Exponenciální funkce, rovnice a nerovnice

Exponenciální funkce, rovnice a nerovnice (Exponenciální funkce)

Mamut s koprovou omáčkou 01 a) ANO; b) NE; c) NE; d) ANO; e) NE; f) NE; g) ANO; h) NE  02 a) 4,5; b) 0,1; c) 2; d)  1 ; e)  3 ; f) e +1  03 b  2 4 04 -3 -2 -1 x 0 1 2 3 1 1 1 1 3 9 27 y 27 9 3 D(f ) =R; H(f ) = (0; ∞); Px neexistuje; Py[ 0 ; 1]; a) ANO; b) NE; c) NE; d) NE; e) NE; f) NE; g) ANO; h) NE; i) NE; j) NE 

 05

x

-3

-2

-1

0

y

64

16

4

1

1 1 4

2 1 16

3 1 64

D(f ) =R; H(f ) = (0; ∞); Px neexistuje; Py[ 0 ; 1]; a) NE; b) ANO; c) NE; d) NE; e) NE; f) NE; g) ANO; h) NE; i) NE; j) NE 



06 b, c, h 07 f (2) < f (1) < f (0) < f (−1) < f (−2) 08 f1: y = e − x ; f2 : y = e 2 x ; f4 : y =−e x ; f1: y = e − x   09 a) rostoucí; b) rostoucí; c) klesající; d) klesající;  e) rostoucí; f) rostoucí; g) klesající; h) rostoucí 10 11 24−10 < 24−1 < 24

4

1

1

−8 7

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) <( 31) 4

0

1 < 1 5< 1 2< 1 3< 1 < 1 3 3 3 3 3 3

1 9 −1 3 < 24 0 < 24 2 < 24 7 < 24 10 ,8 < 24 12  

−1

< 1 3

−4

12 a) ANO; b) NE; c) ANO; d) NE; e) NE 15 b  16 a) D(f ) =R; b) H(f ) = (−∞ ; 4); c) B; 

() ()

d) B[1; 2]  17 a)  x ∈ (−∞ ; 0); b)  x ∈ 0; ∞); c)  x ∈ (−∞ ; 0); d)  x ∈ 0; ∞)  19 a)  1 5 7 4

−4 7

() ()

e)  3 < 3 8 8

()

; f) 5 x = 1 5

−x

()

6 7

−6 7

()

; g)  9 > 1; h)  9 5 5

 

−5

> 1 5

−2

5

() ()

4

4 5 ; b) 0 , 27 5 < 1; c)  p −3< 1; d)  4 < 4 ;  5 5

0 ,9

6 0 x   < 1; i)  5 = 1; j)  30  > 1; k) 0 , 7 2 < 1; l) ( 5 ) 7 > 1; m) e p >1; n) 0 , 2 x = 1 ; o) e −3 < e 4 ;  5 5 3

()

−1 2

()

()

( )(

)

< e 2  21 a) a ∈ (0 ; 1)∪(1; ∞); b) a ∈ (1; 2)∪(2 ; ∞); c) a ∈ 0 ; 1 ∪ 1 ; ∞ ; d) a ∈ (0 ; 1)∪(1; ∞); e) a ∈ (−∞ ; 0)∪(1; ∞);  2 2 f) a ∈ (−∞ ; −2)∪ 1 ; 3 ∪(3 ; ∞)  22 a) a ∈ −∞ ; − 1 ; b) a ∈ (2 , 5 ; 3); c) a ∈ (1; ∞); d) a ∈ 1 ; − 1   23 a) Py[ 0 ; 1]; b) Py[ 0 ; 8 ,6 ]  2 4 1− p p 1 24 b = ; Základ exponenciální funkce f  je roven číslu 10, funkce je rostoucí. 25 a = 3; b = 4  26 a) NE; b) ANO; c) ANO; d) ANO; e) ANO; f) ANO  27 a) NE; b) NE;  2 c) NE; d) ANO; e) NE  31 a) f : y = 2 x − 1; b) D(f ) = {1; 2 ; 3 ; 4 ; … ; 64}; c) f (32) = 2 31 = 2 147 483 648; f (64) = 2 63  9 ,2 ⋅10 8   32 a) ANO; b) NE; c) ANO; d) NE  p)  1 e

( )

(

(

)

)

33 a) NE; b) ANO; c) ANO; d) NE; e) NE 

(Exponenciální rovnice a nerovnice)

Když jde o peníze −1 2

( )   03 a)  811 = ( 91) = 91 = 81 = 9 = 3 = 31 ; b) 2⋅2 = 2 = 21 ;  c)  25 = 5 = ( 5 ) = ( 2 ) = 2 ⋅ 5 ; d)  25 = ( 25 ) = ( 5 ) = ( 3 ) = 3 ⋅ 5   04 a) ANO; b) ANO; c) NE; d) NE; e) NE; f) ANO  05 a) ANO; b) NE; c) ANO; d) NE; 9 9 3 5 4 2 2 5 ⋅ 3 ; h) 15 ⋅ 3   07 a) K = {2}; b) K = {0}; c) K = 0 ; d) K = {−2};  e) NE; f) ANO  06 a) 3 ; b) 3 ; c) 2 ; d) 2 ; e) 14 ; f) ( 4 ) ; g) 4 3 e) K = {− 3 }; f) K = { 3 }; g) K = {− 1 }; h) K = {− 1}; i) K = {− 3 }  08 a) K = {−6}; b) K = {8}; c) K = { 1 }; d) K = { 3 }; e) K = {0 ; 1}; f) K = {− 1 ; 4};  5 2 2 3 2 4 5 2 g) K = {−2}; h) K = { 1 }  09 a) K = {−7}; b) K = {1}; c) K = {−2}; d) K = {−2 ; 4}  10 c  11 b  5 01 a) ANO; b) NE; c) ANO; d) ANO  02 a) 2 5; b) 50; c) 3-2 ; d)  1 9 2

−2

2

−2

1 2

2

2

−1

−2

2

−1

1

−1

−4

−4

4

−3

3

1

2

4 x +1 2

12



x

-7

y

1 512

-5 2 1 512

7x

x +6

x2+6 x −4

x

2 x -1

2 x −1

-2

1

3

5 2

7

1 16

1 2

2

2

32

  Px neexistuje; Py 0 ; 1     4

−x

2x

{}

13 c 14 b  15 a) ANO; b) ANO; c) NE; d) NE; e) ANO  17 a) K = {0}; b) K = 9 ; c) K = {6}; d) K = 0   19 a) P[−4 ; 78 ], graf funkce f : Px [−10 ; 0 ], 4       Py[ 0 ; 726 ]; graf funkce g: Px − 5 ; 0 , Py 0 ; − 242  ; b) P − 5 ; 5−8  , graf funkce f : Px neexistuje, Py[ 0 ; 25], graf funkce g: Px neexistuje, Py[ 0 ; 0 ,008 ]  81   2    3  21 a) K = {2}; b) K = {−2 ; 4}; c) K = {−2 ; 3}; d) K = {2}  22 a) K = 1 ; b) K = {4}; c) K = 1 ; d) K = 0 ; e) K = {1};  2 2

{}

Klíč k úlohám v pracovním sešitě Matematika pro střední školy – 5. díl: Funkce II © Nakladatelství Didaktis spol. s r. o.

{}

1

(

f) Rovnici lze vyřešit pouze pomocí logaritmování. Pokud změníme hodnotu 1 na 2, má rovnice řešení K = {0}.  23 a) K = (2; ∞); b) K = −∞ ; 1 ; c) K = 0; ∞);  2 1 1 7 d) K = ; ∞ ; e) K = − ; ∞ ; f) K =R; g) K = 0 ; h) K = (−1; 0)  24 a) K = (−2 ; 5); b) K = −∞ ; − ∪(4 ; ∞); c) K = (−∞ ; 1); d) K = (−2; ∞)  2 2 4 25 b  26 Vzorek dřeva je starý 17 190 let.  27 Poločas přeměny radionuklidu je 22 minut. 

(

)

)

(

)

Logaritmické funkce, rovnice a nerovnice (Logaritmické funkce)

Země na kyselo

01 b, d  02 a) ANO, a = 0 ,25; b) NE; c) ANO, a = 2; d) NE; e) NE; f) ANO, a = e   03 a) 2; b) 4; c) 7; d) 2; e) 1; f) -1; g) 2; h) 41; i) -3; j) -1; k)  1 ; l) 2; m) -1;  2 −3 1 1 n) 0; o) 1; p) 0; q)  ; r)  04 d 05 -2,5 06 c 07 −3 ; 3)  08 a)  x =16; b)  x =1; c)  x = 0 ,25 ; d)  x = e   09 a) a = 5; b) a =10; c) a = 2; d) a = 8  3 8 10 A = 34 11 D(f ) =R; H(f ) = (0; ∞); Funkce f  je klesající.; f −1: y = log 1 x ; D(f −1 ) = (0; ∞); H(f −1 ) = R; Funkce f -1 je klesající. 12 b 13 d  2

14 a) NE; b) ANO; c) ANO; d) ANO; e) NE  15

x y

1 9 -2

1 3 -1

1

3

9

0

1

2

D(f ) = (0; ∞); H(f ) =R; a) ANO; b) NE; c) NE; d) NE; e) NE; f) ANO; g) NE; h) NE; i) NE; j) NE; k) NE 

 16

x y

1 9 2

1 3 1

1

3

9

0

-1

-2

D(f ) = (0; ∞); H(f ) =R; a) NE; b) ANO; c) NE; d) NE; e) NE; f) ANO; g) NE; h) NE; i) NE; j) NE; k) NE 



17 a) rostoucí; b) rostoucí; c) rostoucí; d) klesající; e) rostoucí; f) klesající  18 a) exponenciální; b) kladných reálných čísel; c) přímky y = x ; d) a ∈ (0 ; 1); e) R; 

()

f) neprotíná osu y  19 a) f2 ; b) f4 ; c) f3 ; d) f1   20 f 1 < f (1) < f (2) < f (3) < f (4)  21 a) log0,6 10 < log0,6 2 < log0,6 1< log0,6 0 ,6 < log0,6 0 ,1;  2 b) log6 0 ,1< log6 1< log6 2 < log6 6 < log6 10 ; c) ln 0 ,1< ln 1< ln 2 < ln e < ln 10  22 a)  x ∈ (1; ∞); b)  x ∈ (0 ; 1 ; c)  x ∈ (0 ; 1); d)  x ∈ (0 ; 1   24 a) log2 5 > log2 1; b) log 1 5 < 1; c) log2 1 = log 1 1; d) log2 3 > log2 2 ; e) log 1 9 < 0 ; f) log2 2 > log2 1; g) log 1 2 < 0 ; h) log 1 2−4 > log 1 2−3; i) ln e =1;  2 3 2 2 3 2 2 2 j) ln e < log2 e ; k) ln 1 = log 1  25 a) log11 5 < 15 < log 5 11< 511; b) log 5 < 1< ln 5 < 5e   26 a)  x ∈ (2; ∞); b)  x ∈ (−∞ ; 3); c)  x ∈ (−5; ∞); d)  x ∈ (−3 ; 5)  27 a) a ∈ (1, 5 ; ∞); b) a ∈ (−∞ ; −1)∪(1; ∞); c) a ∈ (11; ∞); d) a ∈ 0   28 c, d  29 f : y = log 1 ( x −1)+ 2  31 D(f1 ) = (−2 ; ∞); D(f2 ) = (2 ; ∞); 3

D(f3 ) = (0 ; ∞)  32 a) ANO; b) NE; c) ANO; d) NE; e) NE; f) NE; g) NE 34 D(f ) = (−3; ∞); H(f ) =R 35 c  39 a) ANO; b) ANO; c) NE; d) NE  40 a) NE; b) ANO; c) ANO; d) NE; e) NE  41 a) pH = 7; b) pH = 5; c) pH =10 

Bez pravítka ani ránu

(Věty o logaritmech)

01 a) ANO; b) NE; c) ANO; d) NE; e) ANO; f) NE  02 a) 6; b) 0; c) 1; d) -1; e) -1; f) 3; g) -3; h) 14; i) 1; j) e; k) 1; l) 0  03 a) log 40; b) log2 60; c) log3 1; d) log6 8;  e) log12 4 ; f) log3 2; g) log 40; h) ln160; i) ln2; j) log 4 10   04 a) 3; b) 2; c) 2; d) 5; e) 1; f) 4; g) -1; h) 2  05 a) log 5 5; b) log14 1; c) log3 1 ; d) log 10   5 5 9 7 06 a) log3 36; b) log 3   07 a) ANO; b) ANO; c) NE; d) NE; e) NE 08 b, d  09 a) 1; b) 12; c) 0; d) 2; e) 2; f) 0; g) -6  10 a) log 4 x ; b) log(3 x + 9); c) log x 2;  100 d) log 4 d) 

4 x ; e) log ( x −1) ; f) log x 2 - 9 ; g) log 4 x 7 ; h) ln 4 x 2 - 4 x   11 a) 0; b) 16; c)  3 ; d) 5  12 a)  log 3  1, 585; b)  log 6  1,631; c)  log 0 , 4 -0 , 471;  2 5 log 2 log 3 log 7 x +2 x +1 9 2 5 3

log 200 ln 0 , 4 -0 , 471; d)  ln 200  2 ,301  13 a) 4; b) 6  14 c  15 b  16 a   5 ,298 ; a)  ln 3  1, 585 ; b)  ln 6  1,631; c)  ln 7 log e ln 2 ln 3 ln 10

Nebojme se logaritmů

(Logaritmické rovnice a nerovnice)

01 a) ANO; b) ANO; c) NE; d) NE; e) ANO; f) ANO; g) NE; h) NE (Pozn.: Jedná se o rovnost.)  02 a)  x = 8; b)  x = 1 ; c)  x = 0 ,25 ; d)  x = 2 ; e)  x = 3 2 ; f)  x =1;  9 g) x = 1 ; h)  x = 7; i)  x = 32; j)  x = 9 ; k) a = 3; l) a = 20  03 a) K = {−5}; b) K = {7}  04 a) K = {10}; b) K = {3}  05 a) K = {1}; b) K = {2}; c) K = 0 ;  5 8

2

Klíč k úlohám v pracovním sešitě Matematika pro střední školy – 5. díl: Funkce II © Nakladatelství Didaktis spol. s r. o.

{ } { }

d) K = {4} 06 d  07 a) NE; b) NE; c) ANO; d) NE; e) NE  09 a) K = {5}; b) K = {3}; c) K = 11 ; d) K = {1}  10 a) K = {−2 ; 3}; b) K = {4}; c) K = {12 , 5};  28 d) K = 0 11 b 12 d  14 a) P[ 3 ; 3]; b) P[ 2 ; 0 ] 15 Px [120 ; 0 ]; Py[ 0 ; 2]  17 a) K = 1 ; 27 ; b) K = { 2 ; 4}; c) K = {5−5 ; 525 }; d) K = 1 ; 3 32   3 4

{

}

18 a) K = {1000}; b) K = {2}  19 a) K = {7}; b) K = {2}  21 a)  x 1, 63; b)  x  0 , 43  22 a) K = {0 ,001; 100}; b) K = {0 ,2 ; 25}  I log x − log 3 23 a) b = ; b) a = log2 (b c ⋅ x ); c)  x = 1+ log a y ; d) c = log b y − log b a ; e) t = T ⋅ log0,5 N ; f) d =− 1 ⋅ ln I (nebo d = 1 ⋅ ln 0 )  m I m I0 log a N0 24 a) f −1: y = log3 x , D(f ) =R, H(f ) = (0; ∞), D(f −1 ) = (0; ∞), H(f −1 ) = R; b) g −1: y =−1+ log x , D( g ) =R, H( g ) = (0; ∞), D( g −1 ) = (0; ∞), H( g −1 ) = R; c) h−1: y = ln( x + 3), D( h) =R, H( h) = (−3; ∞), D( h−1 ) = (−3; ∞), H( h−1 ) = R; d) i −1: y =

{} (

{ }

log 4 5 x ( ) , D i =R, H( i ) = (0; ∞), D( i −1 ) = (0; ∞), 3

{ } (

H( i −1 ) = R  25 a) a = 1 ; b) K = 5 ; c) K = 3 ; d) K = {3}; e) K = 1 ; 8 ; f) K = {25}; g) K = {10−1− 2 2 ; 10−1 + 2 2 }; h) K = {1}  26 a) K = 2; ∞);  3 4 4 2 1 1   28 a) K = (−4 ; −2 ; b) K = − 1 ; 1   30 a) K = (−6 ; −5); b) K = − 5 ; 2  ; c) K = (e ; 1+ e   b) K = ; ∞ ; c) K = (e ; ∞); d) K = 0 ; 100 4 4 3 2

)

)

31 D(f ) = −2; ∞)  32 Suma na účtu překročí 1 milion korun za 95 let.  33 Poloviční hodnota atmosférického tlaku je v nadmořské výšce přibližně 5 600 m n. m.  34 Akustický výkon je 10-6 W.

Goniometrické funkce, rovnice a nerovnice (Oblouková míra, jednotková kružnice)

Nepodceňujte úhloměr!

01 a) 5°24 ′ ; b) 98°36 ′; c) 126°22 ′12 ′′ ; d) 352°39 ′; e) 12 , 45°; f) 88 ,15°; g) 100 ,14°; h) 200 ,18° 02 A-4; B-3; C-1; D-2 03 b  04 a) α = 90°, β = 270°;  b) α = 60°, β = 120°; c) α = 45° , β = 315°; d) α = 30°, β = 330°  05 a) α∈ 90°; 180°); b) α∈ 270°; 360° ; c) α∈ 180°; 270°); d) α∈ 0°; 90°)  06

07

Velikost úhlu ve stupních

0°

Velikost úhlu v radiánech

0

Velikost úhlu ve stupních

18° p 10

Velikost úhlu v radiánech

30° p 6

45° p 4

60° p 3

90° p 2

180°

27° 3p 20

150° 5p 6

50° 5p 18

100° 5p 9

15° p 12

p

270° 3p 2

360°

157,5° 7p 8

210° 7p 6

2p

08 a) 22°30 ′; b) 108°; c) 146°15′; d) 337°30 ′; e) 143°14 ′22 ′′ ; f) 34°22 ′39 ′′  09 a) 12°= p  0 , 209 ; b) 175°= 35 p  3 ,054 ; c) 330°= 11p  5 ,760;  15 36 6 15 p 13 p 131 p d) 337°30 ′ =  5 ,890; e) 23°24 ′ =  0 , 408 ; f) 235°48 ′ =  4 ,115 10 c  11 a) α = 170°+ 1⋅ 360°; b) α = 236°+ 7 ⋅ 360°;  8 100 100 c) α = 270°− 2 ⋅ 360° ; d) α = 336°−14 ⋅ 360°  12

Velikost orientovaného úhlu 860° -1 660° 3 020° -2 380°

Počet otoček 2 5 8 7

Smysl kladný záporný kladný záporný

13 a) α = 3 p + 8 ⋅ 2 p; b) α = 0 + 7 ⋅ 2p; c) α = 8 p − 2 ⋅ 2 p; d) α = 3 p − 4 ⋅ 2 p  14 b  15 b, d  2 5 2 16

Velikost orientovaného úhlu 43 p 3 23 - p 3 31p 3 - 5p 3

Počet otoček

Smysl

7

kladný

4

záporný

5

kladný

1

záporný

 , α = 270°; b)  β = ACB  , δ=−60°; e) ε= EDA  , ε=−150°  18 α = 1350°  19 α =− 8 p    , γ =−105°; d) δ= CED  , β = 45° ; c) γ = ACE 17 a) α = BFA 15 −5 −1 17 p p ′ ′′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ 20 8 , 79  4 , 26 ⋅10 rad; 57 2 , 5  0 ,0166 rad 21 α  86°58 30 ; β  89°50 24 22 α = 127°30 =   23 a) ω= rad ⋅ s ; b) ∆ϕ 57°;  24 2 1 c) t = 0 , 4 s  24 a) α = s; b) α = 720°  100 Klíč k úlohám v pracovním sešitě Matematika pro střední školy – 5. díl: Funkce II © Nakladatelství Didaktis spol. s r. o.

3

(Goniometrické funkce sinus a kosinus)

Jednou jsi dole, podruhé nahoře 01 sin α = 0 , 46; cos α =−0 , 89  02 a = 0°

orientovaný úhel  AOA

sin a

cos a

0

1

 AOB  AOC

1

0

0

-1

 AOD  AOA

-1

0

0

1

a = 90° a = 180° a = 270° a = 360°

03 a) sin α> 0, cos α<0, sin β <0, cos β> 0; b) sin α<0, cos α<0, sin β> 0, cos β> 0; c) sin α> 0, cos α> 0, sin β> 0, cos β <0; d) sin α = 0, cos α<0,

(

)

(

)

( )

( )

sin β <0, cos β> 0  04 a) α∈ (270° ; 360°), α∈ 3 p ; 2 p ; b) α∈ (180° ; 270°), α∈ p ; 3 p ; c) α∈ (90° ; 180°), α∈ p ; p ; d) α∈ (0° ; 90°), α∈ 0 ; p   2 2 2 2 05 a 06 b  07 a) α < β, sin α < sin β , cos α > cos β ; b) α < β, sin α > sin β , cos α < cos β   08 a) sin 45°= sin 135°; b) sin 120°= sin 60°;  c) sin 240°= sin 300°; d) sin 270°= sin 0 ; e) sin 330°= sin 210°; f) sin 360°= sin 180°= sin 0°; g) cos 30°= cos 330°; h) cos 40°= cos 320°; i) cos 90°= cos 270°;  j) cos 160°= cos 200°; k) cos 180°= cos 0 ; l) cos 310°= cos 50°  09

Velikost úhlu ve stupních Velikost úhlu v radiánech

0°

30°

45°

60°

90°

120°

135°

150°

180°

210°

225°

240°

270°

300°

315°

330°

360°

0

p 6

p 4

p 3

p 2

2p 3

3p 4

5p 6

p

7p 6

5p 4

4p 3

3p 2

5p 3

7p 4

11p 6

2p

sin a

0

1 2

2 2

3 2

1

3 2

2 2

1 2

0

-1 2

-1 2

0

cos a

1

3 2

2 2

1 2

0

-1 2

3 2

1

- 2 - 3 2 2

-1

- 2 - 3 2 2

- 3 - 2 2 2

-1

-1 2

0

- 3 - 2 2 2 1 2

2 2

10 a) sin 117°= 0 ,891, sin 243°=−0 ,891, sin 297°=−0 ,891; b) cos 121°=−0 , 515, cos 239°=−0 , 515, cos 301°= 0 , 515; c) sin 9 p = 0 ,309 , sin 11p =−0 ,309, 10 10 19 p 4 p 6 p 9 p sin =−0 ,309 ; d) cos =−0 , 809 , cos =−0 ,809 , cos = 0 ,809 11 c  12 a) 0,422 6; b) -0,874 6; c) 0,197 7; d) 0,824 0; e) -0,374 6; f) -0,804 9;  10 5 5 5 g) 0,962 7; h) 1 (Pozn.: 0 , 9 )  13 a) sin 45°= sin 135° =−sin 225° =−sin 315°; b) sin 200°= sin 340° =−sin 20° =−sin 160°;  c) cos 111°= cos 249° =−cos 69° =−cos 291°; d) cos 350°= cos 10° =−cos 170° =−cos 190°  14 a) cos 45°= cos (−315°) = cos (−45°);  b) cos 230°= cos (−230°) = cos (−130°); c) sin 12°= sin(−192°) = sin(−348°); d) sin 280°= sin(−80°) = sin(−100°)  15 a) sin 420°= sin 60°= 3 , 2 3 1 1 21 p 3 p 21 p 3 p 22 p 3 p = sin =−1, cos = cos = 0 ; d) sin = sin =−1, cos 420°= cos 60°= ; b) sin 3 210°= sin 330°=− , cos 3 210°= cos 330°= ; c) sin 2 2 2 6 2 6 2 4 2 3 + 6 22 p 3 p 3 1   17 a) I1 ∩ I 2 = −0 , 3 ; 0), I1 ∪ I 2 = (−0 , 5 ; 1,2 ; b) I1 ∩ I 2 = −0 , 5 ; 1 , I1 ∪ I 2 = (−7 ; 7)  = cos = 0   16 a) - ; b) 2; c)  ; d)  cos 4 4 2 2 2 18 a) cos (−200°) = cos 200°= cos 2 000°< cos 20° ; b) sin − 3 p < sin 8 p < sin p < sin 100 p   19 a) není periodická funkce; b) není funkce; c) p =15; d) p = 2p  8 8 8 21 b  22 a) ANO; b) NE; c) ANO; d) ANO; e) NE; f) NE 

( )

23

x

0

y

2

p 6 5 2

p 2

p

3p 2

3

2

1

11p 6 3 2

D(f ) =R; H(f ) = 1; 3 ; a) NE; b) NE; c) ANO; d) ANO; e) ANO; f) ANO; g) ANO; h) NE; i) NE; j) ANO 



25 a  26 a) NE; b) NE; c) NE; d) NE (Pozn.: Pod pojmem perioda rozumíme nejmenší vhodné kladné číslo.); e) ANO; f) ANO  27



x

0

p 4

p 2

p

3p 2

7p 4

y

2 2

0

- 2 2

- 2 2

2 2

1

D(f ) =R; H(f ) = −1; 1 ; a) NE; b) NE; c) ANO; d) ANO; e) ANO; f) ANO; g) ANO; h) NE; i) NE; j) ANO 

( ) ( )

30 H(f ) = −1; 1 ; f − 2 p = 1; f 7 p =−1  31 a) 4; b) 3; c) 2; d) 1  32 a) obor hodnot funkce; b) periodu funkce; c) osy x ; d) osy y 33 A-6; B-2; C-7; D-4; E-6  3 3 34 A-1; B-2; C-4; D-3  35 c  36 d  37 a  38 b  40 S = 9 p j2   41 D(f ) =R; H(f ) = −3 ; 3 ; Funkce f  je periodická s periodou p, je omezená shora hodnotou 3, je omezená zdola hodnotou -3.  42 Po 20 sekundách má kulička výchylku 5 cm. Maximální výchylka kuličky je 10 cm.  43 V čase 2 ms je napětí 207 V, v čase 5 ms je napětí 352 V.

4

Klíč k úlohám v pracovním sešitě Matematika pro střední školy – 5. díl: Funkce II © Nakladatelství Didaktis spol. s r. o.

(Goniometrické funkce tangens a kotangens)

Když zdání klame

(

)

01 a)  y = sin x ; b)  x ≠ p + k ⋅ p ; k ∈ Z; c)  y = cos x ; d)  x ≠ k ⋅ p; k ∈ Z  cos x 2 sin x 02

Velikost úhlu ve stupních Velikost úhlu v radiánech

0°

30°

45°

60°

90°

120°

135°

150°

180°

210°

225°

240°

270°

300°

315°

330°

360°

0

p 6

p 4

p 3

p 2

2p 3

3p 4

5p 6

p

7p 6

5p 4

4p 3

3p 2

5p 3

7p 4

11p 6

2p

sin a

0

1 2

2 2

3 2

1

3 2

2 2

1 2

0

-1 2

-1 2

0

cos a

1

3 2

2 2

1 2

0

-1 2

tg a

0

3 3

1

3

×

- 3

-1

- 3 3

0

3 3

cotg a

×

3

1

3 3

0

- 3 3

-1

- 3

×

3

- 2 - 3 2 2

-1

- 2 - 3 2 2

-1

- 3 - 2 2 2

-1 2

0

1 2

2 2

3 2

1

1

3

×

- 3

-1

- 3 3

0

1

3 3

0

- 3 3

-1

- 3

×

- 3 - 2 2 2

03 a) tg α∈ (−∞ ; −1 , cotg α∈ (−1; 0 , tg β ∈ (1; ∞), cotg β ∈ (0 ; 1 ; b) tg α∈ (0 ; 1 , cotg α∈ (1; ∞), tg β ∈ (−∞ ; −1 , cotg β ∈ (−1; 0   04 a)              b)              c)              d) a neexistuje, b neexistuje  y y y tx

tx

1

tx

1

O

β

α

α 1 x

O

−1

−1

1 x

O

−1 −0,5

−1

1 x

−1

−2

ty

1 α

β

0,5 β −1

1,5

ty

ty

05 a) tg 0°= tg 180°= tg 360°; b) tg p = tg 5 p ; c) tg 100°= tg 280°; d) tg 4 p = tg p ; e) tg 315°= cotg 315°= cotg 135°; f) cotg p = cotg 3 p ;  4 4 3 3 2 2 3 p p 29 p 5 p p g) cotg 100°= cotg 280°; h) cotg = cotg ; i) tg 3 000°= tg 120° = tg 300°; j) cotg = cotg = cotg   06 a) tg95°< 0 ; b) cotg1280°> 0; c) tg 5 p > 0;  2 2 2 4 4 4 d) cotg 19 p < 0; e) tg 6 p ⋅ cotg p = 0; f) tg p ⋅ cos p > 0; g) sin − 2 p ⋅ cotg 5 p < 0 ; h) cos 310°⋅ cotg 2 800°< 0  07 a) cotg 222° < cotg 17° ; b) tg 325° > tg 111° ;  11 5 2 3 4 3 4 c) tg 25° < cotg 25°; d) tg 135° = cotg 135°  08 a) 0,509 5; b) -0,726 5; c) 0,606 8; d) 1,110 6; e) -6,939 5; f) -0,220 8 

( )

09 a) cos α = 3 , tg α = 3 , cotg α = 3 ; b) sin α = 2 , cos α = 2 , cotg α =1  2 3 2 2 10 a)              b)                       y y ty 2 tx

1

β

α O

−1

1

1 x

−1

O

−1

1

2

3

3,5 x

−1

11 a) 4 ⋅ 3 −1; b)  5 ; c) - 1 ; d) -1 13 d  14 a) ANO; b) NE; c) NE; d) ANO; e) NE; f) ANO 15 c  3 3 16 p 3p 11p x 0 p 2 2 4 -1 -1 y 1 1 0 

{

}

D(f ) = R − p + k ⋅ p , k ∈ Z ; H(f ) =R; a) NE; b) NE; c) NE; d) NE; e) NE; f) NE; g) NE; h) NE; i) ANO  4

Klíč k úlohám v pracovním sešitě Matematika pro střední školy – 5. díl: Funkce II © Nakladatelství Didaktis spol. s r. o.

5

17 p 18 A-5; B-nemá řešení; C-4; D-3  20 a) NE; b) ANO; c) ANO; d) ANO; e) ANO 21 d  4 22



x

-p 3

p 3

7p 6

y

3 3

×

- 3

{

3p 2

2p - 3 3

3

}

D(f ) = R − p + k ⋅ p , k ∈ Z ; H(f ) =R; a) NE; b) NE; c) NE; d) NE; e) NE; f) NE; g) NE; h) NE; i) ANO  3 23 b 

(Goniometrické rovnice a nerovnice)

Hotel Harmonie

01 c  02 a) 2; b) 1; c) 2; d) 0; e) 2; f) 2  03 a)  x 1 = 30°; x 2 = 150°; x 1 = 30°+ k ⋅ 360°, k ∈ Z; x 2 = 150°+ k ⋅ 360°, k ∈ Z; b)  x 1 = 120°; x 2 = 240°; x 1 = 120°+ k ⋅ 360°, k ∈ Z; x 2 = 240°+ k ⋅ 360°, k ∈ Z; c)  x 1 = 45°; x 2 = 315°; x 1 = 45°+ k ⋅ 360°, k ∈ Z; x 2 = 315°+ k ⋅ 360°, k ∈ Z; d)  x 1 = 135°; x 2 = 315°; x = 135°+ k ⋅180°, k ∈ Z; e)  x 1 = 0°; x 2 = 180°; x = k ⋅180°, k ∈ Z; f)  x 1 = 60°; x 2 = 240°; x = 60°+ k ⋅180°, k ∈ Z  04 a)  x = 3 p + k ⋅ 2 p; k ∈ Z;  2 b) x 1 = p + k ⋅ 2 p, k ∈ Z; x 2 = 7 p + k ⋅ 2 p, k ∈ Z; c) nemá řešení; d)  x = p + k ⋅ 2 p ; k ∈ Z; e)  x = p + k ⋅ p ; k ∈ Z; f)  x = 5 p + k ⋅ p; k ∈ Z  2 4 6 4 4 05 a) x 1  41°25′+ k ⋅ 360°, k ∈ Z; x 2  318°35′+ k ⋅ 360°, k ∈ Z; b)  x 1  19°28 ′+ k ⋅ 360°, k ∈ Z; x 2  160°32 ′+ k ⋅ 360°, k ∈ Z; c)  x  72°21′+ k ⋅180°, k ∈ Z;  d) x 1  129°18 ′+ k ⋅ 360°, k ∈ Z ; x 2  230°42 ′+ k ⋅ 360°, k ∈ Z  06 a)  x  55°+ k ⋅180°, k ∈ Z; b)  x 153°26 ′+ k ⋅180°, k ∈ Z  07 a)  x ∈ R −{k ⋅ p}; k ∈ Z ; 

{

}

{

{ }

}

b) x ∈ R − p + k ⋅ 2 p ; k ∈ Z; c)  x ∈ R − 2 p + k ⋅ 2 p ; 4 p + k ⋅ 2 p ; k ∈ Z ; d)  x ∈ R − k ⋅ p ; k ∈ Z   08 a)  x 1 = p + k ⋅ 2 p, k ∈ Z; x 2 = 5 p + k ⋅ 2 p, k ∈ Z;  2 3 3 2 6 6 b) K = 0   09 a)  x 1 = 10°+ k ⋅120°, k ∈ Z; x 2 = 50°+ k ⋅120°, k ∈ Z; b)  x = 225°+ k ⋅ 450°, k ∈ Z; c)  x = 6°+ k ⋅ 36°, k ∈ Z; d)  x 112°37 ′+ k ⋅ 360°, k ∈ Z  10 a) x 1 = 120°+ k ⋅ 360°, k ∈ Z; x 2 = 240°+ k ⋅ 360°, k ∈ Z; b)  x 1 = 390°+ k ⋅1080°, k ∈ Z; x 2 = 750°+ k ⋅1080°, k ∈ Z; c)  x = 60°+ k ⋅180°, k ∈ Z;  d) x = 37°30 ′+ k ⋅ 90°, k ∈ Z  11 a)  x 1 = 8 p + k ⋅ 4 p; k ∈ Z; x 2 = 10 p + k ⋅ 4 p; k ∈ Z; b)  x 1 = p + k ⋅ 2 p, k ∈ Z; x 2 = k ⋅ 2 p, k ∈ Z; c)  x = 7 p + k ⋅ p , k ∈ Z;  12 2 2 3 3 p  [ 3 p ] d) x = + k ⋅ 3 p; k ∈ Z 12 Px  ; 0 ; Py 0 ; −0 , 5   13 a) NE; b) NE; c) NE; d) ANO; e) ANO 14 a, d, e  15 a)  x = k ⋅ p; k ∈ Z;  2 3  b) x = p + k ⋅ 2 p ; k ∈ Z  16 a)  x = 2 p + k ⋅ p; k ∈ Z; b)  x = k ⋅ p; k ∈ Z; c)  x 1 = k ⋅ p, k ∈ Z; x 2 = 4 p + k ⋅ 2 p, k ∈ Z ; x 3 = 5 p + k ⋅ 2 p, k ∈ Z; d)  x 1 = k ⋅ p, k ∈ Z; 9 3 3 p p p p p p p x 2 = + k ⋅ p, k ∈ Z; e)  x = + k ⋅ ; k ∈ Z; f)  x 1 = + k ⋅ p, k ∈ Z; x 2 = + k ⋅ ; k ∈ Z  17 a)  x 1 = k ⋅ p, k ∈ Z; x 2 = + k ⋅ p, k ∈ Z;  6 2 4 2 4 2 2 p p p 3 p 2 p b) x ∈ R − k ⋅ ; k ∈ Z ; c)  x = + k ⋅ p ; k ∈ Z; d)  x = k ⋅ p; k ∈ Z; e)  x 1 = + k ⋅ 2 p, k ∈ Z; x 2 = + k ⋅ p, k ∈ Z; x 3 = + k ⋅ p, k ∈ Z;  2 2 3 2 3 p p 5 7 f) x 1  14°29 ′+ k ⋅ 360°, k ∈ Z; x 2 = 90°+ k ⋅180°, k ∈ Z; x 3  165°31′+ k ⋅ 360°, k ∈ Z  18 a)  x ∈ + k ⋅2p ; + k ⋅ 2 p ; k ∈ Z;  4 4 b) x ∈ − p + k ⋅ 2 p ; p + k ⋅ 2 p ; k ∈ Z; c)  x ∈ R − p + k ⋅ 2 p ; k ∈ Z; d)  x ∈ R − p + k ⋅ 2 p ; k ∈ Z; e)  x ∈ p + k ⋅ p ; 5 p + k ⋅ p ; k ∈ Z;  3 3 2 2 2 4 f) x ∈ 3 p + k ⋅ p ; p + k ⋅ p ; k ∈ Z  19 a)  x ∈ 5 p + k ⋅ 2 p ; 13 p + k ⋅ 2 p ; k ∈ Z; b)  x ∈ 0 + k ⋅ p ; p + k ⋅ p ; k ∈ Z; c)  x ∈ 3 p + k ⋅ p ; 5 p + k ⋅ p ; k ∈ Z   4 2 8 2 8 2 6 6 20                                      y

{ }

(

{

)

}

{

}

(

(

)

)

(

)

1 f

0,5

−

−π

−

O

π

x

−0,5 −1

(

)

21 a) x ∈ (35°47 ′+ k ⋅ 90° ; 99°13′+ k ⋅ 90°); k ∈ Z; b)  x ∈ (45°+ k ⋅ 90° ; 112 , 5°+ k ⋅ 90°); k ∈ Z  22 a)  x ∈ p + k ⋅ 2 p ; 5 p + k ⋅ 2 p ; k ∈ Z;  4 4 p 5 p b) x ∈ 0 + k ⋅ 2 p ; + k ⋅ 2 p ∪ + k ⋅ 2 p ; p + k ⋅ 2 p ; k ∈ Z  23 τ = 0°0 ′59 ′′  24 a) Zdravý člověk má teplotu 36,8 °C ve 2 hodiny a ve 14 hodin.; b) Zdravý 6 6 člověk má nejnižší teplotu v 8 hodin a nejvyšší teplotu ve 20 hodin.; c) Zdravý člověk má nejvyšší teplotu 38,1 °C a nejnižší teplotu 35,5 °C.  25 a) Frekvence kmitů je 4 Hz.;  b) Oscilátor poprvé dosáhne amplitudy výchylky za  1 s.; c) Výchylka je nulová za  1 s.; d) Výchylka dosáhne polovinu amplitudy za  1 s.  48 12 16

6

Klíč k úlohám v pracovním sešitě Matematika pro střední školy – 5. díl: Funkce II © Nakladatelství Didaktis spol. s r. o.

(Goniometrické vzorce)

Může za to Ptolemaios?

01 a) cotg x = 1 ; b) tg x ⋅ cotg x =1; c) sin 2 x = 2 ⋅ sin x ⋅ cos x ; d) sin2 x = 1− cos 2 x ; e) cos 2 x = cos 2 x − sin2 x ; f) cos 2 x = cos 2 x + sin2 x   tg x 02 a) cos α =− 21 ; tg α =− 2 ; cotg α =− 21 ; b) sin α =− 4 ; tg α = 4 ; cotg α = 3   03 a) cos 2 x ; podm.: x ∈R; b) sin x + cos x ; 5 2 5 3 4 21 2 3 p p p p odm.: x ≠ + k ⋅ p ; k ∈ Z; c) sin x ; podm.: x ≠ k ⋅ ; k ∈ Z; d) tg x ; podm.: x ≠ + k ⋅ p ; k ∈ Z  04 a)  1 ; podm.: x ≠ p + k ⋅ p ; k ∈ Z; b) sin2 x ; podm.: x ∈R; 4 2 2 2 cos x 2 p p p sin x c) tg x ; podm.: x ≠ + k ⋅ p ; k ∈ Z; d)  2 ; podm.: x ≠ + k ⋅ p ; k ∈ Z; e) cos x ; podm.: x ≠ + k ⋅ p ; k ∈ Z; f) 3; podm.: x ≠ p + k ⋅ p ; k ∈ Z;  2 2 2 2 cos x 1 2 2 p p p p 1 g) 5 ⋅cos x; podm.: x ≠ k ⋅ ; k ∈ Z; h)  ; podm.: x ≠ k ⋅ ; k ∈ Z; i)  2 ; podm.: x ≠ + k ⋅ p ; k ∈ Z; j) 2 ⋅sin x; podm.: x ≠ + k ⋅ p ; k ∈ Z;  2 2 2 2 2 cos x p p p p 5 p k) 1; podm.: x ≠ k ⋅ ; k ∈ Z  05 a)  x 1 = + k ⋅ 2 p, k ∈ Z; x 2 = + k ⋅ 2 p, k ∈ Z; x 3 = + k ⋅ 2 p, k ∈ Z; b)  x 1 = + k ⋅ 2 p, k ∈ Z; x 2 = 5 p + k ⋅ 2 p, k ∈ Z;  2 2 6 3 6 3 p p p p p 3 p 1 ; podm.: x ≠ + k ⋅ p ; k ∈ Z;  c) x = + k ⋅ p ; k ∈ Z; d) K = 0   06 a)  x = + k ⋅ ; k ∈ Z; b)  x 1 = + k ⋅ p, k ∈ Z; x 2 = + k ⋅ p, k ∈ Z  07 a)  4 4 2 2 2 4 cos x b)  cos x + sin x ; podm.: x ≠ p + k ⋅ p ; k ∈ Z 08 c 09 d  10 a)  6 + 2 ; b) - 2   13 a)  x 1 = p + k ⋅ 2 p, k ∈ Z; x 2 = 7 p + k ⋅ 2 p, k ∈ Z; cos x − sin x 4 4 2 2 2 6 x 3 = 11p + k ⋅ 2 p, k ∈ Z; b)  x 1 = k ⋅ p, k ∈ Z; x 2 = p + k ⋅ p, k ∈ Z; x 3 = 7 p + k ⋅ p, k ∈ Z; c)  x = p + k ⋅ p ; k ∈ Z; d)  x 1 = 7 p + k ⋅ 2 p, k ∈ Z ; 4 8 6 8 12 p p p 23 p + k ⋅ 2 p, k ∈ Z; e)  x 1  111°28 ′+ k ⋅ 360°, k ∈ Z ; x 2  248°32 ′+ k ⋅ 360°, k ∈ Z; f)  x 1 = k ⋅ ; k ∈ Z ; x 2 = + k ⋅ ; k ∈ Z; x 3 = 5 p + k ⋅ p ; k ∈ Z  x 2 = 4 12 2 12 12 2 p 3 p 2 p 4 p 4 p 14 a) x 1 = + k ⋅ p, k ∈ Z; x 2 = + k ⋅ p, k ∈ Z; b)  x 1 = k ⋅ p, k ∈ Z; x 2 = + k ⋅ 2 p, k ∈ Z; x 3 = + k ⋅ 2 p, k ∈ Z  15 x 1 = + k ⋅ 2 p, k ∈ Z; 2 4 3 3 3 p p p p 5 p 5 p x 2 = + k ⋅ 2 p, k ∈ Z  16 a)  x 1 = + k ⋅ 2 p, k ∈ Z; x 2 = + k ⋅ 2 p, k ∈ Z; b)  x = + k ⋅ , k ∈ Z; c)  x 1 = k ⋅ p, k ∈ Z; x 2 = + k ⋅ p; k ∈ Z;  8 2 6 4 3 6 2 p 4 p 7 p 11 p d) x = k ⋅ 2p, k ∈ Z ; e)  x 1 = k ⋅ p, k ∈ Z; x 2 = + k ⋅ 2 p, k ∈ Z; x 3 = + k ⋅ 2 p, k ∈ Z; f)  x 1 = + k ⋅ 2 p, k ∈ Z ; x 2 = + k ⋅ 2 p, k ∈ Z  3 3 6 6     17 P1[−2 p; 0 ]; P2  −3 p ; 0 ; P3[ 0 ; 0 ]; P4  p ; 0 ; P5[ 2 p; 0 ] 18 Řešení na intervalu 0° ; 360° : K = {[ 90° ; 75°31′ ]; [ 90° ; 284°29 ′ ]} 20 α1 = 120°; α2 = 240°  2 2   21 Těleso se bude pohybovat rovnoměrně při úhlu nakloněné roviny přibližně 19°17 ′ .  22 a) Frekvence kmitů je 2 Hz.; b) Oscilátor poprvé dosáhne maximální rychlosti po  1 s.; c) Rychlost bude nulová po  3 s.  23 Mezní úhel pro rozhraní sklo-vzduch je přibližně 39°52 ′.  16 16

Trigonometrie obecného trojúhelníku (Sinová a kosinová věta)

Lomikare, Lomikare

01 a) ANO; b) NE; c) NE; d) NE; e) ANO; f) ANO; g) NE; h) NE  02 a) c  4 ,26 cm; b) r  2 ,13 cm  03 γ = 120°; a  5 ,9 cm; b  3 , 2 cm  04 α  23°; β  80°; b  5 ,1 cm  05 β  24°  06 o  30 ,7 cm  07 b  6 ,07 cm; c 11, 03 cm; α  35°; β  30°  08 a  3 ,218 cm; β  87°  09 t c  4 , 57 cm  10 a)                                  b) b1  5 , 6 cm; α1  45°35′; β1  62°44 ′; γ 1  71°41′ ; C1

C2

p

b2  9 cm; α2  26°23′ ; β 2  117°16 ′; γ 2  36°21′ 

b1

A

b2

vc

a2

a1

c

B

11 b 12 c 13 KL  2 , 29 cm; LM  2 , 84 cm; KM 1, 05 cm;

LMK  48°43′  14 a) Pro a = 2 cm úloha nemá řešení.; b) Pro a = 5 cm má úloha jedno řešení:

b  5 , 4 cm; β  68°48 ′; γ  51°12 ′  15 e + f 10 ,64 cm  16 CD  32 , 7 m 

Klíč k úlohám v pracovním sešitě Matematika pro střední školy – 5. díl: Funkce II © Nakladatelství Didaktis spol. s r. o.

7

(Užití sinové a kosinové věty)

Jak dlouhý je metr? 01 a) ANO; b) ANO; c) NE; d) ANO; e) ANO; f) NE 

02 a) F2 < F1 < F            b) F1 < F2 < F            c) F1 < F < F2            d) F1 = F2 = F           F1

F

F2

F2 F

F1

F F2

F

F2

F1

F1

03 a)                b)                04 a)               b) F 142N;

F2

F

F

F

F2 F2 α

F1

F1

 c) Síla F1 svírá se sílou F úhel přibližně 23°49 ′. Síla F2 svírá se sílou F úhel přibližně 31°11′ . 

F1

A

05 F 131N 06 F1  86 ,8 N; F2  70 ,8 N 07 Detektiv a zločinec od sebe budou přibližně 8,5 m.  08 Mlýn a strom jsou od sebe přibližně 1,93 km.  09 a) Plocha pískoviště je přibližně 4 m2.; b) Obsah vodní plochy je přibližně 6,25 m2  10

A 60°

20°

20° B

C

11 Sokol letí rychlostí přibližně 192 ,6 km⋅ h−1. 12 Šišky jsou přibližně 7 m nad zemí.  13 Balón letí ve výšce přibližně 60 m.  14 a) a  4 ,1 cm; b = 6 cm; β  46°53′ ; γ 103°07 ′; b) b  21, 2 cm; c  70 ,1 cm; α  26°26 ′; β 10°26 ′ ; γ 143°8 ′   15 x  70 ,8 m  16 S = 0 ,643 a 2  17 S  71,3 m2 18 c  19 a) NE; b) ANO; c) ANO; d) NE  20 F1  612 N; F2  775 N  21 S  20 , 8 cm2  23 S  4 , 48 cm2

8

Klíč k úlohám v pracovním sešitě Matematika pro střední školy – 5. díl: Funkce II © Nakladatelství Didaktis spol. s r. o.