1
1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn
... = bm ,
kde a11 , ..., amn , b1 , ..., bm jsou daná čísla a x1 , ..., xn jsou neznámé. Matice soustavy:
a11 a A = 21 ... am1
a12 a22 ... am2 1
... a1n ... a2n . ... ... ... amn
b1 b2
2
Rozšířená matice soustavy: a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n A= ... ... ... ... am1 am2 ... amn
b1 b2 . ... bm
Řešitelnost soustavy Věta ( Frobeniova věta ) . Soustava má řešení, právě když hodnost matice soustavy (h) je rovna hodnosti rozšířené matice soustavy (h′ ). Navíc platí: Je-li soustava řešitelná a hodnost matice soustavy je rovna počtu neznámých (n), má soustava právě jedno řešení. Je-li soustava řešitelná a je-li hodnost matice soustavy menší než počet neznámých, má soustava nekonečně mnoho řešení, přičemž číslo n − h udává počet volitelných neznámých (parametrů). P o z n á m k a : Hodnost h′ může být nanejvýš o 1 větší než h (rozšířená matice má o 1 sloupec víc než matice soustavy). 2
3
Platí: Provedeme-li na řádcích rozšířené matice soustavy úpravy neměnící její hodnost, získáme rozšířenou matici soustavy, která má stejnou množinu řešení jako soustava původní (soustavy jsou ekvivalentní). P o z n á m k a : Je možno měnit pořadí sloupců matice soustavy, to však odpovídá změně pořadí neznámých a je potřeba tuto změnu registrovat.
3
4
Postup řešení soustav - Gaussova a Jordanova metoda Upravíme rozšířenou matici soustavy na odstupňovaný tvar. Gaussova metoda spočívá v tom, že z poslední rovnice (v odstupňovaném tvaru) vypočítáme poslední neznámou, dosadíme do předposlední rovnice atd. Jordanova metoda pokračuje v úpravě matice soustavy až na jednotkovou matici (resp. v případě soustavy s nekonečným počtem řešení na matici, jejíž ”částí” je jednotková matice). Řešením je pak vektor, jehož složky jsou čísla v posledním sloupci rozšířené matice soustavy (nebo se v případě soustavy s nekonečným počtem řešení snadno dopočítá). Obecné řešení, partikulární řešení Obecné řešení popisuje množinu všech řešení soustavy - za volitelné neznámé volíme parametry. 4
5
Jednotlivé řešení se nazývá partikulární řešení. Obdržíme ho např. dosazením libovolných čísel za parametry v obecném řešení.
5
6
Homogenní soustava Soustava rovnic, kde na pravých stranách jsou samé nuly, se nazývá homogenní soustava. Jedním z řešení každé homogenní soustavy je tzv. triviální řešení, tj. řešení, kde všechny neznámé jsou rovny nule (nulový vektor). Je-li aspoň jedna neznámá různá od nuly, řešení se nazývá netriviální. Každá homogenní soustava má řešení – vždy h = h′ , nebo˛ rozšířená matice soustavy se od matice soustavy liší sloupcem nul. Při úpravách matice soustavy není nutné tento sloupec nul psát (nemění se). Platí: (1) Homogenní soustava je vždy řešitelná; je-li h = n, soustava má právě jedno, a to triviální řešení, je-li h < n, soustava má nekonečně mnoho řešení (tedy i netriviální), (n − h = počet volitelných neznámých). 6
7
1.3. Determinanty
Determinant
Determinant čtvercové matice A (ozn. det A) je číslo, přiřazené této matici určitým způsobem (pro matice, které nejsou čtvercové, se determinant nedefinuje). Determinant je možno definovat rekurentně: Determinant matice A typu 1 × 1, tj. A = (a11 ) je det A = a11 . Determinant matice A = (aij ) typu n × n (n ≥ 2) je číslo: det A = (−1)1+1 a11 det A11 + (−1)1+2 a12 det A12 + ... + (−1)1+n a1n det A1n = ∑n 1+j (−1) a1j det A1j , j=1 kde det A1j je determinant matice, která vznikne vynecháním prvního řádku a j-tého sloupce matice A. 7
8
Determinanty matic řádu 2 a 3
a11
−
|z
z
a21
v
v
a12 = a11 a22 − a12 a21 .
a22 "
a11
a12
a21
−
|z
z
a31
+
v
w
v
a22
w
a32
v v
w
a11 a12 x { }{ x − a21 a22 { }{ −
v
a13
v
a23
w
a33 a13
" !
+ +
a23 !
+
= a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a31 a12 a23 − − a13 a22 a31 − a23 a32 a11 − a33 a12 a21 . 8
9
Rozvoj determinantu Rozvoj determinantu podle i-tého řádku matice A: Místo prvního řádku v definici det. lze vzít libovolný jiný řádek: det A = (−1)i+1 ai1 det Ai1 + (−1)i+2 ai2 det Ai2 + ...+ +(−1)i+n ain det Ain = ∑n i+j aij det Aij , kde det Aij je determij=1 (−1) nant, který vznikne vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce v det A. Rozvoj determinantu podle j-tého sloupce matice A: Místo řádku matice vzít libovolný sloupec matice: det A = (−1)1+j a1j det A1j +(−1)2+j a2j det A2j + ∑n n+j ...+ +(−1) anj det Anj = i=1 (−1)i+j aij det Aij . P o z n á m k a : Znaménka (−1)i+j u prvků aij není třeba vypočítávat - střídají se pravidelně jako šachovnice: + − + − ... − + − + ... + − + − ... A= . . . . . . . . . . . . . . . . 9
10
Determinant trojúhelníkové matice Platí: Determinant trojúhelníkové matice je roven součinu prvků na její diagonále. Výpočet determinantu převodem matice na trojúhelníkovou Platí: (1) Záměnou pořadí dvou řádků matice se změní znaménko determinantu. (2) Vynásobením nějakého řádku matice číslem k se determinant k-krát vynásobí. (3) Přičtením násobku řádku k jinému řádku se determinant nezmění. Totéž platí pro sloupce matice (platí, že det A = det AT ). Determinant regulární a singulární matice Čtvercová matice se nazývá regulární, má-li lineárně nezávislé řádky. Matice typu n × n je tedy regulární, je-li h = n. Čtvercová matice, která má lineárně závislé řádky, se nazývá 10
11
singulární. Matice typu n × n je tedy singulární, je-li h < n. Platí: A je regulární ⇔ det A ̸= 0 ( tedy A je singulární ⇔ det A = 0). Cramerovo pravidlo (řešení soustav) Je-li matice soustavy A¯ x = ¯b regulární, má soustava právě jedno řešení. Označme Ai matici, která vznikne z matice A (matice soustavy) nahrazením i-tého sloupce sloupcem pravých stran ¯b. Pak det Ai xi = . det A
11
