Aplikace derivace Mezi aplikace počítáme: 1. LHospitalovo pravidlo 2. Extrémy funkce (růst a pokles funkce) 3. Inflexe (konávnost a konvexnost) 4. Asymptoty funkce (se i bez směrnice) 5. Průběh funkce 6. Ekonomické aplikace LHospitalovo pravidlo 0
slouží pro výpočet limity funkce v případě, že jde o výraz typu Potom platí, že
f ( x)
lim
=
x → a g( x)
f'( x)
lim
0
∞
nebo
∞
.
. Pokud předpoklady trvají, lze tento krok opakovat.
x → a g'( x)
POZOR !!! Nezaměňovat s derivací podílu. Příklad.
lim
sin( x) x
x→0
=
0 0
=
cos( x)
lim
=1
1
x→0
2
x Příklad.
lim x→0
2
+ cos( x) − 1 =
x − sin( x)
x − sin( x)
lim
x → 0 1 − cos( x)
=
lim
1 − cos( x) sin( x)
x→0
=
lim
sin( x)
x → 0 cos( x)
=
0 1
=0
2
Příklad.
2x x −4 0 lim = = lim =4 + + x − 2 0 x→2 1 x→2 2
Příklad.
lim
6x + 4x + 2
=
2
x → ∞ 2x + x + 12
Příklad.
∞ ∞
=
12x + 4
lim
x → ∞ 4x + 1
=
(
∞ ∞
=
12
lim
x→∞ 4
=3
)
2 2 x2 ∞ x − x −x x 1 − x = ∞ − ∞ = lim = lim = = lim =1 x−1 ∞ x → ∞ x− 1 x→∞ x→∞ x−1 x→∞ 1
lim
1
Příklad.
lim x⋅ ln( x) = 0⋅ ∞ = lim x → 0+ x → 0+
ln( x)
=
1
∞ ∞
=
x
lim = lim ( −x) = 0 x → 0+ − 1 x → 0+
x
x
2
1 1
Příklad.
lim x⋅ e x → 0+
x
x −1
1
= 0⋅ ∞ =
lim x → 0+
e
e ⋅
x
1 x
=
∞ ∞
=
lim x → 0+
x −1 2
x
1
2
=
lim e x → 0+
x
=∞
Lokální extrémy funkce (růst a pokles funkce) slouží k nalezení maxim a minim funkcí, popř. k nalezení intervalů, kde funkce roste a kde klesá. Nalézt znaménko funkce znamená nalézt intervaly, kde funkce roste a kde klesá, a to tak, že nalezneme všechny kořeny čitatele i jmenovatele, které mají lichou násobnost a zakreslíme je na reálnou osu. V jednom z nich dosazením zjistíme znaménko, v ostatních intervalech se znaménka střídají. Má-li funkce g(x) v okolí bodu a kladnou derivaci, tj. g'( a) > 0 , funkce tam roste a naopak, je-li tato derivace záporná, tj. g'( a) > 0 , funkce tam klesá. Je-li tato derivace rovna nule, tj. g'( a) = 0 , funkce může mít v bodě a extrém. Zda je to extrém a jaký je, určíme pomocí druhé derivace. x−1
Příklad. Najdi znaménko funkce g( x) =
.
2
x − 2x x − 1 = 0 .....
kořeny čitatele:
----------- ++++++++ --------------- ++++++++ ______ , _________ , _________ , _________
x=1
0
2
x=0 , x=2 , kořeny jmenovatele: x − 2x = 0 ..... všechny mají lichou násobnost (jsou jednoduché). −1 − 1 −2 g( −1 ) = = 3 2 ( −1) − 2 ⋅ ( −1)
1
2
Lokální extrémy funkce g(x) najdeme: 1.
Řešíme rovnici g'( x) = 0 , jejím řešením jsou tzv. stacionární body (body "podezřelé z extrému").
Sestavíme znaménko g'( x) a usoudíme, že tam, kde g'( x) > 0 , funkce roste, kde je menší než nula, funkce klesá. Je-li stacionární bod v D(g), lze rozhodnout o maximu (LoMa) nebo minimu (LoMi). Není-li stacionární bod v D(g), o extrém nejde. (2.) NEBO: Stacionární bod dosadíme do g''( x) a je-li g''( x) > 0 , jde o minimum, je-li g''( x) < 0 , jde o maximum. 3. Velikost (y-ovou souřadnici) extrému zjistíme dosazením stacionárního bodu do původní finkce g(x). 2.
3
Příklad. Najděte lokální extrémy funkce g( x) = x − 3x 2 2
2
g'( x) = 3x − 3 = 0 g''( x) = 6x
x =1
x2 = −1
x1 = 1
stacionární body
g''( 1 ) = 6⋅ 1 = 6 > 0
LoMi
g( 1) = −2
m[ 1 ; -2 ]
g''( −1) = 6 ⋅ ( −1 ) = −6 < 0
LoMa
g( −1 ) = 2
M[ -1 ; 2 ]
Příklad. Najděte lokální extrémy funkce g( x) = ln( x − 3 ) −
g'( x) =
x2 =
1 x−3
−6 +
− (x − 3) =
36 − 32 −2
dosadíme SB:
g( 4) = ln( 4 − 3) −
=
1 − (x − 3) x−3
−6 + 2 −2
g''( 4 ) = ( 4 − 3) 2
2
2
−x + 6x − 8 x−3
=0
1
− 1 = −2 < 0
2
=0 −
2
1
2
−1 2
0
1
x
, x>3
(x − 3)
−1
2
x1 = g''( x) =
0 1
2
=
mimo D(f)
=2
( x − 3)
1 g( x)
−6 − 36 − 32 −2 −1
=
−6 − 2 −2
=4
SB
6
8 10
0 10
LoMa
g( x) 20
1 2
= −0 , 5
jde o jediné LoMa : M[ 4 ; -0,5 ]
30
2
4
x
2
Inflexe, konkávnost a konvexnost slouží k nalezení intervalů, kde funkce je konvexní (graf leží nad tečnou) resp. konkávní (graf leží pod tečnou). Body z D(g) v nichž se konvexnost mění na konkávnost nebo naopak, se nazývají inflexní body. Je-li některý bod a inflexní, potom g''( a) = 0 , je-li v okolí bodu a funkce konvexní, potom g''( a) > 0 , je-li v okolí bodu a funkce konkávní, potom g''( a) < 0 . 3
2
Příklad. Je dána funkce g( x) = x − 6x + 8x
4
2
potom g'( x) = 3x − 12x + 8 , g''( x) = 6x − 12 ,
2
dosadíme-li g''( 1) = −6 < 0 a g(x) je tam konkávní,
g( x)
0
dosadíme-li g''( 3) = 6 > 0
a g(x) je tam konvexní,
2
dosadíme-li g''( 2) = 0
a g(x) tam má inflexní bod.
4
0
1
2
3
4
x
Inflexní body najdeme: 1. Řešíme rovnici g''( x) = 0 , jedině v jejích kořenech mohou být inflexní body - označme je a. 2. Správně: je-li g'''( a) ≠ 0 , jde o inflexní bod. Pro nás stačí ověřit, že tyto kořeny leží v D(f). 3. Velikost (y-ovou souřadnici) inflexního bodu najdeme dosazením do g(x) , tedy je to g(a) . 4
3
Příklad. Najděte inflexní body funkce g( x) = x − 4x 3
2
g'( x) = 4x − 12x
,
2
g''( x) = 12x − 24x
tedy, řešením jsou kořeny
x1 = 0
a
, kde D(g) = R
, řešíme rovnici
2
12x − 24x = 0
, tj.
12x⋅ ( x − 2) = 0
x2 = 2 , které oba leží v D(g). Usoudíme, že jsou to inflexní body.
Pro přesnější zjištění potřebujeme 3.derivaci, tedy g'''( x) = 24x − 24 , a protože g'''( 0) = −24 ≠ 0 , stejně jako g'''( 2 ) = 24 ≠ 0 , máme jistotu, že to inflexní body opravdu jsou. Velikost (y-ovou souřadnici) nejdeme: g( 0) = 0 , zatím co g( 2 ) = −16 , takže máme dva inflexní body: I1 [ 0 ; 0 ] , I2 [ 2 ; 0 ] . Oba leží na ose x . 4
3
g( x) := x − 4 ⋅ x 8 4 0 4 8 12 16 20 24 28
1
0
1
2
Znaménko g''( x) : konvexní
konkávní
konvexní
++++++++ --------------------- ++++++++ ______ , _____________ , _________ 0
2
3
4
Asymptoty ke grafu funkce bez směrnice: jsou kolmé k ose x , mají rovnici x = a , kde a je bod, kde asymptota protíná osu x . hledáme je v bodech, kde funkce není definována. Existují, jestliže existuje aspoň jedna jednostranná limita k bodu a . se směrnicí: jsou pouze dvě (k ∞ , resp. k −∞ ). Mají rovnice y = k1.x + q1 , y = k2 .x + q2 , kde koeficienty spočítáme: g( x) g( x) , k2 = lim , q 1 = lim k1 = lim g( x) − k1 ⋅ x , q 2 = lim g( x) − k2⋅ x x x x→∞
x→−∞
x→∞
(
)
x→−∞
(
)
2
Příklad. Najděte všechny asymptoty ke grafu funkce g( x) =
x
x−4
, kde D(g) = R - {4} .
asy bez nemůže být jinde než v bodě a = 4 . Proto zkusíme obě limity (limity z obou stran) : 2
2
x 16 lim = = −∞ −0 x → 4− x − 4
x 16 lim = =∞ 0 x → 4+ x − 4
,
, tj graf jde k asymptotě x = 4 z obou stran.
asy se zjistíme : 2
k1 =
q1 =
x
lim
=
x → ∞ ( x − 4)⋅ x
x
lim
x→∞ x−4
lim
∞
= LH =
lim
1
x→∞ 1
=1
2 2 x2 ∞ x − x + 4x 4x 4 − 1⋅ x = lim = lim = = LH = lim =4 x−4 ∞ x→∞ x → ∞ x− 4 x→∞ x−4 x→∞ 1
y=x+4
2
q2 =
∞
lim
první z nich má rovnici
k2 =
=
x
lim
x → − ∞ (x − 4)⋅ x
=
lim
x
x→−∞ x−4
=
∞ ∞
= LH =
2 2 x2 x − x + 4x − 1 ⋅ x = lim = x−4 x→−∞ x → −∞ x− 4
lim
1
x→−∞ 1
=1
lim
4x
x→−∞ x−4
=
∞ ∞
= LH =
lim
4
x→−∞ 1
=4
40
20
0
druhá z nich má rovnici
y=x+4
Jev, že k oběma nekonečnům vychází tatáž asymptota je velmi častý. Proto výpočet provádíme společně.
20 0
10
Průběh funkce se skládá z těchto kroků: definiční obor, lichost / sudost, periodicita ....................
z g( x)
kladnost / zápornost, kořeny .....................................
z g( x)
růst, pokles, extrémy ................................................
z g'( x)
konvexnost, konkávnost, inflexe ................................. z g''( x) asymptoty ........................................................ pomocí limit některé důležité body funkce ..................................... z g( x) sestrojíme graf Doporučený postup: 1. zjistit definiční obor, lichost / sudost, periodicitu. 2. spočítat g'( x) a g''( x) 3. 4. 5. 6. 7.
vyřešit rovnice g( x) = 0 , g'( x) = 0 , g''( x) = 0 a jejich kořeny zakreslit do trojgrafu v grafech vyznačit kladnost/zápornost, růst/poklas, konvexnost/konkávnost, kořeny funkce, extrémy a inflexe najít rovnice asymptot vypočítat y-ové souřadnice důležitých bodů sestrojit graf (začít asymptotami a důležitými body)
Pozn.: často některé z částečných úloh odpadnou (funkce je jednoduchá). 2
Příklad. Sestrojte průběh funkce g( x) = 1 − x 2
2
g( −x) = 1 − ( −x) = 1 − x = g( x) ....... g(x) je sudá
D( g) = R g'( x) = −2x
periodická není
g''( x) = −2 2
g( x) = 0
tj.
1 −x =0
x1 = 1
x2 = −1
g'( x) = 0
tj.
−2x = 0
x3 = 0
je kořen derivace, tj. stacionární bod
g''( x) = 0
tj.
−2 = 0
nelze
funkce nemá žádný inflexní bod
jsou kořeny funkce (tam graf prochází osou x)
funkce nemá asymptoty bez směrnice, neboť D(g) = R. k12 =
(1 − x2)
lim x→∞
x
=
∞ ∞
= LH =
−2 x
lim x→∞
1
=∞
funkce nemá žádné asymptoty se směrnicí
důležité body: pro "uchycení" grafu si vybereme 1 , -1 a 0, tj. g(1) = 0 , g(-1) = 0 , g(0) = 1. trojgraf : g( x)
g'( x)
záporná
2
________ , _________________ , __________ −1 1
1
záporná
kladná
r o s t e
k l e s á
_________________ , ___________________ 0 g''( x)
k o n k á v n í _____________________________________
0 g( x)
1 2 3 4
2
1
0 x
1
2
x
Příklad. Sestrojte průběh funkce g ( x) :=
2
1+ x −x
g( −x) =
D( f ) = R
1 + ( −x) g'( x) =
g''( x) =
(
2
x
=−
2
= −g( x)
, g(x) je lichá, není periodická
1+x
) − x⋅2⋅x = 1 + x2 − 2⋅x2 = 1 − x2 2 2 2 (1 + x2) (1 + x2) (1 + x2) 2
1⋅ 1 + x
(
2
−2⋅ x⋅ 1 + x
) − (1 − x2)⋅2⋅(1 + x2)⋅2⋅x = (1 + x2)⋅(−2⋅x − 2⋅x3 − 4⋅x + 4⋅x3) = 2⋅x3 − 6⋅x = 2⋅x⋅(x2 − 3) 2 4 3 3 2 2) 2) 2) ( ( ( 2 1 + x 1 + x 1 + x ( 1 + x ) 2
x
g(x) = 0
kořeny:
tj.
=0
x0 = 0
2
1+x
2
extrémy: g´(x) = 0
1−x
(1 + x ) 2 2 ⋅ x⋅ ( x − 3) =0 3 (1 + x2) 2
g´´(x) = 0
inflexe:
=0
2
1 −x =0
tj.
2
(2 )
2 ⋅ x⋅ x − 3 = 0
trojgraf : g( x)
tj.
x2 = −1
x1 = 1
tj.
x3 = 0
x5 = − 3
x4 = 3
0.6
záporná
kladná
___________________ , ___________________ 0
0.5 0.4 0.3
g'( x)
klesá
r o s t e
klesá
___________ , ______________ , ____________ −1 1
0.2 0.1 0
g''( x)
konk. konvexní konkávní konv. ______ , ____________ , _____________ , _______ − 3 0 3
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
3
2
1
0
1
2
m
3
Asymptoty bez směrnice nejsou, protože D(g) = R Asymptoty se směrnicí: k12 =
q 12 =
lim
x→∞
lim
x→∞
f ( x) x
=
lim
(
x
)
x → ∞ 1 + x2 ⋅ x
(f ( x) − k12⋅ x) =
lim
=
1
lim
x → ∞ 1 + x2
x
x → ∞ 1 + x2
=
∞ ∞
=
lim
1
=
∞ 1
x → ∞ 2x
=0 y = 0⋅ x + 0 = 0 =
1 ∞
osa x
=0
Tentýž graf ještě dvakrát v jiných měřítcích tak, aby bylo vidět a) konkávnost a konvexnost b) asymptotu 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
50
40
30
20
10
0
10
20
30
40
50
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
