1. a) Lineární rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou. b) Skalární součin vektorů, úhel dvou vektorů, kolmost a rovnoběžnost vektorů. Úlohy: 1A.: Řeš v R :
x 2 2x 4 1
1B.: Vypočti velikosti vnitřních úhlů v trojúhelníku ABC a délku strany BC je li dáno: A[0;1], B[-1;2], C[1;3]. 2. a) Řešení rovnic a nerovnic v součinovém a podílovém tvaru. b) Parametrické rovnice přímky, vzájemná poloha přímek daných parametrickým vyjádřením. Úlohy: 2A.: Řeš v R
x 2 16 2 5x 4 2B.: Jsou dány přímky p: x = 4t – 1, y = 3t + 1 a q: x + 2y – 1 = 0. Urči, jsou-li přímky p a q rovnoběžné. Pokud ne, vypočítej souřadnice průsečíku. 3. a) Soustavy lineárních rovnic a nerovnic se dvěma a třemi neznámými. b) Obecná rovnice přímky, směrnicový tvar. Úlohy: 3A.: Řeš graficky v R soustavu nerovnic
2x y 7 x y 1
3B.: Je dán trojúhelník ABC kde A[0;0], B[3;1], C[1;2]. Napiš obecnou rovnici výšky v c a urči souřadnice průsečíku se stranou AB. Napiš směrnicový tvar rovnice přímky AB a přímky q, která je rovnoběžná s přímkou AB a prochází bodem C. 4. a) Rozklad kvadratického trojčlenu, vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. b) Vzájemná poloha bodu a přímky, vzdálenost bodu od přímky. (analyticky) Úlohy: 4A.: U dané kvadratické rovnice urči kořen x2 a koeficient m, platí-li: x2 + mx + 24 = 0 a x1 = 8. 4B.: Je dán trojúhelník ABC kde A[0;0], B[3;1], C[1;2]. Bod S je střed strany AB. Urči vzdálenost bodu S od přímky BC.
1
5. a) Řešení rovnice s neznámou pod odmocninou. b) Odchylka dvou přímek, kolmost a rovnoběžnost přímek (analyticky). Úlohy: 5A.: Řeš v R a urči množinu všech x, pro která má daná rovnice smysl
7 x 10 x 4 3x 1 5B.: Je dána přímka p: x = 1 + t , y = 3 – 2t, z = 1 + 3t a vektory u = (2;1;1) a v = (1;2;-1). Urči souřadnice vektoru w který je současně kolmý k přímce p i k vektorům u, v.
6. a) Lineární a kvadratické rovnice s parametrem. b) Parametrické rovnice přímky a roviny v prostoru. Úlohy: 6A.: Pro které hodnoty reálného parametru má kvadratická rovnice dva různé reálné kořeny? ( + 5)x2 + 4x – = 0 6B.: Je dán trojúhelník ABC kde A[0;0;2], B[3;1;-4], C[1;2;3]. Napiš parametrické vyjádření roviny ABC a těžnice ta. 7. a) Soustavy lineárních rovnic a metody jejich řešení. b) Obecná rovnice roviny, vzdálenost bodu od roviny. Úlohy: 7A.: Řeš v R soustavu rovnic x yz 6
3x y z 2 x y 2z 5 7B.: Napiš obecnou rovnici roviny , která prochází body A[2;4;7], B[1;6;0] a je rovnoběžná s přímkou CD, kde C[3;1;5], D[–1;0;4]. Urči vzdálenost přímky CD od roviny . 8. a) Kvadratická nerovnice, geometrická interpretace, souvislost s grafem kvadratické funkce. b) Odchylka přímky a roviny, dvou rovin, vzájemná poloha přímek a rovin (analyticky). Úlohy: 8A.: Řeš v R soustavu nerovnic
x 2 8 x 15 0 x 2 3x 28 0 8B.: Urči vzájemnou polohu rovin : 2x – y – z – 1 = 0 a : x + y + 2z – 3 = 0, jejich odchylku a pokud existuje tak i parametrické rovnice průsečnice.
2
9. a) Řešení rovnic a nerovnic s neznámou ve jmenovateli. b) Kružnice – definice, základní vlastnosti, konstrukce. Úlohy: 9A.: Řeš v R:
5 x 4x 1 1 2x 2 2 2x
9B.: Napiš rovnici kružnice, která má poloměr r = 5, prochází bodem Q [3;5] a její střed leží na přímce p: 2x + 3y – 4 = 0. 10. a) Pojem funkce, definiční obor a obor hodnot funkce. b) Elipsa. Úlohy: 10A.: Urči definiční obor funkce
f ( x)
log 5 (25 5 x) 3x 2 2
10B.: Rozhodni, je-li daná rovnice rovnicí elipsy. Pokud ano urči její střed, ohniska, vrcholy, excentricitu, délky poloos a rovnici tečny v bodě T[0;?]. 16x2 + 25y2 – 64x + 150y – 111 = 0. 11. a) Graf funkce, funkce monotónní, prostá, sudá – lichá, inverzní, periodická. b) Monotónnost funkce a její extrémy z hlediska derivace funkce. Úlohy: 11A.: Je dána funkce y = ex+1. Pokud existuje, urči funkci inverzní a načrtni její graf. 11B.: Urči interval monotónnosti a lokální extrémy funkce y
1 1 x2
12. a) Konstantní a lineární funkce, kvadratická funkce a její význam při řešení nerovnic. b) Parabola. Úlohy: 12A.: S využitím grafu kvadratické funkce řeš v R nerovnici:
5 x 4x 1 1 2x 2 2 2x
12B.: Na parabole y2 = 2x najdi bod, který ke nejblíže přímce p: x + 2y + 10 = 0.
3
13. a) Lineární lomená funkce. b) Hyperbola. Úlohy: 13A.: Načrtni graf, urči definiční obor, průsečíky se souřadnými osami funkce f: y
2x 3 x3
13B.: Napiš rovnice všech přímek, které procházejí bodem M[0;5] a mají s hyperbolou o rovnici x2 – 9y2 = 9 právě jeden společný bod. 14. a) Funkce s absolutní hodnotou, definice absolutní hodnoty. b) Středový tvar rovnice kuželoseček. Úlohy: 14A.: Sestroj graf funkce y = | 2x – 4 | – | 1 + x | – 2 14B.: Kuželosečka je dána rovnicí 9x2 + 16y2 – 54x + 64y = –1. Urči o jaký typ kuželosečky se jedná a napiš její rovnici ve středovém tvaru. 15. a) Exponenciální a logaritmická funkce. b) Vzájemná poloha přímky a kuželosečky. Úlohy: 15A.: Načrtni graf a popiš vlastnosti funkce f a f –1, jestliže f: y = 0,5 x-2 . 15B.: Urči vzájemnou polohu přímky p: 10x – 3y – 32 = 0 a kuželosečky k: 4x2 – y2 = 64. Pokud existují společné body, vypočti jejich souřadnice a znázorni situaci v souřadných osách. 16. a) Logaritmus, věty o logaritmech, dekadický a přirozený logaritmus. b) Tečna kuželosečky – podmínka existence, rovnice tečny. Úlohy: t
16A.: Vzorec m m0 (0,5) T vyjadřuje radioaktivní přeměnu látky o hmotnosti m . Vyjádři z tohoto vzorce tzv. poločas rozpadu T. 16B.: Je dána přímka p: (m – 2)x – (15 – m) – 32 = 0 a kuželosečka k: 4x2 – y2 = 64. Pro jakou hodnotu parametru m bude přímka tečnou kuželosečky? 17. a) Exponenciální a logaritmická rovnice. b) Vektorový a smíšený součin vektorů a jejich aplikace. Úlohy: 17A.: Řeš v R nerovnici log2 x + 5log x > 10 + log x2. 17B.: Je dán trojúhelník ABC s vrcholy A[2; –1; 3], B[2;0;1], C[–3; 1; 5]. Urči obsah trojúhelníku ABC.
4
18. a) Obecný trojúhelník. b) Gaussova rovina, algebraický tvar komplexního čísla. Úlohy: 18A.: Na hmotný bod působí současně dvě síly o velikosti F1 = 10 N a F2 = 5 N, které spolu svírají úhel 60o. Urči velikost výsledné síly výpočtem i graficky. 18B.: Komplexní číslo z
6(cos 80 i sin 80) uprav a výsledek zapiš v algebraickém tvaru. 2(cos 20 i sin 20)
19. a) Středový a obvodový úhel. b) Goniometrický tvar komplexního čísla. Úlohy: 19A.: Hodiny ukazují půl třetí. Kdybychom protáhli pomyslně obě ručičky, průsečíky s obvodem ciferníku na něm vytnou tětivu, např. AB. Pod jakým úhlem tuto tětivu AB vidíme z pozice čísla 12 na ciferníku? 19B.: Zapiš komplexní číslo z = -2 (sin30o + i cos30o) v goniometrickém tvaru. 20. a) Pythagorova věta, Euklidovy věty a jejich použití. b) Moivreova věta a její použití. Úlohy: 20A.: V pravoúhlém trojúhelníku je přepona délky c. S použitím Euklidových vět vypočti délky stran b, c je –li dáno a = 15/4 cm a cb = 4 cm. 20B.: Vypočítej reálnou a imaginární část komplexního čísla z = (1 i 3 ) 31 .
21. a) Množiny bodů dané vlastnosti. b) Binomická věta a její použití v oboru komplexních čísel. Úlohy: 21A.: Sestroj trojúhelník ABC je-li dáno: |AB| = 7 cm, = 30o, ta = 6cm. 21B.: S využitím binomické věty odvoď vzorec pro výpočet sin(4), cos(4). 22. a) Goniometrické vzorce. b) Řešení lineární a kvadratické rovnice v oboru komplexních čísel. Úlohy: 22A.: Zjednoduš
1 cos 2 x sin 2 x 1 cos 2 x sin 2 x
22B.: Řeš v C rovnici: x2 + (5i – 3)x – 4 – 8i = 0
5
23. a) Oblouková míra, orientovaný úhel, funkce sinus, kosinus a tangens. b) Binomická rovnice, n-tá komplexní odmocnina z komplexního čísla. Úlohy: 23A.: Při interferenci dvou vln byl naměřen fázový rozdíl
17 . Bez použití kalkulátoru urči 6
hodnoty goniometrických funkcí sin, cos, tg pro tento úhel.
1 3 23B.: Řeš v C: x 4 i 2 2 24. a) Goniometrické rovnice. b) Posloupnost – definice, způsoby určení posloupnosti. Úlohy: 24A.: Řeš v R: sin2x = (cos x – sin x)2
24B.: Rekurentním vzorcem urči posloupnost log x n
n 1
pro x > 0.
25. a) Sinová a kosinová věta v obecném trojúhelníku a jejich užití. b) Aritmetická posloupnost. Úlohy: 25A.: V trojúhelníku ABC svírají přímky těžnic t a a tc úhel 60o. Velikosti těžnic jsou ta = 3 cm, tc = 6 cm. Urči velikosti všech stran a všech úhlů v trojúhelníku ABC. 25B.: Délky stran pravoúhlého trojúhelníku tvoří 3 po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti. Delší odvěsna má délku 24 cm. Urči délky zbývajících stran. 26. a) Polohové vlastnosti přímek a rovin v prostoru (stereometricky). b) Geometrická posloupnost. Úlohy: 26A.: Je dána krychle ABCDEFGH. Urči a) vzájemnou polohu roviny ABC a přímky TD, kde T je střed BF, b) vzájemnou polohu rovin MOP a EBG. (M, O, P jsou po řadě středy EF, FG, FB) 26B.: Přičteme-li k číslům 2, 7, 17 totéž číslo, vzniknou první tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti. Urči toto číslo i členy posloupnosti. 27. a) Volné rovnoběžné promítání, řezy krychle a jehlanu. b) Limita posloupnosti, věty o limitách. Úlohy: 27A.: Je dána krychle ABCDEFGH. Bod M je střed CG, bod H je střed DN. Sestroj řez dané krychle rovinou AMN. n 2n n 2 27B.: Vypočti: lim 2n 2 n n 2
6
28. a) Kolmost přímek a rovin, vzdálenosti a odchylky (stereometricky). b) Nekonečná geometrická řada a její vztah ke konvergenci posloupnosti. Úlohy: 28A.: V pravidelném trojbokém jehlanu je odchylka boční stěny a roviny podstavy = 45o. Urči odchylku boční hrany od roviny podstavy. 28B.: Řeš v R:
3 x n 1
n 1
8 x 10
29. a) Objemy a povrchy těles. b) Matice a operace s maticemi. Úlohy: 29A.: Jaké množství vody proteče za hodinu potrubím kruhového průřezu s průměrem 16 cm, teče-li voda rychlostí 2,5 ms-1. 1 1 3 1 3 1 5 4 a matice B 2 3 1 . Urči A + B, B + A, A.B a B.A. 29B.: Je dána matice A 2 3 1 2 1 0 4 Výsledek zdůvodni.
30. a) Determinant matice a metody jeho výpočtu. b) Elementární funkce, jejich vlastnosti a grafy. Úlohy: 1 1 2 0 30A.: Vypočti determinant matice A 3 1 1 2
2 1 3 1
2 3 2 1
30B.: Načrtni graf funkce y = x –2 , urči definičním obor a intervaly monotónnosti. 31. a) Inverzní matice a metoda jejího výpočtu. b) Limita funkce ve vlastním a nevlastním bodě. Úlohy: 2 1 4 31A.: Je dána matice A 3 2 2 . Urči inverzní matici A-1. 1 5 1
31B.: Vypočti limitu funkce y
2 v nevlastních bodech. 1 x 7
32. a) Řešení soustav n lineárních rovnic o n neznámých (pro n = 2,3,4) s využitím determinantů. b) Jednostranné a nevlastní limity funkce v bodě. Úlohy: 32A.: S použitím determinantů řeš v R soustavu rovnic: 3x – 2y + 4z – v = – 3 x + y – z – 2v = – 2 2x – y + z +v = 3 x + 2y – 3z + 2v = 8
32B.: Vypočti limity funkce y
x3 v bodech nespojitosti. x2 4
33. a) Složená funkce, inverzní funkce. b) Derivace elementárních funkcí, derivace složené funkce. Úlohy: 33A.: Urči inverzní funkci k funkci y = ln(x+4) – 1. 33B.: Vypočti derivaci funkce y = sin (3x+1)2. 34. a) Mocniny s racionálním exponentem, odmocniny. b) L´Hospitalovo pravidlo a jeho použití. Úlohy:
2
3 2 3
34A.: Uprav a zjednoduš výraz:
83
1 6 2 3
3
2 2
34B.: S využitím L´Hospitalova pravidla vypočti limitu
3x 2 2 x 1 lim 2 x 2 5 x
35. a) Derivace funkce, její geometrický a fyzikální význam. b) Primitivní funkce a neurčitý integrál. Úlohy: 35A.: Napiš rovnici tečny a normály ke grafu funkce f: y = 2x – lnx v jeho bodě T [1;?]. 35B.: Najdi všechny primitivní funkce k funkci f: y
8
x x x
36. a) Derivace součtu, součinu a podílu. b) Integrace elementárních funkcí. Úlohy: 36A.: Vypočti derivaci funkce f: y 36B.: Vypočti:
3e
x
x 2e x ln x
x dx
37. a) Druhá derivace funkce, konvexnost a konkávnost funkce. b) Integrační metody. Úlohy: 37A.: Vypočti inflexní bod funkce f: y = (2x-6)3. 37B.: Vypočti:
x e
2 2x
dx
38. a) Užití limity funkce (asymptoty se směrnicí, bez směrnice, tečna grafu). b) Průběh funkce. Úlohy: 38A,B.: Vyšetři průběh funkce f: y
x 1 x2
39. a) Použití diferenciálního počtu v praxi. b) Aplikace integrálního počtu v praxi. Úlohy: 39A.: Na konzervu tvaru válce se má spotřebovat 5 dm2 plechu. Jaké musí mít konzerva rozměry, aby měla maximální objem? 39B.: Rychlost hmotného bodu je dána vztahem v = 1 + 2t. Urči jak velkou dráhu urazí hmotný bod v době mezi t1 = 5s a t2 = 15s. 40. a) Rovnoběžnost přímek a rovin – definice, vlastnosti, kritéria. b) Okolí bodu, spojitost funkce v bodě a na intervalu. Úlohy: 40A.: Je dána krychle ABCDEFGH. Bod K je středem stěny EFGH, bod L je střed hrany EH a bod S je střed podstavy ABCD. Urči vzájemnou polohu roviny BCK a přímky SL. Svoji odpověď zdůvodni. x2 1 40B.: Urči, jsou-li si funkce f a g rovny. f: y = x + 1, g: y a svoji odpověď zdůvodni. x 1
9
