3. LINEÁRNÍ FUNKCE, LINEÁRNÍ ROVNICE A LINEÁRNÍ NEROVNICE Dovednosti: 1. Lineární funkce. -Vědět, že je vyjádřena předpisem f: y = ax + b, a znát geometrický význam konstant a,b. -Umět přiřadit proměnné její funkční hodnotu a sestrojit graf funkce; určit k dané funkční hodnotě hodnotu proměnné. -Umět určit základní vlastnosti lineární funkce ( D(f), H(f), průsečíky s osami souřadnic, monotónnost ). -Umět využít pojmu funkce při řešení slovních úloh. -Umět sestrojit graf funkce s absolutní hodnotou. 2. Lineární rovnice. -Umět využít ekvivalentních úprav rovnic k vyjádření neznámé ze vzorce. -Umět řešit ekvivalentními úpravami lineární rovnice. -Umět správně postupovat při řešení rovnic s neznámou ve jmenovateli. -Umět řešit jednodušší typy rovnic obsahující výrazy v absolutní hodnotě. -Umět řešit jednoduché slovní úlohy s využitím předcházejících typů rovnic. 3. Lineární nerovnice. -Pomocí ekvivalentních úprav umět řešit lineární nerovnice. -Umět řešit jednodušší typy nerovnic v součinovém a podílovém tvaru a nerovnic s neznámou ve jmenovateli. -Umět řešit jednoduché nerovnice obsahující lineární výrazy v absolutní hodnotě. 4. Soustavy rovnic a nerovnic. -Ovládat dosazovací, sčítací a srovnávací metodu řešení soustav lineárních rovnic s dvěma neznámými. -Umět řešit soustavy lineárních rovnic s více(třemi, čtyřmi) neznámými. -Umět řešit jednoduché slovní úlohy s využitím uvedených soustav rovnic. -Umět graficky znázornit řešení lineární rovnice a lineární nerovnice s dvěma neznámými. -Umět řešit soustavy nerovnic s jednou neznámou.
Úlohy: 1. Pro funkci f: y = -2x + 3 určete: a) f(0), f(3), f(-5), f(18), b) pro která x je f(x) = 1, f(x) = -5, c) průsečíky funkce s osami x,y.
1
d) načrtněte graf. [a) 3; -3; 13; -33; b) x1 = 1; x2 = 4; c) [1,5; 0]; [0;3]; d) přímka procházející např. body v c)] 2. Sestrojte graf funkce, určete definiční obor a obor hodnot funkce: a) f: y = -3x , x ∈ (2; ∞ ) [Df = (2; ∞ ) ; Hf = (− ∞;− 6) ] 1 1 1 b) g: y = − x + 4 , x ∈ − 4;2 [Dg = − 4;2 ; Hg = 5 ; 3 ] 3 3 3 c) h: y = -6 , x ∈ N [Dh = N ; Hh = {-6}] d) m: y = 4x – 0,5 , x ∈ (− ∞; 2,5 [Dm = (− ∞; 2,5 ; Hm = (− ∞; 9,5 ]
3. Zapište předpis pro funkci f , víte-li, že jejím grafem je přímka, která prochází body A[10;10], B[-1;-6,5]. 1 1 Zjistěte, zda také bod K ;−4 leží na grafu funkce f. 2 2 Určete průsečíky grafu funkce s osami souřadnic. Určete, pro které hodnoty proměnné x jsou hodnoty funkce menší než -1. [ f: y =
3x 8 − 5 ; K ∉ na grafu funkce f ; Px 10 ;0 , Py [0;−5] ; pro x < ] 2 3 3
4. Pro lineární funkci g platí: g(1) = 1, g(3,5) = -7. Vyjádřete ji předpisem y = ax + b 16 21 a sestrojte její graf. [g: y = − x + ; obr.V 2.9. ] 5 5
5. U každé ze zadaných funkcí určete její definiční obor, obor funkčních hodnot, načrtněte graf a zapište její základní vlastnosti: a) f: y = 3x +1 , x ∈ − 1; 2) 1 b) g: y = − x + 2 , x ∈ (− ∞;10 5 x c) h: x + y = − 2 , x ∈ R0− 2 2 . − 2 ) , x ∈ (− 5; ∞ ) d) k: 3 y − = (1 − 2 y )( 5 4 e) m: y = x − x , x ∈ − 9;9 3 2 x(3 − 2 x ) f) n: y = , x∈R 2 x(3 − 2 x ) 1 [ a) Df = − 1; 2) , Hf = − 2; 7 ) , rostoucí, grafem je úsečka, Px − ;0 , Py[0;1]; 3
2
b) Dg = (− ∞;10 , Hg = 0; ∞ ) , klesající, grafem je polopřímka, Px [10;0] , Py[0;2]; c) Dh = R0− , Hh = − 2; ∞ ) ,klesající, grafem je polopřímka, Px [− 4;0] , Py[0;-2];
d) Dk = (− 5; ∞ ) , Hk = {1,6} , konstantní, grafem je polopřímka Px neexistuje , Py[0;1,6];
e) Dm = − 9;9 , Hm = − 3;3 , rostoucí, grafem je úsečka, Px [0;0] , Py[0;0];
3 3 }, Hn = R – {0; }, klesající, grafem je přímka, která neobsahuje dva 2 2 body, je nespojitá právě v průsečíkách s osami x,y, Px 3 ;0 Py 0; 3 ] 2 2
f) Dn = R – {0;
6. Sestrojte grafy funkcí a zapište jejich vlastnosti: a) f1: y = |x| b) f2: y = -|x| c) f3: y = |x| + 3 d) f4: y = |x - 2| e) f5: y = |x – 2| + 3 [ a) Df = R, Hf = 0; ∞ ) ; ↓ na (− ∞; 0 ), ↑ na (0; ∞ ) ; minimum f(0) = 0; zdola omezená; sudá ;
b) Df = R, Hf = (− ∞; 0 ; ↑ na (− ∞; 0 ), ↓ na (0; ∞ ) ; maximum f(0) = 0; shora omezené;sudá;
c) Df = R, Hf = 3; ∞ ) ; ↓ na (− ∞; 0 ), ↑ na (0; ∞ ) ; minimum f(0) = 3; zdola omezená; sudá; d) Df = R, Hf = 0; ∞ ) ; ↓ na (− ∞; 2 ), ↑ na (2; ∞ ) ; minimum f(2) = 0; zdola omezená;
e) Df = R, Hf = 3; ∞ ) ; ↓ na (− ∞; 2 ), ↑ na (2; ∞ ) ; minimum f(2) = 3; zdola omezená ]
7. Pružina má délku 60 mm. Experimentem bylo zjištěno: zavěsíme-li na pružinu břemeno o hmotnosti 1 kg, vzroste její délka o 5 mm. Dále víme, že prodloužení pružiny je přímo úměrné hmotnosti zavěšeného břemena, a to až do 8 kg. a) Zapište funkci, která vyjadřuje závislost délky pružiny (v milimetrech) na hmotnosti břemena (v kg). Hmotnost uvažujte do 8 kg. b) Vypočítejte délku pružiny zatížené břemenem o hmotnosti 7 kg; 8 kg; 2,5 kg. c) Délka pružiny je 80 mm. Jakou hmotnost má zavěšené břemeno? [a) f: y = 5x + 60, x ∈ 0;8 ; b) 95 mm, 100 mm, 72,5 mm; c) 4 kg ]
8. Nechť f je lineární funkce. a) Sestavte předpis zadávající funkci f, jestliže na grafu této funkce leží body A[2;3] a B[3;2]. b) Zjistěte, zda na grafu funkce f leží bod C[5;1]. c) Rozhodněte a dokažte, zda graf funkce f protíná graf funkce g: y = 2x + 1. d) Určete průsečík grafu funkce f s osou x.
3
[a) f: y = -x + 5; b) bod C neleží na grafu funkce f; c) grafy funkcí 4 11 se protínají v jednom bodě ; , důkaz např. řešením 3 3 soustavy dvou rovnic o dvou neznámých; d) [5;0] ]
9. Řešte rovnice v R: a) (2x – 5)(8x – 1) – (4x – 3)2 = 12(x – 1) – 7
x − 11 x + 6 x − 1 = − 15 5 3 3x − 1 3x − 2 x c) − ( x − 1) = − 3 6 2
b) 1 −
d)
[ žádné řešení ]
3 + 2 x 7 12 x − 1 − − = 5x 2 3 6
[
1 ] 2
[ -3 ]
[ x∈R]
]
1 (x + 5)(x + 2 ) − (x − 5)2 = 4 x − 3 3 3 2 1 f) − = x +1 x + 3 x − 2 2y − 5 4y − 5 g) − =0 3y − 4 6 y −1 z +1 2 6 h) + −1 = 2 z −1 z + 2 z + z−2 3 + 4x 3 x ch) 2 −1 = − x +x x x +1 1 1 5 i) − = 2 y −3 y +2 y +6 e)
[
[
6 ] 5
[ 17; x ≠ −1;−3;2 ] 4 1 [ -15; y ≠ ; ] 3 6 [ nemá řešení ] [ x ∈ R − {0;−1} ] [ -12; y ≠ 3;−2 ]
1 1 x2 − 2 1 + = − x2 + x x2 − x x2 − 1 12 1 − 3a 1 + 3a k) = + 2 1 − 9a 1 + 3a 3a − 1 3 2 5 l) = − 2 2 1− x (1 + x ) (1 − x )2 6( x − 4 ) m) =3 8 x − 2(3 x + 4 ) x 1 − 3 n) 5 2 = x − 3 10 1 1 2− 3− 96 y y o) − −5= 2 4 4 y − 16 1+ −1 y y s+3 s+2 7s − 1 + =2− p) s +1 s − 3 (1 + s )(3 − s )
[ nemá řešení ]
j)
1 [ -1; a ≠ ± ] 3 3 [ − ; x ≠ ±1 ] 7 [ x ∈ R − {4}]
[ 4; x ≠ 3 ]
[ 8; y ≠ ±4;0 ] [ s ∈ R − {− 1;3}]
4
15 2x − 1 3 − x − = 2 x − 50 2 x − 10 x + 5 x+2 3x 2 + x + 9 x − 2 r) −1 = − x−2 3 x 2 − 12 x+2 4x − 7 2x − 4 s) = 6 x − 13 3 x − 7
q)
[ 2; x ≠ ±5 ]
2
[x = 27] [x = 3]
10. Řešte rovnice v daných množinách: 1 x + 11 a) 2( x + 3) − 3 x + 2 = v intervalu (− 3;1 8 4 5 x − 11 5 x + 3 50 − 22 x b) − = v množině N 2 5 10 3 y + 7 3(5 + y ) 25 − 3 y − − 2 = 0 v množině Z+ c) y −5 y y − 5y 6 − z 2(4 z − 3) z d) − 2 = v intervalu − 5;5 1+ z z −1 1− z 2 2 2 v množině Z e) (5 x − 4 ) − (5 − 3 x ) = (3 − 4 x ) 6 + 25a 2a 7 f) − (a − 1) = + v množině N 15 3 5
11. Vyjádřete z daného vzorce veličinu uvedenou v závorce: a+c a) S = ⋅v (a) 2 1 b) v = g (t1 + t2 ) (t1) 2 I (R + nR ) c) E = (n ) n 1 1 1 1 d) = + + (R2) R R1 R2 R3 e) m1t1 + m2t2 = (m1 + m2)t
(m1)
12. Určete číslo, jehož trojnásobek zmenšený o 5 dá 31.
[ nemá řešení ] [3] [ nemá řešení; y ≠ 5;0 ] [ celý interval − 5;5 - {-1;1}] [ nemá řešení ] [ a∈N ]
2S −c] v 2v − t 2 g [ t1 = ] g IR [n = ] E − IR RR1R3 [ R2 = ] R1R3 − RR1 − RR3 m (t − t ) [ m1 = 2 2 ] t − t1 [a =
[ 12 ]
13. Obvod trojúhelníka je 104 cm. Jedna jeho strana je o 6 cm delší než druhá a o 8 cm kratší než třetí strana. Určete délky stran. [ 28 cm, 34 cm, 42 cm ]
14. Určete dvě čísla, z nichž jedno je o 10 větší než druhé, víte-li, že rozdíl druhých mocnin obou čísel je 400. [ 15; 25 ]
5
15. Jedna odvěsna pravoúhlého trojúhelníka je 24, druhá odvěsna je o 4 menší než přepona. Určete velikosti neznámých stran. [ 70; 74 ]
16. Dvě víly vily u blízké vily věnce z pampelišek. První by sama končila s vitím všech věnců za 7 hodin. Druhá je šikovnější a skončila by o 1 hodinu dříve. Kolik hodin a minut jim trvá vití, začne-li nejdříve první víla a až po hodině, kdy skončí vytí zavilého vlka, začne vít druhá víla? [přibližně 3h 46min]
17. Na výstavu přišlo za tři dny celkem 4 590 návštěvníků. Druhý den jich bylo o 25% více než první den a třetí den o 30% méně než první a druhý den dohromady.Kolik jich bylo každý den? [1.den - 1 200, 2.den – 1 500, 3.den – 1 890]
18. Ze dvou míst vzájemně vzdálených 285 km vyjela dvě nákladní auta proti sobě. První jede z místa A průměrnou rychlostí 30,5 km.h-1, druhé z místa B průměrnou rychlostí 40,75 km.h-1. Za jak dlouho se potkají a v jaké vzdálenosti od místa A? [za 4h, 122 km od A]
19. V obdélníku je jedna strana o 20 cm delší než druhá. Zkrátí-li se delší o 5 cm a zároveň prodlouží kratší o 10 cm, vzroste obsah obdélníka o 300 cm2. Jaké jsou rozměry původního obdélníka? [50 cm, 30 cm ]
20. Řešte v R rovnice s neznámou x a s parametrem a: 3 7 3 a) x(2a − 3) = 7 [a = ⇒ nemá řešení ; a ∈ R − ⇒ x = ] 2 2a − 3 2 2 + 13a b) 15x – 7a = 2 + 6a – 3ax [a = -5 ⇒ nemá řešení ; a ∈ R − {− 5} ⇒ x = ] 3(5 + a ) 2−a 2 a+2 c) = [ a ≠ 0; a = 2 ⇒ nemá řešení ; a ∈ R − {0;2} ⇒ x = ] a x −1 2−a x+a 2a d) = ax − 1 [ a ≠ 0; a = ±1 ⇒ nemá řešení ; a ∈ R − {0;±1} ⇒ x = 2 ] a a −1 a2 − 1 e) 1 + =a [a=1 ⇒ x ∈ R − {0}; a = −1 ⇒ nemá řešení ; a ≠ ±1 ⇒ x = a + 1 ] x a 2 ( x − 1) a+2 f) =2 [ a = 0 ⇒ nemá řešení ; a = 2 ⇒ x ∈ R − {1}; a ∈ R − {0;2} ⇒ x = ] ax − 2 a 21. Řešte nerovnice na množině reálných čísel: a) 5( x − 3) + 10 〉 3( x + 1) + 2 x − 3
6
NŘ
b) 4( x − 1) − (2 x + 3) ≥ 4 x − (2 x + 5) 2
2
[x ∈ R ]
2
2
[x ∈ (− ∞;10)]
7 1 (1 − 2 x ) + 1 (2 x − 5) < 3 2 6 x x −5 x − 3 x − 2 d) − < − 2 3 2 3 5 x − 3 3x + 5 < e) x − 8 8 c)
NŘ
[x ∈ R ] 3 x ∈ − ∞; 2
f) ( x − 3) + ( x + 1) ≤ 2 x 2 − 6 x + 13 2
2
22. Řešte nerovnice na dané množině: 7x −1 5 + 3x a) + 6 > 5x − 3 2 x+3 x−2 x −1 b) − −5< 2 3 2 4 x − 3 3x − 4 2 x − 5 − + ≤0 c) 5 2 3 d) 2(2 x − 1) − 3( x + 3) ≤ 18 − 2( x − 2)
[ x ∈ (-7;0)] [x ∈ {-8;-7;-6;-5;-4;…….}]
x∈ N x∈Z
2
g) (5 x − 4 ) − (4 x − 3) < (3 x + 5) 2
x ∈ R−
x ∈ N0
f) 40 − ( x + 6 ) > − 2 x − ( x − 6 )(5 − x ) 2
[x ∈ {1;2;3;4;5;6}]
x∈Z
e) (4 x − 1)(9 x + 10) ≥ (2 x − 3)(18 x − 1) + 16 2
x∈ N
+
x∈ N
2
23. Řešte rovnice a nerovnice v součinovém a podílovém tvaru:
7
[x ∈ {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10}] [ x∈ N ] NŘ [ x∈ N ]
