Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity
Logaritmické rovnice a nerovnice Bakalářská práce
Brno 2008
Lenka Balounová
Prohlašuji, že jsem tuto práci vypracovala sama a čerpala jsem pouze z materiálů uvedených v seznamu literatury.
V Brně dne 29.4.2008 ……………………………… Lenka Balounová
Na tomto místě bych ráda poděkovala všem, kteří mi s prací pomohli, zvláště pak mému vedoucímu bakalářské práce panu RNDr. Jiřímu Dulovi za jeho velmi cenné rady a připomínky.
Obsah Obsah Úvod
1 2
1
Věty o logaritmech
3
2
Logaritmické rovnice 2.1 s neznámou v logaritmovaném výrazu 2.2 s neznámou v základu logaritmu 2.3 s neznámou v exponentu 2.4 s parametrem
4 4 7 9 11
3
Logaritmické nerovnice 3.1 s neznámou v logaritmovaném výrazu 3.2 s neznámou v základu logaritmu 3.3 s neznámou v exponentu 3.4 s parametrem 3.5 s absolutní hodnotou
14 14 17 20 23 26
4
Procvičení 4.1 Logaritmické rovnice 4.2 Logaritmické nerovnice
29 29 31
Literatura
33
1
Úvod Tato sbírka Logaritmických rovnic a nerovnic je určena studentům posledních ročníků středních škol připravujícím se na maturitní a následné přijímací zkoušky na vysoké školy z matematiky. Sbírka obsahuje spíše složitější úlohy, které prohlubují učivo probrané v hodinách matematiky a hodí se především pro studenty matematických tříd. Publikace je rozdělena do čtyř kapitol. První kapitola je věnována stručnému opakování poznatků o počítání s logaritmy, přičemž předpokládáme znalost základních vět a připomínáme pouze věty složitější, často využívané při řešení úloh dále uvedených. Další kapitola je věnována řešeným logaritmickým rovnicím. Tento oddíl je členěn do pěti částí, rozdělených dle výskytu neznámé a rozšířený o logaritmické rovnice s parametrem. Na konci každé podkapitoly jsou příklady k procvičení uvedeného typu příkladů s výsledky v hranatých závorkách bezprostředně za zadáním. Stejně tak je členěna další kapitola jen s tím rozdílem, že v hlavní roli zde vystupují logaritmické nerovnice. Čtvrtá, poslední část, je věnována celkovému opakování, kde jsou namíchány všechny typy, logaritmických rovnic v jedné a logaritmických nerovnic ve druhé podkapitole, mezi sebou. Výsledek příkladu je opět uveden ihned pod jeho zadáním. Příklady v této sbírce jsou vybrány většinou z hvězdičkových (tj.složitých) úloh. Sbírka studenty s látkou neseznamuje, navazuje na již probranou problematiku logaritmů a měla by sloužit k zopakování a rozšíření učiva.
2
Kapitola 1 Věty o logaritmech Pozn.:
Věty o logaritmech, uváděny v této kapitole, jsou bohatě využívány při řešení mnoha příkladů z této sbírky. Samozřejmě už dále v textu nejsou uváděny, ale je na ně poukazováno pomocí čísla, pod kterým je daná věta uvedena.
Podmínka: Výraz log a x je definován pro a 〉 0 ∧ a ≠ 1 a x 〉 0. 1. Pro každé x, y ∈ R+ a pro každé a ∈ R+ - {1} platí log a x = log a y ⇔ x = y. 2. Pro každé y ∈ R, pro každé x ∈ R+ a pro každé a ∈ R+ - {1} platí log a ay = y
a loga x = x .
3. Pro každé x, y ∈ R+ a a ∈ R+ - {1} platí log a (x · y) = log a x + log a y. 4. Pro každé x, y ∈ R+ a a ∈ R+ - {1} platí log a
x = log a x – log a y. y
5. Pro každé x ∈ R+ , a ∈ R+ - {1} a n ∈ R platí log a xn = n log a x. 6. Pro každé c∈ R+ a pro každé a, b ∈ R+ - {1} platí log b c =
3
log a c . log a b
Kapitola 2 Logaritmické rovnice Jak již bylo řečeno v úvodu, rovnice jsou rozděleny do několika skupin podle toho, kde se nachází neznámá. Pro většinu typů budou navíc vyřešeny rovnice dvě, jedna se stejnými základy a druhá se základy různými.
2.1 s neznámou v logaritmovaném výrazu 2.1.1
Řešte v R rovnici: log(32 log x) – log(3 3
log x
) = 0,5 + log 8,1
Řešení: Užitím věty převedeme reálné číslo 0,5 na dekadický logaritmus a pomocí pravidel pro počítání s logaritmy převedeme mocniny a dostaneme 2 log x log 3 – 3 log x log 3 = log 10 + log
8,1 .
Dále pravou stranu upravíme a dostaneme 2 log x log 3 – 3 log x log 3 = log log
81 ,
81 = log 9 = log 32 = 2 log 3.
Díky tomuto rozepsání můžeme celou rovnici vydělit číslem log 3 2 log x – 3 log x = 2. Provedeme substituci, kde nahradíme kvadratickou rovnici
log x = y, musí být y ≥ 0 a dostaneme
2y2 – 3y – 2 = 0,
3 ± 9 + 16 1 y1 = 2, y2 = - , 4 2 y2 nevyhovuje zadané podmínce. Vrátíme se do substituce, kam dosadíme výsledky kvadratické rovnice a dostaneme, že x1 = 104. Proto y1,2 =
K = {104}. 4
2.1.2
Řešte v R rovnici: 3+ x x2 · log 2 - x2 · log 1 (2 + 3x) = x2 – 4 + 2 log 10 2
2
3x 2 + 11x + 6 10
Řešení: Dle věty 6) upravíme logaritmy na stejný základ, v tomto případě je vhodný volit základ např. 2 , při prozkoumání stávajících základů zjistíme, že všechny základy jsou mocninou čísla 2. Dostaneme 3x 2 + 11x + 6 log 2 log 2 (2 + 3 x) 3+ x 10 - x2 · = x2 – 4 + 2 . x2 · log 2 1 10 log 2 2 log 2 2
Jmenovatele složených zlomků můžeme vypočítat a na levé straně vytknout x2
x2 · (log 2
3 + x log 2 (2 + 3x ) ) = x2 – 4 + 2 10 (−1)
log 2
3x 2 + 11x + 6 10 , 1 2
po úpravě dostaneme 3+ x 3x 2 + 11x + 6 + log 2 (2 + 3x)) = x2 – 4 + 4 log 2 , 10 10 3x 2 + 11x + 6 3x 2 + 11x + 6 x2 · (log 2 ) = x2 – 4 + 4 log 2 . 10 10 x2 · (log 2
Logaritmy převedeme na stejnou stranu a vytkneme (x2 – 4) · log 2
3x 2 + 11x + 6 = x2 – 4. 10
(1)
Protože na obou stranách máme výraz (x2 – 4) můžeme rovnici zkrátit za předpokladu, že (x2 – 4) ≠ 0. Dostaneme log 2
3x 2 + 11x + 6 = 1. 10
Číslo 1 převedeme na logaritmus při základu 2 a dále počítáme dle věty 1) 3x 2 + 11x + 6 = log 2 2, 10 3x 2 + 11x + 6 = 2, 10 3x2 + 11x + 6 = 20,
log 2
5
3x2 + 11x – 14 = 0. Kvadratickou rovnici vyřešíme a dostaneme x1= 1
x2= -
14 3
Musíme zkontrolovat, jestli výsledek splňuje udané podmínky v 1. Kapitole tj. 14 např. (2 + 3 · (- )) > 0, (2 + 3 · 1) > 0 a takto ověříme všechny podmínky. 3 Vidíme, že kořen x2 nevyhovuje. Řešením je tedy pouze x1. Dále rovnice (1) má však také kořeny x3 = 2, x4 = -2, kdy (x2 – 4) = 0. Dosazením do původní rovnice zjistíme, že také x3 = 2 je kořenem. Proto K = {1, 2}.
Příklady k procvičení
Řešte v R rovnici:
a) log
3x − 5 + log
7 x − 3 = 1 + log
K={2} b) log (x + 13) – log (x – 3) = 1 – log 2 K={7} c) (log 3 x)2 – log 3 x3 + 2 = 0 K = {3, 9} 9 9 d) log ( - x) = log - log x 2 2 3 K = { , 3} 2
6
1 11 10
2.2 s neznámou v základu logaritmu 2.2.1
Řešte v R rovnici: log 3x + 7 (5x + 3) + log 5x + 3 (3x + 7) = 2
Řešení: S pomocí věty 3) si převedeme logaritmy na stejný vhodně zvolený základ, např. 3x+7
log 3x + 7 (5x + 3) +
log 3x + 7 (3x + 7) =2 log 3 x +7 (5x + 3)
vidíme, že v čitateli zlomku vychází číslo 1 log 3x + 7 (5x + 3) +
1 =2 log 3x + 7 (5x + 3)
protože základy i argumenty jsou u obou logaritmů stejné, provedeme substituci a= log 3x + 7 (5x + 3) a dostaneme a+
1 =2 a
po roznásobení: a2 + 1 = 2a.
Tedy a = 1. Vrátíme se k substituci: log 3x + 7 (5x + 3) = 1 dle definice logaritmu 5x + 3 = (3x + 7)1, 2x = 4, x = 2. Překontrolujeme zda výsledek odpovídá podmínkám, x = 2 souhlasí. Proto K = {2}.
2.2.2
Řešte v R rovnici: 16
log x 2
= 8x
Řešení: Dle věty 2) výraz na pravé straně rovnice upravíme a získáme tak rovnici
16 log x 2 = 16 log16 8x .
7
Porovnáme exponenty log x 2 = log 16 8x. Dále rovnici převedeme na stejný základ log 2 x log 2 8x = , log 2 2 log 2 16
jmenovatele vypočítáme log 2 x log 2 8x = , 1 4 4 log 2 x = log 2 8x, log 2 x4 = log 2 8x,
argumenty porovnáme a dostaneme x4 = 8x, x · (x3 – 8) = 0. Z toho x1 = 0 a x2 = 2 Ověříme podmínky z Kapitoly 1 a zjistíme, že x1 není řešením rovnice, protože x musí být různé od nuly. Tedy K = {2}.
Příklady k procvičení
Řešte v R rovnice:
a) 2 log x 3 + log 3x 3 + 3 log 9x 3 = 0 1 1 K={ , 4 } 3 3 b) log x 2 · log
1 16
2 = log
1 64
2
K = {4, 8} c) log x + 1 (x -
1 ) = log 1 (x + 1) x2 2
K = {1} d) log x 2401 = 4 K = {7} 8
2.3 s neznámou v exponentu 2.3.1
Řešte v R rovnici: x3 + 2log x = 100 x2 + log x
Řešení: Rovnici rozepíšeme dle věty 4)
10log x · (3 + 2log x) = 102 ·10log x · (2 + log x) na pravé straně dáme exponenty dohromady, abychom je mohli v dalším kroku porovnat, 10log x · (3 + 2log x) = 102 + log x · (2 + log x), log x · (3 + 2log x) = 2 + log x · (2 + log x), po roznásobení, úpravě a následné substituci, kdy nahradíme log x =y, dostaneme kvadratickou rovnici, kterou řešíme 3log x + 2log2 x = 2 + 2log x + log2 x, log2 x + log x - 2 = 0, y2 + y – 2 = 0. Kořeny kvadratické rovnice y1= 1
y2= -2
dosadíme do substituce, odkud 1 100 ověříme, jestli má logaritmus smysl pro oba výsledky, vidíme že má, proto řešením této rovnice je x1= 10
K={
2.3.2
x2=
1 , 10}. 100
Řešte v R rovnici: x
log 2 x 3 - log 22 x + 3
1 – x =0
Řešení: Zlomek převedeme na pravou stranu a vyjádříme ho pomocí x
x log 2 x
3
- log 2 2 x + 3
= x(-1)
9
porovnáme exponenty log 2 x 3 - log 22 x + 3 = -1 dle pravidel pro počítání s logaritmy upravíme log2 x3 a výraz log2 x nahradíme v substituci reálným číslem a 3 log 2 x - log 22 x + 4 = 0 -a2 + 3a + 4 = 0 kvadratickou rovnici řešíme a dostáváme a1= -1
a2= 4,
návratem do substituce log 2 x = a získáme výsledek 1 x1= x2= 16, 2 obě řešení splňují podmínky 1 K = { , 16}. 2
Příklady k procvičení
Řešte v R rovnice:
log x + 7 · 4
a) x = 10log x + 1 -4 K = {10, 10 } b) x3 + 4log x – 10 x6 = 0 1 K = {10, 4 } 10 c) xlog x + 1 = 9x2 1 K = {9, } 3 d) x = 101 – 0,25log x K = { 5 10000 }
10
2.4 s paramatrem Uvádíme dva typy rovnic s parametrem. První typ jsou rovnice, kde máme neznámou x vyjádřit pomocí parametru a určit jakých hodnot může parametr nabývat, druhým typem jsou “nepravé” rovnice s parametrem, kde pomocí znalostí o logaritmech počítáme neznámou, která se v logaritmu jinak nevyskytuje.
2.4.1
Řešte v R rovnici s parametrem a ∈ R+ : log (1 – x) – log a =log 2 + log (1 + x) – log (1 + a2)
Řešení: Musí platit: a > 0, (1 – x) > 0, (1 + x) > 0. Poslední dvě podmínky ověříme v závěru řešení. Pak lze danou rovnici psát ve tvaru
log
1− x 2(1 + x) = log . a 1+ a2
Odtud plyne 1− x 2(1 + x) = , a 1+ a2 (1 – x) · (1 + a2) = 2a · (1 + x). Po roznásobení převedeme všechny členy s neznámou x na jednu stranu a dostaneme rovnost 1 – x + a2 – a2x = 2a + 2ax, x (1 + 2a + a2) = 1 - 2a + a2. Dostaneme x=
(1 - a) 2 . (1 + a) 2
Ověříme podmínky: a) 1 – x > 0 (1 - a) 2 > 0 / · (1 + a)2 > 0 2 (1 + a) (1 + a)2 - (1 - a)2 > 0 1 +2a + a2 – 1 + 2a – a2 > 0 1 4a > 0 / · 4 a > 0 ….platí, proto platí i podmínka a). 1-
11
b) 1 + x > 0 (1 - a) 2 1+ >0 (1 + a) 2 je splněna ( na levé straně je součet). Proto je řešením pro každé a ∈ R+ Ka = {
2.4.2
(1 - a) 2 }. (1 + a) 2
Určete číslo m, je-li m = 49
1-
1 log 7 25 4
Řešení: Levou stranu převedeme na mocninu 49
49log49
m
= 49
1-
1 log 7 25 4
.
Porovnáme exponenty a převedeme jedničku na pravé straně na logaritmus log 49 m = log 7 7 – log 7
4
25 ,
základ logaritmu levé strany změníme. Pak log 7 m = log 7 log 7 49
7 5
.
Víme, že log 7 49 = 2, tímto číslem násobíme obě strany rovnice log 7 m = 2 log 7 log 7 m = log 7 (
7 5 7 5
,
)2 .
Porovnáme argumenty logaritmů a dostáváme po úpravě m=
49 . 5
12
Příklady k procvičení
Řešte v R rovnice s parametrem a ∈ R+: a) a log2 x – (a2 + 1) · log x + a = 0 K = {10a, a 10 } 3
b) x log a x = a log a x K = {a} Upravte: 2 9 c) m = log 2 ( ) + log 4 ( ) 3 4 m=0 1 1 1 + log 2 3 log 4 9 log 8 3 m = - log 3 2 d) m =
13
Kapitola 3 Logaritmické nerovnice Třetí kapitola pojednávající o logaritmických nerovnicích je řešena podobně jako kapitola předchozí. Části jsou znovu děleny podle toho, kde se nachází neznámá x. Tento oddíl je navíc rozšířen o úlohy s parametrem a a o úlohy s různým umístěním absolutní hodnoty. Než začneme logaritmické nerovnice řešit, musíme pomocí podmínky z Kapitoly 1 nalézt intervaly, pro které má neznámá x smysl. Navíc je důležité si připomenout pravidlo: Pro loga x > loga y , kde 0 < a < 1 platí x < y.
3.1 s neznámou v logaritmovaném výrazu 3.1.1
Řešte v R nerovnice: logл (x + 27) – logл (16 – 2x) < logл x
Řešení: Nejprve si stanovíme, pro jaká x má daná nerovnice smysl. Položme
x + 27 > 0 ∧ 16 – 2x > 0 ∧ x > 0, z toho musí být x ∈ (0, 8). Nyní řešíme upravenou nerovnici logл
x + 27 < logл x, 16 - 2x
porovnáme argumenty, protože л > 1 x + 27 < x. 16 - 2x Vynásobíme obě strany nerovnice výrazem (16 - 2x). Dostaneme x + 27 < 16 + 2x2, 2x2 – 15x + 27 < 0. 14
Kvadratickou nerovnici vyřešíme, kořeny jsou x1 = 3, x2 = interval (3,
9 ). Porovnáme výsledný interval s intervalem v podmínce. Na závěr 2
K = (3,
3.1.2
9 , tj. výsledkem je 2
9 ). 2
Řešte v R nerovnici: 2 2 log 12 (x + 4x 4) log 2 (x 2 - 3x - 10) 2,25 >( ) 3
Řešení: Stanovíme podmínky
x2 – 3x – 10 > 0 ∧ x2 + 4x + 4 > 0, řešíme kvadratické nerovnice. Dostáváme, že neznámá x má řešení na množině ( ∞ , -2) ∪ (5, ∞ ). 9 2 Nyní řešíme logaritmickou nerovnici. Uvědomíme si, že 2,25 = , což je ( )-2. 4 3 Z toho 2 2 2 log 1 (x ( ) -2 log 2 (x - 3x - 10) > ( ) 2 3 3
2
+ 4x 4)
.
Porovnáme mocnitele -2 log 2 (x2 – 3x – 10) > log 1 (x + 2)2. 2
Převedeme základ pravé strany nerovnice -2 log 2 (x2 – 3x – 10) >
2log 2 (x + 2) . 1 log 2 2
Jmenovatel zlomku na pravé straně je roven (-1), dostaneme -2 log 2 (x2 – 3x – 10) > -2 log 2 (x + 2). Porovnáme argumenty x2 – 3x – 10 > x + 2, x2 – 4x – 12 > 0. 15
Vyřešíme kvadratickou nerovnici, dostaneme (- ∞ , -2) ∪ (6, ∞ ). Tento interval porovnáme s počátečními podmínkami, tj. K = (- ∞ , -2) ∪ (6, ∞ ).
Příklady k procvičení
Řešte v R nerovnice:
1 + log 9 x – log 3 5x > log 1 (x + 3) 2 3 K = (0, ∞ ) a)
b) log 0,1 (x2 + 75) – log 0,1 (x – 4) ≤ -2 K = (4, 5 〉 ∪ 〈 95, ∞ ) pozn. Základ je menší než 1, musíme obrátit znaménka nerovnosti. c) log 02, 25 (x – 1) – log 0, 25 (x – 1) ≥ 0 K = (1,
5 〉 ∪ 〈 2, ∞ ) 4
2 log (x 2 - 5x + 8) d) ( ) 0,25 ≤ 2,5 5 K = 〈 1, 4 〉
16
3.2 s neznámou v základu logaritmu 3.2.1
Řešte v R nerovnici: log x (x3 + 1) · log x + 1 x > 2
Řešení: Stanovíme interval, na kterém mají logaritmy smysl.
x + 1 > 0 ∧ x > 0, x ≠ 1
tj. x ∈ (0, 1) ∪ (1, ∞ ).
Řešíme nerovnici log x (x3 + 1) · log x + 1 x > 2. Nerovnici si přepíšeme do staženého tvaru, kdy první z logaritmů si napíšeme jako mocnitel logaritmovaného výrazu log x + 1 x
log x (x 3 + 1)
> 2.
Podle věty 2) upravíme výraz x
log x (x 3 + 1)
a dostaneme
log x + 1 (x3 + 1) > 2. Pravou stranu přepíšeme na logaritmus log x + 1 (x3 + 1) > log x + 1 (x + 1)2, porovnáme argumenty (x3 + 1) > (x + 1)2, x3 - x2 – 2x > 0, x · ( x2 – x – 2) > 0 /:x (x > 0). Kořeny této kvadratické rovnice jsou x1 = 0, x2 = -1, x3 = 2, tj. x ∈ (- ∞ , -1) ∪ (2, ∞ ). Tento interval porovnáme s intervalem z podmínky a dostaneme K = (2, ∞ ).
3.2.2
Řešte v R nerovnici: log
5 x+ 2
(
x -5 2 ) <0 2x - 3
Řešení: Nalezneme interval, pro který má nerovnice smysl. Tj. musí platit pro základ:
17
5 x -5 >1 ∧ ≠ 0 ∧ 2x – 3 ≠ 0, 2 2x - 3 3 3 3 tj. x ∈ (- , ) ∪ ( , 5) ∪ (5, ∞ ), 2 2 2 (1) x +
5 x -5 <1 ∧ ≠ 0 ∧ 2x - 3 ≠ 0, 2 2x - 3 5 3 tj. x ∈ (- , - ), 2 2
(2) 0 < x +
zlomek nám stačí uvažovat pouze různý od nuly, protože každé číslo (tedy kromě nuly) na druhou mocninu je kladné. Řešíme nerovnici log
5 x+ 2
(
x -5 2 ) < log 2x - 3
x+
5 2
1,
porovnáme argumenty pro (1) x -5 2 ) < 1, 2x - 3 x2 – 10x + 25 < 4x2 – 12x + 9, 3x2 – 2x – 16 > 0.
(
Kvadratickou nerovnici vyřešíme, dostaneme kořeny x1 = -2, x2 =
8 , tj. 3
8 K1 = ( , 5) ∪ (5, ∞ ). 3 Porovnáme argumenty pro (2) x -5 2 ) > 1, 2x - 3 x2 – 10x + 25 > 4x2 – 12x + 9, 3x2 – 2x – 16 < 0.
(
Vyřešíme, kořeny se oproti předchozí nerovnici neliší, dostaneme druhý výsledek 3 K2 = (-2, - ). 2 Dohromady 3 8 K = (-2, - ) ∪ ( , 5) ∪ (5, ∞ ). 2 3 18
Příklady k procvičení
Řešte v R nerovnice:
a) log K=(
x-2
(2x – 3) > log
x-2
(24 – 6x)
27 , 4) ∪ (4, ∞ ) 8
b) log 5 3x + 4 · log x 5 > 1 K = (1, 4) c) log x (x + 1) > log 1 (2 – x) x
K = (1, 2) x+3 )>1 x -1 K = (1, 3)
d) log x (
19
3.3 s neznámou v exponentu 1 Rěšte v R nerovnici: 2
3.3.1
4 log 3 log 1 x 2 - 5 5
≤1
Řešení: Hledáme intervaly, na kterých je nerovnice řešitelná, tj.
x2 -
4 >0 5
4 ∧ log 1 (x 2 - ) > 0 5 5
2
Nerovnic vyřešíme, dostaneme x > x <
3 5
, tedy x <
5
, tedy po rozšíření x >
2 5 , a 5
3 5 . 5
3 5 2 5 2 5 3 5 ∪ ,Nerovnici tedy řešíme na intervalu K = − 5 , 5 . Nejprve 5 5 nerovnici upravíme 1 2
4 log 3 log 1 x 2 - 5 5
0
1 ≥ . 2
Porovnáme mocniny 4 log 3 log 1 x 2 - ≥ 0. 5 5 Pravou stranu zlogaritmujeme podle základu 3 4 log 3 log 1 x 2 - ≥ log 3 1, 5 5 4 log 1 x 2 - ≥ 1. 5 5 Znovu pravou stranu zlogaritmujeme, tentokrát podle základu 4 1 log 1 x 2 - ≥ log 1 , 5 5 5 5 při odlogaritmování musíme znovu otočit znaménko nerovnost
20
1 5
2 4 1 x - ≤ , 5 5 2 x ≤ 1, x ≤ 1. Výsledek nerovnice tedy je K=
3.3.2
− 1, -
2 5 2 5 ∪ ,1 . 5 5
Řešte v R nerovnici: log 3 (4x + 1) + log (4x + 1) 3 > 2,5.
Řešení: Stanovíme podmínky
4x + 1 > 0 ∧ 4x + 1 ≠ 1. Tato podmínka platí vždy, tj. x ∈ R. Počítáme nerovnici, nejprve sjednotíme základy log 3 (4x + 1) +
1 5 > . x 2 log 3 (4 + 1)
Provedeme substituci y = log 3 (4x + 1) a dostaneme 1 5 > , y 2 1 5 y + - > 0, y 2 2 2y + 2 - 5y > 0. 2y y+
Vypočítáme kořeny ve jmenovateli a porovnáme znaménka s čitatelem a získáme interval y ∈ (0,
1 ) ∪ (2, ∞ ). 2
Nyní se vrátíme do substituce log 3 (4x + 1) ∈ (0,
1 ) ∪ (2, ∞ ), 2
21
nerovnici tedy řešíme nadvakrát 1 , 2 log 3 1 < log 3 (4x + 1) < log 3 3 ,
log 3 32 < log 3 (4x + 1),
1 < (4x + 1) < 3 , 0 < 4x < ( 3 - 1),
9 < (4x + 1), 8 < 4x.
0 < log 3 (4x + 1) <
2 < log 3 (4x + 1),
První případ vidíme, že platí pro x na intervalu (- ∞ , log 4 ( 3 - 1)), druhý případ převedeme na mocniny dvou 23 < 22x, 3 < 2x, 3 x> , 2 3 získáme interval ( , ∞ ). Výsledek je 2 K = (- ∞ , log 4 ( 3 - 1)) ∪ (
3 , ∞ ). 2
Příklady k procvičení
Řešte v R nerovnice:
a) log 1 (32x – 5 · 3x + 5) < 0 2
K = (- ∞ , 0) ∪ ( 2
b) 25 log5 x + x 1 K= ,5 5
log 4 ,∞) log 3
log 5 x
≤ 30
c) (2x + 3 · 2-x)2log2 x – log2 (x + 6) > 1 K = (3, ∞ ) d) x
log 2 x
K = (0,
>2
1 ) ∪ (2, ∞ ) 2
22
3.4 s parametrem 3.4.1 Řešte v R nerovnici s parametrem : log a x > 6log x (a – 1) , kde a ∈ (0, 1). Řešení: Nejprve stanovíme, na jakých intervalech má logaritmická nerovnice smysl
1) 0 < x < 1 ∧ x > 0 tj. x ∈ (0, 1), 2) x > 1 ∧ x > 0 tj. x ∈ (1, ∞ ). Řešíme nerovnici log a x > 6log x a – 1. Logaritmy převedeme na stejné základy log a x > 6
log a a - 1. log a x
Výraz převedeme na jednu stranu do zlomku log a x – 6·
1 + 1 > 0, log a x
log a x - 6 + log a x > 0. log a x 2
Provedeme substituci y = log a x y2 + y - 6 > 0. y
Vyřešíme kvadratickou nerovnici, výsledný interval pro čitatele porovnáme s jmenovatelem. Dostaneme y ∈ (-3, 0) ∪ (2, ∞ ). Počítáme -3 < log a x < 0, log a a-3 < log a x < log a 1,
2 < log a x, log a a2 < log a x.
Při odlogaritmování nesmíme zapomenout na podmínku, že a∈ (0, 1). a-3 > x > 1,
x < a2 .
Z toho a počátečních podmínek 23
K = (0, a2) ∪ (1, a-3). 3.4.2
Pro které hodnoty reálného parametru a má rovnice x2 – 4x – log 2 a = 0 s neznámou x alespoň jeden reálný kořen.
Řešení: Nejprve stanovme interval, na kterém má log 2 a smysl
a ∈ (0, ∞ ). Kořeny kvadratické rovnice vypočteme vzorcem x1, 2 =
- b ± b 2 - 4ac , 2a
což v našem případě je x1, 2 =
4 ± 16 + 4log 2 a 2
.
Aby alespoň jeden kořen kvadratické rovnice byl reálný, musí být D ≥ 0, tím dostáváme nerovnici 16 + 4 log 2 a ≥ 0. Vyřešíme 4log 2 a ≥ -16, log 2 a ≥ -4, 1 a≥ . 16 Rovnice x2 – 4x – log 2 a = 0 má alespoň jeden reálný kořen právě tehdy, když 1 , ∞) . a∈ 16
24
Příklady k procvičení
Řešte v R nerovnice s parametrem: 1 a) > 1, kde a > 1 log a x K = (1, a) b) Určete hodnotu kladného parametru k tak, aby log kx rovnice = 2 s neznámou x měla právě log (x + 1) jeden reálný kořen. k=4 [pozn. D = 0]
25
3.5 s absolutní hodnotou Logaritmické rovnice s absolutní hodnotou počítáme, jak jsme zvyklí. Nejprve si určíme na jakém intervalu je výraz v absolutní hodnotě menší a na jakém větší než nula. Na těchto intervalech pak řešíme logaritmickou nerovnici s příslušnými znaménky stejným způsobem jako v předchozích podkapitolách, tj. stanovíme si interval, na kterém je nerovnice řešitelná, a vyřešíme ji. Výsledné intervaly pak sjednotíme. 2 log 1 x + 8
3.5.1
Řešte v R nerovnice:
2
< 3.
4
Řešení: Rozdělíme R na intervaly, tj. počítáme
2 log (1)
1 2
x +8
4
2 log <0
(2)
1 2
x +8
4
> 0,
řešíme (1)
1 log 1 x + 2 < 0 2 2
(2)
1 log 1 x + 2 ≥ 0, 2 2
dostaneme dva intervaly (1) x ∈ (16, ∞ )
(2) x ∈ (- ∞ , 16 .
Nyní řešíme zadanou logaritmickou nerovnici se znaménky příslušnými danému intervalu (1) -
1 log 1 x – 2 < 3 2 2
(2)
1 log 1 x + 2 < 3. 2 2
Obě strany obou rovnic roznásobíme číslem 2 (1) -log 1 x - 4 < 6
(2) log 1 x + 4 < 6,
2
2
upravíme a pravou stranu rovnic zlogaritmujeme (1) -log 1 x < 10
(2) log 1 x < 2,
2
2
(1) -log 1 x < log 1 2-10 2
(2) log 1 x < log 1
2
2
26
2
1 . 4
Obě strany nerovnic odlogaritmujeme, protože základ logaritmu je menší než jedna, musíme zaměnit znaménka nerovnosti (1) x(-1) > 2(-10)
(2) x >
1 . 4
(210 = 1024) x < 1024 Dostáváme intervaly 1 K2 = ( , 16 . 4
K1 = (16, 1024) Výsledek je K=(
3.5.2
1 , 1024). 4
Řešte v R nerovnici:
log x x 2 - 1 > 0.
Řešení: Nejprve si určíme intervaly, na kterých je výraz v absolutní hodnotě menší a větší než nula
(1) x2 – 1 < 0
(2) x2 – 1 ≥ 0,
dostaneme intervaly (1) x ∈ (-1, 1)
(2) x ∈ (- ∞ , - 1 ∪ 1, ∞ ).
Na těchto intervalech řešíme nerovnice s příslušnými znaménky. Musíme si uvědomit, že neznámá x se vyskytuje i v základu. Proto musíme na základě této skutečnosti pozměnit intervaly, na kterých budeme nerovnice řešit a sice pro x musí platit 0<x<1
nebo
x > 1,
dostaneme tedy intervaly (1) x ∈ (0, 1)
(2) x ∈ (1, ∞ ).
Nyní můžeme řešit nerovnice (1) log x (–x2 + 1) > 0
(2) log x (x2 – 1) > 0.
Číslo 0 na pravé straně nerovnic nahradíme výrazem logx 1 27
(1) log x (–x2 + 1) > log x 1
(2) logx (x2 - 1) > logx 1,
obě nerovnice odlogaritmujeme. V nerovnici (1) musíme obrátit znaménko nerovnosti, protože x ∈ (0, 1) (1) -x2 + 1 < 1 (1) -x2 < 0
(2) x2 - 1 > 1, (2) x2 > 2, (2) x > 2 (protože x › 2 ).
Nerovnice (1) platí vždy, proto výsledné intervaly jsou K2 = ( 2 , ∞ ).
K1 = (0, 1) Dohromady K = (0, 1) ∪ ( 2 , ∞ ).
Příklady k procvičení
Řešte v R nerovnice:
a) 2log x + 3 > 4 10 K = 0, 4 ∪ ( 10 , ∞ ) 10
x -1 <0 2x + 1 K = (- ∞ , -2) ∪ (0, 1) ∪ (1, ∞ )
b) log
c) log x + 2 - log x ≤ 1 10 K = 0, 10 [pozn. Řešíme již na třech intervalech, neznámá x musí dle podmínky z Kapitoly 1 větší než nula]
d) log 13
4x + 3 ≥2 9
3 3 1 K = - 1, − ∪ − , 4 4 2 28
Kapitola 4 Procvičení 4.1 Řešte v R logaritmické rovnice 1 log (x2 + 6x + 9) = 3 log 2 K = {1, 2}
1) log (x3 + 27) -
2)
3
7
1 - log x log 2 14 - log 2 4 = x log 3,5 x 5 K={ } 28
3) log4 log2 log3 (2x – 1) =
1 2
K = {41} 4) log 1 1 + x + 3 log 1 (1 – x) = log 1 (1 – x2)2 + 2 2
4
16
3 K={ } 4 5) logx (3 x log5 x + 4) = 2 log 5 x K = {log 5 x = ± log 5 4 } x 2 - 2x =0 x -3 K = {4, 6}
6) log 1 log 8 2
7) log (22log x) – log 2 K = {104}
3 log x
= 2 log 2
8) log x 2 + log 2 x = 2,5 K = { 2 , 4}
29
9) x
log
x
2x
2
10) x log 2 x
2
=4 K=
{}
- log 2 2x - 2
+ (x + 2) 1 K = { 4 , 1, 2} 8
log
(x + 2) 2
4
=3
11) x log a x = a2· x K = {a-1, a2} 12) log (
9 9 - x) = log - log x 2 2 3 K = { , 3} 2
13) m = 36 log6 5 + 10 1 - log 2 - 3 log9 36 K = {24} 14) xlog x = 103 x2 K = {10-1, 103}
30
4.2 Řešte v R logaritmické nerovnice 1)
x log 2
x
>2 K = (0,
2) x - 1
log 2 (4 - x)
1 ) ∪ (4, ∞ ) 4
> x -1
log 2 (1 + x)
K = (-1, 0) ∪ (
3 , 2) 2
3) log 5 (x + 3) ≥ log (x + 3) 625 K = (-3, − 4) log
1
74 ) ∪ (22, ∞ ) 25
(6x + 1 – 36x) ≥ -2
5
K = (- ∞ , 0) ∪ log 6 5 , 1) 5) logx 2 · log2x 2 · log2 4x > 1 1 K = (2 - 2 , ) ∪ (1, 2 2 ) 2 6) log x + 6 2 · log2 (x2 – x – 2) ≥ 1 K = (- ∞ , -7) ∪ (-5, - 2 ∪ 4 , ∞ ) 7)
x -1 ≥1 log 3 (9 - 3 x ) - 3 K = log 3 0,9 , 2)
8)
log 2
3 - 2x >1 1- x K = (- ∞ , 1) ∪ (2, ∞ )
9) log x − 1 0,3 > 0 x+5
K = (1, ∞ )
10) x log 2 x + 16x -log2 x < 17 1 K =( , 1) ∪ (1, 4) 4 31
11)
log 0,3 x - 2
<0 x 2 - 4x K = (- ∞ , 0) ∪ (1, 2) ∪ (2, 3) ∪ (4, ∞ )
12) log x (x + 1) > log 1 (2 – x) x
K = (1,
1+ 5 ) 2
2
13) (8 – x) log 2 (8 - x) ≤ 2 3x - 4 K = 4 , 8) 14) log 2 (x – 3) · (x + 2) + log 1 (x – 3) < -log 2
1 2
K = (3, 7)
32
3
Literatura [1] V. N. Litviněnko, A.G. Mordkovič: Praktikum po rešeniju matematičeskich zadač, Prosveščenie, Moskva, 1984 [2] P. Benda, B. Daňková, J. Skála: Sbírka maturitních příkladů z matematiky, SPN, Praha, 1968 [3] J. Petáková: Matematika - Příprava k maturitě a k přímacím zkouškám na vysoké školy, Prometheus, Praha, 2006 [4] I. Bušek: Řešené maturitní úlohy z matematiky, Prométheus, Praha, 1999 [5] O. Odvárko: Sbírka úloh z matematiky pro gymnázia – Funkce, Prométheus, Praha, 2006 [6] H. J. Bártech: Matematické vzorce, SNTL – Nakladatelství technické literatury, Praha, 1987 [7] J. Herman, R. Kučera, J. Šimša: Seminář ze středoškolské matematiky, Katedra matematiky Přírodovědecké fakulty, Brno, 2004 [8] P. Boucník, J. Herman, P. Krupka, J. Šimša: Odmaturuj z matematiky 3sbírka řešených příkladů, Didaktik, Brno, 2004 [9] J. Kubát : Sbírka úloh z matematiky pro přípravu k maturitní zkoušce a k piíjímacím zkouškám na VŠ, Victoria Publishing, Praha, 1993
33
