TUGAS GEOMETRI TRANSFORMASI. Tentang. Isometri dan Sifat-sifat Isometri. Oleh : EVI MEGA PUTRI : I. Dosen Pembimbing :

TUGAS GEOMETRI TRANSFORMASI Tentang Isometri dan Sifat-sifat Isometri

Oleh : EVI MEGA PUTRI : 412. 35I

Dosen Pembimbing : ANDI SUSANTO, S. Si, M.Sc

TADRIS MATEMATIKA A FAKULTAS TARBIYAH INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI (IAIN) IMAM BONJOLPADANG 1435 H/2014 M

Vi_detective^_^

Page 1

DAFTAR ISI A. Isometri ................................................................................................. 1 a. Pengertian isometric......................................................................... 1 B. Sifat-sifat Isometri .................................................................................. 1

a. Memetakan garis menjadi garis ................................................................... 2 b. Mempertahankan ukuran besarnya sudut antara dua garis ...... 3 c. Mempertahankan kesejajaran dua garis................................................. 4

Vi_detective^_^

Page 2

ISOMETRI A. Pengertian Isometri Isometri merupakan suatu transformasi atas Refleksi (pencerminan), Translasi (pergeseran), dan Rotasi (perputaran) pada sebuah garis yang mempertahankan jarak (panjang suatu ruas garis). Secara matematis, Isometri didefinisikan sebagai berikut : “misalkan T suatu transformasi, transformasi T ini disebut isometri jika dan hanya jika untuk setiap pasangan titik P dan Q anggota dari bidang Euclid 𝑣 berlaku bahwa 𝑃’𝑄’ = 𝑃𝑄 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑃’ = 𝑇(𝑃) 𝑑𝑎𝑛 𝑄’ = 𝑇(𝑄). B. Sifat-sifat Isometri Suatu isometri memiliki sifat-sifat sebagai berikut : a. Memetakan garis menjadi garis b. Mempertahankan ukuran besarnya sudut antara dua garis c. Mempertahankan kesejajaran dua garis Bukti : I.

Memetakan garis menjadi garis

Andaikan g sebuah garis dan 𝑇 suatu isometri. Kita akan membuktikan bahwa 𝑇(𝑔) = ℎ adalah suatu garis juga.

B

B’

A g

Vi_detective^_^

A’ h

Page 3

Kemudian ditetapkan 𝑇 𝑔 = {𝑌𝑌 = 𝑇(𝑋), 𝑋 ∈ 𝑔} akibatnya 𝐴’, 𝐵’ ∈ 𝑇(𝑔). Untuk membuktika bahwa T(g) merupakan garis lurus. Ambil 𝐴 ∈ 𝑔 dan 𝐵 ∈ 𝑔. maka 𝐴’ = 𝑇(𝐴) ∈ ℎ, 𝐵’ = 𝑇(𝐵) ∈ ℎ melalui 𝐴’ 𝑑𝑎𝑛 𝐵’ ada satu garis. Misalnya ℎ’. Untuk ini akan dibuktikan ℎ’ ⊂ ℎ 𝑑𝑎𝑛 ℎ ⊂ ℎ’.  Bukti ℎ’ ⊂ ℎ Ambil 𝑋’ ∈ ℎ’. oleh karena bidang kita adalah bidang Euclides, maka kita andaikan (𝐴’ 𝑋’ 𝐵’), artinya 𝐴’ 𝑋’ + 𝑋’ 𝐵’ = 𝐴’ 𝐵’. oleh karena 𝑇 suatu isometric. Jadi suatu transformasi maka ada 𝑋 sehingga 𝑇 (𝑋) = 𝑋’ dan oleh karena 𝑇 suatu isometric maka 𝐴𝑋 = 𝐴’𝑋’ ; begitu pula 𝑋𝐵 = 𝑋’𝐵’. Maka 𝐴𝑋 + 𝐵𝑋 = 𝐴𝐵 Ini berarti bahwa 𝐴, 𝑋, 𝐵 𝑠𝑒𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑔 Ini berarti lagi bahwa 𝑋’ = 𝑇(𝑋) ∈ ℎ. Sehingga ℎ’ ⊂ ℎ sebab bukti serupa berlaku untuk posisi 𝑋’ dengan (𝑋’ 𝐴’ 𝐵’) 𝑎𝑡𝑎𝑢 (𝐴’ 𝐵’ 𝑋’).  Bukti ℎ ⊂ ℎ’ Misalkan 𝑌’ ∈ ℎ Maka ada 𝑌 ∈ 𝑔 sehingga 𝑇(𝑌) = 𝑌’ dengan 𝑌 misalnya (𝐴 𝑌 𝐵), artinya 𝑌 ∈ 𝑔 dan 𝐴𝑌 + 𝑌𝐵 = 𝐴𝐵. Oleh karena 𝑇 sebuah isometric. maka 𝐴’𝑌’ = 𝐴𝑌, 𝑌’𝐵’ = 𝐴𝐵. Sehingga 𝐴’𝑌’ + 𝑌’𝐵’ = 𝐴’𝐵’. Ini berarti bahwa 𝐴’, 𝑌’, 𝐵’ segaris, yaitu garis yang melalui 𝐴’ 𝑑𝑎𝑛 𝐵’. Oleh karena ℎ’ satu-satunya garis yang melalui 𝐴’ 𝑑𝑎𝑛 𝐵’ 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑌’ ∈ ℎ’. Jadi haruslah Bukti ℎ ⊂ ℎ’

Vi_detective^_^

Page 4

Bukti serupa berlaku untuk keadan (𝑌 𝐴 𝐵) 𝑎𝑡𝑎𝑢 (𝐴 𝐵 𝑌) sehingga ℎ = ℎ’. Jadi, kalau 𝒈 sebuah garis maka 𝒉 = 𝑻(𝒈) adalah sebuah garis juga, maka terbuktilah bahwa sifat isometri memetakan garis menjadi garis.

II.

Mempertahankan ukuran besarnya sudut antara dua garis Ambil sebuah ∠ 𝐴𝐵𝐶

𝐴

𝐵

𝐶

𝐴’

𝐵’

𝐶’ Andaikan 𝐴’ = 𝑇(𝐴), 𝐵’ = 𝑇(𝐵), 𝐶’ = 𝑇(𝐶) Menurut (𝑎), 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝐴’𝐵’ 𝑑𝑎𝑛 𝐵’𝐶’ adalah garis lurus Oleh karena ∠𝐴𝐵𝐶 = 𝐵𝐴 ∪ 𝐵𝐶 maka, ∠𝐴’𝐵’𝐶’ = 𝐵’𝐴’ ∪ 𝐵’𝐶’

Vi_detective^_^

Page 5

Sedangkan 𝐴’𝐵’ = 𝐴𝐵, 𝐵’𝐶’ = 𝐵𝐶, 𝐶’𝐴’ = 𝐴𝐶 Sehingga ⊿ 𝐴𝐵𝐶 = ⊿ 𝐴’𝐵’𝐶’. 𝑗𝑎𝑑𝑖 ∠ 𝐴’𝐵’𝐶’ = ∠𝐴𝐵𝐶 Sehingga terbuktilah suatu isometri mempertahankan besarnya sebuah sudut. III.

Mempertahankan kesejajaran dua garis 𝐴

𝐵

𝐴’

𝐵’

Kita harus memperlihatkan bahwa 𝑎’ ⁄⁄ 𝑏’ Andaikan 𝑎’ memotong 𝑏’ disebuah titik 𝑃’ 𝑗𝑎𝑑𝑖 𝑃’ ∈ 𝑎’ 𝑑𝑎𝑛 𝑃’ ∈ 𝑏’. oleh karena 𝑇 sebuah transformasi, maka ada 𝑃 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑇(𝑃) = 𝑃’ 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑃 ∈ 𝑎 𝑑𝑎𝑛 𝑃 ∈ 𝑏. Ini berarti bahwa 𝑚𝑒𝑚𝑜𝑡𝑜𝑛𝑔 𝑏 𝑑𝑖 𝑃 ; jadi bertentangan dengan yang diketahui bahwa 𝑎 ⁄⁄ 𝑏 Maka Pengandaian bahwa 𝑎’ 𝑚𝑒𝑚𝑜𝑡𝑜𝑛𝑔 𝑏’ 𝑆𝐴𝐿𝐴𝐻 Jadi haruslah 𝑎’ ⁄⁄ 𝑏’. Sehingga terbuktilah suatu isometri mempertahankan kesejajaran dua garis.

Vi_detective^_^

Page 6

DAFTAR PUSTAKA

Rawuh, 1993. Geometri Transformasi. Bandung : Perpustakaan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Lipschutz, Seymour, Teori dan Soal-soal Teori Himpunan(seri buku Schaum), Jakarta : Erlangga, 1995 Juliartawan, I Wayan, Matematika(contoh soal dan penyeleseain), Yogyakarta : Andi, 2004 Rasmedi S, Ame, Darhim, Geometri transformasi, Jakarta :Universitas Terbuka, 2007

http://id.wikipedia.org/wiki/Isometri_(matematika)

http://ms.wikipedia.org/wiki/Geometri_Transformasi

Vi_detective^_^

Page 7