3.3. EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÁ ROVNICE A NEROVNICE
V této kapitole se dozvíte: •
jak je d efin ována exp o nenciální a logaritmická rovn ice a n erovn ice a jaká je základní strategie jejich řešen í.
Klíčová slova této kapitoly: exponenciální a logaritmická rovni ce a nerovnice.
Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 0 ,75 + 1 ,5 hodin y (teo rie + řešení p říkladů)
Exponenciální rovnice. Definice. Exponenciální rovnicí nazýváme takovou rovnici, která obsahuje výraz s neznámou v exponentu kladného základu. Metoda řešení. Obecná metoda řešení neexistuje, záleží na konkrétním tvaru. Často je výhodný následující postup: 1) Vhodnými úpravami rovnici převedeme na tvar a f ( x ) = a g ( x ) . 2) Logaritmujeme rovnici při základu a, čímž dostaneme rovnici f ( x ) = g ( x ) . 3) Získanou rovnici vyřešíme. 4) Zkouškou a porovnáním s definičním oborem vyloučíme neplatné kořeny, vzniklé důsledkovými neekvivalentními úpravami. Uvedená metoda není, jak bylo již zmíněno, univerzálním návodem na všechny typy exponenciálních rovnic. Dá se však obecně říci, že postup řešení musí nutně v některém kroku obsahovat logaritmování. Řešený příklad 1. Řešte rovnici 51− x = 7 x − 2 . Řešení. Logaritmujeme obě strany rovnice např. přirozeným logaritmem (je možné samozřejmě použít logaritmus o libovolném základu): (1 − x ) ln 5 = ( x − 2 ) ln 7 . Vzniklá rovnice je lineární
2 ln 5 + 2 ln 7 ln ( 5 ⋅ 7 ) ln 245 a jejím řešením je x = = = . Vzniklý výraz již rozumně upravit ln 5 + ln 7 ln ( 5 ⋅ 7 ) ln 35
nelze, maximálně jej můžeme převést na tvar log 35 245 , který je ale pro číselný výpočet méně vhodný. Proveďme ještě zkoušku, i když jsme použili pouze ekvivalentní úpravy a definičním oborem původních výrazů je množina všech reálných čísel. 1−
L=5
ln 245 ln 35
= ( eln 5 ) P=7
ln 245 −2 ln 35
=7
−
ln 7 ln 35
ln 245 − ln 352 ln 35
=5
ln 35− ln 245 ln 35
=5
ln ( 35/ 245 ) ln 35
=5
ln (1/ 7 ) ln 35
=5
−
ln 7 ln 35
=
ln 7 ln 5 ⋅ ln 7 = exp ln 5 ⋅ − = exp − , ln 35 ln 35
(
ln 245 / 352
=7
a tedy L = P . Nalezený kořen x =
ln 35
)
=7
ln (1/ 5) ln 35
=7
−
ln 5 ln 35
= (e
ln 5 ln 7 − ln 35
)
ln 7 ⋅ ln 5 = exp − ln 35
ln 245 je platný. ln 35
Logaritmická rovnice. Definice. Logaritmickou rovnicí nazýváme takovou rovnici, která obsahuje výraz s neznámou v argumentu logaritmické funkce.
Metoda řešení. Obecná metoda řešení ani zde neexistuje, záleží na konkrétním tvaru. Často je výhodný následující postup: 1) Vhodnými úpravami rovnici převedeme na tvar log a f ( x ) = log a g ( x ) . 2) Odlogaritmujeme rovnici při základu a, dostaneme rovnici f ( x ) = g ( x ) . 3) Získanou rovnici vyřešíme. 4) Zkouškou a porovnáním s definičním oborem vyloučíme neplatné kořeny, vzniklé důsledkovými neekvivalentními úpravami. Uvedená metoda není, jak bylo již zmíněno, univerzálním návodem na všechny typy logaritmických rovnic. Dá se však obecně říci, že postup řešení musí nutně v některém kroku obsahovat odlogaritmování (jinak řečeno aplikaci exponenciální funkce). Řešený příklad 2. Řešte v R rovnici log 4 (13 + x ) = 1 . Řešení. Pravou stranu upravíme ( 1 = log 4 4 ) a celou rovnici odlogaritmujeme. Dostaneme lineární rovnici 13 + x = 4 , jejímž řešením je x = −9 . Zkouška: L = log 4 (13 − 9 ) = log 4 4 = 1 = P .
Exponenciální a logaritmické nerovnice. Definice. Exponenciální, resp. logaritmickou nerovnicí nazýváme takovou nerovnici, která obsahuje výraz s neznámou v exponentu, resp. logaritmu kladného základu. Metoda řešení. Exponenciální a logaritmické nerovnice řešíme obdobně jako rovnice, tzn. převedeme na vhodný tvar a zbavíme se exponenciální funkce, resp. logaritmu, logaritmováním, resp. odlogaritmováním. Výslednou nerovnici řešíme vhodnou metodou. Při logaritmování, resp. odlogaritmování, je ale nutné dávat pozor na znaménko nerovnosti, protože, jak už víme, exponenciála a logaritmus jsou rostoucí pro a > 1 a klesající pro 0 < a < 1 . Proberme dva elementární obecné příklady: Řešený příklad 3. Řešte v R nerovnici a x > b, kde a, b > 0 , a ≠ 1 . Řešení. Pro a > 1 je logaritmus rostoucí, proto a x > b ⇒ log a a x > log a b ⇒ x > log a b ⇒ x ∈ ( log a b, ∞ ) . Pro 0 < a < 1 je logaritmus klesající, proto a x > b ⇒ log a a x < log a b ⇒ x < log a b ⇒ x ∈ ( −∞, log a b ) . Řešený příklad 4. Řešte v R nerovnici log a x > b, kde x, a > 0 , a ≠ 1 .
Řešení. Pro a > 1 je exponenciála rostoucí, proto log a x > b ⇒ a loga x > a b ⇒ x > a b ⇒ x ∈ ( a b , ∞ ) . Pro 0 < a < 1 je exponenciála klesající, proto log a x > b ⇒ a loga x < a b ⇒ x < a b ⇒ x ∈ ( 0, a b ) .
Shrnutí kapitoly: Exponenciální rovnicí rozumíme rovnici s neznámou v exponentu kladného základu. Postup řešení závisí na konkrétním tvaru rovnice. Obecnou strategií řešení je připravit si úpravami výhodné logaritmování rovnice, což vede k převedení rovnice na jednodušší tvar. Logaritmickou rovnicí rozumíme rovnici s neznámou v logaritmu kladného základu. Postup řešení závisí i zde na konkrétním tvaru rovnice. Obecnou strategií řešení je připravit si úpravami výhodné odlogaritmování rovnice a převést tak rovnici na jednodušší tvar. U obou typů rovnic je nutné na závěr provést zkoušku. Exponenciální a logaritmické nerovnice definujeme i řešíme obdobně jako rovnice. Situace je ovšem komplikovanější v tom, že při úpravách nerovnice se znaménko nerovnosti může obracet. Zejména při logaritmování nebo odlogaritmování nerovnice je nutné uvážit, jakou hodnotu má základ a zda je příslušná logaritmická nebo exponenciální funkce rostoucí nebo klesající. Otázky: •
Jak je defin ována expo nen ciální ro vnice? Jako u st rategií se řeš í?
•
Jak je definována loga ritmick á rovnice? Jak ou strategi í se řeší?
•
Jak jsou defin ován y ex ponen ciální a logaritmické n ero vnice? Jak se řeší a n a co je třeba dávat zvláště pozor?
Příklad 1. Řešte v R exponenciální rovnici: 256 ; 2 x +3 b) 32 x − 12 ⋅ 3x + 27 = 0 ; c) 5x ⋅ 8x+1 = 100 ; a) 0, 252− x =
d) 4 ⋅ 25−7 x = 2 ⋅ 3 43−5 x ; e) 3 ⋅ 3x + 4 ⋅ 3x +1 + 5 ⋅ 3x + 2 = 405 ⋅ 2 x −1 ; f) 16 x −1 + 4 ( 4 x − 384 ) = 0 ; g) 3x + 3x +1 + 3x + 2 = 5x + 5x +1 + 5x + 2 ; 3( x −1) x + 21− x ⋅ 0,125 x = 1 . h) 2 ⋅ 2 Příklad 2. Řešte v R logaritmickou rovnici: a) log 3 ( x + 6 ) + log 3 ( x − 2 ) = 2 ; b) 3log x + log x 4 − log 3 x = 5 ;
c) log 2 ( x 2 − 3 x + 1) = log 2 ( 2 x − 3) ; d) log 2 x − log 3 x + log x 2 = log 2 − log x −3 + 1 ; e) log x − 2 = 3 ( log x ) ; −1
f) log ( x + 3) − log ( x 2 − 1) = 1 − log ( x + 1) − log 2 ; g) h) i) j)
32log x = 729 ; x 0,1+ 0,2log x = x ; log x log x = 1 ; log 3 log 4 log 5 x = 0 .
Řešení příkladů: 25 2 ; 1d) {12} ; 1e) {3} ; 1f) {3,5} ; 1g) {−1, 7} ; 1h) 1 . 1a) {3} ; 1b) {1, 2} ; 1c) 2 log 40 log
2a) . {3} ; 2b)
{
4
}
1000 ; 2c)
{ }
{4} ; 2d) {0, 001} ; 2e) {1000,
2h) {100} ; 2i) {10} ; 2j) {54 } .
} ; 2f) {2} ; 2g) {100} ;
1 10
Další zdroje: 1. POLÁK, J. Přehled středoškolské matematiky. 6. vyd. Praha: Prometheus, 1997. 2. POLÁK, J. Středoškolská matematika v úlohách I. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996. 3. POLÁK, J. Středoškolská matematika v úlohách II. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996. 4. REKTORYS, K. a spol. Přehled užité matematiky. 6. přepr. vyd. Praha: Prometheus, 1995.
ZÁVĚR: [Tady klepněte a pište]
