Rovnice s parametrem ( lekce)

Rovnice s parametrem (17. - 18. lekce)

Rovnice s parametrem (17. - 18. lekce) Sylva Potuˇ ˚ cková, Dana Stesková, Lubomír Sedláˇcek Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín

Zlín, 22. ˇríjna 2011

Rovnice s parametrem (17. - 18. lekce) Lineární rovnice s parametrem Pˇríklad 1

Pˇríklad 1 ˇ Rešte rovnici s neznámou x ∈ R a parametrem a ∈ R x · (a − 4) = a2 − 16.



ˇ Rešení: 1

a−4

=

0



ˇ Rešení: 1

a−4

=

0

a

=

4



ˇ Rešení: 1

a−4

=

0

a

=

4

x · (4 − 4)

=

42 − 16



ˇ Rešení: 1

a−4

=

0

a

=

4

x · (4 − 4)

=

42 − 16

x·0

=

16 − 16



ˇ Rešení: 1

a−4

=

0

a

=

4

x · (4 − 4)

=

42 − 16

x·0

=

16 − 16

0

=

0



ˇ Rešení: 1

a−4

=

0

a

=

4

x · (4 − 4)

=

42 − 16

x·0

=

16 − 16

0

=

0

x

∈

R


2

a−4

6=

0


2

a−4

6=

0

a

6=

4


2

a−4

6=

0

a

6=

4

x · (a − 4)

=

a2 − 16


2

a−4

6=

0

a

6=

4

x · (a − 4)

=

a2 − 16

x

=

a2 − 16 a−4


2

a−4

6=

0

a

6=

4

x · (a − 4)

=

x

=

x

=

a2 − 16 a2 − 16 a−4 (a − 4)(a + 4) a−4


2

a−4

6=

0

a

6=

4

x · (a − 4)

=

x

=

x

=

x

=

a2 − 16 a2 − 16 a−4 (a − 4)(a + 4) a−4 a+4


2

a−4

6=

0

a

6=

4

x · (a − 4)

=

x

=

x

=

x

=

ˇ Záver:

a2 − 16 a2 − 16 a−4 (a − 4)(a + 4) a−4 a+4

a

x

a ∈ {4}

x∈R

a ∈ R − {4}

x ∈ {a + 4}


Pˇríklad 2 ˇ Rešte rovnici s neznámou x ∈ R a parametrem a ∈ R x · (2a + 1) = 5.



ˇ Rešení: 1

2a + 1

=

0



ˇ Rešení: 1

2a + 1

=

0

a

=

− 12



ˇ Rešení: 1

2a + 1

=

0

a

=

− 12

x · 2 · − 12 + 1

=

5



ˇ Rešení: 1

2a + 1

=

0

a

=

− 12

x · 2 · − 12 + 1

=

5

x·0

=

5



ˇ Rešení: 1

2a + 1

=

0

a

=

− 12

x · 2 · − 12 + 1

=

5

x·0

=

5

0

6=

5



ˇ Rešení: 1

2a + 1

=

0

a

=

− 12

x · 2 · − 12 + 1

=

5

x·0

=

5

0

6=

5

x

∈

∅


2

2a + 1

6=

0


2

2a + 1

6=

0

a

6=

− 12


2

2a + 1

6=

0

a

6=

− 12

x · (2a + 1)

=

5


2

2a + 1

6=

0

a

6=

− 12

x · (2a + 1)

=

5

x

=

5 2a + 1


2

2a + 1

6=

0

a

6=

− 12

x · (2a + 1)

=

5

x

=

5 2a + 1

ˇ Záver:

a 1 a ∈ −2 a ∈ R − − 21

x x∈∅ n o 5 x ∈ 2a+1


Pˇríklad 3 ˇ Rešte rovnici s neznámou x ∈ R a parametrem a ∈ R (3x + 5) · (a + 4) = 2a + 8.



ˇ Rešení: 1

a+4

=

0



ˇ Rešení: 1

a+4

=

0

a

=

−4



ˇ Rešení: 1

a+4

=

0

a

=

−4

(3x + 5) · (−4 + 4)

=

2 · (−4) + 8



ˇ Rešení: 1

a+4

=

0

a

=

−4

(3x + 5) · (−4 + 4)

=

2 · (−4) + 8

(3x + 5) · 0

=

−8 + 8



ˇ Rešení: 1

a+4

=

0

a

=

−4

(3x + 5) · (−4 + 4)

=

2 · (−4) + 8

(3x + 5) · 0

=

−8 + 8

0

=

0



ˇ Rešení: 1

a+4

=

0

a

=

−4

(3x + 5) · (−4 + 4)

=

2 · (−4) + 8

(3x + 5) · 0

=

−8 + 8

0

=

0

x

∈

R


2

a+4

6=

0


2

a+4

6=

0

a

6=

−4


2

a+4

6=

0

a

6=

−4

(3x + 5) · (a + 4)

=

2a + 8


2

a+4

6=

0

a

6=

−4

(3x + 5) · (a + 4)

=

2a + 8

3x + 5

=

2a + 8 a+4


2

a+4

6=

0

a

6=

−4

(3x + 5) · (a + 4)

=

3x + 5

=

3x

=

2a + 8 2a + 8 a+4 2(a + 4) −5 a+4


2

a+4

6=

0

a

6=

−4

(3x + 5) · (a + 4)

=

3x + 5

=

3x

=

x

=

2a + 8 2a + 8 a+4 2(a + 4) −5 a+4 − 33


2

a+4

6=

0

a

6=

−4

(3x + 5) · (a + 4)

=

3x + 5

=

3x

=

x

=

− 33

x

=

−1

2a + 8 2a + 8 a+4 2(a + 4) −5 a+4


2

a+4

6=

0

a

6=

−4

(3x + 5) · (a + 4)

=

3x + 5

=

3x

=

x

=

− 33

x

=

−1

ˇ Záver:

2a + 8 2a + 8 a+4 2(a + 4) −5 a+4

a

x

a ∈ {−4}

x∈R

a ∈ R − {−4}

x ∈ {−1}


Pˇríklad 4 ˇ Rešte rovnici s neznámou x ∈ R a parametrem a ∈ R x · (a − 1) + a · (x + 4) = 2.



ˇ Rešení:

x · a − x + a · x + 4a

=

2



ˇ Rešení:

x · a − x + a · x + 4a

=

2

/ − 4a

2a · x − x

=

2 − 4a



ˇ Rešení:

x · a − x + a · x + 4a

=

2

/ − 4a

2a · x − x

=

2 − 4a

x · (2a − 1)

=

2 − 4a



ˇ Rešení:

1

x · a − x + a · x + 4a

=

2

2a · x − x

=

2 − 4a

x · (2a − 1)

=

2 − 4a

2a − 1

=

0

/ − 4a



ˇ Rešení:

1

x · a − x + a · x + 4a

=

2

2a · x − x

=

2 − 4a

x · (2a − 1)

=

2 − 4a

2a − 1

=

0

a

=

1 2

/ − 4a



ˇ Rešení:

1

x · a − x + a · x + 4a

=

2

2a · x − x

=

2 − 4a

x · (2a − 1)

=

2 − 4a

2a − 1

=

0

a

=

1 2

x· 2·

1 2

−1

=

2−4·

1 2

/ − 4a



ˇ Rešení:

1

x · a − x + a · x + 4a

=

2

2a · x − x

=

2 − 4a

x · (2a − 1)

=

2 − 4a

2a − 1

=

0

a

=

1 2

x· 2·

1 2

−1

=

2−4·

x·0

=

2−2

1 2

/ − 4a



ˇ Rešení:

1

x · a − x + a · x + 4a

=

2

2a · x − x

=

2 − 4a

x · (2a − 1)

=

2 − 4a

2a − 1

=

0

a

=

1 2

x· 2·

1 2

−1

=

2−4·

x·0

=

2−2

0

=

0

1 2

/ − 4a



ˇ Rešení:

1

x · a − x + a · x + 4a

=

2

2a · x − x

=

2 − 4a

x · (2a − 1)

=

2 − 4a

2a − 1

=

0

a

=

1 2

x· 2·

1 2

−1

=

2−4·

x·0

=

2−2

0

=

0

x

∈

R

1 2

/ − 4a


2

2a − 1

6=

0


2

2a − 1

6=

0

a

6=

1 2


2

2a − 1

6=

0

a

6=

1 2

x · (2a − 1)

=

2 − 4a


2

2a − 1

6=

0

a

6=

1 2

x · (2a − 1)

=

2 − 4a

x

=

2 − 4a 2a − 1


2

2a − 1

6=

0

a

6=

1 2

x · (2a − 1)

=

x

=

x

=

2 − 4a 2 − 4a 2a − 1 −2 · (2a − 1) 2a − 1


2

2a − 1

6=

0

a

6=

1 2

x · (2a − 1)

=

x

=

x

=

x

=

2 − 4a 2 − 4a 2a − 1 −2 · (2a − 1) 2a − 1 −2


2

2a − 1

6=

0

a

6=

1 2

x · (2a − 1)

=

x

=

x

=

x

=

ˇ Záver: a∈

2 − 4a 2 − 4a 2a − 1 −2 · (2a − 1) 2a − 1 −2

a 1 2

a∈R−

1 2

x x∈R x ∈ {−2}

Rovnice s parametrem (17. - 18. lekce) Rovnice s neznámou ve jmenovateli Pˇríklad 5

Pˇríklad 5 ˇ Rešte rovnici s neznámou x ∈ R a parametrem m ∈ R m−1 2m = . 2+x x+1−m



ˇ Podmínky: Rešení:




2 + x 6= 0

∧

x + 1 − m 6= 0




2 + x 6= 0 x 6= −2

∧ ∧

x + 1 − m 6= 0 x 6= −1 + m




2 + x 6= 0 x 6= −2

Upravíme

2m 2+x

=

∧ ∧

m−1 x+1−m

x + 1 − m 6= 0 x 6= −1 + m




2 + x 6= 0 x 6= −2

∧

x + 1 − m 6= 0

∧

x 6= −1 + m

2m 2+x

=

m−1 x+1−m

2m · (x + 1 − m)

=

(m − 1) · (2 + x)

Upravíme

/ · (2 + x)(x + 1 − m)




2 + x 6= 0 x 6= −2

∧

x + 1 − m 6= 0

∧

x 6= −1 + m

2m 2+x

=

m−1 x+1−m

2m · (x + 1 − m)

=

(m − 1) · (2 + x)

2

=

2m − 2 + mx − x

Upravíme

2mx + 2m − 2m

/ · (2 + x)(x + 1 − m)




2 + x 6= 0 x 6= −2

∧

x + 1 − m 6= 0

∧

x 6= −1 + m

2m 2+x

=

m−1 x+1−m

2m · (x + 1 − m)

=

(m − 1) · (2 + x)

2

=

2m − 2 + mx − x

2mx − mx + x

=

2m2 − 2

Upravíme

2mx + 2m − 2m

/ · (2 + x)(x + 1 − m)




2 + x 6= 0 x 6= −2

∧

x + 1 − m 6= 0

∧

x 6= −1 + m

2m 2+x

=

m−1 x+1−m

2m · (x + 1 − m)

=

(m − 1) · (2 + x)

2

=

2m − 2 + mx − x

2mx − mx + x

=

2m2 − 2

mx + x

=

2m2 − 2

Upravíme

2mx + 2m − 2m

/ · (2 + x)(x + 1 − m)




2 + x 6= 0 x 6= −2

∧

x + 1 − m 6= 0

∧

x 6= −1 + m

2m 2+x

=

m−1 x+1−m

2m · (x + 1 − m)

=

(m − 1) · (2 + x)

2

=

2m − 2 + mx − x

2mx − mx + x

=

2m2 − 2

mx + x

=

2m2 − 2

x · (m + 1)

=

2m2 − 2

Upravíme

2mx + 2m − 2m

/ · (2 + x)(x + 1 − m)


1

m+1

=

0


1

m+1

=

0

m

=

−1


m+1

=

0

m

=

−1

x · (−1 + 1)

=

2 · (−1)2 − 2

1


m+1

=

0

m

=

−1

x · (−1 + 1)

=

2 · (−1)2 − 2

x·0

=

2−2

1


m+1

=

0

m

=

−1

x · (−1 + 1)

=

2 · (−1)2 − 2

1

x·0

=

2−2

0

=

0


m+1

=

0

m

=

−1

x · (−1 + 1)

=

2 · (−1)2 − 2

1

x·0

=

2−2

0

=

0

x

∈

R


m+1

=

0

m

=

−1

x · (−1 + 1)

=

2 · (−1)2 − 2

1

x·0

=

2−2

0

=

0

x

∈

R

Podmínky:

x 6= −2

∧

x 6= −1 + m


m+1

=

0

m

=

−1

x · (−1 + 1)

=

2 · (−1)2 − 2

1

x·0

=

2−2

0

=

0

x

∈

R

Podmínky:

x 6= −2

∧

x 6= −1 + m x 6= −1 − 1


m+1

=

0

m

=

−1

x · (−1 + 1)

=

2 · (−1)2 − 2

1

x·0

=

2−2

0

=

0

x

∈

R

Podmínky:

x 6= −2

∧

x 6= −1 + m x 6= −1 − 1 x 6= −2


2

m+1

6=

0


2

m+1

6=

0

m

6=

−1


2

m+1

6=

0

m

6=

−1

x · (m + 1)

=

2m2 − 2


2

m+1

6=

0

m

6=

−1

x · (m + 1)

=

2m2 − 2

x

=

2m2 − 2 m+1


2

m+1

6=

0

m

6=

−1

x · (m + 1)

=

x

=

x

=

2m2 − 2 2m2 − 2 m+1 2 · (m + 1) · (m − 1) m+1


2

m+1

6=

0

m

6=

−1

x · (m + 1)

=

x

=

x

=

x

=

2m2 − 2 2m2 − 2 m+1 2 · (m + 1) · (m − 1) m+1 2m − 2


2

m+1

6=

0

m

6=

−1

x · (m + 1)

=

x

=

x

=

x

=

Podmínky:

2m2 − 2 2m2 − 2 m+1 2 · (m + 1) · (m − 1) m+1 2m − 2 x 6= −2

∧

x 6= −1 + m


2

m+1

6=

0

m

6=

−1

x · (m + 1)

=

x

=

x

=

x

=

Podmínky:

2m2 − 2 2m2 − 2 m+1 2 · (m + 1) · (m − 1) m+1 2m − 2 x 6= −2

∧

x 6= −1 + m

2m − 2 6= −2

∧

2m − 2 6= −1 + m


2

m+1

6=

0

m

6=

−1

x · (m + 1)

=

x

=

x

=

x

=

Podmínky:

2m2 − 2 2m2 − 2 m+1 2 · (m + 1) · (m − 1) m+1 2m − 2 x 6= −2

∧

x 6= −1 + m

2m − 2 6= −2

∧

2m − 2 6= −1 + m

m 6= 0

∧

m 6= 1


ˇ Záver: m

x

m ∈ {−1}

x ∈ R − {−2}

m ∈ {0; 1}

x∈∅

m ∈ R − {0; ±1}

x ∈ {2m − 2}


Pˇríklad 6 ˇ Rešte rovnici s neznámou x ∈ R a parametrem m ∈ R 3m 2x + m − = 2. x+1 x−m







x + 1 6= 0

∧

x − m 6= 0




x + 1 6= 0 x 6= −1

∧ ∧

x − m 6= 0 x 6= m




x + 1 6= 0 x 6= −1

Upravíme

2x + m 3m − x+1 x−m

∧

x − m 6= 0

∧ =

x 6= m 2




x + 1 6= 0 x 6= −1

∧

x − m 6= 0

∧

x 6= m

2x + m 3m − x+1 x−m

=

2

(2x + m) · (x − m) − 3m · (x + 1)

=

2 · (x + 1) · (x − m)

Upravíme

/ · (x + 1)(x − m)




x + 1 6= 0 x 6= −1

∧

x − m 6= 0

∧

x 6= m

2x + m 3m − x+1 x−m

=

2

(2x + m) · (x − m) − 3m · (x + 1)

=

2 · (x + 1) · (x − m)

2

=

2x2 + 2x − 2mx − 2m

Upravíme

2

2x + mx − m − 2mx − 3mx − 3m

/ · (x + 1)(x − m)




x + 1 6= 0 x 6= −1

∧

x − m 6= 0

∧

x 6= m

2x + m 3m − x+1 x−m

=

2

(2x + m) · (x − m) − 3m · (x + 1)

=

2 · (x + 1) · (x − m)

2

2x + mx − m − 2mx − 3mx − 3m

=

2x2 + 2x − 2mx − 2m

−2mx − m2 − 3m

=

2x − 2m

Upravíme

2

/ · (x + 1)(x − m)




x + 1 6= 0 x 6= −1

∧

x − m 6= 0

∧

x 6= m

2x + m 3m − x+1 x−m

=

2

(2x + m) · (x − m) − 3m · (x + 1)

=

2 · (x + 1) · (x − m)

2

2x + mx − m − 2mx − 3mx − 3m

=

2x2 + 2x − 2mx − 2m

−2mx − m2 − 3m

=

2x − 2m

−2mx − 2x

=

m2 + m

Upravíme

2

/ · (x + 1)(x − m)




x + 1 6= 0 x 6= −1

∧

x − m 6= 0

∧

x 6= m

2x + m 3m − x+1 x−m

=

2

(2x + m) · (x − m) − 3m · (x + 1)

=

2 · (x + 1) · (x − m)

2

2x + mx − m − 2mx − 3mx − 3m

=

2x2 + 2x − 2mx − 2m

−2mx − m2 − 3m

=

2x − 2m

−2mx − 2x

=

m2 + m

x · (−2m − 2)

=

m2 + m

Upravíme

2

/ · (x + 1)(x − m)


1

−2m − 2

=

0


1

−2m − 2

=

0

−2m

=

2


1

−2m − 2

=

−2m

=

2

m

=

−1

0


1

−2m − 2

=

−2m

=

2

m

=

−1

x · (−2 · (−1) − 2)

0

=

(−1)2 + (−1)


1

−2m − 2

=

−2m

=

2

m

=

−1

0

x · (−2 · (−1) − 2)

=

(−1)2 + (−1)

x · (2 − 2)

=

1−1


1

−2m − 2

=

−2m

=

2

m

=

−1

0

x · (−2 · (−1) − 2)

=

(−1)2 + (−1)

x · (2 − 2)

=

1−1

0

=

0


1

−2m − 2

=

−2m

=

2

m

=

−1

0

x · (−2 · (−1) − 2)

=

(−1)2 + (−1)

x · (2 − 2)

=

1−1

0

=

0

x

∈

R


1

−2m − 2

=

−2m

=

2

m

=

−1

0

x · (−2 · (−1) − 2)

=

(−1)2 + (−1)

x · (2 − 2)

=

1−1

0

=

0

x

∈

R

Podmínky:

x 6= −1

∧

x 6= m


1

−2m − 2

=

−2m

=

2

m

=

−1

0

x · (−2 · (−1) − 2)

=

(−1)2 + (−1)

x · (2 − 2)

=

1−1

0

=

0

x

∈

R

Podmínky:

x 6= −1

∧

x 6= m x 6= −1


2

−2m − 2

6=

0


2

−2m − 2

6=

0

m

6=

−1


2

−2m − 2

6=

0

m

6=

−1

x · (−2m − 2)

=

m2 + m


2

−2m − 2

6=

0

m

6=

−1

x · (−2m − 2)

=

m2 + m

x

=

m2 + m −2m − 2


2

−2m − 2

6=

0

m

6=

−1

x · (−2m − 2)

=

x

=

x

=

m2 + m m2 + m −2m − 2 m · (m + 1) −2 · (m + 1)


2

−2m − 2

6=

0

m

6=

−1

x · (−2m − 2)

=

x

=

x

=

x

=

m2 + m m2 + m −2m − 2 m · (m + 1) −2 · (m + 1) m − 2


2

−2m − 2

6=

0

m

6=

−1

x · (−2m − 2)

=

x

=

x

=

x

=

Podmínky:

m2 + m m2 + m −2m − 2 m · (m + 1) −2 · (m + 1) m − 2

x 6= −1

∧

x 6= m


2

−2m − 2

6=

0

m

6=

−1

x · (−2m − 2)

=

x

=

x

=

x

=

Podmínky:

m2 + m m2 + m −2m − 2 m · (m + 1) −2 · (m + 1) m − 2

x 6= −1 −m 2

6= −1

∧ ∧

x 6= m −m 2

6= m


2

−2m − 2

6=

0

m

6=

−1

x · (−2m − 2)

=

x

=

x

=

x

=

Podmínky:

m2 + m m2 + m −2m − 2 m · (m + 1) −2 · (m + 1) m − 2

x 6= −1 −m 2

∧

x 6= m

6= −1

∧

−m 2

−m 6= −2

∧

−m 6= 2m

6= m


2

−2m − 2

6=

0

m

6=

−1

x · (−2m − 2)

=

x

=

x

=

x

=

Podmínky:

m2 + m m2 + m −2m − 2 m · (m + 1) −2 · (m + 1) m − 2

x 6= −1 −m 2

∧

x 6= m

6= −1

∧

−m 2

−m 6= −2

∧

−m 6= 2m

m 6= 2

∧

m 6= 0

6= m


ˇ Záver: m

x

m ∈ {−1}

x ∈ R − {−1}

m ∈ {0; 2}

x∈∅ x ∈ −m 2

m ∈ R − {−1; 0; 2}


Pˇríklad 7 Urˇcete všechny hodnoty parametru a ∈ R, pro které má rovnice x =a+1 x−a asponˇ jeden záporný koˇren.


Pˇríklad 7 Urˇcete všechny hodnoty parametru a ∈ R, pro které má rovnice x =a+1 x−a asponˇ jeden záporný koˇren. ˇ Rešení: Podmínka:



x − a 6= 0



x − a 6= 0 x 6= a



x − a 6= 0 x 6= a

Upravíme

x x−a

=

a+1



x − a 6= 0 x 6= a

Upravíme

x x−a

=

a+1

x

=

(x − a) · (a + 1)

/ · (x − a)



x − a 6= 0 x 6= a

Upravíme

x x−a

=

a+1

x

=

(x − a) · (a + 1)

x

=

ax + x − a2 − a

/ · (x − a)



x − a 6= 0 x 6= a

Upravíme

x x−a

=

a+1

x

=

(x − a) · (a + 1)

x

=

ax + x − a2 − a

ax

=

a · (a + 1)

/ · (x − a)


1

ax

=

a · (a + 1)

a

=

0


1

ax

=

a · (a + 1)

a

=

0

0·x

=

0


1

ax

=

a · (a + 1)

a

=

0

0·x

=

0

x

∈

R, x 6= 0


ax

=

a · (a + 1)

a

=

0

0·x

=

0

x

∈

R, x 6= 0

1

2

a

6=

0


ax

=

a · (a + 1)

a

=

0

0·x

=

0

x

∈

R, x 6= 0

1

2

a

6=

0

x

=

a+1

- práveˇ jedno ˇrešení


ax

=

a · (a + 1)

a

=

0

0·x

=

0

x

∈

R, x 6= 0

1

2

a

6=

0

x

=

a+1


Zkoumáme, pro které hodnoty parametru má daná rovnice asponˇ jeden záporný koˇren.


ax

=

a · (a + 1)

a

=

0

0·x

=

0

x

∈

R, x 6= 0

1

2

a

6=

0

x

=

a+1


Zkoumáme, pro které hodnoty parametru má daná rovnice asponˇ jeden záporný koˇren. a) Pro a = 0 jsou rˇešeními dané rovnice všechna x ∈ R−{0}, tedy i všechna x ∈ R− . To znamená, že pro a = 0 má daná rovnice asponˇ jeden záporný koˇren.


ax

=

a · (a + 1)

a

=

0

0·x

=

0

x

∈

R, x 6= 0

1

2

a

6=

0

x

=

a+1


Zkoumáme, pro které hodnoty parametru má daná rovnice asponˇ jeden záporný koˇren. a) Pro a = 0 jsou rˇešeními dané rovnice všechna x ∈ R−{0}, tedy i všechna x ∈ R− . To znamená, že pro a = 0 má daná rovnice asponˇ jeden záporný koˇren. b) Je-li a 6= 0, je ˇrešením x = a + 1. Tento koˇren je záporný, práveˇ když a + 1 < 0, tj. a < −1.


ax

=

a · (a + 1)

a

=

0

0·x

=

0

x

∈

R, x 6= 0

1

2

a

6=

0

x

=

a+1


Zkoumáme, pro které hodnoty parametru má daná rovnice asponˇ jeden záporný koˇren. a) Pro a = 0 jsou rˇešeními dané rovnice všechna x ∈ R−{0}, tedy i všechna x ∈ R− . To znamená, že pro a = 0 má daná rovnice asponˇ jeden záporný koˇren. b) Je-li a 6= 0, je ˇrešením x = a + 1. Tento koˇren je záporný, práveˇ když a + 1 < 0, tj. a < −1. ˇ Daná rovnice má asponˇ jeden záporný koˇren pro a = 0 a pro Záver: všechna a < −1.

Rovnice s parametrem (17. - 18. lekce) Cviˇcení

Cviˇcení ˇ Rešte rovnice s neznámou x ∈ R: 1. a2 x − x + a = 1, a ∈ R, 2. xa2 = a · (1 + 3x) − 3, a ∈ R, 2 + 2m x − m + = 1, m ∈ R, x+m x+1 (m + 1) · x − 6 m2 − m 4. =3· 1− , m ∈ R, x x 1 2 5. px − 2 = · (4x + 1), p ∈ R − {0}. p p

3.


1.

a

x

a ∈ {1} a ∈ {−1} a ∈ R − {±1} 3.

5.

2.

a

x

x∈R

a ∈ {0}

x∈∅

x∈∅ n o 1 x ∈ − a+1

a ∈ {3}

x∈R

m

x

m ∈ {−1}

a ∈ R − {0; 3} 4.

x∈

1 a

m

x

x ∈ R − {±1}

m ∈ {−1}

x∈∅

m ∈ {1}

x∈∅

m ∈ {2}

x ∈ R − {0}

m ∈ R − {±1}

x ∈ {m − 2}

m ∈ R − {−1; 2}

x ∈ {−3m − 3}

p

x

p=2

x∈∅

p = −2

x∈R

p ∈ R − {0, ±2}

x=

1 . p(p+2)


Cviˇcení 6. Urˇcete všechny hodnoty parametru p ∈ R tak, aby ˇrešením rovnice 2p · (xp + 1) − (p2 + 1) · x = 2 bylo kladné reálné cˇ íslo. 2x − a2 (a2 + 4)x 2x + a2 ˇ + = s parametrem 7. Rešte v R rovnici a+3 a−3 a2 − 9 a ∈ R − {±3}. Potom urˇcete všechny hodnoty parametru a, pro ˇ má daná rovnice asponˇ jeden záporný koˇren. než ˇ pro které hodnoty reálného parametru a má 8. Rozhodnete, následující rovnice s neznámou x kladný koˇren: a) 6a − ax + 2x = 15,

b)

x−2 3

−

ax+1 2

=

a−1 2 .


6.

p

x

p ∈ (−∞; −1) ∪ {1}

x>0

7.

a

x

a=2

x∈∅

a ∈ R − {−3; 2; 3} a ∈ R − {−3; 0; 2; 3}

8. a)

h

3(2a−5) a−2

x=

−6a2 (a−2)2

asponˇ jeden záporný koˇren

> 0 ⇔ a ∈ (−∞; 2) ∪

5 2;∞

i ,

b)

h

3a+4 2−3a

> 0 ⇔ a ∈ − 43 ;

2 3

i

Rovnice s parametrem ( lekce)

Recommend Documents