ROVNICE A NEROVNICE Kvadratické rovnice – Algebraické způsoby řešení I.
Mgr. Jakub Němec
VY_32_INOVACE_M1r0108
KVADRATICKÁ ROVNICE V rámci našeho poznávání rovnic a jejich řešení jsme narazili pouze na lineární rovnice v různých úpravách. V této lekci si řekneme, co znamená pojem kvadratická rovnice a jak ji početně řešit. Kvadratická rovnice musí obsahovat tzv. kvadratický člen, tedy člen, který obsahuje neznámou v druhé mocnině. Běžně se kvadratická rovnice definuje takto:
Rovnice 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 se nazývá kvadratická pro všechna 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ, kde 𝑎 ≠ 0 (kdyby 𝑎 = 0, byla by rovnice lineární). 2 𝑎𝑥 se nazývá kvadratický člen, 𝑏𝑥 je lineární člen a 𝑐, 𝑟𝑒𝑠𝑝. 𝑐𝑥 0 je absolutní člen.
KVADRATICKÁ ROVNICE BEZ ABSOLUTNÍHO ČLENU
Řešení kvadratické rovnice bez absolutního členu (tedy 𝑐 = 0) patří k těm nejjednodušším, jak sami poznáte. V rámci řešení je nutné kvadratický výraz pouze upravit na součin pomocí vytýkání, čímž získáme dva lineární výrazy. Tento příklad už jsme řešili v rámci lineárních rovnic. Obecně:
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 = 0 𝑥 ∙ 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0
𝑏
Kořeny rovnice tedy jsou 𝐾 = 0; − 𝑎 .
3𝑥 2 − 27𝑥 = 0
Urči kořeny dané rovnice a jejich správnost ověř zkouškou.
3𝑥 ∙ 𝑥 − 9 = 0 𝑥=0
𝑥−9=0
Vytkneme nejvyšší dělitel obou koeficientů a neznámou.
𝑥=9 𝑲 = 𝟎; 𝟗
4∙ 𝑥−5
2
= 𝑥 + 10
Získáme součin dvou lineárních členů, které se rovnají nule.
2
4 ∙ 𝑥 2 − 10𝑥 + 25 = 𝑥 2 + 20𝑥 + 100 4𝑥 2 − 40𝑥 + 100 = 𝑥 2 + 20𝑥 + 100 3𝑥 2 − 60𝑥 = 0 3𝑥 ∙ 𝑥 − 20 = 0
𝑥=0
𝑥 = 20 𝑲 = 𝟎; 𝟐𝟎
Stačí tedy, aby se jeden z nich rovnal nule. Získáme tak dvě lineární rovnice, jejichž řešení by nemělo způsobovat obtíže. Určíme množinu kořenů rovnice.
Zkouška je pro řešitele snadným cvičením. Obdobně řešte druhý příklad.
KVADRATICKÁ ROVNICE BEZ LINEÁRNÍHO ČLENU, TZV. RYZE KVADRATICKÁ ROVNICE O něco obtížnější postup než u předchozích příkladů se může zdát řešení ryze kvadratických rovnic (bez lineárního členu, tedy 𝑏 = 0). Existují dva způsoby, kterými lze takovýto druh rovnice řešit:
pomocí rozkladu na součin dle vzorce 𝐴2 − 𝐵2 = (𝐴 − 𝐵) ∙ (𝐴 + 𝐵) pomocí důsledkové úpravy odmocněním obou stran rovnice
Představíme si oba způsoby na následujících příkladech.
𝑥2 − 7 = 0
Řešte danou rovnici a zkouškou věřte její kořeny.
𝑥− 7 ∙ 𝑥+ 7 =0 𝑥= 7
𝑥 2 = 7/ 𝑥 = 7
𝑥=− 7
𝑲 = − 𝟕; 𝟕
𝑥= 7
𝑥=− 7
𝑲 = − 𝟕; 𝟕 𝑍𝑘. 𝐿 = − 7
2
𝑍𝑘. 𝐿 =
7
𝑃=0 𝐿=𝑃
𝑥 2 + 16 = 0 𝑥 2 = −16 𝑲= ∅
Získáme tak lineární členy, které můžeme položit rovny nule a vyřešit dané rovnice. Určíme množinu kořenů rovnice. Druhý způsob využije důsledkové úpravy rovnice odmocněním.
−7=7−7= 0
𝑃=0 𝐿=𝑃
Prvním způsobem řešení je rozklad na součin pomocí vzorce.
2
−7=7−7=0
Získáme tak rovnici s absolutní hodnotou, jejíž řešení je snadné. Určíme množinu kořenů dané rovnice.
Vzhledem k využití důsledkové úpravy rovnice je nutné provést zkoušku. Druhá rovnice evidentně nemá žádný reálný kořen. Kvadratický výraz nelze rozložit na součin a druhá mocnina neznámé nemůže nabývat záporných hodnot.
OBECNÁ KVADRATICKÁ ROVNICE Pojem obecná kvadratická rovnice vystihuje situaci, kdy je v rovnici zastoupen kvadratický, lineární i absolutní člen (tedy 𝑎, 𝑏, 𝑐 ≠ 0). Vhodné je také zavést další pojem, kterým je normovaná kvadratická rovnice. Tento typ rovnice je specifický tím, že koeficient kvadratického členu je roven jedné (tedy 𝑎 = 1). Kýženého tvaru dosáhneme tak, že koeficientem 𝑎 vydělíme celou kvadratickou rovnici:
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0/: 𝑎
𝑥2 + 𝑎 𝑥 + 𝑎 = 0
𝑏
𝑐
Obecné kvadratické rovnice lze početně řešit třemi způsoby (doplnění na čtverec, diskriminant, Viètovy vzorce – poslední dva způsoby lze uplatnit i při řešení předchozích typů rovnic). V této lekci si představíme tzv. doplnění na čtverec, které spočívá v doplnění na druhou mocninu lineárního dvojčlenu. Principem je přičíst k oběma stranám rovnice takové číslo, aby vznikl kvadratický dvojčlen typu 𝐴 + 𝐵 2 nebo 𝐴 − 𝐵 2 .
𝑥 2 − 6𝑥 + 8 = 0
𝑥 2 − 6𝑥 + 9 = 𝑥 − 3
𝑥 2 − 6𝑥 + 8 = 0/+1 2
=1
(𝑥 − 3)2 −1 = 0 𝑥−3 −1 ∙ 𝑥−3 +1 =0 𝑥−4 ∙ 𝑥−2 =0 𝑥=4
𝑥=2
𝑲 = 𝟐; 𝟒 𝑥−3
2
Určete kořeny rovnice a ověřte je zkouškou. Nejprve si je třeba uvědomit, jak doplnit absolutní člen, aby vznikl vzorec pro druhou mocninu lineárního členu.
𝑥 2 − 6𝑥 + 9 = 1 𝑥−3
2
Po úpravě pomocí vzorce získáme kýžený tvar rovnice. V tomto bodě se postupuje obdobně jako u ryze kvadratické rovnice s tím rozdílem, že místo druhé mocniny neznámé pracujeme s druhou mocninou lineárního členu. První způsob řešení je založen na rozkladu na součin lineárních členů pomocí vzorce 𝐴2 − 𝐵2 .
= 1/
𝑥−3 =1 𝑥≥3
𝑥<3
𝑥−3=1
−𝑥 + 3 = 1
𝑥=4
𝑥=2 𝑲 = 𝟐; 𝟒
Vidíme, že je třeba získat číslo devět, tedy přičteme k oběma stranám rovnice jedničku.
Druhé řešení je založeno na důsledkové úpravě rovnice odmocněním, čímž získáme rovnici s absolutní hodnotou. V tomto případě je nutné provést zkoušku, která je vhodným cvičením pro řešitele.
Nalezněte všechny kořeny dané rovnice a ověřte jejich platnost zkouškou.
4𝑥 2 + 20𝑥 + 3 = −30
4𝑥 2 + 20𝑥 + 25 = 2𝑥 + 5
4𝑥 2 + 20𝑥 + 3 = −30/+22 4𝑥 2 + 20𝑥 + 25 = −8 (2𝑥 + 5)2 = −8
(2𝑥 + 5)2 +8 = 0 𝑲= ∅
2
Nejprve zjistíme, jaký tvar by měl mít kvadratický mnohočlen, aby jej bylo možné převést na druhou mocninu lineárního tvaru. Podle toho přičteme k oběma stranám rovnice číslo 22. Upravíme levou stranu rovnice. Při využití prvního i druhého způsobu
(2𝑥 + 5)2 = −8/ 𝑲= ∅
řešení je patrné, že rovnice nemá žádný reálný kořen.
ÚKOL ZÁVĚREM
1) Řešte rovnice a proveďte zkoušku: a) 𝑥 − 7 2 = 3𝑥 − 5 ∙ 𝑥 + 3 + 64 b) 2𝑥 − 5 ∙ 𝑥 + 8 = (𝑥 + 6) ∙ (𝑥 + 5) 2 c) 5 ∙ 𝑥 − 9 = 4 ∙ 𝑥 − 12 2 − 11
2) Mějme přirozené číslo, jehož druhá mocnina se rovná číslu 256. Od tohoto čísla jsme jednou odečetli a jednou k němu přičetli neznámé číslo. Součin těchto čísel se rovná čtvrtině mocniny původního čísla. Urči získané činitele.
ZDROJE
Literatura:
CHARVÁT, Jura; ZHOUF, Jaroslav; BOČEK, Leo. Matematika pro gymnázia: Rovnice a nerovnice. 4. vydání. Praha: Prometheus, 2010, 223 s. ISBN 987-80-7196-362-2.
