4 Rovnice a nerovnice

Rovnice a nerovnice

36

4 Rovnice a nerovnice 4.1

Lineární rovnice a jejich soustavy

Požadované dovednosti    

řešit lineární rovnice o jedné neznámé vyjádřit neznámou ze vzorce užít lineární rovnice při řešení slovní úlohy řešit početně i graficky soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých

Řešené úlohy 4.1.1 Řešte

x  2 3x  1 x3  1  x v R. 5 6 2

Řešení: Obě strany rovnice vynásobíme společným jmenovatelem, tím je číslo 30. 6( x  2)  5(3x  1)  30  30x  15( x  3) 6 x  12  15x  5  30  30x  15x  45  24 x  22 22 11 x  24 12  11  Množina všech řešení (kořenů) rovnice je jednoprvková: K   .  12  4.1.2 Vyjádřete neznámou v ze vzorce S  2 r 2  2 rv. Řešení: S rv S  2r 2  2rv 2r 2 S  2 r S v nebo r v 2r 2r S S  2r 2 v r v 2r 2r 4.1.3 Řešte v R a) 3x  2  x  (1  x)

b) 2x  2  x  (1  x)

c) 2 x  1  x  (1  x)

Rovnice a nerovnice

37

Řešení: a) 3x  2  x  (1  x) 3x  2  x  1  x

b) 2x  2  x  (1  x) 2x  2  2 x  1

c) 2 x  1  x  (1  x) 2x  1  2 x  1

x1

 2  1

0 0

K  1

K

KR

a) Množina všech řešení je jednoprvková. b) Rovnice nemá řešení. Množina všech řešení je prázdná. c) Vyhovují všechna x z oboru rovnice, pro která má rovnice smysl. Množina všech řešení je proto množina všech reálných čísel. 4.1.4 Řešte soustavu rovnic v R2: 2x  y  3 3x  2 y  8 Řešení: Dosazovací metodou: Z první rovnice vyjádříme y ( y  3  2 x ) a dosadíme je do druhé rovnice: 3 x  2(3  2 x )  8. Tuto rovnici vyřešíme: 3 x  6  4 x  8 7 x  14 x  2 Hodnotu x  2 dosadíme do vyjádření pro y: y  3  2  (2)  1. Řešením je x  2 ,

y  1. Řešení zapíšeme jako množinu obsahující jednu

uspořádanou dvojici: K   2; 1 . Sčítací metodou: Každou z rovnic vynásobíme vhodným číslem tak, aby při sečtení rovnic vypadla jedna neznámá. V našem případě stačí první rovnici vynásobit dvěma a druhou nechat tak, jak je: 4x  2 y  6 3x  2 y  8 Součtem rovnic získáme 7 x  14, a tedy x  2. Hodnotu x dosadíme do jedné z rovnic a určíme y: 4  ( 2)  2 y  6  2y  2  y  1. 4.1.5 Graficky řešte soustavu rovnic v R2: 2x  y  3 3x  2 y  8 Řešení: Každou z rovnic lze znázornit v soustavě Oxy přímkou. Souřadnice bodů takové přímky vyhovují dané rovnici.

Rovnice a nerovnice

38 První přímka prochází například body v tabulce Druhá přímka má například body

x

0

2

y

4

7

x

0

y

–3 –5

1

Řešením soustavy jsou souřadnice průsečíku přímek:

Souřadnice průsečíku jsou „přibližně“  2; 1. Tato uspořádaná dvojice je řešením soustavy rovnic. 4.1.6 Kartáček a pasta na zuby stojí dohromady 100 Kč. Kartáček je o 60 Kč dražší než pasta. Kolik stojí pasta? Řešení: Cenu kartáčku označíme k, cenu pasty p. Pak platí k  p  100 k  p  60 Z druhé rovnice přímo dosadíme k do první rovnice: p  60  p  100  2 p  40  p  20. Pasta stojí 20 Kč.

Úlohy k procvičení 4.1.7 Řešte v R 3( x  2)  5  7  4( 5  x). 4.1.8 Řešte v R

Rovnice a nerovnice a)

2 ( x  1)  5x  2

4.1.9 Řešte v Z 6x  4 1  2x a) 1  x  3 2

39 b)

2 ( x  1)  5x  2

c)

2 x  1  2x  2

6x  4 5 1  2x   x 3 6 2 11 x  2 3x  1 x3 4.1.10 Ověřte zkouškou, že  je kořenem  1 x . 12 5 6 2

b)

4.1.11 Ze vzorce vyjádřete neznámou v závorce: 1 NI a) s  v o t  at 2 (a) b) B    (N) 2 l

c) m1 (t 1  t )  m 2 (t  t 2 ) (t)

4.1.12 Určete hodnotu koeficientu a tak, aby rovnice ax  7  3x  (1  5x) měla kořen 4. 4.1.13 Řešte soustavu rovnic v R2: 2 3 1 0 ,5x  y  1 x y  a) b) 3 4 2  3x  6 y  2 4 x  4 ,5 y  3

c)

3x  5 y  4 5x  2 y  13

4.1.14 V pravoúhlém trojúhelníku má jedna odvěsna délku 12 cm. Přepona je o 4 cm delší než druhá odvěsna. Určete, jak dlouhá je přepona. 4.1.15 Na parkovišti stojí 35 aut a motorek. Dohromady mají 100 kol, rezervní kola nepočítáme. Určete, kolik je motorek. 4.1.16* Víme, že Libor jednoho večera řekl: „Z tohoto měsíce uplynulo tolik dnů, že za stejný počet dnů a ještě pět bude do konce měsíce zbývat tolik dnů, kolik z něj k dnešku uplynulo.“ Měl pravdu. Určete datum Liborova výroku. 4.1.17 V tenisovém oddílu mládeže byla třetina dívek. Pak ale osm chlapců odešlo a tři dívky přibyly a je jich už 52 %. Určete, kolik má teď oddíl členů. 4.1.18 Je-li v provozu spotřebič s příkonem 100 wattů, spotřebuje za dvě hodiny 200 watthodin (Wh). Víme, že jistá kompaktní „žárovka“ svítila 100 hodin a spotřebovala o 2,1 kWh méně energie než klasická žárovka za 50 hodin, protože klasická žárovka měla při stejné svítivosti pětkrát větší příkon než kompaktní. Vypočtěte, jaký byl příkon klasické žárovky. 4.1.19 V obdélníku je jedna strana o 5 cm delší než druhá. Když se kratší strana zvětší o polovinu a delší o třetinu, zvětší se obvod o 20 cm. Určete poměr obsahů nového a původního obdélníka. A) 1,2 B) 1,5 C) 1,8 D) 2,0 E) jiná odpověď než A)–D) 4.1.20 Škodovka dojela za 60 minut trabanta, který měl náskok 40 km. Pokud by rychlost škodovky byla o 25 % vyšší, dohnala by trabanta za 40 minut. Rozhodněte, jakou rychlostí v kilometrech za hodinu jel trabant.

Rovnice a nerovnice

40 A) 30

B) 40

C) 50

D) 60

E) jiná odpověď než A)–D)

4.1.21 Mezi dvaceti mincemi v hodnotě 330 korun jsou pouze desetikoruny a dvacetikoruny. Kolik je desetikorun? 4.1.22 Katka projezdila 199 bodů při 35 jízdách na 2 vlecích. Kratší vlek bere 5 bodů, delší 7. Kolik jízd jela na kratším vleku? 4.1.23 Kolik gramů 2% roztoku CuSO4 je nutno přilít ke sto gramům 5% roztoku CuSO4, aby vznikl 3% roztok? Výsledky úloh k procvičení 4.1.7 x  2

4.1.8 a) x  0

4.1.9 a) K  

b) K  Z

4.1.11 a) a 

2( s  v o t ) t2

12  7 2 c) x   2  1,5 2 23  11   11  25 4.1.10 L    P     12   12  24 m t  m2t 2 Bl b) N  c) t  1 1 m1  m2 I

b) x  

4.1.12 a  6

4.1.13 a) K  

c) K   3; 1 

4.1.14 20 cm

8t  6    b) K   t ; ; t  R  9    4.1.15 20 4.1.16* 8. února

4.1.17 25 4.1.21 7

4.1.18 70 watt 4.1.22 23

4.1.19 D 4.1.23 200

4.2

4.1.20 B

Rovnice s neznámou ve jmenovateli

Požadované dovednosti     

stanovit definiční obor rovnice řešit rovnice s neznámou ve jmenovateli o jedné neznámé vyjádřit neznámou ze vzorce užít rovnice s neznámou ve jmenovateli při řešení slovní úlohy využít k řešení slovní úlohy grafu nepřímé úměry

Řešené úlohy 4.2.1 Určete definiční obor rovnice

20 24  a pak rovnici vyřešte. x2 x

Řešení: Z podmínek x  2  0  x  0 plyne definiční obor D   ; 0   0; 2  2;   .