Dvojné a trojné integrály – příklad 3 Spočtěte
ZZ x2 y dx dy , A
kde A = (x, y) ; 4x2 + y 2 ≤ 4 .
Řešení: Protože obor integrace A je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] ↔ [x; −y], a funkce f (x, y) je lichá v proměnné y, tj. f (x, −y) = −f (x, y), je nejjednodušší provést substituci x = X y = −Y =⇒ |J| = 1 ; 4x2 + y 2 ≤ 4 → 4X 2 + Y 2 ≤ 4 . Po této substituci dostaneme ZZ ZZ ZZ X 2 Y dX dY = −I =⇒ 2I = 0 =⇒ x2 y dx dy = 0 . x2 y dx dy = − I= A
A
A
Spočtěte
ZZ xy dx dy , A
kde A = (x, y) ; y 2 ≤ 2x , y ≥ x − 4 .
Řešení: Oblast integrace lze zapsat pomocí nerovností y 2 ≤ x ≤ y + 4 =⇒ y 2 ≤ 2y + 8 =⇒ −2 ≤ y ≤ 4 .
1 2
Podle Fubiniovy věty pak je ZZ
Z xy dx dy =
A
Z
4
y+4
dy 1 2
−2
y2
1 xy dx = 2
Spočtěte
Z
4
2
y (y+4) −2
− 14 y 4
4 1 y4 8y 3 y6 2 dy = + + 8y − = 90 . 2 4 3 24 −2
ZZZ dx dy dz , A
kde A = {(x, y, z) ; x ≥ 0 , y ≥ 0 , z ≥ 0 , x + y + z ≤ 1}. Řešení: Když zapíšeme integrační obor A pomocí nerovností jako 0 ≤ z ≤ 1 − x − y , x ≥ 0 , y ≥ 0 =⇒ 0 ≤ z ≤ 1 − x − y ,
x ≥ 0, y ≥ 0, 0 ≤ 1 − x − y,
lze použít Fubiniovu větu a psát ZZZ
ZZ dx dy dz =
A
Z
ZZ
1−x−y
dx dy Ω
dz = 0
(1 − x − y) dx dy , Ω
kde Ω = (x, y) ∈ R2 ; x ≥ 0 , y ≥ 0 , x + y ≤ 1 . Zapíšeme-li ještě množinu Ω ve tvaru 0 ≤ y ≤ 1 − x , x ≥ 0 =⇒ 0 ≤ y ≤ 1 − x ,
x ≥ 0 , 0 ≤ 1 − x =⇒ 0 ≤ x ≤ 1
a použijeme na integrál přes Ω opět Fubiniovu větu, dostaneme ZZZ
Z dx dy dz = A
Z
1
dx 0
Z
1−x
(1 − x − y) dy = 0
0
1
1 2
i1 h 1 (1 − x)2 dx = − 16 (1 − x)3 = . 6 0 Typeset by AMS-TEX
1
Určete těžiště tělesa A v R3 , kde A = (x, y, z) ; 0 ≤ z ≤ x2 + y 2 , x2 ≤ y ≤ 1 . Řešení: Souřadnice těžiště T = xT ; yT ; zT homogenního tělesa A najdeme ze vzorce ZZZ ZZZ ZZZ 1 1 1 xT = x dx dy dz , yT = y dx dy dz , zT = z dx dy dz , V V V A A Z ZAZ kde V = dx dy dz . A
Při výpočtu integrálů budeme používat Fubiniovu větu. Z rovnic popisujících množinu A plyne, že platí ZZZ ZZ Z x2 +y2 f (x, y, z) dx dy dz = dx dy f (x, y, z) dz , A
Ω
0
kde množina Ω = (x, y) ∈ R2 ; x2 ≤ y ≤ 1 = (x, y) ∈ R2 ; x2 ≤ y ≤ 1 , x2 ≤ 1 = = (x, y) ∈ R2 ; x2 ≤ y ≤ 1 , −1 ≤ x ≤ 1 . Poslední tvar množiny Ω je vhodný pro další použití Fubiniovy věty a vede k rovnosti ZZZ Z 1 Z 1 Z x2 +y2 f (x, y, z) dx dy dz = dx dy f (x, y, z) dz . A
Pro objem tělesa takto dostaneme Z 1 Z 1 Z x2 +y2 Z V = dx dy dz = =
x2
−1 3
x2
−1
0
x x x x − + − 3 5 3 21
= −1
Z
1
2
dx
1
2
x + y ) dy = x2
−1
7 1
5
Z
1
0
x2 − x4 +
−1
1 3
1 3
−
x6 dx =
88 . 105
Při výpočtu souřadnice xT tělesa A je nerychlejší si všimnout, že těleso je symetrické vzhledem k rovině yz, tj. vzhledem k transformaci [x; y; z] ↔ [−x; y; z]. V takovém případě vede substituce x = −X, y = Y a z = Z ke vztahu ZZZ ZZZ ZZZ ZZZ x dx dy dz = − X dX dY dZ = − x dx dy dz ⇒ x dx dy dz = 0 ⇒ xT = 0 . A
A
A
A
Pro výpočet souřadnice yT musíme najít integrál ZZZ Z 1 Z 1 Z x2 +y2 Z y dx dy dz = dx dy y dz = A
Z
x2
−1 1
1 2
= −1
Podobně dostaneme ZZZ Z z dx dy dz = A
x2 +
=
1 4
Z
1
−
Z
1
−1
1 2
x6 −
Z
1 4
x2
x4 +
x8 dx =
z dz = 0
2 3
x2 +
1 5
x2 +y 2
dy
− x6 −
1
dx
−1
1
dx
−1
1 = 2
0
Z
1
1 2 2 3
Z
x3 x x7 x9 + − − 6 4 14 36 Z
1
1
dx
x8 −
x2 + y 2
1 5
x10 dx =
1 = −1
1 = −1
2
x2
−1
1 x5 2x3 x x7 2x9 x11 + + − − − 2 5 9 5 7 27 55 2
y x2 + y 2 dy =
x2
4024 . 10395
dy =
16 . 21
Tedy souřadnice těžiště jsou xT = 0 ,
yT =
10 , 11
zT =
503 . 1089
Určete objem tělesa A = (x, y, z) ; 0 ≤ z ≤ 2 − x − y , x2 + y 2 ≤ 1 , x ≥ 0 , y ≥ 0 . Řešení: Ze zadání oblasti integrace je zřejmé, že podle Fubiniovy věty platí ZZZ V =
ZZ dx dy dz = Ω
ZZ
2−x−y
dx dy
A
kde
Z
dz = 0
(2 − x − y) dx dy , Ω
Ω = (x, y) ∈ R2 ; 0 ≤ 2 − x − y , x2 + y 2 ≤ 1 , x ≥ 0 , y ≥ 0 .
Lze se přesvědčit, třeba s náčrtku v rovině, že podmínka x+y ≤ 2 je důsledkem nerovnosti x2 +y 2 ≤ 1. Proto lze psát Ω = (x, y) ∈ R2 ; x2 + y 2 ≤ 1 , x ≥ 0 , y ≥ 0 . Abychom našli integrál přes množinu Ω, zavedeme polární souřadnice x = r cos ϕ , y = r sin ϕ ,
r > 0 , 0 < ϕ < 2π ,
J = r.
Množina Ω je v proměnných r a ϕ dána nerovnostmi x2 + y 2 ≤ 1 =⇒ r < 1 ,
x = r cos ϕ > 0 , y = r sin ϕ > 0 =⇒ 0 < ϕ <
1 2
π.
Tedy hledaný objem je Z
Z
1
V = Z
0
Z
π/2
dr 0 1
= 0
1
r(2 − r cos ϕ − r sin ϕ) dϕ =
h iπ/2 dr = r 2ϕ − r sin ϕ + r cos ϕ 0
0
π 2 πr − 2r2 dr = − . 2 3
Vypočtěte integrál
ZZ xy 2 dx dy , A
kde
A = (x, y) ; x2 + (y − 1)2 ≥ 1 , x2 + (y − 2)2 ≤ 4 .
Řešení: Protože obor integrace A je symetrický vzhledem k ose y, tj. vzhledem k substituci [x; y] ↔ [−x; y], a funkce f (x, y) je lichá v proměnné x, tj. f (−x, y) = −f (x, y), je nejjednodušší provést substituci x = −X
y = Y =⇒ |J| = 1 ;
2
x + (y − 1)2 ≥ 1 , x2 + (y − 2)2 ≤ 4 =⇒ X 2 + (Y − 1)2 ≥ 1 , X 2 + (Y − 2)2 ≤ 4 . Po této substituci dostaneme ZZ ZZ ZZ 2 2 I= xy dx dy = − XY dX dY = −I =⇒ 2I = 0 =⇒ xy 2 dx dy = 0 . A
A
A
3
Určete souřadnice těžiště obrazce A = (x, y) ; (x2 + y 2 )2 ≤ 2y 3 . Řešení: Souřadnice těžiště xT a yT rovinného obrazce A určíme ze vztahů ZZ ZZ ZZ 1 1 xT = x dx dy , yT = y dx dy , kde P = dx dy . P P A A A Množinu A v příkladu, lze poměrně snadno popsat v polárních souřadnicích x = r cos ϕ , y = r sin ϕ ,
r > 0 , 0 < ϕ < 2π ,
J = r.
Když dosadíme do nerovnosti, která popisuje množinu A, dostaneme r4 ≤ 2r3 sin3 ϕ =⇒ 0 < r < 2 sin3 ϕ =⇒ sin ϕ > 0 =⇒ 0 < ϕ < π . Tedy podle věty o substituci a Fubiniovy věty je ZZ
Z
A
Z
π
f (x, y) dx dy =
2 sin3 ϕ
dϕ 0
f (r cos ϕ, r sin ϕ) rdr . 0
Z tohoto vztahu dostaneme ZZ
Z
P =
Z
π
dx dy = A
0
Z
2 sin3 ϕ
dϕ
π
2 sin6 ϕ dϕ = 2 ·
r dr = 0
0
5 5 3 1 · · π = π, 6 4 2 8
kde jsem použil známý rekurentní vztah Z π Z n − 1 π n−2 sinn ϕ = sin ϕ dϕ , n 0 0 který platí pro n ≥ 2. Souřadnici xT těžiště bychom mohli zjistit okamžitě, kdybychom si uvědomili, že množina A je symetrická vzhledem k ose y, tj. vzhledem k transformaci [x; y] ↔ [−x; y]. Z toho ihned plyne xT = 0. Pomocí integrálu bychom dostali ZZ
Z x dx dy = A
Z
π
2 sin3 ϕ
dϕ 0
0
8 r cos ϕ dr = 3
Z
π
2
0
8 sin ϕ cos ϕ dϕ = sin10 ϕ 30
π
9
= 0, 0
kde jsme v posledním integrálu použili substituci sin x = t. K výpočtu souřadnice yT těžiště potřebujeme najít integrál ZZ
Z A
Z
π
y dx dy =
dϕ 0
2 sin3 ϕ
r2 sin ϕ dr =
0
8 3
Z 0
π
sin10 ϕ dϕ =
8 9 7 5 3 1 · · · · · π, 3 10 8 6 4 2
kde jsem opět využil pro výpočet posledního integrálu rekurentní vzorec. Z těchto vztahů už dostaneme souřadnice těžiště 21 xT = 0 , yT = . 20 Vypočtěte obsah obrazce A = (x, y) ; (x2 + y 2 )2 ≤ 2(x2 − y 2 ) , x2 + y 2 ≥ 1 . 4
Řešení: Danou množinu je výhodné popisovat v polárních souřadnicích r > 0 , − 12 π < ϕ <
x = r cos ϕ , y = r sin ϕ ,
3 2
π,
J = r.
V těchto souřadnicích jsou nerovnosti, které popisují množinu A x2 + y 2
2
≤ 2 x2 − y 2 =⇒ r2 ≤ 2 cos2 ϕ − sin2 ϕ = 2 cos 2ϕ ,
x2 + y 2 ≥ 1 =⇒ r ≥ 1 .
Tedy množina A je v polárních souřadnicích popsána nerovnostmi p 1 ≤ r ≤ 2 cos 2ϕ , cos 2ϕ > 0 =⇒ ϕ ∈ − 16 π, 61 π ∪
5 6
π, 76 π .
Obsah P množiny A najdeme pomocí integrálu ZZ P =
Z dx dy =
A
Z
π/6
cos 2ϕ − −π/6
sin 2ϕ − ϕ 2
Vypočtěte obsah obrazce
Z
+ −π/6
(x, y) ;
2 cos 2ϕ
dϕ 5π/6
r dr = 1
7π/6
dϕ +
π/6
A=
1 2
√
Z
7π/6
r dr + 1
=
Z
2 cos 2ϕ
dϕ −π/6
=
√
Z
π/6
cos 2ϕ − 5π/6
sin 2ϕ − ϕ 2
x2 y2 + 2 ≤x+y 2 a b
7π/6 =
1 2
√
dϕ =
3−
5π/6
π . 3
,
kde a, b > 0. Řešení: Množina A je elipsa, která má osy rovnoběžné s osami souřadnic. Najdeme proto její střed a poloosy. Nerovnost, která definuje množinu A, je možné upravit na 2 2 x2 y2 x2 y2 1 a2 1 b2 a2 + b2 + ≤ x + y =⇒ − x + − y ≤ 0 =⇒ x − + x − ≤ . 2 2 2 2 2 2 a b a b a 2 b 2 4 √ √ Jedná se tedy o elipsu se středem v bodě 21 a2 ; 12 b2 a poloosami 12 a a2 + b2 a 12 b a2 + b2 . Proto zavedeme souřadnice √ √ a2 a a2 + b2 b2 b a2 + b2 ab(a2 + b2 ) x= + r cos ϕ , y = + r cos ϕ , r > 0 , 0 < ϕ < 2π , J = r. 2 2 2 2 4 V těchto souřadnicích je daná elipsa určená nerovnostmi 0 < r < 1 a 0 < ϕ < 2π. Tedy obsah P dané elipsy je Z Z 1 ZZ π ab(a2 + b2 ) 2π dϕ rdr = ab(a2 + b2 ) . P = dx dy = 4 4 0 0 Určete obsah obrazce A = {(x, y) ; 1 ≤ x + y ≤ 2 , x ≤ y ≤ 2x , x ≥ 0 , y ≥ 0} . Řešení: Jestliže zapíšeme nerovnosti, které definují množinu A, ve tvaru 1 ≤ x + y ≤ 2 , x ≤ y ≤ 2x =⇒ 1 ≤ x + y ≤ 2 , 1 ≤ 5
y ≤ 2, x
je zřejmé, že bude výhodné použít souřadnice u = x+y,
v=
y . x
(1)
V souřadnicích u a v množina A definována nerovnostmi 1 ≤ u ≤ 2 a 1 ≤ v ≤ 2, a tedy je čtverec. Ještě musíme najít jakobián této transformace. Ten splňuje vztah ∂u ∂u ∂x ∂y 1 x+y 1 1 = det = det = . −2 −1 −yx x ∂v ∂v J x2 ∂x ∂y Z rovnic (1) plyne
u , 1+v
x=
y=
uv . 1+v
Jestliže tyto vztahy dosadíme do jakobiánu, dostaneme J=
x2 u = . x+y (1 + v)2
Tedy hledaný obsah P množiny A je ZZ
Z
P =
2
dv
A
Určete polární moment obrazce, tj.
Z
2
dx dy = 1
RR A
1
u du 3 = (1 + v)2 2
Z
2 1
dv 1 = . (1 + v)2 4
(x2 + y 2 ) dx dy,
A = {(x, y) ; 1 ≤ xy ≤ 2 , x ≤ y ≤ 2x , x ≥ 0} . Řešení: Jestliže zapíšeme nerovnosti, které definují množinu A, ve tvaru 1 ≤ xy ≤ 2 , x ≤ y ≤ 2x =⇒ 1 ≤ xy ≤ 2 , 1 ≤
y ≤ 2, x
je zřejmé, že bude výhodné použít souřadnice u = xy ,
v=
y . x
(1)
V souřadnicích u a v množina A definována nerovnostmi 1 ≤ u ≤ 2 a 1 ≤ v ≤ 2, a tedy je čtverec. Ještě musíme najít jakobián této transformace. Ten splňuje vztah ∂u ∂u ∂x ∂y 1 2y y x = det = det = 2v . = ∂v ∂v −yx−2 x−1 J x ∂x ∂y Z rovnic (1) plyne x2 = Proto dostaneme ZZ 2
x +y A
2
Z
Z
2
dx dy =
dv 1
1
2
u , v
y 2 = uv .
3 u(1 + v 2 ) du = v 2v 4 6
Z 1
2
9 v −2 + 1 dv = . 8
RRR
Určete moment setrvačnosti Jz (A) =
A
(x2 + y 2 ) dx dy dz tělesa
A = (x, y, z) ; x2 + y 2 − 2z + 2 ≤ 0 , x2 + y 2 + z ≤ 4 .
Řešení: Jestliže zapíšeme nerovnosti , které popisují množinu A, ve tvaru 1 2
x2 + y 2 + 2 ≤ z ≤ 4 − x2 − y 2 ,
nabízí se použít při výpočtu integrálu Fubiniovu větu ZZZ
x2 +y 2 dx dy dz =
A
Z
ZZ
4−x2 −y 2
x2 +y 2 dz =
dx dy
ZZ
1 2 2 2 (x +y )+1
Ω
Ω
x2 +y 2 · 3− 32 (x2 +y 2 ) dx dy ,
kde je množina Ω ⊂ R2 dána nerovností 1 2
x2 + y 2 + 1 ≤ 4 − x2 − y 2 .
Protože integrovaná funkce i nerovnosti, které definují Ω závisí pouze na proměnné r2 = x2 + y 2 , zdá se výhodné použít při výpočtu integrálu polární souřadnice x = r cos ϕ , y = r sin ϕ ,
r > 0 , 0 < ϕ < 2π ,
J = r.
V těchto souřadnicích je množina Ω dána nerovností 1 2
x2 + y 2 + 1 ≤ 4 − x2 − y 2 =⇒
1 2
r2 + 1 ≤ 4 − r2 =⇒ r2 ≤ 2 =⇒ r ≤
√
2.
Podle věty o substituci a Fubiniovy věty tedy je ZZZ 2
x +y A
Určete objem tělesa
2
3 dx dy dz = 2
Z
√
Z
2π
2
dϕ 0
0
r4 r6 r (2 − r ) rdr = 3π − 2 6 2
A = (x, y, z) ; x2 + y 2 + z 2 ≤ 9 , 1 ≤ z ≤ 2 .
Řešení: Když zapíšeme nerovnosti, které definují množinu A, ve tvaru x2 + y 2 ≤ 9 − z 2 ,
1 ≤ z ≤ 2,
můžeme použít Fubiniovu větu a psát ZZZ
Z
V =
dx dy dz = A
kde Ωz je kruh
ZZ
2
dz 1
dx dy , Ωz
Ωz = (x, y) ∈ R2 ; x2 + y 2 ≤ 9 − z 2 .
Integrál přes kruh Ωz najdeme nejsnáze pomocí polárních souřadnic x = r cos ϕ , y = r sin ϕ ,
r > 0 , 0 < ϕ < 2π ; 7
√2
2
J = r.
= 2π . 0
Kruh Ωz je v těchto souřadnicích dán nerovností 0 < r < ZZ
Z dx dy =
√ 9−z 2
Z
2π
dϕ
Ωz
0
√
9 − z 2 . Pak je
r dr = π 9 − z 2 .
0
Tedy hledaný objem tělesa A je Z
2
V =π 1
Určete moment setrvačnosti Jz (A) =
RRR A
20 9 − z 2 dz = π. 3
(x2 + y 2 ) dx dy dz tělesa
A = (x, y, z) ; x2 + y 2 ≤ 4 , x + y + z ≤ 4 , z ≥ 0 . Řešení: Jestliže zapíšeme nerovnosti, které definují množinu A, ve tvaru 0 ≤ z ≤ 4−x−y,
x2 + y 2 ≤ 4 ,
je zřejmé, že můžeme k výpočtu integrálu použít Fubiniovu větu ve tvaru ZZZ Jz (A) =
x2 +y 2 dx dy dz =
ZZ
Z
4−x−y
dx dy
A
Ω
x2 +y 2 dz =
0
ZZ
x2 +y 2 4−x−y dx dy , Ω
kde množina Ω je určena nerovnostmi x2 + y 2 ≤ 4 ,
0 ≤ 4 − x − y =⇒ x2 + y 2 ≤ 4 .
Protože integrujeme přes kruh, je výhodné použít k výpočtu polární souřadnice x = r cos ϕ , y = r sin ϕ ,
r > 0 , 0 < ϕ < 2π ;
J = r.
Protože množina Ω je v polárních souřadnicích určena nerovnostmi 0 < r < 2, je podle věty o substituci Z 2 Z 2π Z 2 Jz (A) = dr r2 4 − r cos ϕ − r sin ϕ r dϕ = 8π r3 = 32π . 0
0
0
Určete souřadnice těžiště tělesa A=
x2 y2 (x, y, z) ; 2 + 2 ≤ z ≤ 4 a b
,
je-li hustota rozložení hmoty rovna jedné. Řešení: Souřadnice těžiště T = xT ; yT ; zT homogenního tělesa A najdeme ze vzorce ZZZ ZZZ ZZZ 1 1 1 x dx dy dz , yT = y dx dy dz , zT = z dx dy dz , xT = V V V A A Z ZAZ kde V = dx dy dz . A
Protože je těleso souměrné vzhledem k rovině yz, tj. vzhledem k substituci [x; y; z] ↔ [−x; y; z], resp. vzhledem k rovině xz, tj. vzhledem k substituci [x; y; z] ↔ [x; −y; z], je zřejmé, že xT = yT = 0 . 8
Souřadnici zT těžiště nalezneme pomocí integrálů. Jestliže zapíšeme nerovnosti, které definují těleso A v ekvivalentním tvaru x2 y2 + ≤ z, 0 ≤ z ≤ 4, a2 b2 lze použít Fubiniovu větu ve tvaru ZZZ
Z
ZZ
4
f (x, y, z) dx dy dz =
dz
A
f (x, y, z) dx dy ,
0
Ωz
x2 y2 kde Ωz je elipsa 2 + 2 ≤ z. Protože integrujeme přes elipsu, je při výpočtu dvojného integrálu a b zavést souřadnice x = ar cos ϕ , y = ar sin ϕ ,
r > 0 , 0 < ϕ < 2π ;
J = abr .
V těchto souřadnicích je elipsa Ωz určená nerovností r2 ≤ z ,
0 < ϕ < 2π =⇒ 0 < r <
√
z , 0 < ϕ < 2π .
Proto je Z V = ZZ
Z
4
√
dz 0
Z
z
dr 0
z dx dy dz =
4
abr dϕ = 2πab 0 4
Z
A
Z
2π
Z
√
0
0
Z
0
Z
z abr dϕ = πab 0
xT = yT = 0 ,
zT =
z dz = 8πab . 0
4
z 2 dz =
0
Tedy souřadnice těžiště jsou
4
r dr = πab
dz
2π
dr
dz
√ z
Z
0
Z
z
Z
64 πab . 3
8 . 3
Určete souřadnice těžiště tělesa A=
(x, y, z) ;
x2 y2 z2 + ≤ , 0 ≤ z ≤ c , a2 b2 c2
je-li hustota rozložení hmoty rovna jedné Řešení: Souřadnice těžiště T = xT ; yT ; zT homogenního tělesa A najdeme ze vzorce 1 xT = V kde
ZZZ
x dx dy dz , Z ZAZ V = dx dy dz .
1 yT = V
ZZZ y dx dy dz , A
1 zT = V
ZZZ z dx dy dz , A
A
Protože je těleso souměrné vzhledem k rovině yz, tj. vzhledem k substituci [x; y; z] ↔ [−x; y; z], resp. vzhledem k rovině xz, tj. vzhledem k substituci [x; y; z] ↔ [x; −y; z], je zřejmé, že xT = yT = 0 . Souřadnici zT těžiště nalezneme pomocí integrálů. Z nerovnic, které popisují těleso A lze nahlédnout, že budou výhodné souřadnice x = ar cos ϕ , y = br cos ϕ , z = ch ,
r > 0 , 0 < ϕ < 2π , h ∈ R ; 9
J = abcr .
Protože v těchto souřadnicích je těleso popsáno nerovnostmi r 2 ≤ h2 ,
0 ≤ h ≤ 1 =⇒ 0 < r < h ,
0 < h < 1,
0 < ϕ < 2π ,
jsou hledané integrály ZZZ
Z
V = A
ZZZ
Z
Z
1
dϕ 0
h
dh
0
0
abcr dr = 0
Z
1
dϕ
h
dh 0
Z
2π
z dx dy dz = A
Z
2π
dx dy dz =
0
abc 2
Z
abc2 ch abcr dr = 2
Z
2π
1
dϕ 0
Z
h2 dh =
1 πabc , 3
h3 dh =
1 πabc2 . 4
0
Z
2π
1
dϕ 0
0
Tedy souřadnice těžiště tělesa A jsou xT = yT = 0 ,
Spočtěte
zT =
3 c. 4
ZZZ (x + y + z) dx dy dz , A
kde
A = (x, y, z) ; x2 + y 2 ≤ 2y , z ≥ 0 , z 2 ≤ x2 + y 2 .
Řešení: Jestliže zapíšeme nerovnosti, které definují množinu A, ve tvaru 0≤z≤
p
x2 + y 2 ,
x2 + y 2 ≤ 2y ,
je snadno vidět, že můžeme použít Fubiniovu větu ve tvaru ZZZ
Z √x2 +y2
ZZ (x + y + z) dx dy dz = A
dx dy Ω
ZZ =
(x + y + z) dz = 0
p (x + y) x2 + y 2 +
Ω
kde je množina
x2 + y 2
1 2
dx dy ,
Ω = (x, y) ∈ R2 ; x2 + y 2 ≤ 2y .
Integrály přes tuto množinu se často počítají pomocí polárních souřadnic x = r cos ϕ , y = r sin ϕ ,
r > 0 , 0 < ϕ < 2π ;
J = r.
Množina Ω je v souřadnicích r a ϕ určena nerovnostmi 0 < r < 2 sin ϕ =⇒ sin ϕ > 0 =⇒ 0 < ϕ < π . Tedy podle věty o substituce je ZZZ
Z (x + y + z) dx dy dz = A
Z
π
dϕ 0
Z
π
2 sin ϕ
cos ϕ + sin ϕ + 0
1 2
r3 dr =
sin4 ϕ cos ϕ + sin5 ϕ + 21 sin4 ϕ dϕ = 0 π iπ 1 3 1 64 3π 4 2h 1 =4 sin5 + · − cos ϕ + · π = + . 4 5 3 2 4 2 15 4 0 0 =4
10
ZZZ (x2 + y 2 ) dx dy dz pro těleso
Určete moment setrvačnosti Jz (A) = A
A=
x2 y2 z2 + + ≤ 1 , z ≥ 0 . a2 b2 c2
(x, y, z) ;
Řešení: Protože integrujeme přes polovinu elipsoidu, bude výhodné použít pro výpočet integrálu souřadnice r > 0 , − 12 π < θ <
x = ar cos θ cos ϕ , y = br cos θ sin ϕ , z = cr sin θ ,
1 2
π , 0 < ϕ < 2π ;
2
J = abcr cos θ . Množina A je v těchto souřadnicích popsána nerovnostmi 0 < r ≤ 1,
sin θ ≥ 0 ,
0 < ϕ < 2π =⇒ 0 < r ≤ 1 ,
0<θ<
1 2
π,
0 < ϕ < 2π .
Podle věty o substituci pak je ZZZ
x2 + y 2 dx dy dz =
Jz (A) = A
Z
π/2
Z
Z
Z
2π
Z
π/2
dϕ
1
dθ
0
0
r2 cos2 θ a2 cos2 ϕ + b2 sin2 ϕ abcr2 cos θ dr =
0
2π
1 abc cos3 θ dθ a2 cos2 ϕ + b2 sin2 ϕ dϕ = 5 0 0 2 2 1 2 2 πabc a2 + b2 . = abc · · π a + b = 5 3 15
=
Spočtěte
ZZZ p
x2 + y 2 + z 2 dx dy dz ,
A
kde
A = (x, y, z) ; x2 + y 2 + z 2 ≤ 2z .
Řešení: Integrály přes tuto množinu se poměrně často počítají pomocí sférických souřadnic x = r cos θ cos ϕ , y = r cos θ sin ϕ , z = r sin θ ,
r > 0 , − 12 π < θ <
1 2
π , 0 < ϕ < 2π ;
J = r2 cos θ . V těchto souřadnicích je množina A popsána nerovnostmi 0 < r ≤ 2 sin θ =⇒ sin θ ≥ 0 =⇒ 0 < r < 2 sin θ , 0 < θ <
1 2
π , 0 < ϕ < 2π .
Podle věty o substituci pak je ZZZ p
Z
A
Z
2π
x2 + y 2 + z 2 dx dy dz = 0
π/2
= 8π 0
11
2 sin θ
dθ 0
Z
Z
π/2
dϕ
r3 cos θ dr =
0
sin4 θ cos θ dθ = 8π
h
1 5
sin5 θ
iπ/2 0
=
8 π. 5
Spočtěte integrál
ZZ sin(x + y) dx dy , A
kde
n π πo A = (x, y) ; y > 0 , x + y < , x − y > − . 2 2
Řešení: Nejprve přepíšeme nerovnosti, které definují množinu A, na tvar y > 0,
y−
1 2
π<x<
1 2
y − 21 π <
π − y =⇒ y > 0 ,
1 2
π − y =⇒ 0 < y <
1 2
π,
který je vhodný pro použití Fubiniovy věty. Z ní pak dostaneme Z
ZZ
Z
π/2
sin(x + y) dx dy = A
dy Z
0
Z
π/2−y y−π/2
π/2
= 0
− cos(x + y) 0
h
1 2
cos(2y −
Spočtěte integrál
π/2 h
sin(x + y) dx = π) dy =
1 2
sin(2y −
1 2
iπ/2−y y−π/2
dy =
iπ/2 π) = 1. 0
ZZ dx dy , A
kde
A = (x, y) ; (x − y)2 + x2 ≤ a2 .
Řešení: Z nerovnice, která definuje množinu A je zřejmé, že bude výhodná substituce x − y = u, x = v,
u, v ∈ R ;
J = 1,
která převede množinu A na kruh Ω se středem v počátku souřadnic a poloměrem a. Podle věty o substituci je ZZ ZZ dx dy = du dv , A Ω kde Ω = (u, v) ∈ R2 ; u2 + v 2 = a2 . Integrál přes množinu Ω (který je samozřejmě πa2 ) najdeme třeba pomocí polárních souřadnic u = r cos ϕ , v = r sin ϕ ,
r > 0 , 0 < ϕ < 2π ;
J = r.
Protože je množina Ω v těchto souřadnicích určena nerovnostmi 0 < r < a a 0 < ϕ < 2π, je podle věty o substituci a Fubiniovy věty ZZ
Z dx dy =
A
Spočtěte integrál
Z
2π
a
dϕ 0
r dr = πa2 .
0
ZZ dx dy , A
kde
A=
5 (x, y) ; xy ≥ 1 , x + y ≤ , x > 0 , y > 0 2 12
.
Řešení: Nejprve přepíšeme nerovnosti, které definují množinu A, na tvar x > 0,
1 5 1 5 < y < − x =⇒ x > 0 , < − x =⇒ x > 0 , x2 − x 2 x 2
5 2
x + 1 < 0 =⇒
1 2
< x < 2,
který je vhodný pro použití Fubiniovy věty. Z ní pak dostaneme ZZ
Z dx dy = A
Z
2
Z
5/2−x
dx
2
dy =
1/2
1/x
1/2
Spočtěte integrál
5 1 −x− 2 x
ZZ A
kde
x2
2 5 1 2 15 dx = x − x − ln x = − 2 ln 2 . 2 2 8 1/2
x dx dy , + y2
A = (x, y) ; x2 ≤ 2y , y ≤ x .
Řešení: Nejprve přepíšeme nerovnosti, které definují množinu A, na tvar 1 2
x2 ≤ y ≤ x =⇒
1 2
x2 ≤ x =⇒ 0 ≤ x ≤ 2 .
který je vhodný pro použití Fubiniovy věty. Z ní pak dostaneme ZZ A
x Z 2 y π x dx arctg dx = − arctg dx = x x2 /2 4 2 0 x2 /2 0 0 2 π x 2 = x − x arctg + ln x + 4 = ln 2 . 4 2 0
x dx dy = x2 + y 2
Z
2
Z
x
x dy = x2 + y 2
Z 2
ZZ (x2 + y 2 ) dx dy množiny
Spočtěte polární moment J0 (A) = A
A = (x, y) ; x2 ≤ y , y 2 ≤ x .
Řešení: Nejprve přepíšeme nerovnosti, které definují množinu A, na tvar x2 ≤ y ≤
√
x =⇒ x2 ≤
√
x =⇒ 0 ≤ x ≤ 1 .
který je vhodný pro použití Fubiniovy věty. Z ní pak dostaneme ZZ 2
J0 (A) =
x +y A
Vypočtěte
2
Z dx dy =
Z
1
√
x
dx 0
x2 + y 2 dy =
Z 1
x2
0
ZZ A
6 . x5/2 + 13 x3/2 − x4 − 31 x6 dx = 35
y3 dx dy , x2 + y 2
kde A = {(x, y) ; 0 ≤ x ≤ y , −2 ≤ y ≤ 4} .
13
Řešení: Nejprve přepíšeme nerovnosti, které definují množinu A, na tvar 0 ≤ x ≤ y , −2 ≤ y ≤ 4 =⇒ 0 ≤ y , −2 ≤ y ≤ 4 =⇒ 0 ≤ y ≤ 4 . který je vhodný pro použití Fubiniovy věty. Z ní pak dostaneme ZZ A
y 3 dx dy = x2 + y 2
Z
Z
4
y
dy 0
0
Z 4
y 3 dx = x2 + y 2
Vypočtěte
0
x y arctg y
y
2
Z
4
dy = 0
0
π 2 16 y dy = π. 4 3
ZZ x2 y dx dy , A
kde
A = (x, y) ; y ≥ 0 , x2 + y 2 ≤ 2x .
Řešení: Tato množina A se při výpočtu integrálů často popisuje pomocí polárních souřadnic x = r cos ϕ , y = r sin ϕ ,
r > 0 , −π < ϕ < π ;
J = r.
V souřadnicích r a ϕ pak je množina A určena nerovnostmi x2 +y 2 ≤ 2x , y ≥ 0 =⇒ 0 < r ≤ 2 cos ϕ , cos ϕ ≥ 0 , sin ϕ ≥ 0 =⇒ 0 < r ≤ 2 cos ϕ , 0 ≤ ϕ ≤
1 2
π.
Podle věty o substituci a Fubiniovy věty proto je ZZ
Z
A
Z
π/2
x2 y dx dy =
dϕ 0
32 = 5
2 cos ϕ
Z
0
Z
π/2 0
Z
π/2
r2 cos2 ϕ · r sin ϕ · r dr = 0
π/2 1 4 32 8 7 − cos ϕ = . cos ϕ sin ϕ dϕ = 5 8 5 0
Vypočtěte
ZZ A
x2
2 cos ϕ
dϕ
r4 cos2 ϕ sin ϕ dr =
0
x dx dy , + y2
kde A = {(x, y) ; y ≤ x ≤ 2y , x ≤ 2} . Řešení: Nejprve přepíšeme nerovnosti, které definují množinu A, na tvar 1 2
x ≤ y ≤ x , x ≤ 2 =⇒
1 2
x ≤ x , x ≤ 2 =⇒ 0 ≤ x ≤ 2 .
který je vhodný pro použití Fubiniovy věty. Z ní pak dostaneme ZZ A
x dx dy = x2 + y 2
Vypočtěte
Z
Z
2
x
dx 0
x/2
x dy = x2 + y 2
x Z 2 Z 2 y 1 π 1 π dx = arctg − arctg dx = − 2 arctg . x 4 2 2 2 0 0 x/2
ZZ (x3 − x2 y) dx dy , A
14
kde
A = (x, y) ; y ≥ x2 , x ≥ y 2 .
Řešení: Nejprve přepíšeme nerovnosti, které definují množinu A, na tvar √ √ x2 ≤ y ≤ x =⇒ x2 ≤ x =⇒ 0 ≤ x ≤ 1 . který je vhodný pro použití Fubiniovy věty. Z ní pak dostaneme ZZ 3
2
Z
x − x y dx dy = A
Z
1
√ x
dx 0
x3 − x2 y dy =
Z
x2
1
x7/2 −
0
1 2
x3 − x5 +
1 2
1 x6 dx = . 504
Vypočtěte objem tělesa A, kde A = (x, y, z) ; x2 ≤ y ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ 4 − x − y . Řešení: Podle Fubiniovy věty je ZZ
ZZZ
Z
dx dy dz =
V =
dx dy
A
Ω
ZZ
4−x−y
dz =
(4 − x − y) dx dy ,
0
Ω
kde Ω = (x, y) ∈ R2 ; x2 ≤ y ≤ 1 , 0 ≤ 4 − x − y . Protože (je to vidět třeba z obrázku) množina bodů, pro které je x2 ≤ y ≤ 1, je podmnožina poloroviny x + y ≤ 4, je množina Ω určena nerovnostmi x2 ≤ y ≤ 1. Přepíšeme ještě nerovnosti, které definují množinu Ω do tvaru, který je výhodný pro použití Fubiniovy věty, tj. na tvar x2 ≤ y ≤ 1 =⇒ x2 ≤ 1 =⇒ −1 ≤ x ≤ 1 . Pak dostaneme Z
Z
1
V =
Z
1
dx
1
(4 − x − y) dy = x2
−1
4 − 4x2 − x + x3 −
−1
1 2
+
1 2
68 x4 dx = . 15
Vypočtěte objem tělesa A, kde A = {(x, y, z) ; 0 ≤ z ≤ 4 − x − y , 0 ≤ x ≤ 3 , 0 ≤ y ≤ 2} . Řešení: Podle Fubiniovy věty je ZZZ V =
ZZ
Z
dx dy dz = A
Ω
ZZ
4−x−y
dz =
dx dy 0
(4 − x − y) dx dy , Ω
kde Ω = (x, y) ∈ R2 ; 0 ≤ x ≤ 3 , 0 ≤ y ≤ 2 , 0 ≤ 4 − x − y . Přepíšeme ještě nerovnosti, které definují množinu Ω do tvaru, který je výhodný pro použití Fubiniovy věty. Z nerovnic plyne, že platí 0 ≤ y ≤ 2 , y ≤ 4 − x , 0 ≤ x ≤ 3 =⇒ 0 ≤ y ≤ min(2, 4 − x) , 0 ≤ x ≤ 3 . Protože 2 ≤ 4 − x pro x ≤ 2 a 4 − x < 2 pro x > 2 napíšeme množinu Ω jako sjednocení dvou disjunktních množin Ω = Ω1 ∪ Ω2 , kde Ω1 = (x, y) ∈ R2 ; 0 ≤ y ≤ 2 , 0 ≤ x ≤ 2 a Ω2 = (x, y) ∈ R2 ; 0 ≤ y ≤ 4 − x , 2 < x ≤ 3 . 15
Pak můžeme psát ZZ
ZZ
V =
(4 − x − y) dx dy + Z
Ω1 2
=
Z
2
dx 0
(4 − x − y) dx dy = Ω2 Z 3
(4 − x − y) dy +
Z dx
0
Z
4−x
(4 − x − y) dy =
2
0
Z
2
0
3 h 1 55 2 2 3 = 6x − x 0 + − (4 − x) = . 6 6 2
3
(6 − 2x) dx + 2
(4 − x)2 dx = 2
Vypočtěte objem tělesa A, kde A = (x, y, z) ; x2 + y 2 ≤ 1 , x2 + z 2 ≤ 1 , x ≥ 0 , y ≥ 0 , z ≥ 0 .
Řešení: Nejprve přepíšeme nerovnosti, které definují množinu A, na tvar y 2 ≤ 1−x2 , y ≥ 0 , z 2 ≤ 1−x2 , z ≥ 0 , x ≥ 0 =⇒ 0 ≤ y ≤
p
1 − x2 , 0 ≤ z ≤
p
1 − x2 , 0 ≤ x ≤ 1 .
který je vhodný pro použití Fubiniovy věty. Z ní pak dostaneme ZZZ
Z dx dy dz =
√ 1−x2
Z
1
dx
A
√ 1−x2
Z dy
0
Z
1
dz =
0
0
0
2 1 − x2 dx = . 3
Vypočtěte objem tělesa A, kde A = (x, y, z) ; −1 ≤ x ≤ 1 , −1 ≤ y ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ x2 + y 2 .
Řešení: Množina A je zapsána tak, že lze přímo využít Fubiniovu větu. Podle ní je ZZZ
Z
V = A
Z
1
dx dy dz = −1
Z
1
dx −1
Z
x2 +y 2
dy
1
dx
0
Vypočtěte
Z
1
dz = −1
x2 +y 2 dy =
−1
Z
1
−1
8 2x2 + 32 dx = . 3
ZZZ xy dx dy dz , A
kde A = {(x, y, z) ; 0 ≤ z ≤ xy , x + y ≤ 1 , x > 0} . Řešení: Nerovnosti, které popisují množinu A, jsou zapsány ve tvaru, které nám umožňuje použít Fubiniovu větu a psát ZZZ
ZZ xy dx dy dz = A
Z dx dy
Ω
ZZ
xy
x2 y 2 dx dy ,
xy dz = 0
Ω
kde množina Ω ⊂ R2 je popsána nerovnostmi 0 ≤ xy , x + y ≤ 1 , x > 0 =⇒ 0 ≤ y ≤ 1 − x , x > 0 =⇒ 0 ≤ 1 − x , x > 0 =⇒ 0 < x ≤ 1 . 16
Tedy Fubiniova věta dává ZZZ
Z
Z
1
xy dx dy dz =
1−x
dx
A
0
0
1 x y dy = 3
Z
1
2 2
x2 (1 − x)3 dx =
0
1 . 180
Vypočtěte obsah obrazce A = {(x, y) ; 1 ≤ xy ≤ 2 , x ≤ y ≤ 2x , x > 0} . Řešení: Protože je x > 0, lze zapsat nerovnosti, které popisují množinu A, ve tvaru 1 ≤ xy ≤ 2 ,
x ≤ y ≤ 2x =⇒ 1 ≤ xy ≤ 2 ,
1≤
y ≤ 2, x
zdá se výhodné zavést souřadnice u = xy ,
y v= , x
y, v > 0 ;
1 = det J
y −x−2 y
x x−1
=
2y = 2v . x
Protože je množina A v souřadnicích u, v definována nerovnostmi 1 ≤ u ≤ 2,
1 ≤ v ≤ 2,
je podle věty o substituci a Fubiniovy věty ZZ
Z
P (A) = A
Z
2
dx dy =
2
du 1
1
ln 2 dv = . 2v 2
Vypočtěte obsah obrazce A = (x, y) ; x ≤ y 2 ≤ 4x , 2y ≤ x2 ≤ 4y .
Řešení: Nerovnosti, které popisují množinu A, lze zapsat ve tvaru x ≤ y 2 ≤ 4x ,
2y ≤ x2 ≤ 4y =⇒ 1 ≤
y2 ≤ 4, x
2≤
x2 ≤ 4, y
−x−2 y 2 2xy −1
2x−1 y −x2 y −2
zdá se výhodné zavést souřadnice u=
y2 , x
v=
x2 , y
y, v > 0 ;
1 = det J
Protože je množina A v souřadnicích u, v definována nerovnostmi 1 ≤ u ≤ 4,
2 ≤ v ≤ 4,
je podle věty o substituci a Fubiniovy věty ZZ P (A) =
Z dx dy =
A
4
du 1
17
Z
4
2
dv = 2. 3
= −3 .
Určete objem tělesa A = (x, y, z) ; 2z ≥ x2 + y 2 + 2 , x2 + y 2 + z ≤ 4 ,
Řešení: Jestliže zapíšeme nerovnosti, které popisují množinu A, ve tvaru x2 + y 2 + 2 ≤ z ≤ 4 − x2 − y 2 ,
1 2
nabízí se použít Fubiniovu větu ve tvaru ZZZ
ZZ
V (A) =
Z
dx dy dz =
dx dy
A
ZZ
4−x2 −y 2
dz = 1 2 2 2 (x +y )+1
Ω
Ω
3 − 23 (x2 + y 2 ) dx dy ,
kde je množina Ω dána nerovností x2 + y 2 + 1 ≤ 4 − x2 − y 2 .
1 2
Protože se v nerovnostech, které definují oblast integrace i v integrované funkci vyskytují proměnné x a y pouze v kombinaci r2 = x2 + y 2 , je výhodné použít při výpočtu integrálu polární souřadnice x = r cos ϕ , y = r sin ϕ ,
r > 0 , 0 < ϕ < 2π ,
J = r.
V těchto souřadnicích má nerovnost, která popisuje množinu Ω tvar 1 2
x2 + y 2 + 1 ≤ 4 − x2 − y 2 =⇒
1 2
r2 + 1 ≤ 4 − r2 =⇒ r2 ≤ 2 =⇒ r ≤
√
2.
Podle věty o substituci a Fubiniovy věty tedy je 3 V (A) = 2
Z
Z
2π
dϕ 0
√ 2
Z 2
√ 2
(2 − r ) rdr = 3π 0
2r − r3 dr = 3π .
0
Určete souřadnice těžiště homogenního tělesa A = (x, y, z) ; x2 + y 2 + z 2 ≤ 9 , 1 ≤ z ≤ 2 .
Řešení: Souřadnice těžiště homogenního tělesa A lze najít pomocí integrálů 1 xT = V kde
ZZZ x dx dy dz , Z ZAZ
V =
1 yT = V
ZZZ y dx dy dz , A
1 zT = V
ZZZ z dx dy dz , A
dx dy dz . A
Protože je těleso souměrné vzhledem k rovině yz, tj. vzhledem k záměně [x; y; z] ↔ [−x; y; z], resp. vzhledem k rovině xz, tj. vzhledem k záměně [x; y; z] ↔ [x; −y; z], je zřejmé, že pro souřadnice těžiště platí xT = yT = 0 . Třetí souřadnici těžiště najdeme pomocí integrálů. Jestliže zapíšeme nerovnosti, které popisují množinu A ve tvaru x2 + y 2 ≤ 9 − z 2 , 1 ≤ z ≤ 2 , 18
můžeme použít Fubiniovu větu ve tvaru ZZZ
Z
ZZ
2
f (x, y, z) dx dy dz =
dz
A
kde Ωz je kruh
f (x, y, z) dx dy ,
1
Ωz
Ωz = (x, y) ∈ R2 ; x2 + y 2 ≤ 9 − z 2 .
Integrál přes kruh Ωz nalezneme pomocí polárních souřadnic x = r cos ϕ , y = r sin ϕ ,
r > 0 , 0 < ϕ < 2π ;
J = r.
Protože kruh Ωz je v souřadnicích r a ϕ dán nerovnostmi 0
p 9 − z2 ,
0 < ϕ < 2π ,
platí podle věty o substituci a Fubiniovy věty Z
ZZZ V =
dx dy dz = A
ZZZ
z dx dy dz = A
Z
2
dz 1
Z
2π
dz 1
Z
Z
2
√
0 2π
Z
2
r dr = π
0 √ 9−z 2
dϕ 0
Z
9−z 2
dϕ
1
Z
2
zr dr = π 0
1
Tedy souřadnice tělesa A jsou xT = yT = 0 ,
zT =
20 9 − z 2 dz = π, 3
39 9 − z 2 z dz = π. 4
117 . 80
Určete souřadnice těžiště homogenního tělesa A = (x, y, z) ; x2 + y 2 ≤ 4 , z ≥ 0 , x + y + z ≤ 4 .
Řešení: Souřadnice těžiště homogenního tělesa A lze najít pomocí integrálů ZZZ ZZZ ZZZ 1 1 1 xT = x dx dy dz , yT = y dx dy dz , zT = z dx dy dz , V V V A A A ZZZ kde V = dx dy dz . A
Přepíšeme-li nerovnosti, které popisují těleso A ve tvaru 0 ≤ z ≤ 4−x−y,
x2 + y 2 ≤ 4 ,
lze pro výpočet integrálů použít Fubiniovu a psát ZZZ
ZZ
V =
Z
dx dy dz = A
ZZZ
ZZ
Ω
x dx dy dz = A
ZZZ
ZZ ZZ
Ω
y dx dy dz = A
ZZZ
Z
0
ZZ
4−x−y
x dz = Z
0
Z
0
x(4 − x − y) dx dy ZZ
4−x−y
Ω
y dz =
y(4 − x − y) dx dy Ω
4−x−y
dx dy Ω
(4 − x − y) dx dy Ω
dx dy
z dx dy dz = A
dz =
dx dy Ω
ZZ
4−x−y
dx dy
z dz = 0
19
1 2
ZZ (4 − x − y)2 dx dy , Ω
kde je množina Ω ⊂ R2 určená nerovnostmi x2 + y 2 ≤ 4 .
0 ≤ 4−x−y,
Snadno se lze přesvědčit (třeba z náčrtku), že je kruh x2 +y 2 ≤ 4 podmnožinou poloroviny x+y ≤ 4. Proto je množina Ω kruh x2 + y 2 ≤ 4. Pro integrály přes kruh se středem v počátku je velmi často výhodné použít polární souřadnice x = r cos ϕ , y = r sin ϕ ,
r > 0 , 0 < ϕ < 2π ;
J = r.
Protože kruh Ω je v souřadnicích r a ϕ dán nerovnostmi 0 < r ≤ 2,
0 < ϕ < 2π ,
platí podle věty o substituci a Fubiniovy věty ZZZ
Z
V =
Z
2
dx dy dz = A
ZZZ
dr 0
Z
0
2
A
0
0
0
1 z dx dy dz = 2 A 1 2
Z
Z
2π
0
Z
2
8 r2 dr = − π 3 8 r2 dr = − π 3
(4 − r cos ϕ − r sin ϕ)2 r dϕ =
0
Z
2
2π
dr 0 2
=π
0 2
0 2π
dr
Z
2
(4 − r cos ϕ − r sin ϕ)r sin ϕ r dϕ = −π
0
Z
Z
(4 − r cos ϕ − r sin ϕ)r cos ϕ r dϕ = −π
dr
A
=
2π
Z
2
y dx dy dz = ZZZ
r dr = 16π 0
dr Z
2
(4 − r cos ϕ − r sin ϕ)r dϕ = 8π Z
x dx dy dz = ZZZ
Z
2π
16 + r2 − 8r cos ϕ − 8r sin ϕ + 2r2 cos ϕ sin ϕ r dϕ =
0
16 + r2 r dr = 36π .
0
Tedy souřadnice těžiště tělesa A jsou 1 xT = yT = − , 6
zT =
9 . 4
Spočtěte objem tělesa A = (x, y, z) ; x2 + y 2 + z 2 ≤ 2 , x2 + y 2 ≤ 1 .
Řešení: Protože nerovnosti, které popisují těleso A, obsahují proměnné x a y pouze v kombinaci x2 + y 2 , jedná se o rotační těleso. Taková tělesa se většinou popisují pomocí válcových souřadnic x = r cos ϕ , y = r sin ϕ , z = z ,
r > 0 , 0 < ϕ < 2π , z ∈ R ;
J = r.
Podle věty o substituci pak dostaneme ZZZ V =
ZZ
Z
dx dy dz = A
dr dz Ω
ZZ
2π
r dϕ = 2π 0
r dr dz , Ω
kde množina Ω ⊂ R2 je dána nerovnostmi 0 < r ≤ 1 , r2 + z 2 ≤ 2 =⇒ −
p
2 − r2 ≤ z ≤
20
p
2 − r2 , 0 < r ≤ 1 .
Z těchto nerovností plyne, že Z V = 2π
√
Z
1
dr 0
Z
2−r 2
√ − 2−r 2
1
r dz = 4π
r
h 3/2 i1 4 √ 2 − r2 dr = 4π − 13 2 − r2 = 2 2−1 . 3 0
p
0
Určete objem tělesa A = (x, y, z) ; x2 + y 2 ≤ 4 , y + z ≤ 2 , y − z ≤ 2 . Řešení: Nerovnice, které definují těleso A, zapíšeme ve tvaru x2 + y 2 ≤ 4 , y − 2 ≤ z ≤ 2 − y , který je vhodný pro použití Fubiniovy věty. Z ní plyne ZZ
ZZZ V =
Z
dx dy dz = Ω
A
ZZ
2−y
(2 − y) dx dy ,
dz = 2
dx dy y−2
Ω
kde Ω ⊂ R2 je dána nerovnostmi x2 + y 2 ≤ 4 ,
y − 2 ≤ 2 − y =⇒ x2 + y 2 ≤ 4 ,
y ≤ 2.
Snadno se přesvědčíme (třeba z náčrtku), že kruh x2 + y 2 ≤ 4 je podmnožinou poloroviny y ≤ 2. Proto je množina Ω kruh x2 + y 2 ≤ 4. Abychom našli integrál přes kruh Ω, zavedeme polární souřadnice x = r cos ϕ , y = r sin ϕ , r > 0 , 0 < ϕ < 2π ; J = r . Protože v souřadnicích r a ϕ je množina Ω popsána nerovnostmi 0 < r ≤ 2,
0 < ϕ < 2π ,
je podle věty o substituci a Fubiniovy věty Z V =2
Z
2
dr 0
Z
2π
2
(2 − r sin ϕ) r dϕ = 8π 0
r dr = 16π . 0
Určete souřadnice těžiště tělesa A = (x, y, z) ; x2 + y 2 ≤ 2y , z ≥ 0 , z 2 ≤ x2 + y 2 . Řešení: Souřadnice těžiště homogenního tělesa A lze najít pomocí integrálů ZZZ ZZZ ZZZ 1 1 1 xT = x dx dy dz , yT = y dx dy dz , zT = z dx dy dz , V V V A A A ZZZ kde V = dx dy dz . A
Protože je těleso A symetrické vzhledem k rovině yz, tj. nemění se při záměně [x; y; z] ↔ [−x; y; z], je jeho souřadnice xT = 0. Jestliže zapíšeme nerovnosti, které popisují těleso A ve tvaru p 0 ≤ z ≤ x2 + y 2 , x2 + y 2 ≤ 2y , 21
lze při výpočtu integrálů použít Fubiniovu větu. Ta dává ZZZ
Z √x2 +y2
ZZ
V =
dx dy dz =
dx dy
A
ZZZ Mxz =
0
A
ZZZ
dx dy ZZ
Ω
z dx dy dz =
0
dx dy
A
Z
y dz = Z √x2 +y2 0
Ω
x2 + y 2 dx dy
Ω
Z √x2 +y2
ZZ y dx dy dz =
Mxy =
dz =
Ω
Z p
y
p
x2 + y 2 dx dy
Ω
1 z dz = 2
Z
x2 + y 2 dx dy , Ω
kde Ω ⊂ R2 je dána nerovností x2 + y 2 ≤ 2y . Integrály přes množinu Ω se často počítají pomocí polárních souřadnic x = r cos ϕ , y = r sin ϕ ,
r > 0 , 0 < ϕ < 2π ;
J = r.
V těchto souřadnicích je množina Ω dána nerovnostmi r > 0 , 0 < ϕ < 2π , r2 ≤ 2r sin ϕ =⇒ 0 < r ≤ 2 sin ϕ , 0 < ϕ < 2π =⇒ =⇒ 0 < r ≤ 2 sin ϕ , sin ϕ ≥ 0 , 0 < ϕ < 2π =⇒ 0 < r ≤ 2 sin ϕ , 0 < ϕ < π . Podle věty o substituci a Fubiniovy věty pak platí Z
Z
π
V = Z
0
r2 dr =
0
Z
π
Mxz =
2 sin ϕ
1 = 2
8 3
Z
Z
π
2 sin ϕ
dϕ 0
sin3 ϕ dϕ =
0
Z
r sin ϕ dr = 4 0
Z
π
3
dϕ 0
Mxy
2 sin ϕ
dϕ
sin5 ϕ dϕ = 4 ·
0
Z
π
r3 dr = 2
0
π
8 2 32 · ·2= 3 3 9
sin4 ϕ dϕ = 2 ·
0
4 2 64 · ·2= 5 3 13
3 3 1 · ·π = π. 4 2 4
Tedy souřadnice těžiště tělesa A jsou xT = 0 ,
Spočtěte
yT =
6 , 5
zT =
27 π. 128
ZZZ p x2 + y 2 dx dy dz , A
kde
A = (x, y, z) ; x2 + y 2 ≤ z 2 , 0 ≤ z ≤ 1 .
Řešení: Protože nerovnosti, které popisují těleso A, obsahují proměnné x a y pouze v kombinaci x2 + y 2 , jedná se o rotační těleso. Taková tělesa se většinou popisují pomocí válcových souřadnic x = r cos ϕ , y = r sin ϕ , z = z ,
r > 0 , 0 < ϕ < 2π , z ∈ R ;
Nerovnosti, které popisují těleso A, pak jsou r2 ≤ z 2 , 0 ≤ z ≤ 1 , 0 < ϕ < 2π . 22
J = r.
Podle věty o substituci pak dostaneme ZZZ p
ZZ x2
+
y2
Z
dx dy dz =
2π
dr dz
A
ZZ 2
r2 dr dz ,
r dϕ = 2π
Ω
0
Ω
kde je množina Ω ⊂ R2 dána nerovnostmi r2 ≤ z 2 ,
r > 0,
0 ≤ z ≤ 1 =⇒ 0 < r ≤ z ,
0 < z ≤ 1.
Z Fubiniovy věty pak plyne ZZZ p
Z
Z
1
x2 + y 2 dx dy dz = 2π
A
0
Spočtěte moment setrvačnosti Jz (A) =
RRR A
z
dz
r2 dr =
0
2 π 3
Z
1
z 3 dz =
0
π . 6
x2 + y 2 dx dy dz pro těleso
A = (x, y, z) ; x2 + y 2 + z 2 ≤ R2 , z ≥ 0 .
Řešení: Protože těleso A je polokoule, je výhodné použít při výpočtu integrálu sférické souřadnice r > 0 , − 12 π < θ <
x = r cos θ cos ϕ , y = r cos θ sin ϕ , z = r sin θ ,
1 2
π , 0 < ϕ < 2π ;
J = r2 cos θ .
V těchto souřadnicích je těleso A určeno nerovnostmi r 2 ≤ R2 ,
r sin θ ≥ 0 =⇒ 0 < r ≤ R ,
sin θ ≥ 0 =⇒ 0 < r ≤ R ,
0≤θ<
1 2
π,
0 < ϕ < 2π .
Tedy podle věty o substituci a Fubiniovy věty je ZZZ 2
Jz (A) =
x +y A Z R
= 2π 0
Spočtěte
2
Z r4 dr
Z
Z
R
dx dy dz =
dr 0
cos3 θ dθ = 2π ·
0
ZZZ p
2π
dθ
0 π/2
Z
π/2
r2 cos2 θ · r2 cos θ dϕ =
0
4 1 5 2 R · = πR5 . 5 3 15
x2 + y 2 + z 2 dx dy dz ,
A
kde
A = (x, y, z) ; x2 + y 2 + z 2 ≤ 1 , x ≥ 0 .
Řešení: Protože těleso A je polokoule, je výhodné použít při výpočtu integrálu sférické souřadnice (na rozdíl od obvyklých sférických souřadnic jsem přeměnil osy, aby byla jednodušší podmínka x ≥ 0) x = r sin θ , y = r cos θ cos ϕ , z = r cos θ sin ϕ ,
r > 0 , − 12 π < θ <
1 2
π , 0 < ϕ < 2π ;
J = r2 cos θ .
V těchto souřadnicích je těleso A určeno nerovnostmi r2 ≤ 1 ,
r sin θ ≥ 0 =⇒ 0 < r ≤ 1 ,
sin θ ≥ 0 =⇒ 0 < r ≤ 1 , 23
0≤θ<
1 2
π,
0 < ϕ < 2π .
Tedy podle věty o substituci a Fubiniovy věty je ZZZ p
Z x2
+
y2
+
z2
Z
2π
dx dy dz =
dϕ
A
0
Spočtěte
Z
π/2
1
dθ 0
r3 cos θ dr =
0
π . 2
ZZZ xyz dx dy dz , A
kde
A = (x, y, z) ; x2 + y 2 + z 2 ≤ R2 , x > 0 , y > 0 , z > 0 .
Řešení: Protože těleso A je polokoule, je výhodné použít při výpočtu integrálu sférické souřadnice r > 0 , − 12 π < θ <
x = r cos θ cos ϕ , y = r cos θ sin ϕ , z = r sin θ ,
1 2
π , 0 < ϕ < 2π ;
J = r2 cos θ .
V těchto souřadnicích je těleso A určeno nerovnostmi r 2 ≤ R2 ,
r cos θ cos ϕ ≥ 0 , r cos θ cos ϕ ≥ 0 , r sin θ ≥ 0 =⇒
=⇒ 0 < r ≤ R ,
sin θ ≥ 0 , cos ϕ ≥ 0 , sin ϕ ≥ 0 =⇒ 0 < r ≤ R ,
0≤θ<
1 2
π,
0<ϕ≤
1 2
π.
Tedy podle věty o substituci a Fubiniovy věty je ZZZ
Z
Z
π/2
xyz dx dy dz =
dϕ
A
0
Z
Z
π/2
R
dθ 0
Z
π/2
=
r3 cos2 θ sin θ cos ϕ sin ϕ · r2 cos θ dr =
0
Z
π/2
0
R
cos3 θ sin θ dθ
cos ϕ sin ϕ dϕ 0
1 1 R6 R6 · · = . 2 4 6 48
r5 dr =
0
Spočtěte objem tělesa A=
x2 y2 z2 x2 y2 z2 (x, y, z) ; 2 + 2 + 2 ≤ 1 , 2 + 2 ≥ 2 , z ≥ 0 a b c a b c
.
Řešení: Z tvaru nerovností, které popisují těleso A, lze nahlédnout, že by mohla být, aspoň v první fázi, výhodná substituce x = ar cos ϕ , y = br sin ϕ , z = ch ,
r > 0 , 0 < ϕ < 2π , h ∈ R ;
J = abcr .
po této substituci přejdou nerovnosti, které popisují množina A na nerovnosti r 2 + h2 ≤ 1 ,
r 2 ≥ h2 ,
h ≥ 0,
r > 0,
(1)
které už nezávisí na ϕ ani na parametrech a, b a c. Podle věty o substituci a Fubiniovy věty pak je ZZZ V =
ZZ
Z
dx dy dz = A
dr dh Ω
Z
2π
abcr dϕ = 2πabc 0
r dr dh , Ω
kde množina Ω ⊂ R2 je dána nerovnostmi (1). Integrál přes množinu Ω lze najít například v polárních souřadnicích r = ρ cos θ , h = ρ sin θ ,
ρ > 0 , 0 < θ < 2π ; 24
J = ρ.
V souřadnicích ρ a θ mají nerovnosti (1) tvar cos2 θ ≥ sin2 θ ,
ρ2 ≤ 1 ,
ρ sin θ ≥ 0 ,
ρ cos θ > 0 =⇒ 0 < ρ < 1 ,
0<θ≤
1 4
π.
Tedy podle věty o substituci a Fubiniovy věty je Z
Z
1
V = 2πabc
dρ 0
Z
π/4
ρ cos θ ρ dθ = 2πabc 0
1
Z 2
ρ dρ 0
√
π/4
cos θ dθ = 0
2 πabc . 3
Vypočtěte objem tělesa A = (x, y, z) ; x2 + y 2 + z 2 ≤ R2 , x2 + y 2 ≤ Rx .
Řešení: Upravíme-li nerovnosti, které určují množinu A, na tvar −
p p R2 − x2 − y 2 ≤ z ≤ R2 − x2 − y 2 ,
x2 + y 2 ≤ Rx ,
lze použít Fubiniovu větu a integrovat přes proměnnou z. Tak dostaneme ZZZ
Z √R2 −x2 −y2
Z
V =
dx dy dz = Z
dx dy Ω
−
√
dz = 2 R2 −x2 −y 2
Z p
R2 − x2 − y 2 dx dy ,
Ω
kde je množina Ω ⊂ R2 dána nerovností x2 + y 2 ≤ Rx ,
x2 + y 2 ≤ R 2 .
(1)
Abychom našli integrál přes množinu Ω, zavedeme polární souřadnice x = r cos ϕ ,
y = r sin ϕ ,
r > 0,
−π < ϕ < π ;
J = r.
V souřadnicích r a ϕ má nerovnost (1) tvar r2 ≤ Rr cos ϕ ,
r2 ≤ R2 =⇒ 0 < r ≤ R cos ϕ =⇒ cos ϕ ≥ 0 =⇒ − 12 π ≤ ϕ ≤
1 2
π.
Podle věty o substituci a Fubiniovy věty tedy je Z
Z
π/2
V =2 −π/2
=
R cos ϕ
dϕ
2 3 R 3
Z
0 π/2
−π/2
p
Z
π/2
R2 − r2 rdr = 2 −π/2
h 3/2 iR cos ϕ − 13 R2 − r2 dϕ = 0
Z 3 4 3 π/2 4 3 π 2 2 3 1 − sin ϕ dϕ = R 1 − sin ϕ dϕ = R − = 3π − 4 R3 . 3 3 2 3 9 0
25
