = log (x - 4) 2 OK
23. Urči definiční obor funkce f: y = log (2x2 + 4x - 6) OK
1438
D(f) = (-; -3) 1; +
24. Načrtni graf funkce f: y = log (x + 2) - 3 2
1437
OK
25.
OK
1434
Urči definiční obor funkce:
D(f) = (0; 3); a > 0, a 1
3.2.2012 13:36:40
Powered by EduBase 2
16
Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická
26. Načrtněte graf funkce f: y = |ln (x - 1) + 1|
1 1458
OK
1454
27. Načrtněte graf funkce f: y = 1 - log x OK
28.
OK
1459
Určete definiční obor funkce: D(f) = <1; +)
1443
29. Je dána funkce f: y = log (x - 4). 2
Načrtněte graf funkce |f(|x|)|.
OK
1442
30. Je dána funkce f: y = log (x - 4). 2
Načrtněte graf funkce f(|x|).
OK
3.2.2012 13:36:40
Powered by EduBase 2
17
Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická
31. Je dána funkce f: y = log1/3 (x + 2). Načrtni graf funkce |f(|x|)|.
1 1447
OK
32. Určete definiční obor funkce a načrtněte její graf.
1450
f: y = log4 (-x) OK
D(f) = (-; 0)
33. Je dána funkce f: y = log 1/3 (x + 2). Načrtni graf funkce f(|x|).
1446
OK
3.2.2012 13:36:40
Powered by EduBase 2
18
Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická
1
Obsah 1. Lineární funkce s absolutní hodnotou
2
2. Funkce s absolutní hodnotou - procvičovací příklady
3
3. Exponenciální funkce
6
4. Exponenciální funkce - procvičovací příklady
6
5. Logaritmická funkce
11
6. Logaritmická funkce - procvičovací příklady
12
3.2.2012 13:36:40
Powered by EduBase 2
19