V´aˇzen´ y ˇcten´aˇri, sb´ırka pˇr´ıklad˚ u, kterou jsi pr´avˇe otevˇrel V´am chce pomoci pˇri studiu jedn´e z nejkr´asnˇejˇs´ıch vˇedn´ıch discipl´ın - matematiky. Sb´ırka obsahuje vˇsechny typy pˇr´ıklad˚ u, vˇcetnˇe v´ ysledk˚ u, kter´e se zkouˇsej´ı pˇri pˇrij´ımac´ım ˇr´ızen´ı na vysok´ ych ˇskol´ach. V u ´vodu kaˇzd´e kapitoly jsou uveden´e z´akladn´ı vzorce a spoˇc´ıtan´e vzorov´e pˇr´ıklady. Pˇri poˇc´ıt´an´ı ostatn´ıch pˇr´ıklad˚ u V´am pˇreji hodnˇe u ´spˇech˚ u. Petr Tomiczek Za pomoc pˇri tvorbˇe sb´ırky dˇekuji sv´e ˇzenˇe RNDr. Svˇetlanˇe Tomiczkov´e.
1
Obsah ´ 1 Upravy algebraick´ ych v´ yraz˚ u ...........................................
3
2 Rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3 Nerovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
4 Goniometrick´ e v´ yrazy, rovnice a nerovnice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
5 Funkce, grafy funkc´ı, definiˇ cn´ı obory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
6 Posloupnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
7 Kominatorika, binomick´ a vˇ eta, matematick´ a indukce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
8 Komplexn´ı ˇ c´ısla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
9 Geometrie a trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
10 Pˇ rij´ımac´ı zkouˇ ska . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2
´ Upravy algebraick´ ych v´ yraz˚ u ´ (A) Z´akladn´ı u ´pravy B) Upravy v´ yraz˚ u s odmocninou C) Dˇelen´ı polynomu polynomem) Znaˇcen´ı: N - pˇrirozen´a ˇc´ısel, R - re´aln´a ˇc´ısla, C - komplexn´ı ˇc´ısla. ´ Upravy v´ yraz˚ u s mocninami a odmocninami, a, b ∈ R, m, n ∈ N: m n
a a =a a1/n = √ n
√ n
an =
m+n
;
m n
(a ) = a
mn
a = b if bn = a
|a|
n je sud´e
a
n je lich´e
;
m
am = am−n , n a
m m
b a
;
(ab) = a b ;
;
am/n = (a1/n )m (a > 0 if n is even) ; √ n
a·
√ n
b=
√ n
ab ;
s √ n b n b √ = , n a a
!m
=
1 = a−n an
bm am
a 6= 0 ;
a 6= 0 .
Pravidla pro u ´pravy algebraick´ ych v´ yraz˚ u, a, b ∈ R: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ;
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2 ;
a2 − b2 = (a − b)(a + b) ;
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 ; (a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 ; a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ) ;
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 ) ;
an − bn = (a − b)(an−1 + an−2 b + · · · + abn−2 + bn−1 ) pro n ∈ N ; an + bn = (a + b)(an−1 − an−2 b + · · · − abn−2 + bn−1 ) pro n je lich´e ; A) Z´ akladn´ı u ´ pravy Zjednoduˇste v´ yrazy a uved’te podm´ınky: √ √ √ √ √ √ √ √ 1) ( 3 + 2)( 3 − 2) + ( 3 + 2)2 + ( 3 − 2)2 1+ 2) 1− 3) 4) 5) 6) 7) 8)
[11]
1 x−1 1 x+1
[ x+1 x−1 ; x 6= −1, 0, 1]
m4 − m 2m2 + 2m + 2
[ m(m−1) ; m ∈ R] 2
1 2a 1 − 2 −1 a+1 a −1 a
[ a1 ; a 6= −1, 0, 1]
a − 2b 2a − b 2a2 − − 2 a+b b−a a − b2
a−b [ a+b ; a = ±b]
2n + 1 1 3 3 − 3 + 2 · n+ n−1 n −1 n +n+1 n−1
[ n+5 n−1 ; n 6= 1]
5a a + 4 a − 1 a − 3 + · − 3(4 − a) 8 − 3a a + 4 a − 4
8 [ −5a+6 3(a−4) ; a 6= ±4, 3 ]
x 2 x2 − 2x x + 8 − · + x2 − 4 x2 + 2x 12 x−2
3 +8x2 +128x+184
[x
3
12(x−2)(x+2)
; x 6= −2, 0, 2]
9) 2n − 10) 11)
2n − 3
a+b a−b
1+
18) 19)
2 − 1+b b · 1 2 − + 1 b2 b
a4 −b4 a2 b2
· 1−
2a b
a
2
1 + ( b−a )−1 a
+ ·
a2 b2
[2a ; a 6= ±b, b 6= 0, 1]
a+b [ a−b ; a 6= b, a 6= 0, b 6= 0]
ab
b−a
−a
a2 + ab + b2 : b
2(a + b)2
ab
−8 :
a−b ; a 6= ±b, a 6= − 2b ] [ 3(a+b)
a b 2ab − + 2 a + b b − a b − a2
2
2
[ 2(a ab−b ) ; a 6= ±b, a 6= 0, b 6= 0]
a a2 a3 + b 3 : (a2 − b2 ) + − 2 a+b a + b a − b2 x y
+
x4 y2
y x
−1 ·
−
y4 x2
x y
+
y x
[ a−b a+b ; a 6= ±b]
+1
: x2 − y 2
[1 ; x 6= ±y, x 6= 0, y 6= 0]
3x x2 + xy + y 2 3 3 2x + y + 3 · · : 2 3 2 x−y x −y x+y x + 2xy + y x+y
2x + y
x+y
−
x − 2y x2 x3 + y 3 − 2 : 4 x−y x − y2 x − y4
6x − 3 2x 4x2 + 2x · − 2x + 2 1 − 4x + 4x2 8x3 − 1
20)
[b − a ; a 6= 0, b 6= 0, a 6= b]
3 2a + b 3a a2 + ab + b2 + : · a2 + 2ab + b2 a − b a3 − b 3 a+b
17)
b2 a2
2 [− a2 −a+1 ; a 6= −b, a 6= 1, 0]
2
a−b a+b a2 +b2 a2 −b2
13) b −
16)
[2 n−1 n ; n 6= −1, 0, 1]
·
−
1−
15)
n+1 n2 + 3 n3 + 1 − 2 · 2 − 2n 2n − 2 n2 − n
a + b a3 + 1 : a2 + ab 1 − a a
2a2 − 2
12)
14)
n+1
−
9 [ x−y ; x 6= ±y, x = − y2 ]
[y
2 (x2 +y 2 )
x3 +y 3
; x 6= ±y]
1 [ 8x6x 3 −1 ; x 6= 2 , −1]
B) V´ yrazy s odmocninami 1 4 3 +√ −√ 3+2 3−1 3 √ √ 2+ 3 2− 3 q q 22) √ √ −√ √ 3+ 2+ 3 3− 2+ 3
21) √
[4] q
[(−3 + 2 2 +
√ 1 a2 2 √ · 1 − a 1 + + 1 √ 1 + 1−a 1 − a2 2 1−a2 √ √ x + x2 − 1 x − x2 − 1 √ √ 24) + x − x2 − 1 x + x2 − 1
23)
4
√
3)(1 +
√
3)]
p
[ 1 − a2 ; |a| < 1]
[4x2 − 2 ; |x| ≥ 1]
25)
26)
27)
28)
√ x − x3 x+ 3 √ + x x+ 3 √ √ √ √ a− b a+ b √ +√ √ √ a+ b a− b √ √ b − ab a b a + b √ : √ a+ √ +√ − √ a+ b ab + b ab ab √ √ √ a a + b b √ 2 b √ − ab : a − b + √ √ √ a+ b a+ b
29) x
2
√ 4
( x+ 5
9
30)
√ 4
[ 2(a+b) a−b ; a ≥ 0, b ≥ 0, a 6= b]
√ ; a > 0, b > 0] [− a+b a
[1 ; a ≥ 0, b ≥ 0, a 6= b]
√ √ s√ y)2 + ( 4 x − 4 y)2 5 3 x · √ x + xy x−1
2
[25 ; y ≥ 0, x > 0]
3
(x 8 · y 4 ) 3 · z − 4 3 4
2 3
x ·y ·z
31)
p
32)
h
2xy ·
q 3
1
[(xyz) 12 ; x > 0, y > 0, z > 0]
− 56
4x2 y 4 ·
q 4
1
1
3x− 3 − 31
2 3
8x3 y 2 ·
x − 2x
−
x3 4 3
x −x
q
i−1 1 3
6
x5 y 7 ·
−
q
12
a− 23
[4 · x3 y
2x3 y 9
1 − 2x −1
17 4
; x ≥ 0, y ≥ 0]
2
x [ (2x−1) ; x 6= 0, 21 , 23 , 1, 2]
3x − 2
1 1 b−1 a− 3 b− 2 : − 2 1 1 b−1 a− 3 b− 2 a− 3 √ √ a 2 1 a 3 b 3 1 2 √ + √ 34) a 4 + b 4 : 8 b a3 a b3 √ 1 x+1 √ : √ 35) x+ x+1 x x−1
33)
√ [2 ; x 6= − 3, 0]
1
1
1
1
2
[b 2 a− 3 + b− 2 a 3 ; b > 0, a 6= 0, b 6= a 3 ]
−
[ab ; a > 0, b > 0] [x − 1 ; x ≥ 0, x 6= 1]
C) Dˇ elen´ı polynomu polynomem (3x3 − x2 + x −4) : (x − 1) = 3x2 + 2x + 3 − −(3x3 −3x2 ) 0 +2x2 −(2x2 −2x) 0 +3x −(3x−3) 0 −1 36) (2x4 − x3 + x2 − x − 1) : (x2 + 1)
1 , x−1
x 6= 1
[2x2 − x − 1]
37) (x3 − 5x2 + 5x − 2) : (x − 4)
[x2 − x + 1 +
5
2 x−4
; x 6= 4]
Rovnice (line´arn´ı, kvadratick´e, s absolutn´ı hodnotou, exponenci´aln´ı, logaritmick´e, soustavy rovnic) Pˇri ˇreˇsen´ı rovnice je nutn´e nejdˇr´ıve urˇcit podm´ınky, za kter´ ych maj´ı v´ yrazy vyskytuj´ıc´ı se v rovnici smysl. √ 3 x+4 − 2 = −3 , Podm´ınky : x ≥ 0 . 2 Rovnice ˇreˇs´ıme pomoc´ı n´asleduj´ıc´ıch u ´prav: √ 3 x+4 − 2 = −3 / +2 Pˇriˇc´ıt´an´ı 2√ 3 x+4 = −1 / ·2 N´asoben´ı nenulov´ ym ˇc´ıslem 2 √ Odeˇc´ıt´an´ı 3 x + 4 = −2 / −4 √ 3 x = −6 / : 3 Dˇelen´ı nenulov´ ym ˇc´ıslem √ x = −2 / 2 Umocˇ nov´an´ı - pozor jedn´a se x =
Zkouˇska: L :
√ 3 4+4 2
4
o neekvivalentn´ı u ´pravu, nutno vˇzdy udˇelat zkouˇsku:
−2=
6+4 2
− 2 = 3,
P : −3 .
Z´avˇer: Tato rovnice nem´a ˇreˇsen´ı. A) Line´ arn´ı rovnice 1) x = x − 1 2) 5 − 3) 4)
[neexistuje ˇreˇsen´ı]
3x + 1 x = 2,5 − 3 12
[x = 31]
x+2 7 + 3x −2+ = 5x 9 4
26 [x = − 159 ]
2x − 1 x+2 = 3x + 1 +1
6 [x = − 13 ]
3 2x
Vyˇreˇste rovnice a zapiˇste podm´ınky pro parametr p tak, aby rovnice mˇela jedin´e ˇreˇsen´ı: 3x − 4 − 2p2 p+2
[x = −2p ; p 6= 1, −2]
2x − 3 2p2 − x + 1 = 3 p−1
[x = 3p ; p 6= − 12 , 1]
5) x − 2 = 6)
B) Kvadratick´ e rovnice Koˇreny kvadratick´e rovnice ax2 + bx + c = 0 , √ √ −b + b2 − 4ac −b − b2 − 4ac x1 = , x2 = . 2a 2a Vyˇreˇste: 7) x2 − 7x + 12 = 0
a, b, c ∈ R ,
jsou ˇc´ısla:
[x1 = 3 , x2 = 4]
6
x+2 2x − 1 = x+3 3x + 1 √ 9) 2 x + 2 = x + 1 √ 10) 2 x + 5 = x + 2
[x1,2 = −1 ± i2]
8)
11) √
[x = 1 +
√
8]
[x = 4]
√ √ 4 + 3x + 1 = 5x 3x + 1
[x = 5]
√
12) 13) 14) 15) 16)
s √ 2− x 1 = 2−x 2−x √ √ √ 2x + 5 + 5x − 9 = 7x + 2 √ 1 + x + 11 = x √ x+ 3 2x √ =2 − x x+ 3 √ 3x + 1 = x − 2 q
17)
[x = 0] [x = 2] [x = 5] [x1,2 = ±1] [x =
p
1 + x x2 + 24 = x + 1
√
7 2
+
37 2 ]
[x1 = 0 , x2 = 5] p
18) x2 + 4ax + 36 = 0
[x1,2 = −2a ± 2 a2 − 9]
19) Pro jak´e ˇc´ıslo a ∈ R m´a n´asleduj´ıc´ı kvadratick´a rovnice dvojn´asobn´ y koˇren? (a − 1)x2 + 2(a + 1)x + a − 2 = 0
[a = 15 ]
20) Urˇcete ˇc´ıslo p tak, aby souˇcet druh´ ych mocnin koˇren˚ u n´asleduj´ıc´ı rovnice byl nejmenˇs´ı. x2 + (p − 2)x − p + 1 = 0 [p = 1] 21) Urˇcete a, b, c ∈ R pro f (x) = ax2 + bx + c tak, aby f (−1) = 2 , f (0) = 1 , f (2) = 3 . [ 23 x2 − 31 x + 1] C) Rovnice s absolutn´ı hodnotou Definice absolutn´ı hodnoty ˇc´ısla x ∈ R ,
|x| = max {x, −x} .
Plat´ı: |x| = x pro x ≥ 0 , |x| = −x pro x ≤ 0 . Proto rovnice s absolutn´ı hodnotou rozdˇelujeme na pˇr´ıpady, kdy v´ yrazy v absolutn´ı hodnotˇe jsou nez´aporn´e a nekladn´e. 22) |2x + 1| − |2x| + 1 = 2x
[x = 1] − 21
(−∞, − 21 i
a) x ∈ −2x − 1 + 2x + 1 = 2x x=0 nevyhovuje
æ
0 h− 12 , 0i
b) x ∈ 2x + 1 + 2x + 1 = 2x x = −1 nevyhovuje
7
c) x ∈ h0, ∞) 2x + 1 − 2x + 1 = 2x x=1 vyhovuje
[x = − 35 ]
23) 1 − 2|x + 1| = 3x + 2 24) |3 − 2x| + x = 1
[neexistuje ˇreˇsen´ı]
25) 1 − 2|3 − x| = 3x + 1
[x = −6]
26) −2x − |3x − 2| = 2x − 1
[x = −1]
27) |x − 3| = 2x + 3 28) |x| = x − 1
42) 2|x − 3| + |6 − 2x| = |x + 7| [x1 =
44) |x| + |x − 2| = x + 1
[x = − 12 ] [x =
31) 2|x − 4| + 7 = 3x + 3
[x =
46) |2x + 1| − |x + 3| = 2(1 − x) − 3 [x1 = −3 , x2 = 31 ]
11 9 ] 12 5 ]
47) 2|5 − x| + 3(x + 1) = 2|x| + 9 [x1 = − 43 , x2 = 4 , x3 =
1 32) 4(x + 3) − 2x = |x + | [x = −4 16 ] 2 3 33) 5|x − 3| − 6 = 3(x + 2) [x1 = 27 2 , x2 = 8 ] 1 34) |x| = x + 1 2 35) 4|x − 2| + 5x = 15
[x1 = 2 , x2 =
5 6 37) |x − 10| = 4 + 2x 36) 3x − |2x − 1| =
38) 1 − 2|x + 1| = 3x 39) |7 − x| − |2x + 1| = 2 + x 40) |x| + |x − 1| = 1 41) 2x − |7 − x| = 3 + |2 − x|
23 9 ]
[x =
11 30 ]
16 3 ]
48) x + 4 − |x − 2| = |x| − 4 [x1 = −2 , x2 = 10] 49) |x − 2| + 2|1 − x| = 2|x| − 1 [x1 = 1 , x2 = 3] 3 50) |x − 1| + |x + 1| − = |x| 2 [x1 = − 32 , x2 = − 12 , x3 = 21 , x4 = 32 ]
− 23 ]
[x =
[x1 = 1 , x2 = 3]
45) |3x + 6| − |x − 2| = 2(x + 1) [x1 = − 52 , x2 = −1]
[neexistuje ˇreˇsen´ı]
30) 3 + 4|x − 2| = 5x
x2 = 1]
43) |x − 1| + |x + 1| + 1 = |x| [neexistuje ˇreˇsen´ı]
[x = 0]
29) 4(x + 1) = |2x − 1|
19 3 ,
51) |3 − 2x| + |x − 5| = 1 + 2|x − 1| [x1 = 3, x2 = 7]
[x = 2]
52) |2x + 6| − |4 − 2x| + |x + 7| = 4 pro x ∈ h−2, 2i [x = −1]
[x = − 15 ] [x = 1]
53) |x + 7| − |x − 4| = |6 − x| pro x ∈ h−3, 3i
[x ∈ h0, 1i]
[x = 1]
[x = 4]
D) Exponenci´ aln´ı a logaritmick´ e rovnice Exponenci´aln´ı funkce ax je definov´ana pro a > 0 , x ∈ R . Logaritmick´a funkce logb x je definov´ana pro b ∈ (0, 1) ∪ (1, ∞), x > 0 . ax 1 Plat´ı: ax · ay = ax+y , = ax−y , a−x = x , ay a x log x + log y = log (x · y) , log x − log y = log , log xn = n · log x , y loga x = logb x · loga b , loga a = 1 , loga 1 = 0 . Znaˇcen´ı: log x = log10 x , ln x = loge x . ˇ sen´e pˇr´ıklady: Reˇ 54)
1 ⇒ 2x = 2−2 ⇒ x = −2 nebo 4 log 2x = log 4−1 ⇒ x log 2 = −1 log 22 ⇒ x log 2 = −2 log 2 ⇒ x = −2 ,
a) 2x =
b) 2x = 1 ⇒ 2x = 20 ⇒ x = 0 , c) 2x = −3 ,
neexistuje ˇreˇsen´ı (ax > 0) , log 3 d) 2x = 3 ⇒ x log 2 = log 3 ⇒ x = ⇒ x = log2 3 , log 2 √ 3 5 e) 2x = 8 ⇒ 2x = 2 5 ⇒ x = 35 .
8
10 3
55) 4 · 3x + 2 · 3x+1 = 4 · 3x + 2 · 3 · 3x =
[x = −1]
10 3
⇒ 3x =
1 3
⇒ x = −1
56) 42x+1 = 65 · 4x−1 − 1
[x1 = 1 , x2 = −2]
x
2
Substituce: y = 4 , x1 = 1 , x2 = −2 .
4y =
65 4 y
−1 ⇒
16y 2
− 65y + 4 = 0 ⇒ (16y − 1)(y − 4) = 0 ⇒
57) log(x + 3) + log(x − 2) = 2 − log 2 Podm´ınky: x > −3 ∧ x > 2 ⇒ x > 2
[x = 7]
log(x + 3) · (x − 2) = log 100 − log 2 ⇒ log(x2 + x − 6) = log 50 ⇒ x2 + x − 56 = 0 ⇒ x1 = 7 , x2 = −8 (nevyhovuje). ˇ ste: Reˇ 58) 2 · 3x+1 − 6 · 3x−1 − 3x = 9
[x = 1]
x
59) 22x+1 + 4x+1 + 16 2 = 28
[x = 1]
60) 163x−2 − 2 · 8x = 0 √ 5 2 61) 2x −6x− 2 = 16 2
[x = 1] [x1 = 7 , x2 = −1]
62) 4x − 2x+1 + 5 = log2 16
[x = 0]
63) 22+x − 22−x = 15
[x = 2]
64)
log(x2 + 14) =2 log(7 − x)
65)
log(x2 + 5) =1 2 log(3 − x)
[x = 23 ]
66)
1 log(2x − 3) = log(x − 3) 2
[x = 6]
67)
1 log(2x + 5) = log(x − 5) 2
[x = 10]
68) 2 log x − log
[x =
√ 1 1 + log 2 x = log x3 − log − 2 x 2
69) log x3 − log 2x − log
√
x=
1 log x − log 20 + 2 2
70) log(4x − 3) + log(3x − 4) − log(3 − x) − log(x − 1) = 1
35 14 ]
[x = 10−4 ] [x = 10] [x = 2]
71) (log x)log x = 1
[x = 10]
72)
32x−1 log 4 = 32+x log 2
[x = log3 54]
73)
21−5x log 81 = −2−3x 2 log 9
74)
3 2x−1 8 x+3
2
·
27
[x = 1] =
16 81
[x = −6]
9
75)
25 1−x 7 x
·
49
5
=
49 3
[x = 38 ]
25
E) Soustavy rovnic Soustavy rovnic lze ˇreˇsit napˇr. eliminac´ı: x+y = 1 3x − 2y = 8 x = 1−y 3(1 − y) − 2y = 8 3 − 3y − 2y = 8 −5y = 5 y = −1 x−1 x
= =
[x = 1, y = −3]
79) x − 3y = 8 x2 − 24y = 100 2
2
2
√ [x = 4 ±√ 13] [y = 23 (−2 ± 13)]
80) x + y = 25 4x + 3y = 25
[x = 4 , y = 3]
81) x + y = 1 2x − y = 1 82) x2 + y 2 = 4 y−x+4=0
= =
1 −1
Jednu z rovnic vyn´asob´ıme konstantou tak, aby po seˇcten´ı (odeˇcten´ı) obou rovnic vznikla rovnice s jednou nezn´amou.
83) x2 + y 2 = 9 3y = x − 3
[x1 = 3 , y1 = 0] 9 [x2 = − 12 5 , y2 = − 5 ]
Urˇcete parametr m tak, aby soustava mˇela ˇ sen´ı naleznˇete. jedin´e ˇreˇsen´ı. Reˇ
[neexistuje ˇreˇsen´ı]
78) x − 3y = 10 3x − 2y = 9
2
2+y y
1 2
Z jedn´e rovnice vyj´adˇr´ıme prvn´ı nezn´amou pomoc´ı druh´e nezn´am´e. Toto vyj´adˇren´ı dosad´ıme do druh´e rovnice a dostaneme jednu rovnici s jednou nezn´amou. ˇ ste: Reˇ 76) 2x − y = 1 −6x + 3y = −3 [y = 2x − 1 , x ∈ R] 77) x + 2y = 1 −2x − 4y = 0
ekvivalentn´ımi u ´pravami rovnic: x+y = 1 /·2 3x − 2y = 8 2x + 2y = 2 3x − 2y = 8 5x + 0y = 10 x = 2
84) y = (x − 1)2 + 2 2x − y + m + 1 = 0
[m = −2] [x = 2 , y = 3]
85) y = (x − 1)2 + 3 x − y + 2m = 0
[x =
86) y = (1 − x)2 + m − 3 2x + y − 10 = 0
[m = 12] [x = 0 , y = 10]
3 2
[m = 87 ] , y = 13 4 ]
87) y = (3 − x)2 + 2m + 5 x−y+4=0
[x =
[x1 = 0 , y1 = −1] [x2 = 54 , y2 = 35 ]
88) y = (x − 3)2 − 3m + 5 4x − y + 7 = 0
[m = −6] [x = 5 , y = 27]
[neexistuje ˇreˇsen´ı]
89) y = (x + 1)2 + m2 + m + 4 2x + 3 − y + m = 0 [neexistuje ˇreˇsen´ı]
7 2
[m = 89 ] , y = 15 2 ]
90) Naleznˇete ˇreˇsen´ı v z´avislosti na parametru a ∈ R. 3x + (a − 1)y = 12 (a − 1)x + 12y = 24 [x =
24 5+a
,y =
12 5+a
, a 6= −5, 7] , [a = −5 neexistuje ˇreˇsen´ı , [a = 7 , x = 4 − 2y , y ∈ R]
10
Nerovnice Pˇri u ´pravˇe nerovnic se pouˇz´ıvaj´ı stejn´e u ´pravy jako pˇri u ´pravˇe rovnic. Pozor, pˇri n´asoben´ı a dˇelen´ı z´aporn´ ym ˇc´ıslem pˇrech´az´ı nerovnost v obr´acenou nerovnost. 1 + 2x > −1 3 −(1 + 2x) < 3 −2x <
4
/ · (−3)
n´asoben´ı z´aporn´ ym ˇc´ıslem
/+1 / : (−2)
dˇelen´ı z´aporn´ ym ˇc´ıslem
x > −2
1) 3 −
3x 5 4x − 3 < − 2 8 6
[x ∈ ( 94 , ∞)]
7x − 1 5 + 3x 2) + 6 > 5x − [x ∈ (−∞, 7)] 3 2 x 3x + 1 3) 5 − < 2,5 − [x ∈ (31, ∞)] 3 12 4) 2(1 − 2x)2 ≥ 2x + 5 [x ∈ (−∞, − − 41 i ∪ h 23 , ∞)] 5) (x − 3)2 < 2x(x + 2) − (x + 1)2 + 4 [x ∈ ( 34 , ∞)] 6)
3x − 5 1 ≥ x2 + 4x − 5 2
[x ∈ (−5, 1)]
7) x2 + x − 2 < 0
[x ∈ (−2, 1)]
8) 2x − 3 > 5 ∧ −x + 5 < 6
[x ∈ (4, ∞)]
9) |x − 2| < 5 3 −1≥0 10) |x + 1|
[x ∈ (−3, 7)]
17) |x − 6| < x2 − 5x + 9 [x ∈ (−∞, 1) ∪ (3, ∞)] 18) 19) 20) 21)
22) log |x + 1| < 2 23) 24)
[x ∈ (−4, −1) ∪ (−1, 2)]
|3 − 5x| 11) >6 x−2 12) 3x − |2x − 1| ≤ 5 − x √ 13) x + 2 > x
25) [x ∈ (2, 9)] [x ∈ (−∞, 2i] [x ∈ (−1, 2)]
x |3 + 2x| < 3x − [x ∈ ( 41 , ∞)] 2 4 15) |2x + 7| ≥ 3 [x ∈ (−∞, −5i ∪ h−2, ∞)] √ √ 2 16) |x + x − 2| < x [x ∈ ( 3 − 1, 2)] 14) −
11
x − 3 [x ∈ (−∞, 1) ∪ ( 73 , ∞)] x − 2 < 2 x+2 [x ∈ (− 32 , −1)] 3x + 4 > 1 2 x − 8 [x ∈ (−3, − 38 ) ∪ (0, ∞)] x+2 <x+4 2 2x + 1 [x ∈ (−∞, 2)] x + 1 > 2x − 1
26)
[x ∈ (−101, −1) ∪ (−1, 99)] 2 log x + 3 5 1≤ ≤ [x ∈ h1, 10i] 3 3 log x + 1 1< <2 [x ∈ (102 , 105 )] 3 1 2 5 1 < log x + 1 < [x ∈ (10− 2 , 10 3 )] 2 3 2 < log |x| + 3 < 4 [x ∈ (−10; −0,1) ∪ (0,1; 10)]
27) 0 <
log |x − 1| + 1 ≤1 2 [x ∈ (h−9; 0,9) ∪ (1,1; 11i]
28) | log x − 1| < 2 x 29) | log − 1| ≥ 2 2
[x ∈ (10−1 , 103 )] [x ∈ (0, 15 i ∪ h2 · 103 , ∞)]
Goniometrick´ e v´ yrazy, rovnice a nerovnice. Pˇri u ´prav´ach goniometrick´ ych v´ yraz˚ u vyuˇz´ıv´ame n´asleduj´ıc´ıch vztah˚ u: sin(α ± β) = sin α cos β ± sin β cos α ,
cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin β sin α .
Pro α = β dostaneme: cos2 α + sin2 α = 1 , sin 2α = 2 sin α cos β , cos 2α = cos2 α − sin2 α, 2 sin2 α = 1 − cos 2α , 2 cos2 α = 1 + cos 2α . Dokaˇzte n´asleduj´ıc´ı identitu a napiˇste podm´ınky, za kter´ ych je splnˇena: sin 2x cos x x · = tg 1 + cos 2x 1 + cos x 2 Podm´ınky: 1 + cos 2x 6= 0 ⇒ 2x 6= π + 2kπ, 1 + cos x 6= 0 ⇒ x 6= π + 2kπ, k ∈ Z. π Tedy: x 6= π + 2kπ ∧ x 6= + kπ . 2 2 sin x2 cos x2 x sin 2x cos x 2 sin x cos2 x sin x ´ = tg . Upravy: · = = = x 2 2 1 + cos 2x 1 + cos x 2 cos x(1 + cos x) 1 + cos x 2 cos 2 2 Pro goniometrick´e funkce plat´ı: funkce\´ uhel
0
sin x
0
cos x
1
π 6 1 2 √ 3 2
π 4 √ 2 2 √ 2 2
π 3 √ 3 2 1 2
π 2
2π 3 √ 3 2
1
−
0
1 2
3π 4 √ 2 2 √ 2 − 2
5π 6
π
1 2 √
0
−
3 2
−1
Upravte: 1)
sin2 x − tg 2 x cos2 x − cotg 2 x
sin x 6 [( cos x) ,
x 6= k π2 , k ∈ Z]
Vyˇreˇste: 2) sin x(1 + 2 cos x) − tg x = 0 √ x 2 π 2 3 + =− 3) √ tg 2 4 3 3 √ √ 4) 7 sin x − 2 = − 2 cos x
[x1 = kπ, x2 =
1 2 − √ cotg x − 2 = 0 2 sin x 3
[x = 56 π+ 2kπ] [x1 = 35 π + 2kπ, x2 = [x1 = 32 π + kπ, x2 =
7) sin x = 1 − cos 2x
π 6
+ kπ, x3 =
[x1 = kπ, x2 =
π 6
π 3
π 3
+ 2kπ]
+ kπ, x4 = − π6 + kπ]
+ 2kπ, x3 = 56 π + 2kπ] [x = − π4 + kπ]
8) tg x = −1 9) sin 2x = −
+ 2kπ, x3 = − π3 + 2kπ] [x = −π + 2kπ]
5) 2 sin2 x = 3 cos x 6)
π 3
1 2
π [x1 = − 12 + kπ, x2 =
12
7 12 π
+ kπ]
10) sin x + sin 2x = tg x
[x1 =
11) 2 cos2 x + 3 cos x + 1 = 0
[x1 =
1 cos x
16) tg 3 x + tg 2 x − 3tg x − 3 = 0
+ kπ, 43 π + kπ, x3 = kπ]
[x =
π 4
+ kπ]
[x1 = kπ, x2 =
π 4
+ kπ]
[x1 = 13 π + kπ, x2 = 23 π + kπ, x3 = 43 π + kπ] [x = 23 π + 2kπ]
17) 2 cos 2x − 4 cos x = 1 18) sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x = 0
[x1 = kπ, x2 =
2 = (1 + tg 2 x)cotg x sin 2x
π 2
+ kπ]
[x ∈ R\{ 12 kπ}] [x1 = 61 π + kπ, x2 = 56 π + kπ, x3 = 12 π + kπ]
20) tg 2x − cotg x = 0 21) tg
π 4
. [x = π + 2kπ, x = 2.22 + 2kπ]
13) sin x + 2 cos x = −2 √ √ 14) 3 − cotg x = (2 + 3)cotg x − 3
19)
+ 2kπ, x2 = 35 π + 2kπ, x3 = kπ]
[x1 = 23 π + 2kπ, x2 = 43 π + 2kπ, x3 = π + 2kπ]
12) tg x = sin 2x
15) sin x + cos x =
π 3
x = 1 − cos x 2
[x1 = 2kπ, x2 = 12 π + 2kπ]
22) | sin x| = sin x + 2 cos x
[x1 = 21 π + 2kπ, x2 = 74 π + 2kπ]
x =1 2
[x1 = kπ, x2 = 31 π + 4kπ, x3 = 53 π + 4kπ]
23) cos2 x + sin x cos
24) (cos2 x − 1)cotg 2 x = −3 sin x 25) cos 2x − 3 cos x = 4 cos2
[x1 = 61 π + 2kπ, x2 = 56 π + 2kπ]
x 2
[x1 = 23 π + 2kπ, x2 = 43 π + 2kπ]
x = 1 + cos x 2 x 27) 2 sin = 1 − cos x 2
[x1 = π + 2kπ, x2 = 23 π + 4kπ, x3 =
26) cos
10 3 π
+ 4kπ]
[x1 = 2kπ, x2 = π + 4kπ] [x1 = 2kπ, x2 = 12 π + kπ]
28) 2 cos x − cos 2x = 1
[x1 = 13 π + 2kπ, x2 = 53 π + 2kπ, x3 = π + 2kπ]
29) cos x + cos 2x = 0 30) cos2 x − sin2 x − cos x = 0
[x = 23 kπ]
31) cos x + sin 2x = 0
[x1 = 12 π + kπ, x2 = 76 π + 2kπ, x3 =
32) sin x + cos 2x > 1
[x ∈ (0 + 2kπ, π6 + 2kπ) ∪ ( 65 π + 2kπ, π + 2kπ)]
33) cos x >
1 2
11 6 π
+ 2kπ]
[x ∈ (− π3 + 2kπ, π3 + 2kπ)] [x ∈ ( π4 + 2kπ, 54 π + 2kπ)]
34) sin x > cos x
13
Funkce, definiˇ cn´ı obory, grafy funkc´ı Funkce sin x cos x ex tg x cotg x x2
Definiˇcn´ı obor R R R R \ { π2 + kπ}, k ∈ Z R \ {kπ}, k ∈ Z R
Funkce arcsin x arccos x ln x arctg x arccotg x √ x
Definiˇcn´ı obor h−1, 1i h−1, 1i (0, ∞) R R (0, ∞) y 6
π+
y 6
sin x
1+
+ + + + + + + + -π π cos x -1+
arccos x + π/2 -
x + -1
y
+ 1 x arcsin x + -π/2 y
æ
æ
6
6 x 1+ e
+ -1 -1+
x2
ln x
√
x
-
x
1
1+ + -1 -1 + æ
y
+ 1
-
x
y
6
æ
6
tg x π/2 +
arctg x
1+ + -π/2
arcotg x + 1
-
x
-1+
+ π/2
+ -x π
cotg x -π/2 + æ
14
æ
Urˇcete definiˇcn´ı obory funkc´ı: √ 1) y = x + 1 − x s
x−2 1 − 3x
2) y = 3) y =
[D(y) = (−∞, 1i]
x2
[D(y) = ( 13 , 2i]
x + 8x + 7
[D(y) = R \ {−1, −7}]
1 4) y = p |x| − x − 1 5) y = log 6) y = 7) y = 8) y =
p
√ √
[D(y) = (−∞, − 21 )]
x+2 x−3
[D(y) = (−∞, −2) ∪ (3, ∞)]
x2 − 4x + 3
[D(y) = (−∞, 1i ∪ h 3, ∞)]
x + 1 + log (x2 − 3x) x+2+
[D(y) = h−1, 0)∪ (3, ∞)]
1 log(1 − x)
[D(y) = h−2, 0) ∪ (0, 1) ]
9) y = log(2x2 + 4x − 6) s
10) y = 11) y =
√
[D(y) = (−∞, −3) ∪ (1, ∞)]
1 − cotg x 1 + cotg x
1 + 2 sin x −
[D(y) = h √
1 − 2 sin x
+ kπ, 34 π + kπ)]
13 [D(y) = h 56 π + 2kπ, 76 π + 2kπi ∪ h 11 6 π + 2kπ, 6 π + 2kπi]
Sestrojte grafy n´asleduj´ıc´ıch funkc´ı: √ x2 + 6x + 9 1) y = x+3 2) y = |x + 1| − |1 − x|
5) y = tg x , y = tg x +
x + |x| 2x2 |x| + x 4) y = x
8) y = ex−1
3) y =
π 4
π , y = |tg x| 3 π π 6) y = sin x + , y = sin x + +2 4 4 7) y = log x , y = log(x + 2) , y = log(x + 2) − 3
15
Posloupnosti redpisem Re´aln´a posloupnost je zobrazen´ı z N do R . Znaˇc´ıme (an )∞ n=1 = {a1 , a2 , a3 , · · · , an , · · ·}. Pˇ sn = a1 + a2 + · · · + an definujeme n-t´ y ˇc´asteˇcn´ y souˇcet posloupnosti (an ). Pro aritmetickou posloupnost (AP) plat´ı: an = an−1 + d, kde a1 , d ∈ R, n ∈ N, (a1 + an ) · n sn = . 2 Pro geometrickou posloupnost (GP) plat´ı: an = an−1 · q, kde a1 , q ∈ R, n ∈ N, 1 − qn a1 s n = a1 (q 6= 1), sn = na1 (q = 1) , n→∞ lim sn = s∞ = s = (pro |q| < 1). 1−q 1−q n ∞ Dok´aˇzeme, ˇze posloupnost nen´ı ani aritmetick´a, ani geometrick´a: n + 1 n=1 n−1 n · n − (n − 1)(n + 1) 1 n − = = , d nen´ı kond = an − an−1 = n+1 n−1+1 (n + 1)n n(n + 1) stanta. n an n2 n2 n+1 q= = n−1 = = 2 q nen´ı konstanta. an−1 (n + 1)(n − 1) n −1 n−1+1 1) Dokaˇzte, ˇze posloupnost
2n − 1 ∞
3
n=1
[d = 23 ]
je aritmetick´a.
ˇ astka 1225 Kˇc se m´a rozdˇelit tak, aby prvn´ı osoba dostala 100 Kˇc a kaˇzd´a dalˇs´ı vˇzdy o 5 Kˇc 2) C´ v´ıce. Kolik osob lze takto podˇelit a kolik dostane posledn´ı osoba. [n = 10, a10 = 145 Kˇc] 3) Urˇcete AP, v n´ıˇz souˇcet prvn´ıch tˇr´ı ˇclen˚ u je 3, souˇcet druh´ ych mocnin tˇechto prvn´ıch tˇr´ı ˇclen˚ u je 35. [a1 = 5, d = −4; a1 = −3, d = 4] 4) Urˇcete AP, v n´ıˇz souˇcet prvn´ıch tˇr´ı ˇclen˚ u je 27, souˇcet druh´ ych mocnin tˇechto prvn´ıch tˇr´ı ˇclen˚ u je 275. [a1 = 5, d = 4; a1 = 13, d = −4] 5) Urˇcete vˇsechny AP takov´e, ˇze sn = 7n2 − 3n.
[a1 = 4, d = 14]
6) Urˇcete vˇsechny AP takov´e, ˇze a2 + a5 − a3 = 10, a1 + a6 = 17.
[a1 = 1, d = 3]
7) Urˇcete vˇsechny AP takov´e, ˇze a1 + a7 = 22, a3 · a4 = 88.
[a1 = 2, d = 3]
8) Urˇcete vˇsechny AP takov´e, ˇze a7 = 21, s7 = 105.
[a1 = 9, d = 2]
9) Urˇcete a + 1 v AP, jestliˇze a10 = 37, s10 = 190.
[a1 = 1]
10) V AP m´a platit a2 − a3 + a5 = 30, a1 + a6 = 38. Urˇcete a12 , s12 .
[a12 = 206, s12 = 1020]
11) V rostouc´ı AP m´a platit a1 + a2 = 4, a21 + a22 = 10. Urˇcete a10 , s10 .
[a10 = 19, s10 = 100]
12) V AP m´a platit a1 + a4 = −14, a2 + a5 = −10. Urˇcete a10 , s10 .
[a10 = 8, s10 = −10]
13) V AP m´a platit a1 + a4 = 22, a2 + a5 = 26. Urˇcete a5 , s5 . 14) V AP urˇcete a10 , je-li sn = n(3n − 5).
[a5 = 16, s5 = 60] [a10 = 52]
15) Najdˇete vˇsechny GP, v nichˇz souˇcet prvn´ıho a ˇctvrt´eho ˇclenu je 18, souˇcet druh´eho a tˇret´ıho ˇclenu je 12. [a1 = 2, q = 2; a1 = 16, q = 12 ] 16) Pr˚ uchodem sklenˇenou deskou se zeslabilo svˇetlo na zeslab´ı, projde-li ˇctyˇrmi stejn´ ymi deskami.
16
11 12
sv´e p˚ uvodn´ı intenzity. Jak se svˇetlo 4 [( 11 at] 12 ) kr´
17) Pˇriˇcteme-li k ˇc´ısl˚ um 2,7,17 tot´eˇz ˇc´ıslo, vzniknou prvn´ı tˇri ˇcleny geometrick´e posloupnosti. Kter´e ˇc´ıslo jsme priˇcetli? [x = 3] 18) Pro x ∈ h0, 2πi ˇreˇste rovnici: 1 + sin2 x + sin4 x + sin6 x + · · · = 2tg x .
[x1 = π4 , x2 =
5π 4 ]
8 6 2 4 − + ··· = + . x x2 x3 x+5
[x1 = 4, x2 = −3]
20) Najdˇete a5 v GP, pro kterou plat´ı: a1 = 3, a3 = 21.
√ [q = ± 7, a5 = 147]
19) V R ˇreˇste rovnici: 1 −
21) Najdˇete GP, pro kterou plat´ı: a1 = 2, ap = 13122, sp = 19682, p ∈ N.
[q = 3]
22) Urˇcete a1 , a7 v GP, pro kterou plat´ı: q = 2, s7 = 635.
[a1 = 5, a7 = 320]
23) Urˇcete q , s5 v GP, pro kterou plat´ı: a1 = 3, a5 = 12 288.
[q = 8, s5 = 14043]
24) Urˇcete a5 v GP, pro kterou plat´ı: a4 − a1 = 14, a3 − a2 = 4.
[a5 = 32, a5 = −1] [a5 = − 16 , a5 = −2]
25) Urˇcete a5 v GP, pro kterou plat´ı: a1 + a2 + a3 = −2, a1 + 4 = a2 .
Kombinatorika, binomick´ a vˇ eta, matematick´ a indukce !
n! n (kombinaˇcn´ı ˇc´ıslo). Definujeme n! = 1 · 2 · 3 · · · n (n faktori´al), = (n − k)! · k! k Poˇcet vˇsech uspoˇr´ad´an´ı n prvk˚ u (permutac´ı) je n! . Napˇr. 6 r˚ uzn´ ych pastelek lze uloˇzit vedle sebe 6! (= 720) zp˚ usoby. Pokud chci vybrat dvˇ e pastelky z tˇechto ˇsesti a nez´aleˇz´ı mi na jejich poˇ rad´ı, pak to mohu 6 6! usoby. (Poˇcet kombinac´ı k prvk˚ u z n prvk˚ u je nk ). uˇcinit 2 = 4!·2! = 15 zp˚ V pˇr´ıpadˇe, ˇze bude z´aleˇ zet na poˇrad´ı (napˇr. tah ˇcerven´e, pak ˇzlut´e je jin´ y neˇz tah ˇzlut´e, 6 pak ˇcerven´e), pak m´ame 2 · 2! = 30 moˇznost´ı. (Variace k prvk˚ u z n prvk˚ u). Binomick´a vˇeta: n n n 0 n n−1 1 n 0 n X n n−i i (a + b) = a b + a b + ··· + ab = a b 0 1 n i=1 i
!
!
!
!
n
Matematick´ a indukce: Pomoc´ı MI dokazujeme, ˇze nˇejak´ y v´ yrok V (n) plat´ı pro pˇrirozen´a ˇc´ısla. 1) Dok´aˇzeme platnost pro nˇejak´e pˇrirozen´e ˇc´ıslo n0 , tedy V (n0 ). 2) Dok´aˇzeme, ˇze pokud plat´ı V (n), pak plat´ı V (n + 1). n(n + 1) Pomoc´ı matematick´e indukce ovˇeˇr´ıme platnost vztahu: 1 + 2 + 3 + · · · + n = . 2 1(1 + 1) Nejdˇr´ıve pro n = 1 : 1 = tedy v´ yrok V (n) plat´ı. 2
17
D´ale pˇredpokl´ad´ame, ˇze plat´ı n´aˇs vztah pro n a dok´aˇzeme, ˇze tento vztah plat´ı i pro n + 1. Chceme tedy dok´azat platnost rovnosti: (n + 1)(n + 1 + 1) 1 + 2 + 3 + · · · + n + (n + 1) = . 2 n(n + 1) n(n + 1) + 2(n + 1) Podle pˇredpokladu plat´ı: 1+2+3+· · ·+n+(n+1) = +(n+1) = 2 2 (n + 1)(n + 2) = . Vztah tedy plat´ı. 2 Vypoˇctˇete: !
!
x−1 x x 1) 2 = + x−2 0 2 !
x x+4 2) 12 + x−1 x+2 !
!
[x1 = 2, x2 = 3]
!
= 162
[x = 8]
!
3)
n n−1 + 2 2
4)
x 2
=4
[n = 3]
!
=x+9
[x = 6]
5) Kolik je moˇzno utvoˇrit z ˇc´ıslic 0 aˇz 9 ˇctyˇrcifern´ ych ˇc´ısel, sm´ı-li se v dan´em ˇc´ısle kaˇzd´a ˇc´ıslice vyskytnout jen jednou? [4536] 6) V roˇcn´ıku se vyuˇcuje dvan´acti pˇredmˇet˚ um. Kolika zp˚ usoby lze sestavit rozvrh na jeden den, pˇripad´a-li na tento den pr´avˇe 6 r˚ uzn´ ych jednohodinov´ ych pˇredmˇet˚ u. [924] 7) Urˇcete minim´aln´ı poˇcet prvk˚ u koneˇcn´e mnoˇziny, z nichˇz lze vytvoˇrit 272 uspoˇr´adan´ ych dvojic, ve kter´ ych se ˇz´adn´ y prvek neopakuje. [17] 8) Vyb´ır´ame 5 karet z 52 hrac´ıch karet. Kolika zp˚ usoby je lze vybrat tak, ˇze: a) vˇsechny maj´ı srdcovou barvu; b) vˇsechny maj´ı stejnou barvu ; c) obsahuj´ı pr´avˇe tˇri d´amy; d) obsahuj´ı alespoˇ n dvˇe esa? [a) 1287; b) 5148; c) 4512; d) 108 336] 9) Sedm stejn´ ych m´ıˇc˚ u je um´ıstˇeno do sedmi koˇs˚ u tak, ˇze v jednom koˇsi jsou pr´avˇe dva m´ıˇce a v ostatn´ıch je nejv´ yˇse jeden m´ıˇc. Kolika zp˚ usoby je lze takto rozdˇelit? [42] √ √ √ √ [−11 2 − i31 3] 10) Pomoc´ı binomick´e vˇety vypoˇc´ıtejte: ( 2 + i 3)5 11) Pomoc´ı binomick´e vˇety umocnˇete a urˇcete ˇctvrt´ y ˇclen (2x3 − 3y 2 )5 Pomoc´ı matematick´e indukce dokaˇzte: 12) 1 + q + q 2 + · · · + q n−1 =
1 − qn 1−q
13) 12 + 22 + 32 + · · · + n2 =
n(n + 1)(2n + 1) 6
14)
n X
1 1 1 1 1 n = + + + ··· + = k(k + 1) 1 · 2 2 · 3 3 · 4 n · (n + 1) n + 1 k=1
18
[−1080x6 y 6 ]
Komplexn´ı ˇ c´ısla Algebraick´ y tvar komplexn´ıho ˇc´ısla: z = a+ib, kde a, b ∈ R, a je re´aln´a ˇc´ast, b je imagin´arn´ı ˇc´ast komplexn´ıho ˇc´ısla, i je komplexn´ı jednotka, pro kterou plat´ı i2 = −1. Goniometrick´ y tvar komplexn´ıho ˇc´ısla: z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ), |z| je absolutn´ı hodnota, ϕ je argument komplexn´ıho ˇc´ısla. Graficky: Imz 6
zr
b |z|
Plat´ı: |z| =
√
sin ϕ =
ϕ a
a2 + b 2 , b , |z|
tg ϕ = ab ,
cos ϕ =
a . |z|
-
Rez æ
Moivreova vˇeta: (cos ϕ + sin ϕ)n = cos nϕ + i sin nϕ. Eulerova identita: eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ. √ √ √ 1) Pˇreved’te na goniometrick´ y tvar ˇc´ısla z = 3 + i, z = 3 − i, z = −1 + i 3 2π [z = 2(cos π6 + i sin π6 ), z = 2(cos π6 − i sin π6 ), z = 2(cos 2π 3 + i sin 3 )] √ 7π 2) Pˇreved’te na algebraick´ y tvar ˇc´ıslo 2 2(cos 7π [z = 2 − i2] 4 + i sin 4 ).
Vypoˇctˇete souˇcin z1 · z2 a pod´ıl plexn´ıch ˇc´ısel:
Vypoˇctˇete: −2 − i3 3) |3 − i4| +
[6]
3 − i2
i10 − i
5) 6)
7) 8) 9) 10)
√
10 5 ] i2 + 1 1 + i 1 1 1 1 − i − + + − [2] i 1+i 1−i 1−i 1+i 1 + i 6 [−1] 1−i Vypoˇctˇete absolutn´ı hodnotu n´asleduj´ıc´ıch ˇc´ısel: √ 7 + i3 [ 2] 2 + i5 1 1 [ 10 ] (1 + i)(2 − i)(3 + i) √ 3 + i3 2−i− [ 20] 1−i 3 − i2 [ 5−i12 13 ] 3 + i2
4)
[
z1 z2
kom-
5π 11) z1 = 3(cos 5π 6 + i sin 6 ), 4π z2 = 16(cos 4π 3 + i sin 3 ). π [z1 · z2 = 48ei 6 , zz12 =
3 −i π2 ] 16 e
12) z1 = 3 − i, z2 = 2 + i3. [z1 · z2 = 9 + i7, zz12 =
− i11)]
1 13 (3
Vypoˇctˇete: 13) (1 + i)20 1 + i 26 √ 14) 2 √ 15) ( 3 − i)20 16) (1 − i)12 17) (1 + i)8
19
[−1024] [i] [220 (cos 23 π + i sin 23 π)] [−26 ] [16]
18) Uˇzit´ım Moievrovy vˇety a vzorce pro tˇret´ı mocninu dvojˇclenu odvod’te vztahy pro kosinus a sinus trojn´asobn´eho argumentu. [cos 3ϕ = cos3 ϕ − 3 cos ϕ sin2 ϕ; sin 3ϕ = 3 cos2 ϕ sin ϕ − sin3 ϕ] 19) Uˇzit´ım Moievrovy vˇety vyj´adˇrete sin 4x, cos 4x tak, aby z´ıskan´e v´ yrazy obsahovaly jen mocniny sin x a cos x. [cos 4ϕ = cos4 ϕ − 6 cos2 ϕ sin2 ϕ + sin4 ϕ; sin 4ϕ = 4 cos3 ϕ sin ϕ − 4 cos ϕ sin3 ϕ] ˇ ste v oboru C rovnici: Reˇ 20) x3 − 2 = 0
[xk =
√ 3
2kπ 2(cos 2kπ 3 + i sin 3 ), k = 0, 1, 2]
N´avod: x3 = |x|3 (cos 3ϕ + sin 3ϕ) , 2 = 2(cos(0 + 2kπ) + sin(0 + 2kπ)) . 21)
x+2 2x − 1 = x+3 3x + 1
[x = −1 ± i2] 1 3 [z = − 10 − i 10 ]
22) (2 + i3)z + iz = 1 − i
+ i sin −π+2kπ ), k = 0, 1, 2, 3, 4, 5] [xk = 2(cos −π+2kπ 6 6
23) x6 + 64 = 0 √ 24) x4 = −8 + i8 3 √ 25) x5 = −16 3 − i16 √ 26) x = 3 −1 √ 27) x = i
+ i sin π+3kπ [xk = 2(cos π+3kπ 6 6 ), k = 0, 1, 2, 3] [xk = 2(cos π+6kπ + i sin π+6kπ 30 30 ), k = 0, 1, 2, 3, 4] [xk = (cos π+2kπ + i sin π+2kπ 3 3 ), k = 0, 1, 2] [xk = (cos π+4kπ + i sin π+4kπ 4 4 ), k = 0, 1]
28) x6 + i8 = 0 29) (5 + i)z + 2z = i22 , 30)
[xk =
√
2(cos π+2kπ + i sin π+2kπ 6 6 ), k = 0, 1, 2, 3, 4, 5] [z = 1 − i7]
z = x + iy .
x2 − 1 = 4i x−i
[x1 = 1 + i2, x2 = −1 + i2] √
31) x3 + i = 0
√
[x1 = i, x2 = 23 − 2i , x3 = − 23 − 2i ] √ √ [x1 = −2 + i 3i, x2 = −2 − i 3i, x3 = −5]
32) (x + 3)3 = −8
20
Geometrie a trigonometrie Analytick´ a geomerie v rovinˇ e: Znaˇcen´ı: X[x1 ; x2 ], ~a = (a1 ; a2 ), kde x1 , x2 , popˇr. a1 , a2 jsou souˇradnice bodu X, popˇr. vektoru ~x. Skal´arn´ı souˇcin ~a · ~b vektor˚ u ~a = (a1 ; a2 ), ~b = (b1 ; b2 ) je d´an vztahem: ~a · ~b = a1 · b1 + a2 · b2 . Dva vektory jsou kolm´e, jestliˇze ~a · ~b = 0; eˇzn´e, jestliˇze existuje q jsou rovnobˇ 2 2 ~ c ∈ R tak, ˇze ~a = c · b. Pro velikost vektoru plat´ı: k~ak = a1 + a2 . Pro u ´hel α, kter´ y sv´ıraj´ı ~ ~a · b . vektory ~a, ~b plat´ı: cos α = k~ak · k~bk Pˇr´ımka p: y 6
p ~s 7
X
obecn´ y tvar: ax + by + c = 0 , smˇernicov´ y tvar: y = kx + q ,
~n = (a, b) je norm´alov´ y vektor, kolm´ y k pˇr´ımce p.
parametrick´ y tvar: x = x 1 + s1 t y = x 2 + s2 t ,
X[x1 ; x2 ] je libovoln´ y bod pˇr´ımky p a ~s = (s1 ; s2 ) je smˇerov´ y vektor pˇr´ımky p.
k je smˇernice pˇr´ımky p, plat´ı: k = tg ϕ; q je vzd´alenost pr˚ useˇc´ıku pˇr´ımky p s osou y od poˇc´atku.
Z Z ~ ~n Z
ϕ q -
x
æ
Kuˇ zeloseˇ cky: elipsa: hyperbola: parabola: kruˇznice:
(x − s1 )2 (y − s2 )2 + = 1, a2 b2 2 2 (y − s2 ) (x − s1 ) − = 1, a2 b2 2p(y − v2 ) = (x − v1 )2 , (x − s1 )2 + (y − s2 )2 = r2 ,
S[s1 ; s2 ] je stˇred kuˇzeloseˇcky, V [v1 ; v2 ] je vrchol kuˇzeloseˇcky (paraboly), a je hlavn´ı poloosa, b je vedlejˇs´ı poloosa kuˇzeloseˇcky, |p/2| je vzd´alenost ohniska paraboly od jej´ıho vrcholu, r je polomˇer kruˇznice.
Analytick´ a geomerie v prostoru: Rovina ρ:
Pˇr´ımka p:
obecn´ y tvar: ax + by + cz + d = 0 ,
~n = (a, b, c) je norm´alov´ y vektor, kolm´ y k rovinˇe ρ.
parametrick´ y tvar: x = x 1 + r 1 u + s1 v y = x 2 + r2 u + s2 v z = x 3 + r3 u + s3 v
X[x1 ; x2 ; x3 ] je libovoln´ y bod roviny ρ, ~ ~a = (r1 ; r2 ; r3 ) a b = (s1 ; s2 ; s3 ) jsou r˚ uznobˇeˇzn´e vektory leˇz´ıc´ı v rovinˇe ρ; u, v jsou parametry.
parametrick´ y tvar: x = x 1 + s1 t y = x 2 + s2 t z = x 3 + s3 t
X[x1 ; x2 ; x3 ] je libovoln´ y bod pˇr´ımky p a ~s = (s1 ; s2 ; s3 ) je smˇerov´ y vektor pˇr´ımky p; t je parametr.
21
Troj´ uheln´ıky: V´ yˇska je kolmice z vrcholu na protilehlou stranu. Tˇeˇznice je spojnice vrcholu se stˇredem protilehl´e strany. Tˇeˇziˇstˇe dˇel´ı tˇeˇznici v pomˇeru 1:2. Stˇred kruˇznice opsan´e leˇz´ı v pr˚ useˇc´ık˚ u os stran. Stˇred kruˇznice vepsan´e leˇz´ı v pr˚ useˇc´ık˚ u os u ´hl˚ u. Stˇredn´ı pˇr´ıˇcka je spojnice stˇred˚ u stran, je rovnobˇeˇzn´a se stranou, kterou neprot´ın´a a m´a poloviˇcn´ı velikost t´eto strany.
C vc Sb
Sa T
ta A
tb B
æ 1) Pro troj´ uheln´ık v rovinˇe je d´an vrchol A[3; −4], rovnice v´ yˇsky vb : 7x − 2y − 1 = 0 a rovnice v´ yˇsky vc : 2x − 7y − 6 = 0. Vypoˇc´ıtejte souˇradnice vrcholu C. h
i
C[−4; −2]
ˇ sen´ı: Norm´alov´ Reˇ y vektor pˇr´ımky vb , n~b = (7; −2), je z´aroveˇ n smˇerov´ ym vektorem pˇr´ımky b. Parametrick´e vyj´adˇren´ı pˇr´ımky b (obsahuj´ıc´ı stranu b): x = 3 + 7t y = −4 − 2t . Bod C je pr˚ useˇc´ıkem pˇr´ımek b a vc : 2(3 + 7t) − 7(−4 − 2t) − 6 = 0 ⇒ t = −1 ⇒ x = −4 , y = −2 . 2) V rovinˇe vypoˇc´ıtejte souˇradnice bodu B, kter´ y je soumˇern´ y s bodem A[5; −1] podle h pˇr´ımky oi rovnici 3x + 4y + 14 = 0. B[−1; −9] 3) V troj´ uheln´ıku o vrcholech A[4; 6] , B[−4; 0] , C[−1; −4] urˇcete rovnici pˇr´ımky, na n´ıˇz leˇz´ı v´ yˇska va . [−3x + 4y − 12 = 0] 4) Napiˇste rovnice vˇsech pˇr´ımek, kter´e proch´azej´ı bodem h A[−1; 3] a s pˇr´ımkou p o rovnici 4x −i q1 : x = −1 + 3t q2 : x = −1 − t π 2y − 1 = 0 sv´ıraj´ı u ´hel velikosti 4 . y =3+t y = 3 + 3t 5) Napiˇste rovnici pˇr´ımky p, kter´a proch´az´ı bodem A[2; 1] a je kolm´a k vektoru ~n = (2; 7). [2x + 7y − 11 = 0] 6) Naleznˇete ˇc´ıslo a tak, aby bod A[−7; a] byl bodem pˇr´ımky proch´azej´ıc´ı body B[2; 3], C[4; −3]. [a = 30] 7) Napiˇste rovnici teˇcny kruˇznice (x − 2)2 + (y + 1)2 = 25 v bodˇe T [6; 2]
[4x + 3y − 30 = 0]
8) Najdˇete bod X, v nˇemˇz pˇr´ımka AB, kde A[1; 29 ] , B[−4; 3] prot´ın´a osu prvn´ıho ah tˇret´ıhoi kvadrantu.
X[6; 6]
9) Troj´ uheln´ık m´a vrcholy A[2; 1] , B[−4; 3] , C[−3; 2]. Napiˇste obecnou rovnici tˇeˇznice √ta a vypoˇc´ıtejte jej´ı d´elku. [3x + 11y − 17 = 0, 130 2 ] 10) Bodem H[2; −5] ved’te pˇr´ımky, kter´e jsou rovnobˇeˇzn´e s asymptotami hyperboly, kter´a je d´ ana rovnic´ı x2 − 4y 2 = 4. [2y = x − 12 , −2y = x + 8]
22
11) V rovinˇe napiˇste rovnici paraboly, kter´a m´a osu na ose y a proch´az´ı body A[2; 5] , B[1; −1]. [(y + 3) = 2x2 ] 12) Napiˇste rovnici elipsy, kter´a m´a ohniska v bodech F1 [−2; 1] , F2 [4; 1] a d´ helka jej´ı hlavn´ı osy jei 2 y−1 2 10. ( x−1 5 ) +( 4 ) =1 13) V rovinˇe napiˇste rovnici kruˇznice, kter´a m´a stˇred v bodˇe S[5; −1] a dot´ yk´a se pˇr´ımky 3x + 4y + 14 = 0. [(x − 5)2 + (y + 1)2 = 25] 14) Napiˇste rovnici vrcholov´e teˇcny paraboly o rovnici y 2 + 3x + 4y − 8 = 0.
[x = 4]
15) Vypoˇc´ıtejte souˇradnice ohnisek kˇrivky, kter´a je d´ana v rovinˇe rovnic´ı 4x2 + 3y 2 + 4x − 6y = 8. h
F1 [− 12 ; 2] , F2 [− 12 ; 0]
i
16) Napiˇste rovnice teˇcen ke kruˇznici x2 + y 2 = 5, kter´e jsou rovnobˇeˇzn´e s pˇr´ımkou p : 2x − y + 1 = 0. [2x − y ± 5 = 0] 17) Urˇcete rovnici paraboly, kter´a m´a vrchol v poˇc´atku, osu na ose xh a proch´az´ı bodem A[3; −6].i Stanovte t´eˇz jej´ı ohnisko a ˇr´ıd´ıc´ı pˇr´ımku. y 2 = 12x , F [3; 0] , x = −3 18) Jak´a kˇrivka v rovinˇe je urˇcena rovnic´ı 2x2 + 2y 2 + 6x − 10y = 1? Zjistˇetˇe, jestli poˇc´atek P [0; 0] leˇz´ı uvnitˇr t´eto kˇrivky. [kruˇznice , Ano] 19) Najdˇete stˇred a polomˇer kruˇznice, kter´a proch´az´ı body A[2; 1] , B[1; 4] , C[6; 9]. h
i
S[6; 4] , r = 5
20) Napiˇste analytick´e vyj´adˇren´ı nejmenˇs´ı koule, kter´a m´a stˇred S[1; 2; 3] a obsahuje body A[1; 0; 0] , B[1; −3; 0] , C[6; 2; 1]. [(x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = 34] √ √ 21) Hyperbola v rovinˇe m´a osy v souˇradnicov´ ych os´ach a proch´az´ı body M 2; −1].i h [4; √3] a N [2 √ Urˇcete souˇradnice ohnisek t´eto hyperboly. F1 [− 5; 0] , F1 [ 5; 0] 22) Napiˇste rovnici elipsy, kter´a m´a hlavn´ı osu rovnobˇeˇznou s osou x, stˇred S[1; F [−4; 3]i h 3], ohnisko (x−1)2 (y−3)2 a velikost vedlejˇs´ı poloosy b = 4. + 16 = 1 41 23) Pro kter´e hodnoty ˇc´ısla K je rovnice x2 + y 2 + 2x − 6y + K = 0 rovnic´ı kruˇznice? [K < 10] 24) V´ yˇska a rovnobˇeˇzn´e strany lichobˇeˇzn´ıka jsou v pomˇeru 2 : 3 : 5, jeho obsah je P =512 cm2 . Vypoˇctˇete d´elku rovnobˇeˇzn´ ych stran a v´ yˇsku. [16, 24, 40] 25) Rovnoramenn´emu lichobˇeˇzn´ıku lze vepsat kruˇznici. Urˇcete d´elku ramene c lichobˇeˇzn´ıka, zei h jestliˇ z´akladny maj´ı d´elky a, b. c = a+b 2 26) Ukaˇzte, ˇze rovnic´ı x2 − 4y 2 − 6x − 16y − 11 = 0 je d´ana hyperbola. Urˇcete souˇradnice jej´ıhoi h stˇredu a rovnice asymptot. S[3; −2], 2y = −x − 1, 2y = x − 7 27) Jsou d´any body M [3; 0; 4] a N [5; 6; 9]. Napiˇste rovnici roviny, kter´a proch´az´ı bodem M a je −→
[2x + 6y + 5z − 26 = 0]
kolm´a k vektoru M N .
23
28) Vzd´alenost stˇredu dvou kruˇznic, kter´e maj´ı polomˇery 17 cm a 10 cm, je 21 cm. Urˇcete v´ ypoˇctem vzd´alenost tˇechto stˇred˚ u kruˇznic od bodu, v nˇemˇz stˇredn´a prot´ın´a spoleˇcnou teˇcnu obou kruˇznic. [30, 51] 29) K bod˚ um A[2; 3], B[4; 7], C[6; 2] urˇcete bod D tak, aby ABCD byl rovnobˇeˇzn´ık. h
i
D[4; −2]
30) Oˇc se zmˇen´ı obsah kruhu o polomˇeru r, vzroste-li d´elka hraniˇcn´ı kruˇznice o ε? [εr +
ε2 ] 4π
√ 31) Form´at A0 normalizovan´eho pap´ıru je obd´eln´ık, jehoˇz ˇs´ıˇrka a d´elka je v pomˇeruh 1 : 2 a jehoi 1 1 obsah je 1 m2 . Vypoˇctˇete strany tohoto obd´eln´ıka. 2− 4 m, 2 4 m 32) Napiˇste rovnici roviny ρ, kter´a proch´az´ı poˇc´atˇckem soustavy souˇradnic a je kolm´a k vektoru ~n = (2; 1; −3). [2x + 1y − 3z = 0] 33) Dokaˇzte, ˇze troj´ uheln´ık A[4; −2; 7] , B[0; 6; −1] , C[2; −4; 3] je pravo´ uhl´ y!
h −→
−→
i
AC · BC= 0
34) Je d´ana kruˇznice o stˇredu S a polomˇeru r =5 cm. Vypoˇctˇete d´elku tˇetivy AB na seˇcnˇe kruˇznice vzd´alen´e od jej´ıho stˇredu v = 3 cm. [8 cm] 35) Urˇcete osovou rovnici hyperboly, kter´a hlavn´ı osu m´a v ose x, proch´az´ı bodem A[4,5; zi h 2 1] 2a jej´ıˇ y x asymptoty maj´ı rovnice 3y = ±2x. 18 − 8 = 1 36) Kv´adr m´a povrch S = 166 cm2 , objem V = 140 cm2 a jednu hranu dlouhou 4 cm. Urˇcete d´elku ostatn´ıch hran kv´adru. [5, 7] 37) Pravideln´ y ˇctyˇrbok´ y jehlan ABCDV m´a podstavnou hranu d´elky a a boˇcn´ı hranuh d´elky 2a.i √ Vypoˇctˇete d´elku u ´seˇcky AM , kde M je stˇred u ´seˇcky CV . d=a 2 38) Vypoˇctˇete obsah osov´eho ˇrezu pravideln´ eho ˇctyˇrbok´eho jehlanu, kter´ y obsahuje u ´hlopˇr´ıˇ cku √ √ podstavy. Podstavn´a hrana mˇeˇr´ı 5 2 cm, boˇcn´ı hrana 10 cm. [25 3] 39) Pl´aˇst’ rotaˇcn´ıho v´alce je P , obvod jeho kruhov´e podstavy je o. Urˇcete objem v´alce. ho · P
4π 40) Koule a krychle maj´ı stejn´e povrchy. Jak´ y je pomˇer jejich objem˚ u?
−
o3 i 8π 2
hq i 6 π
41) Ze tˇr´ı kovov´ ych koul´ı s polomˇery r1 = 3 cm, r2 = 4 cm, r3 = 5 cm byla zhotoven´a jedin´a koule. Jak´ y je jej´ı polomˇer? [6] 42) Vypoˇctˇete v´ yˇsku h, z n´ıˇz vid´ı kosmonaut 1% povrchu Zemˇe (koule o polomˇeru r = 6370 km). h i 1 h = 6370( π − 1) cos 100 43) V kruˇznici o polomˇeru 15 cm je vedena tˇetiva d´elky 10 cm. Urˇcete v´ ypoˇctem vzd´alenost pr˚ useˇc´ıku teˇcen kruˇznice veden´ ych v krajn´ıch bodech t´eto tˇetivy od stˇredu kruˇznice. √ [ 2 · 22,5]
24
44) Pro troj´ uheln´ık ABC v rovinˇe zn´ame rovnici strany a : 3x+7y−3 = 0, strany b : 2x+3y+2 = 0 a patu P [2; −3] v´ yˇsky vc na stranˇe c. Napiˇste obecnou rovnici strany c. [9x + 11y + 15 = 0] 45) Urˇcete vnitˇrn´ı u ´hly troj´ uheln´ıka, kter´ y dostanete, spoj´ıte-li na kruhov´em cifern´ıku hodin ˇc´ıslice 2, 6, 9. [45◦ , 60◦ , 75◦ ] 46) Vypoˇc´ıtejte d´elku tˇetivy, kterou vyt´ın´a pˇr´ımka o rovnici y = x − 4 na kruˇznici se stˇredem √ S[−1; 2] a polomˇerem r = 5. [ 2] 47) Napiˇste rovnici roviny, kter´a proch´az´ı body A[1; −1; 2], B[2; 1; 2], C[1; 1; 4]. [−2x + y − z + 5 = 0] 48) Urˇcete vz´ajemnou polohu pˇr´ımek p : 3x + 4y − 3 = 0, q : x = 1 + 2t, y = 2 − t, t ∈ R. h
P [−7; 6]
i
49) Vypoˇctete souˇradnice bodu P , kter´ y je soumˇern´ y s bodem Q[10; 21] podle pˇr´ımkyh p o rovnicii 2x + 5y − 38 = 0. P [−2; −9] 50) V rovinˇe je d´an bod A[1; 1], pˇr´ımka p : 4x − 3y + 9 = 0 a na n´ı bod C[−3; −1]. Na pˇr´ımce p leˇz´ı jedna strana obd´eln´ıka ABCD. Napiˇste obecn´e neparametrick´e rovnice pˇr´ımek, na kter´ ych leˇz´ı zb´ yvaj´ıc´ı strany obdeln´ıka. [4x − 3y − 1 = 0, 3x + 4y − 7 = 0, 3x + 4y + 13 = 0] 51) Urˇcete rovnici kruˇznice, kter´a m´a stˇred S[1; 3] a dot´ yk´ah se pˇr´ımky dan´e rovnic´ı 7x + y = 0.i Stanovte t´eˇz bod dotyku T . (x − 1)2 + (y − 3)2 = 2, T [−0,4; 2,8] 52) Ukaˇzte, ˇze ˇctyˇru ´heln´ık ABCD, kde A[−1; −3], B[−4; 1], C[−8; −2], D[−5; −6], je ˇctverec. h −→
−→
−→
−→
−→
−→
i
AB · BC=BC · CD=CD · AB= 0
53) Urˇcete rovnici kolmice veden´e bodem A[2,5; 1] k pˇr´ımce o rovnici 2x + y − 3 = 0. [−x + 2y + 0,5 = 0] 54) Zjistˇete vz´ajemnou polohu pˇr´ımek p1 : x = 3 + 2t, y = 2 + 4t, z = 2 + 6t; p2 : x = 4 + s, y = 5 + 2s, z = 1 + 3s. [rovnobˇeˇzky] 55) Z´akladna rovnoramenn´eho troj´ uheln´ıka m´a vrcholy A[−3; 1], B[5; −7]. Vypoˇctˇeteh souˇradnicei 1 ; − 21 vrcholu C, leˇz´ı-li na pˇr´ımce o rovnici 2x − 3y = 5. C[ 13 13 ] 56) Je d´ana kruˇznice k(S[−1; 3], r = 4 cm). Urˇcete analyticky jej´ı pr˚ unik P s pˇr´ımkou h AB, kdei A[−2; −4], B[1; 5]. P [−1; −1] 57) Troj´ uheln´ık v rovinˇe je urˇcen vrcholy A[−2; −4], B[2; −2] a pr˚ useˇc´ıkem v´ yˇsek V [1; 2].h Vypoˇc´ıtejte i 8 ; − ] souˇradnice vrcholu C. C[ 10 3 3 58) Urˇcete rovnici elipsy se stˇredem v poˇc´atku, jedn´ım ohniskem v bodˇe F [4; 0] a proch´azej´ıc´ı bodem A[3; 1]. [x2 + 9y 2 = 18] 59) Vypoˇctˇete souˇradnice bodu T kruˇznice o rovnici x2 + y 2 = 1, kter´ y je nejbl´ıˇz k bodu B[1; 2]. h
25
i
T [ √15 ; √25 ]
Konstrukˇ cn´ı u ´ lohy 60) Sestrojte troj´ uheln´ık ABC, je-li d´ano c = 8 cm, tc = 7 cm, γ = 60◦ . Popis konstrukce: O C k
l q
tc
6. l: S ∈ l, l⊥c
2. S: S stˇred u ´seˇcky AB
7. O: O = l ∩ q
3. k: k ≡ (S; tc )
8. m: m ≡ (O; OA)
4. p: A ∈ p, u ´hel p a c je γ
9. C: C = m ∩ k
5. q: A ∈ q, q⊥p
· A
1. c = AB = 8 cm
γ
S
c
10. 4ABC
B
p æ 61) Sestrojte pravo´ uhl´ y troj´ uheln´ık ABC, je-li d´ano a + b =10 cm, α = 30◦ . Vyj´adˇrete pomˇer jeho odvˇesen. 62) Sestrojte troj´ uheln´ık ABC, je-li d´ano a = 8 cm, va = 6 cm, α = 60◦ a vypoˇc´ıtejte polomˇer kruˇznice opsan´e tomuto troj´ uheln´ıku. 63) Zvolte u ´seˇcku AS o velikosti |AS| = 5 cm. Sestrojte vˇsechny troj´ uheln´ıky ABC s tˇeˇznic´ı AS, kter´e maj´ı |AC| = 4 cm, |AB| = 6 cm. 64) Sestrojte troj´ uheln´ık ABC, je-li d´ana velikost strany c, v´ yˇsky vc a tˇeˇznice tc . 65) Sestrojte rovnostrann´ y troj´ uheln´ık ABC tak, aby mˇel vrchol v bodˇe C, vrchol A leˇzel na pˇr´ımce p1 a vrchol B na pˇr´ımce p2 , p2 ||p1 . p1 ×C p2 æ 66) Sestrojte pravo´ uhl´ y rovnoramenn´ y troj´ uheln´ık ABC tak, aby vrchol prav´eho u ´hlu byl v bodˇe C a vrcholy A, B leˇzely v uveden´em poˇrad´ı na pˇr´ımk´ach p2 ||p1 . p1 ×C p2 67) Sestrojte troj´ uheln´ık ABC, je-li d´ano va = 7 cm, vb = 6 cm, α = 45◦ a vepiˇste mu kruˇznici. 68) Je d´ana kruˇznice k = (S; r = 15 mm) a bod M , kter´ y leˇz´ı vnˇe kruˇznice k. Sestrojte rovnostrann´ y troj´ uheln´ık ABC, kter´ y je opsan´ y dan´e kruˇznici a jehoˇz jedna strana proch´az´ı bodem M . Konstrukci popiˇste! 69) Sestrojte troj´ uheln´ık ABC o stran´ach c = 4 cm, a = 7 cm, b = 6 cm. Najdˇete vˇsechny body jeho roviny, ze kter´ ych jsou obˇe strany c i a vidˇet pod prav´ ym u ´hlem. Konstrukci od˚ uvodnˇete! 70) Sestrojte troj´ uheln´ık ABC, je-li d´ano a : b : c = 3 : 5 : 6, vc = 4 cm. 71) Sestrojte troj´ uheln´ık ABC, je-li d´ano a = 8 cm, va = 5 cm, ta = 7 cm a opiˇste mu kruˇznici. 72) Sestrojte troj´ uheln´ık ABC, je-li d´ano α = 60◦ , vb = 9 cm, ρ = 2,5 cm (polomˇer kruˇznice vepsan´e).
26
73) Zvolte u ´hel KAM o velikosti α = 30◦ . Sestrojte vˇsechny troj´ uheln´ıky ABC, kter´e maj´ı vrchol B na rameni AK, vrchol C na rameni AM , vc = 2 cm, |BC| + |CA| = 6,5 cm. 74) Sestrojte troj´ uheln´ık ABC, je-li d´ano γ = 60◦ , va = 6 cm, c = 8 cm. Pro jak´e va bude troj´ uheln´ık rovnostrann´ y? 75) Sestrojte troj´ uheln´ık ABC, je-li d´ano γ, vc , c. Konstrukci popiˇste. 76) Sestrojte troj´ uheln´ık ABC, je-li d´ano tc = 8 cm, c = 10 cm, r = 6 cm (polomˇer kruˇznice opsan´e). Urˇcete hodnotu sin γ. 77) Sestrojte kruˇznici k, kter´a se dot´ yk´a pˇr´ımky p a kruˇznice k1 (S, r), r = ST v bodˇe T . Pro jakou polohu bodu T na kruˇznici k1 m´a u ´loha jedin´e ˇreˇsen´ı? ×S ×T p 78) Spoleˇcn´ ym bodem A kruˇznic k1 (S1 ; r1 = 5 cm), k2 (S2 ; r2 = 4 cm), |S1 S2 | = 6 cm,ved’te vˇsechny pˇr´ımky, na nichˇz obˇe kruˇznice vyt´ınaj´ı shodn´e tˇetivy. 79) Je d´ana kruˇznice k(S; r = 4 cm), a bod P tak, ˇze |SP | = 10 cm. Ved’te bodem P pˇr´ımku na n´ıˇz kruˇznice k vyt´ın´a tˇetivu velikosti t = 5 cm. Vypoˇctˇete vzd´alenost stˇredu t´eto tˇetivy od bodu S. 80) Zvolte libovoln´e dvˇe soustˇredn´e kruˇznice. Sestrojte pˇr´ımku, na n´ıˇz dan´e kruˇznice vytnou tˇri u ´seˇcky, jejichˇz velikosti jsou v pomˇeru 1 : 2 : 1. 81) Jsou d´any rovnobˇeˇzky a, b, jejichˇz vzd´alenost je 10 cm. Nar´ ysujte kruˇznici, kter´a se dot´ yk´ a pˇr´ımky a, na pˇr´ımce b vyt´ın´a u ´sek u = 6 cm a proch´az´ı bodem M . 82) jsou d´any dvˇe r˚ uzn´e rovnobˇeˇzn´e pˇr´ımky p1 , p2 . D´ale je d´ana pˇr´ımka P3 s nimi r˚ uznobˇeˇzn´ a. Sestrojte ˇctverec ABCD tak, aby jeho vrchol A leˇzel na pˇr´ımce p1 , vrchol C na pˇr´ımce p2 , u ´hlopˇr´ıˇcka BD na pˇr´ımce p3 . 83) Je d´ana krychle ABCDA0 B 0 C 0 D0 . Z vrcholu A0 spust’te kolmici na rovinu AB 0 D0 , jej´ı patu oznaˇcte M . Nakreslete skuteˇcnou velikost u ´seˇcky A0 M . 84) Je d´ana obd´eln´ık ABCD. Sestrojte graficky stranu ˇctverce, kter´ y bude m´ıt t´ yˇz obsah, jako dan´ y obd´eln´ık. 85) Sestrojte pravideln´ y osmi´ uheln´ık, jehoˇz strana m´a d´elku 10 mm. Konstrukci popiˇste. 86) Nakreslete obrys krychle, kter´a je vidˇet pˇri pohledu ve smˇeru jej´ı libovoln´e tˇelesov´e u ´hlopˇr´ıˇcky. 87) Do kruhov´e v´ yseˇce ASB s u ´hlem ASB = 75◦ , polomˇerem |AS| = |BS| = r = 7,5 cm vepiˇste ˇctverec, jehoˇz jedna strana je rovnobˇeˇzn´a s pˇr´ımkou AB. 88) Sestrojte kruˇznici, kter´a se dot´ yk´a dan´e pˇr´ımky p v bodˇe T a dan´e kruˇznice k(S; r = 5 cm). 89) Sestrojte spoleˇcn´e teˇcny ke dvˇema vz´ajemnˇe se prot´ınaj´ıc´ım kruˇznic´ım. 90) Na pˇr´ımce AB sestrojte vˇsechny body M takov´e, ˇze plat´ı: |AM | : |AB| =
27
√
2 : 2.
N´asleduj´ıc´ı pˇr´ıklady tvoˇrily pˇrij´ımac´ı zkouˇsku z matematiky na vysokou ˇskolu v roce 2000. 3
2a − 3b
3
(2a) 2 − (3b) 2 1) Je d´an v´ yraz . 1 − 1 2a − 3b (2a) 2 − (3b) 2 a) Urˇcete jeho hodnotu pro a = 2, b = 3. √
2a √3b [ √2a+ ] 3b
b) V´ yraz upravte a zjednoduˇste.
√ √ [ 2a 6= 3b, 2a 6= 3b]
c) Napiˇste, pro kter´e hodnoty a, b m´a v´ yraz smysl. 2) Je d´ana rovnice
√
[ 56 ]
1 log(2x + 7) = log(x − 4). 2
a) Stanovte podm´ınky ˇreˇsitelnosti v R. ˇ ste danou rovnici. b) Reˇ ˇ zkouˇsku. c) Provedte
[x > 4] [x = 9] √ [L : 2 · 9 + 7 = 5, P :9 − 4 = 5]
3) Je d´ana funkce f : y = x2 − 2. a) Sestrojte graf funkce f . b) Urˇcete obor funkˇcn´ıch hodnot H(f ) funkce f .
[H(f ) = h−2, ∞)]
4) V aritmetick´e posloupnosti zn´ame dva ˇcleny: a6 = 25, a7 = 28. a) Urˇcete diferenci t´eto posloupnosti.
[d = 3]
b) Naleznˇete prvn´ı ˇclen a1 .
[a1 = 10]
c) Napiˇste vzorec pro n-t´ y ˇclen (n ∈ N) a vypoˇctˇete prvn´ıch pˇet ˇclen˚ u t´eto posloupnosti. [an = 10 + (n − 1) · 3, 10, 13, 16, 19, 22] 5) Je d´ano komplexn´ı ˇc´ıslo
(1 − i)2 . 1+i
a) Vyj´adˇrete ˇc´ıslo c v algebraick´em tvaru. b) Vypoˇctˇete |c|. ˇ na goniometrick´ ˇ ıslo c pˇrevedte c) C´ y tvar.
[c =
√
[c = −1 − i] √ [|c| = 2] 2(cos 54 π + sin 54 π)]
ˇ na algebraick´ d) V goniometrick´em tvaru vypoˇctˇete c7 a v´ ysledek pˇrevedte y tvar. [−8 + i8]
6) V pravo´ uhl´em souˇradnicov´em syst´emu jsou d´any body A = [−2, −4], B = [3, −1]. a) Napiˇste obecnou rovnici pˇr´ımky p = AB. b) Urˇcete pr˚ useˇc´ık P pˇr´ımky p s osou x.
h
−3x + 5y + 14 = 0 h
i i
P = [ 14 3 , 0]
c) Napiˇste parametrick´e rovnice pˇr´ımky p0 , kter´a je kolm´a na pˇrh´ımku p a proch´az´ iı 14 bodem P . x = 3 − 3t, y = 5t d) Urˇcete pr˚ useˇc´ık P 0 pˇr´ımky p0 s osou y.
h
i
P = [0, 70 9 ]
0 0 0 0 e) Stanovte souˇradnice bod˚ u A0 = [?, −4] a B = [3, ?], pro kter´ h e plat´ı A ∈ p , B ∈ p i. 25 0 A0 = [ 106 15 , −4], B = [3, 9 ]
28
