BAB IV ISOMETRI Defenisi 1 Misalkan T suatu transformasi ,transformasi T ini disebut isometric jika dan hanya jika jika untuk setiap pasangan titik P dan Q anggota dari bidang Euclid V berlaku mana
=T
dan
=T
=
di
.
Untuk memahami defenisi di atas,perhatikan contoh berikut Misalkan diketahui garis g pada bidang V dan transformasI T di tetapkan sebagai berikut: i.
Jika p g maka T
ii.
Jika p g maka T
=p =
,sehingga g sumbu dari
Apakah tras formasi T ini merupakan suatu isometri? Penyelesaian: Ambil dua titik sebarang P dan Q anggota V misalkan T
=
dan T
=
,sehingga di
peroleh 1. g sumbu dari dari 2. g sumbu dari
,misalkan g
=
,misalkan g
=
,maka PN=N ,MAKA QM=M
Perhatikan gambar berikut: M g
N 1. perhatikan PNM
PNM dengan
Q
P NM. Karena PN=P
NM (siku-siku),maka
NM akibatnya : a. PM = P b.
2. Perhatikan Karena PM =
PQM dengan M,
M. M.dan QM =
M,maka
PQM
,akibatnya PQ = Karena P dan Q di ambil sembarang titik pada V dapat di simpulkan bahwa untuk setiap
Pasangan titik P dan Q pada V ,di peroleh
PQ sehingga transformasi T yang
ditetapkan di atas adalah suatu isometri Sipat-sipat isometric: Teorema 1 Setiap isometric bersifat: I.
Memetakan garis menjadi garis
II.
Mengawetkan besaran sudut
III.
Mengawetkan kesejajaran
Bukti: i.
Ambil sebarang isometri T dan garis g akan di tunjukan bahwa T(g) berupa sebuah garis. Perhatikan gambar ambil dua titik sebarang A dan B pada garis g misalkan T
dan T(B)=
dan garis lurus menghubungkan
dan
adalah H ii. A B g
iii.
T(g)
Ambil A
B
C
Andaikan
=T
,
T(B),
Berdasarkansifat isometri itu
=
= T(C)
,maka
maka
dan =
adalah garis lurus. Oleh karena sedangkan
= AB,
= BC,
= CA sehingga
ABC =
jadi
kesipulannya terbukti bahwaisometri mengawetkan sudut
iii.
a
b
Harus di perhatikan bahwa dan p dan p
//
andaikan
memotong
di sebuah titik p jadi p
oleh karena T sebuah transformasi maka ada p sehingga T (P)=P dengaan p
a
b ini berarti bahwa a memotong b di p,jadi bertentangan dengan yang di ketahui bahwa
a//b Teorema 2. Apabila garis g dan h saling tegak lurus dan T suatu isometri maka T(g) dan T(h) juga saling tegak lurus .
Bukti: karena sudut yang di bentuk oleh g dan h adalh siku-siku dan T suatu isometri.Berdasarkan teorema 1 (ii) mengakibatkan bahwa sudut yang di bentuk oleh T(g) dan T(h) jika siku-siku dengan kata lain T(g) dan T(h) saling tegak lurus. Teprema 3. Komposisi dua buah isometri adalah sebuah isometri . Bukti : Ambil dua isometri ,
dan
terjadi komposisi dari ,
dan
yaitu:
a. b. Karena
=
adlah isometric maka akan di buktikan
Ambil dua titik sebarang A,B
V,misalkan
=
,
(B)=
adalah isometri dan
)= ,
)=
maka
Karena =
(A)=
=
)=
(B)=
=
)=
isometri maka ,dan
=AB.maka
= AB, dan karena =AB.jadi
isometri maka
suau isometric
karena
Contoh soal: 1.
Misalkan v bidang Eucilid,A sebuah titik tertentu pada v.Transpormasi T yang di tetapkan sebagai berikut: a. T(A)=A b. Apabila p ∈ v dan p ≠ A, T(P) = Q dengan Q merupakan titik tengah ruas garis AP .apakah transformasi T ini suatu isometri ?
2.
Di berikan suatu titik A dan transformasi T yang di tetapkan sebagai berikut ,p ∈ v a. Apabila p = A maka T (p)=p b. Apabila p ≠ A maka T(p)= Q dengan A titik tengah PQ .Apakah transformasi T ini merupakan isometri ? c. Penyelesaian:
1.
Perhatikan gambar di bawah ini P
A Ambil P,R Akibatnya 2.
v, misalkan Q = T (P) dan
R = T ®,maka AQ = QP dan A
= RP. Jada T bukan suatu ispmetri.
Perhatikan gambar di bawah ini P,Q ∈ v,misalkan
=
R.
P
A
R
Q Misalkan T (P)= Q dan T (R) = ,sehingga QA = AP dan P,A,Q kolinear , dan RA = A R,A, kolinear .perhatikan RAP dan QA . karena QA = AP, PAR QA dan RA = A maka RAP QA , akibatnya PR = Q jadi T suatu isometri.
ISOMETRI LANGSUNG DAN ISOMETRI LAWAN Suatu transformasi T yang memetakan segitiga ABC pada segitiga A1,B1,C1 misalkan sebuah pencerminan pada garis g. Untuk lebih jelas perhatikan gambar berikut : a).Reflexi(pencerminan) Gambar (A B C) Berlawanan arah dengan perputaran jarum jam(memiliki orientasi positif)sedang, Gambar (A1,B1,C1) Sesuai dengan putaran jarum jam (memiliki orientasi yang negative). Isometri langsung adalah tidak mengubah orientasi (tetap),Jadi dalam isometric langsung apabila orientasi positif tetap positif sedangkan orientasi negative tetap negatif. Gambarlah Isometri Langsung: C
C`
A
A`
B
B`
b).Rotasi (perputaran) Orientasi (A B C) adalah positif dan orientasi (A2,B2,C2) tetap positif. Isometri lawan adalah mengubah orientasi positif jadi negatip (kebalikan). Gambar Isometri langsung.
B C A •
Dikatakan berorientasi positif apabila perputarannya berlawanan arah jarum dengan jarum jam.
•
Dikatakan berorientasi negative apabila perputarannya searah dengan perputaran jarum jam.
Contoh Soal: Perhatikan transformasi yang ditetapkan dalam gambar di bawah ini,sudah ditentukan bahwa transformasi T ini merupakan suatu isometri. Pertanyaan yang timbul apakah T ini merupakan isometric langsung atau isometric lawan?
Gambar
A`
A
B`
B
C`
C
Penyelesaian: Misalkan ambil tiga titik koliner sebarang, A,B,dan C. Kemudian kita cari T(A), T(B), dan T(C). Misalkan : T(A)=A1, T(B)=B1, dan T(C)=C1. Kerena (A,B,C) berorientasi positif,sedangkan (A1, B1 , C1.) berorieantasi negatif ,maka transformasi T merupakan transformasi lawan.Akibatnya T suatu isometri lawan .
Hasil Kali Transformasi Definisi : Misalkan F dan G dua transformasi dengan F : V → V dan G : V → V maka komposisi dari dan ditulis sebagai yang didefinisikan F G F oG (G o F )(P ) = G(F (P )), ∀P ∈ V .
BAB IV ISOMETRI Defenisi 1 Misalkan T suatu transformasi ,transformasi T ini disebut isometric jika dan hanya jika jika untuk setiap pasangan titik P dan Q anggota dari bidang Euclid V berlaku mana
=T
dan
=T
=
.
Untuk memahami defenisi di atas,perhatikan contoh berikut Misalkan diketahui garis g pada bidang V dan transformasI T di tetapkan sebagai berikut: iii.
Jika p g maka T
iv.
Jika p g maka T
=p =
,sehingga g sumbu dari
Apakah tras formasi T ini merupakan suatu isometri? Penyelesaian:
di
Ambil dua titik sebarang P dan Q anggota V misalkan T
=
dan T
=
,sehingga di
peroleh 3. g sumbu dari dari 4. g sumbu dari
,misalkan g
=
,misalkan g
=
,maka PN=N ,MAKA QM=M
Perhatikan gambar berikut: M g
N 3. perhatikan PNM
PNM dengan
Q
P NM. Karena PN=P
NM (siku-siku),maka
NM akibatnya : c. PM = P d.
4. Perhatikan
PQM dengan
Karena PM =
M,
M. M.dan QM =
M,maka
PQM
,akibatnya PQ = Karena P dan Q di ambil sembarang titik pada V dapat di simpulkan bahwa untuk setiap Pasangan titik P dan Q pada V ,di peroleh
PQ sehingga transformasi T yang
ditetapkan di atas adalah suatu isometri Sipat-sipat isometric: Teorema 1 Setiap isometric bersifat: IV.
Memetakan garis menjadi garis
V.
Mengawetkan besaran sudut
VI.
Mengawetkan kesejajaran
Bukti: iv.
Ambil sebarang isometri T dan garis g akan di tunjukan bahwa T(g) berupa sebuah garis. Perhatikan gambar ambil dua titik sebarang A dan B pada garis g
misalkan T
dan T(B)=
dan garis lurus menghubungkan
dan
adalah H
A B g
v.
T(g)
Ambil A
B
C
Andaikan
=T
,
T(B),
Berdasarkansifat isometri itu
= = BC,
= T(C)
,maka
dan
maka
=
= CA sehingga
ABC =
adalah garis lurus. Oleh karena sedangkan
= AB,
jadi
kesipulannya terbukti bahwaisometri mengawetkan sudut
iii.
a
b
Harus di perhatikan bahwa dan p dan p
//
andaikan
memotong
di sebuah titik p jadi p
oleh karena T sebuah transformasi maka ada p sehingga T (P)=P dengaan p
a
b ini berarti bahwa a memotong b di p,jadi bertentangan dengan yang di ketahui bahwa
a//b Teorema 2.
Apabila garis g dan h saling tegak lurus dan T suatu isometri maka T(g) dan T(h) juga saling tegak lurus .
Bukti: karena sudut yang di bentuk oleh g dan h adalh siku-siku dan T suatu isometri.Berdasarkan teorema 1 (ii) mengakibatkan bahwa sudut yang di bentuk oleh T(g) dan T(h) jika siku-siku dengan kata lain T(g) dan T(h) saling tegak lurus. Teprema 3. Komposisi dua buah isometri adalah sebuah isometri . Bukti : Ambil dua isometri ,
dan
terjadi komposisi dari ,
dan
yaitu:
c. d. Karena
=
adlah isometric maka akan di buktikan
Ambil dua titik sebarang A,B
V,misalkan
=
,
(B)=
adalah isometri dan
)= ,
)=
maka =
)=
(B)=
=
)=
isometri maka
Karena =
(A)=
,dan
= AB, dan karena
=AB.maka
=AB.jadi
isometri maka
karena
suau isometric
Contoh soal: 3.
Misalkan v bidang Eucilid,A sebuah titik tertentu pada v.Transpormasi T yang di tetapkan sebagai berikut: c. T(A)=A d. Apabila p ∈ v dan p ≠ A, T(P) = Q dengan Q merupakan titik tengah ruas garis AP .apakah transformasi T ini suatu isometri ?
4.
Di berikan suatu titik A dan transformasi T yang di tetapkan sebagai berikut ,p ∈ v
d. Apabila p = A maka T (p)=p e. Apabila p ≠ A maka T(p)= Q dengan A titik tengah PQ .Apakah transformasi T ini merupakan isometri ?
Penyelesaian: 3.
Perhatikan gambar di bawah ini P
A Ambil P,R Akibatnya 4.
R
v, misalkan Q = T (P) dan
= T ®,maka AQ = QP dan A
=
= RP. Jada T bukan suatu ispmetri.
Perhatikan gambar di bawah ini P,Q ∈ v,misalkan P
A
R
Q Misalkan T (P)= Q dan T (R) = ,sehingga QA = AP dan P,A,Q kolinear , dan RA = A R,A, kolinear .perhatikan RAP dan QA . karena QA = AP, PAR QA dan RA = A maka RAP QA , akibatnya PR = Q jadi T suatu isometri.
ISOMETRI LANGSUNG DAN ISOMETRI LAWAN
R.
Suatu transformasi T yang memetakan segitiga ABC pada segitiga A1,B1,C1 misalkan sebuah pencerminan pada garis g. Untuk lebih jelas perhatikan gambar berikut : a).Reflexi(pencerminan) Gambar (A B C) Berlawanan arah dengan perputaran jarum jam(memiliki orientasi positif)sedang, Gambar (A1,B1,C1) Sesuai dengan putaran jarum jam (memiliki orientasi yang negative). Isometri langsung adalah tidak mengubah orientasi (tetap),Jadi dalam isometric langsung apabila orientasi positif tetap positif sedangkan orientasi negative tetap negatif. Gambarlah Isometri Langsung: C
C`
A
A`
B
B`
b).Rotasi (perputaran) Orientasi (A B C) adalah positif dan orientasi (A2,B2,C2) tetap positif. Isometri lawan adalah mengubah orientasi positif jadi negatip (kebalikan). Gambar Isometri langsung.
B
C A •
Dikatakan berorientasi positif apabila perputarannya berlawanan arah jarum dengan jarum jam.
•
Dikatakan berorientasi negative apabila perputarannya searah dengan perputaran jarum jam.
Contoh Soal: Perhatikan transformasi yang ditetapkan dalam gambar di bawah ini,sudah ditentukan bahwa transformasi T ini merupakan suatu isometri. Pertanyaan yang timbul apakah T ini merupakan isometric langsung atau isometric lawan?
Gambar
A`
A
B`
B
C`
C
Penyelesaian: Misalkan ambil tiga titik koliner sebarang, A,B,dan C. Kemudian kita cari T(A), T(B), dan T(C). Misalkan : T(A)=A1, T(B)=B1, dan T(C)=C1. Kerena (A,B,C) berorientasi positif,sedangkan (A1, B1 , C1.) berorieantasi negatif ,maka transformasi T merupakan transformasi lawan.Akibatnya T suatu isometri lawan .
BAB V Hasil Kali Transformasi Definisi : Misalkan F dan G dua transformasi dengan F : V → V dan G : V → V maka komposisi dari dan ditulis sebagai yang didefinisikan F G F oG (G o F )(P ) = G(F (P )), ∀P ∈ V .
Contoh : •P
k g • Q
h Diketahui garis-garis g dan h, titik P dan Q. Lukiskan : a) A = Mg [ Mh (P) ] b) B = Mh [ Mg (P)] c) C = Mh [ Mg (Q)], apabila diketahui titik Q(-1,2) maka berapakah nilai titik C ! Jawab: a) Mg [ Mh (P) ] = Mg (P') =A
h // P'
//
P
┐
= ∟ k = A
g •Q
b) Mh [ Mg (P)] = Mh (P'') =B h P = ┘ g = • B
∟ //
//
Q
P¹
c) Mh [ Mg (Q)] = Mh (Q¹) =C h
C(-2,1) //
┘ //
Q¹(2,1) = └ = • Q(-1,2)
g
setelah kita transformasikan, maka titik C adalah (-2,1)
