Cvičení z lineární algebry
64
Vít Vondrák
Cvičení č. 13 Determinant a vlastnosti determinantů. Výpočet determinantu. Adjungovaná a inverzní matice. Cramerovo pravidlo. Determinant Definice: Nechť A je reálná čtvercová matice řádu n. Čtvercovou matici M ij , která vznikla z matice A vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce nazýváme minorem matice A příslušnému k prvku a ij . Příklad: 1 2 3 A 4 5 6, M 12 4 6, M 31 2 3 . 7 9 5 6 7 8 9 Definice: Determinantem reálné čtvercové matice A [aij ] řádu n, nazýváme realné číslo, které značíme det A nebo A , a pro které platí 1.
A a11 je-li n 1,
2.
A a11 M 11 a12 M 12 ... (1) n1 a1n M 1n pro n 1.
Příklad: Vypočtěte determinant matice 1 2 3 A 4 5 6. 7 8 9 Řešení:
1 2 3 det A 4 5 6 1 5 6 2 4 6 3 4 5 1 5 9 6 8 2 4 9 6 7 3 4 8 5 7 8 9 7 9 7 8 7 8 9 1 5 9 6 8 2 4 9 6 7 3 4 8 5 7 1 (3) 2 (6) 3 (3) 3 12 9 0. Příklad: Vypočtěte determinant matice A a b . c d Řešení: det A a b a d b c ad bc. c d
Cvičení z lineární algebry
65
Vít Vondrák
Poznámka: Determinant dolní trojúhelníkové matice je roven součinu prvků na diagonále. Nechť je dána dolní trojúhelníková matice l11 0 0 L l 21 l 22 0 l n1 l n 2 l nn Pak dle definice determinantu je l 22 0 0 l11 0 0 l l det L l 21 l 22 l11 32 33 0 ... (1) n 1 0 0 0 l n1 l n 2 l nn l n 2 l n3 l nn l33 l11l 22 l 43 l n3
0 l 44 ln4
0 0 ... (1) n 2 0 ... l l l l l l . 11 22 nn 11 22 nn 0 l nn
Poznámka: Algebraickým doplňkem prvku a ij čtvercové matice A nazýváme číslo Aij (1) i j M ij , kde
M ij je minor matice A příslušný prvku a ij . Pak se dá druhý bod definice determinantu přepsat do tvaru A a11 A11 a12 A12 ... a1n A1n .
Vlastnosti determinantu: Věta: Nechť A, B jsou čtvercové matice stejného řádu. 1. Jestliže matice B vznikla z matice A vzájemnou výměnou dvou řádků pak det A=det B 2. Jestliže matice B vznikla z matice A vynásobením jednoho řádku číslem pak det A=det B 3. Jestliže matice B vznikla z matice A přičtením násobku jednoho řádku k druhému pak det A=det B Důsledek: 1. Jestliže má čtvercová matice A jeden řádek nulový pak det A=0 2. Jestliže má čtvercová matice A lineárně závislé řádky pak det A=0 3. Jestliže je čtvercová matice A singulární pak det A=0 Věta (Rozvoj determinantu podle řádku): Nechť A je čtvercová matice řádu n. Pak A ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ... ain Ain pro libovolné i=1,...,n. Poznámka: Determinant horní trojúhelníkové matice je roven součinu prvků na diagonále.
Cvičení z lineární algebry
Vít Vondrák
66
Nechť je dána horní trojúhelníková matice
u11 0 U 0
u12 u 22 0
u1n u n 1, n u nn
Pak dle rozvoje determinantu podle posledního řádku je u11 u12 u11 u12 u1n 0 u 22 0 u 22 det U 0 ... 0 u nn u n 1,n 0 0 0 0 u nn
u11 u12 0 u 22 0 .. 0 u nnu n 1,n 1 0 0
u1n 1 u n 2,n 1 u n 1,n 1
u1n ... u11 u n 1,n 1u nn u11u 22 u nn . u n 3, n 2 u n 2, n 2
Věta: Nechť A je libovolná čtvercová matice. Pak det A det AT . Důsledek: Všechny všechny výše uvedené vlastnosti determinantu platí i pro sloupce. Výpočet determinantu Z výše uvedených vlastností tedy vyplývá, že je možné pomocí elementárních řádkových úprav podobně jako v případě Gaussovy eliminace upravit libovolnou matici na horní trojúhelníkovou. Přitom musíme ovšem mít na paměti následující pravidla: 1. Vynásobíme-li libovolný řádek matice nenulovým číslem, vynásobí se tímto číslem i determinant této matice a proto musíme determinant takto upravené matice vydělit tímto číslem. 2. Vyměníme-li dva libovolné řádky matice, změní se znaménko determinantu matice 3. Přičteme-li násobek jednoho řádku matice k jinému, determinant se nemění. Navíc všechny tyto úpravy můžeme použít pokud je to výhodné i pro úpravu sloupců. Pokud takto upravíme matici na horní případně i dolní trojúhelníkový tvar, je výsledný detrminant roven součinu prvků na diagonále. Příklad: Vypočtěte determinant matice 1 2 3 A 4 5 6. 7 8 9 Řešení:
Cvičení z lineární algebry
Vít Vondrák
67
1 2 3 1 2 3 1 2 3 det A 4 5 6 4ř1 0 3 6 ( 13 ) (3) 6 0 1 2 7 8 9 7ř1 0 6 12 16 0 1 2 ř2 1 2 3 18 0 1 2 18 11 0 0. 0 0 0
Adjungovaná a inverzní matice Definice: Matici An1 A11 A21 A A A 22 n2 A 12 , A A A 2n nn 1n kde Aij je algebraický doplněk prvku aij ve čtvercové matici .A nazýváme adjungovanou
maticí k matici A. Příklad: Nalezněte adjungovanou matici k matici 1 2 2 A 1 0 2 1 1 1 Řešení: A11 (1)11 0 2 1 (0 2) 2, 1 1
A12 (1)1 2 1 2 (1) (1 2) 3, 1 1
A13 (1)13 1 0 1 (1 0) 1, 1 1
A21 (1) 21 2 2 1 (2 2) 0, 1 1
A22 (1) 2 2 1 2 1 (1 2) 1, 1 1
A23 (1) 23 1 2 1 (1 2) 1, 1 1
A31 (1)31 2 2 1 (4 0) 4, 0 2
A32 (1)3 2 1 2 1 (2 2) 4, 1 2
A33 (1)33 1 2 1 (0 2) 2. 1 0
A11 A A12 A13
A21 A22 A23
A31 2 0 4 A32 3 1 4 . A33 1 1 2
Věta: Nechť A je čtvercová matice řádu n a nechť det A 0 . Pak je matice A regulární a platí 1 A1 A. det A
Cvičení z lineární algebry
Vít Vondrák
68
Příklad: Nalezněte inverzní matici k matici 1 2 2 A 1 0 2 1 1 1 Řešení: 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 det A 1 0 2 ř1 0 2 4 0 2 4 0 2 4 1 2 2 2 1 1 1 ř1 0 1 1 2 2 0 2 2 ř2 2 0 0 2 2 2 0 4 1 1 1 A A 3 1 4 3 2 det A 2 1 1 2 1 2 1
0 1 1
2
2
2 2 . 1
Poznámka: Je třeba si povšimnout, že sestavení adjungované matice je výpočetně velmi náročný proces a například pro matici řádu 4 je zapotřebí vypočítat 16 determinantů řádu 3. Z tohoto důvodu je mnohem výhodnější pro výpočet inverzní matice používat Gauss-Jordanovu eliminační metodu. Použití adjungované matice pro výpočet inverzní matice má tedy snad význam pouze pro výpočet inverzní matice k matici, jejíž prvky jsou zadány parametricky a to jen pro velmi malé řády. Cramerovo pravidlo Věta: Nechť je dána soustava n lineárních rovnic o n neznámých Ax b . Je-li matice A regulární pak soustava má jediné řešení a pro jeho složky platí det Aib , xi det A kde matice Aib vznikla z matice A záměnou i-tého sloupce za vektor pravých stran b. Příklad: Pomocí Cramerova pravidla vyřešte soustavu x1 2 x2 2 x3 1 x1 2 x3 1 x1 x2 x3 0 Řešení: 1 2 2 A 1 0 2 , 1 1 1
1 b 1 0
Cvičení z lineární algebry
Vít Vondrák
69
1 2 2 det A 1 0 2 2 0 a proto je matice soustavy regulární. 1 1 1 Rozvoj
1 2 2 1 2 2 1. podle sloupce det A 1 1 1 2 4 1 x1 1 0 2 ř1 0 2 4 1 0 0 (2 4) 1, det A 2 0 1 1 20 1 1 2 1 1 2 b 1
1 1 2 1 1 2 1 1 2 det A2b 1 1 1 1 x2 1 1 2 ř1 0 0 4 ř3 0 1 1 1 (1) 4 2, det A 2 1 0 1 ř 2 0 1 1 ř 20 0 4 2 1 2 Rozvoj
1 2 1 s1 s3 1 2 1 1 2 1 1. podle sloupce det A3b 1 1 1 1 1 2 0 x3 1 0 1 1 0 1 ř1 0 2 0 1 1 (2 0) 1. 1 1 det A 2 1 1 0 2 0 1 1 20 1 1 2 2
Řešením soustavy je tedy x1 1, x2 2, x3 1 což se dá snadno ověřit dosazením do zadané soustavy. Poznámka: Z příkladu je patrné, že řešení soustavy lineárních rovnic pomocí Cramerova pravidla je výpočetně mnohem více náročné než řešení pomocí Gaussovy eliminace. Např. pokud počítáme determinant matice, musíme ji upravit na trojúhelníkový tvar. A již toto odpovídá svou náročností upravě na schodový tvar v Gaussově eliminaci. Tuto úpravu pak při užití Cramerova pravidla musíme ještě opakovat pro všechny složky řešení!!!!
