Rovnice, nerovnice a jejich soustavy

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy Obsah 2.

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy .................................................................................... 173

2.1

Lineární rovnice .................................................................................................................... 173

2.2

Lineární nerovnice ................................................................................................................ 198

2.3

Lineární rovnice s parametrem ............................................................................................. 208

2.4

Slovní úlohy řešené pomocí lineárních rovnic ...................................................................... 249

2.5

Soustavy lineárních rovnic .................................................................................................... 259

2.6

Lineární rovnice s absolutní hodnotou .................................................................................. 281

2.7

Lineární nerovnice s absolutní hodnotou .............................................................................. 298

2.8

Kvadratické rovnice .............................................................................................................. 308

2.8.1 Neúplné kvadratické rovnice ................................................................................................ 308 2.8.2 Úplné kvadratické rovnice .................................................................................................... 315 2.8.3 Viétovy vztahy ...................................................................................................................... 329 2.9

Kvadratické nerovnice .......................................................................................................... 334

2.10

Kvadratické rovnice s absolutní hodnotou ............................................................................ 371

2.11

Kvadratické nerovnice s absolutní hodnotou ........................................................................ 375

2.12

Kvadratické rovnice s parametrem ....................................................................................... 385

2.13

Iracionální rovnice ................................................................................................................ 603

2.14

Speciální typy soustav rovnic ............................................................................................... 613

2.15

Užití substituce pro řešení rovnic.......................................................................................... 619

2.16

Rovnice vyšších řádů ............................................................................................................ 653

Stránka 172

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 2. Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 2.1 Lineární rovnice 1. Řešte v R následující rovnice: a) 2  3x  1  4 2 x  3 3x  2  x  4   2  x  5 b) c) d) e) f)

  4  x  2   23x  2 2 x  3  x  2   2  x  2  3  2 x  3  34 x  3 5 x  2  x  1  3  x  1 3  x  2   24 x  3 6 x  2  x  2   4  x  1 4  2 x  1  23x  2 4 x  3  x  2   2  x  4  2  3x  1  4 2 x  4 3x  2  x  1  3  x  1

řešení: a) 2  3 x  1  4 2 x  3 3 x  2  x  4    2  x  5   





2  3 x  1  4 2 x  3 3 x  2 x  8  2  x  5  2  3 x  1  4 2 x  3 5 x  8  2  x  5  2  3 x  1  4 2 x  15 x  24  2  x  5  2  3 x  1  4 13 x  24  2  x  5  6 x  2  52 x  96  2 x  10 46 x  98  2 x  10 46 x  2 x  10  98 44 x  88

/ 2 x  98 / :  44 

x  2

b)





4  x  2   2 3x  2  2 x  3  x  2    2  x  2  4  x  2   2 3 x  2  2 x  3x  6  2  x  2  4  x  2   2 3 x  2 5 x  6  2  x  2  4  x  2   2 3 x  10 x  12  2  x  2  4  x  2   2 7 x  12  2  x  2  4 x  8  14 x  24  2 x  4 18 x  16  2 x  4 18 x  2 x  4  16 20 x  20

/ 2 x  16 / :  44 

x  1

Stránka 173

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy c)





3  2 x  3  3 4 x  3 5 x  2  x  1   3  x  1 3  2 x  3  34 x  3 5 x  2 x  2  3  x  1 3  2 x  3  34 x  3 3 x  2  3  x  1 3  2 x  3  34 x  9 x  6  3  x  1 3  2 x  3  35 x  6  3  x  1 6 x  9  15 x  18  3x  3 21x  27  3x  3 21x  3 x  3  27 24 x  24 x 1

d)



/ 3 x  27 / : 24



3  x  2   2 4 x  3 6 x  2  x  2    4  x  1 3  x  2   2 4 x  3  6 x  2 x  4  4  x  1 3  x  2   2 4 x  3  4 x  4  4  x  1 3  x  2   2 4 x  12 x  12  4  x  1 3  x  2   2 8 x  12  4  x  1 3 x  6  16 x  24  4 x  4 13x  30  4 x  4 13x  4 x  4  30 17 x  34

/ 4 x  30 / :  17 

x2

e)





4  2 x  1  2 3x  2  4 x  3  x  2    2  x  4  4  2 x  1  2 3x  2  4 x  3 x  6  2  x  4  4  2 x  1  2 3x  2  7 x  6  2  x  4  4  2 x  1  2 3 x  14 x  12  2  x  4  4  2 x  1  2 11x  12  2  x  4  8 x  4  22 x  24  2 x  8 14 x  28  2 x  8 14 x  2 x  8  28 12 x  36

/ 2 x  28 / :  12 

x  3

Stránka 174

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy f)





2  3 x  1  4 2 x  4 3 x  2  x  1   3  x  1 2  3 x  1  4 2 x  4 3 x  2 x  2  3  x  1 2  3 x  1  4 2 x  4  x  2  3  x  1 2  3 x  1  4 2 x  4 x  8  3  x  1 2  3 x  1  4 2 x  8  3  x  1 6 x  2  8 x  32  3 x  3 14 x  30  3x  3 14 x  3x  3  30 11x  33 x3

/ 3 x  30 / :11

2. Řešte v R následující rovnice: a) b) c) řešení: a)

 x 1   x  2  2  x  1 x  2 2 2  x  1   x  2  2  x 1 x  2 2 2  x 1   x  3  2  x  1 x  3 2

2

 x  1   x  2  2

2

d) e) f)

 x  1   x  3  2  x 1 x  3 2 2  x  2   x  3  2  x  2 x  3 2 2  x  2   x  3  2  x  2 x  3 2

2

 2  x  1 x  2 

x2  2 x  1  x2  4 x  4  2  x2  2 x  x  2 2x2  6x  5  2x2  6x  4

/ 2 x 2  6 x  5

2 x2  2 x2  6 x  6 x  2 x2  2 x2  4  5 12 x  1 x

b)

 x  1   x  2  2

2

/ :  12 

1 12

 2  x  1 x  2 

x2  2 x  1  x2  4x  4  2  x2  2 x  x  2 2 x2  6 x  5  2 x2  6 x  4

/ 2 x 2  6 x  5

2 x2  2 x2  6 x  6 x  2 x2  2 x2  4  5 12 x  1 1 x 12

/ :12

Stránka 175


 x  1   x  3 2

2

 2  x  1 x  3

x 2  2 x  1  x 2  6 x  9  2  x 2  3x  x  3 2 x 2  8 x  10  2 x 2  8 x  6

/ 2 x 2  8 x  10

2 x 2  2 x 2  8 x  8 x  2 x 2  2 x 2  6  10 16 x  4

/ :  16 

4 16 1 x 4 x

d)

 x  1   x  3 2

2

 2  x  1 x  3

x 2  2 x  1  x 2  6 x  9  2  x 2  3x  x  3 2 x 2  8 x  10  2 x 2  8 x  6 2 x 2  2 x 2  8 x  8 x  2 x 2  2 x 2  6  10 16 x  4

/ 2 x 2  8 x  10 / :16

4 16 1 x 4 x

e)

 x  2    x  3 2

2

 2  x  2  x  3

x 2  4 x  4  x 2  6 x  9  2  x 2  3x  2 x  6  2 x 2  10 x  13  2 x 2  10 x  12

/ 2 x 2  10 x  13

2 x 2  2 x 2  10 x  10 x  2 x 2  2 x 2  12  13 20 x  1 x

f)

 x  2    x  3 2

2

/ :  20 

1 20

 2  x  2  x  3

x 2  4 x  4  x 2  6 x  9  2  x 2  3x  2 x  6  2 x 2  10 x  13  2 x 2  10 x  12 2 x 2  2 x 2  10 x  10 x  2 x 2  2 x 2  12  13 20 x  1 x

/ 2 x 2  10 x  13 / : 20

1 20

Stránka 176

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 3. Řešte v R následující rovnice: a) b) c) d) e) f) řešení: a)

 x  1   x  2   x  3  3  x  1 x  2 2 2 2  x  1   x  2   x  3  3  x  1 x  3 2 2 2  x 1   x  2   x  3  3  x  1 x  3 2 2 2  x  1   x  2   x  3  3  x 1 x  3 2 2 2  x 1   x  2   x  3  3  x  1 x  2 2 2 2  x  1   x  2   x  3  3  x  1 x  3 2

2

2

 x  1   x  2    x  3 2

2

2

 3  x  1 x  2 

x2  2 x  1  x2  4 x  4  x2  6 x  9  3  x2  2 x  x  2  3x 2  12 x  14  3x 2  9 x  6

/ 3 x 2  9 x  14

12 x  9 x  6  14 3x  8 x b)

 x  1   x  2    x  3 2

2

2

/ :3

8 3

 3  x  1 x  3

x 2  2 x  1  x 2  4 x  4  x 2  6 x  9  3  x 2  3x  x  3 3x 2  4 x  14  3 x 2  12 x  9

/ 3 x 2  12 x  14

4 x  12 x  9  14 8 x  5 x c)

 x  1   x  2    x  3 2

2

2

/ :  8 

5 8

 3  x  1 x  3

x 2  2 x  1  x 2  4 x  4  x 2  6 x  9  3  x 2  3x  x  3 3x 2  8 x  14  3x 2  6 x  9 8 x  6 x  9  14 14 x  23 x

/ 3 x 2  6 x  14 / :14

23 14

Stránka 177

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy  x  1   x  2    x  3

d)

2

2

2

 3  x  1 x  3

x 2  2 x  1  x 2  4 x  4  x 2  6 x  9  3  x 2  3x  x  3 3 x 2  14  3 x 2  6 x  9

/ 3 x 2  6 x  14

6 x  9  14 6 x  23 x

 x  1   x  2    x  3

e)

2

2

2

/ :  6 

23 6

 3  x  1 x  2 

x2  2 x  1  x2  4 x  4  x2  6 x  9  3  x2  2 x  x  2  3x 2  14  3x 2  9 x  6

/ 3 x 2  9 x  14

9 x  6  14 9 x  8 x

 x  1   x  2    x  3

f)

2

2

2

/ :  9 

8 9

 3  x  1 x  3

x 2  2 x  1  x 2  4 x  4  x 2  6 x  9  3  x 2  3x  x  3 3x 2  8 x  14  3x 2  9 x  9

/ 3 x 2  9 x  14

8 x  9 x  9  14 x  23 4. Řešte v R následující rovnice: a) b) c) d) e) f)

 x 1   x  2   x  3  3  x 1 x  2 x  3 3 3 2  x  1   x  2   x  3  3  x  1 x  2 x  3 3 3 2  x 1   x  2   x  3  3  x 1 x  2 x  3 3 3 2  x 1   x  2   x  3  3  x 1 x  2 x  3 3 3 2  x  1   x  2   x  3  3  x  1 x  2 x  3 3 3 2  x  1   x  2   x  3  3  x  1 x  2 x  3 3

3

2

Stránka 178

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy řešení: a)

 x  1   x  2    x  3 3

3

2

 3  x  1 x  2  x  3

x3  3 x 2  3 x  1  x 3  6 x 2  12 x  8  x 3  9 x 2  27 x  27   3x  3   x 2  3 x  2 x  6  3x3  18 x 2  42 x  36   3x  3  x 2  5 x  6  3x3  18 x 2  42 x  36  3x3  15 x 2  18 x  3x 2  15 x  18 3x3  18 x 2  42 x  36  3x3  18 x 2  33x  18 42 x  33x  18  36 9 x  18 x2 b)

 x  1   x  2    x  3 3

3

2

 3  x  1 x  2  x  3 

x3  3x 2  3x  1  x3  6 x 2  12 x  8  x 3  9 x 2  27 x  27   3x  3  x 2  3x  2 x  6  3x3  12 x 2  42 x  34   3x  3  x 2  5 x  6  3x3  12 x 2  42 x  34  3 x3  15 x 2  18 x  3x 2  15 x  18 3x3  12 x 2  42 x  34  3 x3  12 x 2  3 x  18 42 x  3x  18  34 39 x  52 52 x 39 c)

 x  1   x  2    x  3 3

3

2

 3  x  1 x  2  x  3

x3  3 x 2  3 x  1  x3  6 x 2  12 x  8  x 3  9 x 2  27 x  27   3 x  3  x 2  3 x  2 x  6  3x3  6 x 2  42 x  20   3 x  3  x 2  x  6  3x3  6 x 2  42 x  20  3 x 3  3 x 2  18 x  3x 2  3x  18 3x3  6 x 2  42 x  20  3 x 3  6 x 2  21x  18 42 x  21x  18  20 21x  2 2 x 21

Stránka 179

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy  x  1   x  2    x  3

d)

3

3

2

 3  x  1 x  2  x  3

x3  3 x 2  3 x  1  x3  6 x 2  12 x  8  x 3  9 x 2  27 x  27   3x  3  x 2  3 x  2 x  6  3x3  42 x  18   3x  3  x 2  x  6  3x3  42 x  18  3x 3  3x 2  18 x  3x 2  3x  18 3x3  42 x  18  3x 3  15 x  18 42 x  15 x  18  18 57 x  0 x0

 x  1   x  2    x  3

e)

3

3

2

 3  x  1 x  2  x  3

x3  3x 2  3x  1  x3  6 x 2  12 x  8  x 3  9 x 2  27 x  27   3 x  3  x 2  3 x  2 x  6  3x3  42 x  18   3x  3  x 2  x  6  3x3  42 x  18  3x 3  3x 2  18 x  3x 2  3x  18 3x3  42 x  18  3x 3  21x  18 42 x  21x  18  18 63x  0 x0 f)

 x  1   x  2    x  3 3

3

2

 3  x  1 x  2  x  3

x3  3x 2  3x  1  x3  6 x 2  12 x  8  x 3  9 x 2  27 x  27   3x  3  x 2  3x  2 x  6  3x3  18 x 2  42 x  36   3x  3  x 2  5 x  6  3x3  18 x 2  42 x  36  3x3  15 x 2  18 x  3x 2  15 x  18 3x3  18 x 2  42 x  36  3x3  18 x 2  33x  18 42 x  33x  18  36 9 x  18 x  2 5. Řešte v R následující rovnice: 2 x  5 2 x  5 44 x  6   a) 3x  4 3x  4 9 x 2  16 3x  2 3x  2 30 x  10   b) 2 x  4 2 x  4 4 x 2  16 2 x  3 2 x  3 30 x  8   c) 3x  2 3x  2 9 x 2  4

5 x  3 5 x  3 60 x  8   7 x  2 7 x  2 49 x 2  4 8 x  5 8 x  5 4  72 x   e) 2x  3 2 x  3 4 x2  9 3x  2 3x  2 13x  3   f) 4 x  5 4 x  5 16 x 2  25 d)

Stránka 180

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy řešení: 2 x  5 2 x  5 44 x  6   3x  4 3 x  4 9 x 2  16 2x  5 2x  5 44 x  6   /   3 x  4  3 x  4  3x  4 3 x  4  3x  4  3x  4 

a)

6x

 2 x  5 3x  4    2 x  5 3x  4   44 x  6

2

 8 x  15 x  20    6 x 2  8 x  15 x  20   44 x  6

6 x 2  8 x  15 x  20  6 x 2  8 x  15 x  20  44 x  6 46 x  44 x  6 2x  6 3x  2 3x  2  2x  4 2x  4 3x  2 3x  2  2x  4 2x  4

b)

9x

x3 30 x  10  2 4 x  16 30 x  10  /   2 x  4  2 x  4   2 x  4  2 x  4 

 3x  2  2 x  4    3x  2  2 x  4   30 x  10

2

 12 x  4 x  8    9 x 2  12 x  4 x  8   30 x  10

9 x 2  12 x  4 x  8  9 x 2  12 x  4 x  8  30 x  10 32 x  30 x  10 2 x  10 x5 2 x  3 2 x  3 30 x  8   3x  2 3x  2 9 x 2  4 2x  3 2x  3 30 x  8   3x  2 3 x  2  3 x  2  3 x  2 

c)

6x

/  44 x /:2

/  30 x /:2

/   3 x  2  3 x  2 

 2 x  3 3x  2    2 x  3 3x  2   30 x  8

2

 4 x  9 x  9    6 x 2  4 x  9 x  6   30 x  8

6 x 2  4 x  9 x  9  6 x 2  4 x  9 x  6  30 x  8 26 x  30 x  8 4 x  8

/  30 x / : 4

x2

Stránka 181

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 5 x  3 5 x  3 60 x  8   7 x  2 7 x  2 49 x 2  4 5x  3 5x  3 60 x  8   7 x  2 7 x  2  7 x  2  7 x  2 

d)

 35x

/   7 x  2  7 x  2 

 5 x  3 7 x  2    5 x  3 7 x  2   60 x  8

 10 x  21x  6    35 x 2  10 x  21x  6   60 x  8

2

35 x 2  10 x  21x  6  35 x 2  10 x  21x  6  60 x  8 62 x  60 x  8 2x  8

/  60 x /:2

x4 8 x  5 8 x  5 4  72 x   2 x  3 2 x  3 4 x2  9 8x  5 8x  5 4  72 x   2 x  3 2 x  3  2 x  3 2 x  3

e)

16 x

/   2 x  3 2 x  3

8 x  5 2 x  3  8 x  5 2 x  3  4  72 x

2

 24 x  10 x  15   16 x 2  24 x  10 x  15   4  72 x

16 x 2  24 x  10 x  15  16 x 2  24 x  10 x  15  4  72 x 68 x  4  72 x 4x  4

/  72x /:4

x 1 3x  2 3x  2 13x  3   4 x  5 4 x  5 16 x 2  25 3x  2 3x  2 13x  3   4 x  5 4 x  5  4 x  5  4 x  5 

f)

12 x

/   4 x  5  4 x  5 

 3x  2  4 x  5   3x  2  4 x  5  13x  3

2

 15 x  8 x  10   12 x 2  15 x  8 x  10   13x  3

12 x 2  15 x  8 x  10  12 x 2  15 x  8 x  10  13x  3 14 x  13x  3

/  13x

x  3 6. Řešte v R následující rovnice: x x 1 2   x  2 x 2 4 2    x2 a) 3 4 2 x x 1 2   x  6 x x 8 2 2    1 b) 4 2 3 2

x x 1   x  4 x 3x  1 8 4 4    c) 2 4 2 4 x x 1 3   x  4 x 4 2 2    x 1 d) 2 4 3 3

Stránka 182


x x 1   x  2 x 2 4 2    x2 3 4 2 22  x x x  1 x 2  4 2  x2 3 4 2 4  x x  2x  4 x 4  2   x2 3 4 2 3x  4 x 4 x 1    4  x2 3 2 4 2 x 4  x 3x  4 1     x2 3 8 4 2 x 4  x 3x  4    x2 3 8 8 8 x  3  4  x   3  3 x  4   24 x  48 2

/ 24

8 x  12  3 x  9 x  12  24 x  48 20 x  24 x  48

/ 24 x

4 x  48

/ :  4 

x  12 b)

x x 1   x  6 x x 82 2   1 4 2 3 2 2 8  x x x  3 x x  8 2 2  1 4 2 3 2 16  x x 3 x  8   1 4 2 3 2 x 16  x 1 x   1  1 4 8 2 2 x 16  x x  1  1 4 16 2 4 x  16  x  16  8 x  16 2

4 x  32  8 x  16 3 x  48

/ 16 / 8 x  321 / :  3 

x  16

Stránka 183


x x 1   x  4 x 3x  1 8 4 4    2 4 2 4 3 4  x x x  1 x 3x  1  4 8 4  2 4 2 4 12  x x  2 x  8 x 3x  1 8  4   2 4 2 4 3x  8 x 12  x 1 3x  1    8  2 4 4 2 4 x 12  x 3x  8 1 3 x  1     2 16 8 2 4 x 12  x 3 x  8 3 x  1    2 16 16 4 8 x  12  x  3 x  8  4  3 x  1 3

10 x  20  12 x  4 2 x  16

/ 16

/ 12 x  20 / :  2 

x 8 d)

x x 1   x  4 42 2  x 1 4 3 3 4  x x x  2 x 4 2 2   x 1 2 4 3 12  x x  x  4 x 2  4   x 1 2 4 3 2x  4 x 12  x 1    2  x 1 2 4 4 3 x 12  x 2 x  4 1     x 1 2 16 2 3 x 12  x 2 x  4    x 1 2 16 6 24 x  3 12  x   8  2 x  4   48 x  48 x  2

3

/ 48

24 x  36  3 x  16 x  32  48 x  48 43 x  68  48 x  48 5 x  20

/ 48 x  68 / :  5 

x4

Stránka 184

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 7. Řešte v R následující rovnice: x 1  2 x  10 1  x  8 1  x   x  20        2    a) 10 2  15 3  12 6  5 8   b)

x 1 x 5 1 x 8 1  x   x  4        2    10 2  15 4  12 6  5 8  

c)

x 1  x  3 1  x  12 1  x   x  39        2    5 2  21 3  8 46 9  

d)

x 1  2 x  10 1  x  12 1  x    x  18        5    10 2  17 8 6 4  6   16

e)

x 1  x  22 1  x  5 1  x    x  30        3    12 2  7 6 5 3  10    20

f)

x 1  2 x  30 1  x  30 1  x   x  15        5    10 2  15 8 4 5  6   30

řešení:

Stránka 185

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy a)

x 1  2 x  10 1  x  8 1  x    x  20        2    10 2  15 3  12 6  5 8   x 1  2 x  10 1  x  8 1  x  2  5    x  20         10 2  15 3  12 6  5    8 x 1  2 x  10 1  x  8 1  x  10    x  20         10 2  15 3  12 6  5    8 x 1  2 x  10 1  x  8 x  10   x  20       10 2  15 3  12 30   8 x 1  2 x  10 1  5  x  8   2  x  10    x  20       10 2  15 3 60 8   x 1  2 x  10 1  5 x  40  2 x  20   x  20        8 10 2  15 3 60  x 1  2 x  10 1  3 x  60   x  20      10 2  15 3  60   8 x 1  2 x  10 1  3  x  20    x  20       10 2  15 3  8 60   x 1  2 x  10 1  x  20   x  20      10 2  15 3  20   8 x 1  2 x  10 x  20  x  20     10 2  15 60  8 x 1  4  2 x  10    x  20   x  20    10 2  60 8  x 1  8 x  40  x  20  x  20    10 2  60 8  x 1  7 x  20  x  20    10 2  60  8 x 7 x  20 x  20   10 120 8 12 x  7 x  20 x  20  120 8 19 x  20 x  20  120 8 19 x  20  15  x  20  19 x  20  15 x  300 4 x  320

/120

/  15 x;  20 /:4

x  80

Stránka 186

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy b)

x 1 x 5 1 x8 1  x   x  4        2    10 2  15 4  12 65 8   x 1  x  5 1  x  8 1  x  2  5   x  4         10 2  15 4  12 6  5    8 x 1  x  5 1  x  8 1  x  10    x  4         10 2  15 4  12 6  5    8 x 1  x  5 1  x  8 x  10   x  4       10 2  15 4  12 30   8 x 1  x  5 1  5  x  8   2  x  10    x  4       10 2  15 4 60 8   x 1  x  5 1  5 x  40  2 x  20   x  4        8 10 2  15 4 60  x 1  x  5 1  7 x  20   x  4      10 2  15 4  60   8 x 1  x  5 7 x  20  x  4     10 2  15 240  8 x 1 16  x  5    7 x  20   x  4    10 2  240 8  x 1 16 x  80  7 x  20  x  4    10 2  240 8  x 1  9 x  60  x  4    10 2  240  8 x 1  3  3 x  20   x  4    10 2  8 240  x 1  3 x  20  x  4    10 2  80  8 x 3 x  20 x  4   10 160 8 16 x  3 x  20 x  4  160 8 19 x  20 x  4  160 8 19 x  20  20  x  4  19 x  20  20 x  80  x  100

/160

/  20 x;  20 / : 1

x  100

Stránka 187


x 1  x  3 1  x  12 1  x    x  39        2    5 2  21 3  8 46 9   x 1  x  3 1  x  12 1  x  2  6    x  39        5 2  21 3  8 4  6    9 x 1  x  3 1  x  12 1  x  12    x  39        5 2  21 3  8 4  6    9 x 1  x  3 1  x  12 x  12   x  39      5 2  21 3  8 24   9 x 1  x  3 1  3  x  12    x  12    x  39       5 2  21 3  24 9   x 1  x  3 1  3 x  36  x  12   x  39       9 5 2  21 3  24  x 1  x  3 1  2 x  48   x  39     5 2  21 3  24   9 x 1  x  3 1  2  x  24    x  39       5 2  21 3  9 24   x 1  x  3 1  x  24   x  39     5 2  21 3  12   9 x 1  x  3 x  24  x  39     5 2  21 36  9 x 1 12  x  3  7  x  24   x  39    5 2 252 9  x 1 12 x  36  7 x  168  x  39    5 2 252 9  x 1  5 x  204  x  39    5 2  252  9 x 5 x  204 x  39   5 504 9 504 x  5  5 x  204  x  39  2520 9 504 x  25 x  1020 x  39  2520 9 479 x  1020 x  39  2520 9 479 x  1020  280  x  39  479 x  1020  280 x  10920 199 x  11940 x  60

/  2520

/  280 x;  1020 / :199

Stránka 188

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy d)

x 1  2 x  10 1  x  12 1  x    x  18        5    10 2  17 8 6 46 16   x 1  2 x  10 1  x  12 1  x  5  6    x  18         10 2  17 8 6 4  6    16 x 1  2 x  10 1  x  12 1  x  30    x  18         10 2  17 8 6 4  6    16 x 1  2 x  10 1  x  12 x  30   x  18       10 2  17 8 6 24   16 x 1  2 x  10 1  4  x  12    x  30    x  18       10 2  17 8 24 16   x 1  2 x  10 1  4 x  48  x  30   x  18        16 10 2  17 8 24  x 1  2 x  10 1  3 x  78   x  18      10 2  17 8  24   16 x 1  2 x  10 1  3  x  26    x  18       10 2  17 8  16 24   x 1  2 x  10 1  x  26   x  18      10 2  17 8  8   16 x 1  2 x  10 x  26  x  18     10 2  17 64  16 x 1  64  2 x  10   17  x  26   x  18    10 2  1088 16  x 1 128 x  640  17 x  442  x  18    10 2  1088 16  x 1 111x  198  x  18    10 2  1088  16 x 111x  198 x  18   10 2176 16 1088 x  5 111x  198  x  18  10880 16 1088 x  555 x  990 x  18  10880 16 533 x  990 x  18  10880 16 533 x  990  680  x  18  533 x  990  680 x  12240 147 x  13230 x  90

/ 10880

/  680 x;  990 / : 147

Stránka 189

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy e)

x 1  x  22 1  x  5 1  x    x  30        3    12 2  7 6 5 3  10 20   x 1  x  22 1  x  5 1  x  3 10    x  30         12 2  7 6 5 3  10    20 x 1  x  22 1  x  5 1  x  30    x  30         12 2  7 6 5 3  10    20 x 1  x  22 1  x  5 x  30   x  30       12 2  7 6 5 30   20 x 1  x  22 1  6  x  5    x  30    x  30       12 2  7 6 30 20   x 1  x  22 1  6 x  30  x  30   x  30        20 12 2  7 6 30  x 1  x  22 1  5 x  60   x  30      12 2  7 6  30   20 x 1  x  22 1  5  x  12    x  30       12 2  7 6  20 30   x 1  x  22 1  x  12   x  30      12 2  7 6  6   20 x 1  x  22 x  12  x  30     12 2  7 36  20 x 1  36  x  22   7  x  12   x  30    12 2  252 20  x 1  36 x  792  7 x  84  x  30    12 2  252 20  x 1  29 x  708  x  30    12 2  252  20 x 29 x  708 x  30   12 504 20 42 x   29 x  708  x  30  504 20 42 x  29 x  708 x  30  504 20 13 x  708 x  30  504 20 5 13 x  708   126  x  30  65 x  3540  126 x  3780 61x  7320 x  120

/  2520

/  126 x;  3540 / : 61

Stránka 190


x 1  2 x  30 1  x  30 1  x    x  15        5    10 2  15 8 4 5 6 30   x 1  2 x  30 1  x  30 1  x  5  6    x  15         10 2  15 8 4 5  6    30 x 1  2 x  30 1  x  30 1  x  30    x  15         10 2  15 8 4 5  6    30 x 1  2 x  30 1  x  30 x  30   x  15       10 2  15 8 4 30   30 x 1  2 x  30 1 15  x  30   2  x  30    x  15       10 2  15 8 60 30   x 1  2 x  30 1 15 x  450  2 x  60   x  15        30 10 2  15 8 60  x 1  2 x  30 1 13 x  510   x  15      10 2  15 8  60   30 x 1  2 x  30 13 x  510  x  15     10 2  15 480  30 x 1  32  2 x  30   13 x  510   x  15    10 2  480 30  x 1  64 x  960  13 x  510  x  15    10 2  480 30  x 1  51x  1470  x  15    10 2  480  30 x 51x  1470 x  15   10 960 30 96 x   51x  1470  x  15  960 30 96 x  51x  1470 x  15  960 30 45 x  1470 x  15  960 30 45 x  1470  32  x  15  45 x  1470  32 x  480 13 x  1950 x  150

/ 960

/  32 x;  1470 / :13

Stránka 191

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 9. Řešte v R následující rovnice: 2 3 2 x x2 2 3 a) 3 3 2 3 x x  11 2 3 2 2 7 2 5 x x 10  5 2 b) 5 3 1 3 x x3 10 5 10 5 7 5 x x 1 2 4 c) 4 7 5 7 5 x x 8 4 8 2 řešení: a)

7 5 7 19 x x 6  12 6 d) 12 5 4 5 14 x x 6 3 6 3 5 4 5 3 x x 3  12 2 e) 12 5 11 5 7 x x 6 3 6 2 5 7 5 x x 1 2  3 f) 3 7 3 7 33 x x 6 2 6 2

2 3 2 x x2 3 2 3 3 2 3 x x  11 2 3 2 2x  2  3 3 2x  2  2  6 6 6  3 x  3  2  2 3 x  3  11  6 6 6 4 x  9 4 x  12 6  6 9 x  4 9 x  66 6 6 4x  9 6 4 x  12 6    9x  4 9 x  66 6 6 4 x  9 4 x  12  9 x  4 9 x  66  4 x  9  9 x  66    4 x  12  9 x  4  36 x 2  264 x  81x  594  36 x 2  16 x  108 x  48 36 x 2  183 x  594  36 x 2  92 x  48

/ 36 x 2  92 x  594

183 x  92 x  48  594 91x  546

/ : 91

x6

Stránka 192


2 7 2 5 x x 5 10  5 2 3 1 3 x x3 10 5 10 2x  2  7 2x  2  5  5 10 10  3x  1 2 3 x  3 10 10 10 4 x  7 4 x  25 10  10 3 x  2 3 x  30 10 10 4 x  7 10 4 x  25 10    3 x  30 10 3 x  2 10 4 x  7 4 x  25  3 x  2 3 x  30  4 x  7  3x  30    4 x  25  3x  2  12 x 2  120 x  21x  210  12 x 2  8 x  75 x  50 36 x 2  99 x  210  36 x 2  67 x  50

/ 36 x 2  67 x  210

99 x  67 x  50  210 32 x  160

/ : 32

x5

Stránka 193


5 7 5 x x 1 4 2 4 7 5 7 5 x x 8 4 8 2 5 x  2  7  4 5 x  2  1 8 8 8  7x  5 2 7x  5 4 8 8 10 x  28 10 x  8 8 8  7 x  10 7 x  20 8 8 10 x  28 8 10 x  8 8    7 x  10 7 x  20 8 8 10 x  28 10 x  8  7 x  10 7 x  20 10 x  28 7 x  20   10 x  8 7 x  10  70 x 2  200 x  196 x  560  70 x 2  100 x  56 x  80 70 x 2  4 x  560  70 x 2  156 x  80

/ 36 x 2  67 x  210

4 x  156 x  80  560 160 x  640

/ :160

x4

Stránka 194


7 5 7 19 x x 12 6  12 6 5 4 5 14 x x 6 3 6 3 7x  5 2 7 x  19  2 12 12  5 x  2  4  4 5 x  2  14  4 12 12 7 x  10 7 x  38 12  12 10 x  16 10 x  56 12 12 7 x  10 12 7 x  38 12    10 x  56 12 10 x  16 12 7 x  10 7 x  38  10 x  16 10 x  56  7 x  10 10 x  56    7 x  38 10 x  16  70 x 2  392 x  100 x  560  70 x 2  112 x  380 x  608 70 x 2  292 x  560  70 x 2  268 x  608

/ 36 x 2  67 x  210

292 x  268 x  608  560 24 x  48

/ : 24

x2

Stránka 195


5 4 5 3 x x 12 3  12 2 5 11 5 7 x x 6 3 6 2 5x  4  4 5x  3  6 12 12  5 x  2  11  4 5 x  2  7  6 12 12 5 x  16 5 x  18 12  12 10 x  44 10 x  42 12 12 5 x  16 12 5 x  18 12    12 10 x  44 12 10 x  42 5 x  16 5 x  18  10 x  44 10 x  42  5 x  16 10 x  42    5 x  1810 x  44  50 x 2  210 x  160 x  672  50 x 2  220 x  180 x  792 50 x 2  50 x  672  50 x 2  40 x  792

/ 50 x 2  40 x  672

50 x  40 x  792  672 10 x  120

/ : 24

x  12

Stránka 196


5 7 5 x x 1 3 2  3 7 3 7 33 x x 6 2 6 2 5 x  2  7  3 5 x  2  1 6 6 6  7x  33 7 x  33  3 6 6 10 x  21 10 x  6 6 6  7x  9 7 x  99 6 6 10 x  21 6 10 x  6 6    7x  9 7 x  99 6 6 10 x  21 10 x  6  7x  9 7 x  99 10 x  21 7 x  99   10 x  6  7 x  9  70 x 2  990 x  147 x  2079  70 x 2  90 x  42 x  54 70 x 2  843 x  2079  70 x 2  132 x  54

/ 70 x 2  132 x  2079

843 x  132 x  54  2079 711x  2133

/ : 721

x3

Stránka 197

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 2.2 Lineární nerovnice 1. Řešte v R následující nerovnice: a) 3  2 x  1  2  x  3  5 x  1

d) 2  3x  1  4  x  5  3x  19

b) 2  3x  1  3  x  2   4 x  6

e) 4  3x  2   6  x  3  7 x  15

c) 4  2 x  3  2  x  1  7 x  8

f) 2  4 x  3  5  x  2   4 x  13

řešení: a) 3  2 x  1  2  x  3  5 x  1 6 x  3  2 x  6  5x  1 4 x  9  5x 1

/ 5 x  9

4 x  5 x  1  9 x  8

/ :  1

x  8  x  8;  

b) 2  3x  1  3  x  2   4 x  6 6 x  2  3x  6  4 x  6 3x  8  4 x  6

/ 4 x  8

3 x  4 x  6  8 x  2

/ :  1

x  2  x  2;  

c) 4  2 x  3  2  x  1  7 x  8 8 x  12  2 x  2  7 x  8 6 x  14  7 x  8

/ 7 x  14

6 x  7 x  8  14 x  6

/ :  1

x  6  x  6;  

d) 2  3x  1  4  x  5   3 x  19 6 x  2  4 x  20  3 x  19 2 x  22  3 x  19

/ 3x  22

2 x  3x  19  22 x  3

/ :  1

x  3  x  3;  

Stránka 198

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy e) 4  3x  2   6  x  3  7 x  15 12 x  8  6 x  18  7 x  15 6 x  10  7 x  15

/ 7 x  10

6 x  7 x  15  10 / :  1

x  5

x  5  x  5;  

f) 2  4 x  3  5  x  2   4 x  13 8 x  6  5 x  10  4 x  13 3x  16  4 x  13

/ 4 x  16

3 x  4 x  13  16 x  3

/ :  1

x  3  x  3;  

2. Řešte v R následující nerovnice: a) 2  3x  1  3 2  x  4   3  x  2   7  x  5  1 b) 3  2 x  1  2 2  x  2   3  x  3  7  x  2   1 c) 4  3x  2   3 4  x  1  2  x  4   9  x  2   1 d) 3  3x  1  4 5  x  2   3  x  3  3  x  4   1 e) 5  2 x  1  2 3  x  4   4  x  2   6  x  2   1 řešení: a) 2  3 x  1  3  2  x  4   3  x  2    7  x  5   1   6 x  2  3  2 x  8  3 x  6  7 x  35  1 6 x  2  3   x  14  7 x  34 6 x  2  3x  42  7 x  34 9 x  44  7 x  34

/ 7 x  44

9 x  7 x  34  44 2 x  10

/:2

x  5  x   ; 5

Stránka 199

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy b) 3  2 x  1  2  2  x  2   3  x  3   7  x  2   1  

6 x  3  2  2 x  4  3x  9  7 x  14  1 6 x  3  2   x  5  7 x  15 6 x  3  2 x  10  7 x  15 8 x  13  7 x  15 8 x  7 x  15  13

/ 7 x  13

x  2  x  2;   c) 4  3 x  2   3  4  x  1  2  x  4    9  x  2   1  

12 x  8  3  4 x  4  2 x  8  9 x  18  1 12 x  8  3  2 x  4  9 x  17 12 x  8  6 x  12  9 x  17 6 x  20  9 x  17

/ 9 x  20

6 x  9 x  17  20 3x  3

/ :  3 

x  1  x   ; 1 d) 3  3 x  1  4 5  x  2   3  x  3   3  x  4   1   9 x  3  4 5 x  10  3 x  9  3 x  12  1 9 x  3  4  x  1  3x  13 9 x  3  4 x  4  3x  13 5 x  7  3x  13

/ 3 x  7

5 x  3 x  13  7 2 x  20

/:2

x  10  x   ; 10

e) 5  2 x  1  2 3  x  4   4  x  2    6  x  2   1   10 x  5  2 3 x  12  4 x  8  6 x  12  1 10 x  5  2   x  4  6 x  11 10 x  5  2 x  8  6 x  11 12 x  13  6 x  11

/ 6 x  13

12 x  6 x  11  13 6 x  24

/ :6

x  2  x  2;  

Stránka 200

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 3. Řešte v R následující nerovnice: 1 1 1 a)  x  2    x  3   x  4  2 3 4 1 1 1 b)  x  3   x  4    x  2  3 4 2 1 1 1 c)  x  4    x  3   x  2  4 3 2

1 1 1  x  3   x  6    x  2  3 6 2 1 1 1 e)  x  4    x  3   x  6  4 3 6 1 1 1 f)  x  12   x  3   x  4  12 3 4 d)

řešení: a)

1 1 1  x  2    x  3   x  4  2 3 4 6  x  2   4  x  3  3  x  4 

/ 12

6 x  12  4 x  12  3 x  12 2 x  3 x  12

/ 3 x

 x  12

/ :  1

x  12  x  12;  

b)

1 1 1  x  3   x  4    x  2  3 4 2 4  x  3  3  x  4   6  x  2  4 x  12  3 x  12  6 x  12 x  6 x  12 5 x  12 x

c)

3 x  12  4 x  12  6 x  12  x  6 x  12 7 x  12

d)

/ 6 x / :  5 

12 12  x   ;  5 5

1 1 1  x  4    x  3   x  2  4 3 2 3  x  4   4  x  3  6  x  2 

x

/ 12

/ 12

/ 6 x / :  7 

12 12  x   ;  7 7

1 1 1  x  3   x  6    x  2  3 6 2 2  x  3  1 x  6   3  x  2 

/ 6

2 x  6  x  6  3x  6 x  3x  6 2 x  6

/ 3 x / :  2 

x  3  x  3;   Stránka 201


1 1 1  x  4    x  3   x  6  4 3 6 3  x  4   4  x  3  2  x  6 

/ 12

3 x  12  4 x  12  2 x  12  x  2 x  12

/ 2 x / :  3

3 x  12

x  4  x  4;   f)

1 1 1  x  12    x  3   x  4  12 3 4 1 x  12   4  x  3  3  x  4 

/ 12

x  12  4 x  12  3 x  12 3 x  3 x  12

/ 3 x

6 x  12

/ :  6 

x  2  x  2;  

4. Řešte v R následující nerovnice: 1 1 x   x  3 2 x   x  2  5x  2 3 2 a)   3 2 6 1 1 x   x  2  2 x   x  3 7x  3 3 2 b)   2 3 6 1 1 2 x   x  4  3x   x  2  3x  1 3 4 c)   4 3 2 řešení: a)

1 1  x  3 2 x   x  2  5 x  2 3 2   3 2 6 1  1    2  x   x  3   3  2 x   x  2    5 x  2 2 3     x

1 1  x  2  3x   x  4  3x  1 3 4 d)   3 4 2 1 1 3x   x  2  x   x  4  5x  1 6 2 e)   2 6 3 1 1 3x   x  4  x   x  2  5x  1 6 2 f)   6 2 3 2x 

/ 6

2 x   x  3  6 x   x  2   5 x  2 2 x  x  3  6 x  x  2  5x  2 6 x  1  5x  2

/   5x 1

x  1  x   ; 1

Stránka 202


1 1  x  2  2 x   x  3 7 x  3 3 2   2 3 6 1  1    3  x   x  2    2  2 x   x  3   7 x  3 2  3    3 x   x  2   4 x   x  3  7 x  3 x

3x  x  2  4 x  x  3  7 x  3 5x  1  7 x  3 2 x  2

/ 6

/   7 x 1 / :  1

x  1  x   ; 1

c)

1 1  x  4  3x   x  2  3x  1 3 4   4 3 2 1 1     3  2 x   x  4    4 3 x   x  2    6  3 x  1 3 4     2x 

/ 12

6 x   x  4   12 x   x  2   18 x  6

6 x  x  4  12 x  x  2  18 x  6 16 x  2  18 x  6 2 x  8

/   18 x  2 / :  2 

x  4  x  4;  

d)

1 1  x  2  3x   x  4  3x  1 3 4   3 4 2 1 1     4  2 x   x  2    3 3 x   x  4    6  3 x  1 4 3     8 x   x  2   9 x   x  4   18 x  6 2x 

8 x  x  2  9 x  x  4  18 x  6 17 x  2  18 x  6  x  4

/ 12

/   18 x  2 / :  1

x  4  x  4;  

Stránka 203


1 1  x  2 x   x  4 5x  1 6 2   2 6 3 1 1     6 3 x   x  2    2  x   x  4    4  5 x  1 6 2     18 x   x  2   2 x   x  4   20 x  4 3x 

/ 12

18 x  x  2  2 x  x  4  20 x  4 18 x  2  20 x  4

/   20 x  2 / :  2 

2 x  6 x  3  x  3;  

f)

1 1  x  4 x   x  2 5x  2 6 2   6 2 3 1    1  2 3 x   x  4    6  x   x  2    4  5 x  2  2 6     6 x   x  4   6 x   x  2   20 x  8 3x 

/ 12

6 x  x  4  6 x  x  2  20 x  8 10 x  2  20 x  8

/   20 x  2 / :  10 

10 x  10 x  1  x  1;  

5. Řešte v R následující nerovnice: x2  2x x2 x2 a) 2  2   x 1 2 2 2 x2  2x x2 1 x2 b) 2  2   x 2 2 4 2 x2  2x x2 3 x6 c) 2  2   x 2 2 2 2

x2  2x x4 1 x 8 d) 2  2     x 2 2 8 2 x2  2x x 3 9 x7 e) 2  2   x 2 2 8 2 x2  2x x4 3 x 8 f) 2  2     x 2 2 8 2

Stránka 204

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy řešení:

x2  2x x2 x2 2 a) 2   x 1 2 2 2 x  2  2  2x x2 x2 2 2   x 1 2 2 2 x  2  4x x2 x2 2 2   x 1 2 2 2 5x  2 x2 x2 2 2   x 1 2 2 2 5x  2 1 x  2 x2 2    x 1 2 2 2 2 5x  2 x  2 x2 2   x 1 4 2 2 8  5x  2  2  x  2  4 x  4  2  x  2  8  5x  2  2 x  4  4 x  4  2 x  4 3x  6  2 x  8

/ 4

/ 2 x  6

x  2  x   ; 2 x2  2x x2 1 x2 2 b) 2   x 2 2 4 2 x  2  2  2x x2 1 x2 2 2   x 2 2 4 2 x  2  4x x2 1 x2 2 2   x 2 2 4 2 3 x  2 x2 1 x2 2 2   x 2 2 4 2 3 x  2 1 x  2 1 x2 2    x 2 2 2 4 2 3 x  2 x  2 1 x2 2   x 4 2 4 2 8  3x  2  2  x  2   1  4 x  2  x  2  8  3x  2  2 x  4  1  4 x  2 x  4 5 x  2  6 x  5

/ 4

/ 6 x  2

x  3  x   ; 3

Stránka 205

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy x2  2x x2 3 x6 2 c) 2   x 2 2 2 2 x  2  2  2x x2 3 x6 2 2   x 2 2 2 2 x  2  4x x2 3 x6 2 2   x 2 2 2 2 3 x  2 x2 3 x6 2 2   x 2 2 2 2 3 x  2 1 x  2 3 x6 2    x 2 2 2 2 2 3 x  2 x  2 3 x6 2   x 4 2 2 2 8  3x  2  2  x  2   3  2  4 x  2  x  6  8  3 x  2  2 x  4  6  4 x  2 x  12 5 x  14  6 x  18

/ 4

/ 6 x  14

x  4  x   ; 4 x2  2x x4 1 x 8 2 d) 2     x 2 2 8 2 x  2  2  2x x4 1 x 8 2 2     x 2 2 8 2 x  2  4x x4 1 x 8 2 2     x 2 2 8 2 5x  2 x4 1 x 8 2 2    x 2 2 8 2 5x  2 1 x  4 1 x 8 2      x 2 2 2 8 2 5x  2 x  4 1 x 8 2    x 4 2 8 2 16  2  5 x  2   4  x  4   1  8 x  4  x  8  16  10 x  4  4 x  16  1  8 x  4 x  32 6 x  28  4 x  31

/ 8

/ 4 x  28

2x  3 x  1,5  x   ; 1,5

Stránka 206

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy x2  2x x 3 9 x7 2 e) 2   x 2 2 8 2 x  2  2  2x x 3 9 x7 2 2   x 2 2 8 2 x  2  4x x 3 9 x7 2 2   x 2 2 8 2 3 x  2 x 3 9 x7 2 2   x 2 2 8 2 3 x  2 1 x  3 9 x7 2    x 2 2 2 8 2 3 x  2 x  3 9 x7 2   x 4 2 8 2 16  2  3x  2   4  x  3  9  8 x  4  x  7  16  6 x  4  4 x  12  9  8 x  4 x  28 10 x  32  12 x  37

/ 8

/ 12 x  32

2x  5 x  2,5  x   ; 2,5 x2  2x x4 3 x 8 f) 2 2     x 2 2 8 2 x  2  2  2x x4 3 x 8 2 2     x 2 2 8 2 x  2  4x x4 3 x 8 2 2     x 2 2 8 2 5x  2 x4 3 x 8 2 2    x 2 2 8 2 5x  2 1 x  4 3 x 8 2      x 2 2 2 8 2 5x  2 x  4 3 x 8 2    x 4 2 8 2 16  2  5 x  2   4  x  4   3  8 x  4  x  8  16  10 x  4  4 x  16  3  8 x  4 x  32 6 x  28  4 x  29 2x  1 x

/ 8

/ 4 x  28

1  1  x   ; 2 2  Stránka 207

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 2.3 Lineární rovnice s parametrem 1. Řešte rovnice s neznámou x  R a parametrem a  R : 2 a 1 a a)  x  3 a  2   ax  d)  x  2  a  3  ax  3 2 4 3 1 a 3 2a b)  x  2  a  3  ax  e)  x  4  a  2   ax  3 2 4 3 4 a 1 3 c)  x  3 a  2   ax  f)  x  4  a  2   ax  a 3 4 6 4 řešení: a)

2 a ax  3 2 6  x  3 a  2   4ax  3a

 x  3 a  2  

/ 6

6  ax  2 x  3a  6   4ax  3a 6ax  12 x  18a  36  4ax  3a

/ 4ax;  36;  18a

2ax  12 x  36  21a 2 x  a  6   36  21a a6  0 a6

a6  0 a6

2 x  6  6   36  21  6 0  36  126 0  90

x

36  21a 2  a  6

x 

a6

nemá řešení

a6

x

36  21a 2  a  6

Stránka 208

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 1 a ax  3 2 6  x  2  a  3  2ax  3a

 x  2  a  3 

b)

/ 6

6  ax  3x  2a  6   2ax  3a 6ax  18 x  12a  36  2ax  3a

/   4ax;  36;  18a

4ax  18 x  36  15a 2 x  2a  9   36  15a 2a  9  0

2a  9  0

2a  9 a

2a  9 9 a 2 36  15a x 2  2a  9 

9 2

  9   9 2 x  2      9   36  15      2   2  2 x  9  9   36  67,5 0  31,5 x 

a

9 2

nemá řešení

a

9 2

x

c)

36  15a 2  2a  9 

4 a ax  3 4 12  x  3 a  2   16ax  3a

 x  3 a  2  

/ 12

12  ax  2 x  3a  6   16ax  3a 12ax  24 x  36a  72  16ax  3a 4ax  24 x  39a  72

/   16ax;  72;  36a /   1

4ax  24 x  72  39a 4 x  a  6   72  39a

a6 0 a  6 4 x  6  6   72  39   6  0  72  234 0  326

a6  0 a  6 x

72  39a 4  a  6

x  Stránka 209

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy a  6

nemá řešení

a  6

x

36  21a 2  a  6

1 a ax  4 3 12  x  2  a  3  3ax  4a

d)

 x  2  a  3 

/ 12

12  ax  3x  2a  6   3ax  4a 12ax  36 x  24a  72  3ax  4a

/   3ax;  72;  24a

9ax  36 x  72  24a 9 x  a  4   72  24a a40 a4

a4  0 a4

9 x  4  4   72  28  4

x

0  72  112 0  30

72  28a 9  a  4

x 

a4

nemá řešení

a4

x

e)

72  28a 9  a  4

3 2a ax  4 3 12  x  4  a  2   9ax  8a

 x  4  a  2  

/ 12

12  ax  2 x  4a  8   9ax  8a 12ax  24 x  48a  96  9ax  8a

/   9ax;  96;  48a

3ax  24 x  96  40a 3x  a  8   96  40a a 8  0 a 8 3 x  8  8   96  40  8 0  96  320 0  224

a 8  0 a8 x

96  40a 3  a  8


Rovnice, nerovnice a jejich soustavy a 8

nemá řešení

a8

x

96  40a 3  a  8

f)

1 3 ax  a 6 4 12  x  4  a  2   2ax  9a

 x  4  a  2  

/ 12

12  ax  2 x  4a  8   2ax  9a 12ax  24 x  48a  96  2ax  9a

/   2ax;  96;  48a

10ax  24 x  96  57a 2 x  5a  12   96  40a 5a  12  0 5a  12 12 a 5   12    12  2 x 5      12   96  57      5   5 

5a  12  0 5a  12 12 5 96  57 a x 2  5a  12 

a

684 5 204 0 5 x  0  96 

a

12 5

nemá řešení

a

12 5

x

96  57a 2  5a  12 

2. Řešte rovnice s neznámou x  R a parametrem a  R : 2 2 a) 2a x  a  3x  2   3 d) 4a x  a  3x  4   3 2 b) 3a x  a  2 x  3  2

2 e) 3a x  a  4 x  3  4

2 c) a x  a  2 x  1  2

2 f) a x  a  2 x  1  2

Stránka 211


2a 2 x  a  3 x  2   3 2a 2 x  3ax  2a  3 2a 2 x  3ax  2a  3 x  a  2a  3   2a  3 a  2a  3  0  a1  0  a2 

3 2

a  2a  3  0  a1  0  a2 

a1  0

x

x 0  2  0  3   2  0  3 0  3

x

x  a2 

3 2

a0

 3  3  3 x   2   3   2   3 2  2  2  00

a

xR

3 2

2a  3 a  2a  3 1 a

nemá řešení

3 2

nekonečně mnoho řešení

a  0a 

3 2

x

1 a

2a 2 x  a  3 x  2   3

b)

2a 2 x  3ax  2a  3 2a 2 x  3ax  2a  3 x  a  2a  3   2a  3 a  2a  3  0  a1  0  a2 

3 2

a  2a  3  0  a1  0  a2 

a1  0

x

x 0  2  0  3   2  0  3 0  3 3 2

 3  3  3 x   2   3   2   3 2  2  2  00 xR

2a  3 a  2a  3

1 a nemá řešení x

x  a2 

3 2

a0 a

3 2

a  0a 


3 2

x

1 a

Stránka 212

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy a 2 x  a  2 x  1  2

c)

a 2 x  2ax  a  2 a 2 x  2ax  a  2 x  a  a  2    a  2 a  a  2   0  a1  0  a2  2

a  a  2   0  a1  0  a2  2

a1  0

x

x 0  0  2    0  2 02 x 

a  2 a  a  2

x

a2  2 x  2  2  2    2  2 00 xR

d)

1 a

a0

nemá řešení

a2


a  0a  2

x

1 a

4a 2 x  a  3 x  4   3 4a 2 x  3ax  4a  3 4a 2 x  3ax  4a  3 x  a  4a  3   4a  3 a  4a  3  0  a1  0  a2 

3 4

a  4a  3  0  a1  0  a2 

a1  0

x

x 0  4  0  3   4  0  3 03 a2 

3 4

 3  3  3 x   4   3    4   3 4  4  4  00 xR

4a  3 a  4a  3

x

x 

a0 a

1 a

nemá řešení

3 4

a  0a 

3 4


3 4

x

1 a

Stránka 213

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 3a 2 x  a  4 x  3  4

e)

3a 2 x  4ax  3a  4 3a 2 x  4ax  3a  4 x  a  3a  4    3a  4 a  3a  4   0  a1  0  a2 

4 3

a  3a  4   0  a1  0  a2 

a1  0

x

x 0  3  0  4    3  0  4 04 a2 

3a  4 a  3a  4 

x

x  4 3

a0

4  4 4  x   3   4    3   4 3  3  3 00

a

xR

1 a

nemá řešení

4 3

a  0a 

4 3


4 3

x

1 a

a 2 x  a  2 x  1  2

f)

a 2 x  2ax  a  2 a 2 x  2ax  a  2 x  a  a  2    a  2 a  a  2   0  a1  0  a2  2

a  a  2   0  a1  0  a2  2

a1  0

x

x 0  0  2    0  2 0  2 x  a2  2 x  2  2  2    2  2 00 xR

a2 a  a  2

a0

1 a nemá řešení

a2


a  0a  2

x

x

1 a

Stránka 214

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 3. Řešte rovnice s neznámou x  R a parametrem a  R : 3x  2 5 5x  4 3  x2  x2 a) d) a 1 3 1 a 4 2x  3 1 3x  4 2  x3  x4 b) e) a2 2 2a 3 4x  3 3 2x  5 7  x4  x5 c) f) a 3 2 3 a 4 řešení: a)

3x  2 5  x2 a 1 3 3  3x  2   5 x  a  1  2  3  a  1

/  3  a  1

podm.: a  1

9 x  6  5ax  5 x  6a  6 14 x  5ax  6a x 14  5a   6a 14  5a  0

14  5a  0

14  5a 14 5 14  14  x 14  5    6  5 5  84 0 5 x 

14  5a 14 5 6a x 14  5a

a

a

a

14 5

a 1 a

14 a 1 5

nemá řešení nemá smysl

x

6a 14  5a

2x  3 1  x3 /  2 a  2 a2 2 2  2 x  3  x  a  2   3  2  a  2 

b)

podm.: a  2

4 x  6  ax  2 x  6a  6 6 x  ax  6a x  6  a   6a 6a  0 a6 x 6  6  6  3 0  36

6a  0 a6 x

6a 6a


Rovnice, nerovnice a jejich soustavy a6

nemá řešení

a2

nemá smysl

a  6a  2 x 

4x  3 3  x4 a 3 2 2  4 x  3  3 x  a  3  4  2  a  3

c)

6a 6a

/  2  a  3

podm.: a  3

8 x  6  3ax  9 x  8a  24 17 x  3ax  8a  18 x 17  3a   8a  18 17  3a  0

17  3a  0

17  3a

17  3a

17 3 17  17  x 17  3    8   18 3 3  82 0 3 x 

17 3 8a  18 x 17  3a

a

a

a

17 3

a3 a

d)

17 a  2 3

5x  4 3  x2 1 a 4 4  5 x  4   3 x 1  a   2  4 1  a 

nemá řešení nemá smysl

x

8a  18 17  3a

/  4 1  a 

podm.: a  1

20 x  16  3x  3ax  8  8a 17 x  3ax  24  8a x 17  3a   24  8a 17  3a  0 17  3a 17 a 3   17    17  x 17  3       24  8      3   3  208 0 3 x 

17  3a  0 17  3a 17 3 24  8a x 17  3a

a

Stránka 216

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy a

17 3

a 1 a

nemá smysl 17 a 1 3

3x  4 2  x4 2a 3 3  3x  4   2 x  2  a   4  3  2  a 

e)

nemá řešení

x

24  8a 17  3a

/ 32  a

podm.: a  2

9 x  12  4 x  2ax  24  12a 5 x  2ax  36  12a x  5  2a   36  12a 5  2a  0 5  2a

5  2a  0

5 2

a

a

5  2a

  5   5 x 5  2       36  12      2   2  0  66 x 

5 2 36  12a x 5  2a

a

5 2

a2

nemá smysl

5 a   a  2 2

x

2x  5 7  x5 3 a 4 4  2 x  5  7 x  3  a   5  4  3  a 

f)

nemá řešení

36  12a 5  2a

/  4 3  a 

podm.: a  3

8 x  20  21x  7ax  60  20a 13x  7ax  80  20a x  7a  13  80  20a 7 a  13  0 7 a  13 a

13 7

7  13  x  7   13   80  20  3  7  100 0 3 x 

7 a  13  0 7 a  13 13 7 80  20a x 7 a  13

a

Stránka 217

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy a

13 7

nemá řešení

a3 a

nemá smysl

13 a 3 7

x

80  20a 7a  13

4. Řešte následující rovnice s neznámou x  R a parametrem a  R : x 1 x2  x 1  x2 a) d) a2 a 1 x 1 x2  x 1  x 1 b) e) a2 a2 x2 x2  x2  x 1 c) f) a 1 a2 řešení: a)

x 1  x 1 a2 x  1   x  1 a  2 

/  a  2 

x  1  ax  2 x  a  2  x  ax  a  3

podm.: a  2

/  ax;  2 x;  1

x  1  a   a  3

1  a  0

1  a  0 a  1 a  1

a  1 a  1

x  1   1   1  3

x

02 x 

a  1

nemá řešení

a  2

nemá smysl

a  2  a  1

x

a3 a3  1  a a 1

a3 a 1

Stránka 218

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy x 1  x 1 a2 x  1   x  1 a  2 

b)

x  1  ax  2 x  a  2

/  a  2 

podm.: a  2

/  ax;  2 x;  1 /   1

 x  ax  a  2 x  ax  a  2 x 1  a   a  2

1 a  0 a  1 a2 x a 1

1 a  0 a  1 x 1  1  1  2 03 x 

a  1

nemá řešení

a  2

nemá smysl

a  2  a  1

x

c)

a2 a 1

x2  x2 a 1 x  2   x  2  a  1

/   a  1

x  2  ax  x  2a  2

/  ax;  x;  2

ax  2a  4

/   1

podm.: a  1

x   a   2a  4 a  0

a  0 a0 2a  4 2a  4 x  a a

a0 x  0   2  0  4 04 x 

a0

nemá řešení

a  1

nemá smysl

a  1  a  0

x

2a  4 a

Stránka 219


x2  x2 a 1 x  2   x  2  a  1

/  a  1

x  2  ax  x  2a  2

/  ax;  x;  2

ax  2a  4

podm.: a  1

/  1

ax  2a  4 a0 x0  20  4

a0 2a  4 x a

04 x 

a0

nemá řešení

a  1

nemá smysl

a  1  a  0

x

2a  4 a

x2  x 1 a2 x  2   x  1 a  2 

e)

/  a  2 

x  2  ax  2 x  a  2 3x  ax  a

podm.: a  2

/  ax;  2 x;  2

x  3  a   a 3 a  0  a  3 a3

3 a  0 a  3 a3

x   3  3  3

x

0  3

a a a   3 a 3 a a 3

x 

a3

nemá řešení

a2

nemá smysl

a  2a  3

x

a a 3

Stránka 220

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy x2  x 1 a2 x  2   x  1 a  2 

f)

/  a  2 

x  2  ax  2 x  a  2 3x  ax  a

podm.: a  2

/  ax;  2 x;  2

x 3  a   a 3 a  0  a  3 a3

3 a  0  a  3 a3

x   3  3  3

x

03

a 3 a

x 

a3

nemá řešení

a2

nemá smysl

a  2a  3

x

a 3 a

5. Řešte následující rovnice s neznámou x  R a parametrem a  R : 2a  x  a  2a  a  x  a) d) 2 2 x 1 x 1 2a  x  a  2a  a  x  b) e) 4 4 x2 x2 2a  x  a  2a  a  x  c) f) 6 6 x 3 x3

Stránka 221


2a  x  a  2 x 1 2a  x  a   2  x  1 2ax  2a 2  2 x  2 2ax  2 x  2a 2  2

/   x  1

podm.: x  1

/ 2 x  2 a 2 /:2

ax  x  a  1 2

x  a  1  a 2  1 a 1  0 a 1

a 1  0 a 1

x  1  1  1  1

a 2  1  a  1  a  1 x  a 1 a 1

00 x  R  x  1  x  R  1

a 1

x  R  1

a0

nemá řešení

a  0 a 1

x  a 1

x  a  1   a 1  1  a  0 x 1 

2a  x  a  4 x2 2a  x  a   4  x  2 

b)

2ax  2a 2  4 x  8 2ax  4 x  2a 2  8

/   x  2

podm.: x  2

/  4 x  2a 2 /:2

ax  2 x  a  4 2

x  a  2  a2  4

a2 0

a2 0 a2

a2

x   2  2  4  4

a2  4  a  2  a  2  a2 a2 x  a  2 a2 2a  0 x2  x

00 x  R  x  2  x  R  2

a2

x  R  2

a0

nemá řešení

a  0a  2

x  a2 Stránka 222

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 2a  x  a  6 x 3 2a  x  a   6  x  3 

c)

2ax  2a 2  6 x  18 2ax  6 x  2a 2  18

/   x  3

podm.: x  3

/ 6 x  2a 2 /:2

ax  3x  a 2  9 x  a  3  a 2  9

a 3  0

a 3  0 a3

a3

x   3  3  9  9

a 2  9  a  3  a  3  a 3 a 3 x  a  3  a3 3 a  0 x3 

x

00 x  R  x  3  x  R  3

a3

x  R  3

a0

nemá řešení

a  0a  3

x  a3

2a  a  x  2 x 1 2a  a  x   2  x  1

d)

/   x  1

2a 2  2ax  2 x  2

/ 2 x  2a 2

2ax  2 x  2a 2  2

/ :  2 

podm.: x  1

ax  x  a 2  1 x  a  1  a 2  1

a 1  0

a 1  0 a  1

a  1

x  1  1  1  1 00 x  R  x  1  x  R  1

a  1

x  R  1

a0

nemá řešení

a  0  a  1

x  a 1

a 2  1  a  1  a  1 x  a 1 a 1 x  a  1   a  1  1  a  0 x  1 

Stránka 223

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 2a  a  x  4 x2 2a  a  x   4  x  2 

e)

/  x  2

2a 2  2ax  4 x  8

/ 4 x  2a 2

2ax  4 x  2a 2  8

/ :  2 

podm.: x  2

ax  2 x  a 2  4 x  a  2  a2  4

a20

a20 a  2

a  2

x   2  2  4  4 00 x  R  x  2  x  R  2

a  2

x  R  2

a0

nemá řešení

a  0  a  2

x  a2

2a  a  x  6 x3 2a  a  x   6  x  3 

f)

a2  4  a  2  a  2  a2 a2 x  a  2   a  2  2  a  0 x  2  x

/   x  3

2a 2  2ax  6 x  18

/ 6 x  2a 2

2ax  6 x  2a 2  18

/ :  2 

podm.: x  3

ax  3x  a 2  9 x  a  3  a 2  9

a3 0

a3 0 a  3

a  3

x   3  3  9  9 00 x  R  x  3  x  R  3

a  3

x  R  3

a0

nemá řešení

a  0  a  3

x  a 3

a 2  9  a  3  a  3 x  a3 a3 x  a  3   a  3  3  a  0 x  3 

Stránka 224

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 6. Řešte následující rovnice s neznámou x  R a parametrem a  R : a  x  1  2  x  1 a  x  2  2  x  2 a) c) 1 1 x2 x 1 a  x  1  2  x  1 a  x  2  2  x  2 b) d) 1 1 x2 x 1 řešení: a)

a  x  1  2  x  1 1 x2 a  x  1  2  x  1  x  2 ax  a  2 x  2  x  2 ax  3x  a

e) f)

a  x  1  2  x  2  1 x2 a  x  2   2  x  1 1 x2

podm.: x  2

/ x  a  2

x  a  3   a a 3  0

a 3  0

a3

a3

x   3  3  3 0  3 x 

a  3 a  6

nemá řešení

a  3 a  6

x

a a 3

a  x  1  2  x  1 1 x2 a  x  1  2  x  1  x  2

b)

a a 3 a 2  a 3 2  a  3   a x

ax  a  2 x  2  x  2 ax  3x  a  4

 podm.: x  2 

2a  6   a a6

podm.: x  2

/ x  a  2

x  a  3  a  4 a 3  0

a 3  0

a3

a3

x   3  3  3  4

a4 a 3 a4 2 a 3 2  a  3  a  4 x

0  1 x 

a  3 a  2

nemá řešení

a  3 a  2

a4 x a 3

 podm.: x  2 

2a  6  a  4 a2

Stránka 225

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy a  x  2  2  x  2 1 x 1 a  x  2  2  x  2  x  1

c)

ax  2a  2 x  4  x  1 ax  3x  2a  3

podm.: x  1

/   x  2a  4

x  a  3  2a  3 a 3  0

a 3  0

a3

a3

x   3  3  2  3  3

2a  3 a 3 2a  3 1  a 3 1 a  3  2a  3 x

0  9 x 

 podm.: x  1

a  3  2a  3

a  3  a  6

nemá řešení

a  3  a  6

x

a  6

2a  3 a 3

a  x  2  2  x  2 1 x 1 a  x  2  2  x  2  x 1

d)

ax  2a  2 x  4  x  1 ax  3x  2a  5

podm.: x  1

/   x  2a  4

x  a  3   2a  5 a 3  0

a 3  0

a3 x   3  3  2  3  5 0 1 x 

a3 2a  5 x a 3 2a  5 1 a 3 a  3  2a  5

 podm.: x  1

a2

a  3 a  2

nemá řešení

a  3 a  2

x

2a  5 a 3

Stránka 226

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy a  x  1  2  x  2  1 x2 a  x  1  2  x  2   x  2

e)

ax  a  2 x  4  x  2 ax  3x  a  2

podm.: x  2

/ x  a  4

x  a  3  a  2 a 3  0

a 3  0 a3 a2 x a 3 a2 2  a 3 2  a  3  a  2

a3 x   3  3  3  2 0 1 x 

8 a  3 a  3 a  3 a 

2a  6  a  2 3a  8 8 a 3

nemá řešení

8 3

x

a2 a 3

a  x  2   2  x  1 1 x2 a  x  2   2  x  1  x  2

f)

 podm.: x  2 

ax  2a  2 x  2  x  2 ax  3x  2a  4

podm.: x  2

/   x  2a  2

x  a  3  2a  4 a 3  0

a 3  0

a3

a3

x   3  3  2  3  4 0  10 x 

a3

nemá řešení

a3

x

2a  4 a 3 2a  4 2  a 3 2  a  3  2a  4 x

 podm.: x  2 

2a  6  2a  4 6  4

 pravdivý výrok 

a2 a 3

Stránka 227

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 8. Řešte následující rovnice s neznámou x  R a parametrem a  R : 2  a 1 a 2 a 3 a   a) d) x 1 x  2 x 1 x  3 3 a 2 a 3  a 1 a   b) e) x3 x2 x  2 x 3 1 a 2  a 1 a 3  a   c) f) x  3 x 1 x  2 x 1 řešení: a)

2  a 1 a  x 1 x  2  2  a  x  2   1  a  x  1

podm.: x  1  x  2

2 x  4  ax  2a  x  1  ax  a x  2ax  5  a

/  x  ax  2a  4

x 1  2a   5  a

1  2a  0

1  2a  0

2 a   1

2 a   1 a

1 2 5a x 1  2a

1 2

a

1 1  x  1  2    5  2 2  9 x  1 0 2 5a  1 /  1  2a  x  1  2a 5  a  11  2a 

5  a  1  2a 3a  6 a2

1 a  1  a   a  2 2 a  1  a 

1 a  2 2

/ 2a  5 / :  3

x2 5a 2 1  2a 5  a  2 1  2a  5  a  2  4a 3a  3

/  1  2a  / 4a  5 / :3

a  1

nemá řešení x

5a 1  2a

Stránka 228


3  a 1 a  x  2 x 3  3  a  x  3  1  a  x  2 

podm.: x  2  x  3

3x  9  ax  3a  x  2  ax  2a 2 x  2ax  11  a

/  x  ax  3a  9

2 x 1  a   11  a 1 a  0

1 a  0 a 1

a 1 2 x  1  1  11  1

x

0  10 x 

11  a 2 1  a  x3

x  2 11  a  2 2 1  a 

/ 2 1  a 

5a  15 a3

a  1 a  1 a  3

nemá řešení

a  1 a  1 a  3

x

/ 2 1  a 

11  a  6 1  a 

11  a  4 1  a  11  a  4  4a

11  a 3 2 1  a 

/ 4a  11 / :  5 

11  a  6  6a 5a  5

/ 6a  11 / :5

a  1

11  a 2 1  a 

Stránka 229

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 1 a 2  a  x  3 x 1 1  a  x  1   2  a  x  3

c)

podm.: x  3  x  1

x  1  ax  a  2 x  6  ax  3a

/ 2 x  ax  a  1 /   1

3x  2ax  7  2a 3x  2ax  7  2a x  3  2a   7  2a 3  2a  0 2a  3

3  2a  0

3 2

a

a

2 a  3 3 2 7  2a x 3  2a

  3   3 x   3  2      7  2     2   2  0  10 x  3 x 

x 1

7  2a  3 3  2a 7  2a  3  3  2a 

/   3  2a 

7  2a  9  6a

/ 6 a  7



/ :  4 

4a  2 2 4 1 a 2 a

5 3 1 a  a a 2 2 2

nemá řešení

5 3 1 a  a  a 2 2 2

x

7  2a 1 3  2a 7  2a  3  2a



4a  10

/   3  2a  /  2a  7 /:4

10 4 5 a 2 a

7  2a 3  2a

Stránka 230


2 a 3 a  x 1 x  3  2  a  x  3   3  a  x  1

podm.: x  1  x  3

2 x  6  ax  3a  3x  3  ax  a

/ 3 x  ax  3a  6 /   1

 x  2ax  9  2a x  2ax  2a  9 x 1  2a   2a  9 1  2a  0 2a  1

1  2a  0 2 a  1

1 2   1   1 x  1  2      2     9  2   2  0  10 x  1 x  2a  9  1 1  2a 2a  9  11  2a  a

2a  9  1  2a 4a  8

1 2 2a  9 x 1  2a

a

x3

/  1  2a 

2a  9 3 1  2a 2a  9  3 1  2a 

/  1  2a 

/ 2a  9

2a  9  3  6a

/ 6a  9

/:4

a2

4a  12

/ :  4 

a  3

1 a  3  a    a  2 2

nemá řešení

1 a  3  a    a  2 2

x

2a  9 1  2a

Stránka 231

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 3 a 2 a  x3 x2  3  a  x  2    2  a  x  3

e)

podm.: x  3  x  2

3x  6  ax  2a  2 x  6  ax  3a x  2ax  a  12

/ 2 x  ax  2a  6

x 1  2a   a  12 1  2a  0

1  2a  0

2 a   1

2 a   1

1 2 1 1  x  1  2     12 2 2  25 x  3 0 2 a  12  3 x  1  2a a  12  3 1  2a  a

a  12  3  6a 5a  15

a  2  a 

1 a 3 2

x2 /  1  2a 

a  12 2 1  2a a  12  2 1  2a 

/  1  2a 

/ 6a  12

a  12  2  4a

/ 4a  12

/ :  5 

5a  10

/ :5

a  2

a3

1 a  2  a   a  3 2

1 2 a  12 x 1  2a

a

nemá řešení x

a  12 1  2a

Stránka 232


1 a 3  a  x  2 x 1 1  a  x  1   3  a  x  2 

podm.: x  2  x  1

x  1  ax  a  3x  6  ax  2a

/ 3 x  ax  a  1 /   1

2 x  2ax  a  7 2 x  2ax  a  7 2 x 1  a   a  7 1 a  0

1 a  0 a  1 a7 x 1 a

a  1 2 x  1  1    1  7 0  6 x 

x  2 a7   2 1 a a  7  2 1  a 

/  1  a 

a  7  2  2a

/ 2a  7

x 1 a7 1 1 a a  7  1  a



2a  8

/  1  a  / a  7 /:2

a4

a5

a  1 a  4  a  5

nemá řešení

a  1 a  4  a  5

x

a7 1 a

9. Řešte následující rovnice s neznámou x  R a parametrem a  R : a  1 a  2 ax  2a a  2 a  1 2ax  3a   2   2 a) d) x 3 3 x x 9 3 x x 3 x 9 a  1 a  3 2a  ax a  1 a  3 ax  2a   2   b) e) x2 2 x x 4 2  x x  2 x2  4 a  3 a  2 3ax  2a a  2 a  4 3ax  a   2   2 c) f) x 1 1 x x 1 1 x x 1 x 1

Stránka 233


a  1 a  2 ax  2a   2 x 3 3 x x 9 a 1 a  2 ax  2a   x  3 3  x  x  3 x  3 a 1 a  2 ax  2a   x  3 x  3  x  3 x  3

podm.: x  3 /   x  3 x  3

 a  1 x  3   a  2  x  3  ax  2a ax  3a  x  3  ax  3a  2 x  6  ax  2a 2ax  x  9  ax  2a ax  x  9  2a

/ ax  9

x  a  1  9  2a a 1  0 a 1

a 1  0 a 1 2a  9 x a 1

x 1  1  2 1  9 0  29 0  11

x3

x   2a  9 3 /   a  1 a 1 2a  9  3  a  1

2a  9  3a  3 a  12 a  12

a 1

nemá řešení

a  12

nemá řešení

a

6 5

a  1  a  12  a  

/ 3a  9 /   1

x  3 2a  9  3 /   a  1 a 1 2a  9  3  a  1 2a  9  3a  3 5a  6 6 a 5

/ 3a  9 / :5

nemá řešení

6 5

x

2a  9 a 1

Stránka 234


a  1 a  3 2a  ax   2 x2 2 x x 4 a 1 a  3 2a  ax   x  2 2  x  x  2  x  2 

podm.: x  2

a 1 a  3 2a  ax   x  2 x  2  x  2  x  2 

/   x  2  x  2 

 a  1 x  2    a  3 x  2   2a  ax ax  2a  x  2  ax  2a  3x  6  2a  ax 2ax  2 x  8  2a  ax 3ax  2 x  2a  8

/  ax  8

x  3a  2   2a  8 3a  2  0 3a  2 2 a 3   2   2 x 3      2   2      8  3   3  4 0   8 3 28 0 3 x 

3a  2  0 3a  2 2 3 2a  8 x 3a  2

a

2a  8 2 /   3a  2  3a  2 2a  8  2  3a  2 

2a  8  2 /   3a  2  3a  2 2a  8  2  3a  2 

2a  8  6a  4

2a  8  6a  4

4a  12 a  3

2 3

nemá řešení

a  3

nemá řešení

a

a

1 2

2 1 a    a  3  a  3 2

x  2

x2

/ 6a  8 / :  4 

8a  4

/ 6a  8 / :8

4 8 1 a 2 a

nemá řešení

x

2a  8 3a  2

Stránka 235

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy a  3 a  2 3ax  2a   2 x 1 1 x x 1 a3 a2 3ax  2a   x  1 1  x  x  1 x  1

c)

a3 a2 3ax  2a   x  1 x  1  x  1 x  1

podm.: x  1 /   x  1 x  1

 a  3 x  1   a  2  x  1  3ax  2a ax  a  3x  3  ax  a  2 x  2  3ax  2a 2ax  x  5  3ax  2a ax  x  5  2a

/ 3ax  5

x 1  a   5  2a 1 a  0 a 1

1 a  0 a 1 5  2a x 1 a

x 1  1  5  2 1 0  52 03 x 

x 1 5  2a 1 1 a 5  2a  1  a a  4 a4

a 1

nemá řešení

a4

nemá řešení

a2

nemá řešení

a  1 a  2  a  4

x

/ a  5

x  1 5  2a  1 1 a 5  2a  1  a

/ a  5

/   1

3a  6

/ :  3

/  1  a 

/  1  a 

a2

5  2a 1 a

Stránka 236

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy a  2 a  1 2ax  3a   2 3 x x 3 x 9 a  2 a 1 2ax  3a   3  x x  3  x  3 x  3

d)



a  2 a 1 2ax  3a   x  3 x  3  x  3 x  3

podm.: x  3 /   x  3  x  3 

  a  2  x  3   a  1 x  3  2ax  3a   ax  3a  2 x  6    ax  3a  x  3  2ax  3a ax  3a  2 x  6  ax  3a  x  3  2ax  3a 2ax  x  9  2ax  3a

/ 2 ax  9 /   1

4ax  x  9  3a 4ax  x  3a  9 x  4a  1  3a  9 4a  1  0

4a  1  0

4a  1 4 a  1 1 1 a a 4 4 3a  9   1   1 x x 4      3      9 4a  1  4   4  3 x3 0   9 4 3a  9 3 /   4a  1 39 4a  1 0 4 3a  9  3   4a  1 x  3a  9  12a  3 / 12a  9

9a  12 12 9 4 a 3 nemá řešení a

a

1 4

a

4 3

a

2 5

1 4 2 a   a   a  4 3 5

/ :  9 

x  3 3a  9  3 /   4a  1 4a  1 3a  9  3   4a  1 3a  9  12a  3 15a  6

/ 12a  9 / :15

6 15 2 a 5 a

nemá řešení

nemá řešení

x

3a  9 4a  1

Stránka 237

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy a  1 a  3 ax  2a   2  x x  2 x2  4 a 1 a  3 ax  2a   2  x x  2  x  2  x  2 

e)



podm.: x  2

a 1 a  3 ax  2a   x  2 x  2  x  2  x  2 

/   x  2  x  2 

  a  1 x  2    a  3 x  2   ax  2a   ax  2a  x  2    ax  2a  3x  6   ax  2a ax  2a  x  2  ax  2a  3x  6  ax  2a 2ax  2 x  8  ax  2a

/ ax  8

3ax  2 x  8  2a x  2  3a   8  2a 2  3a  0 3a  2 2 a 3 2 2  x 2  3    2   8 3 3  4 0  8 3 28 0 3 x 

2  3a  0 3a  2 2 3 2a  8 x 2  3a

a

2a  8 2 /   2  3a  2  3a 2a  8  2   2  3a 

2a  8  2 /   2  3a  2  3a 2a  8  2   2  3a 

2a  8  4  6a

2a  8  4  6a

8a  4 4 8 1 a 2 a

a

2 3

a

/ 6a  8 / :8

4a  12

/ 6a  8 / :  4 

a3

nemá řešení

1 2

a3 a

x  2

x2

2 1 a   a 3 3 2

nemá řešení nemá řešení

x

2a  8 2  3a Stránka 238

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy a  2 a  4 3ax  a   2 1 x x 1 x 1 a2 a4 3ax  a   1  x x  1  x  1 x  1

f)



podm.: x  1

a2 a4 3ax  a   x  1 x  1  x  1 x  1

/   x  1 x  1

  a  2  x  1   a  4  x  1  3ax  a   ax  a  2 x  2    ax  a  4 x  4   3ax  a ax  a  2 x  2  ax  a  4 x  4  3ax  a 2ax  6 x  2  3ax  a

/ 3ax  2

5ax  6 x  2  a x  6  5a   2  a

6  5a  0

6  5a  0 5 a  6 6 a 5 6 6  x 6  5    2  5 5  6 0  2 5 4 0 5 x 

5 a   6 6 5 2a x 6  5a

a

x  1

x 1 2a 1 6  5a 2  a  6  5a 4a  4

/   6  5a  / 5a  2 /:4

2a  1 6  5a 2  a  6  5a 6a  8

a 1

6 5

nemá řešení

a 1

nemá řešení

a

4 3

nemá řešení

a

6 4  a  1 a  5 3

x

a

/   6  5a  / 5 a  2 / :  6 

8 6 4 a 3 a

2a 6  5a

10. Řešte následující rovnice s neznámou 1 a x  2  a) c) 1 a x  2 2a x 3  b) d) 2a x3

x  R a parametrem a  R :

3  a x 1  3  a x 1 1 a x  3  1 a x  3

e) f)

2a  2a 3 a  3 a

x 1 x 1 x2 x2 Stránka 239


1 a x  2  1 a x  2 1 a x  2  1 a x  2 1  a  x  2    x  2 1  a 

podm.: a  1  x  2 /  1  a  x  2 

x  2  ax  2a  x  ax  2  2a

/  x  ax  2a  2 / :  2 

2ax  4 ax  2

a0

a0 x0  2

2 a 2 2  a 2a  2 x

02 x 

 podm.: x  2  / a / :  1

a  1 a0

nemá řešení

a  1

nemá smysl

a  1  a  0

x

2 a

2a x 3  2a x3 2a x 3  2a x3  2  a  x  3   x  3 2  a 

b)

2 x  6  ax  3a  2 x  ax  6  3a 2ax  12

podm.: a  2  x  3 /   2  a  x  3  / 2 x  ax  3a  6 / :  2 

ax  6 a0 x0  6 06 x 

a0 6 a 6 3  a 3a  6 x

 podm.: x  3 / a / :  3

a  2

Stránka 240


nemá řešení

a  2

nemá smysl

a  2  a  0

x

6 a

3  a x 1  3  a x 1 3  a x 1  3  a x 1  3  a  x  1   x  1 3  a 

c)

3 x  3  ax  a  3 x  ax  3  a

podm.: a  3  x  1 /  3  a  x  1 / 3 x  ax  a  3 / :  2 

2ax  6 ax  3

a0

a0 x0  3

3 a 3 1  a a  3 x

03 x 

a0

nemá řešení

a  3

nemá smysl

a  3  a  0

x

x  3  ax  3a  x  ax  3  3a 2ax  6 ax  3 a0 x  0  3 0  3 x 

/ a / :  1

a  3

3 a

1 a x  3  1 a x  3 1 a x  3  1 a x  3 1  a  x  3   x  31  a 

d)

 podm.: x  1

podm.: a  1  x  3 /  1  a  x  3  /  x  ax  3a  3 /:2

a0 3 a 3 3   a 3a  3 x

 podm.: x  3 / a / :  3 

a 1 Stránka 241


nemá řešení

a 1

nemá smysl

a  0 a 1

x

3 a

2  a x 1  2  a x 1 2  a x 1  2  a x 1  2  a  x  1   x  1 2  a 

e)

podm.: a  2  x  1 /   2  a  x  1

2 x  2  ax  a  2 x  ax  2  a

/ 2 x  ax  a  2

2ax  4 ax  2

/:2

a0

a0 x  0  2

2 a 2 1   a a  2 x

0  2 x  a0

nemá řešení

a2

nemá smysl

a  0a  2

x

/ :  1

2 a

podm.: a  3  x  2 /  3  a  x  2 

3 x  6  ax  2a  3 x  ax  6  2a 2ax  12 ax  6 a0 x  0  6 0  6 x 

/ a

a2

3 a x  2  3 a x  2 3 a x  2  3 a x  2  3  a  x  2    x  2  3  a 

f)

 podm.: x  1

/ 3 x  ax  2a  6 /:2

a0 6 a 6 2   a 2a  6 x

 podm.: x  2  / a / :  2 

a3 Stránka 242


nemá řešení

a3

nemá smysl

a  0a  3

x

6 a

11. Řešte následující rovnice s neznámou x  R a parametrem a  R : 3 a 2 1 a 4   a) c) a x2 a x4 2a 3 3 a 1   b) d) a x 3 a x 1 řešení: a)

3 a 2  a x2 3 a 2  a x2  3  a  x  2   2a 3 x  6  ax  2a  2a

2a 3  a x3 1 a 2  f) a x2 e)

podm.: a  0  x  2 / a  x  2  / 6  2a

3x  ax  6 x 3  a   6 3 a  0

3 a  0

a3

a3

x   3  3  6

6 3 a 6 2 3 a 2 3  a   6

 podm.: x  2 

6  2a  6

/ 6

x

06 x 

2a  0

/ 3  a 

/ :  2 

a0 a3

nemá řešení

a0

nemá smysl

a  0a  3

x

6 3 a

Stránka 243

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 2a 3  a x 3 2a 3  a x 3  2  a  x  3  3a

b)

2 x  6  ax  3a  3a

podm.: a  0  x  3 / a  x  3 / 6  3a

2 x  ax  6 x 2  a  6 2a  0

2a  0

a2

a2

x   2  2  6

6 2a 6 3 2a 3 2  a   6

 podm.: x  3

6  3a  6

/ 6

x

06 x 

a2

nemá řešení

3a  0

a0

nemá smysl

a0

a  0a  2

x

/ :  3

6 2a

1 a 4  a x4 1 a 4  a x4 1  a  x  4   4a

c)

/  2  a 

x  4  ax  4a  4a

podm.: a  0  x  4 / a  x  4  / 4  4a

x  ax  4 x 1  a   4 1 a  0

1 a  0

a 1

a 1

x  1  1  4 04 x 

4 1 a 4 4 1 a 4 1  a   4

 podm.: x  4 

4  4a  4

/ 4

x

4a  0

/  1  a 

/ :  4 

a0 Stránka 244

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy a 1

nemá řešení

a0

nemá smysl

a  0 a 1

x

d)

4 1 a

3 a 1  a x 1 3 a 1  a x 1  3  a  x  1  a 3 x  3  ax  a  a

podm.: a  0  x  1 / a  x  1 / 3  a

3x  ax  3 x  3  a   3

3 a  0

3 a  0

a  3

a  3 x   3  3  3

3 3 a 3 1  3 a 1 3  a   3 x

0  3 x 

a  3

nemá řešení

a0

nemá smysl

a  0  a  3

x

3  3a  3 3a  0

 podm.: x  1 / 3  a  / 3 / :  3

a0

3 3 a

Stránka 245

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 2a 3  a x3 2a 3  a x3  2  a  x  3  3a

e)

2 x  6  ax  3a  3a

podm.: a  0  x  3 / a  x  3  / 6  3a

2 x  ax  6 x  2  a   6

2a  0

2a  0

a  2

a  2 x   2  2   6

a  2

nemá řešení

6 2a 6 3  2a 3  2  a   6

a0

nemá smysl

6  3a  6

a  0  a  2

x

x

0  6 x 

f)

6 2a

1 a 2  a x2 1 a 2  a x2 1  a  x  2   2a x  2  ax  2a  2a

3a  0

 podm.: x  3 / 2  a / 6 / :  3

a0

podm.: a  0  x  2 / a  x  2  / 2  2a

x  ax  2 x 1  a   2

1 a  0

1 a  0

a  1

a  1 x  1  1  2

2 1 a 2 2  1 a 2 1  a   2 x

0  2 x  a  1

nemá řešení

a0

nemá smysl

a  0  a  1

x

2 1 a

2  2a  2 2a  0

 podm.: x  2  /  1  a  / 2 / :  2 

a0

Stránka 246

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 12. Řešte následující rovnice s neznámou x  R a parametrem a  R : 3 4 2 5   a) b) 2 x  a 2  ax 3x  a 3  ax řešení: a)

a  2x  a  0  2 x  a  x  2 podm.:  2  ax  0  2  ax  x  2  a 3 4  /   2 x  a  2  ax  2 x  a 2  ax 3  2  ax   4  2 x  a 

6  3ax  8 x  4a

/ 8 x  6 /   1

8 x  3ax  4a  6 8 x  3ax  4a  6 x  8  3a   4a  6 8  3a  0

8  3a  0

3a  8 a

3a  8

8 3

8 3 4a  6 x 8  3a

a

  8   8 x  8  3      4     6  3   3  a 14 x 0 2 3 4a  6 a x   8  3a 2 2  4a  6   a  8  3a 

8a  12  8a  3a 2 12  3a 2

2 a 4a  6 2  8  3a a a  4a  6   2  8  3a  x

/  2  8  3a 

/ 8a / :3

/  a  8  3a 

4a 2  6a  16  6a

/ 6a

4a 2  16

/:4

a2  4

a2  4

a  2

a  2 8 a    a  2 3

nemá řešení

8 a    a  2 3

x

4a  6 8  3a

Stránka 247


a  3x  a  0  3x  a  x  3 podm.:  3  ax  0  3  ax  x  3  a

2 5  3 x  a 3  ax 2  3  ax   5  3x  a 

/   3x  a  3  ax 

6  2ax  15 x  5a

/ 15 x  6 /   1

15 x  2ax  5a  6 15 x  2ax  5a  6 x 15  2a   5a  6 15  2a  0

15  2a  0

2a  15 a

2a  15

15 2

15 2 5a  6 x 15  2a

a

  15    15  x  15  2      5     6  2   2  a 63 x 0 3 2 5a  6 a x   15  2a 3 3  5a  6   a 15  2a 

15a  18  15a  2a 2 18  2a 2 a2  9 a  3 a

15  a  3 2

nemá řešení

a

15  a  3 2

x

3 a 5a  6 3 /  3 15  2a   15  2a a a  5a  6   3 15  2a 

/  a 15  2a 

/ 15a

5a 2  6a  45  6a

/ 6a

5a 2  45

/ :5

x

/:2

a2  9 a  3

5a  6 15  2a

Stránka 248

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 2.4 Slovní úlohy řešené pomocí lineárních rovnic 1. Polovina zaměstnanců firmy má výuční list, třetina zaměstnanců má maturitu a 26 zaměstnanců vystudovalo vysokou školu. Kolik lidí pracuje ve firmě? Řešení:

1 x 2

Výuční list Maturita

1 x 3

Vysoká škola Celkem

26 x

1 1 x  x  26  x 2 3 3x  2 x  156  6 x

/ 6

5 x  6 x  156  x  156 x  156

Ve firmě pracuje 156 zaměstnanců.

2 3 našetřených peněz. Když v kině utratil 140 Kč, tak mu z jeho peněz zbyly . 3 5 Kolik korun měl naspořeno?

2. Petr si vyzvedl

Řešení: Celkem měl x korun. 2 3 x  140  x 3 5 10 x  2100  9 x x  2100

/ 15

Petr si našetřil 2 100 Kč. 3. Dělník na CNC stroji vyrobí za stejnou dobu čtyřikrát více obrobků než dělník na klasickém soustruhu. Kdyby dělník na CNC vyrobil o 45 kusů méně a dělník na soustruhu o 30 více, vyrobili by oba stejný počet obrobků. O kolik výrobků vyrobí dělník na CNC více, než dělník na klasickém stroji? (CNC – číslicově řízený soustruh). Řešení: CNC Klasický soustruh

4x x

4 x  45  x  30 4 x  x  30  45 3 x  75 x  25

Dělník na CNC stroji vyrobí o 75 výrobků více. Stránka 249

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 4. Učitelka vybrala od dětí 1 200 Kč pomocí 33 mincí o hodnotách 20 Kč a 50 Kč. Kolik bylo dvacetikorunových a kolik padesátikorunových mincí? Řešení: 20 Kč 50 Kč Celkem

x 33  x 1 200 Kč

20 x  50  33  x   1200 20 x  1650  50 x  1200 30 x  1200  1650 30 x  450 x  15 Dvacetikorunových mincí bylo 15 kusů a padesátikorunových bylo 18 kusů. 5. Maminka nakoupila 12 litrů jablečného moštu a 8 litrů rybízového moštu, nákup zaplatila 592 Kč. Rybízový mošt je o 9 Kč dražší než jablečný. Kolik korun stojí litr jablečného moštu? Řešení: Jablečný mošt Rybízový mošt

x Kč/litr  x  9 Kč/litr

12 x  8( x  9)  592 12 x  8 x  72  592 20 x  592  72 20 x  520 x  26

Jablečný mošt stojí 26 Kč. 6. 200 kusů plaveckých brýlí stálo po slevě právě tolik, co 150 kusů těchto brýlí před slevou, která činila 60 Kč. Určete cenu plaveckých brýlí před a po slevě. Řešení: Původní cena Cena po slevě

x Kč  x  60 Kč

150 x  200  x  60  150 x  200 x  12000 50 x  12000 x  240

Cena před slevou byla 240 Kč a po slevě 180 Kč.

Stránka 250

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 7. V pražírně kávy mají pro zákazníka připravit směs Arabiky a Robusty v ceně 380 Kč za jeden kilogram. Skladem mají Robustu, která stojí 320 Kč za jeden kilogram a Arabiku, která stojí 420 Kč za kilogram. Kolik kilogramů každého druhu je třeba, aby připravili 25 kg směsi? Řešení: Celková cena kávy Robusta za 320 Kč Arabika za 420 Kč

25  380  9500 Kč x kg  25  x  kg

320 x  420  25  x   9500 320 x  10500  420 x  9500 320 x  420 x  9500  10500 100 x  1000 x  10 Robusty potřebujeme do směsi 10 kg a Arabiky 15 kg. 8. Do obchodu přivezli 500 jogurtů za 6 640 Kč. Bílý jogurt stojí 12 Kč, ovocný jogurt stojí 16 Kč. Kolik bylo kterých? Řešení: Bílý jogurt Ovocný jogurt Celková cena

x kusů  500  x  kusů 6 640 Kč

12 x  16  500  x   6640 12 x  8000  16 x  6640 12 x  16 x  6640  8000 4 x  1360 x  340 Bílých jogurtů přišlo 34 kusů a ovocných jogurtů 160 kusů. 9. V zámečnické dílně je 18 obráběcích strojů. Nové stroje vyrobí za hodinu 46 obrobků, stroje staršího typu vyrobí za stejnou dobu 28 obrobků. Za směnu se na dílně vyrobí 4896 kusů obrobků. Kolik je na dílně nových strojů? Řešení: 1 hodina Nový stroj Starý stroj Počet nových strojů Počet starých strojů

4896 :8  612 obrobků 46 ks/1 hodinu 28 ks/1 hodinu x

18  x 

Stránka 251

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 46 x  28 18  x   612 46 x  504  28 x  612 46 x  28 x  612  504 18 x  108 x6 Na dílně je 6 nových strojů. 10. Vzdálenost dvou míst je 210 km. Z místa A vyjela dodávka v 6 hodin průměrnou rychlostí 80 km/h. O hodinu a půl později vyjelo naproti z místa B osobní auto pohybující se průměrnou rychlostí 100 km/h. Jak daleko od místa B se obě auta potkají? V kolik hodin se auta potkají? Řešení: Použijeme vzorec pro rychlost rovnoměrně přímočarého pohybu v 

s1  80t  s2  100  t  1,5 

s  s  v t t

s  s1  s2 210  80t  100  t  1,5  210  80t  100t  150 80t  100t  150  210 180t  360 t2 s1  80  2  s1  160 km

s2  100  2  1,5   s2  50 km Auta se potkají v 8 hodin 50 km od místa B. 11. Z Ostravy do Prahy je přibližně 356 km. V 15:00 vyjel z Ostravy vlak RegioJet, který jede průměrnou rychlostí 100 km/h. Ve stejnou dobu vyjel z Prahy vlak Pendolino, který jede průměrnou rychlostí 118 km/h. Za jak dlouho se oba vlaky potkají? Řešení: RegioJet Pendolino

s1  100  t

s2  118  t

s  s1  s2 356  100t  118t 218t  356 t  1, 63  1 h 38 min

Vlaky se potkají přibližně za 1 hodinu a 38 minut.

Stránka 252

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 12. V 10.00 vyjelo z Olomouce nákladní auto průměrnou rychlostí 60 km/h. O hodinu a půl později vyjelo stejným směrem osobní auto jedoucí průměrnou rychlostí 80 km/h. Za jak dlouho a jak daleko dostihne osobní auto náklaďák? Řešení: s  80t  s1  60t  s2  1,5  60 s  s1  s2 80t  60t  90 20t  90 t  4,5 h s  80  4,5  360 km

Osobní auto dostihne nákladní za 4,5 hodiny ve vzdálenosti 360 km od Olomouce. 13. Turista jde rychlostí 5,2 km/h. Za 2 hodiny 15 minut za ním vyjel cyklista jedoucí rychlostí 20 km/h. Za kolik minut dojede cyklista chodce a kolik km při tom ujede? Řešení: 2 hodiny 15 minut = 2,25 h

s  20t  s1  5, 2t  s2  5, 2  2, 25  11, 7 s  s1  s2 20t  5, 2t  11, 7 20t  5, 2t  11, 7 14,8t  11, 7 t  0, 79  47 min s  20  0, 79  15,8 km Cyklista dojede chodce přibližně za 47 minut a ujede 15,8 km. 14. Za cyklistickou výpravou dětí jedoucí rychlostí 15 km/h vyrazilo za 2,5 hodiny auto se svačinou. Jakou průměrnou rychlostí musí jet auto, chce-li děti dostihnout nejpozději za 45 minut? Řešení: Cyklisti Auto

s  15  2,5  15  0,75 s  v  0,75

15  2,5  15  0, 75  v  0, 75 0, 75v  37,5  11, 25 0, 75v  48, 75 v  65

Auto musí jet průměrnou rychlostí 65 km/h.

Stránka 253

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 15. Z přístavu A do přístavu B jel po řece parník plující rychlostí 14 km/h. O dvě hodiny později vyjel z A stejným směrem parník plující rychlostí 22 km/h. Do přístavu B dopluli oba zároveň. Jak daleko je přístav B od A? Řešení: První parník Druhý parník

s  14t  14  2 s  22t

14t  28  22t 8t  28 t  3,5 s  22  3,5  77 km

Přístavy jsou od sebe vzdáleny 77 km. 16. Bazén se naplní velkou hadicí za 4 hodiny, střední hadicí za 9 hodin a malou hadicí za 12 hodin. Za jak dlouho se bazén naplní, pustíme-li všechny hadice současně? Řešení: Čas naplnění

x x 4 x 9 x 12

Velká hadice Střední hadice Malá hadice x x x   1 4 9 12 9 x  4 x  3 x  36

/  36

16 x  36 x  2, 25  2 h 15 min

Bazén se naplní za 2 hodiny 15 minut. 17. Pan A uklidí byt za 7 hodin, pan B uklidí byt za 6 hodin. Protože úklid má být hotov už za 2 hodiny, byl najat ještě pan C. Za jakou dobu by pan C uklidil byt sám? Řešení: Pan A Pan B Pan C

2 7 2 6 2 x

Stránka 254

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 2 2 2   1 7 6 x 12 x  14 x  84  42 x

/  42 x

12 x  14 x  42 x  84 16 x  84 x  5, 25  5 hodin 15 minut Pan C by měl uklizeno za 5 hodin a 15 minut. 18. Vodní nádrž se menším stavidlem vypouští 16 dní a větším stavidlem 12 dní. Kolik dní trvalo vypuštění nádrže, jestliže 3 dny bylo otevřeno pouze menší stavidlo, teprve poté otevřeli i druhé stavidlo. Řešení: Větší stavidlo za x dní společné práce Menší stavidlo za 3 dny samostatné a x dní společné práce x3 x  1 16 12 3 x  9  4 x  48

x 12 x3 16

/  48

7 x  39 x  5,57

Ke společné práci musíme přičíst 3 dny samostatné práce malého stavidla, tj. 3  5,57  8,57 . Nádrž byla vypuštěna za 8,57 dní. 19. Stavební firma Novák postaví základovou desku za 10 dní. Firma Voráč je schopna postavit stejnou desku za 6 dní. Za jak dlouho by firmy společně postavily dvě stejné základové desky? Řešení:

x 10 x 6

Firma Novák Firma Voráč x x  2 10 6 3 x  5 x  60

/ 30

8 x  60 x  7,5

Firmy by postavily dvě základové desky za 7,5 dne společné práce.

Stránka 255

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 20. Sourozenci chtějí vyluxovat celý dům. Janě bude úklid trvat 30 minut, Petrovi ještě o 1 minutu déle. Za jak dlouho po Janě musí začít luxovat i Petr, pokud chtějí být hotovi za 18 minut? Řešení:

18 30 18  x 40

Jana Petr

18 18  x  1 30 40 72  54  3x  120

/ 120

3x  6 x2 Petr musí začít uklízet 2 minuty po Janě. 21. Tři byty mají společné dřevo k topení v krbu. Majitelé prvního bytu by se dřevem vystačili 18 týdnů, majitelé druhého bytu 9 týdnů a majitelé třetího bytu 12 týdnů. Na jakou dobu jim zásoba dřeva vydrží, pokud první dva byty začnou topit zároveň a poslední byt až o 3 týdny později? Řešení:

x 18 x 9 x3 12

1. byt 2. byt 3. byt

x x x 3   1 18 9 12 2 x  4 x  3x  9  36

/ 36

9 x  45 x5 Dřevo vydrží 5 týdnů. 22. Rybník se vyprázdní za 9 dní, jsou-li otevřeny obě výpustě. Je-li otevřena pouze malá výpusť, trvá vypuštění 36 dní. Jak dlouho by se rybník vypouštěl pouze velkou výpustí? Řešení: Větší výpusť

x dní

Stránka 256

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 9 9  1 36 x 9 x  324  36 x

/ 36 x

27 x  324 x  12 Velká výpusť by vypustila rybník za 12 dní. 23. Turistický závod vede z jedné čtvrtiny po rovině, ze tří osmin do kopce, pět šestnáctin se jede v lodi a poslední 2 km na kolečkových bruslích. Jak dlouhá je trasa závodu? Řešení:

1 x 4 3 x 8 5 x 16 2 km

Rovina Kopec Voda Kolečkové brusle

1 3 5 x x x2 x 4 8 16 4 x  6 x  5 x  32  16 x

/ 16

15 x  16 x  32 x  32 Závod měřil 32 km. 24. Sourozenci si rozdělili peníze od babičky za práci na zahradě. Karel si nechal polovinu peněz, Marta dvě třetiny zbytku a Janovi zbylo 50 Kč. Kolik peněz děti od babičky dostali? Řešení:

1 x 2 2 1  x 3 2 50 Kč

Karel Marta Jan 1 1 x  x  50  x 2 3 3x  2 x  300  6 x  300

/ 6

Babička dala dětem 300 korun.

Stránka 257

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 25. Maminka má o 8 let více než je trojnásobek Petrova věku. Za 20 let bude maminka dvakrát starší než Petr. Kolik je jim nyní let? Řešení: Petr Maminka Za 20 let: Petr Maminka

x let

3x  8 x  20

 3x  8  20

2  x  20   3x  28 2 x  40  3x  28 x  12

Petrovi je 12 let a mamince 44 let.

Stránka 258

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 2.5 Soustavy lineárních rovnic 1. V R 2 řešte soustavu rovnic:

2x  3y  2

a)

3x  2 y 

c)

5 6

2 x  3 y  2 b) 5 3x  2 y   6 řešení: a)

2x  3y  2 5 3x  2 y  6 2x  3y  2

2x  3y  2 3x  2 y 

e)

13 6

3x  4 y  2 d)

4x  3y 

f)

7 12

/1

18 x  12 y  5

3y  1

/ :3

8 x  12 y  8

y

/ 6 / 4

/ : 26

13 26 1 x 2 x

2 x  3 y  2 5 3x  2 y   6 2 x  3 y  2

2

25 12

1

1 3

1

řešení:  ;   2 3

/ 6 / 4

 1 2      3 y  2  2 1  3 y  2 3 y  1

8 x  12 y  8

y

18 x  12 y  5 13 x 26 1 x 2

4x  3y 

2 x  3 y  2

18 x  12 y  5

26 x  13

7 12

3x  4 y  2

1  3y  2 2 1 3y  2

26 x  13

4x  3y  

2x  3y  2

18 x  12 y  5

b)

3x  4 y  2

/ : 26

 1  2

řešení:   ;

/1 / :  3

1 3

1 3 

Stránka 259


2x  3y  2

2x  3y  2 3x  2 y 

13 6

2x  3y  2

/ 6 /  4 

18 x  12 y  13

2

1  3y  2 2 1 3y  2

y

/ :10

5 10 1 x 2 x

d)

3x  4 y  2 7 4x  3y  12 3x  4 y  2

/12 / 9

27 x  36 y  18 48 x  36 y  7 75x  25 25 75 1 x 3 x

1

/ : 75

1 3

1

řešení:  ;   3 2

3x  4 y  2 1 3   4y  2 3 1 4 y  2 4y 1 1 y 4

48 x  36 y  7

/ :  3

3 y  1

8 x  12 y  8 18 x  12 y  13 10x  5

/1

1

/1 /:4

1

řešení:  ;  3 4

Stránka 260


3 x  4 y  2 7 4x  3y   12 3 x  4 y  2

3 x  4 y  2

/12 / 9

 1 3      4 y  2  3 1  4 y  2

48 x  36 y  7

4 y  1

27 x  36 y  18

y

48 x  36 y  7 75x  25

/ : 75

f)

 1  3

řešení:   ;

25 x 75 1 x 3

25 12

3x  4 y  2

/12 /  9 

3

y

48 x  36 y  25 7 21 1 x 3

1 4 

1  4y  2 3 1 4 y  2

27 x  36 y  18

x

1 4

/1 / :  4 

4 y  1

48 x  36 y  25

21x  7

/ :  4 

3x  4 y  2

3x  4 y  2 4x  3y 

/1

/ : 21

1

1 4

1

řešení:  ;   4 3

2. V R 2 řešte soustavu rovnic:

a)

2 3 11   2x  y x  2 y 4 3 2 5   2x  y x  2 y 2

2 3 23   3x  2 y 2 x  3 y 30 c) 3 2 13   3x  2 y 2 x  3 y 20

b)

3 2 7   x  2y x  2y 8 2 3   1 x  2y x  2y

4 3 17   3x  2 y 2 x  3 y 10 d) 3 4 11   3x  2 y 2 x  3 y 10

4 3 29   3x  4 y 4 x  3 y 9 e) 3 4 25   3x  4 y 4 x  3 y 6

f)

3 4 1   4 x  5 y 5x  4 y 27 4 3 1   4 x  5 y 5 x  4 y 17

Stránka 261


2 3 11   2x  y x  2 y 4 3 2 5   2x  y x  2 y 2 sub.:

1 1 a  b 2x  y x  2y 1 1 1 1   2x  y x  2y 4

1 1 a  b 2x  y x  2y 11 2a  3b  / 4 4 5 3a  2b  / 2 2 8a  12b  11 6a  4b  5

1 1 2x  y 1 1  x  2y 4 4  x  2 y 2x  y  1

/ 3

x  2 y  4

/ 2

2x  y  1

18a  12b  15 26a  26 / : 26

2 x  4 y  8

a 1

3y  9

/ :3

y3

6a  4b  5

2x  y  1

6 1  4b  5 / : 6

4b  1 / : 4 1 b 4

/ 4  x  2 y 

1  2x  y

8a  12b  11

6  4b  5

/  2 x  y 

2x  3  1

/ 3

2x  4

/:2

x2 řešení:  2; 3

Stránka 262


1 1 a  b x  2y x  2y 1 1 1 1    x  2y 8 x  2y 4

3 2 7   x  2y x  2y 8 2 3   1 x  2y x  2y sub.:

1 1 a  b x  2y x  2y 7 3a  2b   / 8 8 2a  3b  1

1 1  x  2y 8 1 1  x  2y 4

/  12 

24a  16b  7

x  2 y  8 x  2y  4

24a  36b  12 20b  5

2 x  4 x  2

/ : 20

x  2 y  8 2  2 y  8

5 20 1 b 4 2a  3b  1 b

2 y  6 y  3

1 2a  3   1 4 3 2 a   1 4 8a  3  4

/ 3

8a  1

/ :8

a

1 8

/ 4  x  2 y 

8  x  2 y 4  x  2y

24a  16b  7 2a  3b  1

/ 8  x  2 y 

/:2

/ : 2 /:2

/ 4

řešení:  2;  3

Stránka 263


1 1 a  b 3x  2 y 2x  3y 1 1 1 1    3x  2 y 12 2x  3y 5

2 3 23   3x  2 y 2 x  3 y 30 3 2 13   3x  2 y 2 x  3 y 20 sub.:

1 1 a  b 3x  2 y 2x  3y 23 2a  3b   / 30 30 13 3a  2b   / 20 20 60a  90b  23 60a  40b  13

/  1

60a  90b  23

10 50 1 b 5 13 3a  2b   20 1 13 3a  2    5 20 2 13 3a    5 20 60a  8  13 5 60 1 a 12

/ 5  2 x  3 y 

12  3 x  2 y 5  2x  3y 3 x  2 y  12

/ 2

2x  3y  5

/ 3

6 x  9 y  15

/ :  50 

13 y  39

/ :13

y3

b

60a  5

/12  3 x  2 y 

6 x  4 y  24

60a  40b  13 50b  10

1 1  3x  2 y 12 1 1  2x  3y 5

2x  3y  5 2x  3 3  5 2x  9  5 2 x  4

/ : 9 /:2

x  2

/ 20 / 8 / : 60

a

řešení:  2; 3

Stránka 264


1 1 a  b 3x  2 y 2x  3y 1 1 1 1    3x  2 y 2 2 x  3 y 10

4 3 17   3 x  2 y 2 x  3 y 10 3 4 11   3 x  2 y 2 x  3 y 10 sub.:

1 1 a  b 3x  2 y 2x  3y 17 4a  3b  /10 10 11 3a  4b  /10 10 40a  30b  17 / 3 30a  40b  11

/  4 

120a  90b  51

7 b 70 1 b 10 17 4a  3b  10 1 17 4a  3   10 10 3 17 4a   10 10 40a  3  17 40a  20 20 40 1 a 2

/ 2  3 x  2 y  /10  2 x  3 y 

2  3x  2 y 10  2 x  3 y 3x  2 y  2

/ 2

2 x  3 y  10

/  3 

6x  4 y  4

120a  160b  44 70b  7

1 1  3x  2 y 2 1 1  2 x  3 y 10

6 x  9 y  30 / : 70

13 y  26

/ :13

y  2 2 x  3 y  10 2 x  3   2   10 2 x  6  10 2x  4

/ : 6 /:2

x2 /10 / 3 / : 40

a

řešení:  2;  2

Stránka 265


1 1 a  b 3x  4 y 4x  3y 1 1 1    1 3 x  4 y 18 4x  3y

4 3 29   3x  4 y 4 x  3 y 9 3 4 25   3x  4 y 4 x  3 y 6 sub.:

1 1 a  b 3x  4 y 4x  3y 29 4a  3b  / 9 9 25 3a  4b  / 6 6 36a  27b  29 18a  24b  25

/  2 

36a  27b  29

29 4a  3b  9 29 4a  3   1  9 29 4a  3  9 36a  27  29 36a  2

/18  3 x  4 y  /  4 x  3 y 

18  3 x  4 y 1  4 x  3 y 3 x  4 y  18 4 x  3 y  1

/ 4 / 3

12 x  16 y  72

36a  48b  50 21b  21 b  1

1 1  3 x  4 y 18 1  1 4x  3y

12 x  9 y  3

/ : 21

25 y  75

/ :  25 

y  3 4 x  3 y  1 4 x  3   3  1 4 x  9  1

/ 9 /  27

4 x  8

/ 9 / :  4 

x2

/ : 36

2 36 1 a 18 a

řešení:  2;  3

Stránka 266


1 1 a  b 4x  5 y 5x  4 y 1 1 1 1    4 x  5 y 27 5 x  4 y 27

3 4 1   4 x  5 y 5x  4 y 27 4 3 1   4 x  5 y 5 x  4 y 27 sub.:

1 1  4 x  5 y 27 1 1  5 x  4 y 27

1 1 a  b 4x  5 y 5x  4 y 1 3a  4b   /  27 27 1 4a  3b  / 27 27 81a  108b  1 / 4 108a  81b  1

/  3

302a  432b  4

7 189 1 b 27 1 4a  3b  27 1 1 4a  3   27 27 3 1 4a   27 27 108a  3  1

27  4 x  5 y 27  5 x  4 y 4 x  5 y  27

/ 5

5 x  4 y  27

/  4 

/ :  189 

20 x  16 y  108 9 y  27

4 108 1 a 27

/ :  9 

y  3

b

108a  4

/ 27  5 x  4 y 

20 x  25 y  135

302a  243b  3 189b  7

/ 27  4 x  5 y 

4 x  5 y  27 4 x  5   3  27 4 x  15  27 4 x  12

/  15 /:4

x3

/ 27 / 3 / :108

a

řešení: 3;  3

Stránka 267

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 3. V R 3 řešte soustavu rovnic:

2 z  x 3 y  2 x 3z  2 y 7    6 3 12 4 y  2z  x z  2 y  2x 3 a)   4 8 8 5 x  4 y  3z 3  4x  3 y  2z 2 2 y  x 2z  y 2x  z 7    12 6 3 6 2 z  2 x  y 2 y  2 z  3x 29 b)   8 4 8 4x  2 y  z 3  4 y  2x  2z 2 3y  2x 2z  x z  y 13    6 3 12 12 3 x  2 y  z x  y  2 z 13 c)   8 4 4 6x  3y  2z  5 3 y  2x  z 2x  z y  z x  3y 3    3 6 12 4 x  2 y  z y  2x  2z 5 d)   4 8 4 x  2 y  3z 3 x  3y  2z 2x  3 y z  2x y  2z 15    3 6 12 4 3x  2 y  z z  2 y  2 x e)  1 4 8 2x  3y  4z 17  3x  4 y  z 15

f)

2x  3 y z  2x y  2z 15    3 6 12 4 3x  2 y  z z  2 y  2 x  1 4 8 2x  3y  4z 17  3x  4 y  z 15

xz  1 2 xz  5 g) 2  x  y  z   2 x  y 15 2x  y  z    2 2 2 x  y  z 

h)

x  y 17  2 2 xz 2 x  y  z  9 2 x y 9 2 x  y  z   2 2

i)

xz  21 2 x y 2x  y  z    5 2 xz 2 x  y  z  0 2

2  x  y  z  

2  x  y  z  

x y  20 2 x y 2x  y  z   1 2 xz 2x  y  z    6 2

2   x  y  z   j)

k)

x y 31  2 2 xz 1 2 x  y  z   2 2 x  y 13 2 x  y  z   2 2

l)

x  z 21  2 2 xz 41 2x  y  z    2 2 y  z 13 2 x  y  z   2 2

2  x  y  z  

2  x  y  z  

Stránka 268


2 z  x 3 y  2 x 3z  2 y 7    6 3 12 4 y  2z  x z  2 y  2x 3   4 8 8 5 x  4 y  3z 3  4x  3y  2z 2

/ 12 / 8 /  2 4 x  3 y  2 z 

2  2 z  x   4  3 y  2 x    3 z  2 y   21 2  y  2 z  x    z  2 y  2 x   3 2  5 x  4 y  3z   3  4 x  3 y  2 z  4 z  2 x  12 y  8 x  3 z  2 y  21 2 y  4 z  2 x  z  2 y  2 x  3 10 x  8 y  6 z  12 x  9 y  6 z

/   12 x  9 y  6 z 

10 x  14 y  z  21 4 x  4 y  5 z  3 2 x  y  0  y  2 x

y  2x

10 x  14  2 x   z  21

y  2 1 y2

4 x  4  2 x   5 z  3 10 x  28 x  z  21

10 x  14 y  z  21

4 x  8 x  5 z  3 18 x  z  21

z  21  10 x  14 y / 5

z  21  10 1  14  2

12 x  5 z  3

z  21  10  28

90 x  5 z  105

z 3

12 x  5 z  3 102 x  102

/:102

x 1

řešení: 1; 2; 3

Stránka 269


2 y  x 2z  y 2x  z 7    12 6 3 6 2 z  2 x  y 2 y  2 z  3x 29   8 4 8 4x  2 y  z 3  4 y  2x  2z 2

/ 12 / 8 /  2 4 y  2x  2z 

2 y  x  2  2 z  y   4  2 x  z   14 2 z  2 x  y  2  2 y  2 z  3x   29 2  4x  2 y  z   34 y  2x  2z  2 y  x  4 z  2 y  8 x  4 z  14 2 z  2 x  y  4 y  4 z  6 x  29 8 x  4 y  2 z  12 y  6 x  6 z

/   12 y  6 x  6 z 

7 x  4 y  8 z  14 4 x  3 y  6 z  29 14 x  16 y  4 z  0  4 z  16 y  14 x  z   8y  7x  7x  4 y  8    14  2   8y  7x  4x  3y  6    29  2 

35 x  28 y  14 28 y  14  35 x 28 y  14  35 x 14  35 x 28 14  35  2 14  70 84 y   28 28 28 y3 y

7 x  4 y  4  8 y  7 x   14 4 x  3 y  3  8 y  7 x   29 7 x  4 y  32 y  28 x  14 4 x  3 y  24 y  21x  29 35 x  28 y  14 17 x  21 y  29

/ 3 / 4

105 x  84 y  42 68 x  84 y  116 37 x  74

16 y  14 x 8 y  7 x  4 2

8y  7x 2 8  3  7  2 24  14 10 z   2 2 2 z 5 z

/:102

x2

řešení:  2; 3; 5

Stránka 270


3y  2x 2z  x z  y 13    6 3 12 12 3 x  2 y  z x  y  2 z 13   8 4 4 6x  3y  2z  5 3y  2x  z

/ 12 / 8 /  3 y  2 x  z 

2  3 y  2 x   4  2 z  x   z  y  13 3 x  2 y  z  2  x  y  2 z   26 6 x  3 y  2 z  5  3 y  2 x  z  6 y  4 x  8 z  4 x  z  y  13 3 x  2 y  z  2 x  2 y  4 z  26 6 x  3 y  2 z  15 y  10 x  5 z

/   15 y  10 x  5 z 

5 y  7 z  13 x  4 y  3 z  26  x  26  4 y  3 z 4 x  12 y  7 z  0 5 y  7 z  13 4  26  4 y  3 z   12 y  7 z  0 5 y  7 z  13 104  16 y  12 z  12 y  7 z  0 5 y  7 z  13

/ 5

28 y  5 z  104

/ 7

25 y  35 z  65 196 y  35 z  728 221 y  663

/:221

y3 5 y  7 z  13 7 z  13  5 y 7 z  13  5 y 13  5 y z 7 13  5  3 13  15 28 z   7 7 7 z4

x  26  4 y  3z x  26  4  3  3  4 x  26  12  12 x2

řešení:  2; 3; 4 Stránka 271


2x  z y  z x  3y 3    3 6 12 4 x  2 y  z y  2x  2z 5   4 8 4 x  2 y  3z 3 x  3y  2z

/ 12 / 8 /  x  3y  2z

4  2 x  z   2  y  z   x  3 y  9 2  x  2 y  z    y  2 x  2 z   10 x  2 y  3z  3  x  3 y  2 z  8 x  4 z  2 y  2 z  x  3 y  9 2 x  4 y  2 z  y  2 x  2 z  10 x  2 y  3z  3x  9 y  6 z

/   3 x  9 y  6 z 

9 x  5 y  2 z  9  2 z   9  5 y  9 x  z 

9  5 y  9x 2

4 x  5 y  4 z  10 2 x  7 y  3z  0  9  5 y  9x  4x  5 y  4    10 2    9  5 y  9x  2 x  7 y  3  0 2   4 x  5 y  2  9  5 y  9 x   10 3 9  5 y  9x   0 2 4 x  5 y  18  10 y  18 x  10

2 x  7 y 

/ 2 /  18

4 x  14 y  3  9  5 y  9 x   0

22 x  15 y  8 31x  29 y  27

9  5 y  9x 2 9  5  2  9 1 9  10  9 8 z   2 2 2 y4 z

22 x  15 y  8 4 x  14 y  27  15 y  27 x  0

22 x  15 y  8 22 x  15 y  8 15 y  8 x 22 15  2  8 30  8 22 x   22 22 22 x 1

/  27 /  31 /  22

682 x  465 y  248 682 x  638 y  594 173 y  346

/:173

y2

řešení: 1; 2; 4 Stránka 272


2x  3 y z  2x y  2z 15    3 6 12 4 3x  2 y  z z  2 y  2 x  1 4 8 2x  3y  4z 17  3x  4 y  z 15

/ 12 / 8 / 15  3 x  4 y  z 

4  2 x  3 y   2  z  2 x   y  2 z  45 2  3x  2 y  z    z  2 y  2 x   8 15  2 x  3 y  4 z   17  3 x  4 y  z  8 x  12 y  2 z  4 x  y  2 z  45 6x  4 y  2z  z  2 y  2x  8 /  51x  68 y  17 z 

30 x  45 y  60 z  51x  68 y  17 z 12 x  11 y  4 z  45 8x  2 y  z  8  z  8  8x  2 y 81x  113 y  43 z  0 12 x  11 y  4  8  8 x  2 y   45 81x  113 y  43  8  8 x  2 y   0 12 x  11 y  32  32 x  8 y  45 81x  113 y  344  344 x  86 y  0 44 x  19 y  32  45 263 x  27 y  344  0 44 x  19 y  13 263 x  27 y  344

/  32 /  344 /   27  / 19

1188 x  513 y  351 4997 x  513 y  6536 6185 x  6185

/:  6185 

x 1 44 x  19 y  13 19 y  13  44 x 19 y  13  44 x 13  44 x y 19 13  44 1 13  44 57 y   19 19 19 y3

z  8  8x  2 y z  8  8 1  2  3  8  8  6 z6

řešení: 1; 3; 6

Stránka 273


x  2 z 2 y  3z y  2 x 5    3 6 12 3 2 x  2 y  z x  2 y  2 z 19   8 4 4 x  4 y  3z 2  2x  3y  z 7

/ 12 / 8 /  7 2 x  3 y  z 

4  x  2 z   2  2 y  3 z   y  2 x  20 2 x  2 y  z  2  x  2 y  2 z   38 7  x  4 y  3z   2  2 x  3 y  z  4 x  8 z  4 y  6 z  y  2 x  20 2 x  2 y  z  2 x  4 y  4 z  38 7 x  28 y  21z  4 x  6 y  2 z

/  4 x  6 y  2 z 

2 x  3 y  2 z  20 2 y  5 z  38  2 y  38  5 z  y 

38  5 z 2

11x  34 y  19 z  0  38  5 z  2x  3   2 z  20  2   38  5 z  11x  34    19 z  0  2  3  38  5 z   2 z  20 2 11x  17  38  5 z   19 z  0 2x 

/ 2

4 x  114  15 z  4 z  40

4 x  11z  74 11x  104 z  646

38  5 z 2 38  5  6 38  30 8 y   2 2 2 y4 y

11x  646  85 z  19 z  0 4 x  11z  114  40 11x  104 z  646  0

4 x  11z  74 4 x  74  11z 74  11z x 4 74  11 6 74  66 8 x   4 4 4 x2

/  114 /  646 /   11 / 4

44 x  121z  814 44 x  416 z  2584 295 z  1770

/ : 295

z6

řešení:  2; 4; 6 Stránka 274

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy g)

xz  1 2 xz 2  x  y  z    5 2 x  y 15 2x  y  z    2 2 2 x  y  z 

/ 2 /2 / 2

4  x  y  z    x  z   2 4  x  y  z    x  z   10 4   x  y  z    x  y   15 4 x  4 y  4 z  x  z  2 4 x  4 y  4 z  x  z  10 4 x  4 y  4 z  x  y  15 3 x  4 y  5 z  2  3 x  2  4 y  5 z  x 

2  4 y  5 z 3

5 x  4 y  3 z  10 5 x  3 y  4 z  15  2  4 y  5 z  5    4 y  3 z  10 3    2  4 y  5 z  5    3 y  4 z  15 3  

/ 3 / 3

5  2  4 y  5 z   12 y  9 z  30 5  2  4 y  5 z   9 y  12 z  45 10  20 y  25 z  12 y  9 z  30

/  10

10  20 y  25 z  9 y  12 z  45

/  10

32 y  34 z  40

/ 13

29 y  13 z  35

/   34 

416 y  442 z  520 986 y  442 z  1190 570 y  1710

/:  570 

y3 29 y  13z  35 13z  35  29 y 13z  29 y  35 29 y  35 29  3  35 87  35 52    13 13 13 13 z4 řešení:  2; 3; 4 z

2  4 y  5 z 3 2  4  3  5  4 2  12  20 6 x   3 3 3 x2 x

Stránka 275

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy h)

x  y 17  2 2 xz 2 x  y  z  9 2 x y 9 2 x  y  z   2 2

2  x  y  z  

/ 2 /2 / 2

4  x  y  z    x  y   17 4  x  y  z    x  z   18 4 x  y  z   x  y  9 4 x  4 y  4 z  x  y  17 4 x  4 y  4 z  x  z  18 4x  4 y  4z  x  y  9 5 x  3 y  4 z  17  3 y  17  5 x  4 z  y 

17  5 x  4 z 3

3 x  4 y  5 z  18 3x  5 y  4 z  9  17  5 x  4 z  3x  4    5 z  18 3    17  5 x  4 z  3x  5    4z  9 3  

/ 3 / 3

9 x  4 17  5 x  4 z   15 z  54 9 x  5 17  5 x  4 z   12 z  27 9 x  68  20 x  16 z  15 z  54 9 x  85  25 x  20 z  12 z  27

/  68 /  85

11x  31z  122

/  34

34 x  32 z  58

/ 11

374 x  1054 z  4148 374 x  352 z  638 702 z  3510

/:702

z 5 34 x  32 z  58 34 x  32 z  58 32 z  58 x 34 32  5  58 160  58 102 x   34 34 34 x3

17  5 x  4 z 3 17  5  3  4  5 17  15  20 12 y   3 3 3 y4 y


Rovnice, nerovnice a jejich soustavy i)

xz  21 2 x y 2 x  y  z    5 2 xz 2 x  y  z  0 2 2  x  y  z  

/ 2 / 2 / 2

4  x  y  z    x  z   42 4   x  y  z    x  y   10 4 x  y  z   x  z  0 4 x  4 y  4 z  x  z  42 4 x  4 y  4 z  x  y  10 4x  4 y  4z  x  z  0 5 x  4 y  5 z  42 5 x  5 y  4 z  10 3x  4 y  3z  0  3x  3z  4 y  x   3z  4 y  5    4 y  5 z  42  3   3z  4 y  5    5 y  4 z  10  3 

3z  4 y 3

/ 3 / 3

5  3 z  4 y   12 y  15 z  126 5  3 z  4 y   15 y  12 z  30 15 z  20 y  12 y  15 z  126 15 z  20 y  15 y  12 z  30 8 y  30 z  126 35 y  27 z  30

/   35  / 8

280 y  1050 z  4410 280 y  216 z  240 834 z  4170 z 5

/:834

8 y  30 z  126 8 y  30 z  126 30 z  126 8 30  5  126 150  126 24 y   8 8 8 y3 y

3z  4 y 3 3  5  4  3 15  12 3 x   3 3 3 x 1 x


Rovnice, nerovnice a jejich soustavy j)

x y  19 2 x y 2 x  y  z   1 2 xz 2x  y  z    6 2

2   x  y  z  

/ 2 /2 / 2

4   x  y  z    x  y   38 4 x  y  z    x  y  2 4   x  y  z    x  z   12 4 x  4 y  4 z  x  y  38 4 x  4 y  4 z  x  y  2 4 x  4 y  4 z  x  z  12 3 x  5 y  4 z  38  3 x  5 y  4 z  38  x 

5 y  4 z  38 3

5 x  3 y  4 z  2 5 x  4 y  3 z  12  5 y  4 z  38  5    3y  4z  2 3    5 y  4 z  38  5    4 y  3 z  12 3   5  5 y  4 z  38   9 y  12 z  6 5  5 y  4 z  38   12 y  9 z  36

/ 3 / 3 34 y  8 z  184 8 z  184  34 y 8 z  184  34 y

25 y  20 z  190  9 y  12 z  6 25 y  20 z  190  12 y  9 z  36 34 y  8 z  190  6 13 y  29 z  190  36 34 y  8 z  184 13 y  29 z  226

/  190 /  190 /  29 /   8 

184  34 y 8 184  34  4 184  136 48 z   8 8 8 z6 z

986 y  232 z  5336 104 y  232 z  1808 882 y  3528

/:  882 

y4

5 y  4 z  38 3 5  4  4  6  38 20  24  38 6 x   3 3 3 x2 x

řešení:  2; 4; 6

Stránka 278

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy k)

x y 31  2 2 xz 1 2x  y  z   2 2 x  y 13 2 x  y  z   2 2

2  x  y  z  

/ 2 / 2 / 2

4  x  y  z    x  y   31 4  x  y  z    x  z   1 4  x  y  z    x  y   13 4 x  4 y  4 z  x  y  31 4 x  4 y  4 z  x  z  1 4 x  4 y  4 z  x  y  13 5 x  5 y  4 z  31 3 x  4 y  3 z  1  3 x  3 z  4 y  1  x 

3z  4 y  1 3

3 x  3 y  4 z  13  3z  4 y  1  5    5 y  4 z  31 3    3z  4 y  1  3   3 y  4 z  13 3  

/ 3 / 3

5  3 z  4 y  1  15 y  12 z  93 3  3 z  4 y  1  9 y  12 z  39 15 z  20 y  5  15 y  12 z  93 9 z  12 y  3  9 y  12 z  39 5 y  27 z  5  93 21 y  21z  3  39 5 y  27 z  98 21 y  21z  42

/ 5 / 3 /  21 / 5

105 y  567 z  2058 105 y  105 z  210 462 z  1848

/:  462 

z4 5 y  27 z  98 5 y  98  27 z 98  27 z 5 98  27  4 98  108 10 y   5 5 5 y2 y

3z  4 y  1 3 3  4  4  2  1 12  8  1 3 x   3 3 3 x 1 x


Rovnice, nerovnice a jejich soustavy l)

x  z 21  2 2 xz 41 2 x  y  z    2 2 y  z 13 2 x  y  z   2 2 2  x  y  z  

/ 2 / 2 / 2

4  x  y  z    x  z   21 4   x  y  z    x  z   41 4  x  y  z    y  z   13 4 x  4 y  4 z  x  z  21 4 x  4 y  4 z  x  z  41 4 x  4 y  4 z  y  z  13 5 x  4 y  3 z  21  3 z  21  5 x  4 y  z 

21  5 x  4 y 3

5 x  4 y  3 z  41 4 x  5 y  5 z  13  21  5 x  4 y  5 x  4 y  3    41 3    21  5 x  4 y  4x  5 y  5   13 3  

/ 3

5 x  4 y   21  5 x  4 y   41 12 x  15 y  5  21  5 x  4 y   39 5 x  4 y  21  5 x  4 y  41 12 x  15 y  105  25 x  20 y  39 10 x  21  41 37 x  35 y  105  39 10 x  20

/  21 /  105 / :  10 

37 x  35 y  66 x2 37 x  35 y  66 35 y  66  37 x 35 y  66  37 x 66  37 x 35 66  37  2 66  74 140 y   35 35 35 y4 y

21  5 x  4 y 3 21  5  2  4  4 21  10  16 15 z   3 3 3 z 5 z

řešení:  2; 4; 5

Stránka 280

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 2.6 Lineární rovnice s absolutní hodnotou 1. Řešte v R následující rovnice a proveďte zkoušku: a) 2 x  2  1  x  2

d) 2 x  1  3  x  2

b) 2 x  1  2  x  2

e) 2 x  3  2  x  2

c) 2 x  2  3  x  2

f)

řešení: a) nulové body:

x20

1 x  0

x  2

x 1

 ;

I.

2 x  3  1 x  2

2

 2; 1

1;  

x2

x  2

x2

x2

1 x

1 x

1 x

1  x

I.

II.

III.

2 x  2  1 x  2 2   x  2   1  x   2 2 x  4  1  x  2 x  5  2 x  7

/ 5 /  1

x  7   ;  2  má řešení II.

2 x  2  1 x  2 2  x  2   1  x   2 2x  4 1  x  2 3x  3  2 3x  1

II.

/ 3 / :3

1 x     2; 1  má řešení 3 2 x  2  1 x  2 2  x  2    1  x   2 2x  4 1 x  2 x5  2

/ 5

x  3  1;    nemá řešení

1  K  7;   3  Stránka 281

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy Zk:

L1  x1  7  : 2 7  2  1   7   2 5  8  2  5  8  10  8  2

P1  x1  7  : 2

L1  P1

1 1 1  6 3   1 5 4 10 4 6   1 L2  x2    : 2   2  1      2  2     2 3 3 3 3 3 3 3 3 3   3 1  P2  x2    : 2 3 

L2  P2 b) nulové body:

x 1  0

2 x  0

x  1

x2

 ;

I.

1

 1;

2

 2;  

x 1

 x 1

x 1

x 1

2 x

2 x

2 x

2  x

I.

II.

III.

2 x 1  2  x  2 2   x  1   2  x   2 2 x  2  2  x  2 x  4  2 x  6

/ 4 /  1

x  6   ;  1  má řešení II.

2 x 1  2  x  2 2  x  1   2  x   2

II.

2x  2  2  x  2 3x  2 / :3 2 x    1; 2  má řešení 3 2 x 1  2  x  2 2  x  1   2  x   2 2x  2  2  x  2 x42

/ 4

x  2   2;    nemá řešení

Stránka 282

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 2  K  6;  3  Zk:

L1  x1  6 : 2 6  1  2   6   2 5  8  2  5  8  10  8  2

P1  x1  6  : 2

L1  P1 2 2 2 23 62 5 4 10 4 6  L2  x2   : 2  1  2   2  2     2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3  2  P2  x2   : 2 3  L2  P2 c) nulové body:

x20

3 x  0

x  2

x3

 ;

I.

2

 2;

3

 3;  

x2

x  2

x2

x2

3 x

3 x

3 x

3  x

I.

II.

III.

2 x  2  3 x  2 2   x  2  3  x   2 2 x  4  3  x  2 x  7  2 x  9

/ 7 /  1

x  9   ;  2  má řešení II.

2 x  2  3 x  2 2  x  2  3  x   2 2x  4  3  x  2 3x  1  2

/1

3x  1

/ :3

1 x    2; 3  má řešení 3

Stránka 283

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy II.

2 x  2  3 x  2 2  x  2    3  x   2 2x  4  3  x  2 x7  2

/ 7

x  5   3;    nemá řešení

1  K  9;  3  Zk:

L1  x1  9  : 2 9  2  3   9   2 7  12  2  7  12  14  12  2

P1  x1  9  : 2

L1  P1 1 1 1 1  6 9 1 7 8 14 8 6  L2  x2   : 2  2  3   2  2     2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3  1  P2  x2   : 2 3  L2  P2 d) nulové body:

x 1  0

3 x  0

x  1

x3

 ;

I.

1

 1;

3

 3;  

x 1

 x 1

x 1

x 1

3 x

3 x

3 x

3  x

I.

II.

III.

2 x 1  3  x  2 2   x  1   3  x   2 2 x  2  3  x  2 x  5  2 x  7

/ 5 /  1

x  7   ;  1  má řešení

Stránka 284

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 2 x 1  3  x  2

II.

2  x  1   3  x   2 2x  2  3  x  2 3x  1  2

/1

3x  3

/ :3

x  1  1; 3  má řešení II.

2 x 1  3  x  2 2  x  1   3  x   2 2x  2  3  x  2 x5  2

/ 5

x  3   3;    nemá řešení K  7; 1 Zk:

L1  x1  7  : 2 7  1  3   7   2 6  10  2  6 10  12  10  2

P1  x1  7  : 2

L1  P1

L2  x2  1 : 2 1  1  3 1  2 2  2  4  2  2 P2  x2  1 : 2

L2  P2 e) nulové body:

x3 0

2 x  0

x  3

x2

 ;

I.

3

 3;

2

 2;  

x3

x  3

x3

x3

2 x

2 x

2 x

2  x

I.

II.

III.

2 x3  2 x  2 2   x  3   2  x   2 2 x  6  2  x  2 x  8  2  x  10

/ 8 /  1

x  10   ;  3  má řešení Stránka 285


2 x3  2 x  2 2  x  3   2  x   2 2x  6  2  x  2 3x  4  2 3x  2

II.

/ 4 / :3

2 x     3; 2  má řešení 3 2 x3  2 x  2 2  x  3   2  x   2 2x  6  2  x  2 x 8  2

/ 8

x  6   2;    nemá řešení

2  K  10;   3  Zk:

L1  x1  10 : 2 10  3  2   10   2 7  12  2  7  12  14  12  2

P1  x1  10  : 2

L1  P1

2 2 2  9 6   2  7 8 14 8 6   2 L2  x2    : 2   3  2      2  2     2 3 3 3 3 3 3 3 3 3   3 2  P2  x2    : 2 3 

L2  P2 f) nulové body:

x3 0 x  3

1 x  0 x 1

 ;

3

 3; 1

1;  

x3

x  3

x3

x3

1 x

1 x

1 x

1  x

I.

II.

III.

Stránka 286

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 2 x  3  1 x  2

I.

2   x  3  1  x   2 2 x  6  1  x  2 x  7  2

/ 7 /  1

x  9

x  9   ;  3  má řešení II.

2 x  3  1 x  2 2  x  3  1  x   2 2x  6 1  x  2 3x  5  2

/ 5

3 x  3

/ :3

x  1  3; 1  má řešení II.

2 x  3  1 x  2 2  x  3   1  x   2 2x  6 1 x  2 x7  2

/ 7

x  5  1;    nemá řešení K  9;  1 Zk:

L1  x1  9  : 2 9  3  1   9   2 6  10  2  6  10  12  10  2

P1  x1  9  : 2

L1  P1 L2  x2  1 : 2 1  3  1   1  2 2  2  4  2  2 P2  x2  1 : 2

L2  P2 2. Řešte v R následující rovnice a proveďte zkoušku: a) 2 x  3  x  4  2 3  x  0

d)

3x  4  3 x  2  2 3  x  6  0

b)

3x  2  x  3  3 2  x  0

e)

4x  3  x  3  3 2  x  4  0

c)

3x  4  3 x  2  2 3  x  8  0

f)

4x  3  x 1  2 3  x  0


2x  3  0 2x  3 x

x40

3 x  0

x4

x3

3 2 Stránka 287

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy  3  ; 2 

3  ; 3 2

 3;

2x  3

2 x  3

2x  3

2x  3

2x  3

x4

x  4

x  4

x  4

x4

3 x

3 x

3 x

3  x

3  x

I.

II.

III.

IV.

4

 4;  

2x  3  x  4  2 3  x  0

I.

 2 x  3    x  4   2  3  x   0 2 x  3  x  4  6  2 x  0 x7  0 x7  3 x  7   ;  nemá řešení 2  2x  3  x  4  2 3  x  0

II.

 2 x  3    x  4   2  3  x   0 2x  3  x  4  6  2x  0 5 x  13  0 5 x  13 13 5 13  3 x    ; 3  má řešení 5 2 2x  3  x  4  2 3  x  0 x

III.

 2 x  3    x  4   2  3  x   0 2x  3  x  4  6  2x  0 x 1  0 x 1 x  1  3; 4  nemá řešení

IV.

2x  3  x  4  2 3  x  0

 2 x  3   x  4   2  3  x   0 2x  3  x  4  6  2x  0 x  7  0  x  7 x7 x  7   4;    má řešení Stránka 288

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 13 K ; 5

 7 

Zk:

13  13 13 13 26 13  4  5 3  5  13  L1  x1   : 2   3   4  2 3   3  2  5 5 5 5 5 5 5  26  3  5 13  20 15  13 26  15 7 2   2   2  5 5 5 5 5 5 11 7 2 11 7 4   2     0 5 5 5 5 5 5



13   P1  x1   : 0 5  L1  P1

L2  x2  7  : 2  7  3  7  4  2 3  7  14  3  3  2 4  11  3  2  4  11  3  8  0

P2  x2  7  : 0

L2  P2 b) nulové body:

I.

3x  2  0 3x  2 2 x 3

x 3  0

2 x  0

x3

x2

 2  ; 3 

2  ; 2 3

3x  2

3x  2

x 3 2 x

 2;

3

 3;  

3x  2

3x  2

3x  2

x  3

x  3

x  3

x 3

2 x

2 x

2  x

2  x

I.

II.

III.

IV.

3x  2  x  3  3 2  x  0

 3x  2     x  3  3  2  x   0 3x  2  x  3  6  3x  0 x7  0 x7  2 x  7   ;  nemá řešení 3 

Stránka 289

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 3x  2  x  3  3 2  x  0

II.

 3 x  2     x  3  3  2  x   0 3x  2  x  3  6  3x  0 7 x  11  0 7 x  11 11 7 11  2 x    ; 2  má řešení 7 3 3x  2  x  3  3 2  x  0 x

III.

 3x  2     x  3  3  2  x   0 3x  2  x  3  6  3x  0 x 1  0 x  1 x  1   2; 3  nemá řešení

IV.

3x  2  x  3  3 2  x  0

 3x  2    x  3  3  2  x   0 3x  2  x  3  6  3x  0 x  7  0  x  7 x7 x  7   3;    má řešení

11  K   ; 7 7  Zk:

11  11 11 11 33 11  3  7 2  7  11  L1  x1   : 3   2   3  3 2   2  3  7 7 7 7 7 7 7  33  2  7 11  21 14  11 33  14 10 3   3   3  7 7 7 7 7 7 

19 10 3 19 10 9   3     0 7 7 7 7 7 7

11   P1  x1   : 0 7  L1  P1

L2  x2  7  : 3  7  2  7  3  3 2  7  21  2  4  3 5  19  4  3  5  19  4  15  0

P2  x2  7  : 0

L2  P2 Stránka 290

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy c) nulové body:

3x  4  0 3 x  4 4 x 3

x20

3 x  0

x2

x3

 4  ;  3 

 4  ; 2  3

3x  4

3x  4

x2 3 x

 2;

3

 3;  

3x  4

3x  4

3x  4

x  2

x  2

x2

x2

3 x

3 x

3 x

3  x

I.

II.

III.

IV.

3x  4  3 x  2  2 3  x  8  0

I.

 3x  4   3   x  2   2  3  x   8  0 3 x  4  3 x  6  6  2 x  8  0 2 x  12  0 2 x  12 x  6

II.

 4 x  6   ;   má řešení 3  3x  4  3 x  2  2 3  x  8  0

 3x  4   3   x  2   2  3  x   8  0 3x  4  3x  6  6  2 x  8  0 4x  4  0 4x  4 x 1

III.

 4 x  1   ; 2  má řešení  3 3x  4  3 x  2  2 3  x  8  0

 3x  4   3  x  2   2  3  x   8  0 3x  4  3x  6  6  2 x  8  0 2 x  8  0 2 x  8 x4 x  4   2; 3  nemá řešení Stránka 291

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy IV.

3x  4  3 x  2  2 3  x  8  0

 3x  4   3  x  2   2  3  x   8  0 3x  4  3x  6  6  2 x  8  0 2x  4  0 2x  4 x2 x  2   3;    nemá řešení K  6; 1 Zk:

L1  x1  6  : 3   6   4  3 6  2  2 3   6   8  18  4  3 8  2 3  6  8   14  3  8  2 9  8  14  24  2  9  8  14  24  18  8  0

P1  x1  6  : 0

L1  P1

L2  x2  1 : 3 1  4  3 1  2  2 3  1  8  3  4  3 1  2 2  8   7  3 1  2  2  8  7  3  4  8  0 P2  x2  1 : 0

L2  P2 d) nulové body:

3x  4  0 3x  4 4 x 3

x20

3 x  0

x  2

 ;

2

x3

 4  2; 3 

4  ; 3 3

 3;  

3x  4

3x  4

3x  4

3x  4

3x  4

x2

x  2

x2

x2

x2

3 x

3 x

3 x

3 x

3  x

I.

II.

III.

IV.

Stránka 292

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 3x  4  3 x  2  2 3  x  6  0

I.

 3x  4   3   x  2   2  3  x   6  0 3 x  4  3 x  6  6  2 x  6  0 2 x  10  0 2 x  10 x  5 x  5   ;  2  má řešení

II.

3x  4  3 x  2  2 3  x  6  0

 3x  4   3  x  2   2  3  x   6  0 3x  4  3 x  6  6  2 x  6  0 4 x  2  0 4 x  2 1 2 1  4 x     2;  má řešení 2  3 x

III.

3x  4  3 x  2  2 3  x  6  0

 3x  4   3  x  2   2  3  x   6  0 3x  4  3x  6  6  2 x  6  0 2 x  10  0 2 x  10 x5

IV.

4 x  5   ; 3  nemá řešení 3 3x  4  3 x  2  2 3  x  6  0

 3x  4   3  x  2   2  3  x   6  0 3x  4  3x  6  6  2 x  6  0 2 x  2  0 2 x  2 x 1 x  1  3;    nemá řešení

1  K  5;   2  Zk:

L1  x1  5 : 3   5  4  3 5  2  2 3   5   6  15  4  3 3  2 3  5  6   19  3  3  2 8  6  19  9  2  8  6  19  9  16  6  0

Stránka 293

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy P1  x1  5 : 0

L1  P1 1 1 3 1  2  2 1   1  1 L 2  x2    : 3      4  3   2  2 3      6    4  3  2 3  6  2 2 2 2 2   2  2 3  4  2 1  4 3 2 1 3  8 3 6 1  3 2 6 3 2 6 2 2 2 2 2 2 11 3 7 11 9 7 11 9 14 12  3  2  6    2   6      0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2



1  P2  x2    : 0 2  L2  P2 e) nulové body:

I.

4x  3  0 4x  3 3 x 4

x 3  0

2 x  0

x3

x2

 3  ; 4 

3  ; 2 4

4x  3

4 x  3

x 3 2 x

 2;

3

 3;  

4x  3

4x  3

4x  3

x  3

x  3

x  3

x 3

2 x

2 x

2  x

2  x

I.

II.

III.

IV.

4x  3  x  3  3 2  x  4  0

 4 x  3    x  3  3  2  x   4  0 4 x  3  x  3  6  3 x  4  0 2 x  4  0 2 x  4 x  2  3 x  2   ;  má řešení 4 

Stránka 294


4x  3  x  3  3 2  x  4  0

 4 x  3    x  3  3  2  x   4  0 4 x  3  x  3  6  3x  4  0 6 x  10  0 6 x  10 x

10 5  3 6

5 3 x    ; 2  má řešení 3 4 4x  3  x  3  3 2  x  4  0

III.

 4 x  3    x  3  3  2  x   4  0 4 x  3  x  3  6  3x  4  0 20 nemá řešení 4x  3  x  3  3 2  x  4  0

IV.

 4 x  3   x  3  3  2  x   4  0 4 x  3  x  3  6  3x  4  0 2x  4  0 2x  4 x2 x  2   3;    nemá řešení

5  K  2;  3  Zk:

L1  x1  2  : 4   2   3  2  3  3 2   2   4  8  3  5  3 2  2  4   11  5  3 4  4  11  5  3  4  4  11  5  12  4  0

P1  x1  2  : 0

L1  P1 5 5 5 5 20 5  33 23  5  L 2  x2   : 4   3   3  3 2   4  3  3 4 3 3 3 3 3 3 3  20  3  3 5  9 65 20  9 4 1   3 4    3 4  3 3 3 3 3 3 

11 4 1 11 4 11 4 3 12   3  4   1 4      0 3 3 3 3 3 3 3 3 3

5  P2  x2   : 0 3  L2  P2 Stránka 295

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy f) nulové body:

x 1  0

4x  3  0 4 x  3 3 x 4

x  1

x3

1

 3  1;  4 

 3  ; 3  4

 3;  

4x  3

4 x  3

4 x  3

4x  3

4x  3

x 1

 x 1

x 1

x 1

x 1

3 x

3 x

3 x

3 x

3  x

I.

II.

III.

IV.

 ;

I.

3 x  0

4x  3  x 1  2 3  x  0

 4 x  3    x  1  2  3  x   0 4 x  3  x  1  6  2 x  0 x  8  0 x  8 x  8 x  8   ;  1  má řešení

II.

4x  3  x 1  2 3  x  0

 4 x  3   x  1  2  3  x   0 4 x  3  x  1  6  2 x  0 3 x  10  0 3x  10 10 3 10  3 x     1;   nemá řešení 3  4 x

Stránka 296

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 4x  3  x 1  2 3  x  0

III.

 4 x  3   x  1  2  3  x   0 4x  3  x 1  6  2x  0 5x  4  0 5x  4 4 5 4  3 x     ; 3  má řešení 5  4 4x  3  x 1  2 3  x  0 x

IV.

 4 x  3   x  1  2  3  x   0 4x  3  x 1 6  2x  0 x 8  0 x  8 x  8   3;    nemá řešení

4  K  8;  5  Zk:

L1  x1  8 : 4   8  3  8  1  2 3   8   32  3  7  2 3  8   29  7  2 11  29  7  2 11  29  7  22  0

P1  x1  8 : 0

L1  P1 4 4 4 4 16 4  1 5 35  4  L 2  x2   : 4   3   1  2 3   3  2  5 5 5 5 5 5 5  16  3  5 4  5 15  4 16  15 9 11   2   2  5 5 5 5 5 5 

31 9 11 31 9 22   2    0 5 5 5 5 5 5

4  P2  x2   : 0 5  L2  P2

Stránka 297

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 2.7 Lineární nerovnice s absolutní hodnotou 1. Řešte v R následující rovnice a proveďte zkoušku: a) 2 1  x  3 x  2  1 d) 3 2  x  2 x  3  1 b) 3 2  x  2 x  1  1

e) 2 3  x  3 x  1  2

c) 2 3  x  3 x  2  1

f)


1 x  0

x20

x 1

x2

 ; 1

I.

1;

3 1 x  2 x  3  2

2

 2;  

1 x

1 x

1  x

1  x

x2

x  2

x  2

x2

I.

II.

III.

2 1  x  3 x  2  1 2 1  x   3   x  2   1 2  2 x  3 x  6  1 x  4  1 x3 x  3  x   ; 1  x   ; 1

II.

2 1  x  3 x  2  1 2  1  x   3   x  2   1 2  2 x  3 x  6  1 5 x  8  1 5x  7 7 5 7  7 x   x  1; 2  x  1; 5  5 x

Stránka 298


III.

2 1  x  3 x  2  1 2  1  x   3  x  2   1 2  2 x  3x  6  1  x  4  1  x  5 x5 x  5  x   2;    x  5 ;  

x   ; 1    7   7 x  1;  5;     x   ; 5  5   x  5 ;    b) nulové body:

2 x  0

x 1  0

x2

x 1

 ; 1

1;

2

 2;  

2 x

2 x

2 x

2  x

x 1

x 1

x 1

x 1

I.

II.

III.

Stránka 299

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 3 2  x  2 x 1  1

I.

3  2  x   2   x  1  1 6  3x  2 x  2  1 x  4  1  x  3 x  3  x   ; 1  x   ; 1

II.

3 2  x  2 x 1  1 3  2  x   2  x  1  1 6  3x  2 x  2  1 5 x  8  1 5 x  7 7 5 7  7 x   x  1; 2  x  1; 5  5 x

III.

3 2  x  2 x 1  1 3  2  x   2  x  1  1 6  3 x  2 x  2  1 x  4 1 x5 x  5  x   2;    x  5;  

Stránka 300


x   ; 1    7   7 x  1;  5;     x   ; 5  5   x  5 ;    c) nulové body:

3 x  0

x20

x3

x2

 ; 2

I.

 2;

3

 3;  

3 x

3 x

3 x

3  x

x2

x  2

x2

x2

I.

II.

III.

2 3 x 3 x  2 1 2 3  x   3  x  2  1 6  2 x  3x  6  1 x 1 x  1  x   ; 2  x   ; 1

Stránka 301


2 3 x 3 x  2 1 2 3  x   3 x  2  1 6  2 x  3x  6  1 5 x  12  1 5 x  11 11 5 11 11 x  x   2; 3  x  ; 3 5 5 x

III.

2 3 x 3 x  2 1 2  3  x   3  x  2   1 6  2 x  3 x  6  1 x  1 x 1 x  1  x   3;    x   3;  

x   ; 1   11 11  x ; 3   x   ; 1  ;  5 5  x   3;    

Stránka 302

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy d) nulové body:

2 x  0

x 3  0

x2

x3

 ; 2

 2;

3

 3;  

2 x

2 x

2  x

2  x

x 3

x  3

x  3

x 3

I.

II.

III.

3 2  x  2 x 3 1

I.

3  2  x   2   x  3  1 6  3x  2 x  6  1 x  1 x  1 x  1  x   ; 2  x   ;  1

II.

3 2  x  2 x 3 1

3  2  x   2   x  3  1 6  3 x  2 x  6  1 5 x  12  1 5 x  13 13 5 13 13 x  x   2; 3  x  ; 3 5 5 x

Stránka 303

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy III.

3 2  x  2 x 3 1 3  2  x   2  x  3  1 6  3x  2 x  6  1 x 1 x  1  x   3;    x   3;  

x   ;  1   13 13  x ; 3   x   ;  1  ;  5 5  x   3;   

e) nulové body:

3 x  0

x 1  0

x3

x 1

 ; 1

I.

1;

3

 3;  

3 x

3 x

3 x

3  x

x 1

x 1

x 1

x 1

I.

II.

III.

2 3  x  3 x 1  2 2  3  x   3   x  1  2 6  2 x  3x  3  2 x3 2 x  1 x  1  x   ; 1  x   ;  1

Stránka 304


2 3  x  3 x 1  2 2  3  x   3  x  1  2 6  2 x  3x  3  2 5 x  9  2 5 x  7 7 5 7 7 x   x  1; 3  x  ; 3 5 5 x

III.

2 3  x  3 x 1  2 2  3  x   3  x  1  2 6  2 x  3 x  3  2 x  3  2 x  5 x  5 x  5  x   3;    x   3;  

x   ;  1   7 7  x ; 3   x   ;  1  ;   5 5  x   3;    

Stránka 305

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy f) nulové body:

1 x  0

x 3  0

x 1

x3

 ; 1

1;

3

 3;  

1 x

1 x

1  x

1  x

x 3

x  3

x  3

x 3

I.

II.

III.

3 1 x  2 x  3  2

I.

3 1  x   2   x  3  2 3  3x  2 x  6  2 x  3  2 x  5 x  5  x   ; 1  x   ;  5

II.

3 1 x  2 x  3  2

3  1  x   2   x  3  2 3  3 x  2 x  6  2 5x  9  2 5 x  11 11 5 11 11 x  x  1; 3  x  ; 3 5 5 x

Stránka 306

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy III.

3 1 x  2 x  3  2 3  1  x   2  x  3  2 3  3x  2 x  6  2 x3 2 x  1 x  1  x   3;    x   3;  

x   ;  5   11 11  x ; 3   x   ;  5  ;  5 5   x   3;   

Stránka 307

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 2.8 Kvadratické rovnice 2.8.1 Neúplné kvadratické rovnice 1. Řešte v R rovnici: a) 9 x 2  0

b) 5 x 2  0

Řešení: a) 9 x 2  0

x0 b) 5 x 2  0 x0 2. Řešte v N rovnici: a) 7 x 2  0

b) 25x 2  0

Řešení: a) 7 x 2  0

x  0, K   b) 25 x 2  0 x  0, K   3. Řešte v R rovnici: a) x 2  5x  0 b) x 2  9 x  0 c) x 2  27 x  0

d) x  27 x 2  0 e) x 2  8 x  0

Řešení: a) x2  5x  0 x  x  5  0 x1  0, x2  5

K  0;5

b)

x2  9 x  0 x  x  9  0 x1  0, x2  9

K  0;9

c)

x 2  27 x  0 x  x  27   0 x1  0, x2  27

K  0; 27

Stránka 308


x  27 x 2  0 x 1  27 x   0 x1  0, x2 

1 27

 1 K  0;   27  e)

x2  8x  0 x  x  8  0 x1  0, x2  8

K  0; 8

4. Řešte v Z rovnici: a) x  32 x 2  0 Řešení: a)

b) x 2  8 x  0

x  32 x 2  0 x 1  32 x   0 x1  0, x2  K  0

b)

1 32

x2  8x  0 x  x  8  0 x1  0, x2  8

K  0; 8 5. Řešte v N rovnici: a) x 2  5x  0 b) x  27 x 2  0

c) x 2  8 x  0

Řešení: a) x 2  5 x  0

x  x  5  0 x1  0, x2  5

K  5

Stránka 309


x  27 x 2  0 x 1  27 x   0 x1  0, x2 

1 27

K 

c)

x2  8x  0 x  x  8  0 x1  0, x2  8 K 

6. Řešte v R rovnici: a) x 2  16  0 b) 7  7 x 2  0

c) 5x 2  5  0 d) 9x 2  4  0

Řešení: a) x 2  16  0

x 2  16 K  b)

7  7 x2  0 x2  1 x1  1, x2  1 K  1;1

c) 5x 2  5  0

x2  1 x1  1, x2  1 K  1;1

d) 9x 2  4  0 4 x2  9 2 2 x1   , x2  3 3  2 2 K   ;   3 3

7. Řešte v N rovnici: a) 3x 2  27  0

b) 5  x 2  0

Stránka 310

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy Řešení: a) 3x 2  27  0

x2  9 x1  3, x2  3 K  3

b)

5  x2  0 x2  5 x1   5, x2  5 K 

8. Řešte v R rovnici: a) 2x 2  7  0 b) 7 x 2  14  0

c) 6x 2  3x  0 d) 9x 2  x  0

Řešení: a) 2x 2  7  0

7 2 K 

x2  

b) 7 x 2  14  0 x2  2 x1   2, x2  2



K   2; 2

c)



6x 2  3 x  0 3x(2 x  1)  0 x1  0, x2 

1 2

1  K   ;0  2  d)

9x 2  x  0 x  9 x  1  0 1 x1   , x2  0 9  1  K   ;0   9 

Stránka 311

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 9. Řešte v R rovnici: 2x 2 a)  2x  0 4 b) x 2  x Řešení: a)

c)

6 x 2  3x  0

2x 2  2x  0 4 1  x x  2  0 2  x1  0, x2  4 K  0; 4

b) x 2  x

x2  x  0 x  x  1  0 x1  0, x2  1

K  0;1

6 x 2  3x  0

c)

x





6x  3  0

x1  0, x2 

3 1 2   2 6 2

2   K  0;   2  10. Řešte v R rovnici: a) x 2  25  0 b) 2x 2  3  0

c) 25x 2  49 x  0

Řešení: a) x 2  25  0

x 2  25 K  b)

2x 2  3  0 x2  

3 2

K 

Stránka 312

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy c) 25x 2  49 x  0 49 x2  25 7 7 x1   , x2  5 5  7 7 K   ;   5 5 11. Řešte v R rovnici: a) 3x  9 x 2  0 b) 2x 2  50  0

c) 3x 2  9  0 d) 6x 2  0

Řešení: a) 3x  9 x 2  0

3x 1  3 x   0 x1  0, x2  

1 3

 1  K   ;0   3  b)

2x 2  50  0 2  x 2  25   0 x 2  25 K 

c)

3x 2  9  0 3  x 2  3  0 x1   3, x2  3



K   3; 3



d) 6x 2  0

x2  0 K  0

Stránka 313

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 12. Řešte v N rovnici: a) 3x  9 x 2  0

b) 3x 2  9  0

Řešení: a) 3x  9 x 2  0 3x 1  3 x   0 x1  0, x2  

1 3

K 

b)

3x 2  9  0 3  x 2  3  0 x1   3, x2  3 K 

Stránka 314

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 2.8.2 Úplné kvadratické rovnice 1. Řešte v R rovnici: a) x 2  7 x  10  0 b) x 2  5x  6  0

c) x 2  4 x  5  0 d) x 2  7 x  18  0

Řešení: a) x 2  7 x  10  0

 x  2  x  5  0 x1  2, x2  5

K  5; 2

b)

x2  5x  6  0

 x  3 x  2   0 x1  2, x2  3

K  2;3

c)

x2  4x  5  0

 x  5 x  1  0 x1  1, x2  5

K  1;5

d)

x 2  7 x  18  0

 x  2  x  9   0 x1  9, x2  2

K  9; 2

2. Řešte v R rovnici: a) x 2  7 x  18  0 b) x 2  7 x  12  0

c) x 2  8x  16  0 d) x 2  5x  14  0

Řešení: a) x 2  7 x  18  0

 x  2  x  9   0 x1  2, x2  9

K  2;9

b)

x 2  7 x  12  0

 x  3 x  4   0 x1  3, x2  4

K  3; 4

Stránka 315


x 2  8 x  16  0

 x  4  x  4   0 x1,2  4 K  4

d)

x 2  5 x  14  0

 x  2  x  7   0 x1  7, x2  2

K  7; 2

3. Řešte v R rovnici: a) x 2  3x  18  0 b) x 2  11x  30  0

c) x 2  14 x  48  0 d) x 2  6 x  27  0

Řešení: a) x 2  3 x  18  0

 x  6  x  3  0 x1  6, x2  3

K  6;3

b)

x 2  11x  30  0

 x  5 x  6   0 x1  5, x2  6

K  6; 5

c)

x 2  14 x  48  0

 x  6  x  8  0 x1  6, x2  8

K  6;8

d)

x 2  6 x  27  0

 x  9  x  3  0 x1  3, x2  9

K  3;9

Stránka 316

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 4. Řešte v R rovnici: a) 2x 2  11x  14  0 b) 4x 2  4 x  1  0 Řešení: a) 2x 2  11x  14  0

D  121  4  2 14  9 11  3 11  3 7 x1   2, x2   4 4 2 7  K   ; 2 2  b) 4x 2  4 x  1  0

D  16  4  4 1  0 4 1 x1,2   8 2 1  K   2 5. Řešte v R rovnici: a) 2x 2  3x  2  0

b) 3x 2  5x  3  0

Řešení: a) 2x 2  3 x  2  0

D  9 + 4  2  2 = 25 3  5 1 3  5 x1   , x2   2 4 2 4  1 K  2;  2  b) 3x 2  5 x  3  0

D  25  4  3  3 =  11 K 

Stránka 317

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 6. Řešte v R rovnici: a) x 2  x  1  0

b) 8x 2  10 x  3  0

Řešení: a) x 2  x  1  0

D  1 + 4 1 1 = 5 1 5 1 5 , x2  2 2 1  5 1  5  K  ;  2   2 x1 

b) 8x 2  10 x  3  0

D  100  4  8  3 = 4 10  2 1 10  2 3 x1   , x2  = 16 2 16 4 1 3  K  ;  2 4 7. Řešte v R rovnici: a) 3x 2  6 x  45  0

b) 3x2  25x  8  0

Řešení: a) 3x 2  6 x  45  0 D  36 + 4  3  45 = 36 + 540 = 576

6  24 6  24  5, x2  3 6 6 K  5;3 x1 

b) 3x 2  25 x  8  0

D  625  4  3  8 = 529 25  23 1 25  23 x1   , x2  8 6 3 6 1  K   ;8 3 

Stránka 318

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 8. Řešte v N rovnici: a) 3x2  14 x  5  0

b) 16 x 2  24 x  9  0

Řešení: a) 3x 2  14 x  5  0

D  196 + 4  3  5 = 196 + 60 = 256 14  16 14  16 1  5, x2   6 6 3 K  b) 16 x 2  24 x  9  0 x1 

D  576  4 16  9 = 576  576 = 0 24  0 3  32 4 K 

x1,2 

9. Řešte v Z rovnici: a) x2  2 x  5  0

b) 3x2  4 x  2  0

Řešení: a) x 2  2 x  5  0

D  4  4  5 =  16 K  b) 3x  4 x  2  0 D  16 + 4  3  2 = 40 2

4  40 4  2 10 2  10  = 6 6 3 K 

x1,2 

10. Řešte v R rovnici: a)  x  x2 – 2  0 b) 5x2 – 18x  8

c) 4 x2  17 x  15

Řešení: a)  x  x 2 – 2  0

x2  x  2  0 D  1 8  9 1  3 2 1 3 4 x1    1; x1   2 2 2 2 2 K  1; 2

Stránka 319


5 x 2 – 18 x  8 5 x 2  18 x  8  0 D  324  160  484 18  22 4 18  22 40 x1    0, 4; x1   4 10 10 10 10 K  0, 4; 4

c)

4 x 2  17 x  15 4 x 2  17 x  15  0 D  289  240  529 17  23 6 17  23 40 x1    0, 75; x1   5 8 8 8 8 K  0, 75;5

11. Řešte v Z rovnici:









a) x  x  3  3   x  1  x  3  0 b)

x 2  5 x  11 5  x 2  7 x  17 7

Řešení: a) x  x  3  3   x  1  x  3  0









x2  x 3  x 3  3  x  3  0



 3  1  0

x2  x 2 3  1  0



x x2

x1  0, x2  2 3  1

K  0 b)

x 2  5 x  11 5  x 2  7 x  17 7 7  x 2  5 x  11  5  x 2  7 x  17  7 x 2  35 x  77  5 x 2  35 x  85 2x2  8 x2  4 x1  2, x2  2

K  2; 2

Stránka 320

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 12. Řešte v R rovnici: a) b)

 x – 2   x – 9   x –11 2 2 2  x – 3 +  x – 4   x – 7   1 2

2

2

c)

1 1 4  2  x  x x  x x  x  2

d)

x2 3x 2  x  9 x  2 1   x2 3x 2  12 x2

Řešení: a)

2

 x – 2   x – 9 2

2

  x –11

2

x 2  4 x  4  x 2  18 x  81  x 2  22 x  121 x 2  36  0

 x  6  x  6   0 x1  6, x2  6

K  6;6

b)

 x – 3   x – 4  2

2

  x – 7   1 2

x 2  6 x  9  x 2  8 x  16  x 2  14 x  49  1 x 2  25  0

 x  5 x  5  0 x1  5, x2  5

K  5;5

c)

1 1 4  2  x  x x  x x  x  2 2

x 2  3x  2  x 2  x  2  4 x 2  4 0 x  x  1 x  1 x  2  2 x 2  4 x  4  0 2  x 2  2 x  2   0 D  4  4  2  12 x1  1  3, x2  1  3



K  1  3, 1  3



Stránka 321

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy x2 3x 2  x  9 x  2 1   x2 3x 2  12 x2 2 2 2 2 3x  12 x  12  3x  12  3x  x  9  3x  12 x  12 0 3  x  2  x  2 

d)

 x  27  0 x  27 K  27

13. V R řešte rovnice: 3x  2 2 x  1 24 x  7 a)   2 x  4 x  3 x  x  12 2 x  1 3x  2 12 x  4 b)   2 x  2 x  4 x  2x  8 3x  4 2 x  3 5 x  4 c)   x2 x  3 x2  x  6 3x  4 2 x  3 2 x  18 d)   2 x2 x 3 x  x 6

2 x  3 3x  4 2 x  18   2 x3 x 1 x  2x  3 4x  3 2x  5 3x  17 f)   2 x 1 x2 x  x2 2x  5 4x  3 8 x  5 g)   2 x5 x  2 x  3x  10

e)

řešení: a)

3x  2 2 x  1 24 x  7   2 x  4 x  3 x  x  12 3x  2 2 x  1 24 x  7   x  4 x  3  x  4  x  3

podm.: x  4, x  3 /  x  4  x  3 

 3x  2    x  3   2 x  1 x  4   24 x  7

3 x 2  9 x  2 x  6   2 x 2  8 x  x  4   24 x  7 3 x 2  9 x  2 x  6  2 x 2  8 x  x  4  24 x  7

x 2  20 x  2  24 x  7

/  24 x  7

x  4x  5  0 2

x1,2 

  4  

 4 

2

2 1

 4 1   5 



4  16  20 4  36   2 2

46 2 4  6 10 x1   5 2 2 4  6 2 x2    1 2 2 

K  1; 5

Stránka 322

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy Zk: 3  5  2 2  5  1 15  2 10  1 17 9 17  8  9 136  9 127         54 53 1 8 1 8 8 8 8 24  5  7 120  7 127 P1  x1  5 : 2   5  5  12 25  5  12 8 L1  x1  5 :

L1 = P1 3   1  2 2   1  1 3  2 2  1 1 3 1 3 1 2  3  5 2  15           1  4 1  3 5 2 5 2 5 2 10 10 17  10 24   1  7 24  7 17 17 P2  x2  1 :    2  1   1  12 1  1  12 10 10

L2  x2  1 :

L2 = P2 b)

2 x  1 3x  2 12 x  4   2 x  2 x  4 x  2x  8 2 x  1 3x  2 12 x  4   x  2 x  4  x  2  x  4 

podm.: x  2, x  4 /  x  2  x  4 

 2 x  1   x  4    3x  2  x  2   12 x  4

2 x 2  8 x  x  4   3 x 2  6 x  2 x  4   12 x  4 2 x 2  8 x  x  4  3x 2  6 x  2 x  4  12 x  4  x 2  17 x  12 x  4

/  12 x  4

 x2  5x  4  0 /   1

x2  5x  4  0 x1,2 

  5  

 5 2 1

2

 4 1  4



5  25  16 5  9   2 2

53 2 53 8 x1   4 2 2 53 2 x2   1 2 2 

K  1; 4 Zk:

L1  x1  4  :

2  4  1 3  4  2 8  1 12  2 9 10 9 5 9  2  5 18  5 13           42 44 2 8 2 8 2 4 4 4 4

Stránka 323

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy P1  x1  4  :

12  4  4 48  4 52 13    4  2  4  8 16  8  8 16 4 2

L1 = P1 2 1  1 3 1  2 2  1 3  2 3 1 3 1 3  5  1 15  1 16           1 2 1 4 1 5 1 5 1 5 5 5 5 12 1  4 12  4 16 16 P2  x2  1 : 2    1  2 1  8 1  2  8 5 5 L2 = P2 L2  x2  1 :

c)

3x  4 2 x  3 5 x  4   2 x2 x 3 x  x 6 3x  4 2 x  3 5 x  4   x2 x  3  x  2  x  3

podm.: x  2, x  3 /  x  2  x  3

 3x  4    x  3   2 x  3 x  2   5 x  4

3 x 2  9 x  4 x  12   2 x 2  4 x  3 x  6   5 x  4

3 x 2  9 x  4 x  12  2 x 2  4 x  3x  6  5 x  4 x 2  6 x  6  5 x  4

/  5 x  4

x2  x  2  0 x1,2 

  1 

 1

2

2 1

 4  1   2 



1 1 8 1 9   2 2

1 3 2 1 3 4 x1   2 2 2 1  3 2 x2    1 2 2 

K  1; 2 Zk:

L1  x1  2  :

3  2  4 2  2  3 6  4 4  3 10 1 5 1 5  1 2 5  2 7           22 23 4 1 2 2 2 4 1 2 1

P1  x1  2  :

5  2  4 10  4 14 14 7     22  2  6 4  2  6 4 4 2

L1 = P1 3   1  4 2   1  3 3  4 2  3 1 5 1 5 1 4  5 4  5 1           1  2 1  3 1 4 1 4 1 4 4 4 4 5   1  4 54 1 1 P2  x2  1 :    2  1   1  6 1  1  6 4 4

L2  x2  1 :

Stránka 324

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy L2 = P2 d)

3x  4 2 x  3 2 x  18   2 x2 x 3 x  x 6 3x  4 2 x  3 2 x  18   x2 x  3  x  2  x  3

podm.: x  2, x  3 /  x  2  x  3

 3x  4    x  3   2 x  3 x  2   2 x  18

3 x 2  9 x  4 x  12   2 x 2  4 x  3x  6   2 x  18 3 x 2  9 x  4 x  12  2 x 2  4 x  3 x  6  2 x  18

x 2  6 x  6  2 x  18

/  2 x  18

x 2  8 x  12  0 x1,2 

  8  

 8

2 1 8 4  2 8  4 12 x1   6 2 2 84 4 x2   2 2 2

2

 4 112



8  64  48 8  16   2 2

K  2; 6 Zk:

L1  x1  6  :

3  6  4 2  6  3 18  4 12  3 22 9 11 11  3  4 11  12 1       3    62 63 8 3 4 4 4 8 3 4

P1  x1  6  :

2  6  18 12  18 6 6 1     2 6  6  6 36  6  6 24 4 24

L1 = P1 L2  x2  2  :

3  2  4 2  2  3 6  4 4  3 10 1 5 1 5  1 2 5  2 7           22 23 4 1 2 2 2 4 1 2 1

P2  x2  2  :

2  2  18 4  18 14 14 7     2 2  2  6 4  2  6 4 4 2

L2 = P2

Stránka 325


2 x  3 3x  4 2 x  18   2 x3 x 1 x  2x  3 2 x  3 3x  4 2 x  18   x3 x  1  x  3 x  1

podm.: x  3, x  1 /  x  3 x  1

 2 x  3   x  1   3x  4  x  3  2 x  18

2 x 2  2 x  3 x  3   3 x 2  9 x  4 x  12   2 x  18

2 x 2  2 x  3x  3  3 x 2  9 x  4 x  12  2 x  18  x 2  4 x  9  2 x  18  x 2  6 x  27  0

/  2 x  18 /   1

x 2  6 x  27  0 x1,2 

6  62  4 1  27 

2 1 6  12  2 6  12 6 x1   3 2 2 6  12 18 x2    9 2 2

K  9; 3



6  36  108 6  144   2 2

Zk:

L1  x1  3 :

2 3  3 33  4 6  3 9  4 9 5 3 5 3  5 2            1 33 3 1 6 2 2 6 2 2 2 2

P1  x1  3 :

2  3  18 6  18 12 12     1 3  2  3  3 9  6  3 12 12 2

L1 = P1 2   9   3 3   9   4 18  3 27  4 15 31 5 31 5  5  31          9  3 9  1 6 10 10 6 10 2 10

L 2  x2  9  : 

P2  x2  9  :

25  31  6 3   10 5 10

2   9   18

 9 

2

 2   9   3



18  18  36 3   81  18  3 5 60

L2 = P2

Stránka 326


4x  3 2x  5 3 x  17   2 x 1 x2 x x2 4x  3 2x  5 3 x  17   x 1 x  2  x  1 x  2 

podm.: x  1, x  2 /  x  1 x  2 

 4 x  3   x  2    2 x  5 x  1  3x  17

4 x 2  8 x  3 x  6   2 x 2  2 x  5 x  5   3 x  17 4 x 2  8 x  3 x  6  2 x 2  2 x  5 x  5  3 x  17

2 x 2  2 x  1  3 x  17

/  3 x  17

2 x 2  5 x  18  0 x1,2 

  5  

 5

2

 4  2   18 

22 5  13  4 5  13 18 9 x1    4 2 4 5  13 8 x2    2 4 4



5  25  144 5  169   4 4

9  K  2;  2 

Zk: 4

9 3 2

2

9 5 2

29  3 95 18  3 4 21 4 21 2 4 2             9 9 9  1 2 9  2  2 9  2 9  4 11 5 1 11 1 5 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 42 8 42  5  8 11 210  88 122      11 5 55 55 55 9 27 27  17  2 27  34 61 3   17  17 9 61 4 61 2  2 2 2 P1  x1   :  2    2      2 81 9 8 1  9  2  2  4 81  18  8 55 2 9 9 2 55 1 55   2    2 4 2 4 4 4 2 2

9  L1  x1   : 2 



122 55

L1 = P1 4   2   3 2   2   5 8  3 4  5 5 9 5 9 5  4  9          2  1 2  2 1 4 1 4 1 4 4 20  9 11   4 4

L2  x2  2  :

Stránka 327

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy P2  x2  2  :

3   2   17

 2    2   2 2



6  17 11  422 4

L2 = P2 g) 2x  5 4x  3 8 x  5   2 x5 x  2 x  3x  10 2x  5 4x  3 8 x  5   x5 x  2  x  5  x  2 

podm.: x  5, x  2 /  x  5  x  2 

 2 x  5   x  2    4 x  3 x  5   8 x  5

2 x 2  4 x  5 x  10   4 x 2  20 x  3x  15   8 x  5 2 x 2  4 x  5 x  10  4 x 2  20 x  3x  15  8 x  5 2 x 2  16 x  5  8 x  5 2 x 2  8 x  0

/ 8 x  5 / :  2 

x2  4 x  0 x  x  4  0 x1  0 x2  4

K  4; 0 Zk:

2   4   5 4   4   3 8  5 16  3 3 19 3 19 3  6  19          4  5 4  2 1 6 1 6 1 6 6 18  19 37   6 6 8   4   5 32  5 37 37 P1  x1  4  :    2 6  4   3   4   10 16  12  10 6

L1  x1  4  :

L1 = P1 2  0  5 4  0  3 0  5 0  3 5 3 3 1 2  3       1   05 02 5 2 2 2 5 2 23 1   2 2 8  0  5 05 5 1 P2  x2  0  : 2    0  3  0  10 0  0  10  10 2 L2  x2  0  :

L2 = P2

Stránka 328

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 2.8.3 Viétovy vztahy 1. Pomocí Viétových vztahů řešte: Je dána kvadratická rovnice x2  9 x  2142  0 , jejíž jeden kořen je 51. Určete druhý kořen, aniž byste rovnici řešili pomocí diskriminantu. Řešení: x 2 – 9 x – 2142  0

x1  x2  9  x2  51  9  x2  42 2. Pomocí Viétových vztahů řešte: Je dána kvadratická rovnice x2  11x  2132  0 , jejíž jeden kořen je 41. Určete druhý kořen, aniž byste rovnici řešili pomocí diskriminantu. Řešení: x 2  11x – 2132  0

x1  x2  11  x2  41  11  x2  52 3. Rozložte pomocí Viétových vztahů kvadratickou rovnici x2  9 x  22  0 a určete její kořeny. Řešení: x 2 – 9 x – 22  0

x1  x2  9  x1  x2  22

 x  11 x  2   0 x1  11; x2  2

4. Rozložte pomocí Viétových vztahů kvadratickou rovnici x2  10 x  24  0 a určete její kořeny. Řešení: x 2 –10 x  24  0

x1  x2  10  x1  x2  24

 x  6  x  4   0 x1  6; x2  4

1 5. Napište kvadratickou rovnici, která má kořeny x1  3 , x2   . 3 Řešení:

 1  10  x1  x2  3      3  10  3 2 2   x  x  1  0  3x  10 x  3  0 3  1  x1 x2  3     1   3 

Stránka 329

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 6. Určete v rovnici 2 x2  bx  51  0 číslo b tak, aby jeden kořen této rovnice byl 0,5 . Řešení: 2 x 2  bx  51  0

b 2 51 x1   0,5    x1  51; 2 x1  0,5 

     b  2 x1 +1=  2  51  1  101  b  101   

7. Určete v rovnici ax2  15x  7  0 číslo a tak, aby jeden kořen této rovnice byl 7. Řešení: ax 2  15 x  7  0 15 a 7 x1  7   x1  a x1  7 

  15 14  1 7a  2  7   1 a a a a 

8. Sestavte rovnici, která má kořeny o 2 menší než jsou kořeny rovnice x 2  2 x  1 0 , aniž rovnici řešíte. Řešení: x1/  x2 /  x1  2  x2  2  x1  x2  4  2  4  2  b  2 x1/  x2 /   x1  2    x2  2   x1 x2  2 x2  2 x1  4  1  2  2  4  1  c x2  2 x 1  0

9. Je dána rovnice x2  8x  7  0 . Napište rovnici, která má kořeny pětkrát větší než kořeny dané rovnice. Řešení:

x2  8x  7  0

 x  7  x  1  0 x1  7; x2  1

 x  35 x  5  0 x 2  40 x  175  0

10. Je dána rovnice x2  8x  7  0 . Napište rovnici, která má kořeny o pět větší, než kořeny dané rovnice. Řešení:

x2  8x  7  0

 x  7  x  1  0 x1  7; x2  1

 x  12  x  6   0 x 2  18 x  72  0

Stránka 330

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 11. Sestrojte kvadratickou rovnici, jejíž kořeny jsou dvakrát menší, než kořeny kvadratické rovnice: x2  2 x  24  0 . Řešení: x 2  2 x  24  0

 x  4  x  6   0 x1  4; x2  6

 x  2  x  3  0 x2  x  6  0

12. Sestrojte kvadratickou rovnici, jejíž kořeny jsou dvakrát větší než kořeny kvadratické rovnice: x2  2 x  24  0 . Řešení: x 2  2 x  24  0

 x  4  x  6   0 x1  4; x2  6

 x  8 x  12   0

x 2  4 x  96  0 13. Rozložte na součin: a) 3x2  10 x  3 b) 3x2  4 x  2 Řešení: a)

c) 2 x 2  5x  3 d) 2 x2  5x  5

3 x 2  10 x  3 x2 

10 3 x 0 3 3 x1  x2  

10 3

x1  x2  1; x1 

1 10 10   ; x12  1  x1  0 x1 3 3

100 100  36 64  4 1 1   9 9 9 10 8 10 8     1 x1  3 3  3; x2  3 3   2 2 3 1  3 x 2  10 x  3  3  x  x1  x  x2   3  x  3  x     x  3 3x  1 3  D

Stránka 331

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy b) 3x 2  4 x  2  3  x  x1  x  x2 

D  16  4  3  2  16  24  8 nelze rozložit c) 2 x 2  5 x  3

D  25  4  2  3  1 5 1 3 5 1 x1   ; x2  1 4 2 4 3  2 x 2  5 x  3   x    x  1   2 x  3 x  1 2  d) 2 x 2  5 x  5

D  25  4  2  5  15 nelze rozložit 14. Napište kvadratickou rovnici, která má kořeny x1  15 , x2  1 . Řešení: x1  x2  15  1  14 2   x  14 x  15  0   x  15 x  1  0 x1  x2  15 1  15  15. V rovnici 4 x 2  8x  c  0 určete c tak, aby pro kořeny x1 , x2 platilo: x1  x2  1. Řešení: x1  x2  2  1 3   x2  1  x2  2  2 x2  1  x2   x1  x1  x2  1  2 2 1 3 3 x1  x2     c  3 2 2 4 16. Rovnice x2  3x  q  0 má jeden kořen x1  1 . Vypočtěte druhý kořen a q. Řešení:

x1  x2  1  x2  3  x2  4 x1  x2  1 4  4  q  4 x 2  3x  4  0

 x  1 x  4   0 17. Je dána rovnice x2  4 x  7  0 . Napište rovnici, která má kořeny třikrát větší než jsou kořeny dané rovnice. Bez výpočtu kořenů. Řešení: x1´ x2´ 3x1  3x2  3  x1  x2   3  4  12   2   x  12 x  63  0 x1´x2´ 3x1  3x2  9 x1  x2  9   7   63   Stránka 332

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 18. Je dána rovnice x 2  4 x  7  0 . Napište rovnici, která má kořeny o pět větší než jsou kořeny dané rovnice. Bez výpočtu kořenů. Řešení: x1´ x2´ x1  5  x2  5  10  x1  x2  10  4  14

x1´x2´  x1  5   x2  5   x1 x2  5 x1  5 x2  25  7  25  5  x1  x2   18  5  4  38 x 2  14 x  38  0

19. Je dána rovnice x 2  6 x  8  0 . Napište rovnici, jejíž kořeny jsou převrácená čísla ke kořenům dané rovnice. Bez výpočtu kořenů. Řešení:

x1´ x2 ´ x1´ x2 ´

1 1 x2  x1 6     x1 x2 x1 x2 8

1 1 1   x1 x2 8

3 4  3 1 2 2   x  x   0  8x  6 x  1  0 4 8  

Stránka 333

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 2.9 Kvadratické nerovnice 1. Řešte v R nerovnici: a) x 2  2 x  0

c) x 2  2 x  2  0

b) x 2  3x  4  0

d) 6 x 2  x  15  0

Řešení: a) x 2  2 x  0

x  x  2  0 1. způsob řešení:

 ;0 

0; 2

 2; 

+

-

+

K  0;2 2. způsob řešení:  x  0  x  2  0   x  0  x  2  0

 x  0  x  2   x  0  x  2 K  0; 2

b)

x 2  3x  4  0

 x  1 x  4   0 1. způsob řešení:

 ; 4   4;1 1; 

+

-

+

K   ; 4   1;  

2. způsob řešení  x 1  0  x  4  0   x 1  0  x  4  0

 x 1  x  4    x  1  x  4  K   ; 4   1;   c)

x2  2x  2  0 x2  2x  1 1  2  0

 x  1

2

1  0 KR

Stránka 334

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 6 x 2  x  15  0

d)

D  1  4  6   15   361 1  361 1  19  12 12 5 3 x1   ; x2  3 2 5  3  6 x   x    0 3  2  x1,2 

5 3 5   ;    ; 3 3 2 

+

3   ; 2 

-

+

5 3 K  ; 3 2 2. Řešte v R nerovnici: a) 32 x  16 x2 – 7  0 b) 15x2  17 x – 42  0 Řešení: a)

c) 5x 2  3x  2  0

32 x  16 x 2 – 7  0 16 x 2  32 x  7  0 D  1024  448  576

32  24 56 14 7    32 32 8 4 32  24 8 1 x2    32 32 4 1  7  16  x    x    0 4  4  x1 

1 1 7 7    ;   ;   ;   4 4 4 4  

+

-

+

1 7   K   ;    ;   4 4  

Stránka 335


15 x 2  17 x – 42  0 D  289  2520  2809 17  53 36 6 x1    30 30 5 17  53 70 7 x2    30 30 3 7  6  15  x   x    0 3  5 

7   ;   3 

 7 6 6    ;   ;  3 5 5 

+

-

+

 7 6 K   ;   3 5 c) 5 x 2  3 x  2  0 D  9  4  (5)  2  49 3  7 x1,2  10 2 x1  1; x2   5 2  5  x  1  x    0 5  2   ;   5 

 2    ;1  5 

1; 

-

+

-

 2  K    ;1  5 

d) 9 x 2  12 x  4  0

 3x  2 

2

0

2 K  R  3 3. Řešte v R nerovnici: a) 9 x 2  12 x  4  0

c) 9 x 2  12 x  4  0

b) 9 x 2  12 x  4  0

d) 9 x 2  12 x  4  0

Stránka 336

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy Řešení: a) 9 x 2  12 x  4  0

 3x  2 

2

0

KR b) 9 x 2  12 x  4  0

 3x  2 

0

2

K  c) 9 x  12 x  4  0 2

 3x  2 

2

0

2 K   3 d) 9 x 2  12 x  4  0 (3x  2) 2  0 2 K  R  3

4. Řešte v R nerovnici: a) x 2  x  1  0

d) 9 x 2  6 x  1  0

b) x 2  x  1  0 c)  x2 – 3x  2  0 Řešení: a) x 2  x  1  0

D   1  4 11  3 2

b)

x  R, K  R x  x 1  0 2

D   1  4 11  3 2

c)

K   x – 3x  2  0 2

x 2 + 3x + 2  0

 x  2  x  1  0

 ; 2  2; 1  1;  

+

-

+

K    ; 2  1;  

Stránka 337


9 x2  6x  1  0 9 x2  6 x  1 0

 3x  1

2

0

1  K  R  3 5. Řešte v R nerovnici: a) x 2  6 x  5  0





2 d) x x  7 x  10  0

b) x  8x  9  0 c)  x  2  3  x  x  4   0 2

Řešení: a)

x2  6 x  5  0 x2  6 x  9  4  0

 x  3  4  0  x  3  2  x  3  2   0  x  1 x  5  0 2

 ; 5  5; 1  1;  

+

-

+

K   5; 1

b)

x2  8x  9  0

 x  9  x  1  0

 ; 9  9;1 1; 

+

-

+

K    ; 9  1;  

c)

 x  2 3  x  x  4  0

 ; 4  4;2   2;3  3; 

+

-

+

-

K   ; 4    2;3

Stránka 338






d) x x2  7 x  10  0  x  x  5 x  2   0

 ;0  0;2  x2

-

x 5 x ∑

+ +

 2;5 5; 

+ + -

+ + + +

K  (0;2)  (5; ) 6. Řešte nerovnici v příslušné číselné množině: a) 2 – x 2 – x  0 Z b)  x  6  4  x  x  5  0 N c) 4  x  1  x 8  x   3x 2

N

d) 2 1  3x   3x  1

N

2

Řešení: a)

2 – x2  x  0 2  x  x2  0

 2  x 1  x   0

 ; 2  2;1 1; 

+ K  2; 1;0;1 b)

-

 x  6 4  x  x  5  0

 ; 6  6;4   4;5 5; 

+

-

+

-

K  4;5

c)

4  x  1  x  8  x   3 x 2 4 x  4  8 x  x 2  3x 2  0 2 x 2  4 x  4  0 x2  2x  2  0 D  4  8  4 KR

Stránka 339

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 2 1  3 x   3 x  1

d)

2

2  12 x  18 x 2  3 x  1 18 x 2  15 x  3  0 6 x2  5x  1  0 D  25  4  6 1  1 x1 

5 1 1  ; 12 2

x2 

5 1 4 1   12 12 3

1  1   x   x    0 2  3  K  7. Řešte v R nerovnici:





2 a) x x  7 x  10  0

b)

2 1 4 x 1 x 2 d) 3  x  1  x  5  2 x   x c)

1  x x

Řešení: a) x x 2  7 x  10  0





x  x  5 x  2   0

 ;0  0;2  x2

x 5 x ∑

-

+ +

 2;5 5; 

+ + -

+ + + +

K   0; 2    5;  

b)

1  x x 1  x2 0 x 1  x 1  x   0 x

Stránka 340


 ; 1  1;0  0;1 1 x

1 x x ∑

+ +

+ + -

+ + + +

1; 

+ + -

K    ; 1   0;1

c)

2 1 4 x 1 x 2 x  4  x  1 x   x  1 0  x  1 x 2x  4x2  4x  x 1 0 x  x  1 4 x 2  3 x  1 0 x  x  1 4 x 2  3x  1 0 x  x  1 D  9  16  7 4 x 2  3x  1  0 x  x  1  0

 ; 1  1;0  0; 

+

-

+

K   ; 1   0;  

d)

3  x  1  x  5  2 x   x 2 3x  3  5 x  2 x 2  x 2  0 x2  2 x  3  0

 x  3 x  1  0

 ; 1  1;3  3; 

+

-

+

K   ; 1   3;  

Stránka 341

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 8. Řešte v R nerovnici: a) 2 x 2  3x  4  x 2  2 x  2

8  x2  6 x 0 x2  8  2x x 2  15  2 x c) 0 9 x  20  x 2 x2  8  2 x d) 0 6x  8  x2 b)

Řešení: a) 2 x 2  3x  4  x 2  2 x  2

x2  5x  6  0

 x  3 x  2   0

 ;2  2;3  3; 

+

-

+

K   ; 2    3;  

b)

8  x2  6x 0 x2  8  2 x  x  2  x  4   0  x  4  x  2 

x  2; x  4

x4 0 x4

 ; 4  4;4   4; 

+

-

+

K  4;  2    2;4  c)

x 2  15  2 x 0 9 x  20  x 2  x  5 x  3  0  x  5 x  4 

x  5; x  4

x 3 0 x4

 ; 4  4;3  3; 

+

-

+

K   4;3 Stránka 342


x2  8  2 x 0 6x  8  x2  x  4  x  2   0  x  4  x  2 

x  4; x  2

x4 0 x4

 ; 4  4;4   4; 

+

-

+

K   ; 4   4;   9. Řešte R nerovnici: 2x  3 2x  1  a) x3 x2 16 b) 4 2  x  2 19  x9 c) x9 5x  1  2x  2  0 d) x 1 Řešení: a)

2x  3 2x 1  x3 x2  2 x  3 x  2    2 x  1 x  3  0  x  3 x  2  2x2  7 x  6  2x2  5x  3 0  x  3 x  2  9  12 x 0  x  3 x  2  3(3  4 x) 0  x  3 x  2 

 ; 3

+

3  3    3;   ;2  4 4  

-

K   ; 3 

+

 2; 

-

3 ; 2 4

Stránka 343


16

 x  2 16

 x  2

2

2

 4 0

16  4  x 2  4 x  4 

 x  2

2

16  4 x 2  16 x  16

 x  2

4

2

4 x 2  16 x

0 0 0

 x  2 4x  4  x 0 2  x  2 2

 ;0  0;2  4 x ( x  2)2 x ∑

+ + -

+ + + +

 2;4   4; 

+ + + +

+ + -

K   0; 2    2; 4 

c)

19  x 9 x9 19  x  x  9   9  x  9  0 x9 19  x 2  9 x  9 x  81 0 x9 100  x 2 0 x9 10  x 10  x   0 x9

Stránka 344


 ; 10  10; 9  9;10 10;  10  x 10  x x9

∑

+ +

+ + -

+ + + +

+ + -

K  (10; 9)  (10; ) d) 5x  1  2x  2  0 x 1 5 x  1  2 x  x  1  2  x  1 0 x 1 5x  1  2 x2  2 x  2 x  2 0 x 1 5x  2 x2  3 0 x 1 D  25  4   2   3  49 x1 

5  7 1  ; x2  3 4 2

1  2  x    x  3 2  0 x 1

1  1    ;     ;1 2  2  

+

-

1;3

 3; 

+

-

1  K   ;    1;3 2  10. Řešte R nerovnici: x3 x2  a) 2  x  2 x 1

b) x 4  5x 2  4  0

Stránka 345

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy Řešení: a)

x 3 x 2  x  2 x 1 2  x  2  x  1   x  3 x  1   x  2  x  2  0  x  2  x  1 2

2 x2  6 x  4  x2  4 x  3  x2  4 x  4 0  x  2  x  1 2x  3 0  x  2  x  1

 ;1

 3  1;   2

3   ;2  2 

 2; 

-

+

-

+

 3 K   1;   2;    2 b) x4  5x2  4  0

x

2

 4  x 2  1  0

 x  2  x  2  x  1 x  1  0

 ; 2  2; 1  1;1 x 1 x 1 x2 x2

∑

+

+ -

+ + +

1;2 

 2; 

+ + + -

+ + + + +

K   2; 1  1;2  11. Řešte Z nerovnici x 4  5x 2  4  0 . Řešení: x 4  5x 2  4  0 ( x 2  4)( x 2  1)  0 ( x  2)( x  2)( x  1)( x  1)  0

Stránka 346


 ; 2  2; 1  1;1 x 1

+

x 1 x2 x2

∑

+ -

+ + +

1;2 

 2; 

+ + + -

+ + + + +

K 

12. Určete definiční obor výrazu: a)

x 2  5x  6

b)

8 x  6x  5

c)

1 2 x  5x  3

d)

3 x  6x  5 2

2

2

Řešení: a)

x2  5x  6 x2  5x  6  0

 x  3 x  2   0

 ;2  2;3  3; 

+

-

+

D    ; 2  3;   b)

8 x  6x  5 2

8  0  x 2  6 x  5  0   x  5  x  1  0 x  6x  5 2

 ;1 1;5

+

-

 5; 

+

D   ;1   5;  

Stránka 347


1 2 x  5x  3 2 x2  5x  3  0 2

D  25  4  2   3  25  24  49 57 3 4

x1 

x2 

57 1  4 2

1   x    x  3  0 2 

d)

1   ;   2 

 1    ;3   2 

 3; 

+

-

+

1  D   ;     3;   2  3 2 x  6x  5 3 0 2 x  6x  5 x2  6 x  5  0

 x  5 x  1  0

 ;1 1;5

+

-

 5; 

+

D  1;5 13. Určete definiční obor výrazu: 2 a) 2 x  5x  6 2x  1 b) 1 x 1 Řešení: a)

c)

x 2  4  3x  10  x 2

2 x  5x  6 2

2 0 x  5x  6 x2  5x  6  0 2

 x  2  x  3  0 Stránka 348


 ;2  2;3  3; 

+

-

+

D   2;3 2x 1 1 x 1

b)

2x 1 2x 1  x 1 1   x 1 x 1 x2 0 x 1

x2 x 1

 ; 1  1;2   2; 

+

-

+

D   ; 1  2;   c)

x 2  4  3x  10  x 2 x 2  4  0  3x  10  x 2  0

 x  2  x  2   0



 5  x  2  x   0

 ; 2  2;2   2; 

+

-

+

 ; 2  2;5 5; 

-

+

-

D  2;5  2 14. Řešte v R nerovnici: a) x 2  x  2  0 b)

c)

3x 2  7 x  2 0 x 1

5  x 3x  1  3 x 2 x

Řešení: a) x 2  x  2  0 x   ;0   x   x x2  x  2  0

 x  2  x  1  0

 ; 2  2;1 1; 

K1

+   ;  2

+

Stránka 349

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy x   0;    x   x x x20 2

 x  2  x  1  0

 ; 1  1;2  2; 

+

-

+

K 2  2; )

K  K1  K2   ;  2  2; ) b)

3x 2  7 x  2 0 x 1 D  49  4  3  2  25 75 1 x1   2; x2  6 3 1  3 x  2  x   3  0 x 1

1 1    ;   ;1 3  3  

1;2 

 2; 

x 1

-

-

+

+

1 3

-

+

+

+

-

+

-

+ +

x

x2

∑

1  K   ;1   2;   3 

Stránka 350


5  x 3x  1  3 x 2 x 5  x 3x  1  0 3 x 2 x  5  x  2  x    3x  1 3  x   0  3  x  2  x  10  7 x  x 2  9 x  3 x 2  3  x 0  3  x  2  x  13  17 x  4 x 2 0  3  x  2  x  D  289  4  4 13  81 x1 

17  9 17  9 26 13  1; x2    8 8 8 4

 x  1  x 

13   4  0  3  x  2  x 

 ;1

1;2 

 2;3

 13   3;   4

 13   ; 4 

x 1

-

+

+

+

+

13 4

-

-

-

-

+

+ + +

+ + -

+ +

-

+

x

2 x 3 x

∑

 13  K  1; 2    3;  4   2 15. Řešte v N nerovnici: x  4 x  5 .

Řešení: x2  4 x  5  x  x  4  5

 ;0

0;4)

4; )

x

x

x

x

x4

x  4

x  4

x4

I. x   ;0  : Stránka 351

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy  x(4  x)  5 x2  4 x  5  0

 x  5 x  1  0

 ; 1  1;5 5; 

+ K  1;2;3;4

+

1

II. x  0;4  : x 4  x  5 x  4x  5  0 2

x2  4 x  5  0 D  16  20  4

K2  1;2;3

III. x  4;   : x  x  4  5 x2  4 x  5  0

 x  5 x  1  0 K3  4 K  K1  K2  K3  1;2;3;4 16. Řešte v R nerovnici: 1  2x 1 x  1 a) 1 x 1  2x  x  2  x  1 x  3  0 b)  x  1

c)

4 x2  5x  6 0 2x 1

Stránka 352


1 2x 1 x  1 1 x 1 2x 1 2x 1 x  1  0 1 x 1 2x 1  4 x 2  1  2 x  x 2   1  2 x  x  2 x 2  0 1  x 1  2 x  1  4 x 2  1  2 x  x 2  1  3x  2 x 2 0 1  x 1  2 x  7 x 2  5 x  1 0 1  x 1  2 x  D  25  28  3 7 x  5 x  1  0 pro všechna reálná čísla 2

1  x 1  2 x   0

 ; 1  1;  

+

1  2

 1    ;  2 

-

+

1  K   1;   2  b)  x  2  x  1 x  3 0  x  1 Nulové body: 1; 1; 2; 3

 ; 1  1;1 x2 x 1 x 3 x 1

∑

+

+ -

1;2 

 2;3

 3; 

+ + +

+ + + -

+ + + + +

K  1;1  2;3

Stránka 353


4 x2  5x  6 0 2x 1 D  25  4  4   6   25  96  121 x1 

5  11 5  11 6 3  2; x2    8 8 8 4

3  4  x    x  2 4  0 1  2 x   2  3 1 Nulové body:  ;  ; 2 4 2

3   ;   4 

 3 1   ;   4 2

 1    ;2   2 

 2; 

3 4

-

+

+

+

x2

-

-

-

+

1 2

-

-

+

+

-

+

-

+

x

x ∑

 3 1 K    ;     2;    4 2 17. V a) b) c)

R řešte nerovnice: x2  4 x  3  0 x2  2 x  3  0 x2  2 x  3  0

d) x2  6 x  8  0 e) x2  2 x  8  0 f) x2  2 x  8  0

Stránka 354


x2  4 x  3  0 x2  4 x  3  0 x1,2 

  4  

 4 

2

 4 1  3

2 1



4  16  12 4  4   2 2

42 2 42 6 x1   3 2 2 42 2 x2   1 2 2  x  3 x  1  0 

 x  3  0  x 1  0   x  3  0  x  1  0  x  3  x  1   x  3  x  1 x 



x  1; 3

x  1; 3 b)

x2  2x  3  0 x2  2x  3  0 x1,2 

  2  

 2 

2

2 1

 4  1   3 



2  4  12 2  16   2 2

24 2 24 6 x1   3 2 2 2  4 2 x2    1 2 2  x  3  x   1  0 

 x  3 x  1  0

Stránka 355

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy  x  3  0  x  1  0   x  3  0  x  1  0  x  3  x  1   x  3  x  1 x 



x  1; 3

x  1; 3 c)

x2  2 x  3  0 x2  2x  3  0 x1,2 

2  22  4 1  3 2 1



2  4  12 2  16   2 2

2  4 2 2  4 2 x1   1 2 2 2  4 6 x2    3 2 2  x  1  x   3  0 

 x  1 x  3  0  x 1  0  x  3  0   x 1  0   x  1  x  3   x  1  x 



x  3  0 x  3

x  3; 1

x  3; 1

Stránka 356


x2  6 x  8  0 x2  6 x  8  0 x1,2 

  6  

 6 

2

 4 1  8

2 1



6  36  32 6  4   2 2

62 2 62 8 x1   4 2 2 62 4 x2   2 2 2  x  4  x  2   0 

 x  4  0  x  2  0   x  4  0  x  2  0  x  4  x  2   x  4  x  2 x  4;    x    ; 2

x    ; 2  4;   e)

x2  2x  8  0 x2  2x  8  0 x1,2 

  2  

 2 

2

2 1

 4  1   8 



2  4  32 2  36   2 2

26 2 26 8 x1   4 2 2 2  6 4 x2    2 2 2  x  4   x   2    0 

 x  4  x  2   0

Stránka 357


 x  4  0  x  2  0   x  4  0  x  2  0  x  4  x  2   x  4  x  2 x 



x  2; 4

x  2; 4 x2  2 x  8  0

f)

x2  2 x  8  0 x1,2 

2  22  4 1  8  2 1



2  4  32 2  36   2 2

2  6 2 2  6 4 x1   2 2 2 2  6 8 x2    4 2 2  x  2   x   4   0 

 x  2  x  4   0  x  2  0  x  4  0   x  2  0  x  4  0  x  2  x  4    x  2  x   4  x  2;    x   ; 4

x   ; 4  2;   2. V R řešte nerovnice: a)

 x  2

b)

 x  4

c)

 x  3

2

 x  1 

2

7

2

2

2

 x  2  2

 x  3

e)

 x  3

f)

 x  2

2

2

 x  1 

d)

 8,5

2

 14

2

 x  2 

2



2

2

 x  4 

2

 x  3 

2

 17

2

2

2

7 2

 23

Stránka 358


 x  2

2

 x  1 

2

7

2

/ 2

2  x  2    x  1  14 2

2

2  x 2  4 x  4    x 2  2 x  1  14

2 x 2  8 x  8  x 2  2 x  1  14 x 2  6 x  7  14

/  14

x  6x  7  0 2

x2  6 x  7  0 x1,2 

  6  

 6 

2

 4  1   7 

2 1



6  36  28 6  64   2 2

68 2 6  8 14 x1   7 2 2 6  8 2 x2    1 2 2  x  7   x   1  0 

 x  7  x  1  0  x  7  0  x  1  0   x  7  0  x  7  x  1   x  7 x 



 x  1  0 

x  1

x  1; 7

x  1; 7

Stránka 359


 x  4

2

 x  2 

2

 8,5

2

/ 2

2  x  4    x  2   17 2

2

2  x 2  8 x  16    x 2  4 x  4   17

2 x 2  16 x  32  x 2  4 x  4  17 x 2  12 x  28  17

/  17

x  12 x  11  0 2

x1,2 

  12  

 12 

2

 4 111

2 1



12  144  44 12  100   2 2

12  10 2 12  10 22 x1    11 2 2 12  10 2 x2   1 2 2  x  7  x  1  0 

 x  7  0  x 1  0   x  7  0   x  7  x  1   x  7  x 



x  1  0 x  1

x  1; 7

x  1; 7

Stránka 360


 x  3

2

 x  1 

2

 14

2

/ 2

2  x  3   x  1  28 2

2

2  x 2  6 x  9    x 2  2 x  1  28

2 x 2  12 x  18  x 2  2 x  1  28 x 2  10 x  17  28

/  28

x  10 x  11  0 2

x1,2 

  10  

 10 

2

 4 1  11

2 1



10  100  44 10  144   2 2

10  12 2 10  12 22 x1    11 2 2 10  12 2 x2    1 2 2  x  11  x   1  0 

 x  11 x  1  0

 x  11  0  x  1  0    x  11  0  x  1  0   x  11  x  1   x  11  x  1 x  11;    x   ; 1

x   ; 1  11;  

Stránka 361


 x  3

 x  2 

2

2



2

7 2

/ 2

2  x  3   x  2   7 2

2

2  x2  6 x  9   x2  4 x  4  7 2 x 2  12 x  18  x 2  4 x  4  7 x 2  8 x  14  7

/ 7

x  8x  7  0 2

x1,2 

  8  

 8

2

 4 1  7

2 1



8  64  28 8  36   2 2

86 2 8  6 14 x1   7 2 2 86 2 x2   1 2 2  x  7  x  1  0 

x 7  0  x7

 x 1  0   x  7  0  x  1  0



x  1  

x  7;  



x7 

x  1

x   ; 1

x   ; 1  7;  

Stránka 362


 x  3

2

 x  4 

2

 17

2

/ 2

2  x  3   x  4   34 2

2

2  x 2  6 x  9    x 2  8 x  16   34 2 x 2  12 x  18  x 2  8 x  16  34 x 2  20 x  2  34

/  34

x  20 x  36  0 2

20  202  4 1 36 20  400  144 20  256    2 1 2 2 20  16  2 20  16 4 x1    2 2 2 20  16 36 x2    18 2 2  x   2    x   18    0 x1,2 

 x  2  x  18  0

 x  2  0  x  18  0    x  2  0  x  18  0   x  2  x  18   x  2  x  18 x 



x  18;  2

x  18;  2

Stránka 363


 x  2

2

 x  3 

2

 23

2

/ 2

2  x  2    x  3  46 2

2

2  x 2  4 x  4    x 2  6 x  9   46 2 x 2  8 x  8  x 2  6 x  9  46 x 2  14 x  1  46

/  46

x  14 x  45  0 2

14  142  4 1 45 14  196  180 14  16    2 1 2 2 14  4  2 14  4 10 x1    5 2 2 14  4 18 x2    9 2 2  x   5    x   9    0 x1,2 

 x  5 x  9   0

 x  5  0  x  9  0   x  5  0  x  9  0  x  5  x  9    x  5  x  9  x  5;    x   ; 9

x   ; 9  5;   3. V R řešte nerovnice:  x 1  a) x  2     1  2 

3  x4 d) x  2     4  2 

 x2 b) x  3     9  2 

 x  3  31 e) x  4     4  2 

 x 3 c) x  1     1  2 

f)

2

2

2

2

2

 x  4  11 x 2   4  2  2

Stránka 364


 x 1  x2   1  2  x2  2 x  1 x2  1 4 4 x  8   x 2  2 x  1  4 2

/ 4

4 x  8  x 2  2 x  1  4  x 2  6 x  9  4

/ 4

x  6x  5  0

/   1

2

x2  6x  5  0 x2  6x  5  0 x1,2 

  6  

 6 

2

 4 1  5

2 1



6  36  20 6  16   2 2

64 2 6  4 10 x1   5 2 2 64 2 x2   1 2 2  x  5 x  1  0  x  5  0  x 1  0   x  5  0  x 1  0 



x5 

x  1  

x  5;  

x5 



x  1

x   ; 1

x   ; 1  5;  

Stránka 365


 x2 x 3   9  2  x2  4x  4 x 3  9 4 4 x  12   x 2  4 x  4   36 2

/ 4

4 x  12  x 2  4 x  4  36  x 2  8 x  16  36

/  36

 x  8 x  20  0

/  1

2

x 2  8 x  20  0 x 2  8 x  20  0 x1,2 

  8  

 8 

2

 4 1  20 

2 1



8  64  80 8  144   2 2

8  12 2 8  12 20 x1    10 2 2 8  12 4 x2    2 2 2  x  10   x   2    0 

 x  10  x  2   0

 x  10  0  x  2  0    x  10  0 x  10  x  10  x  2    x 



 x  2  0 

x  2 

x  2; 10

x  2; 10

Stránka 366


 x 3 x 1    1  2  x2  6x  9 x 1  1 4 4 x  4   x 2  6 x  9   4 2

/ 4

4 x  4  x 2  6 x  9  4  x 2  10 x  13  4

/ 4 /  1

 x  10 x  9  0 2

x 2  10 x  9  0 x 2  10 x  9  0 x1,2 

  10  

 10 

2

 4 1 9

2 1



10  100  36 10  64   2 2

10  8 2 10  8 18 x1   9 2 2 10  8 2 x2   1 2 2  x  9  x  1  0 

 x  9  0  x 1  0   x  9  0  x  9  x  1   x  9 x 



 x  1  0 

x  1

x  1; 9

x  1; 9

Stránka 367


 x4 3 x  2    2  4 x 2  8 x  16 3 x2  4 4 2 4 x  8   x  8 x  16   3 2

/ 4

4 x  8  x 2  8 x  16  3  x 2  12 x  8  3

/ 3 /  1

 x 2  12 x  11  0 x 2  12 x  11  0 x 2  12 x  11  0 x1,2 

  12  

 12  2 1

2

 4 111



12  144  44 12  100   2 2

12  10 2 12  10 22 x1    11 2 2 12  10 2 x2   1 2 2  x  11 x  1  0 

 x  11  0  x  1  0    x  11  0  x  1  0   x  11  x  1   x  11  x  1 x 



x  1; 11

x  1; 11

Stránka 368


 x  3  31 x  4   4  2  x 2  6 x  9 31 x4  4 4 2 4 x  16   x  6 x  9   31 2

/ 4

4 x  16  x 2  6 x  9  31  x 2  10 x  7  31

/  31 /  1

 x 2  10 x  24  0 x 2  10 x  24  0 x 2  10 x  24  0 x1,2 

  10  

 10 

2

 4 1 24

2 1



10  100  96 10  4   2 2

10  2 2 10  2 12 x1   6 2 2 10  2 8 x2   4 2 2  x  6  x  4   0 

 x  6  0  x  4  0   x  6  0  x  4  0  x  6  x  4   x  6  x  4 x 



x  4; 6

x  4; 6

Stránka 369


 x  4  11 x 2   4  2  2 x  8 x  16 11 x2  4 4 2 4 x  8   x  8 x  16   11 2

/ 4

4 x  8  x 2  8 x  16  11  x 2  12 x  24  11

/  11

 x  12 x  35  0

/  1

2

x 2  12 x  35  0 x 2  12 x  35  0 x1,2 

  12  

 12 

2

 4 1 35

2 1



12  144  140 12  4   2 2

12  2 2 12  2 14 x1   7 2 2 12  2 10 x2   5 2 2  x  7  x  5  0  x  7  0  x  5  0   x  7  0  x  5  0 



x7 

x  5  

x  7;  



x7 

x  5

x   ; 5

x   ; 5  7;  

Stránka 370

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 2.10 Kvadratické rovnice s absolutní hodnotou 1. Řešte rovnici s neznámou x  R : a) x 2  5 x  6  0 c) x 2  6 x  8  0 b) x 2  4 x  3  0

d) x 2  3 x  2  0

e) x 2  5 x  4  0 f)

x2  6 x  5  0

řešení: a) I. x  0  x  x

x2  5 x  6  0 x2  5x  6  0 x1;2 

  5  

 5

2

 4 1  6

2 1



5  25  24 5  1 5  1   2 2 2

5 1 6   3 vyhovuje podm., že x  0 2 2 5 1 4 x2    2 vyhovuje podm., že x  0 2 2 x1 

II. x  0  x   x x2  5 x  6  0 x2  5   x   6  0 x2  5x  6  0 5  52  4 1 6 5  25  24 5  1 5  1    2 1 2 2 2 5  1 4 x1    2 vyhovuje podm., že x  0 2 2 5  1 6 x2    3 vyhovuje podm., že x  0 2 2

x1;2 

řešení: x 2;  3 b) I. x  0  x  x

x2  4 x  3  0 x2  4x  3  0 x1;2 

  4  

 4 

2

 4 1  3



4  16  12 4  4 4  2   2 2 2

2 1 42 6 x1    3 vyhovuje podm., že x  0 2 2 42 2 x2    1 vyhovuje podm., že x  0 2 2

Stránka 371

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy II. x  0  x   x x2  4 x  3  0 x2  4   x   3  0 x2  4x  3  0 4  42  4 1 3 4  16  12 4  4 4  2    2 1 2 2 2 4  2 2 x1    1 vyhovuje podm., že x  0 2 2 4  2 6 x2    3 vyhovuje podm., že x  0 2 2

x1;2 

řešení: x 1;  3 c) I. x  0  x  x

x2  6 x  8  0 x2  6 x  8  0 x1;2 

  6  

 6  2 1

2

 4 1  8



6  36  32 6  4 6  2   2 2 2

62 8   4 vyhovuje podm., že x  0 2 2 62 4 x2    2 vyhovuje podm., že x  0 2 2 x1 


x1;2 

řešení: x 2;  4

Stránka 372

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy d) I. x  0  x  x

x2  3 x  2  0 x 2  3x  2  0 x1;2 

  3 

 3

2

 4 1  2



3  9  8 3  1 3 1   2 2 2

2 1 3 1 4 x1    2 vyhovuje podm., že x  0 2 2 3 1 2 x2    1 vyhovuje podm., že x  0 2 2

II. x  0  x   x x2  3 x  2  0 x2  3   x   2  0 x 2  3x  2  0 3  32  4 1 2 3  9  8 3  1 3  1 x1;2     2 1 2 2 2 3  1 2 x1    1 vyhovuje podm., že x  0 2 2 3  1 4 x2    2 vyhovuje podm., že x  0 2 2

řešení: x 1;  2 e) I. x  0  x  x

x2  5 x  4  0 x2  5x  4  0 x1;2 

  5  

 5 2 1

2

 4 1  4



5  25  16 5  9 5  3   2 2 2

53 8   4 vyhovuje podm., že x  0 2 2 53 2 x2    1 vyhovuje podm., že x  0 2 2 x1 

Stránka 373

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy II. x  0  x   x x2  5 x  4  0 x2  5   x   4  0 x2  5x  4  0 5  52  4 1 4 5  25  16 5  9 5  3 x1;2     2 1 2 2 2 5  3 2 x1    1 vyhovuje podm., že x  0 2 2 5  3 8 x2    4 vyhovuje podm., že x  0 2 2

řešení: x 1;  4 f) I. x  0  x  x

x2  6 x  5  0 x2  6 x  5  0 x1;2 

  6  

 6  2 1

2

 4 1  5



6  36  20 6  16 6  4   2 2 2

6  4 10   5 vyhovuje podm., že x  0 2 2 64 2 x2    1 vyhovuje podm., že x  0 2 2 x1 


x1;2 

řešení: x 1;  5

Stránka 374

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 2.11 Kvadratické nerovnice s absolutní hodnotou 1. Řešte rovnici s neznámou x  R : a) x 2  4 x  5  0 d) x 2  2 x  8  0 b) x 2  3 x  4  0

e) x 2  3 x  10  0

c) x 2  x  6  0

f)

g) x 2  2 x  8  0

x2  5 x  6  0

řešení: a) I. x  0  x  x

x2  4 x  5  0 x2  4x  5  0 x2  4 x  5  0 x1;2 

  4  

 4 

2

 4  1   5 

2 1



4  16  20 4  36 4  6   2 2 2

4  6 10  5 2 2 4  6 2 x2    1 2 2  x  5  x   1  0 x1 

 x  5 x  1  0

x 5  0  x5

 x  1  0   x  5  0  x  1  0 

x 

x  1   

x5 

x  1

x  1; 5

x  1; 5

x  0  x  1; 5  x  0; 5

Stránka 375

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy II. x  0  x   x

x2  4 x  5  0 x2  4   x   5  0 x2  4x  5  0 x2  4 x  5  0 x1;2 

4  42  4 1  5 

2 1 4  6 2 x1   1 2 2 4  6 10 x2    5 2 2  x  1  x   5   0



 x  1 x  5  0  x 1  0  x  5  0   x 1  0   x  1  x  5    x  1  x 



4  16  20 4  36 4  6   2 2 2

x  5  0 x  5

x  5; 1

x  5; 1

x  0  x  5; 1  x  5; 0  řešení: x  5; 0   x  0; 5  x  5; 5 b) I. x  0  x  x

x2  3 x  4  0 x 2  3x  4  0 x 2  3x  4  0 x1;2 

  3 

 3

2

2 1 35 8 x1   4 2 2 3  5 2 x2    1 2 2  x  4   x   1   0

 4 1  4 



3  9  16 3  25 3  5   2 2 2

 x  4  x  1  0

Stránka 376

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy x 4  0  x4

 x  1  0   x  4  0  x  1  0 

x  1  

x 

x4 



x  1

x  1; 4

x  1; 4 x  0  x  1; 4  x  0; 4 II. x  0  x   x

x2  3 x  4  0 x2  3   x   4  0 x 2  3x  4  0 x 2  3x  4  0 x1;2 

3  32  4 1  4 

2 1 3  5 2 x1   1 2 2 3  5 8 x2    4 2 2  x  1  x   4   0

 x  1 x  4   0  x 1  0  x  4  0   x 1  0  x  1  x  4    x  1 x 





3  9  16 3  25 3  5   2 2 2

 x  4  0 

x  4 

x  4; 1

x  4; 1 x  0  x  4; 1  x  4; 0  řešení: x  4; 0   x  0; 4  x  4; 4

Stránka 377

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy c) I. x  0  x  x

x2  x  6  0 x2  x  6  0 x2  x  6  0 x1;2 

  1 

 1

2

 4 1  6 

2 1



1  1  24 1  25 1  5   2 2 2

1 5 6  3 2 2 1  5 4 x2    2 2 2  x  3  x   2   0 x1 

 x  3 x  2   0

x 3 0  x3

 x  2  0   x  3  0  x  2  0 

x  2   

x 

x3 



x  2 

x  2; 3

x  2; 3 x  0  x  2; 3  x  0; 3 II. x  0  x   x

x2  x  6  0 x2    x   6  0 x2  x  6  0 x2  x  6  0 x1;2 

1  12  4 1  6 

2 1 1  5 4 x1   2 2 2 1  5 6 x2    3 2 2  x  2   x   3   0



1  1  24 1  25 1  5   2 2 2

 x  2  x  3  0

Stránka 378

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy x 2  0   x2 

x  3  0   x  2  0  x  3  0 x  3   

x 

x2 



x  3

x  3; 2

x  3; 2 x  0  x  3; 2  x  3; 0  řešení: x  3; 0   x  0; 3  x  3; 3 d) I. x  0  x  x

x2  2 x  8  0 x2  2 x  8  0 x2  2 x  8  0 x1;2 

  2  

 2 

2

 4  1   8 

2 1



2  4  32 2  36 2  6   2 2 2

26 8  4 2 2 2  6 4 x2    2 2 2  x  4   x   2   0 x1 

 x  4  x  2   0

x 4  0  x4

 x  2  0   x  4  0  x  2  0 

x 

x  2    

x4 

x  2 

x  2; 4

x  2; 3 x  0  x  2; 4  x  0; 4

Stránka 379

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy II. x  0  x   x

x2  2 x  8  0 x2  2   x   8  0 x2  2x  8  0 x2  2x  8  0 x1;2 

2  22  4 1  8 



2 1 2  6 4 x1   2 2 2 2  6 8 x2    4 2 2  x  2   x   4   0

 x  2  x  4   0  x  2  0  x  4  0   x  2  0  x  2  x  4    x  2 x 



2  4  32 2  36 2  6   2 2 2

 x  4  0 

x  4 

x  4; 2

x  4; 2

x  0  x  4; 2  x  4; 0  řešení: x  4; 0   x  0; 4  x  4; 4 e) I. x  0  x  x

x 2  3 x  10  0 x 2  3x  10  0 x 2  3x  10  0 x1;2 

  3 

 3

2

2 1

 4 1  10 



3  9  40 3  49 3  7   2 2 2

3  7 10  5 2 2 3  7 4 x2    2 2 2  x  5  x   2   0 x1 

 x  5 x  2   0

Stránka 380

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy x 5  0  x5

 x  2  0   x  5  0  x  2  0 

x  2   

x 



x  2 

x5 

x  2; 5

x  2; 5 x  0  x  2; 5  x  0; 5 II. x  0  x   x

x 2  3 x  10  0 x 2  3   x   10  0 x 2  3 x  10  0 x 2  3 x  10  0 x1;2 

3  32  4 1  10 

2 1 3  7 4 x1   2 2 2 3  7 10 x2    5 2 2  x  2   x   5   0

 x  2  x  5  0  x  2  0  x  5  0   x  2  0  x  2  x  5    x  2 x 





3  9  40 3  49 3  7   2 2 2

 x  5  0 

x  5

x  5; 2

x  5; 2 x  0  x  5; 2  x  5; 0  řešení: x  5; 0   x  0; 5  x  5; 5

Stránka 381

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy f) I. x  0  x  x

x2  5 x  6  0 x2  5x  6  0 x2  5x  6  0 x1;2 

  5  

 5

2

 4  1   6 

2 1



5  25  24 5  49 5  7   2 2 2

5  7 12  6 2 2 5  7 2 x2    1 2 2  x  6   x   1  0 x1 

 x  6  x  1  0

x 6  0  x6

 x  1  0   x  6  0  x  1  0 

x  1  

x 



x6 

x  1

x  1; 6

x  1; 6

x  0  x  1; 6  x  0; 6 II. x  0  x   x

x2  5 x  6  0 x2  5   x   6  0 x2  5x  6  0 x2  5x  6  0 x1;2 

5  52  4 1   6 

2 1 5  7 2 x1   1 2 2 5  7 12 x2    6 2 2  x  1  x   6   0



5  25  24 5  49 5  7   2 2 2

 x  1 x  6   0

Stránka 382

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy  x 1  0   x 1 

x  6  0   x 1  0  x  6  0 x  6   

x 

x  6 

x 1 



x  6; 1

x  6; 1 x  0  x  6; 1  x  6; 0  řešení: x  6; 0   x  0; 6  x  6; 6 g) I. x  0  x  x

x2  2 x  8  0 x2  2x  8  0 x2  2x  8  0 x1;2 

2  22  4 1  8 

2 1 2  6 4 x1   2 2 2 2  6 8 x2    4 2 2  x  2   x   4   0



2  4  32 2  36 2  6   2 2 2

 x  2  x  4   0

x 2  0  x2

 x  4  0   x  2  0  x  4  0 

x 

x  4    

x2 

x  4 

x  4; 2

x  4; 2

x  0  x  4; 2  x  0; 2

Stránka 383

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy II. x  0  x   x x2  2 x  8  0 x2  2   x   8  0 x2  2 x  8  0 x2  2 x  8  0 x1;2 

  2  

 2 

2

 4  1   8 

2 1



2  4  32 2  36 2  6   2 2 2

26 8  4 2 2 2  6 4 x2    2 2 2  x  4   x   2   0 x1 

 x  4  x  2   0  x  4  0  x  2  0   x  4  0  x  4  x  2    x  4 x 



 x  2  0 

x  2 

x  2; 4

x  2; 4 x  0  x  2; 4  x  2; 0  řešení: x  2; 0   x  0; 2  x  2; 2

Stránka 384

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 2.12 Kvadratické rovnice s parametrem 1. Řešte rovnici s neznámou x  R a parametrem a  R : e) 4ax2  4ax  a  1  0 b)  a  1 x 2  2ax  a  0 f) ax2  4ax  4a  4  0 c) ax2  2ax  a  1  0 g)  a  1 x 2  4ax  4a  0 d) 4  a  1 x2  4ax  a  0 řešení: a)

I. a 1  0  a  1 kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární 1  1 x 2  2 1 x  1  0

2 x  1  0 2 x  1 x

/ :  2 

1 2

II. a 1  0  a  1 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant 2 D  b2  4ac   2a   4   a  1  a  4a 2  4a   a  1  4a 2  4a 2  4a  4a α) D  0 4a  0

/:4

a0





  2a   4a 2a  2 a 2 a  a a a    2  a  1 2  a  1 a 1 2  a  1 β) D  0 4a  0 / : 4 x1;2 

a0   2a  2a a 0 0     0 2  a  1 2  a  1 a  1 0  1 1 χ) D  0 4a  0 / : 4 a0 v R nemá řešení x1;2 

a 1 a   0; 1  1;  

a0 a   ; 0 

1 2 a a x a 1 x0 nemá řešení x

Stránka 385


I. a  0 kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární 0 x2  2  0  x  0 1  0 1  0 nemá řešení II. a  0 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant 2 D  b2  4ac   2a   4  a  a  1  4a 2  4a 2  4a  4a α) D  0 4a  0 / : 4 a0





  2a   4a 2a  2 a 2 a  a a a    2a 2a a 2a β) D  0 4a  0 / : 4 a0 situace I. χ) D  0 x1;2 

4a  0 / : 4 a0 v R nemá řešení

c)

a    ; 0

nemá řešení

a   0;  

x

a a a

I. a 1  0  a  1 kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární 4 1  1 x 2  4 1 x  1  0 4x 1  0 4 x  1 x

/:4

1 4

II. a 1  0  a  1 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant 2 D  b2  4ac   4a   4  4   a  1  a  16a 2  16a   a  1  16a 2  16a 2  16a  16a α) D  0 16a  0 a0 x1;2 

/ :16





4a  16a 4a  4 a 4 a  a a  a    2  4  a  1 8  a  1 2  a  1 8  a  1 Stránka 386

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy β) D  0 16a  0 a0

/ :16

4a 4 a a 0 0     0 2  4  a  1 8  a  1 2  a  1 2  0  1 2 χ) D  0 16a  0 / :16 a0 v R nemá řešení x1;2 

a 1 a   0;1  1;  

a0 a   ;0  d)

1 4 a  a x 2  a  1 x

x0 nemá řešení

I. a  0 kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární 4  0  x2  4  0  x  0  1  0 1  0 nemá řešení II. a  0 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant 2 D  b2  4ac   4a   4  4a  a  1  16a 2  16a 2  16a  16a α) D  0 16a  0 / :16 a0





4a  16a 4a  4 a 4 a  a a  a    2  4a 8a 2a 8a β) D  0 16a  0 / :16 a0 situace I. χ) D  0 16a  0 / :16 a0 v R nemá řešení x1;2 

Stránka 387


e)

a    ;0

nemá řešení

a   0;  

x

a  a 2a

I. a  0 kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární 0  x2  4  0  x  4  0  4  0 4  0 nemá řešení II. a  0 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant 2 D  b2  4ac   4a   4  a  4a  4   16a 2  16a 2  16a  16a α) D  0 16a  0 / :16 a0



 

2 a a   4a   16a 4a  4 a 4 a  a    2a 2a a 2a β) D  0 16a  0 / :16 a0 situace I. χ) D  0 16a  0 / :16 a0 v R nemá řešení x1;2 

f)

a    ;0

nemá řešení

a   0;  

x



2 a a





a

I. a 1  0  a  1 kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární 1  1 x 2  4 1 x  4 1  0

4 x  4  0 4 x  4

/ :  4 

x 1 II. a 1  0  a  1 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant 2 D  b2  4ac   4a   4   a  1  4a  16a 2  16a   a  1  16a 2  16a 2  16a  16a

Stránka 388

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy α) D  0 16a  0

/ :16

a0



 

2 a a   4a   16a 4a  4 a 4 a  a    2   a  1 2  a  1 a 1 2  a  1 β) D  0 16a  0 / :16 x1;2 



a0   4a  4a 2a 20 0     0 2   a  1 2  a  1 a  1 0  1 1 χ) D  0 x1;2 

16a  0 / :16 a0 v R nemá řešení

a 1

x 1

a   0; 1  1;  

x

a0 a   ; 0 



2 a a

x0



a 1

nemá řešení

2. Řešte rovnici s neznámou x  R a parametrem a) x2  2 x  a  0 b) x2  4 x  a  0 c) x2  6 x  a  0

aR : d) x2  8x  a  0 e) x2  10 x  a  0 f) x2  12 x  a  0

řešení: a) D  b2  4ac  22  4 1 a  4  4a α) D0

4  4a  0 4  4a a 1





2  4  4a 2  4 1  a  2  2 1  a 2 1  1  a     1  1  a 2 1 2 2 2 D0 4  4a  0 / 4a 4  4a /:4 a 1 x1;2  1  1  a     x1;2  1  1  1  1  0  1 a 1   x1;2 

β)

/ 4a /:4

Stránka 389

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy χ)

D0 4  4a  0

/ 4a

4  4a

/:4

a 1 v R nemá řešení

a   ;1

x1;2  1  1  a

a 1 a  1;  

x  1 nemá řešení

b) D  b2  4ac  42  4 1 a  16  4a D0 α) 16  4a  0 / 4a 16  4a /:4 a4 x1;2  β)

χ)





4  16  4a 4  4  4  a  4  2 4  a 2 2  4  a     2 1 2 2 2

 2  4  a D0 16  4a  0 / 4a 16  4a /:4 a4 x1;2  2  4  a     x1;2  2  4  4  2  0  2 a4   D0

16  4a  0 16  4a

/ 4a /:4

a4 v R nemá řešení

a   ; 4 

x1;2  2  4  a

a4 a   4;  


c) D  b2  4ac  62  4 1 a  36  4a α) D0 36  4a  0 / 4a 36  4a /:4 a9

Stránka 390

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy x1;2  β)

χ)





6  36  4a 6  4  9  a  6  2 9  a 2 3  9  a     2 1 2 2 2

 3  9  a D0 36  4a  0 / 4a 36  4a /:4 a9 x1;2  3  9  a     x1;2  3  9  9  3  0  3 a9   D0

36  4a  0 36  4a

/ 4a /:4


a   ;9 

x1;2  3  9  a

a9 a   9;  


d) D  b2  4ac  82  4 1 a  64  4a D0 α) 64  4a  0 / 4a 64  4a /:4 a  16 x1;2  β)

χ)





2 4  16  a 8  64  4a 8  4 16  a  8  2 16  a     2 1 2 2 2

 4  16  a D0 64  4a  0 / 4a 64  4a /:4 a  16 x1;2  4  16  a     x1;2  4  16  16  4  0  4 a  16   D0

64  4a  0 64  4a

/ 4a /:4

a  16 v R nemá řešení

a   ;16 

x1;2  4  16  a Stránka 391

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy a  16 a  16;  


e) D  b2  4ac  102  4 1 a  100  4a α) D0 100  4a  0

/ 4a

100  4a

/:4

a  25 x1;2   β)

χ)

10  100  4a 10  4  25  a  10  2 25  a    2 1 2 2



2 5  25  a 2

  5 

25  a

D0 100  4a  0 / 4a 100  4a /:4 a  25  x1;2  5  25  a    x1;2  5  25  25  5  0  5 a  25   D0

100  4a  0

/ 4a

100  4a

/:4


f)

a   ; 25

x1;2  5  25  a

a  25 a   25;  


D  b2  4ac  122  4 1 a  144  4a α) D0

144  4a  0

/ 4a

144  4a

/:4

a  36 x1;2  

12  144  4a 12  4  36  a  12  2 36  a    2 1 2 2



2 6  36  a 2

  6 

36  a

Stránka 392

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy β)

χ)

D0 144  4a  0

/ 4a

144  4a /:4 a  36 x1;2  6  36  a     x1;2  6  36  36  6  0  6 a  36   D0

144  4a  0 144  4a

/ 4a /:4


a   ;36 

x1;2  6  36  a

a  36 a   36;  


3. Řešte rovnici s neznámou x  R a parametrem a) x2  2 x  a  0 b) x2  4 x  a  0 c) x2  6 x  a  0

aR : d) x2  8x  a  0 e) x2  10 x  a  0 f) x2  12 x  a  0

řešení: 2 a) D  b2  4ac   2   4 1 a  4  4a α) D0

4  4a  0 4  4a a 1

χ)





  2   4  4a 2  4 1  a  2  2 1  a 2 1  1  a     1 1 a 2 1 2 2 2 D0 4  4a  0 / 4a 4  4a /:4 a 1 x1;2  1  1  a     x1;2  1  1  1  1  0  1 a 1   D0 4  4a  0 / 4a 4  4a /:4 a 1 v R nemá řešení x1;2 

β)

/ 4a /:4

Stránka 393

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy a   ;1

x1;2  1  1  a

a 1 a  1;  

x 1 nemá řešení

b) D  b2  4ac   4   4 1 a  16  4a D0 α) 16  4a  0 / 4a 16  4a /:4 a4 2

x1;2  β)

χ)









2 2 4a   4   16  4a 4  4  4  a  4  2 4  a     2 1 2 2 2

 2 4a D0 16  4a  0 / 4a 16  4a /:4 a4 x1;2  2  4  a     x1;2  2  4  4  2  0  2 a4   D0

16  4a  0

/ 4a

16  4a

/:4


a   ; 4 

x1;2  2  4  a

a4 a   4;  


c) D  b2  4ac   6   4 1 a  36  4a D0 α) 36  4a  0 / 4a 36  4a /:4 a9 2

x1;2 

2 3 9 a   6   36  4a 6  4  9  a  6  2 9  a     2 1 2 2 2

 3 9 a

Stránka 394


χ)

D0 36  4a  0 / 4a 36  4a /:4 a9 x1;2  3  9  a     x1;2  3  9  9  3  0  3 a9   D0

36  4a  0

/ 4a

36  4a

/:4


a   ;9 

x1;2  3  9  a

a9 a   9;  


d) D  b2  4ac   8  4 1 a  64  4a D0 α) 64  4a  0 / 4a 64  4a /:4 a  16 2

x1;2  β)

χ)





  8   64  4a 8  4 16  a  8  2 16  a 2 4  16  a     2 1 2 2 2

 4  16  a D0 64  4a  0 / 4a 64  4a /:4 a  16 x1;2  4  16  a     x1;2  4  16  16  4  0  4 a  16   D0

64  4a  0 64  4a

/ 4a /:4


a   ;16 

x1;2  4  16  a

a  16 a  16;  


Stránka 395

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy e) D  b2  4ac   10   4 1 a  100  4a α) D0 2

100  4a  0

/ 4a

100  4a

/:4

a  25 x1;2   β)

χ)

  10   100  4a 10  4  25  a  10  2 25  a    2 1 2 2



2 5  25  a 2

  5

25  a

D0 100  4a  0 / 4a 100  4a /:4 a  25 x1;2  5  25  a     x1;2  5  25  25  5  0  5 a  25   D0

100  4a  0

/ 4a

100  4a

/:4


f)

a   ; 25

x1;2  5  25  a

a  25 a   25;  


D  b2  4ac   12   4 1 a  144  4a α) D0 2

144  4a  0

/ 4a

144  4a

/:4

a  36 x1;2   β)

  12   144  4a 12  4  36  a  12  2 36  a    2 1 2 2



2 6  36  a

D0 144  4a  0 144  4a a  36

2

  6

36  a

/ 4a /:4

Stránka 396


χ)

x1;2  6  36  a     x1;2  6  36  36  6  0  6 a  36   D0

144  4a  0 144  4a

/ 4a /:4


a   ;36 

x1;2  6  36  a

a  36 a   36;  


4. Řešte rovnici s neznámou x  R a parametrem a) x2  2 x  a  0 b) x2  4 x  a  0 c) x2  6 x  a  0

aR : d) x2  8x  a  0 e) x2  10 x  a  0 f) x2  12 x  a  0

řešení: a) D  b2  4ac  22  4 1  a   4  4a D0 α) 4  4a  0 / 4 4a  4 /:4 a  1 x1;2  β)

χ)





2  4  4a 2  4 1  a  2  2 1  a 2 1  1  a     2 1 2 2 2

 1  1  a D0 4  4a  0 / 4 4a  4 /:4 a  1 x1;2  1  1  a     x1;2  1  1   1  1  0  1 a  1   D0

4  4a  0 4a  4

/ 4 /:4

a  1 v R nemá řešení

a   1;  

x1;2  1  1  a

a  1 a   ; 1

x  1 nemá řešení Stránka 397

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy b) D  b2  4ac  42  4 1  a   16  4a D0 α) 16  4a  0 / 16 4a  16 /:4 a  4 x1;2  β)

χ)









4  16  4a 4  4  4  a  4  2 4  a 2 2  4  a     2 1 2 2 2

 2  4  a D0 16  4a  0 / 16 4a  16 /:4 a  4 x1;2  2  4  a     x1;2  2  4   4   2  0  2 a  4   D0

16  4a  0 4a  16

/ 16 /:4


a   4;  

x1;2  2  4  a

a  4 a   ; 4 


c) D  b2  4ac  62  4 1  a   36  4a D0 α) 36  4a  0 / 36 4a  36 /:4 a  9 x1;2  β)

6  36  4a 6  4  9  a  6  2 9  a 2 3  9  a     2 1 2 2 2

 3  9  a D0 36  4a  0 / 36 4a  36 /:4 a  9 x1;2  3  9  a     x1;2  3  9   9   3  0  3 a  9   Stránka 398


D0 36  4a  0 4a  36

/ 36 /:4


a   9;  

x1;2  3  9  a

a  9 a   ; 9 


d) D  b2  4ac  82  4 1  a   64  4a D0 α) 64  4a  0 / 64 4a  64 /:4 a  16 x1;2  β)

χ)





8  64  4a 8  4 16  a  8  2 16  a 2 4  16  a     2 1 2 2 2

 4  16  a D0 64  4a  0 / 64 4a  64 /:4 a  16 x1;2  4  16  a     x1;2  4  16   16   4  0  4 a  16   D0

64  4a  0 4a  64

/ 64 /:4


a   16;  

x1;2  4  16  a

a  16 a   ; 16 


e) D  b2  4ac  102  4 1  a   100  4a α) D0 100  4a  0 / 100 4a  100 /:4 a  25

Stránka 399

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy x1;2   β)

χ)

10  100  4a 10  4  25  a  10  2 25  a    2 1 2 2



2 5  25  a 2

  5 

25  a

D0 100  4a  0 / 100 4a  100 /:4 a  25 x1;2  5  25  a     x1;2  5  25   25   5  0  5 a  25   D0

100  4a  0

/ 100

4a  100

/:4


f)

a   25;  

x1;2  5  25  a

a  25 a   ; 25


D  b2  4ac  122  4 1  a   144  4a

α)

D0 144  4a  0

/ 144

4a  144

/:4

a  36 x1;2   β)

12  144  4a 12  4  36  a  12  2 36  a    2 1 2 2



2 6  36  a 2

  6 

36  a

D0 144  4a  0 / 144 4a  144 /:4 a  36 x1;2  6  36  a     x1;2  6  36   36   6  0  6 a  36  

Stránka 400

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy D0

χ)

144  4a  0 4a  144

/ 144 /:4


a   36;  

x1;2  6  36  a

a  36 a   ; 36 


5. Řešte rovnici s neznámou x  R a parametrem a) x2  2 x  a  0 b) x2  4 x  a  0 c) x2  6 x  a  0

aR : d) x2  8x  a  0 e) x2  10 x  a  0 f) x2  12 x  a  0

řešení: 2 a) D  b2  4ac   2   4 1  a   4  4a α) D0

4  4a  0 4a  4 a  1

/ 4 /:4



β)

χ)



  2   4  4a 2  4 1  a  2  2 1  a 2 1  1  a     1 1 a 2 1 2 2 2 D0 4  4a  0 / 4 4a  4 /:4 a  1 x1;2  1  1  a     x1;2  1  1   1  1  0  1 a  1   D0 4  4a  0 / 4 4a  4 /:4 a  1 v R nemá řešení x1;2 

a   1;  

x1;2  1  1  a

a  1 a   ; 1


Stránka 401

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy b) D  b2  4ac   4   4 1  a   16  4a D0 α) 16  4a  0 / 16 4a  16 /:4 a  4 2

x1;2  β)

χ)









  4   16  4a 4  4  4  a  4  2 4  a 2 2  4  a     2 1 2 2 2

 2 4a D0 16  4a  0 / 16 4a  16 /:4 a  4 x1;2  2  4  a     x1;2  2  4   4   2  0  2 a  4   D0

16  4a  0

/ 16

4a  16

/:4


a   4;  

x1;2  2  4  a

a  4 a   ; 4 


c) D  b2  4ac   6   4 1  a   36  4a D0 α) 36  4a  0 / 36 4a  36 /:4 a  9 2

x1;2  β)

  6   36  4a 6  4  9  a  6  2 9  a 2 3  9  a     2 1 2 2 2

 3 9 a D0 36  4a  0 / 36 4a  36 /:4 a  9 x1;2  3  9  a     x1;2  3  9   9   3  0  3 a  9   Stránka 402


D0 36  4a  0

/ 36

4a  36

/:4


a   9;  

x1;2  3  9  a

a  9 a   ; 9 


d) D  b2  4ac   8  4 1  a   64  4a D0 α) 64  4a  0 / 64 4a  64 /:4 a  16 2

x1;2  β)

χ)





  8   64  4a 8  4 16  a  8  2 16  a 2 4  16  a     2 1 2 2 2

 4  16  a D0 64  4a  0 / 64 4a  64 /:4 a  16 x1;2  4  16  a     x1;2  4  16   16   4  0  4 a  16   D0

64  4a  0

/ 64

4a  64

/:4


a   16;  

x1;2  4  16  a

a  16 a   ; 16 


e) D  b2  4ac   10   4 1  a   100  4a α) D0 100  4a  0 / 100 4a  100 /:4 a  25 2

Stránka 403

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy x1;2   β)

χ)

  10   100  4a 10  4  25  a  10  2 25  a    2 1 2 2



2 5  25  a 2

  5

25  a

D0 100  4a  0 / 100 4a  100 /:4 a  25 x1;2  5  25  a     x1;2  5  25   25  5  0  5 a  25   D0

100  4a  0

/ 100

4a  100

/:4


f)

a   25;  

x1;2  5  25  a

a  25 a   ; 25


D  b2  4ac   12   4 1  a   144  4a 2

α)

D0 144  4a  0

/ 144

4a  144

/:4

a  36 x1;2   β)

  12   144  4a 12  4  36  a  12  2 36  a    2 1 2 2



2 6  36  a 2

  6

36  a

D0 144  4a  0 / 144 4a  144 /:4 a  36 x1;2  6  36  a     x1;2  6  36   36   6  0  6 a  36  

Stránka 404


D0 144  4a  0

/ 144

4a  144

/:4


a   36;  

x1;2  6  36  a

a  36 a   ; 36 


6. Řešte rovnici s neznámou x  R a parametrem a) ax2  2 x  a  0 b) ax2  4 x  a  0 c) ax2  6 x  a  0 řešení: a)

aR : d) ax2  8x  a  0 e) ax2  10 x  a  0 f) ax2  12 x  a  0

I. a  0 kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární 0  x2  2x  0  0 2x  0 / : 2 x0 II. a  0 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant D  b2  4ac  22  4  a  a  4  4a2 D0 α) 4  4a 2  0

/ 4

4a  4 2

/ :  4 

a2  1 a  1  a   1;1 2 2  4  4a 2 2  4 1  a  2  2 1  a 2 x1;2     2a 2a 2a

 β)



2 1  1  a 2 2a

  1 

1  a2 a

D0 4  4a 2  0 4a 2  4

/ 4 / :  4 

a2  1 a  1

Stránka 405

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy  1  1  1 1  0    1   x1;2  1 1   1  1  a 2  1  1  1 1  0  x1;2   1   x1;2  a  1  1  a  1  D0 1  1  a 2 a a 1

x1;2 

χ)

4  4a 2  0

/ 4 / :  4 

4a 2  4 a2  1

a  1  a   ; 1  1;   v R nemá řešení

a0

x0

a   1;0    0;1

1  1  a 2 a x  1 x 1 nemá řešení x1;2 

a 1 a  1 a   ; 1  1;   b)

I. a  0 kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární 0  x2  4x  0  0 4x  0 / : 4 x0 II. a  0 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant D  b2  4ac  42  4  a  a  16  4a 2 D0 α) 16  4a 2  0

/ 16

4a  16 2

/ :  4 

a2  4 a  2  a   2; 2  2 4  16  4a 2 4  4  4  a  4  2 4  a 2 x1;2     2a 2a 2a





2 2  4  a 2 2a

  2 

4  a2 a

Stránka 406

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy D0

β)

16  4a 2  0 4a 2  16

/ 16 / :  4 

a2  4 a  2  2  4  4 2  0    1   x1;2  2 2   2  2  4  a 2  4  4 2  0  x1;2   1   x1;2  a  2  2  a  2  D0 2  4  a 2 a a2

x1;2 

χ)

16  4a 2  0 4a 2  16

/ 16 / :  4 

a2  4 a  2  a   ; 2    2;   v R nemá řešení

a0

x0

a   2;0    0;2 

2  4  a 2 a x  1 x 1 nemá řešení

a2 a  2 a   ; 2    2;   c)

x1;2 

I. a  0 kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární 0  x2  6x  0  0 6x  0 / : 6 x0 II. a  0 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant D  b2  4ac  62  4  a  a  36  4a2 α) D0 36  4a 2  0 4a  36 2

/ 36 / :  4 

a2  9 a  3  a   3;3

Stránka 407

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 2 6  36  4a 2 6  4  9  a  6  2 9  a 2 x1;2     2a 2a 2a

 β)



2 3  9  a 2 2a

  3 

9  a2 a

D0 36  4a 2  0 4a 2  36

/ 36 / :  4 

a2  9 a  3  3  9  9 3  0    1   x1;2  3 3   2  3  9  a 3  9  9 3  0  x1;2   1   x1;2  a  3  3  a  3  D0 3  9  a 2 a a3

x1;2 

χ)

36  4a 2  0 4a 2  36

/ 36 / :  4 

a2  9 a  3  a   ; 3   3;   v R nemá řešení

Stránka 408


x0

a   3;0    0;3

3  9  a 2 x1;2  a x  1 x 1 nemá řešení

a3 a  3 a   ; 3   3;   d)

I. a  0 kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární 0  x2  8x  0  0 8x  0 / : 8 x0 II. a  0 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant D  b2  4ac  82  4  a  a  64  4a 2 D0 α) 64  4a 2  0

/ 64

4a  64 2

/ :  4 

a  16 2

a  4  a   4; 4  2 8  64  4a 2 8  4 16  a  8  2 16  a 2 x1;2     2a 2a 2a

 β)



2 4  16  a 2 2a

  4 

16  a 2 a

D0 64  4a 2  0 4a 2  64

/ 64 / :  4 

a 2  16 a  4  4     x1;2    4  16  a 2  4   x1;2    x1;2  a  a  4  4  16  a 2 a a4

x1;2 

16  16 4  0   1 4 4 16  16 4  0  1 4 4

Stránka 409


χ)

64  4a 2  0

/ 64

4a 2  64

/ :  4 

a 2  16 a  4  a   ; 4    4;   v R nemá řešení

a0

x0

a   4;0    0;4 

4  16  a 2 x1;2  a x  1 x 1 nemá řešení

a4 a  4 a   ; 4    4;   e)

I. a  0 kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární 0  x 2  10 x  0  0 10 x  0 / :10 x0 II. a  0 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant D  b2  4ac  102  4  a  a  100  4a 2 D0 α) 100  4a 2  0

/ 100

4a  100 2

/ :  4 

a 2  25 a  5  a   5;5  2 10  100  4a 2 10  4  25  a  10  2 25  a 2 x1;2     2a 2a 2a

 β)



2 5  25  a 2 2a

  5 

25  a 2 a

D0 100  4a 2  0 4a 2  100

/ 100 / :  4 

a 2  25 a  5

Stránka 410

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy  5     x1;2    5  25  a 2  5   x1;2    x1;2  a  a  5  D0 5  25  a 2 a a5

x1;2 

χ)

100  4a 2  0

25  25 5  0   1 5 5 25  25 5  0  1 5 5

/ 100

4a 2  100

/ :  4 


a0

x0

a   5;0    0;5


a5 a  5 a   ; 5   5;   f)

I. a  0 kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární 0  x 2  12 x  0  0 12 x  0 / :12 x0 II. a  0 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant D  b2  4ac  122  4  a  a  144  4a 2 D0 α) 144  4a 2  0

/ 144

4a  144 2

/ :  4 

a 2  36 a  6  a   6;6  2 12  144  4a 2 12  4  36  a  12  2 36  a 2 x1;2     2a 2a 2a





2 6  36  a 2 2a

  6 

36  a 2 a

Stránka 411


β)

144  4a 2  0

/ 144

4a 2  144

/ :  4 

a 2  36 a  6  6     x1;2    2  6  36  a 6   x1;2    x1;2  a  a  6  D0 6  36  a 2 a a6

36  36 6  0   1 6 6

x1;2 

χ)

144  4a 2  0

36  36 6  0  1 6 6

/ 144

4a 2  144

/ :  4 


a0

x0

a   6;0    0;6 


a6 a  6 a   ; 6    6;  

7. Řešte rovnici s neznámou x  R a parametrem a) ax2  2 x  a  0 b) ax2  4 x  a  0 c) ax2  6 x  a  0 řešení: a)

aR : d) ax2  8x  a  0 e) ax2  10 x  a  0 f) ax2  12 x  a  0

I. a  0 kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární 0  x2  2 x  0  0

2 x  0

/ :  2 

x0 II. a  0 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant 2 D  b2  4ac   2   4  a  a  4  4a 2

Stránka 412

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy D0

α)

4  4a 2  0

/ 4 / :  4 

4a 2  4 a2  1

a  1  a   1;1 2   2   4  4a 2 2  4 1  a  2  2 1  a 2 x1;2     2a 2a 2a





2 1  1  a2 2a

  1

1  a2 a

D0

β)

4  4a 2  0

/ 4 / :  4 

4a  4 2

a 1 a  1 2

 1 11 1 0   1   x1;2  1 1   1  1  a2  1 11 1 0  x1;2    1   x1;2  a  1  1  a  1  D0 1  1  a2 a a 1

x1;2 

χ)

4  4a 2  0

/ 4 / :  4 

4a 2  4 a2  1

a  1  a   ; 1  1;   v R nemá řešení

b)

a0

x0

a   1;0    0;1

x1;2 

a 1 a  1 a   ; 1  1;  

x 1 x  1 nemá řešení

1  1  a2 a


4 x  0

/ :  4 

x0 Stránka 413

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy II. a  0 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant 2 D  b2  4ac   4   4  a  a  16  4a 2 D0 α) 16  4a 2  0

/ 16 / :  4 

4a  16 2

a2  4 a  2  a   2; 2  2   4   16  4a 2 4  4  4  a  4  2 4  a 2 x1;2     2a 2a 2a





2 2  4  a2 2a

  2

4  a2 a

D0

β)

16  4a 2  0 4a 2  16

/ 16 / :  4 

a2  4 a  2  2 44 20   1   x1;2  2 2   2  4  a2  2 44 20  x1;2    1   x1;2  a 2 2  a  2  D0 2  4  a2 a a2

x1;2 

χ)

16  4a 2  0 4a  16 2

/ 16 / :  4 


a0

x0

a   2;0    0;2 

x1;2 

a2 a  2 a   ; 2    2;  


2  4  a2 a

Stránka 414



/ :  6 

6 x  0 x0

II. a  0 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant 2 D  b2  4ac   6   4  a  a  36  4a 2 D0 α) 36  4a 2  0

/ 36 / :  4 

4a  36 2

a2  9 a  3  a   3;3 2   6   36  4a 2 6  4  9  a  6  2 9  a 2 x1;2     2a 2a 2a

 β)



2 3  9  a2 2a

  3

9  a2 a

D0 36  4a 2  0 4a  36 2

/ 36 / :  4 

a2  9 a  3  3 99 3 0   1   x1;2  3 3   3  9  a2  3 99 3 0  x1;2    1   x1;2  a 3 3  a  3  D0 3  9  a2 a a3

x1;2 

χ)

36  4a 2  0 4a  36 2

/ 36 / :  4 


Stránka 415


x0

a   3;0    0;3

3  9  a2 x1;2  a x 1 x  1 nemá řešení

a3 a  3 a   ; 3   3;   d)

I. a  0 kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární 0  x2  8x  0  0

/ :  8 

8 x  0 x0

II. a  0 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant 2 D  b2  4ac   8  4  a  a  64  4a 2 D0 α) 64  4a 2  0

/ 64

4a  64 2

/ :  4 

a 2  16 a  4  a   4; 4  2   8   64  4a 2 8  4 16  a  8  2 16  a 2 x1;2     2a 2a 2a

 β)



2 4  16  a 2 2a

  4

16  a 2 a

D0 64  4a 2  0 4a 2  64

/ 64 / :  4 

a 2  16 a  4  4    x1;2    4  16  a 2  4  x1;2    x1;2  a  a  4  4  16  a 2 x1;2  a a4

16  16 4  0  1 4 4 16  16 4  0   1 4 4

Stránka 416


χ)

64  4a 2  0

/ 64 / :  4 

4a 2  64 a 2  16

a  4  a   ; 4    4;   v R nemá řešení

a0

x0

a   4;0    0;4 

4  16  a 2 x1;2  a x 1 x  1 nemá řešení

a4 a  4 a   ; 4    4;   e)

I. a  0 kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární 0  x 2  10 x  0  0

/ :  10 

10 x  0 x0


/ 100

4a 2  100

/ :  4 

a 2  25 a  5  a   5;5  2   10   100  4a 2 10  4  25  a  10  2 25  a 2 x1;2     2a 2a 2a

 β)



2 5  25  a 2 2a

  5

25  a 2 a

D0 100  4a 2  0 4a  100 2

/ 100 / :  4 

a 2  25 a  5

Stránka 417

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy  5  25  25 5  0   1   x1;2  5 5   5  25  a 2  5  25  25 5  0  x1;2    1   x1;2  a  5  5  a  5  D0 5  25  a 2 a a5

x1;2 

χ)

100  4a 2  0

/ 100

4a 2  100

/ :  4 


f)

a0

x0

a   5;0    0;5

x1;2 

a5 a  5 a   ; 5   5;  


5  25  a 2 a

I. a  0 kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární 0  x 2  12 x  0  0

/ :  12 

12 x  0 x0


/ 144

4a  144 2

/ :  4 

a 2  36 a  6  a   6;6  2   12   144  4a 2 12  4  36  a  12  2 36  a 2 x1;2     2a 2a 2a





2 6  36  a 2 2a

  6

36  a 2 a

Stránka 418


β)

144  4a 2  0

/ 144 / :  4 

4a 2  144 a 2  36 a  6

 6  36  36 6  0   1   x1;2  6 6   2  6  36  a 6  36  36 6  0  x1;2    1   x1;2  a  6  6  a  6  D0 6  36  a 2 a a6

x1;2 

χ)

144  4a 2  0 4a 2  144

/ 144 / :  4 


a0

x0

a   6;0    0;6 

x1;2 

a6 a  6 a   ; 6    6;  


6  36  a 2 a

8. Řešte rovnici s neznámou x  R a parametrem a) ax2  2 x  a  0 b) ax2  4 x  a  0 c) ax2  6 x  a  0 řešení: a)

aR : d) ax2  8x  a  0 e) ax2  10 x  a  0 f) ax2  12 x  a  0

I. a  0 kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární 0  x2  2x  0  0 2x  0 / : 2 x0 II. a  0 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant D  b2  4ac  22  4  a   a   4  4a 2

Stránka 419


α)

4  4a 2  0

/ 4

4a 2  4

/:4

a 2  1 aR 2 2  4  4a 2 2  4 1  a  2  2 1  a 2 x1;2     2a 2a 2a





2 1  1  a 2 2a

  1 

1  a2 a

D0

β)

4  4a 2  0 4a  4 2

/ 4 /:4

a  1 a  D0 2

χ)

4  4a 2  0 4a 2  4

/ 4 /:4

a 2  1 a 

b)

a0

x0

a   ;0    0;  

x1;2 

1  1  a 2 a

I. a  0 kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární 0  x2  4x  0  0 4x  0 / : 4 x0 II. a  0 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant D  b2  4ac  42  4  a   a   16  4a 2 α) D0

16  4a 2  0 4a  16 2

/ 16 /:4

a  4 aR 2

Stránka 420

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 2 4  16  4a 2 4  4  4  a  4  2 4  a 2 x1;2     2a 2a 2a





2 2  4  a 2 2a

  2 

4  a2 a

D0

β)

16  4a 2  0

/ 16

4a 2  16

/:4

a 2  4 a  D0

χ)

16  4a 2  0

/ 16

4a  16 2

/:4

a  4 a  2

c)

a0

x0

a   ;0    0;  

2  4  a 2 x1;2  a

I. a  0 kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární 0  x2  6x  0  0 6x  0 / : 6 x0 II. a  0 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant D  b2  4ac  62  4  a   a   36  4a 2 α) D0

36  4a 2  0

/ 36

4a 2  36

/:4

a 2  9 aR

2 6  36  4a 2 6  4  9  a  6  2 9  a 2 x1;2     2a 2a 2a





2 3  9  a 2 2a

  3 

9  a2 a

Stránka 421


β)

36  4a 2  0

/ 36

4a 2  36

/:4

a 2  9 a  D0

χ)

36  4a 2  0

/ 36

4a  36 2

/:4

a  9 a  2

d)

a0

x0

a   ;0    0;  

3  9  a 2 x1;2  a

I. a  0 kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární 0  x2  8x  0  0 8x  0 / : 8 x0 II. a  0 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant D  b2  4ac  82  4  a   a   64  4a 2 D0 α) 64  4a 2  0

/ 64

4a 2  64

/:4

a 2  16 aR 2 8  64  4a 2 8  4 16  a  8  2 16  a 2 x1;2     2a 2a 2a

 β)



2 4  16  a 2 2a

  4 

16  a 2 a

D0 64  4a 2  0 4a  64 2

/ 64 /:4

a  16 a  2

Stránka 422


χ)

64  4a 2  0

/ 64

4a 2  64

/:4

a 2  16 a 

e)

a0

x0

a   ;0    0;  

x1;2 

4  16  a 2 a

I. a  0 kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární 0  x 2  10 x  0  0 10 x  0 / :10 x0 II. a  0 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant D  b2  4ac  102  4  a   a   100  4a 2 D0 α) 100  4a 2  0

/ 100

4a  100 2

/:4

a  25 aR 2

2 10  100  4a 2 10  4  25  a  10  2 25  a 2 x1;2     2a 2a 2a

 β)



2 5  25  a 2

25  a 2 a

D0 100  4a 2  0 4a 2  100

χ)

2a

  5 

/ 100 /:4

a 2  25 a  D0 100  4a 2  0 4a  100 2

/ 100 /:4

a  25 a  2

Stránka 423


f)

a0

x0

a   ;0    0;  

5  25  a 2 x1;2  a

I. a  0 kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární 0  x 2  12 x  0  0 12 x  0 / :12 x0 II. a  0 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant D  b2  4ac  122  4  a   a   144  4a 2 D0 α) 144  4a 2  0

/ 144

4a 2  144

/:4

a 2  36 aR 2 12  144  4a 2 12  4  36  a  12  2 36  a 2 x1;2     2a 2a 2a





2 6  36  a 2 2a

  6 

36  a 2 a

D0

β)

144  4a 2  0 4a  144 2

/ 144 /:4

a  36 a  D0 2

χ)

144  4a 2  0 4a 2  144

/ 144 /:4

a 2  36 a 

a0

x0

a   ;0    0;  

x1;2 

6  36  a 2 a

9. Řešte rovnici s neznámou x  R a parametrem a) ax2  2 x  a  0 b) ax2  4 x  a  0 c) ax2  6 x  a  0

aR : d) ax2  8x  a  0 e) ax2  10 x  a  0 f) ax2  12 x  a  0 Stránka 424


I. a  0 kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární 0  x2  2 x  0  0

/ :  2 

2 x  0 x0

II. a  0 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant 2 D  b2  4ac   2   4  a   a   4  4a 2 D0 α) 4  4a 2  0

/ 4

4a  4 2

/:4

a  1 aR 2

2   2   4  4a 2 2  4 1  a  2  2 1  a 2 x1;2     2a 2a 2a





2 1  1  a2 2a

  1

1  a2 a

D0

β)

4  4a 2  0

/ 4

4a 2  4

/:4

a 2  1 a  D0

χ)

4  4a 2  0

/ 4

4a  4 2

/:4

a  1 a  2

b)

a0

x0

a   ;0    0;  

x1;2 

1  1  a2 a


4 x  0

/ :  4 

x0 II. a  0 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant 2 D  b2  4ac   4   4  a   a   16  4a 2 Stránka 425

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy α)

D0 16  4a 2  0

/ 16

4a 2  16

/:4

a 2  4 aR 2   4   16  4a 2 4  4  4  a  4  2 4  a 2 x1;2     2a 2a 2a

 β)



2 2  4  a2 2a

  2

4  a2 a

D0 16  4a 2  0

/ 16

4a  16 2

/:4

a  4 a  D0 2

χ)

16  4a 2  0

/ 16

4a 2  16

/:4

a 2  4 a 

c)

a0

x0

a   ;0    0;  

x1;2 

2  4  a2 a


6 x  0

/ :  6 

x0 II. a  0 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant 2 D  b2  4ac   6   4  a   a   36  4a 2 α) D0

36  4a 2  0 4a 2  36

/ 36 /:4

a  9 aR 2

Stránka 426

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 2   6   36  4a 2 6  4  9  a  6  2 9  a 2 x1;2     2a 2a 2a

 β)



2 3  9  a2 2a

9  a2 a

D0 36  4a 2  0

/ 36

4a 2  36

χ)

  3

/:4

a 2  9 a  D0 36  4a 2  0

/ 36

4a  36 2

/:4

a  9 a  2

d)

a0

x0

a   ;0    0;  

3  9  a2 x1;2  a

I. a  0 kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární 0  x2  8x  0  0

/ :  8 

8 x  0 x0

II. a  0 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant 2 D  b2  4ac   8  4  a   a   64  4a 2 D0 α) 64  4a 2  0

/ 64

4a 2  64

/:4

a 2  16 aR 2   8   64  4a 2 8  4 16  a  8  2 16  a 2 x1;2     2a 2a 2a





2 4  16  a 2 2a

  4

16  a 2 a

Stránka 427


D0 64  4a 2  0

/ 64

4a 2  64

χ)

/:4

a 2  16 a  D0 64  4a 2  0

/ 64

4a  64 2

/:4

a  16 a  2

e)

a0

x0

a   ;0    0;  

4  16  a 2 x1;2  a

I. a  0 kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární 0  x 2  10 x  0  0

/ :  10 

10 x  0 x0


/ 100

4a 2  100

/:4

a 2  25 aR 2   10   100  4a 2 10  4  25  a  10  2 25  a 2 x1;2     2a 2a 2a

 β)



2 5  25  a 2 2a

  5

25  a 2 a

D0 100  4a 2  0 4a 2  100

/ 100 /:4

a  25 a  2

Stránka 428


D0 100  4a 2  0

/ 100

4a 2  100

/:4

a 2  25 a 

f)

a0

x0

a   ;0    0;  

x1;2 

5  25  a 2 a

I. a  0 kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární 0  x 2  12 x  0  0

/ :  12 

12 x  0 x0


/ 144

4a  144 2

/:4

a  36 aR 2

2   12   144  4a 2 12  4  36  a  12  2 36  a 2 x1;2     2a 2a 2a

 β)



2 6  36  a 2

36  a 2 a

D0 144  4a 2  0 4a  144 2

χ)

2a

  6

/ 144 /:4

a 2  36 a  D0 144  4a 2  0 4a 2  144

/ 144 /:4

a  36 a  2

Stránka 429


x0

a   ;0    0;  

6  36  a 2 x1;2  a

10. Řešte rovnici s neznámou x  R a parametrem a) x2  2 x  a 2  0 b) x2  4 x  a 2  0 c) x2  6 x  a 2  0

aR : d) x2  8x  a 2  0 e) x2  10 x  a 2  0 f) x2  12 x  a 2  0

řešení: a) D  b2  4ac  22  4 1 a2  4  4a2 α) D0 4  4a 2  0

/ 4 / :  4 

4a  4 2

a 1 2

a  1  a   1;1 2 2  4  4a 2 2  4 1  a  2  2 1  a 2 x1;2     2 1 2 2

 β)



2 1  1  a 2 2

  1 

1  a2

D0 4  4a 2  0 4a  4 2

/ 4 / :  4 

a 1 a  1 2

x1;2  1  1  a 2     x1;2  1  1  1  1  0  1 a 1  

χ)

x1;2  1  1  a 2     x1;2  1  1  1  1  0  1 a  1   D0

4  4a 2  0 4a  4 2

/ 4 / :  4 

a2  1 a  1  a   ; 1  1;   v R nemá řešení

Stránka 430

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy a   1;1

x1;2  1  1  a 2

a  1 a   ; 1  1;  


b) D  b2  4ac  42  4 1 a2  16  4a2 α) D0 16  4a 2  0

/ 16 / :  4 

4a  16 2

a 4 2

a  2  a   2; 2  2 4  16  4a 2 4  4  4  a  4  2 4  a 2 x1;2     2 1 2 2





2 2  4  a 2 2

  2 

4  a2

D0

β)

16  4a 2  0 4a  16 2

/ 16 / :  4 

a 4 a  2 2

x1;2  2  4  a 2     x1;2  2  4  4  2  0  2 a2  

χ)

x1;2  2  4  a 2     x1;2  2  4  4  2  0  2 a  2   D0

16  4a 2  0 4a 2  16

/ 16 / :  4 


a   2; 2 

x1;2  2  4  a 2

a  2 a   ; 2    2;  


Stránka 431

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy c) D  b2  4ac  62  4 1 a2  36  4a2 α) D0 36  4a 2  0

/ 36 / :  4 

4a  36 2

a 9 2

a  3  a   3;3 2 6  36  4a 2 6  4  9  a  6  2 9  a 2 x1;2     2 1 2 2





2 3  9  a 2 2

  3 

9  a2

D0

β)

36  4a 2  0 4a  36 2

/ 36 / :  4 

a 9 a  3 2

x1;2  3  9  a 2     x1;2  3  9  9  3  0  3 a3  

χ)

x1;2  3  9  a 2     x1;2  3  9  9  3  0  3 a  3   D0

36  4a 2  0 4a  36 2

/ 36 / :  4 


a   3;3

x1;2  3  9  a 2

a  3 a   ; 3   3;  


d) D  b2  4ac  82  4 1 a2  64  4a2 α) D0 64  4a 2  0 4a 2  64

/ 64 / :  4 

a 2  16 a  4  a   4; 4  Stránka 432

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 2 8  64  4a 2 8  4 16  a  8  2 16  a 2 x1;2     2 1 2 2





2 4  16  a 2 2

  4 

16  a 2

D0

β)

64  4a 2  0

/ 64 / :  4 

4a 2  64 a 2  16 a  4

x1;2  4  16  a 2     x1;2  4  16  16  4  0  4 a4  

χ)

x1;2  4  16  a 2     x1;2  4  16  16  4  0  4 a  4   D0

64  4a 2  0

/ 64 / :  4 

4a  64 2

a  16 2

a  4  a   ; 4    4;   v R nemá řešení

a   4; 4 

x1;2  4  16  a 2

a  4 a   ; 4    4;  


e) D  b2  4ac  102  4 1 a2  100  4a 2 α) D0 100  4a 2  0

/ 100

4a 2  100

/ :  4 

a 2  25 a  5  a   5;5  2 10  100  4a 2 10  4  25  a  10  2 25  a 2 x1;2     2 1 2 2





2 5  25  a 2 2

  5 

25  a 2

Stránka 433


β)

100  4a 2  0

/ 100

4a 2  100

/ :  4 

a 2  25 a  5 x1;2  5  25  a 2     x1;2  5  25  25  5  0  5 a5  

χ)

x1;2  5  25  a 2     x1;2  5  25  25  5  0  5 a  5   D0

100  4a 2  0

/ 100

4a  100 2

/ :  4 

a  25 2

a  5  a   ; 5    5;   v R nemá řešení

f)

a   5;5

x1;2  5  25  a 2

a  5 a   ; 5   5;  


D  b2  4ac  122  4 1 a2  144  4a 2 α) D0

144  4a 2  0

/ 144

4a 2  144

/ :  4 

a 2  36 a  6  a   6;6  2 12  144  4a 2 12  4  36  a  12  2 36  a 2 x1;2     2 1 2 2

 β)



2 6  36  a 2 2

  6 

36  a 2

D0 144  4a 2  0 4a 2  144

/ 144 / :  4 

a 2  36 a  6

Stránka 434

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy x1;2  6  36  a 2     x1;2  6  36  36  6  0  6 a6  

χ)

x1;2  6  36  a 2     x1;2  6  36  36  6  0  6 a  6   D0

144  4a 2  0

/ 144 / :  4 

4a  144 2


a   6;6 

x1;2  6  36  a 2

a  6 a   ; 6    6;  


11. Řešte rovnici s neznámou x  R a parametrem a) x2  2 x  a 2  0 b) x2  4 x  a 2  0 c) x2  6 x  a 2  0

aR : d) x2  8x  a 2  0 e) x2  10 x  a 2  0 f) x2  12 x  a 2  0

řešení: 2 a) D  b2  4ac   2   4 1 a 2  4  4a 2 α) D0 4  4a 2  0

/ 4 / :  4 

4a  4 2

a2  1 a  1  a   1;1 2   2   4  4a 2 2  4 1  a  2  2 1  a 2 x1;2     2 1 2 2

 β)



2 1  1  a2 2

  1

1  a2

D0 4  4a 2  0 4a  4 2

/ 4 / :  4 

a2  1 a  1

Stránka 435

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy x1;2  1  1  a 2     x1;2  1  1  1  1  0  1 a 1  

χ)

x1;2  1  1  a 2     x1;2  1  1  1  1  0  1 a  1   D0

4  4a 2  0

/ 4 / :  4 

4a  4 2

a2  1 a  1  a   ; 1  1;   v R nemá řešení

a   1;1

x1;2  1  1  a 2

a  1 a   ; 1  1;  


b) D  b2  4ac   4   4 1 a 2  16  4a 2 α) D0 2

16  4a 2  0

/ 16

4a  16 2

/ :  4 

a 4 2

a  2  a   2; 2  2   4   16  4a 2 4  4  4  a  4  2 4  a 2 x1;2     2 1 2 2

 β)



2 2  4  a2 2

  2

4  a2

D0 16  4a 2  0 4a  16 2

/ 16 / :  4 

a 4 a  2 2

x1;2  2  4  a 2     x1;2  2  4  4  2  0  2 a2   x1;2  2  4  a 2     x1;2  2  4  4  2  0  2 a  2  

Stránka 436


χ)

16  4a 2  0

/ 16 / :  4 

4a 2  16 a2  4

a  2  a   ; 2    2;   v R nemá řešení

a   2; 2 

x1;2  2  4  a 2

a  2 a   ; 2    2;  


c) D  b2  4ac   6   4 1 a 2  36  4a 2 α) D0 2

36  4a 2  0

/ 36

4a 2  36

/ :  4 

a2  9 a  3  a   3;3 2   6   36  4a 2 6  4  9  a  6  2 9  a 2 x1;2     2 1 2 2

 β)



2 3  9  a2 2

  3

9  a2

D0 36  4a 2  0 4a 2  36

/ 36 / :  4 

a2  9 a  3 x1;2  3  9  a 2     x1;2  3  9  9  3  0  3 a3  

χ)

x1;2  3  9  a 2     x1;2  3  9  9  3  0  3 a  3   D0

36  4a 2  0 4a  36 2

/ 36 / :  4 

a2  9 a  3  a   ; 3   3;   v R nemá řešení Stránka 437

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy a   3;3

x1;2  3  9  a 2

a  3 a   ; 3   3;  


d) D  b2  4ac   8  4 1 a 2  64  4a 2 α) D0 2

64  4a 2  0

/ 64

4a  64 2

/ :  4 

a 2  16 a  4  a   4; 4  2   8   64  4a 2 8  4 16  a  8  2 16  a 2 x1;2     2 1 2 2





2 4  16  a 2 2

  4

16  a 2

D0

β)

64  4a 2  0 4a  64 2

/ 64 / :  4 

a 2  16 a  4  x1;2  4  16  a 2    x1;2  4  16  16  4  0  4 a4  

χ)

x1;2  4  16  a 2     x1;2  4  16  16  4  0  4 a  4   D0

64  4a 2  0 4a 2  64

/ 64 / :  4 


a   4; 4 

x1;2  4  16  a 2

a  4 a   ; 4    4;  


Stránka 438

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy e) D  b2  4ac   10   4 1 a 2  100  4a 2 α) D0 2

100  4a 2  0

/ 100

4a 2  100

/ :  4 

a 2  25 a  5  a   5;5  2   10   100  4a 2 10  4  25  a  10  2 25  a 2 x1;2     2 1 2 2





2 5  25  a 2 2

  5

25  a 2

D0

β)

100  4a 2  0

/ 100

4a 2  100

/ :  4 

a 2  25 a  5 x1;2  5  25  a 2     x1;2  5  25  25  5  0  5 a5  

χ)

x1;2  5  25  a 2     x1;2  5  25  25  5  0  5 a  5   D0

100  4a 2  0

/ 100

4a 2  100

/ :  4 


f)

a   5;5

x1;2  5  25  a 2

a  5 a   ; 5   5;  


D  b2  4ac   12   4 1 a 2  144  4a 2 α) D0 2

144  4a 2  0 4a 2  144

/ 144 / :  4 

a 2  36 a  6  a   6;6  Stránka 439

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 2   12   144  4a 2 12  4  36  a  12  2 36  a 2 x1;2     2 1 2 2





2 6  36  a 2 2

  6

36  a 2

D0

β)

144  4a 2  0 4a 2  144

/ 144 / :  4 

a 2  36 a  6 x1;2  6  36  a 2     x1;2  6  36  36  6  0  6 a6  

χ)

x1;2  6  36  a 2     x1;2  6  36  36  6  0  6 a  6   D0

144  4a 2  0 4a  144 2

/ 144 / :  4 

a  36 2

a  6  a   ; 6    6;   v R nemá řešení

a   6;6 

x1;2  6  36  a 2

a  6 a   ; 6    6;  


12. Řešte rovnici s neznámou x  R a parametrem a) x2  2 x  a 2  0 b) x2  4 x  a 2  0 c) x2  6 x  a 2  0

aR : d) x2  8x  a 2  0 e) x2  10 x  a 2  0 f) x2  12 x  a 2  0

řešení: a) D  b2  4ac  22  4 1  a 2   4  4a 2 α)

D0 4  4a 2  0 4a  4 2

/ 4 /:4

a  1 aR 2

Stránka 440

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 2 2  4  4a 2 2  4 1  a  2  2 1  a 2 x1;2     2 1 2 2





2 1  1  a 2 2

  1 

1  a2

D0

β)

4  4a 2  0

/ 4

4a 2  4

/:4

a 2  1 a  D0

χ)

4  4a 2  0

/ 4

4a  4 2

/:4

a  1 a  2

aR

x1;2  1  1  a 2

b) D  b2  4ac  42  4 1  a 2   16  4a 2 α)

D0 16  4a 2  0

/ 16

4a 2  16

/:4

a 2  4 aR

2 4  16  4a 2 4  4  4  a  4  2 4  a 2 x1;2     2 1 2 2

 β)



2 2  4  a 2 2

  2 

4  a2

D0 16  4a 2  0 4a  16 2

/ 16 /:4

a  4 a  D0 2

χ)

16  4a 2  0 4a 2  16

/ 16 /:4

a 2  4 a  Stránka 441

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy aR

x1;2  2  4  a 2

c) D  b2  4ac  62  4 1  a 2   36  4a 2

D0

α)

36  4a 2  0

/ 36

4a 2  36

/:4

a  9 aR 2

2 6  36  4a 2 6  4  9  a  6  2 9  a 2 x1;2     2 1 2 2





2 3  9  a 2 2

  3 

9  a2

D0

β)

36  4a 2  0

/ 36

4a  36 2

/:4

a 2  9 a  D0

χ)

36  4a 2  0

/ 36

4a 2  36

/:4

a  9 a  2

aR

x1;2  3  9  a 2

d) D  b2  4ac  82  4 1  a 2   64  4a 2

D0

α)

64  4a 2  0

/ 64

4a 2  64

/:4

a 2  16 aR

2 8  64  4a 2 8  4 16  a  8  2 16  a 2 x1;2     2 1 2 2





2 4  16  a 2 2

  4 

16  a 2

Stránka 442


β)

64  4a 2  0

/ 64

4a 2  64

/:4

a 2  16 a  D0

χ)

64  4a 2  0

/ 64

4a  64 2

/:4

a  16 a  2

aR

x1;2  4  16  a 2

e) D  b2  4ac  102  4 1  a 2   100  4a 2

D0

α)

100  4a 2  0

/ 100

4a 2  100

/:4

a 2  25 aR

2 10  100  4a 2 10  4  25  a  10  2 25  a 2 x1;2     2 1 2 2





2 5  25  a 2 2

  5 

25  a 2

D0

β)

100  4a 2  0 4a  100 2

/ 100 /:4

a  25 a  D0 2

χ)

100  4a 2  0 4a 2  100

/ 100 /:4

a 2  25 a 

aR

x1;2  5  25  a 2

Stránka 443


D  b2  4ac  122  4 1  a 2   144  4a 2

D0

α)

144  4a 2  0

/ 144

4a 2  144

/:4

a 2  36 aR

2 12  144  4a 2 12  4  36  a  12  2 36  a 2 x1;2     2 1 2 2





2 6  36  a 2 2

  6 

36  a 2

D0

β)

144  4a 2  0 4a  144 2

/ 144 /:4

a  36 a  D0 2

χ)

144  4a 2  0 4a 2  144

/ 144 /:4

a 2  36 a 

aR

x1;2  6  36  a 2

13. Řešte rovnici s neznámou x  R a parametrem a) x2  2 x  a 2  0 b) x2  4 x  a 2  0 c) x2  6 x  a 2  0

aR : d) x2  8x  a 2  0 e) x2  10 x  a 2  0 f) x2  12 x  a 2  0

řešení: 2 a) D  b2  4ac   2   4 1  a 2   4  4a 2 α)

D0 4  4a 2  0 4a  4 2

/ 4 /:4

a  1 aR 2

Stránka 444

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 2   2   4  4a 2 2  4 1  a  2  2 1  a 2 x1;2     2 1 2 2





2 1  1  a2 2

  1

1  a2

D0

β)

4  4a 2  0

/ 4

4a 2  4

/:4

a 2  1 a  D0

χ)

4  4a 2  0

/ 4

4a  4 2

/:4

a  1 a  2

aR

x1;2  1  1  a 2

b) D  b2  4ac   4   4 1  a 2   16  4a 2 2

α)

D0 16  4a 2  0

/ 16

4a  16 2

/:4

a 2  4 aR

2   4   16  4a 2 4  4  4  a  4  2 4  a 2 x1;2     2 1 2 2

 β)



2 2  4  a2 2

  2

4  a2

D0 16  4a 2  0 4a 2  16

/ 16 /:4

a  4 a  D0 2

χ)

16  4a 2  0 4a  16 2

/ 16 /:4

a 2  4 a  Stránka 445


x1;2  2  4  a 2

c) D  b2  4ac   6   4 1  a 2   36  4a 2 2

D0

α)

36  4a 2  0

/ 36

4a 2  36

/:4

a 2  9 aR

2   6   36  4a 2 6  4  9  a  6  2 9  a 2 x1;2     2 1 2 2





2 3  9  a2 2

  3

9  a2

D0

β)

36  4a 2  0

/ 36

4a  36 2

/:4

a  9 a  D0 2

χ)

36  4a 2  0

/ 36

4a 2  36

/:4

a 2  9 a 

aR

x1;2  3  9  a 2

d) D  b2  4ac   8  4 1  a 2   64  4a 2 2

D0

α)

64  4a 2  0

/ 64

4a  64 2

/:4

a  16 aR 2

2   8   64  4a 2 8  4 16  a  8  2 16  a 2 x1;2     2 1 2 2





2 4  16  a 2 2

  4

16  a 2

Stránka 446


β)

64  4a 2  0

/ 64

4a 2  64

/:4

a 2  16 a  D0

χ)

64  4a 2  0

/ 64

4a  64 2

/:4

a  16 a  2

aR

x1;2  4  16  a 2

e) D  b2  4ac   10   4 1  a 2   100  4a 2 2

D0

α)

100  4a 2  0

/ 100

4a  100 2

/:4

a 2  25 aR

2   10   100  4a 2 10  4  25  a  10  2 25  a 2 x1;2     2 1 2 2





2 5  25  a 2 2

  5

25  a 2

D0

β)

100  4a 2  0 4a 2  100

/ 100 /:4

a  25 a  D0 2

χ)

100  4a 2  0 4a  100 2

/ 100 /:4

a 2  25 a 

aR

x1;2  5  25  a 2

Stránka 447


D  b2  4ac   12   4 1  a 2   144  4a 2 2

D0

α)

144  4a 2  0

/ 144

4a 2  144

/:4

a 2  36 aR

2   12   144  4a 2 12  4  36  a  12  2 36  a 2 x1;2     2 1 2 2





2 6  36  a 2 2

  6

36  a 2

D0

β)

144  4a 2  0

/ 144

4a  144 2

/:4

a  36 a  D0 2

χ)

144  4a 2  0

/ 144

4a 2  144

/:4

a 2  36 a 

aR

x1;2  6  36  a 2

14. Řešte rovnici s neznámou x  R a parametrem a  R : a)  a  1 x2  2ax  2 x  a  0 d)  a  1 x 2  2ax  2 x  a  0 b) c)

 a  2 x2  2ax  4 x  a  0  a  3 x2  2ax  6 x  a  0

e) f)

 a  2 x2  2ax  4 x  a  0  a  3 x2  2ax  6 x  a  0

řešení: a) kvadratickou rovnici nejprve upravíme  a  1 x 2  2ax  2 x  a  0

 a  1 x 2   2a  2  x  a  0 I. a 1  0  a  1 : kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární 1  1  x 2   2 1  2  x  1  0 4x 1  0

/ 1

4 x  1 x

/:4

1 4 Stránka 448

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy II. a  1 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant 2 D  b 2  4ac   2a  2   4   a  1  a  4a 2  8a  4  4a  a  1   4a 2  8a  4  4a 2  4a  12a  4 D0 α)

12a  4  0

/ 4

12a  4 a x1;2  

/ :12

1 3

  2a  2   12a  4 2a  2  4  3a  1 2a  2  2 3a  1    2   a  1 2  a  1 2  a  1



2 a  1  3a  1 2  a  1

  a  1 

3a  1 a 1

D0

β)

12a  4  0

/ 4

12a  4 a

/ :12

1 3

a  1  3a  1   a 1   x1;2  1  a  3

x1;2 

χ)

D0 12a  4  0 12a  4

 1  1     1  3    1 1 1  0 1  3  3  3 3  3  1 1  3 4  1 3 3 3

2  2  3  1  3        4  3   4  2 3

/ 4 / :12

1 3 v R nemá řešení

a

a 1

x

1 3  1  a    ;1  1;    3  1  a   ;   3 

x

a

1 4

1 2

x1;2 

a  1  3a  1 a 1

nemá řešení

Stránka 449

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy b) kvadratickou rovnici nejprve upravíme  a  2  x2  2ax  4 x  a  0

 a  2  x 2   2a  4  x  a  0 I. a  2  0  a  2 : kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární  2  2  x2   2  2  4 x  2  0 8x  2  0

/ 2

8 x  2 x

/ :8

1 4

II. a  1 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant 2 D  b 2  4ac   2a  4   4   a  2   a  4a 2  16a  16  4a  a  2    4a 2  16a  16  4a 2  8a  24a  16 D0 α)

24a  16  0

/ 16

24a  16 a x1;2   β)

/ : 24

2 3

  2a  4   24a  16 2a  4  4  6a  4  2a  4  2 6a  4    2   a  2 2  a  2 2  a  2



2  a  2  6a  4 2  a  2

  a  2 

6a  4 a2

D0 24a  16  0

/ 16

24a  16 a

/ : 24

2 3

 a  2  6a  4   a2   x1;2  2  a  3

x1;2 

 2  2     2  6    4 2  2  0 2  6  3  3 3  3  2 2  6 8  2 3 3 3

4  4  3  1  3        8  3   8  2 3

Stránka 450


D0 24a  16  0

/ 16

24a  16

/ : 24


a

a2

x

2 3  2  a    ; 2    2;    3  2  a   ;   3 

x

a

1 4

1 2

x1;2 

 a  2  6a  4 a2

nemá řešení

c) kvadratickou rovnici nejprve upravíme  a  3 x 2  2ax  6 x  a  0

 a  3  x 2   2a  6  x  a  0 I. a  3  0  a  3 : kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární  3  3  x 2   2  3  6  x  3  0 12 x  3  0

/ 3

12 x  3 x

/ :12

1 4

II. a  1 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant 2 D  b2  4ac   2a  6   4   a  3  a  4a 2  24a  36  4a  a  3   4a 2  24a  36  4a 2  12a  36a  36 α) D0

36a  36  0 36a  36 a  1

x1;2   β)

/ 36 / : 36

  2a  6   36a  36 2a  6  36  a  1 2a  6  6 a  1    2   a  3 2  a  3 2  a  3



2 a  3  3 a  1 2  a  3

D0 36a  36  0 36a  36 a  1

  a  3  3

a 1

a 3

/ 36 / : 36 Stránka 451

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy a  3  3 a  1    1  3  3 1  1 1  3  0 2 1       x1;2  a 3  1  3  4 2  4  a  1  D0 36a  36  0 / 36 36a  36 / : 36 a  1 v R nemá řešení x1;2 

χ)

1 4

a3

x

a  1

x

a   1;3   3;  

a  3  3 a  1 a 3 nemá řešení

a   ; 1

1 2

x1;2 

d) kvadratickou rovnici nejprve upravíme  a  1 x 2  2ax  2 x  a  0

 a  1 x 2   2a  2  x  a  0 I. a  1  0  a  1: kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární  1  1  x 2  2  1  2 x   1  0 4 x  1  0

/ 1 / :  4 

4 x  1 x

1 4

II. a  1 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant 2 D  b 2  4ac   2a  2   4   a  1  a  4a 2  8a  4  4a  a  1   4a 2  8a  4  4a 2  4a  12a  4 D0 α)

12a  4  0 12a  4 a x1;2  

/ 4 / :  12 

1 3

  2a  2   12a  4 2a  2  4  3a  1 2a  2  2 3a  1    2   a  1 2  a  1 2  a  1



2 a  1  3a  1 2  a  1

  a  1 

3a  1 a 1

Stránka 452


β)

12a  4  0 12a  4 a

/ 4 / :  12 

1 3

1 1 a  1  3a  1    1  3    1  1  1  0 1  3  3 3 a 1  3  3    x1;2  1 1  3 4 1  1 a 3 3 3  3 2 2 3 1 3   4 3 4 2 3 D0

x1;2 

χ)

12a  4  0 12a  4

/ 4 / :  12 


a

a  1 a

1 3

 1 a   ; 1   1;   3 1  a  ; 3 

x x

1 4

1 2

x1;2 

a  1  3a  1 a 1

nemá řešení

e) kvadratickou rovnici nejprve upravíme  a  2  x2  2ax  4 x  a  0

 a  2  x 2   2a  4  x  a  0 I. a  2  0  a  2 : kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární  2  2  x 2  2  2   4 x   2   0 8 x  2  0

/ 2 / :  8 

8 x  2 x

1 4

II. a  2 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant

Stránka 453

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy D  b 2  4ac   2a  4   4   a  2   a  4a 2  16a  16  4a  a  2   2

 4a 2  16a  16  4a 2  8a  24a  16 D0 α)

24a  16  0

/ 16

24a  16 a x1;2   β)

/ :  24 

2 3

  2a  4   24a  16 2a  4  4  6a  4  2a  4  2 6a  4    2   a  2 2  a  2 2  a  2



2 a  2  6a  4 2  a  2

  a  2 

6a  4 a2

D0 24a  16  0 24a  16 a

/ 16 / :  24 

2 3

2 2 a  2  6a  4    2  6    4  2  2  0 2  6  3 3 a2  3  3    x1;2  2 2  6 8 2  2 a 3 3 3  3 4 4 3 1 3   8 3 8 2 3 D0

x1;2 

χ)

24a  16  0 24a  4

/ 16 / :  12 


a

Stránka 454

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy a  2 a

x

2 3

x

2  a   ; 2    2;  3  2  a  ; 3 

1 4

1 2

x1;2 

a  2  6a  4 a2

nemá řešení

f) kvadratickou rovnici nejprve upravíme  a  3 x2  2ax  6 x  a  0

 a  3  x 2   2a  6  x  a  0 I. a  3  0  a  3 : kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární  3  3  x 2  2  3  6 x   3  0 12 x  3  0

/ 3 / :  12 

12 x  3 x

1 4

II. a  3 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant 2 D  b2  4ac   2a  6   4   a  3  a  4a 2  24a  36  4a  a  3   4a 2  24a  36  4a 2  12a  36a  36 α) D0

36a  36  0

/ 36

36a  36

/ :  36 

a 1

x1;2   β)

  2a  6   36a  36 2a  6  36  a  1 2a  6  6 a  1    2   a  3 2  a  3 2  a  3



2 a  3  3 a  1 2  a  3

  a  3  3

a  1

a3

D0 36a  36  0 36a  36

/ 36 / :  36 

a 1

a  3  3 a  1  1  3  3 1  1 2  0 2 1       x1;2  a3 1 3 4 4 2  a 1 

x1;2 

Stránka 455


χ)

36a  36  0

/ 36

36a  36

/ :  36 

a 1 v R nemá řešení 1 4

a  3

x

a 1

x

a   ; 3   3;1

a  3  3 a  1 a3 nemá řešení

a  1;  

1 2

x1;2 

15. Řešte rovnici s neznámou x  R a parametrem a  R : a)  a  1 x2  2ax  2 x  a  0 d)  a  1 x 2  2ax  2 x  a  0 b) c)

 a  2 x2  2ax  4x  a  0  a  3 x2  2ax  6 x  a  0

e) f)

 a  2 x2  2ax  4x  a  0  a  3 x2  2ax  6 x  a  0

řešení: a) kvadratickou rovnici nejprve upravíme  a  1 x 2  2ax  2 x  a  0

 a  1 x 2   2a  2  x  a  0 I. a 1  0  a  1 : kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární 1  1  x 2   2 1  2  x  1  0 4 x  1  0 4 x  1 x

/ 1 /:4

1 4

II. a  1 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant 2 D  b 2  4ac   2a  2   4   a  1  a  4a 2  8a  4  4a  a  1   4a 2  8a  4  4a 2  4a  12a  4 D0 α)

12a  4  0

/ 4

12a  4 a

/ :12

1 3

Stránka 456

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy x1;2  

  2a  2   12a  4 2a  2  4  3a  1 2a  2  2 3a  1    2   a  1 2  a  1 2  a  1



2 a  1  3a  1 2  a  1

  a 1

3a  1 a 1

D0

β)

12a  4  0

/ 4

12a  4 a

/ :12

1 3

1  1 a  1  3a  1    1  3     1  1  1  0 1  3  3   3 a 1  3  3    x1;2  1  1  3 4 1   1 a 3 3 3  3  2  2  3  1  3        4  3   4  2 3 D0

x1;2 

χ)

12a  4  0 12a  4

/ 4 / :12


a

1 4

a 1

x

1 3  1  a    ;1  1;    3  1  a   ;   3 

x

1 2

x1;2 

a  1  3a  1 a 1

a

nemá řešení

b) kvadratickou rovnici nejprve upravíme  a  2  x 2  2ax  4 x  a  0

 a  2  x 2   2a  4  x  a  0

Stránka 457

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy I. a  2  0  a  2 : kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární  2  2   x 2   2  2  4  x  2  0 8 x  2  0 8 x  2 x

/ 2 / :8

1 4

II. a  2 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant 2 D  b2  4ac   2a  4   4   a  2   a  4a 2  16a  16  4a  a  2    4a 2  16a  16  4a 2  8a  24a  16 D0 α)

24a  16  0

/ 16

24a  16 a x1;2   β)

/ : 24

2 3

  2a  4   24a  16 2a  4  4  6a  4  2a  4  2 6a  4    2   a  2 2  a  2 2  a  2



2 a  2  6a  4 2  a  2

  a2

6a  4 a2

D0 24a  16  0

/ 16

24a  16 a

/ : 24

2 3

2  2 a  2  6a  4    2  6     4  2  2  0 2  6  3  3 a2  3  3    x1;2  2  2  6 8 2   2 a 3 3 3  3 4  4  3  1  3        8  3   8  2 3 D0

x1;2 

χ)

24a  16  0 24a  16

/ 16 / : 24


a

Stránka 458

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 1 4

a2

x

2 3  2  a    ; 2    2;    3  2  a   ;   3 

x

1 2

x1;2 

a  2  6a  4 a2

a

nemá řešení

c) kvadratickou rovnici nejprve upravíme  a  3 x 2  2ax  6 x  a  0

 a  3 x 2   2a  6  x  a  0 I. a  3  0  a  3 : kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární  3  3  x 2   2  3  6  x  3  0 12 x  3  0 12 x  3 x

/ 3 / :12

1 4

II. a  1 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant 2 D  b2  4ac   2a  6   4   a  3  a  4a 2  24a  36  4a  a  3   4a 2  24a  36  4a 2  12a  36a  36 α) D0

36a  36  0 36a  36 a  1

x1;2   β)

/ 36 / : 36

  2a  6   36a  36 2a  6  36  a  1 2a  6  6 a  1    2   a  3 2  a  3 2  a  3



2 a  3  3 a 1 2  a  3

D0 36a  36  0 36a  36 a  1

  a 33

a 1

a 3

/ 36 / : 36

a  3  3 a 1  1  3  3 1  1 1  3  0 2 1       x1;2  a 3 1  3 4 2 4  a  1 

x1;2 

Stránka 459


χ)

36a  36  0

/ 36

36a  36

/ : 36

a  1 v R nemá řešení 1 4

a3

x

a  1

1 2 a  3  3 a 1 x1;2  a 3 nemá řešení x

a   1;3   3;  

a   ; 1

d) kvadratickou rovnici nejprve upravíme  a  1 x 2  2ax  2 x  a  0

 a  1 x 2   2a  2  x  a  0 I. a  1  0  a  1: kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární  1  1  x 2  2  1  2 x   1  0

4x 1  0

/ 1

4x  1 1 x 4

/:4

II. a  1 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant 2 D  b 2  4ac   2a  2   4   a  1  a  4a 2  8a  4  4a  a  1   4a 2  8a  4  4a 2  4a  12a  4 D0 α)

12a  4  0

/ 4

12a  4 a x1;2  

/ :  12 

1 3

  2a  2   12a  4 2a  2  4  3a  1 2a  2  2 3a  1    2   a  1 2  a  1 2  a  1



2 a  1  3a  1 2  a  1

  a 1 

3a  1 a 1

Stránka 460


β)

12a  4  0 12a  4 a

/ 4 / :  12 

1 3

1 1 a  1  3a  1   1  3    1 1  1  0 1  3  3 3 a 1 3  3    x1;2  1 1  3 4 1  1 a 3 3 3  3 2  2 3 1  3    4 2 3 4 3 D0

x1;2 

χ)

12a  4  0 12a  4

/ 4 / :  12 


a

a  1 a

1 3

 1 a   ; 1   1;   3 1  a  ; 3 

x

1 4

x

1 2

x1;2 

a  1  3a  1 a 1

nemá řešení

e) kvadratickou rovnici nejprve upravíme  a  2  x 2  2ax  4 x  a  0

 a  2  x 2   2a  4  x  a  0 I. a  2  0  a  2 : kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární  2  2  x 2  2  2   4 x   2   0

8x  2  0

/ 2

8x  2 1 x 4

/ :8

Stránka 461

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy II. a  2 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant 2 D  b2  4ac   2a  4   4   a  2   a  4a 2  16a  16  4a  a  2    4a 2  16a  16  4a 2  8a  24a  16 D0 α)

24a  16  0

/ 16

24a  16 a x1;2  

/ :  24 

2 3

  2a  4   24a  16 2a  4  4  6a  4  2a  4  2 6a  4    2   a  2 2  a  2 2  a  2



2 a  2  6a  4 2  a  2

  a2

6a  4 a2

D0

β)

24a  16  0 24a  16 a

/ 16 / :  24 

2 3

2 2 a  2  6a  4   2  6    4 2  2  0 2  6  3 3 a2 3  3    x1;2  2 2  6 8 2  2 a 3 3 3  3 4  4 3 1  3    8 2 3 8 3 D0

x1;2 

χ)

24a  16  0 24a  4

/ 16 / :  12 


a

a  2 a

2 3

2  a   ; 2    2;  3  2  a  ; 3 

x

1 4

x

1 2

x1;2 

a  2  6a  4 a2

nemá řešení Stránka 462

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy f) kvadratickou rovnici nejprve upravíme  a  3 x 2  2ax  6 x  a  0

 a  3 x 2   2a  6  x  a  0 I. a  3  0  a  3 : kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární  3  3  x 2  2  3  6 x   3  0

12 x  3  0

/ 3

12 x  3 1 x 4

/ :12

II. a  3 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant 2 D  b2  4ac   2a  6   4   a  3  a  4a 2  24a  36  4a  a  3   4a 2  24a  36  4a 2  12a  36a  36 α) D0

36a  36  0

/ 36

36a  36

/ :  36 

a 1

x1;2   β)

  2a  6   36a  36 2a  6  36  a  1 2a  6  6 a  1    2   a  3 2  a  3 2  a  3



2 a  3  3 a  1 2  a  3

  a 33

a  1 a3

D0 36a  36  0 36a  36

/ 36 / :  36 

a 1

a  3  3 a  1  1  3  3 1  1 2  0 2 1       x1;2  a3 1 3 4 2 4  a 1  D0 36a  36  0 / 36 x1;2 

χ)

36a  36

/ :  36 

a 1 v R nemá řešení

Stránka 463

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 1 4

a  3

x

a 1

1 2 a  3  3 a  1 x1;2  a3 nemá řešení x

a   ; 3   3;1 a  1;  

16. Řešte rovnici s neznámou x  R a parametrem a) x2  2ax  1  0 b) x2  4ax  4  0 c) x2  6ax  9  0

aR : d) x2  8ax  16  0 e) x2  10ax  25  0 f) x2  12ax  36  0

řešení: 2 a) D  b2  4ac   2a   4 11  4a 2  4 α) D0

4a 2  4  0

/ 4

4a  4

/:4

2

a 1 2

a  1  a   ; 1  1;   2 2a  4a 2  4 2a  4  a  1 2a  2 a 2  1 x1;2     2 1 2 2





2 a  a 2  1 2

  a 

a2 1

D0

β)

4a  4  0

/ 4

4a  4

/:4

2

2

a2  1 a  1 x1;2  a  a 2  1     x1;2  1  1  1  1 a 1  

χ)

x1;2  a  a 2  1     x1;2    1  1  1  1 a  1   D0

4a 2  4  0

/ 4

4a 2  4

/:4

a2  1 a  1  a   1;1 Stránka 464

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy a   ; 1  1;  

x1;2  a  a 2  1

a  1 a 1 a   1;1


b) D  b2  4ac   4a   4 1 4  16a 2  16 α) D0 2

16a 2  16  0

/ 16

16a  16 2

/ :16

a 1 2

a  1  a   ; 1  1;   2 4a  16a 2  16 4a  16  a  1 4a  4 a 2  1 x1;2     2 1 2 2





2 2a  2 a 2  1 2

  2a  2

a2 1

D0

β)

16a  16  0 2

16a  16 2

/ 16 / :16

a 1 a  1 2

x1;2  2a  2 a 2  1    x1;2  2 1  2 1  1  2 a 1 

χ)

x1;2  2a  2 a 2  1    x1;2  2   1  2 1  1  2 a  1  D0

16a 2  16  0 16a  16 2

/ 16 / :16

a 1 2

a  1  a   1;1

a   ; 1  1;  

x1;2  2a  2 a 2  1

a  1 a 1 a   1;1

x2 x  2 nemá řešení

Stránka 465

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy c) D  b2  4ac   6a   4 1 9  36a 2  36 α) D0 2

36a 2  36  0

/ 36

36a 2  36

/ : 36

a2  1 a  1  a   ; 1  1;   2 6a  36a 2  36 6a  36  a  1 6a  6 a 2  1 x1;2     2 1 2 2





2 3a  3 a 2  1 2

  3a  3

a2 1

D0

β)

36a 2  36  0

/ 36

36a  36 2

/ : 36

a 1 a  1 2

x1;2  3a  3 a 2  1    x1;2  3 1  3 1  1  3 a 1 

χ)

x1;2  3a  3 a 2  1    x1;2  3   1  3 1  1  3 a  1  D0

36a 2  36  0

/ 36

36a  36 2

/ : 36

a 1 2

a  1  a   1;1

a   ; 1  1;  

x1;2  3a  3 a 2  1

a  1 a 1 a   1;1


d) D  b2  4ac  8a   4 116  64a 2  64 α) D0 2

64a 2  64  0 64a 2  64

/ 64 / : 64

a2  1 a  1  a   ; 1  1;   Stránka 466

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 2 8a  64a 2  64 8a  64  a  1 8a  8 a 2  1 x1;2     2 1 2 2





2 4a  4 a 2  1 2

  4a  4

a2 1

D0

β)

64a  64  0

/ 64

2

64a 2  64

/ : 64

a2  1 a  1 x1;2  4a  4 a 2  1    x1;2  4 1  4 1  1  4 a 1 

χ)

x1;2  4a  4 a 2  1    x1;2  4   1  4 1  1  4 a  1  D0

64a 2  64  0

/ 64

64a 2  64

/ : 64

a2  1 a  1  a   1;1

a   ; 1  1;  

x1;2  4a  4 a 2  1

a  1 a 1 a   1;1


e) D  b2  4ac  10a   4 1 25  100a 2  100 α) D0 2

100a 2  100  0

/ 100

100a  100 2

/ :100

a 1 2

a  1  a   ; 1  1;   2 10a  100a 2  100 10a  100  a  1 10a  10 a 2  1 x1;2     2 1 2 2





2 5a  5 a 2  1 2

  5a  5

a2 1

Stránka 467


β)

100a  100  0

/ 100

2

100a 2  100

/ :100

a2  1 a  1 x1;2  5a  5 a 2  1    x1;2  5 1  5 1  1  5 a 1 

χ)

x1;2  5a  5 a 2  1    x1;2  5   1  5 1  1  5 a  1  D0

100a 2  100  0

/ 100

100a 2  100

/ :100

a2  1 a  1  a   1;1

f)

a   ; 1  1;  

x1;2  5a  5 a 2  1

a  1 a 1 a   1;1


D  b2  4ac  12a   4 1 36  144a 2  144 α) D0 2

144a 2  144  0

/ 144

144a  144 2

/ :144

a 1 2

a  1  a   ; 1  1;   2 12a  144a 2  144 12a  144  a  1 12a  12 a 2  1 x1;2     2 1 2 2





2 6a  6 a 2  1 2

  6a  6

a2 1

D0

β)

144a  144  0 2

144a 2  144

/ 144 / :144

a2  1 a  1

Stránka 468

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy x1;2  6a  6 a 2  1     x1;2  6 1  6 1  1  6 a 1  

χ)

x1;2  6a  6 a 2  1     x1;2  6   1  6 1  1  6 a  1   D0

144a 2  144  0

/ 144

144a  144 2

/ :144

a 1 2

a  1  a   1;1

a   ; 1  1;  

x1;2  6a  6 a 2  1

a  1 a 1 a   1;1


17. Řešte rovnici s neznámou x  R a parametrem a) x2  2ax  1  0 b) x2  4ax  4  0 c) x2  6ax  9  0

aR : d) x2  8ax  16  0 e) x2  10ax  25  0 f) x2  12ax  36  0

řešení: 2 a) D  b2  4ac   2a   4 11  4a 2  4 α) D0

4a 2  4  0

/ 4

4a 2  4

/:4

a2  1 a  1  a   ; 1  1;   2   2a   4a 2  4 2a  4  a  1 2a  2 a 2  1 x1;2     2 1 2 2

 β)



2 a  a2 1 2

 a

a2 1

D0 4a 2  4  0

/ 4

4a 2  4

/:4

a 1 a  1 2

Stránka 469

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy x1;2  a  a 2  1     x1;2  1  1  1  1 a 1  

χ)

x1;2  a  a 2  1     x1;2  1  1  1  1 a  1   D0

4a 2  4  0

/ 4

4a  4

/:4

2

a 1 2

a  1  a   1;1

a   ; 1  1;  

x1;2  a  a 2  1

a  1 a 1 a   1;1

x  1 x 1 nemá řešení

b) D  b2  4ac   4a   4 1 4  16a 2  16 α) D0 2

16a 2  16  0

/ 16

16a 2  16

/ :16

a2  1 a  1  a   ; 1  1;   2   4a   16a 2  16 4a  16  a  1 4a  4 a 2  1 x1;2     2 1 2 2

 β)



2 2a  2 a 2  1 2

  2a  2

a2 1

D0 16a 2  16  0 16a  16 2

/ 16 / :16

a 1 a  1 2

x1;2  2a  2 a 2  1     x1;2  2 1  2 1  1  2 a 1   x1;2  2a  2 a 2  1     x1;2  2   1  2 1  1  2 a  1  

Stránka 470


χ)

16a  16  0

/ 16

2

16a 2  16

/ :16

a2  1 a  1  a   1;1

a   ; 1  1;  

x1;2  2a  2 a 2  1

a  1 a 1 a   1;1

x  2 x2 nemá řešení

c) D  b2  4ac   6a   4 1 9  36a 2  36 α) D0 2

36a 2  36  0

/ 36

36a  36 2

/ : 36

a 1 2

a  1  a   ; 1  1;   2   6a   36a 2  36 6a  36  a  1 6a  6 a 2  1 x1;2     2 1 2 2





2 3a  3 a 2  1 2

  3a  3

a2 1

D0

β)

36a  36  0 2

36a  36 2

/ 36 / : 36

a2  1 a  1 x1;2  3a  3 a 2  1     x1;2  3 1  3 1  1  3 a 1  

χ)

x1;2  3a  3 a 2  1     x1;2  3   1  3 1  1  3 a  1   D0

36a 2  36  0 36a 2  36

/ 36 / : 36

a2  1 a  1  a   1;1

Stránka 471

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy a   ; 1  1;  

x1;2  3a  3 a 2  1

a  1 a 1 a   1;1


d) D  b2  4ac   8a   4 116  64a 2  64 α) D0 2

64a 2  64  0

/ 64

64a  64 2

/ : 64

a 1 2

a  1  a   ; 1  1;   2   8a   64a 2  64 8a  64  a  1 8a  8 a 2  1 x1;2     2 1 2 2





2 4a  4 a 2  1 2

  4a  4

a2 1

D0

β)

64a  64  0 2

64a  64 2

/ 64 / : 64

a 1 a  1 2

x1;2  4a  4 a 2  1     x1;2  4 1  4 1  1  4 a 1  

χ)

x1;2  4a  4 a 2  1     x1;2  4   1  4 1  1  4 a  1   D0

64a 2  64  0 64a  64 2

/ 64 / : 64

a 1 2

a  1  a   1;1

a   ; 1  1;  

x1;2  4a  4 a 2  1

a  1 a 1 a   1;1


Stránka 472

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy e) D  b2  4ac   10a   4 1 25  100a 2  100 α) D0 2

100a 2  100  0

/ 100

100a 2  100

/ :100

a2  1 a  1  a   ; 1  1;   2   10a   100a 2  100 10a  100  a  1 10a  10 a 2  1 x1;2     2 1 2 2

 β)



2 5a  5 a 2  1 2 D0

100a 2  100  0

  5a  5

a2 1

/ 100

100a  100 2

/ :100

a 1 a  1 2

x1;2  5a  5 a 2  1    x1;2  5 1  5 1  1  5 a 1 

χ)

x1;2  5a  5 a 2  1    x1;2  5   1  5 1  1  5 a  1  D0

100a 2  100  0

/ 100

100a  100 2

/ :100

a 1 2

a  1  a   1;1

f)

a   ; 1  1;  

x1;2  5a  5 a 2  1

a  1 a 1 a   1;1


D  b2  4ac   12a   4 1 36  144a 2  144 α) D0 2

144a 2  144  0 144a 2  144

/ 144 / :144

a2  1 a  1  a   ; 1  1;   Stránka 473

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 2   12a   144a 2  144 12a  144  a  1 12a  12 a 2  1 x1;2     2 1 2 2

 β)



2 6a  6 a 2  1 2 D0

144a 2  144  0

  6a  6

a2 1

/ 144

144a 2  144

/ :144

a2  1 a  1 x1;2  6a  6 a 2  1     x1;2  6 1  6 1  1  6 a 1  

χ)

x1;2  6a  6 a 2  1     x1;2  6   1  6 1  1  6 a  1   D0

144a 2  144  0

/ 144

144a 2  144

/ :144

a2  1 a  1  a   1;1

a   ; 1  1;  

x1;2  6a  6 a 2  1

a  1 a 1 a   1;1


18. Řešte rovnici s neznámou x  R a parametrem a) x2  2ax  1  0 b) x2  4ax  4  0 c) x2  6ax  9  0

aR : d) x2  8ax  16  0 e) x2  10ax  25  0 f) x2  12ax  36  0

řešení: 2 a) D  b2  4ac   2a   4 1  1  4a 2  4 α) D0

4a 2  4  0 4a  4 2

/ 4 /:4

a  1 aR 2

Stránka 474

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 2 2a  4a 2  4 2a  4  a  1 2a  2 a 2  1 x1;2     2 1 2 2



2 a  a 2  1



2

  a 

a2  1

D0

β)

4a  4  0

/ 4

2

4a 2  4

/:4

a 2  1 a  D0

χ)

4a 2  4  0

/ 4

4a  4 2

/:4

a  1 a  2

aR

x1;2  a  a 2  1

b) D  b2  4ac   4a   4 1  4   16a 2  16 α) D0 2

16a 2  16  0

/ 16

16a 2  16

/ :16

a 2  1 aR

2 4a  16a 2  16 4a  16  a  1 4a  4 a 2  1 x1;2     2 1 2 2





2 2a  2 a 2  1 2

  2a  2

a2  1

D0

β)

16a  16  0 2

16a  16 2

/ 16 / :16

a  1 a  D0 2

χ)

16a 2  16  0 16a 2  16

/ 16 / :16

a 2  1 a  Stránka 475


x1;2  2a  2 a 2  1

c) D  b2  4ac   6a   4 1  9   36a 2  36 α) D0 2

36a 2  36  0

/ 36

36a 2  36

/ : 36

a  1 aR 2

2 6a  36a 2  36 6a  36  a  1 6a  6 a 2  1 x1;2     2 1 2 2





2 3a  3 a 2  1 2

  3a  3

a2  1

D0

β)

36a  36  0

/ 36

2

36a  36 2

/ : 36

a 2  1 a  D0

χ)

36a 2  36  0

/ 36

36a 2  36

/ : 36

a  1 a  2

aR

x1;2  3a  3 a 2  1

d) D  b2  4ac  8a   4 1  16   64a 2  64 α) D0 2

64a 2  64  0

/ 64

64a 2  64

/ : 64

a 2  1 aR

2 8a  64a 2  64 8a  64  a  1 8a  8 a 2  1 x1;2     2 1 2 2





2 4a  4 a 2  1 2

  4a  4

a2  1

Stránka 476


β)

64a  64  0

/ 64

2

64a 2  64

/ : 64

a 2  1 a  D0

χ)

64a 2  64  0

/ 64

64a  64 2

/ : 64

a  1 a  2

aR

x1;2  4a  4 a 2  1

e) D  b2  4ac  10a   4 1  25  100a 2  100 α) D0 2

100a 2  100  0

/ 100

100a 2  100

/ :100

a 2  1 aR

2 10a  100a 2  100 10a  100  a  1 10a  10 a 2  1 x1;2     2 1 2 2





2 5a  5 a 2  1 2

  5a  5

a2  1

D0

β)

100a  100  0 2

100a  100 2

/ 100 / :100

a  1 a  D0 2

χ)

100a 2  100  0 100a 2  100

/ 100 / :100

a 2  1 a 

aR

x1;2  5a  5 a 2  1

Stránka 477


D  b2  4ac  12a   4 1  36   144a 2  144 α) D0 2

144a 2  144  0

/ 144

144a 2  144

/ :144

a 2  1 aR

2 12a  144a 2  144 12a  144  a  1 12a  12 a 2  1 x1;2     2 1 2 2





2 6a  6 a 2  1 2

  6a  6

a2  1

D0

β)

144a  144  0

/ 144

2

144a  144 2

/ :144

a  1 a  D0 2

χ)

144a 2  144  0

/ 144

144a 2  144

/ :144

a 2  1 a 

aR

x1;2  6a  6 a 2  1

19. Řešte rovnici s neznámou x  R a parametrem a) x2  2ax  1  0 b) x2  4ax  4  0 c) x2  6ax  9  0

aR : d) x2  8ax  16  0 e) x2  10ax  25  0 f) x2  12ax  36  0

řešení: 2 a) D  b2  4ac   2a   4 1  1  4a 2  4 α) D0

4a 2  4  0 4a  4 2

/ 4 /:4

a  1 aR 2

Stránka 478

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 2   2a   4a 2  4 2a  4  a  1 2a  2 a 2  1 x1;2     2 1 2 2



2 a  a2  1



2

 a

a2  1

D0

β)

4a  4  0

/ 4

2

4a 2  4

/:4

a 2  1 a  D0

χ)

4a 2  4  0

/ 4

4a  4 2

/:4

a  1 a  2

aR

x1;2  a  a 2  1

b) D  b2  4ac   4a   4 1  4   16a 2  16 α) D0 2

16a 2  16  0

/ 16

16a 2  16

/ :16

a 2  1 aR

2   4a   16a 2  16 4a  16  a  1 4a  4 a 2  1 x1;2     2 1 2 2





2 2a  2 a 2  1 2

  2a  2

a2  1

D0

β)

16a  16  0 2

16a  16 2

/ 16 / :16

a  1 a  D0 2

χ)

16a 2  16  0 16a 2  16

/ 16 / :16

a 2  1 a  Stránka 479


x1;2  2a  2 a 2  1

c) D  b2  4ac   6a   4 1  9   36a 2  36 α) D0 2

36a 2  36  0

/ 36

36a 2  36

/ : 36

a  1 aR 2

2   6a   36a 2  36 6a  36  a  1 6a  6 a 2  1 x1;2     2 1 2 2





2 3a  3 a 2  1 2

  3a  3

a2  1

D0

β)

36a  36  0

/ 36

2

36a  36 2

/ : 36

a 2  1 a  D0

χ)

36a 2  36  0

/ 36

36a 2  36

/ : 36

a  1 a  2

aR

x1;2  3a  3 a 2  1

d) D  b2  4ac   8a   4 1  16   64a 2  64 α) D0 2

64a 2  64  0

/ 64

64a 2  64

/ : 64

a 2  1 aR

2   8a   64a 2  64 8a  64  a  1 8a  8 a 2  1 x1;2     2 1 2 2





2 4a  4 a 2  1 2

  4a  4

a2  1

Stránka 480


β)

64a  64  0

/ 64

2

64a 2  64

/ : 64

a 2  1 a  D0

χ)

64a 2  64  0

/ 64

64a  64 2

/ : 64

a  1 a  2

aR

x1;2  4a  4 a 2  1

e) D  b2  4ac   10a   4 1  25  100a 2  100 α) D0 2

100a 2  100  0

/ 100

100a 2  100

/ :100

a 2  1 aR

2   10a   100a 2  100 10a  100  a  1 10a  10 a 2  1 x1;2     2 1 2 2

 β)



2 5a  5 a 2  1 2 D0

100a 2  100  0 100a  100 2

  5a  5

a2  1

/ 100 / :100

a  1 a  D0 2

χ)

100a 2  100  0 100a 2  100

/ 100 / :100

a 2  1 a 

aR

x1;2  5a  5 a 2  1

Stránka 481


D  b2  4ac   12a   4 1  36   144a 2  144 α) D0 2

144a 2  144  0

/ 144

144a 2  144

/ :144

a 2  1 aR

2   12a   144a 2  144 12a  144  a  1 12a  12 a 2  1 x1;2     2 1 2 2





2 6a  6 a 2  1 2

  6a  6

a2  1

D0

β)

144a  144  0

/ 144

2

144a  144 2

/ :144

a  1 a  D0 2

χ)

144a 2  144  0

/ 144

144a 2  144

/ :144

a 2  1 a 

aR

x1;2  6a  6 a 2  1

20. Řešte rovnici s neznámou x  R a parametrem a) x2  ax  1  0 b) x2  ax  4  0 c) x2  ax  9  0

aR : d) x2  ax  16  0 e) x2  ax  25  0 f) x2  ax  36  0

řešení: a) D  b2  4ac  a2  4 11  a2  4 α) D0

a2  4  0

/ 4

a2  4 a  2  a   ; 2    2;   x1;2 

a  a 2  4 a  a 2  4  2 1 2

Stránka 482


D0 a2  4  0

/ 4

a2  4 a  2

χ)

a  a 2  4  2  22  4 2  4  4  2  x1;2   x     1  1;2 2 2 2 2  a2  a  a 2  4    2   22  4 2  4  4 2  x1;2   x    1  1;2 2 2 2 2  a  2  D0

a2  4  0

/ 4

a2  4 a  2  a   2; 2  a  a 2  4 2

a   ; 2    2;  

x1;2 

a  2 a2 a   2; 2 


b) D  b2  4ac  a2  4 1 4  a2  16 α) D0

a 2  16  0

/ 16

a 2  16 a  4  a   ; 4    4;  

β)

a  a 2  16 a  a 2  16 x1;2   2 1 2 D0 a 2  16  0

/ 16

a 2  16 a  4 a  a 2  16  4  42  16 4  16  16  4   x     2  1;2 2 2 2 2  a4  a  a 2  16    4   42  16 4  16  16 4  x1;2   x    2  1;2 2 2 2 2  a  4  x1;2 

Stránka 483


χ)

a  16  0 2

/ 16

a 2  16 a  4  a   4; 4  a  a 2  16 2

a   ; 4    4;  

x1;2 

a  4 a4 a   4; 4 


c) D  b2  4ac  a2  4 1 9  a2  36 α) D0

a 2  36  0

/ 36

a  36 2

a  6  a   ; 6    6;   a  a 2  36 a  a 2  36  2 1 2 D0

x1;2  β)

a 2  36  0

/ 36

a 2  36 a  6

χ)

a  a 2  36  6  62  36 6  36  36  6  x1;2   x     3  1;2 2 2 2 2  a6  a  a 2  36    6   62  36 6  36  36 6  x1;2   x    3  1;2 2 2 2 2  a  6  D0

a 2  36  0

/ 36

a 2  36 a  6  a   6;6  a  a 2  36 2

a   ; 6    6;  

x1;2 

a  6 a6 a   6;6 


Stránka 484

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy d) D  b2  4ac  a 2  4 116  a 2  64 α) D0

a 2  64  0

/ 64

a  64 2

a  8  a   ; 8    8;   a  a 2  64 a  a 2  64  2 1 2 D0

x1;2  β)

a 2  64  0

/ 64

a  64 2

a  8 a  a 2  64  8  82  64 8  64  64  8   x     4  1;2 2 2 2 2  a 8  a  a 2  64    8   82  64 8  64  64 8  x1;2   x    4  1;2 2 2 2 2  a  8  D0 x1;2 

χ)

a 2  64  0

/ 64

a 2  64 a  8  a   8;8  a  a 2  64 2

a   ; 8  8;  

x1;2 

a  8 a 8 a   8;8


e) D  b2  4ac  a2  4 1 25  a2 100 α) D0

a 2  100  0

/ 100

a  100 2

a  10  a   ; 10   10;   a  a 2  100 a  a 2  100 x1;2   2 1 2

Stránka 485


D0 a 2  100  0

/ 100

a 2  100 a  10

χ)

a  a 2  100  10  102  100 10  100  100  10  x1;2   x     5  1;2 2 2 2 2  a  10  a  a 2  100    10   102  100 10  100  100 10  x1;2   x    5  1;2 2 2 2 2  a  10  D0

a 2  100  0

/ 100

a 2  100 a  10  a   10;10 

f)

a  a 2  100 2

a   ; 10   10;  

x1;2 

a  10 a  10 a   10;10 


D  b2  4ac  a2  4 1 36  a2  144 α) D0

a 2  144  0

/ 144

a 2  144 a  12  a   ; 12   12;  

β)

a  a 2  144 a  a 2  144 x1;2   2 1 2 D0 a 2  144  0

/ 144

a 2  144 a  12 a  a 2  144  12  122  144 12  144  144  12   x     6  1;2 2 2 2 2  a  12  a  a 2  144    12   122  144 12  144  144 12  x1;2   x    6  1;2 2 2 2 2  a  12  x1;2 

Stránka 486


χ)

a  144  0

/ 144

2

a 2  144 a  12  a   12;12  a  a 2  144 2

a   ; 12   12;  

x1;2 

a  12 a  12 a   12;12 


21. Řešte rovnici s neznámou x  R a parametrem a) x2  ax  1  0 b) x2  ax  4  0 c) x2  ax  9  0

aR : d) x2  ax  16  0 e) x2  ax  25  0 f) x2  ax  36  0

řešení: 2 a) D  b2  4ac   a   4 11  a 2  4 α) D0

a2  4  0

/ 4

a2  4 a  2  a   ; 2    2;  

β)

  a   a 2  4 a  a 2  4 x1;2   2 1 2 D0

a2  4  0

/ 4

a2  4 a  2 a  a2  4  2  22  4 2  4  4 2   x    1  1;2 2 2 2 2  a2  a  a2  4  2  22  4 2  4  4  2  x1;2   x     1  1;2 2 2 2 2  a  2  D0 x1;2 

χ)

a2  4  0

/ 4

a2  4 a  2  a   2; 2 

Stránka 487

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy a   ; 2    2;  

a  2 a2 a   2; 2 

a  a2  4 x1;2  2 x2 x  2 nemá řešení

Stránka 488

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy b) D  b2  4ac   a   4 1 4  a 2  16 α) D0 2

a 2  16  0

/ 16

a 2  16 a  4  a   ; 4    4;  

β)

  a   a 2  16 a  a 2  16 x1;2   2 1 2 D0

a 2  16  0

/ 16

a 2  16 a  4 a  a 2  16  4    x1;2  2  a4  a  a 2  16  4   x1;2    x1;2  2  a  4  D0 x1;2 

χ)

a 2  16  0

42  16 4  16  16 4   2 2 2 2 42  16 4  16  16  4    2 2 2 2

/ 16

a 2  16 a  4  a   4; 4 

a   ; 4    4;  

a  4 a4 a   4; 4 

a  a 2  16 x1;2  2 x  2 x2 nemá řešení

c) D  b2  4ac   a   4 1 9  a 2  36 α) D0 2

a 2  36  0

/ 36

a  36 2

a  6  a   ; 6    6;   x1;2 

  a   a 2  36 a  a 2  36  2 1 2

Stránka 489


D0 a 2  36  0

/ 36

a 2  36 a  6

χ)

a  a 2  36  6  62  36 6  36  36 6  x1;2   x    3  1;2 2 2 2 2  a6  a  a 2  36  6  62  36 6  36  36  6  x1;2   x     3  1;2 2 2 2 2  a  6  D0

a 2  36  0

/ 36

a 2  36 a  6  a   6;6 

a   ; 6    6;  

a  6 a6 a   6;6 

a  a 2  36 2 x  3 x3 nemá řešení x1;2 

d) D  b2  4ac   a   4 116  a 2  64 α) D0 2

a 2  64  0

/ 64

a  64 2

a  8  a   ; 8    8;     a   a 2  64 a  a 2  64  2 1 2 D0

x1;2  β)

a 2  64  0

/ 64

a  64 2

a  8 a  a 2  64  8  82  64 8  64  64 8    4   x1;2  2 2 2 2  a 8  a  a 2  64  8  82  64 8  64  64  8  x1;2   x     4  1;2 2 2 2 2  a  8  x1;2 

Stránka 490


χ)

a  64  0

/ 64

2

a 2  64 a  8  a   8;8 

a   ; 8  8;  

a  8 a 8 a   8;8

a  a 2  64 2 x  4 x4 nemá řešení x1;2 

e) D  b2  4ac   a   4 1 25  a 2  100 α) D0 2

a 2  100  0

/ 100

a 2  100 a  10  a   ; 10   10;  

β)

  a   a 2  100 a  a 2  100 x1;2   2 1 2 D0

a 2  100  0

/ 100

a 2  100 a  10 a  a 2  100  10  102  100 10  100  100 10   x    5  1;2 2 2 2 2  a  10  a  a 2  100  10  102  100 10  100  100  10  x1;2   x     5  1;2 2 2 2 2  a  10  D0 x1;2 

χ)

a 2  100  0

/ 100

a 2  100 a  10  a   10;10 

a   ; 10   10;  

a  10 a  10 a   10;10 


Stránka 491


D  b2  4ac   a   4 1 36  a 2  144 α) D0 2

a 2  144  0

/ 144

a 2  144 a  12  a   ; 12   12;  

β)

  a   a 2  144 a  a 2  144 x1;2   2 1 2 D0

a 2  144  0

/ 144

a 2  144 a  12 a  a 2  144  12  122  144 12  144  144 12   x    6  1;2 2 2 2 2  a  12  a  a 2  144  12  122  144 12  144  144  12  x1;2   x     6  1;2 2 2 2 2  a  12  D0 x1;2 

χ)

a 2  144  0

/ 144

a 2  144 a  12  a   12;12 

a   ; 12   12;  

a  12 a  12 a   12;12 


22. Řešte rovnici s neznámou x  R a parametrem a) x2  ax  1  0 b) x2  ax  4  0 c) x2  ax  9  0

aR : d) x2  ax  16  0 e) x2  ax  25  0 f) x2  ax  36  0

řešení: a) D  b2  4ac  a 2  4 1  1  a 2  4 D0 α)

a2  4  0

/ 4

a 2  4 aR Stránka 492

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy a  a 2  4 a  a 2  4 x1;2   2 1 2 D0

β)

a2  4  0

/ 4

a 2  4 a  D0

χ)

a2  4  0

/ 4

a  4 2

a 

aR

x1;2 

a  a 2  4 2

b) D  b2  4ac  a 2  4 1  4   a 2  16 D0 α)

a 2  16  0

/ 16

a  16 2

aR a  a 2  16 a  a 2  16 x1;2   2 1 2 D0

β)

a 2  16  0

/ 16

a 2  16 a  D0

χ)

a 2  16  0

/ 16

a  16 2

a 

aR

x1;2 

a  a 2  16 2

c) D  b2  4ac  a 2  4 1  9   a 2  36 D0 α)

a 2  36  0

/ 36

a  36 2

aR a  a 2  36 a  a 2  36 x1;2   2 1 2

Stránka 493


β)

a 2  36  0

/ 36

a 2  36 a  D0

χ)

a 2  36  0

/ 36

a  36 2

a 

aR

x1;2 

a  a 2  36 2

d) D  b2  4ac  a 2  4 1  16   a 2  64 D0 α)

a 2  64  0

/ 64

a  64 2

aR a  a 2  64 a  a 2  64 x1;2   2 1 2 D0

β)

a 2  64  0

/ 64

a 2  64 a  D0

χ)

a 2  64  0

/ 64

a 2  64 a 

aR

x1;2 

a  a 2  64 2

e) D  b2  4ac  a 2  4 1  25  a 2  100 D0 α)

a 2  100  0

/ 100

a 2  100 aR a  a 2  100 a  a 2  100 x1;2   2 1 2

Stránka 494


β)

a 2  100  0

/ 100

a 2  100 a  D0

χ)

a 2  100  0

/ 100

a  100 2

a 

aR f)

x1;2 

a  a 2  100 2

D  b2  4ac  a 2  4 1  36   a 2  144 D0 α)

a 2  144  0

/ 144

a  144 2

aR a  a 2  144 a  a 2  144 x1;2   2 1 2 D0

β)

a 2  144  0

/ 144

a 2  144 a  D0

χ)

a 2  144  0

/ 144

a 2  144 a 

aR

x1;2 

a  a 2  144 2

23. Řešte rovnici s neznámou x  R a parametrem a) x2  ax  1  0 b) x2  ax  4  0 c) x2  ax  9  0

aR : d) x2  ax  16  0 e) x2  ax  25  0 f) x2  ax  36  0

řešení: 2 a) D  b2  4ac   a   4 1  1  a 2  4 D0 α)

a2  4  0

/ 4

a  4 2

aR Stránka 495

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy   a   a 2  4 a  a 2  4 x1;2   2 1 2 D0

β)

a2  4  0

/ 4

a 2  4 a  D0

χ)

a2  4  0

/ 4

a  4 2

a 

aR

x1;2 

a  a2  4 2

b) D  b2  4ac   a   4 1  4   a 2  16 D0 α) 2

a 2  16  0

/ 16

a 2  16 aR   a   a 2  16 a  a 2  16 x1;2   2 1 2 D0

β)

a 2  16  0

/ 16

a 2  16 a  D0

χ)

a 2  16  0

/ 16

a  16 2

a 

aR

x1;2 

a  a 2  16 2

c) D  b2  4ac   a   4 1  9   a 2  36 D0 α) 2

a 2  36  0

/ 36

a 2  36 aR   a   a 2  36 a  a 2  36 x1;2   2 1 2 Stránka 496


β)

a 2  36  0

/ 36

a 2  36 a  D0

χ)

a 2  36  0

/ 36

a  36 2

a 

aR

x1;2 

a  a 2  36 2

d) D  b2  4ac   a   4 1  16   a 2  64 D0 α) 2

a 2  64  0

/ 64

a 2  64 aR   a   a 2  64 a  a 2  64 x1;2   2 1 2 D0

β)

a 2  64  0

/ 64

a 2  64 a  D0

χ)

a 2  64  0

/ 64

a  64 2

a 

aR

x1;2 

a  a 2  64 2

e) D  b2  4ac   a   4 1  25  a 2  100 D0 α) 2

a 2  100  0

/ 100

a 2  100 aR   a   a 2  100 a  a 2  100 x1;2   2 1 2

Stránka 497


β)

a 2  100  0

/ 100

a 2  100 a  D0

χ)

a 2  100  0

/ 100

a  100 2

a 

aR f)

x1;2 

a  a 2  100 2

D  b2  4ac   a   4 1  36   a 2  144 D0 α) 2

a 2  144  0

/ 144

a 2  144 aR   a   a 2  144 a  a 2  144 x1;2   2 1 2 D0

β)

a 2  144  0

/ 144

a 2  144 a  D0

χ)

a 2  144  0

/ 144

a  144 2

a 

aR

x1;2 

a  a 2  144 2

24. Řešte rovnici s neznámou x  R a parametrem a) ax2  ax  1  0 b) ax2  ax  4  0 c) ax2  ax  9  0 řešení: a)

aR : d) ax2  ax  16  0 e) ax2  ax  25  0 f) ax2  ax  36  0

I. a  0 : kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární 0  x2  0  x  1  0 1 0 x  Stránka 498

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy II. a  0 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant D  b2  4ac  a 2  4  a 1  a 2  4a D0 α) a 2  4a  0 a  a  4  0 a  0  a  4  0  a  0  a  4  a   4;          a   ;0    4;    a  0  a  4  0  a  0  a  4  a  ;0    

a  a 2  4a a  a 2  4a x1;2   2a 2a D0

β)

a 2  4a  0 a  a  4  0 a1  0 nevyhovuje podmínce a2  4  a  a 2  4a  4  42  4  4 4  0  4 1       x1;2  2a 24 8 2 8  a4  D0

x1;2  χ)

a 2  4a  0 a  0  a  4  0  a  0  a  4  a   0; 4     a  a  4  0      a   0; 4   a  0  a  4  0  a  0  a  4  a     nemá řešení x

a   ;0    4;  

 a  a 2  4a 2a nemá řešení

a  0; 4  b)

1 2

a4

x1;2 

I. a  0 : kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární 0  x2  0  x  4  0 40 x  II. a  0 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant D  b2  4ac  a2  4  a  4  a 2  16a

Stránka 499


α)

a 2  16a  0 a  a  16   0 a  0  a  16  0  a  0  a  16  a  16;          a   ;0   16;    a  0  a  16  0  a  0  a  16  a  ;0    

x1;2  β)

a  a 2  16a a  a 2  16a  2a 2a D0

a 2  16a  0 a  a  16   0 a1  0 nevyhovuje podmínce a2  16 a  a 2  16a  16  162  16 16 16  0  16 1   x      2a 1;2 2 16 32 2 32  a  16  D0

x1;2  χ)

a 2  16a  0 a  0  a  16  0  a  0  a  16  a   0;16     a  a  16   0      a   0;16   a  0  a  16  0  a  0  a  16  a     nemá řešení x

a   ;0   16;  

a  a 2  16a 2a nemá řešení

a  0;16  c)

1 2

a  16

x1;2 

I. a  0 : kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární 0  x2  0  x  9  0 90 x  II. a  0 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant D  b2  4ac  a2  4  a  9  a2  36a

Stránka 500


α)

a 2  36a  0 a  a  36   0 a  0  a  36  0  a  0  a  36  a   36;          a   ;0    36;    a  0  a  36  0  a  0  a  36  a  ;0    

x1;2  β)

a  a 2  36a a  a 2  36a  2a 2a D0

a 2  36a  0 a  a  36   0 a1  0 nevyhovuje podmínce a2  36 a  a 2  36a  36  362  36  36 36  0  36 1   x      2a 1;2 2  36 72 2 72  a  36  D0

x1;2  χ)


a   ;0    36;  


a  0;36  d)

1 2

a  36

x1;2 

I. a  0 : kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární 0  x 2  0  x  16  0 16  0 x  II. a  0 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant D  b2  4ac  a 2  4  a 16  a 2  64a

Stránka 501


α)

a 2  64a  0 a  a  64   0 a  0  a  64  0  a  0  a  64  a   64;          a   ;0    64;    a  0  a  64  0  a  0  a  64  a  ;0    

x1;2  β)

a  a 2  64a a  a 2  64a  2a 2a D0

a 2  64a  0 a  a  64   0 a1  0 nevyhovuje podmínce a2  64 a  a 2  64a  64  642  64  64 64  0  64 1   x      2a 1;2 2  64 128 2 128  a  64  D0

x1;2  χ)


a   ;0    64;  


a  0;64  e)

1 2

a  64

x1;2 

I. a  0 : kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární 0  x 2  0  x  25  0 25  0 x  II. a  0 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant D  b2  4ac  a 2  4  a  25  a 2  100a

Stránka 502


α)

a 2  100a  0 a  a  100   0 a  0  a  100  0  a  0  a  100  a  100;          a  0  a  100  0  a  0  a  100  a  ;0      a   ;0   100;  

x1;2  β)

a  a 2  100a a  a 2  100a  2a 2a D0


x1;2  χ)


a   ;0   100;  

a  a 2  100a x1;2  2a nemá řešení

a  0;100  f)

1 2

a  100

I. a  0 : kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární 0  x 2  0  x  36  0 36  0 x  II. a  0 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant D  b2  4ac  a 2  4  a  36  a 2  144a

Stránka 503


α)

a 2  144a  0 a  a  144   0 a  0  a  144  0  a  0  a  144  a  144;          a  0  a  144  0  a  0  a  144  a  ;0      a   ;0   144;  

x1;2  β)

a  a 2  144a a  a 2  144a  2a 2a D0


x1;2  χ)

a 2  144a  0 a  0  a  144  0  a  0  a  144  a   0;144     a  a  144   0      a   0;144   a  0  a  144  0  a  0  a  144  a     nemá řešení 1 2

a  144

x

a   ;0   144;  

a  a 2  144a x1;2  2a nemá řešení

a  0;144 

25. Řešte rovnici s neznámou x  R a parametrem a) ax2  ax  1  0 b) ax2  ax  4  0 c) ax2  ax  9  0

aR : d) ax2  ax  16  0 e) ax2  ax  25  0 f) ax2  ax  36  0

Stránka 504


I. a  0 : kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární 0  x2  0  x  1  0 1 0 x  II. a  0 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant 2 D  b2  4ac   a   4  a 1  a 2  4a D0 α) a 2  4a  0 a  a  4  0 a  0  a  4  0  a  0  a  4  a   4;          a   ;0    4;    a  0  a  4  0  a  0  a  4  a  ;0    

   a   a 2  4a a  a 2  4a x1;2   2a 2a D0

β)

a 2  4a  0 a  a  4  0 a1  0 nevyhovuje podmínce a2  4 a  a 2  4a  4  42  4  4 4  0 4 1   x      2a 1;2 24 8 8 2  a4  D0

x1;2  χ)

a 2  4a  0 a  0  a  4  0  a  0  a  4  a   0; 4     a  a  4  0      a   0; 4   a  0  a  4  0  a  0  a  4  a     nemá řešení 1 2

a4

x

a   ;0    4;  

a  a 2  4a 2a nemá řešení

a  0;4 

x1;2 

Stránka 505


I. a  0 : kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární 0  x2  0  x  4  0 40 x  II. a  0 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant 2 D  b2  4ac   a   4  a  4  a 2  16a D0 α) a 2  16a  0 a  a  16   0 a  0  a  16  0  a  0  a  16  a  16;          a   ;0   16;    a  0  a  16  0  a  0  a  16  a  ;0    

β)

  a   a 2  16a a  a 2  16a x1;2   2a 2a D0

a 2  16a  0 a  a  16   0 a1  0 nevyhovuje podmínce a2  16 a  a 2  16a  16  162  16 16 16  0 16 1   x      2a 1;2 2 16 32 32 2  a  16  D0

x1;2  χ)


a  16

x

a   ;0   16;  

a  a 2  16a x1;2  2a nemá řešení

a  0;16 

Stránka 506


I. a  0 : kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární 0  x2  0  x  9  0 90 x  II. a  0 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant 2 D  b2  4ac   a   4  a  9  a 2  36a D0 α) a 2  36a  0 a  a  36   0 a  0  a  36  0  a  0  a  36  a   36;          a   ;0    36;    a  0  a  36  0  a  0  a  36  a  ;0    

β)

  a   a 2  36a a  a 2  36a x1;2   2a 2a D0

a 2  36a  0 a  a  36   0 a1  0 nevyhovuje podmínce a2  36 a  a 2  36a  36  362  36  36 36  0 36 1   x      2a 1;2 2  36 72 72 2  a  36  D0

x1;2  χ)


a  36

x

a   ;0    36;  


a  0;36 

Stránka 507


I. a  0 : kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární 0  x 2  0  x  16  0 16  0 x  II. a  0 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant 2 D  b2  4ac   a   4  a 16  a 2  64a D0 α) a 2  64a  0 a  a  64   0 a  0  a  64  0  a  0  a  64  a   64;          a   ;0    64;    a  0  a  64  0  a  0  a  64  a  ;0    

β)

  a   a 2  64a a  a 2  64a x1;2   2a 2a D0

a 2  64a  0 a  a  64   0 a1  0 nevyhovuje podmínce a2  64 a  a 2  64a  64  642  64  64 64  0 64 1   x      2a 1;2 2  64 128 128 2  a  64  D0

x1;2  χ)


a  64

x

a   ;0    64;  


a  0;64 

Stránka 508


I. a  0 : kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární 0  x 2  0  x  25  0 25  0 x  II. a  0 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant 2 D  b2  4ac   a   4  a  25  a 2  100a D0 α) a 2  100a  0 a  a  100   0 a  0  a  100  0  a  0  a  100  a  100;          a  0  a  100  0  a  0  a  100  a  ;0      a   ;0   100;  

β)

  a   a 2  100a a  a 2  100a x1;2   2a 2a D0

a 2  100a  0 a  a  100   0 a1  0 nevyhovuje podmínce a2  100 a  a 2  100a  100  1002  100 100 100  0 100 1   x      2a 1;2 2 100 200 200 2  a  100  D0

x1;2  χ)


a  100

x

a   ;0   100;  


a  0;100 

Stránka 509


I. a  0 : kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární 0  x 2  0  x  36  0 36  0 x  II. a  0 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant D  b2  4ac  a 2  4  a  36  a 2  144a D0 α) a 2  144a  0 a  a  144   0 a  0  a  144  0  a  0  a  144  a  144;          a  0  a  144  0  a  0  a  144  a  ;0      a   ;0   144;  

x1;2  β)

a  a 2  144a a  a 2  144a  2a 2a D0

a 2  144a  0 a  a  144   0 a1  0 nevyhovuje podmínce a2  144 a  a 2  144a  144  1442  144 144 144  0 144 1  x1;2   x      2a 1;2 2  144 288 2 288  a  144  D0

χ)


a  144

x

a   ;0   144;  

a  a 2  144a 2a nemá řešení

a  0;144 

x1;2 

Stránka 510

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 26. Řešte rovnici s neznámou x  R a parametrem a) ax2  ax  1  0 b) ax2  ax  4  0 c) ax2  ax  9  0 řešení: a)

aR : d) ax2  ax  16  0 e) ax2  ax  25  0 f) ax2  ax  36  0

I. a  0 : kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární 0  x2  0  x 1  0 1  0 x  II. a  0 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant D  b2  4ac  a 2  4  a   1  a 2  4a D0 α) a 2  4a  0 a  a  4  0 a  0  a  4  0  a  0  a  4  a   0;          a   ; 4    0;    a  0  a  4  0  a  0  a  4  a  ; 4    

x1;2  β)

a  a 2  4a a  a 2  4a  2a 2a D0

a 2  4a  0 a  a  4  0 a1  0 nevyhovuje podmínce a2  4

χ)

2  a  a 2  4a    4    4   4   4  4  0 4 1  x1;2       x1;2  2a 2   4  8 2 8  a  4  D0

a 2  4a  0  a  0  a  4  0  a  0  a  4  a    a  a  4  0      a   4;0   a  0  a  4  0  a  0  a  4  a  4;0     nemá řešení

Stránka 511

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy x

a   ; 4    0;  

 a  a 2  4a 2a nemá řešení

a   4;0 b)

1 2

a  4

x1;2 

I. a  0 : kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární 0  x2  0  x  4  0 4  0 x  II. a  0 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant D  b2  4ac  a 2  4  a   4   a 2  16a D0 α)

a 2  16a  0 a  a  16   0  a  0  a  16  0  a  0  a  16  a   0;         a  0  a  16  0  a  0  a  16  a  ; 16      a   ; 16    0;  

x1;2  β)

a  a 2  16a a  a 2  16a  2a 2a D0

a 2  16a  0 a  a  16   0 a1  0 nevyhovuje podmínce a2  16 2 a  a 2  16a    16    16   16   16  16  0 16 1       x1;2  2a 2   16  32 2  32  a  16  D0

x1;2  χ)

a 2  16a  0  a  0  a  16  0  a  0  a  16  a    a  a  16   0      a   16;0   a  0  a  16  0  a  0  a  16  a  16;0     nemá řešení Stránka 512


a   ; 16    0;  

a  a 2  16a 2a nemá řešení

a   16;0 c)

1 2

a  16

x1;2 



x1;2  β)

a  a 2  36a a  a 2  36a  2a 2a D0

a 2  36a  0 a  a  36   0 a1  0 nevyhovuje podmínce a2  36 2 a  a 2  36a    36    36   36   36  36  0 36 1       x1;2  2a 2   36  72 2  72  a  36  D0

x1;2  χ)

a 2  36a  0  a  0  a  36  0  a  0  a  36  a    a  a  36   0      a   36;0  a  0  a  36  0  a  0  a  36  a  36;0     nemá řešení Stránka 513


a   ; 36    0;  


a   36;0 d)

1 2

a  36

x1;2 

I. a  0 : kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární 0  x 2  0  x  16  0 16  0 x  II. a  0 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant D  b2  4ac  a 2  4  a   16   a 2  64a D0 α)


x1;2  β)

a  a 2  64a a  a 2  64a  2a 2a D0

a 2  64a  0 a  a  64   0 a1  0 nevyhovuje podmínce a2  64 2 a  a 2  64a    64    64   64   64  64  0 64 1       x1;2  2a 2   64  128  128 2  a  64  D0

x1;2  χ)

a 2  64a  0  a  0  a  64  0  a  0  a  64  a    a  a  64   0      a   64;0   a  0  a  64  0  a  0  a  64  a  64;0     nemá řešení Stránka 514


a   ; 64    0;  


a   64;0 e)

1 2

a  64

x1;2 

I. a  0 : kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární 0  x 2  0  x  25  0 25  0 x  II. a  0 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant D  b2  4ac  a 2  4  a   25  a 2  100a D0 α)


x1;2  β)

a  a 2  100a a  a 2  100a  2a 2a D0

a 2  100a  0 a  a  100   0 a1  0 nevyhovuje podmínce a2  100 2 a  a 2  100a    100    100   100   100  100  0      x1;2  2a 2   100  200    a  100 

x1;2 



100 1  2  200

Stránka 515


χ)

a 2  100a  0  a  0  a  100  0  a  0  a  100  a    a  a  100   0      a  0  a  100  0  a  0  a  100  a  100;0      a   100;0  nemá řešení

f)

a  100

x

1 2

a   ; 100    0;  

x1;2 

a  a 2  100a 2a

a   100;0

nemá řešení



x1;2  β)

a  a 2  144a a  a 2  144a  2a 2a D0

a 2  144a  0 a  a  144   0 a1  0 nevyhovuje podmínce a2  144

Stránka 516

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 2 a  a 2  144a    144    144   144   144  144  0      x1;2  2a 2   144  288    a  144 

x1;2 



144 1  2  288

D0

χ)

a  144a  0 2

 a  0  a  144  0  a  0  a  144  a    a  a  144   0      a  0  a  144  0  a  0  a  144  a  144;0      a   144;0  nemá řešení 1 2

a  144

x

a   ; 144    0;  


a   144;0

x1;2 

27. Řešte rovnici s neznámou x  R a parametrem a) ax2  ax  1  0 b) ax2  ax  4  0 c) ax2  ax  9  0 řešení: a)

aR : d) ax2  ax  16  0 e) ax2  ax  25  0 f) ax2  ax  36  0

I. a  0 : kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární 0  x2  0  x 1  0 1  0 x  II. a  0 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant 2 D  b2  4ac   a   4  a   1  a 2  4a D0 α) a 2  4a  0 a  a  4  0 a  0  a  4  0  a  0  a  4  a   0;          a   ; 4    0;    a  0  a  4  0  a  0  a  4  a  ; 4    

x1;2 

  a   a 2  4a a  a 2  4a  2a 2a Stránka 517


β)

a 2  4a  0 a  a  4  0 a1  0 nevyhovuje podmínce a2  4 a  a 2  4a  4    x   2a 1;2  a  4  D0

x1;2  χ)

 4   4   4  4  0   2   4  8 2

4 1  8 2

a 2  4a  0  a  0  a  4  0  a  0  a  4  a    a  a  4  0      a   4;0   a  0  a  4  0  a  0  a  4  a  4;0     nemá řešení x

a   ; 4    0;  

a  a 2  4a 2a nemá řešení

a   4;0 b)

1 2

a  4

x1;2 

I. a  0 : kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární 0  x2  0  x  4  0 4  0 x  II. a  0 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant 2 D  b2  4ac   a   4  a   4   a 2  16a D0 α)

a 2  16a  0 a  a  16   0  a  0  a  16  0  a  0  a  16  a   0;         a  0  a  16  0  a  0  a  16  a  ; 16      a   ; 16    0;     a   a 2  16a a  a 2  16a x1;2   2a 2a

Stránka 518


β)

a 2  16a  0 a  a  16   0 a1  0 nevyhovuje podmínce a2  16 a  a 2  16a  16    x   2a 1;2  a  16  D0

x1;2  χ)

 16   16   16  16  0   2   16  32 2

16 1  32 2

a 2  16a  0  a  0  a  16  0  a  0  a  16  a    a  a  16   0      a   16;0   a  0  a  16  0  a  0  a  16  a  16;0     nemá řešení x

a   ; 16    0;  


a   16;0 c)

1 2

a  16

x1;2 



x1;2 

a  a 2  36a a  a 2  36a  2a 2a

Stránka 519


β)

a 2  36a  0 a  a  36   0 a1  0 nevyhovuje podmínce a2  36 2 a  a 2  36a    36    36   36   36  36  0 36 1       x1;2  2a 2   36  72 72 2  a  36  D0

x1;2  χ)

a 2  36a  0  a  0  a  36  0  a  0  a  36  a    a  a  36   0      a   36;0  a  0  a  36  0  a  0  a  36  a  36;0     nemá řešení x

a   ; 36    0;  


a   36;0 d)

1 2

a  36

x1;2 



x1;2 

a  a 2  64a a  a 2  64a  2a 2a

Stránka 520


β)

a 2  64a  0 a  a  64   0 a1  0 nevyhovuje podmínce a2  64 2 a  a 2  64a    64    64   64   64  64  0 64 1       x1;2  2a 2   64  128 128 2  a  64  D0

x1;2  χ)

a 2  64a  0  a  0  a  64  0  a  0  a  64  a    a  a  64   0      a   64;0   a  0  a  64  0  a  0  a  64  a  64;0     nemá řešení x

a   ; 64    0;  


a   64;0 e)

1 2

a  64

x1;2 

I. a  0 : kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární 0  x 2  0  x  25  0 25  0 x  II. a  0 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant D  b2  4ac  a 2  4  a   25  a 2  100a D0 α)


x1;2 

a  a 2  100a a  a 2  100a  2a 2a

Stránka 521


β)

a 2  100a  0 a  a  100   0 a1  0 nevyhovuje podmínce a2  100 2 a  a 2  100a    100    100   100   100  100  0      x1;2  2a 2   100  200  a  100 

x1;2 



100 1  200 2

D0

χ)

a  100a  0 2

 a  0  a  100  0  a  0  a  100  a    a  a  100   0      a  0  a  100  0  a  0  a  100  a  100;0      a   100;0  nemá řešení x

a   ; 100    0;  


a   100;0 f)

1 2

a  100

x1;2 



Stránka 522


β)

a  a 2  144a a  a 2  144a x1;2   2a 2a D0

a 2  144a  0 a  a  144   0 a1  0 nevyhovuje podmínce a2  144 2 a  a 2  144a    144    144   144   144  144  0      x1;2  2a 2   144  288  a  144 

x1;2 



144 1  288 2

D0

χ)

a  144a  0 2

 a  0  a  144  0  a  0  a  144  a    a  a  144   0      a  0  a  144  0  a  0  a  144  a  144;0      a   144;0  nemá řešení 1 2

a  144

x

a   ; 144    0;  


a   144;0

x1;2 

28. Řešte rovnici s neznámou x  R a parametrem a  R : a) x 2   a  1 x  1  0 d) x 2   a  2  x  1  0 b) x 2   a  1 x  1  0

e) x 2   a  3 x  1  0

c) x 2   a  2  x  1  0

f)

x 2   a  3 x  1  0

řešení: a) D  b2  4ac   a  1  4 11  a 2  2a  1  4  a 2  2a  3 2

Stránka 523


α)

a 2  2a  3  0

 a  3 a  1  0 a  3  0  a  1  0  a  3  a  1  a  1;          a  3  0  a  1  0  a  3  a  1  a  ; 3      a   ; 3  1;   x1;2  β)

  a  1  a 2  2a  3 a  1  a 2  2a  3  2 1 2 D0

a 2  2a  3  0

 a  3 a  1  0 a1  3 a2  1  a  1  a 2  2a  3    3  1   x1;2    x1;2  2  a  3  

χ)

 3 2

2

 2   3  3



3 1  0  2

2 1 2

 a  1  a 2  2a  3  1  1  12  2 1  3 1  1  0  2  x1;2   x     1  1;2 2 2 2 2  a 1  D0 a 2  2a  3  0 a  3  0  a  1  0  a  3  a  1  a   3;1      a  3 a  1  0     a  3  0  a  1  0  a  3  a  1  a      a   3;1 nemá řešení

a  3 a 1

x 1 x  1

a   ; 3  1;  

 a  1  a 2  2a  3 2 nemá řešení

a   3;1

x1;2 

Stránka 524

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy b) D  b2  4ac   a  1  4 11  a 2  2a  1  4  a 2  2a  3 D0 α) 2

a 2  2a  3  0

 a  3 a  1  0 a  3  0  a  1  0  a  3  a  1  a   3;          a  3  0  a  1  0  a  3  a  1  a  ; 1      a   ; 1   3;   x1;2  β)

  a  1  a 2  2a  3 a  1  a 2  2a  3  2 1 2 D0

a 2  2a  3  0

 a  3 a  1  0 a1  3 a2  1  a  1  a 2  2a  3  3  1  32  2  3  3 3  1  0  2   x     1  1;2 2 2 2 2  a3  2  a  1  a 2  2a  3    1  1   1  2   1  3 1  1  0 2  x1;2    1   x1;2  2 2 2 2  a  1  D0 x1;2 

χ)

a 2  2a  3  0  a  3  0  a  1  0  a  3  a  1  a      a  3 a  1  0     a  3  0  a  1  0  a  3  a  1  a  1;3      a   1;3

nemá řešení

a3 a  1

x  1 x 1

a   ; 1   3;  

 a  1  a 2  2a  3 2 nemá řešení

a   1;3

x1;2 

Stránka 525

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy c) D  b2  4ac   a  2   4 11  a 2  4a  4  4  a 2  4a D0 α) 2

a 2  4a  0 a  a  4  0 a  0  a  4  0  a  0  a  4  a   0;          a  0  a  4  0  a  0  a  4  a  ; 4      a   ; 4    0;   x1;2  β)

  a  2   a 2  4 a  a  2  a 2  4a  2 1 2 D0

a 2  4a  0 a  a  4  0 a1  0 a2   4  a  2  a 2  4a  0  2  02  4  0 0  2  0  2   x     1  1;2 2 2 2 2  a0  2  a  2  a 2  4a    4   2   4   4   4  4  2  0 2  x1;2    1   x1;2  2 2 2 2  a  4  D0 x1;2 

χ)

a 2  4a  0  a  0  a  4  0  a  0  a  4  a    a  a  4  0      a  0  a  4  0  a  0  a  4  a  4;0      a   4;0  nemá řešení

a0 a  4

x  1 x 1

a   ; 4    0;  

 a  2  a 2  4a 2 nemá řešení

a   4;0 

x1;2 

Stránka 526

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy d) D  b2  4ac   a  2   4 11  a 2  4a  4  4  a 2  4a D0 α) 2

a 2  4a  0 a  a  4  0 a  0  a  4  0  a  0  a  4  a   4;          a  0  a  4  0  a  0  a  4  a  ;0      a   ;0    4;   x1;2  β)

  a  2   a 2  4a  a  2  a 2  4 a  2 1 2 D0

a 2  4a  0 a  a  4  0 a1  0 a2  4  a  2  a 2  4a  0  2  02  4  0 0  2  0   x     1;2 2 2 2  a0   a  2  a 2  4a  4  2  42  4  4 4  2  0  x1;2      x1;2  2 2 2  a4  D0 x1;2 

χ)

2 1 2 2  1 2

a 2  4a  0 a  0  a  4  0  a  0  a  4  a     a  a  4  0      a  0  a  4  0  a  0  a  4  a  0; 4      a   0; 4 

nemá řešení

a0 a4

x 1 x  1

a   ;0    4;  

 a  2  a 2  4a 2 nemá řešení

a   0; 4 

x1;2 

Stránka 527

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy e) D  b2  4ac   a  3  4 11  a 2  6a  9  4  a 2  6a  5 D0 α) 2

a 2  6a  5  0

 a  1 a  5  0 a  1  0  a  5  0  a  1  a  5  a   1;          a  1  0  a  5  0  a  1  a  5  a  ; 5      a   ; 5    1;   x1;2  β)

  a  3   a 2  6 a  5  a  3  a 2  6a  5  2 1 2 D0

a 2  6a  5  0

 a  1 a  5  0 a1  1 a2  5  a  3  a 2  6a  5    1  3     x1;2  2  a  1 

x1;2 



2

 6   1  5

2



1 3  0  2



53 0  2

2  1 2

 a  3  a 2  6a  5    5   3     x1;2  2  a  5 

x1;2 



 1

 5 2

2

 6   5   5

2 1 2

D0

χ)

a  6a  5  0 2

 a  1  0  a  5  0  a  1  a  5  a      a  1 a  5  0     a  1  0  a  5  0  a  1  a  5  a  5; 1      a   5; 1 nemá řešení

Stránka 528

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy a  1 a  5

x  1 x 1

a   ; 5   1;  

 a  3  a 2  6a  5 2 nemá řešení

a   5; 1

x1;2 

f) D  b2  4ac   a  3  4 11  a 2  6a  9  4  a 2  6a  5 D0 α) 2

a 2  6a  5  0

 a  1 a  5  0 a  1  0  a  5  0  a  1  a  5  a   5;          a  1  0  a  5  0  a  1  a  5  a  ;1      a   ;1   5;   x1;2  β)

  a  3   a 2  6 a  5  a  3  a 2  6a  5  2 1 2 D0

a 2  6a  5  0

 a  1 a  5  0 a1  1 a2  5  a  3  a 2  6a  5  1  3     x1;2  2  a 1   a  3  a 2  6a  5  5  3   x1;2    x1;2  2  a5  D0 x1;2 

χ)

12  6 1  5 1  3  0 2   1 2 2 2 52  6  5  5 5  3  0  2    1 2 2 2

a 2  6a  5  0 a  1  0  a  5  0  a  1  a  5  a  1;5       a  1 a  5  0     a  1  0  a  5  0  a  1  a  5  a      a  1;5  nemá řešení

Stránka 529

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy a 1 a5

x 1 x  1

a   ;1   5;  

 a  3  a 2  6a  5 2 nemá řešení x1;2 

a  1;5

29. Řešte rovnici s neznámou x  R a parametrem a  R : a) x 2   a  1 x  1  0 d) x 2   a  2  x  1  0 b) x 2   a  1 x  1  0

e) x 2   a  3 x  1  0

c) x 2   a  2  x  1  0

f)

x 2   a  3 x  1  0

řešení: a)

D  b2  4ac    a  1  4 11  a 2  2a  1  4  a 2  2a  3 2

D0

α)

a  2a  3  0 2

 a  3 a  1  0 a  3  0  a  1  0  a  3  a  1  a  1;          a  3  0  a  1  0  a  3  a  1  a  ; 3      a   ; 3  1;   x1;2 

    a  1   a 2  2a  3

D0

β)

2 1



a  1  a 2  2a  3 2

a  2a  3  0 2

 a  3 a  1  0 a1  3 a2  1 a  1  a 2  2a  3  3  1     x1;2  2  a  3 

x1;2 



 3

2

2

 2   3  3



3  1  0  2

2  1 2

a  1  a 2  2a  3  1  1  12  2 1  3 1  1  0 2   x    1  1;2 2 2 2 2  a 1 

x1;2 

Stránka 530


χ)

a 2  2a  3  0 a  3  0  a  1  0  a  3  a  1  a   3;1      a  3 a  1  0     a  3  0  a  1  0  a  3  a  1  a      a   3;1 nemá řešení

a  3 a 1

x  1 x 1

a   ; 3  1;  

a  1  a 2  2a  3 2 nemá řešení x1;2 

a   3;1 b)

D  b2  4ac    a  1  4 11  a 2  2a  1  4  a 2  2a  3 2

D0

α)

a 2  2a  3  0

 a  3 a  1  0 a  3  0  a  1  0  a  3  a  1  a   3;          a  3  0  a  1  0  a  3  a  1  a  ; 1      a   ; 1   3;   x1;2  β)

    a  1   a 2  2a  3

D0

2 1



a  1  a 2  2a  3 2

a 2  2a  3  0

 a  3 a  1  0 a1  3 a2  1 a  1  a 2  2a  3  3  1  32  2  3  3 3  1  0 2  x1;2   x    1  1;2 2 2 2 2  a3  2 a  1  a 2  2a  3  1  1   1  2   1  3 1  1  0  2  x1;2     1   x1;2  2 2 2 2  a  1 

Stránka 531


χ)

a 2  2a  3  0  a  3  0  a  1  0  a  3  a  1  a      a  3 a  1  0     a  3  0  a  1  0  a  3  a  1  a  1;3      a   1;3

nemá řešení

a3 a  1

x 1 x  1

a   ; 1   3;  

a  1  a 2  2a  3 2 nemá řešení x1;2 

a   1;3 c)

D  b2  4ac    a  2   4 11  a 2  4a  4  4  a 2  4a 2

α)

D0

a 2  4a  0 a  a  4  0 a  0  a  4  0  a  0  a  4  a   0;          a  0  a  4  0  a  0  a  4  a  ; 4      a   ; 4    0;   x1;2  β)

    a  2    a 2  4a

D0

2 1



a  2  a 2  4a 2

a 2  4a  0 a  a  4  0 a1  0 a2   4 a  2  a 2  4a  0  2  02  4  0 0  2  0 2  x1;2   x    1  1;2 2 2 2 2  a0  2 a  2  a 2  4a  4  2   4   4   4  4  2  0  2  x1;2     1   x1;2  2 2 2 2  a  4 

Stránka 532


χ)

a 2  4a  0  a  0  a  4  0  a  0  a  4  a    a  a  4  0      a  0  a  4  0  a  0  a  4  a  4;0      a   4;0  nemá řešení

a0 a  4

x 1 x  1

a   ; 4    0;  

a  2  a 2  4a 2 nemá řešení x1;2 

a   4;0  d)

D  b2  4ac    a  2   4 11  a 2  4a  4  4  a 2  4a 2

α)

D0

a 2  4a  0 a  a  4  0 a  0  a  4  0  a  0  a  4  a   4;          a  0  a  4  0  a  0  a  4  a  ;0      a   ;0    4;   x1;2  β)

    a  2    a 2  4a

D0

2 1



a  2  a 2  4a 2

a 2  4a  0 a  a  4  0 a1  0 a2  4 a  2  a 2  4a  02  x1;2    x1;2  2  a0  a  2  a 2  4a  42  x1;2    x1;2  2  a4 

02  4  0 0  2  0  2    1 2 2 2 42  4  4 4  2  0 2   1 2 2 2

Stránka 533


χ)

a 2  4a  0 a  0  a  4  0  a  0  a  4  a     a  a  4  0      a  0  a  4  0  a  0  a  4  a  0; 4      a   0; 4 

nemá řešení

a0 a4

x  1 x 1

a   ;0    4;  

a  2  a 2  4a 2 nemá řešení x1;2 

a   0; 4  e)

D  b2  4ac    a  3  4 11  a 2  6a  9  4  a 2  6a  5 2

D0

α)

a 2  6a  5  0

 a  1 a  5  0 a  1  0  a  5  0  a  1  a  5  a   1;          a  1  0  a  5  0  a  1  a  5  a  ; 5      a   ; 5    1;   x1;2  β)

    a  3   a 2  6a  5

D0

2 1



a  3  a 2  6a  5 2

a 2  6a  5  0

 a  1 a  5  0 a1  1 a2  5 a  3  a 2  6a  5  1  3   x1;2    x1;2  2  a  1  

 1

2

2

 6   1  5



1  3  0  2

2 1 2

Stránka 534

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy a  3  a 2  6a  5  5  3     x1;2  2  a  5 

x1;2 



 5

2

 6   5   5

2



5  3  0  2

2  1 2

D0

χ)

a  6a  5  0 2

 a  1  0  a  5  0  a  1  a  5  a      a  1 a  5  0     a  1  0  a  5  0  a  1  a  5  a  5; 1      a   5; 1 nemá řešení

a  1 a  5

x 1 x  1

a   ; 5   1;  

a  3  a 2  6a  5 2 nemá řešení x1;2 

a   5; 1 f)

D  b2  4ac    a  3  4 11  a 2  6a  9  4  a 2  6a  5 2

D0

α)

a 2  6a  5  0

 a  1 a  5  0 a  1  0  a  5  0  a  1  a  5  a   5;          a  1  0  a  5  0  a  1  a  5  a  ;1      a   ;1   5;   x1;2  β)

    a  3   a 2  6a  5

D0

2 1



a  3  a 2  6a  5 2

a 2  6a  5  0

 a  1 a  5  0 a1  1 a2  5

Stránka 535

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy a  3  a 2  6a  5  1  3  12  6 1  5 1  3  0  2     1   x1;2  2 2 2 2  a 1  a  3  a 2  6a  5  5  3  52  6  5  5 5  3  0 2  x1;2    1   x1;2  2 2 2 2  a5  D0 x1;2 

χ)

a 2  6a  5  0 a  1  0  a  5  0  a  1  a  5  a  1;5       a  1 a  5  0     a  1  0  a  5  0  a  1  a  5  a      a  1;5  nemá řešení

a 1 a5

x  1 x 1

a   ;1   5;  

a  3  a 2  6a  5 x1;2  2 nemá řešení

a  1;5

30. Řešte rovnici s neznámou x  R a parametrem a  R : a) x 2   a  1 x  2  2a  0 d) x2   a  4  x  16  4a  0 b) x2   a  2  x  4  2a  0

e) x2   a  5 x  10  2a  0

c) x 2   a  3 x  6  2a  0

f)

x2   a  6 x  12  2a  0

řešení: a) D  b2  4ac   a  1  4 1  2  2a   a 2  2a  1  8  8a  a 2  6a  7 D0 α) 2

a 2  6a  7  0

 a  7  a  1  0 a  7  0  a  1  0  a  7  a  1  a  1;          a  7  0  a  1  0  a  7  a  1  a  ; 7      a   ; 7   1;   x1;2 

  a  1  a 2  6a  7 a  1  a 2  6a  7  2 1 2

Stránka 536


β)

a 2  6a  7  0

 a  7  a  1  0 a1  7 a2  1  a  1  a 2  6a  7    7   1     x1;2  2  a  7 

x1;2 



 7 

2

 6   7   7

2



7 1 0  2

8 4 2

 a  1  a 2  6a  7  1  1  12  6 1  7 1  1  0 0   x    0  1;2 2 2 2 2  a 1  D0

x1;2  χ)

a 2  6a  7  0 a  7  0  a  1  0  a  7  a  1  a   7;1      a  7  a  1  0     a  7  0  a  1  0  a  7  a  1  a      a   7;1 nemá řešení

a  7 a 1

x4 x0

a   ; 7   1;  

 a  1  a 2  6a  7 2 nemá řešení x1;2 

a   7;1 b)

D  b2  4ac   a  2   4 1  4  2a   a 2  4a  4  16  8a  a 2  4a  12 D0 α) 2

a 2  4a  12  0

 a  6  a  2   0 a  6  0  a  2  0  a  6  a  2  a   2;          a  6  0  a  2  0  a  6  a  2  a  ; 6      a   ; 6    2;   x1;2 

  a  2   a 2  4a  12 a  2  a 2  4a  12  2 1 2 Stránka 537


β)

a 2  4a  12  0

 a  6  a  2   0 a1  6 a2  2 a  2  a 2  4a  12    6   2     x1;2  2  a  6 

x1;2 



 6 

2

 4   6   12

2



620  2

8 4 2

a  2  a 2  4a  12  2  2  22  4  2  12 2  2  0 0   x    0  1;2 2 2 2 2  a2  D0

x1;2  χ)

a 2  4a  12  0 a  6  0  a  2  0  a  6  a  2  a   6; 2       a  6  a  2   0     a  6  0  a  2  0  a  6  a  2  a      a   6; 2  nemá řešení

a  6 a2

x4 x0

a   ; 6    2;  

a  2  a 2  4a  12 2 nemá řešení x1;2 

a   6; 2  c)

D  b2  4ac   a  3  4 1  6  2a   a 2  6a  9  24  8a  a 2  2a  15 D0 α) 2

a 2  2a  15  0

 a  5 a  3  0 a  5  0  a  3  0  a  5  a  3  a   3;          a  5  0  a  3  0  a  5  a  3  a  ; 5      a   ; 5    3;   x1;2 

  a  3  a 2  2a  15 a  3  a 2  2a  15  2 1 2 Stránka 538


β)

a 2  2a  15  0

 a  5 a  3  0 a1  5 a2  3 a  3  a 2  2a  15    5   3     x1;2  2  a  5 

x1;2 



 5

2

 2   5   15

2



53 0  2

8 4 2

a  3  a 2  2a  15  3  3  32  2  3  15 3  3  0 0   x    0  1;2 2 2 2 2  a3  D0

x1;2  χ)

a 2  2a  15  0 a  5  0  a  3  0  a  5  a  3  a   5;3      a  5 a  3  0     a  5  0  a  3  0  a  5  a  3  a      a   5;3 nemá řešení

a  5 a3

x4 x0

a   ; 5   3;  

a  3  a 2  2a  15 2 nemá řešení x1;2 

a   5;3 d)

D  b2  4ac   a  4   4 1 16  4a   a 2  8a  16  64  16a  a 2  8a  48 D0 α) 2

a 2  8a  48  0

 a  12  a  4   0  a  12  0  a  4  0  a  12  a  4  a   4;         a  12  0  a  4  0  a  12  a  4  a  ; 12      a   ; 12    4;   x1;2 

  a  4   a 2  8a  48 a  4  a 2  8a  48  2 1 2 Stránka 539


β)

a 2  8a  48  0

 a  12  a  4   0 a1  12 a2  4 a  4  a 2  8a  48    12   4     x1;2  2  a  12 

x1;2 



 12 

2

 8   12   48

2



12  4  0 16  8 2 2

a  4  a 2  8a  48  4  4  42  8  4  48 4  4  0 0   x    0  1;2 2 2 2 2  a4  D0

x1;2  χ)

a 2  8a  48  0 a  12  0  a  4  0  a  12  a  4  a   12; 4       a  12  a  4   0     a  12  0  a  4  0  a  12  a  4  a      a   12; 4  nemá řešení

a  12 a4

x 8 x0

a   ; 12    4;  

a  4  a 2  8a  48 2 nemá řešení

a   12; 4 

x1;2 

e) D  b2  4ac   a  5  4 1 10  2a   a 2  10a  25  40  8a  a 2  2a  15 D0 α) 2

a 2  2a  15  0

 a  5 a  3  0 a  5  0  a  3  0  a  5  a  3  a   5;          a  5  0  a  3  0  a  5  a  3  a  ; 3      a   ; 3   5;   x1;2 

  a  5  a 2  2a  15 a  5  a 2  2a  15  2 1 2 Stránka 540


β)

a 2  2a  15  0

 a  5 a  3  0 a1  5 a2  3 a  5  a 2  2a  15    3  5     x1;2  2  a  3 

x1;2 



 3 2

2

 2   3  15



35 0 2

8 4 2

a  5  a 2  2a  15  5  5  52  2  5  15 5  5  0 0   x    0  1;2 2 2 2 2  a5  D0

x1;2  χ)

a 2  2a  15  0 a  3  0  a  5  0  a  3  a  5  a   3;5       a  3 a  5  0     a  3  0  a  5  0  a  3  a  5  a      a   3;5  nemá řešení

a  3 a5

x4 x0

a   ; 3   5;  

a  5  a 2  2a  15 2 nemá řešení x1;2 

a   3;5 f)

D  b2  4ac   a  6  4 1 12  2a   a 2  12a  36  48  8a  a 2  4a  12 D0 α) 2

a 2  4a  12  0

 a  6  a  2   0 a  6  0  a  2  0  a  6  a  2  a   6;          a  6  0  a  2  0  a  6  a  2  a  ; 2      a   ; 2    6;   x1;2 

  a  6   a 2  4a  12 a  6  a 2  4a  12  2 1 2 Stránka 541


β)

a 2  4a  12  0

 a  6  a  2   0 a1  6 a2  2 a  6  a 2  4a  12    2   6     x1;2  2  a  2 

x1;2 



 2 

2

 4   2   12

2



260 2

8 4 2

a  6  a 2  4a  12  6  6  62  4  6  12 6  6  0 0   x    0  1;2 2 2 2 2  a6  D0

x1;2  χ)

a 2  4a  12  0  a  6  0  a  2  0  a  6  a  2  a      a  6  a  2   0     a  6  0  a  2  0  a  6  a  2  a  2;6      a   2;6  nemá řešení

a  2 a6

x4 x0

a   ; 2    6;  

a  6  a 2  4a  12 2 nemá řešení

a   2;6 

x1;2 

31. Řešte rovnici s neznámou x  R a parametrem a  R : a) x 2   a  1 x  2  2a  0 d) x2   a  4 x  16  4a  0 b) x2   a  2  x  4  2a  0

e) x2   a  5 x  10  2a  0

c) x 2   a  3 x  6  2a  0

f)

x2   a  6  x  12  2a  0

Stránka 542


D  b2  4ac    a  1  4 1  2  2a   a 2  2a  1  8  8a  a 2  6a  7 2

D0

α)

a 2  6a  7  0

 a  7  a  1  0 a  7  0  a  1  0  a  7  a  1  a  1;          a  7  0  a  1  0  a  7  a  1  a  ; 7      a   ; 7   1;   x1;2 

    a  1   a 2  6a  7

D0

β)

2 1



a  1  a 2  6a  7 2

a 2  6a  7  0

 a  7  a  1  0 a1  7 a2  1 a  1  a 2  6a  7  7  1   x1;2    x1;2  2  a  7  

 7 

2

2

 6   7   7



7  1  0  2

8  4 2

a  1  a 2  6a  7  1  1  12  6 1  7 1  1  0 0   x    0  1;2 2 2 2 2  a 1  D0

x1;2  χ)

a 2  6a  7  0 a  7  0  a  1  0  a  7  a  1  a   7;1      a  7  a  1  0     a  7  0  a  1  0  a  7  a  1  a      a   7;1 nemá řešení

a  7 a 1

x  4 x0

a   ; 7   1;  

a  1  a 2  6a  7 2 nemá řešení

a   7;1

x1;2 

Stránka 543


D  b2  4ac    a  2   4 1  4  2a   a 2  4a  4  16  8a  a 2  4a  12 2

D0

α)

a 2  4a  12  0

 a  6  a  2   0 a  6  0  a  2  0  a  6  a  2  a   2;          a  6  0  a  2  0  a  6  a  2  a  ; 6      a   ; 6    2;   x1;2 

    a  2    a 2  4a  12

D0

β)

2 1



a  2  a 2  4a  12 2

a 2  4a  12  0

 a  6  a  2   0 a1  6 a2  2 a  2  a 2  4a  12  6  2     x1;2  2  a  6 

x1;2 



χ)

 6 

2

2

 4   6   12



6  2  0  2

8  4 2

a  2  a 2  4a  12  2  2  22  4  2  12 2  2  0 0  x1;2   x    0  1;2 2 2 2 2  a2  D0 a 2  4a  12  0 a  6  0  a  2  0  a  6  a  2  a   6; 2       a  6  a  2   0     a  6  0  a  2  0  a  6  a  2  a      a   6; 2  nemá řešení

a  6 a2

x  4 x0

a   ; 6    2;  

a  2  a 2  4a  12 2 nemá řešení

a   6; 2 

x1;2 

Stránka 544


D  b2  4ac    a  3  4 1  6  2a   a 2  6a  9  24  8a  a 2  2a  15 2

D0

α)

a 2  2a  15  0

 a  5 a  3  0 a  5  0  a  3  0  a  5  a  3  a   3;          a  5  0  a  3  0  a  5  a  3  a  ; 5      a   ; 5    3;   x1;2 

    a  3   a 2  2a  15

D0

β)

2 1



a  3  a 2  2a  15 2

a 2  2a  15  0

 a  5 a  3  0 a1  5 a2  3 a  3  a 2  2a  15  5  3     x1;2  2  a  5 

x1;2 



χ)

 5

2

2

 2   5   15



5  3  0  2

8  4 2

a  3  a 2  2a  15  3  3  32  2  3  15 3  3  0 0  x1;2   x    0  1;2 2 2 2 2  a3  D0 a 2  2a  15  0 a  5  0  a  3  0  a  5  a  3  a   5;3      a  5 a  3  0     a  5  0  a  3  0  a  5  a  3  a      a   5;3 nemá řešení

a  5 a3

x  4 x0

a   ; 5   3;  

a  3  a 2  2a  15 2 nemá řešení

a   5;3

x1;2 

Stránka 545


D  b2  4ac    a  4   4 1 16  4a   a 2  8a  16  64  16a  a 2  8a  48 2

D0

α)

a 2  8a  48  0

 a  12  a  4   0  a  12  0  a  4  0  a  12  a  4  a   4;         a  12  0  a  4  0  a  12  a  4  a  ; 12      a   ; 12    4;   x1;2 

    a  4    a 2  8a  48

D0

β)

2 1



a  4  a 2  8a  48 2

a 2  8a  48  0

 a  12  a  4   0 a1  12 a2  4 a  4  a 2  8a  48  12  4     x1;2  2  a  12 

x1;2 



χ)

 12 

2

 8   12   48

2



12  4  0  16   8 2 2

a  4  a 2  8a  48  4  4  42  8  4  48 4  4  0 0  x1;2   x    0  1;2 2 2 2 2  a4  D0 a 2  8a  48  0 a  12  0  a  4  0  a  12  a  4  a   12; 4       a  12  a  4   0     a  12  0  a  4  0  a  12  a  4  a      a   12; 4  nemá řešení

a  12 a4

x  8 x0

a   ; 12    4;  

a  4  a 2  8a  48 2 nemá řešení

a   12; 4 

x1;2 

Stránka 546


D  b2  4ac    a  5  4 1 10  2a   a 2  10a  25  40  8a  a 2  2a  15 2

D0

α)

a 2  2a  15  0

 a  5 a  3  0 a  5  0  a  3  0  a  5  a  3  a   5;          a  5  0  a  3  0  a  5  a  3  a  ; 3      a   ; 3   5;   x1;2 

    a  5   a 2  2a  15

D0

β)

2 1



a  5  a 2  2a  15 2

a 2  2a  15  0

 a  5 a  3  0 a1  5 a2  3 a  5  a 2  2a  15  3  5     x1;2  2  a  3 

x1;2 



χ)

 3

2

2

 2   3  15



3  5  0 2

8  4 2

a  5  a 2  2a  15  5  5  52  2  5  15 5  5  0 0  x1;2   x    0  1;2 2 2 2 2  a5  D0 a 2  2a  15  0 a  3  0  a  5  0  a  3  a  5  a   3;5       a  3 a  5  0     a  3  0  a  5  0  a  3  a  5  a      a   3;5  nemá řešení

a  3 a5

x  4 x0

a   ; 3   5;  

a  5  a 2  2a  15 2 nemá řešení

a   3;5

x1;2 

Stránka 547


D  b2  4ac    a  6   4 1 12  2a   a 2  12a  36  48  8a  a 2  4a  12 2

D0

α)

a 2  4a  12  0

 a  6  a  2   0 a  6  0  a  2  0  a  6  a  2  a   6;          a  6  0  a  2  0  a  6  a  2  a  ; 2      a   ; 2    6;   x1;2 

    a  6    a 2  4a  12

D0

β)

2 1



a  6  a 2  4a  12 2

a 2  4a  12  0

 a  6  a  2   0 a1  6 a2  2 a  6  a 2  4a  12  2  6     x1;2  2  a  2 

x1;2 



χ)

 2 

2

2

 4   2   12



2  6  0 2

8  4 2

a  6  a 2  4a  12  6  6  62  4  6  12 6  6  0 0  x1;2   x    0  1;2 2 2 2 2  a6  D0 a 2  4a  12  0  a  6  0  a  2  0  a  6  a  2  a      a  6  a  2   0     a  6  0  a  2  0  a  6  a  2  a  2;6      a   2;6  nemá řešení

a  2 a6

x  4 x0

a   ; 2    6;  

a  6  a 2  4a  12 2 nemá řešení

a   2;6 

x1;2 

Stránka 548

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 32. Řešte rovnici s neznámou x  R a parametrem a  R : a) x 2   a  1 x  2  2a  0 d) x2   a  4  x  16  4a  0 b) x2   a  2  x  4  2a  0

e) x2   a  5 x  10  2a  0

c) x 2   a  3 x  6  2a  0

f)

x2   a  6 x  12  2a  0

řešení: a) D  b2  4ac   a  1  4 1  2  2a   a 2  2a  1  8  8a  a 2  10a  9 D0 α) 2

a 2  10a  9  0

 a  1 a  9   0 a  1  0  a  9  0  a  1  a  9  a   9;          a  1  0  a  9  0  a  1  a  9  a  ;1      a   ;1   9;   x1;2  β)

  a  1  a 2  10a  9 a  1  a 2  10a  9  2 1 2 D0

a 2  10a  9  0

 a  1 a  9   0 a1  1 a2  9 a  1  a 2  10a  9  9  1  92  10  9  9 9  1  0   x     1;2 2 2 2  a9 

x1;2 



χ)

8  4 2

a  1  a 2  10a  9  1  1  12  10 1  9 1  1  0 0  x1;2   x    0  1;2 2 2 2 2  a 1  D0 a 2  10a  9  0 a  1  0  a  9  0  a  1  a  9  a  1;9       a  1 a  9   0     a  1  0  a  9  0  a  1  a  9  a      a  1;9  nemá řešení Stránka 549

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy a9 a 1

x  4 x0

a   ;1   9;  

a  1  a 2  10a  9 2 nemá řešení x1;2 

a  1;9  b)

D  b2  4ac   a  2   4 1  4  2a   a 2  4a  4  16  8a  a 2  12a  20 D0 α) 2

a 2  12a  20  0

 a  2  a  10   0 a  2  0  a  10  0  a  2  a  10  a  10;          a  2  0  a  10  0  a  2  a  10  a  ; 2      a   ; 2   10;   x1;2  β)

  a  2   a 2  12a  20 a  2  a 2  12a  20  2 1 2 D0

a 2  12a  20  0

 a  2  a  10   0 a1  2 a2  10 a  2  a 2  12a  20  10  2  102  12 10  20 10  2  0  x1;2   x     1;2 2 2 2  a  10  

8  4 2

a  2  a 2  12a  20  2  2  22  12  2  20 2  2  0 0   x    0  1;2 2 2 2 2  a2  D0

x1;2  χ)

a 2  12a  20  0 a  2  0  a  10  0  a  2  a  10  a   2;10       a  2  a  10   0     a  2  0  a  10  0  a  2  a  10  a      a   2;10  nemá řešení Stránka 550

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy a  10 a2

x  4 x0

a   ;2   10;  

a  2  a 2  12a  20 2 nemá řešení x1;2 

a   2;10  c)

D  b2  4ac   a  3  4 1  6  2a   a 2  6a  9  24  8a  a 2  14a  33 D0 α) 2

a 2  14a  33  0

 a  3 a  11  0 a  3  0  a  11  0  a  3  a  11  a  11;          a  3  0  a  11  0  a  3  a  11  a  ;3      a   ;3  11;   x1;2  β)

  a  3  a 2  14a  33 a  3  a 2  14a  33  2 1 2 D0

a 2  14a  33  0

 a  3 a  11  0 a1  3 a2  11 a  3  a 2  14a  33  11  3  112  14 11  33 11  3  0   x     1;2 2 2 2  a  11 

x1;2 



χ)

8  4 2

a  3  a 2  14a  33  3  3  32  14  3  33 3  3  0 0  x1;2   x    0  1;2 2 2 2 2  a3  D0 a 2  14a  33  0 a  3  0  a  11  0  a  3  a  11  a   3;11      a  3 a  11  0     a  3  0  a  11  0  a  3  a  11  a      a   3;11 nemá řešení Stránka 551


x  4 x0

a   ;3  11;  

a  3  a 2  14a  33 2 nemá řešení x1;2 

a   3;11 d)

D  b2  4ac   a  4  4 1  16  4a   a 2  8a  16  64  16a  a 2  24a  80 D0 α) 2

a 2  24a  80  0

 a  4  a  20   0 a  4  0  a  20  0  a  4  a  20  a   20;          a  4  0  a  20  0  a  4  a  20  a  ; 4      a   ; 4    20;   x1;2  β)

  a  4   a 2  24a  80 a  4  a 2  24a  80  2 1 2 D0

a 2  24a  80  0

 a  4  a  20   0 a1  4 a2  20 a  4  a 2  24a  80  20  4  202  24  20  80 20  4  0   x     1;2 2 2 2  a  20 

x1;2 



χ)

 16  8 2

a  4  a 2  24a  80  4  4  42  24  4  80 4  4  0 0  x1;2   x    0  1;2 2 2 2 2  a4  D0 a 2  24a  80  0 a  4  0  a  20  0  a  4  a  20  a   4; 20       a  4  a  20   0     a  4  0  a  20  0  a  4  a  20  a      a   4; 20  nemá řešení Stránka 552


x  8 x0

a   ;4    20;  

a  4  a 2  24a  80 2 nemá řešení x1;2 

a   4; 20  e)

D  b2  4ac   a  5  4 1  10  2a   a 2  10a  25  40  8a  a 2  18a  65 D0 α) 2

a 2  18a  65  0

 a  5 a  13  0 a  5  0  a  13  0  a  5  a  13  a  13;          a  5  0  a  13  0  a  5  a  13  a  ;5      a   ;5   13;   x1;2  β)

  a  5  a 2  18a  65 a  5  a 2  18a  65  2 1 2 D0

a 2  18a  65  0

 a  5 a  13  0 a1  5 a2  13 a  5  a 2  18a  65  13  5  132  18 13  65 13  5  0   x     1;2 2 2 2  a  13 

x1;2 



χ)

8  4 2

a  5  a 2  18a  65  5  5  52  18  5  65 5  5  0 0  x1;2   x    0  1;2 2 2 2 2  a5  D0 a 2  18a  65  0 a  5  0  a  13  0  a  5  a  13  a   5;13      a  5 a  13  0     a  5  0  a  13  0  a  5  a  13  a      a   5;13 nemá řešení Stránka 553


x  4 x0

a   ;5  13;  

a  5  a 2  18a  65 2 nemá řešení x1;2 

a   5;13 f)

D  b2  4ac   a  6   4 1  12  2a   a 2  12a  36  48  8a  a 2  20a  84 D0 α) 2

a 2  20a  84  0

 a  6  a  14   0 a  6  0  a  14  0  a  6  a  14  a  14;          a  6  0  a  14  0  a  6  a  14  a  ;6      a   ;6   14;   x1;2  β)

  a  6   a 2  20a  84 a  6  a 2  20a  84  2 1 2 D0

a 2  20a  84  0

 a  6  a  14   0 a1  6 a2  14 a  6  a 2  20a  84  14  6  142  20 14  84 14  6  0   x     1;2 2 2 2  a  14 

x1;2 



χ)

8  4 2

a  6  a 2  20a  84  6  6  62  20  6  84 6  6  0 0  x1;2   x    0  1;2 2 2 2 2  a6  D0 a 2  20a  84  0 a  6  0  a  14  0  a  6  a  14  a   6;14       a  6  a  14   0     a  6  0  a  14  0  a  6  a  14  a      a   6;14  nemá řešení Stránka 554


x  4 x0

a   ;6   14;  

x1;2 

a   6;14 

nemá řešení

a  6  a 2  20a  84 2

33. Řešte rovnici s neznámou x  R a parametrem a  R : a) x 2   a  1 x  2  2a  0 d) x2   a  4 x  16  4a  0 b) x2   a  2  x  4  2a  0

e) x2   a  5 x  10  2a  0

c) x 2   a  3 x  6  2a  0

f)

x2   a  6  x  12  2a  0

řešení: a)

D  b2  4ac    a  1  4 1  2  2a   a 2  2a  1  8  8a  a 2  10a  9 2

D0

α)

a  10a  9  0 2

 a  1 a  9   0 a  1  0  a  9  0  a  1  a  9  a   9;          a  1  0  a  9  0  a  1  a  9  a  ;1      a   ;1   9;   x1;2 

    a  1   a 2  10a  9

D0

β)

2 1



a  1  a 2  10a  9 2

a  10a  9  0 2

 a  1 a  9   0 a1  1 a2  9 a  1  a 2  10a  9  9  1  92  10  9  9 9  1  0   x     1;2 2 2 2  a9 

x1;2 



8 4 2

a  1  a 2  10a  9  1  1  12  10 1  9 1  1  0 0   x    0  1;2 2 2 2 2  a 1 

x1;2 

Stránka 555


χ)

a 2  10a  9  0 a  1  0  a  9  0  a  1  a  9  a  1;9       a  1 a  9   0     a  1  0  a  9  0  a  1  a  9  a      a  1;9  nemá řešení

a9 a 1

x4 x0

a   ;1   9;  

a  1  a 2  10a  9 2 nemá řešení x1;2 

a  1;9  b)

D  b2  4ac    a  2   4 1  4  2a   a 2  4a  4  16  8a  a 2  12a  20 2

D0

α)

a 2  12a  20  0

 a  2  a  10   0 a  2  0  a  10  0  a  2  a  10  a  10;          a  2  0  a  10  0  a  2  a  10  a  ; 2      a   ; 2   10;   x1;2 

    a  2    a 2  12a  20

D0

β)

2 1



a  2  a 2  12a  20 2

a 2  12a  20  0

 a  2  a  10   0 a1  2 a2  10 a  2  a 2  12a  20  10  2  102  12 10  20 10  2  0   x     1;2 2 2 2  a  10 

x1;2 



8 4 2

a  2  a 2  12a  20  2  2  22  12  2  20 2  2  0 0  x1;2   x    0  1;2 2 2 2 2  a2  Stránka 556


χ)

a 2  12a  20  0 a  2  0  a  10  0  a  2  a  10  a   2;10       a  2  a  10   0     a  2  0  a  10  0  a  2  a  10  a      a   2;10  nemá řešení

a  10 a2

x4 x0

a   ;2   10;  

a  2  a 2  12a  20 2 nemá řešení x1;2 

a   2;10  c)

D  b2  4ac    a  3  4 1  6  2a   a 2  6a  9  24  8a  a 2  14a  33 2

D0

α)

a 2  14a  33  0

 a  3 a  11  0 a  3  0  a  11  0  a  3  a  11  a  11;          a  3  0  a  11  0  a  3  a  11  a  ;3      a   ;3  11;   x1;2 

    a  3   a 2  14a  33

D0

β)

2 1



a  3  a 2  14a  33 2

a 2  14a  33  0

 a  3 a  11  0 a1  3 a2  11 a  3  a 2  14a  33  11  3  112  14 11  33 11  3  0   x     1;2 2 2 2  a  11 

x1;2 



8 4 2

a  3  a 2  14a  33  3  3  32  14  3  33 3  3  0 0  x1;2   x    0  1;2 2 2 2 2  a3  Stránka 557


χ)

a 2  14a  33  0 a  3  0  a  11  0  a  3  a  11  a   3;11      a  3 a  11  0     a  3  0  a  11  0  a  3  a  11  a      a   3;11 nemá řešení

a  11 a3

x4 x0

a   ;3  11;  

a  3  a 2  14a  33 2 nemá řešení x1;2 

a   3;11 d)

D  b2  4ac    a  4   4 1  16  4a   a 2  8a  16  64  16a  a 2  24a  80 2

D0

α)

a 2  24a  80  0

 a  4  a  20   0 a  4  0  a  20  0  a  4  a  20  a   20;          a  4  0  a  20  0  a  4  a  20  a  ; 4      a   ; 4    20;   x1;2 

    a  4    a 2  24a  80

D0

β)

2 1



a  4  a 2  24a  80 2

a 2  24a  80  0

 a  4  a  20   0 a1  4 a2  20 a  4  a 2  24a  80  20  4  202  24  20  80 20  4  0   x     1;2 2 2 2  a  20 

x1;2 



16 8 2

a  4  a 2  24a  80  4  4  42  24  4  80 4  4  0 0  x1;2   x    0  1;2 2 2 2 2  a4  Stránka 558


χ)

a 2  24a  80  0 a  4  0  a  20  0  a  4  a  20  a   4; 20       a  4  a  20   0     a  4  0  a  20  0  a  4  a  20  a      a   4; 20  nemá řešení

a  20 a4

x 8 x0

a   ;4    20;  

a  4  a 2  24a  80 2 nemá řešení x1;2 

a   4; 20  e)

D  b2  4ac    a  5  4 1  10  2a   a 2  10a  25  40  8a  a 2  18a  65 2

D0

α)

a 2  18a  65  0

 a  5 a  13  0 a  5  0  a  13  0  a  5  a  13  a  13;          a  5  0  a  13  0  a  5  a  13  a  ;5      a   ;5   13;   x1;2 

    a  5   a 2  18a  65

D0

β)

2 1



a  5  a 2  18a  65 2

a 2  18a  65  0

 a  5 a  13  0 a1  5 a2  13 a  5  a 2  18a  65  13  5  132  18 13  65 13  5  0   x     1;2 2 2 2  a  13 

x1;2 



8  4 2

a  5  a 2  18a  65  5  5  52  18  5  65 5  5  0 0  x1;2   x    0  1;2 2 2 2 2  a5  Stránka 559


χ)

a 2  18a  65  0 a  5  0  a  13  0  a  5  a  13  a   5;13      a  5 a  13  0     a  5  0  a  13  0  a  5  a  13  a      a   5;13 nemá řešení

a  13 a5

x4 x0

a   ;5  13;  

a  5  a 2  18a  65 2 nemá řešení x1;2 

a   5;13 f)

D  b2  4ac    a  6   4 1  12  2a   a 2  12a  36  48  8a  a 2  20a  84 2

D0

α)

a 2  20a  84  0

 a  6  a  14   0 a  6  0  a  14  0  a  6  a  14  a  14;          a  6  0  a  14  0  a  6  a  14  a  ;6      a   ;6   14;   x1;2 

    a  6    a 2  20a  84

D0

β)

2 1



a  6  a 2  20a  84 2

a 2  20a  84  0

 a  6  a  14   0 a1  6 a2  14 a  6  a 2  20a  84  14  6  142  20 14  84 14  6  0   x     1;2 2 2 2  a  14 

x1;2 



8 4 2

a  6  a 2  20a  84  6  6  62  20  6  84 6  6  0 0  x1;2   x    0  1;2 2 2 2 2  a6  Stránka 560


χ)


a  14 a6

x4 x0

a   ;6   14;  

a  6  a 2  20a  84 2 nemá řešení x1;2 

a   6;14 

34. Řešte rovnici s neznámou x  R a parametrem a  R : a) x 2   a  2  x  2  a  0 d) x 2   a  4  x  8  2a  0 b) x 2   a  2  x  2  a  0

e) x2   a  6  x  18  3a  0

c) x2   a  4 x  8  2a  0

f)

x2   a  6 x  18  3a  0

řešení: a) D  b2  4ac   a  2   4 1  2  a   a 2  4a  4  8  4a  a 2  4 2

α)

D0 a2  4  0

/ 4

a2  4 a  2  a   ; 2    2;  

β)

  a  2   a 2  4 a  2  a 2  4 x1;2   2 1 2 D0

a2  4  0

/ 4

a2  4 a1  2 a2  2 2 a  2  a 2  4    2   2   2   4 2  2  0 0    0   x1;2  2 2 2 2  a  2 

x1;2 

a  2  a 2  4  2  2  22  4 2  2  0  4     2   x1;2  2 2 2 2  a2 

x1;2 

Stránka 561


χ)

a 40

/ 4

2

a2  4 a  2  a   2; 2  nemá řešení

a  2 a2

x0 x  2

a   ; 2    2;  

a  2  a 2  4 2 nemá řešení x1;2 

a   2; 2  b)

D  b2  4ac   a  2   4 1  2  a   a 2  4a  4  8  4a  a 2  4 α) D0 2

a2  4  0

/ 4

a2  4 a  2  a   ; 2    2;  

β)

  a  2   a 2  4 a  2  a 2  4 x1;2   2 1 2 D0

a2  4  0

/ 4

a2  4 a1  2 a2  2 a  2  a 2  4    2   2     x1;2  2 2  a  2 

x1;2 

 2 

2

4



220 4  2 2 2

a  2  a 2  4  2  2  22  4 2  2  0 0    0   x1;2  2 2 2 2  a2  D0

x1;2  χ)

a2  4  0

/ 4

a2  4 a  2  a   2; 2  nemá řešení

Stránka 562

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy a  2 a2

x2 x0

a   ; 2    2;  

a  2  a 2  4 2 nemá řešení x1;2 

a   2; 2  c)

D  b2  4ac   a  4   4 1 8  2a   a 2  8a  16  32  8a  a 2  16 α) D0 2

a 2  16  0

/ 16

a  16 2

a  4  a   ; 4    4;     a  4   a 2  16 a  4  a 2  16  2 1 2 D0

x1;2  β)

a 2  16  0

/ 16

a  16 a1  4 2

a2  4 2 a  4  a 2  16    4   4   4   16 4  4  0 0  x1;2    0   x1;2  2 2 2 2  a  4 

χ)

a  4  a 2  16  4  4  42  16 4  4  0  8  x1;2   x     4  1;2 2 2 2 2  a4  D0 a 2  16  0

/ 16

a  16 2

a  4  a   4; 4  nemá řešení

a  4 a4

x0 x  4

a   ; 4    4;  

a  4  a 2  16 2 nemá řešení

a   4; 4 

x1;2 

Stránka 563

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy d) D  b2  4ac   a  4   4 1 8  2a   a 2  8a  16  32  8a  a 2  16 α) D0 2

a 2  16  0

/ 16

a  16 2

a  4  a   ; 4    4;     a  4   a 2  16 a  4  a 2  16  2 1 2 D0

x1;2  β)

a 2  16  0

/ 16

a  16 a1  4 2

a2  4 2 a  4  a 2  16    4   4   4   16 4  4  0 8  x1;2    4   x1;2  2 2 2 2  a  4 

χ)

a  4  a 2  16  4  4  42  16 4  4  0 0  x1;2   x    0  1;2 2 2 2 2  a4  D0 a 2  16  0

/ 16

a 2  16 a  4  a   4; 4  nemá řešení

a  4 a4

x4 x0

a   ; 4    4;  

a  4  a 2  16 x1;2  2 nemá řešení

a   4; 4  e)

D  b2  4ac   a  6   4 1 18  3a   a 2  12a  36  72  12a  a 2  36 α) D0 2

a 2  36  0

/ 36

a  36 2

a  6  a   ; 6    6;  

Stránka 564


β)

  a  6   a 2  36 a  6  a 2  36 x1;2   2 1 2 D0

a 2  36  0

/ 36

a  36 a1  6 2

a2  6 2 a  6  a 2  36    6   6   6   36 6  6  0 0    0   x1;2  2 2 2 2  a  6  a  6  a 2  36  6  6  62  36 6  6  0  12  x1;2   x     6  1;2 2 2 2 2  a6  D0

x1;2 

χ)

a 2  36  0

/ 36

a  36 2

a  6  a   6;6  nemá řešení

a  6 a6

x0 x  6

a   ; 6    6;  

a  6  a 2  36 2 nemá řešení x1;2 

a   6;6  f)

D  b2  4ac   a  6   4 1 18  3a   a 2  12a  36  72  12a  a 2  36 α) D0 2

a 2  36  0

/ 36

a 2  36 a  6  a   ; 6    6;  

β)

  a  6   a 2  36 a  6  a 2  36 x1;2   2 1 2 D0

a 2  36  0

/ 36

a  36 a1  6 2

a2  6

Stránka 565

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 2 a  6  a 2  36    6   6   6   36 6  6  0 12    6   x1;2  2 2 2 2  a  6  a  6  a 2  36  6  6  62  36 6  6  0 0  x1;2    0   x1;2  2 2 2 2  a6  D0

x1;2 

χ)

a 2  36  0

/ 36

a 2  36 a  6  a   6;6  nemá řešení

a  6 a6

x6 x0

a   ; 6    6;  

a  6  a 2  36 2 nemá řešení x1;2 

a   6;6 

35. Řešte rovnici s neznámou x  R a parametrem a  R : a) x 2   a  2  x  2  a  0 d) x 2   a  4  x  8  2a  0 b) x 2   a  2  x  2  a  0

e) x2   a  6 x  18  3a  0

c) x 2   a  4  x  8  2a  0

f)

x2   a  6  x  18  3a  0

řešení: a)

D  b2  4ac    a  2   4 1  2  a   a 2  4a  4  8  4a  a 2  4 2

D0

α)

a2  4  0

/ 4

a2  4 a  2  a   ; 2    2;   x1;2 

    a  2    a 2  4

D0

β)

a 40 2

2 1



a  2  a2  4 2

/ 4

a 4 a1  2 2

a2  2

Stránka 566

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 2 a  2  a2  4  2  2   2   4 2  2  0 0    0   x1;2  2 2 2 2  a  2  a  2  a2  4  2  2  22  4 2  2  0 4  x1;2    2   x1;2  2 2 2 2  a2  D0

x1;2 

χ)

a2  4  0

/ 4

a2  4 a  2  a   2; 2  nemá řešení

a  2 a2

x0 x2

a   ; 2    2;  

a  2  a2  4 2 nemá řešení x1;2 

a   2; 2  b)

D  b2  4ac    a  2   4 1  2  a   a 2  4a  4  8  4a  a 2  4 2

D0

α)

a 40 2

/ 4

a 4 2

a  2  a   ; 2    2;   x1;2  β)

    a  2    a 2  4

D0 a2  4  0

2 1



a  2  a2  4 2

/ 4

a2  4 a1  2 a2  2 2 a  2  a2  4  2  2   2   4 2  2  0  4     2   x1;2  2 2 2 2  a  2  a  2  a2  4  2  2  22  4 2  2  0 0  x1;2   x    0  1;2 2 2 2 2  a2 

x1;2 

Stránka 567


χ)

a 40 2

/ 4

a2  4 a  2  a   2; 2  nemá řešení

a  2 a2

x  2 x0

a   ; 2    2;  

a  2  a2  4 2 nemá řešení

a   2; 2 

x1;2 

c)

D  b2  4ac    a  4   4 1 8  2a   a 2  8a  16  32  8a  a 2  16 2

D0

α)

a  16  0 2

/ 16

a  16 2

a  4  a   ; 4    4;   x1;2  β)

    a  4    a 2  16

D0 a 2  16  0

2 1



a  4  a 2  16 2

/ 16

a 2  16 a1  4 a2  4

χ)

2 a  4  a 2  16  4  4   4   16 4  4  0 0  x1;2    0   x1;2  2 2 2 2  a  4  a  4  a 2  16  4  4  42  16 4  4  0 8  x1;2   x    4  1;2 2 2 2 2  a4  D0

a 2  16  0

/ 16

a 2  16 a  4  a   4; 4  nemá řešení

Stránka 568

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy a  4 a4

x0 x4

a   ; 4    4;  

a  4  a 2  16 2 nemá řešení

a   4; 4 

x1;2 

d)

D  b2  4ac    a  4   4 1 8  2a   a 2  8a  16  32  8a  a 2  16 2

D0

α)

a 2  16  0

/ 16

a 2  16 a  4  a   ; 4    4;   x1;2 

    a  4    a 2  16

D0

β)

a  16  0 2

2 1



a  4  a 2  16 2

/ 16

a 2  16 a1  4 a2  4 2 a  4  a 2  16  4  4   4   16 4  4  0  8     4   x1;2  2 2 2 2  a  4  a  4  a 2  16  4  4  42  16 4  4  0 0  x1;2   x    0  1;2 2 2 2 2  a4  D0

x1;2 

χ)

a 2  16  0

/ 16

a  16 2

a  4  a   4; 4  nemá řešení

a  4 a4

x  4 x0

a   ; 4    4;  

a  4  a 2  16 2 nemá řešení

a   4; 4 

x1;2 

Stránka 569


D  b2  4ac    a  6   4 1 18  3a   a 2  12a  36  72  12a  a 2  36 2

D0

α)

a 2  36  0

/ 36

a 2  36 a  6  a   ; 6    6;   x1;2 

    a  6    a 2  36

D0

β)

a  36  0 2

2 1



a  6  a 2  36 2

/ 36

a  36 a1  6 2

a2  6 2 a  6  a 2  36  6  6   6   36 6  6  0 0    0   x1;2  2 2 2 2  a  6  a  6  a 2  36  6  6  62  36 6  6  0 12  x1;2   x    6  1;2 2 2 2 2  a6  D0

x1;2 

χ)

a 2  36  0

/ 36

a  36 2

a  6  a   6;6  nemá řešení

a  6 a6

x0 x6

a   ; 6    6;  

a  6  a 2  36 2 nemá řešení

a   6;6 

x1;2 

f)

D  b2  4ac    a  6   4 1 18  3a   a 2  12a  36  72  12a  a 2  36 2

α)

D0 a 2  36  0

/ 36

a 2  36 a  6  a   ; 6    6;  

Stránka 570

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy x1;2 

    a  6    a 2  36

D0

β)

a  36  0 2

2 1



a  6  a 2  36 2

/ 36

a  36 a1  6 2

a2  6 2 a  6  a 2  36  6  6   6   36 6  6  0  12     6   x1;2  2 2 2 2  a  6  a  6  a 2  36  6  6  62  36 6  6  0 0  x1;2   x    0  1;2 2 2 2 2  a6  D0

x1;2 

χ)

a 2  36  0

/ 36

a  36 2

a  6  a   6;6  nemá řešení

a  6 a6

x  6 x0

a   ; 6    6;  

a  6  a 2  36 2 nemá řešení x1;2 

a   6;6 

36. Řešte rovnici s neznámou x  R a parametrem a  R : a) x 2   a  2  x  2  a  0 d) x 2   a  4  x  8  2a  0 b) x 2   a  2  x  2  a  0

e) x2   a  6  x  18  3a  0

c) x 2   a  4  x  8  2a  0

f)

x2   a  6 x  18  3a  0

řešení: a) D  b2  4ac   a  2  4 1  2  a   a 2  4a  4  8  4a  a 2  8a  12 2

Stránka 571


α)

a 2  8a  12  0

 a  2  a  6   0 a  2  0  a  6  0  a  2  a  6  a   2;          a  2  0  a  6  0  a  2  a  6  a  ; 6      a   ; 6    2;   x1;2  β)

  a  2   a 2  8a  12 a  2  a 2  8a  12  2 1 2 D0

a 2  8a  12  0

 a  2  a  6   0 a1  2 a2  6 a  2  a 2  8a  12    2   2   x1;2    x1;2  2  a  2  0  0 2 a  2  a 2  8a  12    6   2   x1;2    x1;2  2  a  6  

 2 

2

 8   2   12

2

 6  2

2

 8   6   12



220  2



620  2

4 2 2

D0

χ)

a 2  8a  12  0  a  2  0  a  6  0  a  2  a  6  a      a  2  a  6   0     a  2  0  a  6  0  a  2  a  6  a  6; 2      a   6; 2  nemá řešení

a  2 a  6

x0 x2

a   ; 6    2;  

a  2  a 2  8a  12 2 nemá řešení

a   6; 2 

x1;2 

Stránka 572

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy b) D  b2  4ac   a  2   4 1  2  a   a 2  4a  4  8  4a  a 2  8a  12 D0 α) 2

a 2  8a  12  0

 a  2  a  6   0 a  2  0  a  6  0  a  2  a  6  a   6;          a  2  0  a  6  0  a  2  a  6  a  ; 2      a   ; 2    6;   x1;2  β)

  a  2   a 2  8a  12 a  2  a 2  8a  12  2 1 2 D0

a 2  8a  12  0

 a  2  a  6   0 a1  2 a2  6 a  2  a 2  8a  12  2  2  22  8  2  12 2  2  0  x1;2   x     1;2 2 2 2  a2  0  0 2 2 a  2  a  8a  12  6  2  62  8  6  12 6  2  0  x1;2   x     1;2 2 2 2  a6   χ)

4  2 2

D0 a 2  8a  12  0 a  2  0  a  6  0  a  2  a  6  a   2;6       a  2  a  6   0     a  2  0  a  6  0  a  2  a  6  a      a   2;6  nemá řešení

Stránka 573

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy a2 a6

x0 x  2

a   ;2    6;  

a  2  a 2  8a  12 2 nemá řešení x1;2 

a   2;6  c)

D  b2  4ac   a  4   4 1  8  2a   a 2  8a  16  32  8a  a 2  16a  48 D0 α) 2

a 2  16a  48  0

 a  4  a  12   0 a  4  0  a  12  0  a  4  a  12  a   4;          a  4  0  a  12  0  a  4  a  12  a  ; 12      a   ; 12    4;   x1;2  β)

  a  4   a 2  16a  48 a  4  a 2  16a  48  2 1 2 D0

a 2  16a  48  0

 a  4  a  12   0 a1  4 a2  12 2 a  4  a 2  16a  48    4   4   4   16   4   48     x1;2  2 2  a  4  440 0   0 2 2 2 a  4  a 2  16a  48    12   4   12   16   12   48  x1;2     x1;2  2 2  a  12 

x1;2 



12  4  0 8  4 2 2

Stránka 574


χ)


a  4 a  12

x0 x4

a   ; 12    4;  

a  4  a 2  16a  48 2 nemá řešení

a   12; 4 

x1;2 

d) D  b2  4ac   a  4   4 1  8  2a   a 2  8a  16  32  8a  a 2  16a  48 D0 α) 2

a 2  16a  48  0


  a  4   a 2  16a  48 a  4  a 2  16a  48  2 1 2 D0

a 2  16a  48  0

 a  4  a  12   0 a1  4 a2  12 a  4  a 2  16a  48  4  4  42  16  4  48   x    1;2 2 2  a4 

x1;2 



4  4  0 0  0 2 2

Stránka 575

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy a  4  a 2  16a  48  12  4  122  16 12  48     x1;2  2 2  a  12 

x1;2 



12  4  0  8   4 2 2

D0

χ)


a4 a  12

x0 x  4

a   ;4   12;  

a  4  a 2  16a  48 2 nemá řešení x1;2 

a   4;12  e)

D  b2  4ac   a  6   4 1  18  3a   a 2  12a  36  72  12a  a 2  24a  108 D0 α) 2

a 2  24a  108  0

 a  6  a  18  0 a  6  0  a  18  0  a  6  a  18  a   6;          a  6  0  a  18  0  a  6  a  18  a  ; 18      a   ; 18    6;   x1;2  β)

  a  6   a 2  24a  108 a  6  a 2  24a  108  2 1 2 D0

a 2  24a  108  0

 a  6  a  18  0 a1  6 a2  18

Stránka 576

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 2 a  6  a 2  24a  108    6   6   6   24   6   108     x1;2  2 2  a  6  660 0   0 2 2 2 a  6  a 2  24a  108    18   6   18   24   18   108  x1;2     x1;2  2 2  a  18 

x1;2 



18  6  0 12  6 2 2

D0

χ)

a  24a  108  0 2

 a  6  0  a  18  0  a  6  a  18  a      a  6  a  18  0     a  6  0  a  18  0  a  6  a  18  a  18; 6      a   18; 6  nemá řešení

a  6 a  18

x0 x6

a   ; 18   6;  

a  6  a 2  24a  108 x1;2  2 nemá řešení

a   18; 6  f)

D  b2  4ac   a  6   4 1  18  3a   a 2  12a  36  72  12a  a 2  24a  108 D0 α) 2

a 2  24a  108  0

 a  6  a  18  0 a  6  0  a  18  0  a  6  a  18  a  18;          a  6  0  a  18  0  a  6  a  18  a  ;6      a   ;6   18;  

  a  6   a 2  24a  108 a  6  a 2  24a  108 x1;2   2 1 2

Stránka 577


β)

a 2  24a  108  0

 a  6  a  18  0 a1  6 a2  18 a  6  a 2  24a  108  6  6  62  24  6  108     x1;2  2 2  a6  6  6  0 0   0 2 2 a  6  a 2  24a  108  18  6  182  24 18  108  x1;2   x    1;2 2 2  a  18  x1;2 



18  6  0  12   6 2 2

D0

χ)

a  24a  108  0 2

a  6  0  a  18  0  a  6  a  18  a   6;18       a  6  a  18  0     a  6  0  a  18  0  a  6  a  18  a      a   6;18  nemá řešení

a6 a  18

x0 x  6

a   ;6   18;  

a  6  a 2  24a  108 2 nemá řešení x1;2 

a   6;18

37. Řešte rovnici s neznámou x  R a parametrem a  R : a) x 2   a  2  x  2  a  0 d) x 2   a  4  x  8  2a  0 b) x 2   a  2  x  2  a  0

e) x2   a  6 x  18  3a  0

c) x 2   a  4  x  8  2a  0

f)

x2   a  6  x  18  3a  0

řešení: a)

D  b2  4ac    a  2   4 1  2  a   a 2  4a  4  8  4a  a 2  8a  12 2

Stránka 578


α)

a 2  8a  12  0

 a  2  a  6   0 a  2  0  a  6  0  a  2  a  6  a   2;          a  2  0  a  6  0  a  2  a  6  a  ; 6      a   ; 6    2;   x1;2 

    a  2    a 2  8a  12

D0

β)

2 1



a  2  a 2  8a  12 2

a 2  8a  12  0

 a  2  a  6   0 a1  2 a2  6 a  2  a 2  8a  12  2  2     x1;2  2  a  2  0  0 2 a  2  a 2  8a  12  6  2   x1;2    x1;2  2  a  6  x1;2 



 2 

2

 8   2   12

2

 6 

2

2

 8   6   12



2  2  0  2



6  2  0  2

4  2 2

D0

χ)

a  8a  12  0 2

 a  2  0  a  6  0  a  2  a  6  a      a  2  a  6   0     a  2  0  a  6  0  a  2  a  6  a  6; 2      a   6; 2  nemá řešení

a  2 a  6

x0 x  2

a   ; 6    2;  

a  2  a 2  8a  12 x1;2  2 nemá řešení

a   6; 2 

Stránka 579


D  b2  4ac    a  2   4 1  2  a   a 2  4a  4  8  4a  a 2  8a  12 2

D0

α)

a  8a  12  0 2

 a  2  a  6   0 a  2  0  a  6  0  a  2  a  6  a   6;          a  2  0  a  6  0  a  2  a  6  a  ; 2      a   ; 2    6;   x1;2 

    a  2    a 2  8a  12

D0

β)

2 1



a  2  a 2  8a  12 2

a  8a  12  0 2

 a  2  a  6   0 a1  2 a2  6 a  2  a 2  8a  12  2  2  22  8  2  12 2  2  0   x     1;2 2 2 2  a2  0  0 2 a  2  a 2  8a  12  6  2  62  8  6  12 6  2  0  x1;2   x     1;2 2 2 2  a6  x1;2 



4 2 2

D0

χ)

a  8a  12  0 2

a  2  0  a  6  0  a  2  a  6  a   2;6       a  2  a  6   0     a  2  0  a  6  0  a  2  a  6  a      a   2;6  nemá řešení

Stránka 580

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy a2 a6

x0 x2

a   ;2    6;  

a  2  a 2  8a  12 2 nemá řešení x1;2 

a   2;6  c)

D  b2  4ac    a  4   4 1  8  2a   a 2  8a  16  32  8a  a 2  16a  48 2

D0

α)

a 2  16a  48  0

 a  4  a  12   0 a  4  0  a  12  0  a  4  a  12  a   4;          a  4  0  a  12  0  a  4  a  12  a  ; 12      a   ; 12    4;   x1;2 

    a  4    a 2  16a  48

D0

β)

2 1



a  4  a 2  16a  48 2

a  16a  48  0 2

 a  4  a  12   0 a1  4 a2  12 2 a  4  a 2  16a  48  4  4   4   16   4   48  x1;2     x1;2  2 2  a  4  4  4  0 0   0 2 2 2 2 a  4  a  16a  48  12  4   12   16   12   48  x1;2     x1;2  2 2  a  12 



12  4  0  8   4 2 2

Stránka 581


χ)


a  4 a  12

x0 x  4

a   ; 12    4;  

a  4  a 2  16a  48 2 nemá řešení x1;2 

a   12; 4  d)

D  b2  4ac    a  4   4 1  8  2a   a 2  8a  16  32  8a  a 2  16a  48 2

D0

α)

a 2  16a  48  0


    a  4    a 2  16a  48

D0

2 1



a  4  a 2  16a  48 2

a 2  16a  48  0

 a  4  a  12   0 a1  4 a2  12 a  4  a 2  16a  48  4  4  42  16  4  48  x1;2   x    1;2 2 2  a4  

440 0  0 2 2

Stránka 582

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy a  4  a 2  16a  48  12  4  122  16 12  48     x1;2  2 2  a  12 

x1;2 



12  4  0 8  4 2 2

D0

χ)


a4 a  12

x0 x4

a   ;4   12;  

a  4  a 2  16a  48 2 nemá řešení x1;2 

a   4;12  e)

D  b2  4ac    a  6   4 1  18  3a   a 2  12a  36  72  12a  a 2  24a  108 2

D0

α)

a 2  24a  108  0

 a  6  a  18  0 a  6  0  a  18  0  a  6  a  18  a   6;          a  6  0  a  18  0  a  6  a  18  a  ; 18      a   ; 18    6;   x1;2  β)

    a  6    a 2  24a  108

D0

2 1



a  6  a 2  24a  108 2

a 2  24a  108  0

 a  6  a  18  0 a1  6 a2  18

Stránka 583

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 2 a  6  a 2  24a  108  6  6   6   24   6   108     x1;2  2 2  a  6  6  6  0 0   0 2 2 2 a  6  a 2  24a  108  18  6   18   24   18   108  x1;2     x1;2  2 2  a  18 

x1;2 



18  6  0  12   6 2 2

D0

χ)

a  24a  108  0 2

 a  6  0  a  18  0  a  6  a  18  a      a  6  a  18  0     a  6  0  a  18  0  a  6  a  18  a  18; 6      a   18; 6  nemá řešení

a  6 a  18

x0 x  6

a   ; 18   6;  

a  6  a 2  24a  108 x1;2  2 nemá řešení

a   18; 6  f)

D  b2  4ac    a  6   4 1  18  3a   a 2  12a  36  72  12a  a 2  24a  108 2

D0

α)

a 2  24a  108  0

 a  6  a  18  0 a  6  0  a  18  0  a  6  a  18  a  18;          a  6  0  a  18  0  a  6  a  18  a  ;6      a   ;6   18;   x1;2 

    a  6    a 2  24a  108 2 1



a  6  a 2  24a  108 2

Stránka 584


β)

a 2  24a  108  0

 a  6  a  18  0 a1  6 a2  18 a  6  a 2  24a  108  6  6  62  24  6  108     x1;2  2 2  a6  660 0   0 2 2 a  6  a 2  24a  108  18  6  182  24 18  108  x1;2   x    1;2 2 2  a  18  x1;2 



18  6  0 12  6 2 2

D0

χ)

a  24a  108  0 2

a  6  0  a  18  0  a  6  a  18  a   6;18       a  6  a  18  0     a  6  0  a  18  0  a  6  a  18  a      a   6;18  nemá řešení

a6 a  18

x0 x6

a   ;6   18;  

a  6  a 2  24a  108 2 nemá řešení

a   6;18

x1;2 

38. Řešte rovnici s neznámou x  R a parametrem a  R : 2 2 a)  a  1 x 2  2ax  1  0 d)  a  4  x 2  2ax  1  0 b) c)

 a  2 x2  2ax  1  0 2  a  3 x2  2ax  1  0 2

e) f)

 a  5 x2  2ax  1  0 2  a  6 x2  2ax  1  0 2

Stránka 585


I. a 1  0  a  1 kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární

1  1

2

 x 2  2 1  x  1  0 2x 1  0 2 x  1 1 x 2

/ 1 /:2

II. a 1  0  a  1 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant 2 2 D  b2  4ac   2a   4   a  1 1  4a 2  4  a 2  2a  1  4a 2  4a 2  8a  4  8a  4 α)

D0 8a  4  0 / 4 8a  4 / :8 1 a 2 1  a  ; 2  x1;2  

β)

2a  8a  4 2   a  1

2





2  a  2a  1 2  a  1

2

2a  4  2a  1 2  a  1

  a 

2



2 a  2 2 a  1 2  a  1

2



2a  1

 a  1

2

D0 8a  4  0

/ 4

8a  4

/ :8

1 2  a  2a  1  1 1 1 1 1 x1;2     2  1   0   2 2  a  1   x  2 2  2   1  4  2  2 2 1;2 2 2 1 2 1 1   1 2   1 1   1  a       4  2   2   2 2 D0 8a  4  0 / 4 8a  4 / :8 1 a 2 1  a   ;  2  nemá řešení a

χ)

Stránka 586


a 1 a

b)

1 2

1 2

x  2  a  2a  1

1  a   ;1  1;   2 

x1;2 

1  a   ;  2 

nemá řešení

 a  1

2

I. a  2  0  a  2 kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární

 2  2

2

 x2  2  2  x  1  0 4x 1  0 4 x  1 1 x 4

/ 1 /:4

II. a  2  0  a  2 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant 2 2 D  b2  4ac   2a   4   a  2  1  4a 2  4  a 2  4a  4   4a 2  4a 2  16a  16   16a  16 α) D0

16a  16  0 16a  16

/ 16 / :16

a 1 a  1;   x1;2   β)

2a  16a  16 2   a  2

2



2 a  2 a  1

D0 16a  16  0 16a  16 a 1

2  a  2

2



2a  16  a  1 2  a  2

  a  2

2



2a  4 a  1 2  a  2

2



a 1

 a  2

2

/ 16 / :16

a  2 a  1   1  2 1  1 1  2  0 1 2    1  a  2    x1;2  2 2 1 1  2   1  a 1 

x1;2 

Stránka 587


D0 16a  16  0 16a  16

/ 16 / :16

a 1 a   ;1 nemá řešení x

a 1

x  1 a  2 a  1 x1;2  2  a  2

a  1;2    2;  

a   ;1 c)

1 4

a2

nemá řešení


 3  3

2

 x2  2  3  x  1  0 6x 1  0 6 x  1 x

/ 1 / :6

1 6

II. a  3  0  a  3 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant 2 2 D  b2  4ac   2a   4   a  3 1  4a 2  4  a 2  6a  9   4a 2  4a 2  24a  36   24a  36 D0 α)

24a  36  0 24a  36 a

/ 36 / : 24

36 24

3  a  ; 2  x1;2  

2a  24a  36



2   a  3

2

2  a  6a  9 2  a  3

2



2a  4  6a  9  2  a  3

  a 

2



2a  2 6a  9 2  a  3

2



6a  9

 a  3

2

Stránka 588


β)

24a  36  0

/ 36

24a  36 a

/ : 24

3 2

 a  6a  9  3 3 3 3 3    6  9  0   2  2  a  3   x  2 2  2  3  4 2  2 2  1;2 2 2 9 3 2 9 3   36   3 3   3   a     4  2   2   2 2 

x1;2 

D0 24a  36  0 24a  36

χ)

/ 36 / : 24

3 2 3  a   ;  2  nemá řešení

a

a3 a

3 2

3  a   ;3    3;   2  3  a   ;  2  d)

1 6 2 x 3  a  6a  9 x1;2  2  a  3

x

nemá řešení


 4  4

2

 x2  2  4  x  1  0 8x  1  0 8 x  1 x

/ 1 / :8

1 8

II. a  4  0  a  4 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant 2 2 D  b2  4ac   2a   4   a  4  1  4a 2  4  a 2  8a  16   4a 2  4a 2  32a  64   32a  64

Stránka 589


D0 32a  64  0 32a  64

/ 64 / : 32

a2 a   2;   x1;2   β)

2a  32a  64



2   a  4

2



2  a  2 2a  4 2  a  4

D0 32a  64  0 32a  64 a2

2

2a  16  2a  4  2  a  4

  a  2

2



2a  4 2a  4 2  a  4

2



2a  4

 a  4

2

/ 64 / : 32

 a  2 2a  4   2  2 2  2  4 2  0  2 1 2     a  4    x1;2  2 2 2 4  2  4  2   a2  D0 32a  64  0 / 64 32a  64 / : 32 x1;2 

χ)

a2 a   ; 2  nemá řešení

a4 a2 a   2;4    4;   a   ; 2  e)

1 8 1 x 2  a  2 2a  4 x1;2  2  a  4

x

nemá řešení

I. a  5  0  a  5 kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární 2  5  5  x 2  2  5  x  1  0

10 x  1  0 10 x  1 x

/ 1 / :10

1 10

II. a  5  0  a  5 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant Stránka 590

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy D  b2  4ac   2a   4   a  5 1  4a 2  4  a 2  10a  25   4a 2  4a 2  40a  100  α)

2

2

40a  100  0 40a  100

/ 100 / : 40

 40a  100 D0

a

100 40

5  a  ; 2  x1;2   β)

2a  40a  100



2   a  5



2

2 a  10a  25 2  a  5

2

2a  4 10a  25  2  a  5

  a 

2



2a  2 10a  25 2  a  5

2



10a  25

 a  5

2

D0 40a  100  0 40a  100

/ 100 / : 40

5 2 a  10a  25  5 5 5 5 5 x1;2     10   25  0   2  a  5 2 2   2 2  2     x1;2  2 2 2 25 5   5  10   5 5   5   a     4  2   2   2 2 a

 χ)

D0 40a  100  0 40a  100

5 4 2   5 2 25

/ 100 / : 40

5 2 5  a   ;  2  nemá řešení

a

Stránka 591

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 1 10 2 x 5

a5

x

5 2 5  a   ;5    5;   2  a

5  a   ;  2  f)

a  10a  25

x1;2 

 a  5

2

nemá řešení


 6  6

2

 x2  2  6  x  1  0 12 x  1  0 12 x  1 1 x 12

/ 1 / :12

II. a  6  0  a  6 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant 2 2 D  b2  4ac   2a   4   a  6  1  4a 2  4  a 2  12a  36   4a 2  4a 2  48a  144  α)

 48a  144 D0

48a  144  0 48a  144 a

/ 144 / : 48

144 48

a   3;   x1;2   β)

2a  48a  144



2   a  6

2

2 a  2 3a  9

D0 48a  144  0 48a  144 a3

2  a  6

2



2a  16  3a  9  2  a  6

  a  2

2



2a  4 3a  9 2  a  6

2



3a  9

 a  6

2

/ 144 / : 48

a  2 3a  9   3  2 3  3  9 3  0  3 1 2     a  6    x1;2  2 2 3 9 3  6  3  a3 

x1;2 

Stránka 592


D0 48a  144  0 48a  144

/ 144 / : 48

a3 a   ;3 nemá řešení 1 12 1 x 3 a  10a  25 x1;2  2  a  5 x

a6 a3 a   3;6    6;  

a   ;3

nemá řešení

39. Řešte rovnici s neznámou x  R a parametrem a  R : 2 2 a)  a  1 x 2  2ax  1  0 d)  a  4  x 2  2ax  1  0 b) c) řešení: a)

 a  2 x2  2ax  1  0 2  a  3 x2  2ax  1  0 2

e) f)

 a  5 x2  2ax  1  0 2  a  6 x2  2ax  1  0 2


1  1

2

 x 2  2 1  x  1  0 2 x  1  0 2 x  1 x

/ 1 / :  2 

1 2

II. a 1  0  a  1 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant 2 2 D  b2  4ac   2a   4   a  1 1  4a 2  4  a 2  2a  1  4a 2  4a 2  8a  4  α)

 8a  4 D0

8a  4  0

/ 4

8a  4 / :8 1 a 2 1  a  ; 2 

Stránka 593

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy x1;2  

  2a   8a  4



2   a  1

2 a  2a  1

2  a  1 D0

β)

2



2a  4  2a  1

  a

2  a  1

8a  4  0

/ 4

8a  4

/ :8



2a  2 2a  1 2  a  1

2



2a  1

 a  1

2

2

2

1 2 a  2a  1  1 1 1 1 1 x1;2    2  1 0 2 1 4  a  1 2    x  2  2  2 2  2   2 1;2 2 2 1 2 1 1   1 2   1 1   1   a     4  2   2   2 2 D0 8a  4  0 / 4 8a  4 / :8 1 a 2 1  a   ;  2  nemá řešení a

χ)

a 1 a

b)

x

1 2

1 2

x2 a  2a  1

1  a   ;1  1;   2 

x1;2 

1  a   ;  2 

nemá řešení

 a  1

2

I. a  2  0  a  2 kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární 2  2  2  x2  2  2  x  1  0

4 x  1  0 4 x  1 x

/ 1 / :  4 

1 4

Stránka 594

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy II. a  2  0  a  2 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant 2 2 D  b2  4ac   2a   4   a  2  1  4a 2  4  a 2  4a  4   4a 2  4a 2  16a  16   16a  16 α) D0

16a  16  0 16a  16

/ 16 / :16

a 1 a  1;   x1;2   β)

  2a   16a  16



2   a  2

2

2 a  2 a 1 2  a  2

D0 16a  16  0 16a  16 a 1



2a  16  a  1 2  a  2

  a2



2a  4 a  1 2  a  2

2



a 1

 a  2

2

2

2

/ 16 / :16

a  2 a 1   1  2 1 1 1  2  0 1 2   1  a  2    x1;2  2 2 1  2   1 1  a 1  D0 16a  16  0 / 16 16a  16 / :16 x1;2 

χ)

a 1 a   ;1 nemá řešení 1 4

a2

x

a 1

x 1

a  1;2    2;  

x1;2 

a   ;1

nemá řešení

a  2 a 1

 a  2

2

Stránka 595


I. a  3  0  a  3 kvadratická rovnice přejde na rovnici lineární 2  3  3  x 2  2  3  x  1  0

6 x  1  0

/ 1 / :  6 

6 x  1 x

1 6

II. a  3  0  a  3 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant 2 2 D  b2  4ac   2a   4   a  3 1  4a 2  4  a 2  6a  9   4a 2  4a 2  24a  36  α)

 24a  36 D0

24a  36  0 24a  36 a

/ 36 / : 24

36 24

3  a  ; 2  x1;2   β)

  2a   24a  36



2   a  3

2

2 a  6a  9 2  a  3

2



  a

2a  4  6a  9  2  a  3

2



2a  2 6a  9 2  a  3

2



6a  9

 a  3

2

D0 24a  36  0 24a  36

/ 36 / : 24

3 2 a  6a  9  3 3 3 3 3 x1;2    6  9 0 2 3 4 2 2  a  3   x  2  2  2 2 2   1;2 2 2 9 2 9 3 3   36   3 3   3   a     4  2   2   2 2  D0 24a  36  0 / 36 24a  36 / : 24 3 a 2 3  a   ;  2  nemá řešení a

χ)

Stránka 596

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 1 6 2 x 3

a3 a

d)

x

3 2

a  6a  9

3  a   ;3    3;   2 

x1;2 

3  a   ;  2 

nemá řešení

 a  3

2


 4  4

2

 x2  2  4  x  1  0 8 x  1  0

/ 1 / :  8 

8 x  1 x

1 8

II. a  4  0  a  4 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant 2 2 D  b2  4ac   2a   4   a  4  1  4a 2  4  a 2  8a  16   4a 2  4a 2  32a  64  α)

 32a  64 D0

32a  64  0 32a  64

/ 64 / : 32

a2 a   2;   x1;2   β)

  2a   32a  64



2   a  4

2

2 a  2 2a  4

D0 32a  64  0 32a  64 a2

2  a  4

2



2a  16  2a  4 

  a2

2  a  4

2



2a  4 2a  4 2  a  4

2



2a  4

 a  4

2

/ 64 / : 32

a  2 2a  4   2  2 22  4 2  0 2 1 2     a  4    x1;2  2 2  2  4  2  4 2  a2 

x1;2 

Stránka 597


D0 32a  64  0 32a  64

/ 64 / : 32

a2 a   ; 2  nemá řešení 1 8 1 x 2

x

a4 a2

e)

a  2 2a  4

a   2; 4    4;  

x1;2 

a   ; 2 

nemá řešení

 a  4

2


 5  5

2

 x2  2  5  x  1  0 10 x  1  0

/ 1 / :  10 

10 x  1 x

1 10

II. a  5  0  a  5 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant 2 2 D  b2  4ac   2a   4   a  5 1  4a 2  4  a 2  10a  25    4a 2  4a 2  40a  100  40a  100 D0 α)

40a  100  0 40a  100 a

/ 100 / : 40

100 40

5  a  ; 2  x1;2  

  2a   40a  100



2   a  5

2

2 a  10a  25 2  a  5

2

2a  4 10a  25 



  a

2  a  5

2



2a  2 10a  25 2  a  5

2



10a  25

 a  5

2

Stránka 598


β)

40a  100  0

/ 100

40a  100

/ : 40

5 2 a  10a  25  5 5 5 5 5 x1;2    10   25 0 2 2  a  5   x  2  2  2 2  2  1;2 2 2 25 5 5  10      5 5   5   a     4  2   2   2 2 a

 D0 40a  100  0 40a  100

χ)

5 4 2   2 25 5

/ 100 / : 40

5 2 5  a   ;  2  nemá řešení

a

1 10 2 x 5

a5

x

5 2 5  a   ;5    5;   2  a

5  a   ;  2  f)

x1;2 

a  10a  25

 a  5

2

nemá řešení


 6  6

2

 x2  2  6  x  1  0 12 x  1  0 12 x  1 x

/ 1 / :  12 

1 12

II. a  6  0  a  6 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant 2 2 D  b2  4ac   2a   4   a  6  1  4a 2  4  a 2  12a  36   4a 2  4a 2  48a  144   48a  144

Stránka 599


D0 48a  144  0 48a  144 a

/ 144 / : 48

144 48

a   3;   x1;2 

  2a   48a  144

 β)



2   a  6

2

2 a  2 3a  9 2  a  6

D0 48a  144  0 48a  144 a3

2



2a  16  3a  9 

  a2

2  a  6

2



2a  4 3a  9 2  a  6

2



3a  9

 a  6

2

/ 144 / : 48

a  2 3a  9   3  2 33  9 3  0 3 1 2     a  6    x1;2  2 2 3  6  3 9 3  a3  D0 48a  144  0 / 144 48a  144 / : 48 x1;2 

χ)

a3 a   ;3 nemá řešení 1 12 1 x 3 a  10a  25 x1;2  2  a  5

x

a6 a3 a   3;6    6;   a   ;3

nemá řešení

40. Řešte rovnici s neznámou x  R a parametrem a  R : 2 2 a)  a  1 x 2  2ax  1  0 d)  a  4  x 2  2ax  1  0 b) c)

 a  2 x2  2ax  1  0 2  a  3 x2  2ax  1  0 2

e) f)

 a  5 x2  2ax  1  0 2  a  6 x2  2ax  1  0 2

Stránka 600



1  1

2

 x 2  2 1  x  1  0 2x 1  0 2x  1 1 x 2

/ 1 /:2

II. a 1  0  a  1 klasická kvadratická rovnice, kterou řešíme přes diskriminant 2 2 D  b2  4ac   2a   4   a  1   1  4a 2  4  a 2  2a  1  4a 2  4a 2  8a  4   8a 2  8a  4 D0 α)

8a 2  8a  4  0

/:4

2a  2a  1  0 2

2  22  4  2 1 2  4  8 2  4   22 4 4 aR

a1,2 

x1;2   β)

2a  8a  4 2   a  1

2





2  a  2a  1 2  a  1

2

2a  4  2a  1 2  a  1

  a 

2



2a  2 2a  1 2  a  1

2



2a  1

 a  1

2

D0 8a  4  0

/ 4

8a  4

/ :8

1 2  a  2a  1  1 1 1 1 1 x1;2     2  1   0   2 2  a  1   x  2 2  2   1  4  2  2 2 1;2 2 2 1 2 1 1   1 2   1 1   1  a       4  2   2   2 2 D0 8a  4  0 / 4 8a  4 / :8 1 a 2 1  a   ;  2  nemá řešení a

χ)

Stránka 601

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy a 1 a

1 2

1  a   ;1  1;   2  1  a   ;  2 

x

1 2

x  2 x1;2 

 a  2a  1

 a  1

2

nemá řešení

Stránka 602

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 2.13 Iracionální rovnice 1. Řešte rovnici s neznámou x  R : a) x  x  5  1 c) x  x  4  2 b) x  x  1  1

d) x  2  x  4

řešení: a) x  x 5 1

2





f)

x  3  x  3

/ 1  x  5

x 1  x  5

 x  1

e) x  1  x  5

x5

/2



2

x2  2x  1  x  5

/ x  5

x 2  3x  4  0 x1;2 

  3 

 3

2

2 1

 4 1  4 



3  9  16 3  25 3  5   2 2 2

35 8  4 2 2 3  5 2 x2    1 2 2 x1 

Zk: L1  x1  4  : 4  4  5  4  9  4  3  1

P1  x1  4  :1

L1  P1 L2  x2  1 : 1  1  5  1  4  1  2  3

P2  x2  1 : 1

L2  P2 K  4

Stránka 603

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy b) x  x 1  1

/ 1  x  1

x 1  x 1

 x  1

2





x 1

/2



2

x2  2x  1  x  1

/ x  5

x 2  3x  0 x1;2 

  3 

 3

 4 1  0

2

2 1



3 90 3 9 33   2 2 2

33 6  3 2 2 33 0 x2   0 2 2 x1 

Zk: L1  x1  3 : 3  3  1  3  4  3  2  1

P1  x1  3 :1

L1  P1 L2  x2  0  : 0  0  1  0  1  0 1  1

P2  x2  0  :1

L2  P2 K  3 c) x x4  2

/ 2  x  4

x2 x4

 x  2

2





x4

/2



2

x2  4x  4  x  4

/ x  4

x  5x  0 2

x1;2 

  5  

 5 2 1

2

 4 1  0



5  25  0 5  25 5  5   2 2 2

5  5 10  5 2 2 55 0 x2   0 2 2 x1 

Stránka 604

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy Zk: L1  x1  5 : 5  5  4  5  9  5  3  2

P1  x1  5 : 2

L1  P1 L2  x2  0  : 0  0  4  0  4  0  2  2

P2  x2  0  : 2

L2  P2 K  5 d) x  2  x  4

/ 4  2  x

x4  2 x

 x  4

2





2 x

x 2  8 x  16  2  x

/2



2

/ 2  x

x 2  9 x  14  0 9  92  4 1 14 9  81  56 9  25 9  5 x1;2     2 1 2 2 2 9  5 4 x1    2 2 2 9  5 14 x2    7 2 2 Zk:

L1  x1  2  : 2  2   2   2  4  2  2  4

P1  x1  2  : 4

L1  P1 L2  x2  7  : 7  2   7   7  9  7  3  10 P2  x2  7  : 4

L2  P2 K  2

Stránka 605


x  1  x  5

/ 5  1 x

x  5  1 x

 x  5

2





/2

1 x



2

x 2  10 x  25  1  x

/ 1  x

x 2  11x  24  0 11  112  4 1 24 11  121  96 11  25 11  5    2 1 2 2 2 11  5 6 x1    3 2 2 11  5 16 x2    8 2 2

x1;2 

Zk:

L1  x1  3 : 3  1   3  3  4  3  2  5

P1  x1  3 : 5

L1  P1 L2  x2  8 : 8  1   8  8  9  8  3  11 P2  x2  8 : 5

L2  P2 K  3 f) x  3  x  3

/ 3  3  x

x 3  3 x

 x  3

2





3 x

x2  6x  9  3  x

/2



2

/ 3  x

x2  7 x  6  0 7  7 2  4 1 6 7  49  24 7  25 7  5    2 1 2 2 2 7  5 2 x1    1 2 2 7  5 12 x2    6 2 2

x1;2 

Stránka 606

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy Zk:

L1  x1  1 : 1  3   1  1  4  1  2  3

P1  x1  1 : 3

L1  P1 L2  x2  6  : 6  3   6   6  9  6  3  9 P2  x2  6  : 3

L2  P2 K  1 2. Řešte rovnici s neznámou x  R : 2x  3  x 1  1 a) c) b)

2x  1  x  3  2

d)

2x  5  x  2  1

e)

2 x  5  2  x  1

3x  4  8  x  2

f)

x  7  6  x  1

řešení: a) 2x  3  x 1  1



2x  3  x 1



2

/2

 12

2x  3  2 2x  3 x 1  x 1  1 3x  4  2 2 x  3 x  1  1

/  3x  4 /  1

2 2 x  3 x  1  3  3 x 2 2 x  3 x  1  3x  3



2 2x  3 x 1



2

  3 x  3

/2 2

4  2 x  3 x  1  9 x 2  18 x  9

4  2 x 2  2 x  3 x  3  9 x 2  18 x  9

4  2 x 2  5 x  3  9 x 2  18 x  9 8 x 2  20 x  12  9 x 2  18 x  9

/  9 x 2  18 x  9 /   1

 x2  2 x  3  0 x  2x  3  0 2

x1;2 

  2  

 2 

2

2 1

 4  1   3 



2  4  12 2  16 2  4   2 2 2

24 6  3 2 2 2  4 2 x2    1 2 2 x1 

Stránka 607

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy Zk: L1  x1  3 : 2  3  3  3  1  6  3  4  9  4  3  2  1

P1  x1  3 :1

L1  P1 L2  x2  1 : 2   1  3  1  1  2  3  0  1  0  1  0  1 P2  x2  1 : 1

L2  P2 K  1; 3 b) 2x 1  x  3  2



2x 1  x  3



2

/2

 22

2x 1 2 2x 1 x  3  x  3  4 3x  2  2 2 x  1 x  3  4

/  3x  2 /   1

2 2 x  1 x  3  3 x  6 2 2 x  1 x  3  6  3x

2

2x 1 x  3



2

  6  3x 

/2 2

4  2 x  1 x  3  36  36 x  9 x 2

4  2 x 2  6 x  x  3  36  36 x  9 x 2 4  2 x 2  5 x  3  36  36 x  9 x 2 8 x 2  20 x  12  36  36 x  9 x 2

/  9 x 2  36 x  36

 x 2  16 x  48  0

/   1

x 2  16 x  48  0 x1;2 

  16  

 16  2 1

2

 4 1 48



16  256  192 16  64   2 2

16  8 2 16  8 24 x1    12 2 2 16  8 8 x2   4 2 2 

Zk: L1  x1  12 : 2 12  1  12  3  24  1  9  25  9  5  3  2

P1  x1  12  : 2

L1  P1 Stránka 608

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy L2  x2  4 : 2  4  1  4  3  8  1  1  9  1  3  1  2

P2  x2  4  : 2

L2  P2 K  4; 12 c) 2x  5  x  2  1



2x  5  x  2



2

/2

 12

2x  5  2 2x  5 x  2  x  2  1 3x  7  2 2 x  5 x  2  1

/  3x  7 /   1

2 2 x  5 x  2  3 x  6 2 2 x  5 x  2  3x  6

2

2x  5 x  2



2

  3x  6 

/2 2

4  2 x  5  x  2   9 x 2  36 x  36

4  2 x 2  4 x  5 x  10   9 x 2  36 x  36

4  2 x 2  9 x  10   9 x 2  36 x  36 8 x 2  36 x  40  9 x 2  36 x  36  x2  4  0

/  9 x 2  36 x  36 /   1

x2  4  0 x2  4 x  2 x1  2 x2  2

Zk:

L1  x1  2  : 2   2   5  2  2  4  5  0  1  0  1  0  1 P1  x1  2  : 1

L1  P1 L2  x2  2 : 2  2  5  2  2  4  5  4  9  4  3  2  1

P2  x2  4  :1

L2  P2 K  2

Stránka 609

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy d) 3 x  4  8  x  2



3x  4  8  x



2

  2 

/2 2

3x  4  2 3x  4 8  x  8  x  4 2 x  12  2 3 x  4 8  x  4

/  2 x  12 /  1

2 3 x  4 8  x  2 x  8 2 3x  4 8  x  2 x  8

2

3x  4 8  x



2

  2 x  8

/2 2

4  3 x  4  8  x   4 x 2  32 x  64

4  24 x  3x 2  32  4 x   4 x 2  32 x  64

4  3 x 2  20 x  32   4 x 2  32 x  64 12 x 2  80 x  128  4 x 2  32 x  64

/  4 x 2  32 x  64 / :  16 

16 x 2  48 x  64  0 x  3x  4  0 2

x1;2 

  3 

 3 

2

2 1

 4  1   4 



3  9  16 3  25 3  5   2 2 2

35 8  4 2 2 3  5 2 x2    1 2 2 x1 

Zk: L1  x1  4 : 3  4  4  8  4  12  4  4  16  4  4  2  2

P1  x1  4  : 2

L1  P1 L2  x2  1 : 3   1  4  8   1  3  4  8  1  1  9  1  3  2 P2  x2  1 : 2

L2 = P2 K  1

Stránka 610

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy e) 2 x  5  2  x  1



2x  5  2  x



2

  1

/2 2

2x  5  2 2x  5 2  x  2  x  1 x  7  2 2x  5 2  x  1

/ x  7 /   1

2 2 x  5 2  x   x  6 2 2x  5 2  x  x  6

2

2x  5 2  x



2

  x  6

/2 2

4  2 x  5  2  x   x 2  12 x  36

4  4 x  2 x 2  10  5 x   x 2  12 x  36 4  2 x 2  x  10   x 2  12 x  36 8 x 2  4 x  40  x 2  12 x  36

/  x 2  12 x  36

9 x 2  16 x  4  0

/ :  1

9 x 2  16 x  4  0 x1;2 

16  162  4  9   4  29



16  256  144 16  400   18 18

16  20 18 16  20 4 2 x1    18 18 9 16  20 36 x2    2 18 18 

Zk:

2 2 2 4 29  2 4  59 18  2 4  45 16  L1  x1   : 2   5  2   5       9 9 9 9 9 9 9 9 9  

49 16 7 4 3     1 9 9 3 3 3

2  P1  x1   : 1 9  L1  P1

L2  x2  2  : 2   2   5  2   2   4  5  2  2  1  4  1  2  1 P2  x2  2  : 1

L2  P2 K  2 Stránka 611

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy f) x  7  6  x  1



x7  6 x



2

  1

/2 2

x  7  2 x  7 6 x  6 x 1 13  2 x  7 6  x  1

/  13 /   1

2 x  7 6  x  12 2 x  7 6  x  12

2

x7 6 x



2

/2

 122

4  x  7  6  x   144

4  6 x  x 2  42  7 x   144 4   x 2  x  42   144 4 x 2  4 x  168  144

/  144

4 x  4 x  24  0

/ :  4 

2

x2  x  6  0 x1;2 

1  12  4 1  6  2 1



1  1  24 1  25   2 2

1  5 2 1  5 4 x1   2 2 2 1  5 6 x2    3 2 2 

Zk: L1  x1  2 : 2  7  6  2  9  4  3  2  1

P1  x1  2  : 1

L1  P1 L2  x2  3 : 3  7  6   3  4  6  3  4  9  2  3  1

P2  x2  3 : 1

L2  P2 K  3

Stránka 612

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 2.14 Speciální typy soustav rovnic 1. Řešte R 2 soustavy rovnic: 2 x 2  3 y 2  35 a) 3x  2 y  12 b)

c)

3x 2  2 y 2  35

d)

2 x  3 y  12

4 x 2  3 y 2  52

e)

4 x  3 y  16 3x 2  4 y 2  52

f)

2 x  3 y  11

5 x 2  2 y 2  52 2 x  5 y  24 2 x 2  3 y 2  45 4 x  5 y  26

řešení: a)

2 x 2  3 y 2  35 3x  2 y  12 2 x 2  3 y 2  35 3x  2 y  12  3x  12  2 y  x   12  2 y  2 2   3 y  35  3  144  48 y  4 y 2 2  3 y 2  35 9 2 144  48 y  4 y 2   27 y 2  315

12  2 y 3

2

/ 9

288  96 y  8 y 2  27 y 2  315 288  96 y  35 y 2  315

/  315

35 y  96 y  27  0 2

y1,2 

  96  

 96 

2

 4  35   27 

2  35



96  9216  3780  70

96  12996 96  114  70 70 96  114 210 y1   3 70 70 96  114  18 9 y2    70 35 70 12  2 y1 12  2  3 12  6 6 x1     2 3 3 3 3  9  12  2     12  18 12  35  18 420  18 12  2 y2  35   35  35 35 x2     3 3 3 3 3 438 438 1 146  35    3 35 3 35 

Stránka 613

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 9 146 řešení: 3; 2 ;  ;   35   35

b)

3x 2  2 y 2  35 2 x  3 y  12 3x 2  2 y 2  35 2 x  3 y  12  2 x  12  3 y  x   12  3 y  2 3   2 y  35  2  144  72 y  9 y 2 3  2 y 2  35 4 3 144  72 y  9 y 2   8 y 2  140

12  3 y 2

2

/ 4

432  216 y  27 y 2  8 y 2  140 432  216 y  35 y 2  140

/  140

35 y  216 y  292  0 2

y1,2 

  216  

 216  2  35

2

 4  35  292



216  46656  40880  70

216  5776 216  76  70 70 216  76 292 146 y1    70 35 70 216  76 140 y2   2 70 70 146 438 12  35  438 420  438 12  3  12  12  3 y1 35  35  35 35 x1     2 2 2 2 2 18 18 1 9  35    2 35 2 35 12  3 y2 12  3  2 12  6 6 x2     3 2 2 2 2 

 9 146  řešení:   ; ;  2; 3  35 35 

Stránka 614


4 x 2  3 y 2  52 4 x  3 y  16 4 x 2  3 y 2  52 4 x  3 y  16  4 x  16  3 y  x 

16  3 y 4

 16  3 y  2 4   3 y  52  4  256  96 y  9 y 2 4  3 y 2  52 16 2

256  96 y  9 y 2  3 y 2  52 4 256  96 y  9 y 2  12 y 2  208 256  96 y  21 y 2  208

/ 4

/  208

21 y  96 y  48  0 2

y1,2 

  96  

 96 

2

 4  21 48



96  9216  4032  42

2  21 96  5184 96  72   42 42 96  72 168 y1   4 42 42 96  72 24 4 y2    42 42 7 16  3 y1 16  3  4 16  12 4 x1     1 4 4 4 4 4 12 16  7  12 112  12 16  3  16  16  3 y2 7 7  7 7 x2     4 4 4 4 4 100 100 1 25  7    4 7 4 7

 25 4  řešení:  4; 1 ;  ;   7 7

Stránka 615


3x 2  4 y 2  52 2 x  3 y  11 3x 2  4 y 2  52 2 x  3 y  11  2 x  11  3 y  x   11  3 y  2 3   4 y  52  2  121  66 y  9 y 2 3  4 y 2  52 4 3 121  66 y  9 y 2   16 y 2  208

11  3 y 2

2

/ 4

363  198 y  27 y 2  16 y 2  208 363  198 y  43 y 2  208

/  208

43 y 2  198 y  155  0 y1,2 

  198  

 198 2  43

2

 4  43 155



198  39204  26660  86

198  12544 198  122  86 86 198  122 310 155 y1    86 43 86 198  122 86 y2   1 86 86 155 465 11 43  465 473  465 11  3  11  11  3 y1 43  43  43 43 x1     2 2 2 2 2 8 8 1 4  43    2 43 2 43 11  3 y2 11  3 1 11  3 8 x2     4 2 2 2 2 

 4 155  řešení:  ; ;  4; 1  43 43 

Stránka 616


5 x 2  2 y 2  52 2 x  5 y  24 5 x 2  2 y 2  52 2 x  5 y  24  2 x  24  5 y  x   24  5 y  2 5   2 y  52  2  576  240 y  25 y 2 5  2 y 2  52 4 5  576  240 y  25 y 2   8 y 2  208

24  5 y 2

2

/ 4

2880  1200 y  125 y 2  8 y 2  208 2880  1200 y  133 y 2  208

/  208

133 y 2  1200 y  2672  0 y1,2 

  1200  

 1200  2 133

2

 4 133  2672



1200  1440000  1421504 1200  18496 1200  136   266 266 266 1200  136 1336 668 y1    266 266 133 1200  136 1064 y2   4 266 266 668 3340 24 133  3340 24  5  24  24  5 y1 133  133  133 x1    2 2 2 2 3192  3340 148 148 1 74 133   133    2 2 133 2 133 24  5 y2 24  5  4 24  20 4 x2     2 2 2 2 2 

 74 668  řešení:   ; ;  2; 4  133 133 

Stránka 617


2 x 2  3 y 2  45 4 x  5 y  26 2 x 2  3 y 2  45 4 x  5 y  26  4 x  26  5 y  x 

26  5 y 4

 26  5 y  2 2   3 y  44  4  676  260 y  25 y 2 2  3 y 2  44 16 2

676  260 y  25 y 2  3 y 2  44 8 676  260 y  25 y 2  24 y 2  352 676  260 y  49 y 2  352

/ 8

/  352

49 y  260 y  324  0 2

y1,2 

  260  

 260  2  49

2

 4  49  324



260  67600  63504  98

260  4096 260  64  98 98 260  64 324 162 y1    98 49 98 260  64 196 y2   2 98 98 162 810 26  49  810 26  5  26  26  5 y1 49  49  49 x1    4 4 4 4 1274  810 464 464 1 116 49   49    4 4 49 4 49 26  5 y2 26  5  2 26  10 16 x2     4 4 4 4 4 

162 116  řešení:  ; ;  4; 2  49 49 

Stránka 618

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 2.15 Užití substituce pro řešení rovnic 1. Řešte v R rovnici: 4 2 a) x  3x  10  0 4 2 b) x  10 x  21  0 Řešení: a)

c) d)

x4  5x2  4  0 x4  3x2  18  0

x 4  3 x 2  10  0 sub.: y  x 2 y 2  3 y  10  0

 y  5 y  2   0 y1  5  x 2  5  x   5 y2  2  x 2  2  x 

 

K  5 b)

x 4  10 x 2  21  0 sub.: y  x 2 y 2  10 y  21  0

 y  7    y  3  0 y1  7  x 2  7  x   7 y2  3  x 2  3  x   3



K   3;  7

c)



x4  5x2  4  0 sub.: y  x 2 y2  5 y  4  0

 y  4    y  1  0 y1  4  x 2  4  x  2 y 2  1  x 2  1  x  1 K  1; 2

d)

x 4  3 x 2  18  0 sub.: y  x 2 y 2  3 y  18  0

 y  3   y  6   0 y1  3  x 2  3  x  y2  6  x 2  6  x   6



K  6



Stránka 619

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 2. Řešte v R rovnici: a) x4  11x2  30  0 b) x4  2 x2  63  0

c) x4  9 x2  20  0 d) x4  19 x2  90  0

Řešení: a) x 4  11x 2  30  0 sub.: y  x 2 y 2  11y  30  0

 y  5 y  6   0 y1  5  x 2  5  x   5 y2  6  x 2  6  x   6



K   5;  6

b)



x  2 x  63  0 4

2

sub.: y  x 2 y 2  2 y  63  0

 y  7  y  9   0 y1  7  x 2  7  x  y 2  9  x 2  9  x  3 K  3

c)

x 4  9 x 2  20  0 sub.: x 2  y y 2  9 y  20  0

 y  4  y  5  0 y1  4  x 2  4  x   y2  5  x 2  5  x   d)

K  x  19 x  90  0 4

2

sub.: y  x 2 y 2  19 y  90  0

 y  9  y  10   0 y1  9  x 2  9  x   y2  10  x 2  10  x   K 

Stránka 620

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 3. Řešte v R rovnici: a) x4  15x2  54  0 b) 25x4  55x2  28  0

c) 9 x4  51x2  72  0 d) 4 x4  48x2  128  0

Řešení: a) x 4  15 x 2  54  0

sub.: y  x 2 y 2  15 y  54  0

 y  9  y  6   0 y  9  x 2  9  x   y  6  x 2  6  x   K  b) 25 x 4  55 x 2  28  0 sub.: y  5 x 2 y 2  11y  28  0

 y  4  y  7   0 4 y  4  5 x 2  4  x 2    x  5 7 y  7  5 x 2  7  x 2    x  5 K  4 2 c) 9 x  51x  72  0

sub.: y  3 x 2 y 2  17 y  72  0

 y  8 y  9   0 8 2 6 x 3 3 2 2 y2  9  3 x  9  x  3  x   3 y1  8  3x 2  8  x 2 

 2 6  K   ;  3  3  4 2 d) 4 x  48 x  128  0

sub.: y  2 x 2 y 2  24 y  128  0

 y  16  y  8  0 y1  16  2 x 2  16  x 2  8  x   8  2 2 y2  8  2 x 2  8  x 2  4  x  2



K  2; 2 2



Stránka 621

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 4. Řešte v R rovnici: a) x6  35x3  216  0 b) x6  37 x3  1728  0

c) x6  56 x3  512  0 d) x8  9 x4  112  0

Řešení: a) x 6  35 x3  216  0 sub.: y  x3 y 2  35 y  216  0

 y  8 y  27   0 y1  8  x 3  8  x  2 y2  27  x 3  27  x  3 K  2;3

b) x  37 x  1728  0 6

3

sub.: y  x 3 y 2  37 y  1728  0 D  37 2  4   1728   1369  6912  8281 37  8281 37  91  2 2 128 y1   64 2 54 y2    27 2  y  64  y  27   0 y1,2 

y1  64  x 3  64  x  4 y2  27  x 3  27  x  3 K  3; 4

c) x  56 x  512  0 6

3

sub.: y  x 3 y 2  56 y  512  0

 y  64  y  8  0 y1  64  x3  64  x  4 y2  8  x3  8  x  2 K  2; 4

Stránka 622


x8  9 x 4  112  0 sub.: y  x 4 y 2  9 y  112  0

 y  16  y  7   0 y1  16  x 4  16  x  2 y2  7  x 4  7  x  K  2; 2

5. Řešte v R rovnici: a) 2 x8  152 x4  810  0 b) x8  626 x4  625  0

c) 4 x4  9 x2  2  0 d) 4 x4  12 x2  9  0

Řešení: a) 2 x8  152 x 4  810  0

sub.: y  x 4 y 2  76 y  405  0

 y  81 y  5  0 y1  81  x 4  81  x  3 y2  5  x 4  5  x  K  3

b) x  626 x  625  0 8

4

sub.: y  x 4 y 2  626 y  625  0

 y  1 y  625  0 y1  1  x 4  1  x  1 y2  625  x 4  625  x  5 K  1; 5

c) 4 x 4  9 x 2  2  0

sub.: y  x 2 4 y2  9 y  2  0 D  81  4  4  2  49 97 y1,2  8 y1  2  x 2  2  x   2 1 1 1  x2   x   4 4 2  1  K   ;  2   2 

y2 

Stránka 623

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy d) 4 x 4  12 x 2  9  0

sub.: y  x 2 4 y 2  12 y  9  0 D  144  4  4  9  0 12  0 8 3 3 3 6 y   x2   x    2 2 2 2  6  K     2 

y1,2 

6. Řešte v R rovnici: a) 2 x4  4 x2  1  0 10 b) x 4  x 2  1  0 3 4 c) 3x  11x2  4  0 Řešení: a)

 x 3  x 3  3  4 d) 2    2x 1  2x 1

2 x4  4 x2  1  0 sub.: y  x 2 2 y2  4 y 1  0 D  16  4  2 1  8 y1,2 

4  8 4  2 2  4 4

 2  x    2  K  2  x   2  b) 10 x4  x2  1  0 3 sub.: y  x 2 10 y2  1  0 3 100 100  36 64 D  4 1 1   9 9 9 10 8  y1,2  3 3 2 1 1 1 3 y1   x 2   x      3  ;  3 3 3 3 3   K    3   y2  3  x 2  3  x   3  2  x 2  1  2 2 y2  1   x 2  1  2 y1  1 

Stránka 624

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy c) 3 x 4  11x 2  4  0

sub.: y  x 2 3 y 2  11 y  4  0 D  121  4  3  4  169 11  13 y1,2  6 y1  4  x 2  4  x  2 1 1 y2    x 2    x  3 3 K  2 d)

 x3  x3 2  3  4  2x 1  2x 1 x3 sub.: y  2x 1 podm.: 2 x  1  0  x   2  y  3  y  4

1 2

2y  6  y  4 x 3  10  x  3  10  2 x  1  x  3  20 x  10  2x 1 13  19 x  13  x   19  13  K     19  y  10 

7. Řešte v R rovnici: 4  3x  x 1   4  3  2 a) x 1  4  3x  6 3 b) x  7 x  8  0

c) 20 x4  3x2  2  0 d) ( x2  x)2  x2  x  30  0

Řešení: a) 4  3 x

 x 1   4  3  2 x 1  4  3x  4  3x sub.: y  x 1 4 podm.: x  1  x  3 1 y  4  3 y  2 1  y  4  3  2  y 

Stránka 625

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy y4

3 6 y

y2  4 y  3  6 y y2  2 y  3  0

 y  3 y  1  0 4  3x  3  4  3 x  3 x  3  7  0  x  x 1 4  3x 3 y2  1   1  4  3x  x  1  4 x  3  x  x 1 4 3 K   4 6 3 x  7x  8  0 y1  3 

b)

sub.: y  x3 y2  7 y  8  0

 y  8   y  1  0 y1  8  x 3  8  x  2 y2  1  x 3  1  x  1 K  1; 2

c)

20 x 4  3 x 2  2  0 20 

1 1  3 2  2  0 4 x x sub.: y 

1 x2

20 y 2  3 y  2  0 D  9  4  20  2  9  160  169 3  13 y1,2  40 16 8 1 8 y1     2    x  40 20 x 20 10 1 1 1 y2    2   x  2 40 4 x 4 K  2

Stránka 626


x x

2

2

 x   x 2  x  30  0 2

 x    x 2  x   30  0 2

sub.: y  x 2  x y 2  y  30  0

 y  5   y  6   0 y1  5  x 2  x  5  x 2  x  5  0 D  1  4  5  19  x  y2  6  x 2  x  6  x 2  x  6  0   x  2    x  3   0 x  2  x  3 K  2;3 8. Řešte v R rovnici: a) x4  4 x3  4 x2  7 x2 14 x  8  0 b) 1  2 x 2  x 4  2 x 2  1  1



c) Řešení: a)

 x  1

2

d)



x

2

 x  2  4  6  x2  x  2

  x 2  2 x  3  5

x 4  4 x3  4 x 2  7 x 2  14 x  8  0 x2  x2  4x  4  7  x2  2x   8  0 x2  x  2  7 x  x  2  8  0 2

S : y  x  x  2

y2  7 y  8  0

 y  8   y  1  0 y1  8  x  x  2   8  x 2  2 x  8  0    x  4    x  2   0  x  4  x  2 y2  1  x  x  2   1  x 2  2 x  1  0   ( x  1) 2  0  x  1 K  4; 1; 2 b)

1  2 x 2  x 4  2( x 2  1)  1

1  x 

2 2

 2  x 2  1  1  0 sub.: y  x 2  1 y2  2 y 1  0

 y  1

2

0

y  1  x2 1  1  x2  2  x   2



K  2



Stránka 627

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy  x  1

c)

x

2

  x 2  2 x  3  5

2

 2 x  1   x 2  2 x  3  5 sub.: y  x 2  2 x  1 y  y  4  5  0 y2  4 y  5  0

 y  5   y  1  0 y1  5  x 2  2 x  1  5  x 2  2 x  4  0 D  4  4  4  20 2  2 5  x1  1  5, x2  1  5 2 y2  1  x 2  2 x  1  1  x 2  2 x  2  0

x1,2 

D  4  4  2  4 x 



K  1  5; 1  5

x

d)



 x  2  4  6  x2  x  2

2

sub.: y  x 2  x

 y  2

2

 4  6y

y  4y  4  4  6y  0 2

y2  2 y  0 y  y  2  0 y1  0  x 2  x  0  x  x  1  0  x1  0, x2  1 y2  2  x 2  x  2  x 2  x  2  0   x  2    x  1  0   x3  2, x4  1

K  1;0;1; 2 9. Řešte v R rovnici: a)

 x  x  3  9  5  x  x   x  2 x  8  4  x  2x  x  3x   6x  18x  8  0 2

2

c)

x

2

 2 x  4   5 x 2  10 x  44 2

2

2

2

d)

2

2

b)

2

2

2

Stránka 628

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy Řešení:

a)

x  x

2

 3  9  5  x 2  x  2

sub.: y  x  x 2

 y  3

 9  5y

2

y2  6 y  9  9  5 y y2  y  0 y  y  1  0 y1  0  x  x 2  0  x 1  x   0  x1  0, x2  1 y2  1  x  x 2  1  x  x 2  1  0 D  1  4 1  5 1 5 1 5 , x4  2 2  1  5 1  5  K  0;1; ;  2 2  

x3 

b)

 x  2 x  8  x  2x 2

2

2

2

4

sub.: y  x 2  2 x

 y  8 y2

 y  8

2

y2

2

40

 4 y2

0

y 2  16 y  64  4 y 2  0 3 y 2  16 y  64  0 D  162  4  3   64   256  768  1024 16  32 16 8 8      x 2  2 x    3x 2  6 x  8  0 6 6 3 3 D  36  96  60 x  16  32 y2   8  x2  2x  8  x2  2x  8  0  6   x  4    x  2   0  x1  4, x2  2 y1 

K  2; 4

Stránka 629


x x

2

2

 3x   6 x 2  18 x  8  0 2

 3x   6  x 2  3x   8  0 2

sub.: y  x 2  3x y2  6 y  8  0

 y  4   y  2  0 y1  4  x 2  3 x  4  x 2  3 x  4  0 

  x  4    x  1  0  x1  4, x2  1

y2  2  x 2  3 x  2  x 2  3 x  2  0  3  17 3  17 , x4  2 2  3  17 3  17  K  1; ; ; 4 2 2    x3 

d)

x x

2

2

 2 x  4   5 x 2  10 x  44 2

 2 x  4   5  x 2  2 x   44 2

sub.: y  x 2  2 x

 y  4

2

 5 y  44  0

y 2  8 y  16  5 y  44  0 y 2  3 y  28  0

 y  7   y  4  0 y1  7  x 2  2 x  7  x 2  2 x  7  0 D  4  28  24 x  y2  4  x 2  2 x  4  x 2  2 x  4  0 x1  1  5; x2  1  5



K  1  5;1  5



10. Řešte v R rovnici: 2

3x  3x  6  0 a)     2x  3  2x  6

2

 x2  4  x2  4  12  0 d)    x  x 

2

6x  2x  6  0 b)     3x  1  3x  1 2

8  4 c) 3  2   2  1  0 x  x

Stránka 630

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy Řešení: a)  3 x 2 3x 6  0     2x  3  2x  6 sub.: y 

3x 2x  3

y2  y  6  0

 y  3   y  2   0 3x  3  3 x  6 x  9  3 x  9  x  3 2x  3 3x 6 y 2  2   2  3 x  4 x  6  3 x  4 x   6  x   2x  3 7 6  K  3;   7  y1  3 

b)  2 x 2 6x 60     3x  1  3x  1 sub.: y 

2x 3x  1

y2  3y  6  0 D  9  4  6  15 x  K 

c)

2

8  4 3 2   2 1  0 x  x sub.: y 

4 x2

3 y2  2 y 1  0 D  4  4  3   1  16 24 4  1  2  1  4  x 2  x  2 6 x 24 2 1 4 1 y2       2    12   x 2  x 2  12  x  6 6 3 x 3 K  2 y1 

Stránka 631


2

 x2  4  x2  4  12  0    x  x  sub.: y 

x2  4 x

y 2  y  12  0

 y  4    y  3  0 x2  4 y1  4   4  x 2  4 x  4  0  ( x  2) 2  0  x  2 x 2 x 4 y2  3   3  x 2  3x  4  0 x D  9  4  4  7 x  K  2

11. Řešte v R rovnici: 8x x5 1  a) x5 4x 1 2x  3 1   b) 2x  3 4

 x  6  4 x  24  24 c)    2x  x  3x 8x  2 5  d) 4x 1 x 2

Řešení: a)

5x  3  2x  6 e) 9    5x  3  2 x  3  x2   2x  5 f) 12    2 2   3 x   2x 

8x x5 1  x5 4x 4x sub.: y  x5 1 2 y 1  y 2 y2  y 1  0 D  1 4  2  9 1  3 1 4x 1 5     8 x  x  5  7 x  5  x1  4 2 x5 2 7 1  3 4x y2   1   1  4 x   x  5  5 x  5  x2  1 4 x5  5 K  1;   7 y1 

Stránka 632


1 2x  3 1   2x  3 4 1 sub.: y  2x  3 1 y 1   4y 4 y2  4 y 1  0 D  16  4  4  0 y

c)

4 1 1 1     2  2 x  3  2 x  1  x   K    8 2 2 2

 x  6  4 x  24  24    2x  x  2

 x  6  2  x  6  24    x  x  2

sub.: y 

x6 x

y 2  2 y  24  0

 y  6   y  4  0 x6 6  6  x  6  6 x  7 x  6  x1   x 7 x6 y2  4   4  x  6  4 x  3x  6  x  2 x 6  K  2;   7  3x 8x  2 5  4x 1 x 2  4 x  1 3x 5  4x 1 x x sub.: y  4x 1 2 3y  5  y y1  6 

d)

3y2  5 y  2  0 D  25  4  3  2  24  25  49 5  7 2 1 x 1      3x  4 x  1  x1  1 6 6 3 4x 1 3 5  7 12 x 2 y2     2   2  x  8 x  2  9 x  2  x2  6 6 4x 1 9 2  K   ;1 9  y1 

Stránka 633

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 5x  3  2x  9 6   5x  3  2 x

e)

sub.: y  9y 

3  2x 5x

1 6 y

9 y2 1 6 y  0 D  36  4  9  0 6 1 3  2x 1 y     9  6 x  5 x  9   x  x  9 18 3 5x 3 K  9

 3  x2   2x  12  5   2 2   3 x   2x  2x sub.: y  3  x2 12  2y  5 y

f)

12  2 y 2  5 y 2 y 2  5 y  12  0 D  25  4  2 12  121 5  11 6 3 2x 3 y1       4 x  9  3x 2  3x 2  4 x  9  0 2 4 4 2 3 x 2 D  16  4  3  9  92 x  5  11 16 2x y2    4   4  2 x  12  4 x 2  2 4 4 3 x 2  4 x  2 x  12  0  2 x 2  x  6  0 D  1  4  2  6  47 x  K  12. Řešte v R rovnici: 2 2 2 a) x  3x  2( x  3x  6)  7  7

b) x 2  2 x  12  2 x 2  2 x  12 c) x2  2 x  8  2 x 2  2 x  8 d) e)



x(2 x  5)  2  2 x2  5x  10







x  1  2 x  2 x  8  x  1  24  2 2 x  x  1

 Stránka 634


x 2  3x  2( x 2  3x  6) 2  7  7 x 2  3x  6  1  2  x 2  3x  6   7 2

sub.: y  x 2  3 x  6 y 1  2 y2  7 y2  2 y 1  2 y2  7 y2  2 y  8  0

 y  4   y  2  0  Zk : L  4  : 4  1  5  y1  4  Zk : P  4  : 2 16  7  25  5  Zk : L  P  y1  4  x 2  3x  6  4  x 2  3 x  2  0   x  1 x  2   0   x1  1, x2  2  Zk : L  2  : 2  1  1  y2  2  Zk : P  2  : 2  4  7  1  Zk : L  P  K  2; 1

Stránka 635


x 2  2 x  12  2 x 2  2 x  12 sub.: y  x 2  2 x y  12  2 y  12 y  12  2 y  12 y 2  24 y  144  4( y  12) y 2  28 y  96  0 D  784  4  96  400  Zk : L  24  : 24  12  12 28  20  y1   24  Zk : P  24  : 2 24  12  2  6  12 2  Zk : L  P  y1  24  x 2  2 x  24  x 2  2 x  24  0   x  6  x  4   0   x1  6, x2  4  Zk : L  4  : 4  12  8  28  20 y2   4  Zk : P  4  : 2 4  12  2  4  8 2  Zk : L  P  K  6; 4

Stránka 636


x2  2x  8  2 x2  2x  8 x2  2x  8  2 x2  2x  8 sub.: y  x 2  2 x  8 y2 y y2  4 y y2  4 y  0 y  y  4  0  Zk : L  0  : 0  y1  0  Zk : P  0  : 2 0  0  Zk : L  P  y1  0  x 2  2 x  8  0   x  4  x  2   0  x1  4, x2  2  Zk : L  4  : 4  y2  4  Zk : P  4  : 2 4  4  Zk : L  P  y2  4  x 2  2 x  8  4  x 2  2 x  12  0 D  4  4 12  52 x3 

2  2 13  1  13, x4  1  13 2



K  2; 4;1  13;1  13



d) x(2 x  5)  2  2 x 2  5 x  10 2 x 2  5 x  2  2 x 2  5 x  10 sub.: y  2 x 2  5 x y  2  y  10 y 2

y  10

y  2 2 y  2  y  10 2 2 y  12 2y  6 2 y  36 y  18  2 x 2  5 x  18  2 x 2  5 x  18  0 D  25  4  2 18  25  144  169

Stránka 637

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy  Zk : L(2) : 2(2  2  5)  3 2  5  13 x1   2  Zk : P(2) : 2  2  4  5  2  10  3 2 4  Zk : L  P   9  9 9  9   Zk : L    :   2   5      4   18  3 2 2 2 2  2    2 9 9      9  5  13 9 x2     Zk : P   2  : 2  2   2   5   2   10  4 2  81 45   2  2  2  10  2  8  3 2   Zk : L  P  9  K   ; 2   2 

e)









x  1  2 x  2 x  8  x  1  24  2 2 x  x  1



sub.: y  x  1  2 x y  y  8   24  2 y y 2  8 y  2 y  24  0 y 2  10 y  24  0

 y  12  y  2   0 y1  12  x  1  2 x  12  x  1  12  2 x   x  1  144  48 x  4 x 2  4 x 2  49 x  145  0 D  492  4  4 145  2401  2320  81  29  29  29 1  2   Zk : L   : 4 4  4    5 29 34 49  9 58 29      17 x1    2 2 2  8 8 4   29   Zk : P   :12  4    Zk : L  P   Zk : L  5  : 5  1  2  5  12  49  9 40 x2    5  Zk : P  5  : 12 8 8  Zk : L  P  K  5

Stránka 638

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy y2  2  x  1  2 x  2  x  1  2  2 x   x 1  4  4x  4x2  4x2  7 x  5  0 D  492  4  4  5  31 x 

13. Řešte v R rovnici: x 1 2x a)  2 2x 1 x x x 1 b) 2 3 x 1 x 5x  2 2x c)  4 4 2x 5x  2 Řešení: a)

d) e)

5x  11 x  1  12  x 5x  11 x  10 x2  2  3 x2 x  10

f) 4  2

x 1 x2  3  x2 x 1

x 1 2x  2 2x 1 x x 1 2x

sub.: y  y  2

1 y

y2  2 y 1  0

 y  1

2

0

y 11

x 1 x 1 1  2x  x 1  x  1 2x 2x

 11 1  Zk : L 1 : 2   2  2 1  1  Zk : P 1 : 2  2   Zk : L  P   K  1

b)

x x 1 2 3 x 1 x x sub.: y  x 1 2 y 3 y y 3 

2 y

Stránka 639

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy  y  3

2



4 y

x 4  4  x  4 x  4  3x  4  x   x 1 3 4 4    4 3 3 4 Zk : L    :   3   4  1 4  3 3 3 y 4

4 1  1   4 3 3  3  2 1  3  4 Zk : P    : 2 3 2 4 4 2  3   3 3 Zk : L  P

c)

 4 K     3 5x  2 2x  4 4 2x 5x  2 sub.: y  y

5x  2 2x

4 4 y

y2  4 y  4  0

 y  2

2

0

y 2

5x  2 2  2  5 x  2  8 x  3x  2  x  2x 3

2 Zk : L   : 3

2 2 5  2 2 3 3  16  4  4  2  4  1  4 4 2 2 4 16 2 2 5  2 3 3

2 Zk : P   : 4 3 Zk : L  P 2 K   3

Stránka 640


5 x  11 x  1  12  x 5 x  11 5 x  11 x

sub.: y  y 1 

12 y

y 2  y  12  0

 y  4    y  3  0 5 x  11 5 x  11 4  16  5 x  11  16 x  x  1 x x

y1  4  Zk : L(1) :

5  11  1  16  1  4  1  3 1

Zk : P(1) :12

1 1 12  12   3 5  11 16 4

Zk : L  P y2  3 

5 x  11 11  3  5 x  11  9 x  x   x 4

 11  Zk : L    :  4



55  11 55  44 99 4 1  1  1  3 1  2 11  11  11  4

11  1 1  11  4 Zk : P    :12   55 9 3  4   11 4 Zk : L  P K  1 e)

x  10 x2  2  3 x2 x  10 x  10 x2

sub.: y  y  2

3 y

y2  2 y  3 y2  2 y  3  0

 y  3 y  1  0

Stránka 641

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy y1  3 

x  10 x  10  3  9  x  10  9 x  18  8 x  8  x  1 x2 x2

Zk : L  1 :

1  10 3 1  2 1  2 1  2  3  3 1  10 3

Zk : P  1 : 2  3 Zk : L  P y2  1  K  1 f)

42

x  10  1  x  x2

x 1 x2  3  x2 x 1 sub.: y  4  2y  

x 1 x2

3 y

4 y  2 y2  3  0 2 y2  4 y  3  0 D  16  4  2  3  8 y  K  14. Řešte v R rovnici: a)

3 3 3   1 x x x

  x4   4 x  2  b) 6   3     2 x   2 x   c)

3  x2  3x  x 2  11  3x  6  3x  x 2

d)

x2  x  11  x2  x  4  x2  x  13

Řešení: a)

3 3 3   1 x x x sub.: y 

3 x

y  y  y 1 y  y  1 y

Stránka 642

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy y  y  1 2  y  y 3 y 1 9y 1 1 3 1 y     x  27 9 x 9 Zk : L  27  :

3 3 3 1 1 1 1 3 1 2 1          1 27 27 27 9 3 3 9 3 2 3

Zk : P  27  :1 Zk : L  P K  27 b)

  x4   4 x 6   3   2     2 x   2 x   x4 2 x 6  3  y    y  2

sub.: y 

6  3y  6  y2  2 y y2  y  0 y  y  1  0 x4  0  x  4 2 x Zk : L  4  : 6 y1  0 

  4  4   0 Zk : P  4  :  3   2   3  2  6    24   6   Zk : L  P x4 x42 x 1  0  2 x  2  0  x  1 2 x 2 x Zk : L  1 : 6 y2  1 

  1  4   4  1 Zk : P  1 :  3   2    3  1  1  2   2  3  6    2 1   2 1   Zk : L  P K  4; 1

Stránka 643


3  x 2  3x  x 2  11  3x  6  3x  x 2 sub.: y  x 2  3x y  3  y  11  y  6 y  3  y  11  2 y  11  y  6  y  6  y  14  2 y  11  y  6 y  14  2 y  11  y  6 y  28 y  196  4  y  11   y  6  2

y 2  28 y  196  4 y 2  68 y  264 3 y 2  40 y  68  0 D  1600  4  3  68  784 40  784 40  28   2  x 2  3x  2  x 2  3 x  2  0  6 6   x  2    x  1  0  x1  2, x2  1

y1 

Zk : L  2  : 3  4  6  1 Zk : P  2  : 4  11  6  6  6  4  9  4  1 Zk : L  P Zk : L 1 : 3  1  3  1 Zk : P 1 : 1  11  3  6  3  1  9  4  1 Zk : L  P 40  28 34 34 y2     x 2  3 x    3 x 2  9 x  34  0 6 3 3 D  81  4  3  34  81  408  327 x  K  1; 2

d)

x 2  x  11  x 2  x  4  x 2  x  13 sub.: y  x 2  x y  11  y  4  y  13 y  11  2 y  11  y  4  y  4  y  13 2 y  11  y  4  20  y 4  y  11   y  4   400  40 y  y 2 4 y 2  28 y  176  400  40 y  y 2

Stránka 644

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 3 y 2  12 y  576  0 y 2  4 y  192  0 D  16  4 192  784 4  28 y1   12  x 2  x  12  x 2  x  12  0  2   x  3 x  4   0  x1  3, x2  4 4  28  16  x 2  x  16  x 2  x  16  0 2 D  1  4 16  15 x 

y2 

Zk : L  3 : 9  3  11  9  3  4  1  4  5 Zk : P  3 : 9  3  13  5 Zk : L  P Zk : L  4  : 16  4  11  16  4  4  1  4  5 Zk : P  4  : 16  4  13  5 Zk : L  P K  4;3 15. Řešte v R rovnici:  2  x2   x2  2   3   10 a)  4  2  x  4   x2  4  

2x 1   1  2x   2x 1  1  b)  3  2     2   1  x  3  x2   x2   2

c) x 2  4  3x  4  x 2  3x d) 16  6 x  8  x 2  6 x  x 2 Řešení: a)  2  x2   x2  2  4   3   10   x2  4   x2  4   2  x2 sub.: y  2 x 4  4  y    y  3  10 4 y  12  y 2  3 y  10  0 y2  y  2  0

Stránka 645

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy  y  2  y  1  0 2  x2  2  2  x 2  2 x 2  8  0  3 x 2  6  x2  4  x2  2  x   2

y1  2 

y2  1 



2  x2  1  2  x 2  x 2  4  0  6  0  x  2 x 4

K   2; 2



b)  2 x  1  2 1  2x 1   1  2x   3  2     2  2    2  1 x  3  x   x   2x 1 sub.: y  2 x 1 2  3 y    2  y     y  1 3 2 3  9 y  2 y  2  y 2  y

28 y 2  y  2  0 D  1  4  28  2  225 1  15 14 1 2x 1 1    2   8x  4  x2  0 56 56 4 x 4 D  64  4  4  48 y1 

8  4 3  42 3 2 x2  4  2 3 1  15 16 2 2x 1 2 y2       2    14 x  7  2 x 2  0 56 56 7 x 7 D  196  4  2  7  252 x1 

14  6 7 7  3 7  4 2 7  3 7 x4  2  7  3 7 7  3 7  K  4  2 3; 4  2 3; ;  2 2   x3 

Stránka 646


x 2  4  3x  4 x 2  3x sub.: y  x 2  3x 4 y  y2  4 y2  4 y  4  0

 y  2

0

2

y  2  x 2  3x  2  x 2  3 x  4  0   x  4    x  1  0  x1  4, x2  1 Zk : L  1 : 3  4 1  3  3  8  5 Zk : P  1 : (1) 2  4  5 Zk : L  P Zk : L  4  :12  4 16  12  12  8  20 Zk : P  4  :16  4  20 Zk : L  P K  1; 4 d)

16  6 x  8  x 2  6 x  x 2 x 2  6 x  16  8  x 2  6 x sub.: y  x 2  6 x y 2  16  8 y y 2  8 y  16  0

 y  4

2

0

y  4  x 2  6 x  4  x 2  6 x  16  0   x  8    x  2   0  x1  8, x2  2 Zk : L  2  :16  12  28 Zk : P  2  : 8 4  12  4  32  4  28 Zk : L  P Zk : L  8  :16  48  32 Zk : P  8  : 8 64  48  64  32 Zk : L  P K  2; 8

16. Řešte v R rovnici: a) ( x  2)2  2 x  2  3  0 b) 1  4 4  3x  3  3x  4 

2

2

5 5  d)  x    3 x   2  0 4 4 

2

3 3  c)  x    2 x   7  0 2 2 

Stránka 647

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy Řešení: a) ( x  2) 2  2 x  2  3  0 sub.: y  x  2 y2  2 y  3  0

 y  3   y  1  0 y1  3  x  2  3  x1  1, x2  5 y2  1  x  2  1  x3  3, x4  1 K  3;1;3;5

b)

1  4 4  3 x  3  3 x  4 

2

sub.: y  4  3 x 1  4 y  3 y 2

c)

3y2  4 y 1  0 D  16  4  3  4 42 5 y1   1  4  3 x  1  x1  1, x2   6 3 42 1 1 11 13 y2    4  3x   x3   , x4   6 3 3 9 9  13 11 5  K   ;  ;  ; 1 9 3  9  2 3 3  x  2 x 7 0 2 2  sub.: y  x 

3 2

y2  2 y  7  0 D  4  4  7  27 y  K 

Stránka 648


2

5 5   x  3 x  2  0 4 4  sub.: y  x 

5 4

y2  3y  2  0

 y  2    y  1  0 y1  2  x 

5 13 3  2  x1  , x2   4 4 4

y2  1  x 

5 9 1  1  x3  , x4  4 4 4

 3 1 9 13  K   ; ; ;   4 4 4 4

17. Řešte v R rovnici: a)

2 x  5  42   2 x  5

b)

x

c)

(9  x2 )  13 9  x2  40  0

2

2

 2 x   3 x2  2 x  4  0 2

Řešení: a)

2 x  5  42   2 x  5 

2

sub.: y  2 x  5 y 2  y  42  0

 y  6   y  7   0 1 11 y1  6  2 x  5  6  x1  , x2   2 2 y2  7  2 x  5  7  x 

b)

x

 11 1  K   ;   2 2

2

 2x   3 x2  2x  4  0 2

sub.: y  x 2  2 x y2  3y  4  0

 y  4    y  1  0 y1  4  x 2  2 x  4  x 2  2 x  4  0 D  4  4  4  20 22 5  1 5 2 22 5 x2   1 5 2 x1 

Stránka 649

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy y2  1  x 2  2 x  1  x 2  2 x  1  0   x  1  0 2

x3  1





K  1  5;1  5;1 c)

 9  x   13 9  x 2

2

 40  0 sub.: y  9  x 2

y 2  13 y  40  0

 y  5 y  8  0 9  x 2  5  x 2  4  x1,2  2 y1  5  9  x  5   2 2 9  x  5  x  14  x3,4   14 9  x 2  8  x 2  1  x5,6  1 2 y2  8  9  x  8   2 2 9  x  8  x  17  x7,8   17 2



K  1; 2;  14;  17



18. Řešte v Z soustavu rovnic: a) x 2  y 2  10

x 2  y  2 b)  x  2 y 2  2

x2  y2  2 c) 2  y  2  x 1 2 x 1 y 1

3

3  y  2  2  x  1  x 1 y 1

Řešení: a) x 2  y 2  10

sub.: z  x 2

x 2  y  2 z  y 2  10   z  y  2  y 2  y  12  y 2  y  12  0   y  4  y  3  0 y1  4  x 2  4  2  x 2  6  x  y2  3  x 2  3  2  x 2  1  x1  1, x2  1

K   1; 3 ; 1; 3

Stránka 650

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy b)  x  2 y 2  2

sub.: z  y 2

x2  y 2  2 x  2z  2

  x z2 /  2 2x2  x  6  2x2  x  6  0 D  1  4  2  6  49 1 7 x1   2  2  2 y 2  2  y 2  2  y1,2   2 4 1 7 6 3 3 7 7 x2         2 y 2  2  3  4 y 2  4  4 y 2  7  y 2   y3,4   4 4 2 2 4 2 K  c) 2  y  2  x 1 2 podm.: x  1; y  1 x 1 y 1 2



3  y  2  2  x  1  x 1 y 1

sub.: k 

x 1 y2 ;l  y 1 x 1

2l  2   k 3  3l  2k 4l  4  2k   3l  3  2k  y2  l  1  x  1  1 7l  7  0   k  0  x  1  0  x  1  x  1  x  y 1  K  19. Řešte v R soustavu rovnic: a) 3 4 8  x  2 y 1 5 8 6 x2 y 1 b)

3 20  1 x  2y x  2y 4 1  1 x  2y x  2y

Stránka 651


3 4  x  2 y 1 5 8 6 x2 y 1

8

8  3k  4l

podm.: x  2; y  1 sub.: k 

1 1 ;l  x2 y 1

/ 2

6  5k  8l 16  6k  8l   6  5k  8l  22  11k  0  k  2  8  3  (2)  4l  l  

1 2

1 5  2  1  2 x  4  0  2 x  5  x   x2 2 1 1 1 l     2   y  1  y  3 2 y 1 2 k  2 

 5  K     ; 3    2 b) 3 20  1 x  2y x  2y 4 1  1 x  2y x  2y

podm.: x  2 y sub.: k 

1 1 ;l  x  2y x  2y

3k  1  20l 4l  k  1 3k  1  20l

/ 3

12l  3k  3 4 1 20 12 1 l   3k  1  k   32 8 8 24 2 1 1 1 k     2 x  2y 2  2  x  2 y 5 5    10  4 y  y   x  2   2  3 1 1 1 8  x  2y  2 2  l    8 x  2y 8  5   K   3;    2  

Stránka 652

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 2.16 Rovnice vyšších řádů 1. Řešte v R rovnici 3x3  2 x2  5x 1  2 x3  4 x2  6 x  5  0 . Řešení: 3x3  2 x 2  5 x  1  2 x3  4 x 2  6 x  5  0

x3  6 x 2  11x  6  0 x1  1

x

3

 6 x 2  11x  6  :  x  1  x 2  5 x  6

 x3  x 2 5 x 2  11x  6 5 x 2  5 x 6x  6 6 x  6 0

 x  1   x 2  5 x  6   0   x  1   x  3   x  2   0 x1  1, x2  3, x3  2 K  {1; 2;3}

2. Řešte v R rovnici: a) x 3  64  0 b) 5x 4  5 Řešení: a)

x3  64  0 x 3  43  0

 x  4    x 2  4 x  16   0 D  16  4 16  48 x  4 K  {4}

5x4  5

b)

x4 1  0

x

2

 1   x 2  1  0

 x  1   x  1   x 2  1  0 x1  1 x2  1 K  {1;1}

Stránka 653

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 2 4 16 x  x  0. 3 3

3. Řešte v R rovnici: Řešení: 2 4 16 x  x0 3 3 2 4   x  8x   0 3 x   x3  8  0

x1  0 x 8  0 3

x 3  8 x2  2

K  2;0

4. Řešte v R rovnici: a) 8 x 4  24 x 2 b) 3x 3  24  0 Řešení: a)

8 x 4  24 x 2 x 4  3x 2  0



x 2   x 2  3  0





x2  x  3  x  3  0 x1  0 x2  3 x3   3



K   3;0; 3 b)



3x3  24  0 x3  8  0

 x  2   x2  2x  4  0 D  4  4  4  12 x2 K  2

Stránka 654

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 5. Řešte v R rovnici: a) 3x  9  9 x 2  3x3 b) 6 x  6 x 2  2  2 x3 Řešení: a)

3x  9  9 x 2  3x3 3x3  9 x 2  3x  9  0 x3  3x 2  x  3  0 x 2   x  3   x  3  0

 x  3   x 2  1  0 x3

K  3

6 x  6 x 2  2  2 x3

b)

2 x3  6 x 2  6 x  2  0 x3  3x 2  3x  1  0

 x  1

3

0

x 1 K  1 6. Řešte v R rovnici: a) x4  2 x2  3x  2  0 b) 9  x4  6 x  2 x3  2 x2  0

c) 3x3  6 x2  3x  6  0 d) 6 x3  21x2  21x  6  0

Řešení: a) x 4  2 x 2  3 x  2  0 x1  1

x

4

 2 x 2  3 x  2  :  x  1  x 3  x 2  x  2

 x 4  x3  x3  2 x 2  3x  2  x3  x 2  x 2  3x  2  x2  x  2x  2 2 x  2 0

Stránka 655

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy  x  1   x3  x 2  x  2   0 x2  2

x

3

 x2  x  2 :  x  2  x2  x  1

 x3  2 x 2 x2  x  2  x2  2x x2 x  2 0

 x  1   x  2    x 2  x  1  0 D  1  4  1  1  3 x3  1 x4  2

K  1; 2

b)

9  x 4  6 x  2 x3  2 x 2  0 x 4  2 x3  2 x 2  6 x  9  0 x1  1

x

4

 2 x 3  2 x 2  6 x  9  :  x  1  x 3  x 2  3 x  9

 x 4  x3  x3  2 x 2  6 x  9 + x3  x 2  3x 2  6 x  9 3 x 2  3 x  9x  9 9 x  9 0 x2  3

x

3

 x 2  3x  9  :  x  3  x 2  2 x  3

 x3  3x 2 2 x 2  3x  9 2 x 2  6 x 3x  9 3 x  9 0

Stránka 656

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy  x  1   x  3   x 2  2 x  3  0 D  4  4  3  8 K  1;3

c)

3x3  6 x 2  3x  6  0 3   x3  2 x 2  x  2   0 x1  1

x

3

 2 x 2  x  2  :  x  1  x 2  3 x  2

 x3  x 2 3x 2  x  2 3 x 2  3 x 2x  2 2 x  2 0

 x  1   x 2  3x  2   0  x  1   x  2    x  1  0 x2  2 x3  1

K  1; 2;1

Stránka 657


6 x 3  21x 2  21x  6  0 3   2 x3  7 x 2  7 x  2   0 x1  1

 2x

3

 7 x 2  7 x  2  :  x  1  2 x 2  5 x  2

2 x 3  2 x 2  5x2  7 x  2 5x2  5x 2x  2 2 x  2 0

 x  1   2 x 2  5 x  2   0 D  25  4  2  2  9 x2  2 1 2 1  K   ;1; 2  2  x3 

7. Řešte v R rovnici: 3 2 4 a) 12  7 x  7 x  13x  x , x  3 2 3 b) 12  22 x  4 x  34 x  0, x  2

Řešení:

Stránka 658

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy a)

12  7 x  7 x 3  13 x 2  x 4 , x  3 x 4  7 x 3  13 x 2  7 x  12  0

x

4

 7 x 3  13 x 2  7 x  12    x  3  x 3  4 x 2  x  4

 x 4  3x3  4 x3  13 x 2  7 x  12 4 x3  12 x 2 x 2  7 x  12  x 2  3x  4 x  12 4 x  12 0

 x  3   x 3  4 x 2  x  4   0  x  3   x 2   x  4    x  4   0  x  3   x  4    x 2  1  0 x2  4

K  3; 4 b) 12  22 x 2  4 x 3  34 x  0, x  2

2 x3  11x 2  17 x  6  0 x1  2 2 x3  11x 2  17 x  6  0

 2x

3

 11x 2  17 x  6  :  x  2   2 x 2  7 x  3

2 x 3  4 x 2 7 x 2  17 x  6 7 x 2  14 x 3x  6 3 x  6 0

 x  2    2 x 2  7 x  3  0 D  49  4  2  3  25 1 x2   , x3  3 2 K  2; 0,5; 3 8. Řešte v R rovnici x3  31x  28  2 x2 .

Stránka 659

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy Řešení: x3  31x  28  2 x 2

x3  2 x 2  31x  28  0 x1  1

x

 2 x 2  31x  28  :  x  1  x 2  3 x  28

3

 x3  x 2  3 x 2  31x  28 3 x 2  3 x  28 x  28 28 x  28 0

 x  1   x 2  3x  28   0  x  1   x  7    x  4   0 x2  7 x3  4

K  4; 1;7 9. Řešte v R rovnici: a) 2 x  6  2 x3  6 x 2 b) 4  12 x  12 x 2  4 x3  0 Řešení: a)

2 x  6  2 x3  6 x 2 x3  3x 2  x  3  0 x 2   x  3   x  3  0

 x  3   x 2  1  0  x  3   x  1   x  1  0

x1  3, x2  1, x3  1

K  3; 1;1

b) 4  12 x  12 x 2  4 x 3  0

x3  3x 2  3x  1  0

 x  1

3

0

x  1 K  1

Stránka 660

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 11. Řešte v R rovnici: a) 8x  8  8x3  2 x4  6 x2

b) 6  9 x  9 x2  6 x3

Řešení: a) 8 x  8  8 x 3  2 x 4  6 x 2  x 4  4 x 3  3 x 2  4 x  4  0 x1  1

x

4

 4 x 3  3 x 2  4 x  4  :  x  1  x 3  3 x 2  4

 x 4  x3  3x3  3x 2  4 x  4 3 x 3  3 x 2 4x  4 4 x  4 0

 x  1   x

3

 3x  4   0 2

x2  1

x

3

 3 x 2  4  :  x  1  x 2  4 x  4

 x3  x 2  4 x2  4 4 x 2  4 x 4x  4 4 x  4 0

 x  1   x  1   x 2  4 x  4   0   x  1   x  1   x  2 

2

0

x3  2

K  1;1; 2

Stránka 661

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 6  9 x  9 x 2  6 x3

b)

2 x3  3x 2  3x  2  0 2   x3  1  3 x   x  1  0 2   x  1   x 2  x  1  3 x   x  1  0

 x  1   2   x 2  x  1  3x   0  x  1   2 x 2  2 x  2  3x   0  x  1   2 x 2  5 x  2   0

D  25  4  2  2  9 1 x1  2, x2  , x3  1 2 K  1;0,5; 2

12. Řešte v R rovnici: a) x 4  25  0 b) x 4  25  0 Řešení: a)

x 4  25  0

x

2

 5   x 2  5  0

 x  5 x  5 x

2

 5  0 x1  5, x2   5



K   5; 5



b) x 4  25  0

x 4  25  0 KR 13. Řešte v R rovnici: a) x 4  81  0 b) x 4  81  0 Řešení: a) x 4  81  0

x4  8  0 KR

Stránka 662

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy x 4  81  0

b)

x

2

 9   x2  9  0

 x  3   x  3   x 2  9   0 x1  3, x2  3

K  3;3 14. Řešte v R rovnici: a) x 4  27 x 2  176  0 b) 2 x  40  42 x2  2 x3  2 x4

c) 2 x2  4 x  2 x4  4 x3

Řešení: a) x 4  27 x 2  176  0

sub.: x 2  y y 2  27 y  176  0

 y  11 y  16   0 y1  11  x 2  11 y2  16  x 2  16 K 

Stránka 663

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy b) 2 x  40  42 x 2  2 x 3  2 x 4  x 4  x 3  21x 2  x  20  0

x1  1

x

4

 x 3  21x 2  x  20  :  x  1  x 3  21x  20

 x 4  x3  21x 2  x  20 21x 2  21x  20 x  20 20 x  20 0

 x  1   x

3

 21x  20   0

x2  1

x

3

 21x  20  :  x  1  x 2  x  20

 x3  x 2  x 2  21x  20  x2  x  20 x  20 20 x  20 0

 x  1   x  1   x 2  x  20   0  x  1   x  1   x  4    x  5  0 K  4; 1;1;5 c)

2 x 2  4 x  2 x 4  4 x3 x 2  2 x  x 4  2 x3  0 x 4  2 x3  x 2  2 x  0 x3  x  2   x  x  2   0

 x  2    x3  x   0  x  2  x   x 2  1  0  x  2  x   x  1   x  1  0 x1  2, x2  0, x3  1, x4  1

K  1;0;1; 2

Stránka 664

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 15. Řešte v R rovnici 5x4  26 x3  10 x2  26 x  5  0 . Řešení: Reciproká rovnice I. druhu 5 x 4  26 x3  10 x 2  26 x  5  0

26 5  0 x x2 1  1   5  x 2  2   26  x    10  0 x  x   5 x 2  26 x  10 

sub.: y  x 

1 x

1  y2  2 2 x 2 5  y  2   26 y  10  0 x2 

5 y 2  10  26 y  10  0 5 y 2  26 y  0 y  5 y  26   0 1 x2  1 y1  0  x   0   0  x 2  1  0  x1,2  i x x 26 1 26 y2   x   5 x 2  5  26 x  5 x 2  26 x  5  0 5 x 5 1 x3  5, x4   0, 2 5 K  0, 2;5 16. Řešte v R rovnici 2 x3  3x2  3x  2  0 . Řešení: Reciproká rovnice II. druhu 2 x3  3x 2  3x  2  0  x1  1  /( x  1) 2 x3  3x 2  3x  2  0 2 x 2  5 x  2  0  x2  2, x3  0,5 nebo 2  x3  1  3 x  x  1  0 2  x  1   x 2  x  1  3 x  x  1  0

 x  1   2  x 2  x  1  3x   0

 x  1   2 x 2  5 x  2   0 K  1;0,5; 2

Stránka 665

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 17. Řešte v R rovnici 12 x4  25x3  25x 12  0 . Řešení: 12 x 4  25 x3  25 x  12  0 12  x 4  1  25 x  x 2  1  0

x

2

 1  12 x   12  25 x   0 4 3 x1  1, x2  1, x3  , x4  3 4 3 4 K  1;1; ;  4 3

18. Řešte v R rovnici 6 x5  41x4  97 x3  97 x2  41x  6  0 . Řešení:

6 x5  41x 4  97 x 3  97 x 2  41x  6  0 6  x5  1  41x  x 3  1  97 x 2  x  1  0 6  x  1   x 4  x 3  x 2  x  1  41x 3  41x 2  41x  97 x 2  x  1  0

 x  1   6 x 4  6 x3  6 x 2  6 x  6  41x3  41x 2  41x  97 x 2   0  x  1   6 x 4  35 x3  62 x 2  35 x  6   0 x 1 1  1   6  x 2  2   35  x    62  0 x  x  

sub.: y  x 

6  y 2  2   35 y  62  0

1 x

6 y 2  35 y  50  0 10 1 10  x   3 x 3 2  3 x  10 x  3  0 

y1 

1 3 5 1 5 y2   x    2 x 2 2  2x  5x  2  0   x1  3, x2 

 x3  2, x4 

1 2

1 1  K   ; ; 2;3 2 3 

Stránka 666

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 19. Řešte v R rovnici 10 x5  37 x4  83x3  83x2  37 x  10  0 . Řešení: 10 x5  37 x 4  83x 3  83x 2  37 x  10  0

10 x

5

 37 x 4  83x 3  83x 2  37 x  10  :  x  1  10 x 4  27 x 3  110 x 2  27 x  10

10 x5  10 x 4 27 x 4  83 x3 27 x 4  27 x3  110 x3  83 x 2 110 x3  110 x 2 27 x 2  37 x 27 x 2  27 x 10 x  10 10 x  10 0 10 x  27 x  110 x  27 x  10  0 27 10 10 x 2  27 x  110   0 x x2 1  1   10  x 2  2   27  x    110  0 x  x   4

3

2

10  y 2  2   27 y  110  0

sub.: y  x 

1 x

10 y 2  27 y  130  0 26 1 26  x     5 x 2  5  26 x  0  5 x 5 1  x3  5, x4   5 5 1 5 1 y2   x    2 x 2  2  5 x  x1  2, x2  2 x 2 2 1 1   K  5;  ; ; 2  5 2   y1  

Stránka 667


Stránka 668

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy

Recommend Documents