`APLIKASI DERET FOURIER DALAM ANALISA TEGANGAN PLANE STRESS AKIBAT BEBAN LONGITUDINAL PADA SHELL SILINDRIS

PROSIDING 2011© Arsitektur

Elektro

Geologi

Mesin

HASIL PENELITIAN FAKULTAS TEKNIK Perkapalan Sipil

`APLIKASI DERET FOURIER DALAM ANALISA TEGANGAN PLANE STRESS AKIBAT BEBAN LONGITUDINAL PADA SHELL SILINDRIS A. Arwin Amiruddin & Abd. Madjid Akkas Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Hasanuddin Jl. Perintis Kemerdekaan Km. 10Tamalanrea - Makassar, 90245 Telp./Fax: (0411) 580505/(0411) 580505 E-mail: [email protected]

Abstrak By using Fourier series to obtain the tensions formula in the cylindrical shell which is supported the uniform and not uniform wall thickness at its local edge. Therefore, we had been review the Fourier series and cylindrical shell theory in which Fourier series could be applied in stress analysis that occurs with some shell literature. So that to obtain the shell stress formula at particularly cylindrical shell. By applying the Fourier series, we would obtain the Plane stress include : normal stress, shear stress in force per unit length along the edge of the shell. Kinds of this stress occur when work load as the cylindrical shell at longitudinal direction. Keyword: Series, Fourier, stress, normal, shear, shell, cylindrical, longitudinal

PENDAHULUAN Shell dapat di definisikan sebagai elemen struktural yang secara relatif tipis, dimana material dari elemen adalah batas antara dua permukaan lentur yang terpisah oleh jarak yang relatif kecil. Ada beberapa macam tipe struktur shell, diantaranya adalah Hiperbolic Shell, Parabolic Shell, Barrel Shell, Partial Sphere Shell dan Cylinder Shell atau biasa juga disebut dengan Shell Slindris. Tipe Shell yang akan penulis bahas pada karya tulis ini adalah tipe Shell Slindris. Dalam era modern ini aplikasi dari struktur shell slindris sangat banyak bermanfaat, khususnya di dunia industri pada bangunan. Misalnya sebagai penggantung struktur pada tangki atau menara air, sebagai pondasi pada restoran terapung, sebagai tangki atau penampung zat hidraulik, dan lain-lain. Pada dasarnya berat sendiri shell slindris dalam menganalisa tegangan yang terjadi tidak boleh diabaikan sama sekali. Oleh karena itu penulis perlu menganalisa tegangan yang terjadi akibat berat sendiri shell slindris. Elemen-elemen tegangan yang terjadi pada shell slindris ini akan di analisa dengan menggunakan Deret Fourier sebagai alat bantu matematisnya. Deret Fourier ini banyak digunakan dalam bidang rekayasa. Deret ini pertama kali ditemukan oleh ilmuwan Perancis Jean Baptiste Joseph. Berkaitan dengan hal di atas. Penulis akan menganalisis tegangan plane stress pada shell slindris akibat beban longitudinal dengan menggunakan Deret Fourier. Dengan latar belakang tersebut di atas, maka studi ini ditujukan untuk mendapatkan rumusan gaya plane stress pada shell slindris yang tebal dindingnya tidak seragam (bervariasi) dan seragam secara linier sepanjang tinggi shell. Memberikan sebuah contoh ilustrasi perhitungan dari hasil penurunan rumus gaya plane stress dengan jumlah tumpuan setempat sebanyak 4 dan 6 tumpuan. Membandingkan hasil perhitungan tegangan plane stress antara shell slindris tebal dinding tidak seragam dengan shell slindris tebal dinding seragam. Untuk menyelesaikan masalah tersebut maka penelitian ini dibatasi sebagai berikut: 1. Tumpuan yang akan ditinjau adalahtumpuan setempat. Dengan jumlah tumpuan yaitu 4 dan 6 tumpuan. 2. Shell slindris hanya memikul beban longitudinal akibat berat sendiri dengan mengasumsi shell slindris berdiri tegak. 3. Tegangan yang akan ditinjau adalah tegangan plane stress. 4. Penyelesaian tegangan plane stress menggunakan Deret Fourier. 5. Penyelesaian persamaan Deret Fourier hasil penurunan rumus gaya plane stress menggunakan program komputer.

Volume 5 : Desember 2011

Group Teknik Sipil TS1 - 1

ISBN : 978-979-127255-0-6

Aplikasi Deret Fourier dalam… Arsitektur Elektro

Geologi

Mesin

A. Arwin Amiruddin & Abd. Madjid Akkas Perkapalan Sipil

Tinjauan Umum Struktur Shell Bentuk-bentuk shell yang sekarang sudah banyak dipakai adalah : 1. Cylindrical shell. 2. Spherical shell 3. Hyperbolic paraboloid shell 4. Elliptical paraboloid shell. 5. Conoid shell Shell dibagi dua kelompok menurut kelengkungan yaitu : 1. Shell lengkung tunggal (singly curved) yaitu shell yang bidang pembentukannya melengkung ke salah satu dua arah (memanjang atau melintang shell) misalnya : shell slindris ; conical shell. 2. Shell lengkung rangkap (doubly curved) yaitu shell yang bidang pembentuknya melengkung ke dalam dua arah tersebut diatas, misalnya : circular dome ; paraboloid; elliptical paraboloid ; conoid ; hyperboloid paraboloid shell.

TINJAUAN PUSTAKA Tegangan Bidang (Plane Stress) Apabila sebuah pelat tipis dibebani dengan gaya yang bekerja pada tepian, sejajar dengan bidang pelat dan terbagi rata sepanjang tebal plat (Gambar 1), maka komponen tegangan σz , τxz ,τyz pada kedua permukaan pelat sama dengan nol dan bisa juga dianggap gaya di dalam pelat juga nol. Kemudian keadaan tegangan hanya ditunjukkan oleh σx, σy, τxy dan disebut dengan tegangan bidang (plane stress). Bisa juga dianggap bahwa ketiga komponen ini tidak tergantung kepada z, yaitu komponen tidak berubah sepanjang tebalnya. Berarti komponen tegangan tersebut hanya fungsi x dan y.

Gambar 1. Tegangan Bidang (Plane Stress)

Rumus Pokok Matematika Deret Fourier Fungsi Ganjil dan Genap : Suatu fungsi f(x) dinamakan ganjil jika f(-x)=-f(x). Jad࢞૜ , ࢞૞ − ૜࢞૜ + ૛࢞, ‫࢞ ܖܑܛ‬, ૜࢞ semuanya adalah fungsi ganjil. Suatu fungsin f(x) dinamakan genap jika f(-x)=f(x). Jadi ࢞૝ , ૛࢞૟ − ࢞૛ + , ࢞, + semuanya adalah fungsi genap.

Persamaan Differensial Keseimbangan Elemen Gaya-gaya dalam dari shell slindris dalam mengimbangi beban luar dalam bentuk sistim gaya plane stress adalah : 1. Gaya dalam normal longitudinal arah s Ns. 2. Gaya dalam normal tangensial arah θ yaitu Nθ. 3. Gaya dalam geser pada sisi elemen Nsθ. Beban luar sembarang yang bekerja pada dinding shell tebal tidak seragam diuraikan atas komponenkomponen arah , , masing-masing , , seperti pada Gambar 2 di bawah ini :

ISBN : 978-979-127255-0-6




Elektro

Geologi

Mesin


Gambar 2. (a) Elemen Shell Slindris, (b) Gaya dalam Plane Stress Keseimbangan Persamaan keseimbangan :

∑ = 0

Jumlah gaya arah s = 0

+ + = 0

(1)

.

Jumlah gaya arah = 0

∑ = 0

+ + = 0 .

(2)

.

Jumlah gaya arah r = 0

∑ = 0

− = 0

(3)

.

Ketiga persamaan terakhir di atas disebut : Persamaan Keseimbangan Plane Stress Shell. Persamaan Keseimbangan inilah dengan bantuan transformasi Deret Fourier rumusan gaya-gaya dalam shell slindris dapat diperoleh. మ

మ

మ

+ −

మ − =0

(4)

Dengan persamaan terakhir di atas ini, maka nilai atau rumusan untuk Ns dapat diperoleh, dan selanjutnya dapat diperoleh Ns dengan jalan mensubstitusi Ns pada persamaan (4). Transformasi Berat Sendiri Shell Slindris Tebal Dinding Tidak Seragam ke dalam Deret Fourier Cosinus. Andaikan berat sendiri dinding shell pada kedalaman s dari tepi atas shell = Ps. Ps = Berat sendiri shell slindris pada kedalaman s (Gambar 3) per satuan panjang keliling shell slindris.

Gambar 3. Penjabaran Ps pada kedalaman s



ISBN : 978-979-127255-0-6


Geologi


Mesin

Sehingga :

= ( )

.

. 1.

(5)

Deret Fourier Ps :

= +

~

. cos

2 .

.

.

(6)

!"

Dimana :

! = . Diambil bentuk dan interval x untuk Deret Fourier seperti pada Gambar (4) berikut ini : y = Ps Ps -πr

-πr/2

πr/2

πr

x

0 πr/4 -Ps

-Ps

Gambar 4. Bentuk dan Interval Deret Fourier untuk berat sendiri Sehingga Deret Fourier berat sendiri : ~ 4. . % cos () = # $ . 2

(7)

Analisa Gaya-Gaya Plane Stress 4 Tumpuan Setempat Tebal Dinding Tidak Seragam.

(a)

(b)

Gambar 5. (a) Shell Slindris tebal dinding tidak seragam (b) Potongan a-a.

ISBN : 978-979-127255-0-6




Elektro

Geologi


Mesin

Reaksi R

+Q 0

x=rθ

αr

πr/4

πr

-R Pusat Tumpuan

Gambar 6. Kurva reaksi tumpuan untuk 4 tumpuan setempat (Rt4) Reaksi tumpuan setempat (Rt4 per satuan panjang keliling shell) : Rt4 = -R jika 0 < ! < &. 0 jika &. < ! < .

'. ( . )

jika

.

Terpakai

( fungsi fiktif yang meyebabkan

= 0)

Sehingga Deret Fourier Rt4 adalah sebagai berikut ini :

4= ~

*'

(8)

. +, .

Gaya dalam Ns untuk berat sendiri shell dinding tebal tidak seragam :

=-

~

(

)

. +,.

−/

(9)

Gaya dalam

=

− 0 ~

.

(10)

. # .

Analisa Gaya-Gaya Plane Stress 6 Tumpuan Setempat Tebal Dinding Tidak Seragam.

(b) (a) Gambar 7. (a) Shell Slindris tebal dinding tidak seragam (b) Potongan a-a.



ISBN : 978-979-127255-0-6


Geologi


Mesin

Reaksi R tLγ/5 αr

0

x = r0

πr

y = Ps

-πtLγ/6α Pusat tumpuan

Gambar 8. Bentuk reaksi tumpuan Rt6 Fungsi reaksi tumpuan :

Jika &

.

< ! < " .

Jika " < ! < .

Jika

.

"

.

*'6 Terpakai

= "# ! .

.

.

.

1 ' ( ) 5

.

*'6

=

Fiktif agar

.

=0

Sehingga : ~

(11)

. +, .

Gaya Dalam atau ~

=1

. cos. 2

−/

(12)

Gaya dalam ~

=

− 0 .

(

)

(13)

. # .

Transformasi Berat Sendiri Shell Slindris Tebal Dinding Seragam ke dalam Deret Fourier Cosinus. Andaikan berat sendiri dinding shell pada kedalaman s dari tepi atas shell = Ps. Ps = Berat sendiri shell slindris pada kedalaman s (Gambar 9) per satuan panjang keliling shell slindris. ta

s

ts

L

tb

Gambar 9. Penjabaran Ps pada kedalaman s

ISBN : 978-979-127255-0-6




Elektro

Geologi


Mesin

Sehingga :

=

.

. 1. ...................................... (13)

Deret Fourier Ps :

= + Dimana :

~

. cos

2 .

.

.

(14)

!"

! = .

Diambil bentuk dan interval x untuk Deret Fourier seperti pada Gambar (3.10) berikut ini :

y = Ps Ps -πr

-πr/2

πr/2

πr

x

0 πr/4 -Ps

-Ps

Gambar 10. Bentuk dan Interval Deret Fourier untuk berat sendiri Sehingga Deret Fourier berat sendiri : ~ 4. . % . cos (. ) = . # $ . 2

(15)

Analisa Gaya-Gaya Plane Stress 4 Tumpuan Setempat Tebal Dinding Seragam.

(a) (b) Gambar 11. (a) Shell Slindris tebal dinding seragam (b) Potongan a-a. Reaksi R

+Q 0

αr

x=rθ πr/4

πr

-R Pusat Tumpuan

Gambar 12. Kurva reaksi tumpuan untuk 4 tumpuan setempat (Rt4)



ISBN : 978-979-127255-0-6


Geologi

Mesin


Reaksi tumpuan setempat (Rt4 per satuan panjang keliling shell) : Rt4 = -R jika 0 < ! 0 jika & . < !

'. ( . )

<& .

Terpakai

< .

.

jika

( fungsi fiktif yang meyebabkan

= 0)

Sehingga Deret Fourier Rt4 adalah sebagai berikut ini :

~

=

*'4

(16)

. cos .

Gaya dalam Ns

=

~

−/

(17)

#.

(18)

. cos.

Gaya dalam ~

=

− 0 .

.

Analisa Gaya-Gaya Plane Stress 6 Tumpuan Setempat Tebal Dinding Seragam

(b) (a) Gambar 13. (a) Shell Slindris tebal dinding seragam (b) Potongan a-a.

Reaksi R tLγ/5

0

αr

πr

y = Ps

x = r0

-πtLγ/6α Pusat tumpuan Gambar 14. Bentuk reaksi tumpuan Rt6

ISBN : 978-979-127255-0-6




Elektro

Geologi

Mesin


Fungsi reaksi tumpuan :

Jika

ߙ ‫ < ݔ < ݎ‬గ଺௥ .

*'6

.

గ௥

.

.

.

.

Fiktif agar

Terpakai

<‫ݎ ߨ<ݔ‬ ଺ గ௥ Jika ଺ < ‫ݎ ߨ < ݔ‬ Jika

= "# !

1 ' ( ) 5

.

.

.

.

.

*'6

.

Sehingga : ~

=

(

)

(19)

. +, .

Gaya Dalam atau ~

=1

. cos. 2

−/

(20)

Gaya dalam ~

=

− 0 .

=0

(21)

. # .

Flow Chart Perhitungan Berat Sendiri P(s) Mulai

Data Input ta,tb,s,n,γ,θ

Hitung: P(s)

Hitung: Faktor a(n)

Hitung: Faktor a(n)

Ps(θ) ≥ 0

Tidak

Ya Selesai Gambar 15. Flowchart Perhitungan Ps



ISBN : 978-979-127255-0-6


Geologi

Mesin


Flow Chart Perhitungan Gaya-gaya Dalam Shell Slindris Mulai Data Input ta,tb,s,L,n,r,γ,θ,α

Hitung: Faktor a(n)

Hitung: Faktor A(n)

Hitung: Nsn(n)

Hitung: Faktor a(n) Tidak Ns(θ) ≥ 0 atau Ns(θ) ≤ 0

Data Input

Ya

Hitung: Faktor a(n)

Selesai Gambar 16. Flowchart Perhitungan Gaya-Gaya Dalam

Contoh Perhitungan Tebal Dinding Tidak Seragam Suatu shell slindris tebal dinding tidak seragam dapat dimodelkan seperti pada Gambar 15 dan data-data perhitungan dapat dilihat pada Tabel 1.

ISBN : 978-979-127255-0-6




Elektro

Geologi


Mesin

Gambar 17. Penjabaran Ps pada kedalaman s Tabel 1 Data-data perhitungan shell slindris tebal dinding tidak seragam untuk 4 tumpuan dan 6 tumpuan.

Tebal pinggir atas

Tebal pinggir bawah

Jarijari shell

(ta)

(tb)

(r)

m 0.12

m 0.24

m 3

Berat Sudut volume tumpuan beton ( γ) ( 2α ) 3 Derajat Kg/m 2400 20

Tinggi shell

Sudut posisi elemen

Jumlah suku

Kedalaman shell

Beban luar

(L)

( θ)

(n)

(s)

(q)

m 4

Kg/m' 100

m 8

Radian 0 s/d 0.785 1 s/d 100

Untuk menghitung tegangan plane stress shell slindris tebal dinding tidak seragam dari data yang tertera pada Tabel 1 maka digunakan persamaan 18, persamaan 19, persamaan 21 dan persamaan 22 sebelumnya. Tabel 2 Hasil analisis perhitungan shell slindris tebal dinding tidak seragam. 4 Tumpuan 6 Tumpuan

Kg/m2

Kg/m2

PsѲ Kg/m’

4

Radian

Kg/m2

Kg/m2

PsѲ Kg/m’

0

-24383

0

0

-9544

0

0

0.079 0.157 0.236 0.314 0.393 0.471 0.55 0.628 0.707 0.785

-25428 -23289 16256 18428 19489 18750 18106 18528 19050 20306

851.7 1424.144 -82.461 -2090.7 -4109 -6133.333 -8150 -10166.333 -12183.333 -14211.111

37.884 76.138 114.763 153.757 193.122 232.857 272.961 313.436 354.281 395.497

-10200 -8744 17578 18994 19767 19300 20200 20394 20700 20550

-27.66 -345.844 -2059.678 -4104.206 -6150 -8205.556 -10283.333 -12405.556 -14527.778 -16655.556

37.884 76.138 114.763 153.757 193.122 232.857 272.961 313.436 354.281 395.497

Ѳ

3$

4

3$

Dari Tabel 2 di atas dapat dilihat bahwa nilai tegangan normal (3$ ) pada shell slindris tebal dinding tidak seragam 4 tumpuan relatif lebih besar dibandingkan dengan shell slindris tebal dinding tidak seragam 6 tumpuan, yaitu terjadi pada saat sudut posisi elemen berada pada 0 rad, 0.079 rad dan 0.157 rad. Sedangkan nilai tegangan geser (4) harganya konstan pada saat sudut posisi elemen berada pada 0 rad, yaitu sebesar 0 Kg/m2. Tebal Dinding Seragam Suatu shell slindris tebal dinding seragam dapat dimodelkan seperti pada Gambar 16 dan data-data perhitungan dapat dilihat pada Tabel 3.



ISBN : 978-979-127255-0-6


Geologi

Mesin


Gambar 18. Penjabaran Ps pada kedalaman s Tabel 3 Data-data perhitungan shell slindris tebal dinding seragam untuk 4 tumpuan dan 6 tumpuan.

Tebal pinggir atas

Tebal pinggir bawah

Jarijari shell

(ta)

(tb)

(r)

m 0.12

m 0.12

m 3

Berat Sudut volume tumpuan beton ( γ) ( 2α ) 3 Derajat Kg/m 2400 20

Tinggi shell

Sudut posisi elemen

Jumlah suku

Kedalaman shell

Beban luar

(L)

( θ)

(n)

(s)

(q)

m 4

Kg/m' 100

m 8

Radian 0 s/d 0.785 1 s/d 100

Penyelesaian Soal Shell Slindris Tebal Dinding Seragam Untuk menghitung tegangan plane stress shell slindris tebal dinding tidak seragam dari data yang tertera pada Tabel 3 maka digunakan persamaan 17, persamaan 18, persamaan 20 dan persamaan 21. Tabel 4 Hasil analisis perhitungan shell slindris tebal dinding seragam. 4 Tumpuan

6 Tumpuan

Kg/m2

Kg/m2

PsѲ Kg/m’

4

Radian

Kg/m2

Kg/m2

PsѲ Kg/m’

0 0.079 0.157 0.236 0.314 0.393 0.471 0.55 0.628 0.707 0.785

-24658.333 -25708.333 -23566.667 15975 18150 19208.333 18466.667 17833.333 18250 18775 20008.333

0 759.075 1083.5 -685.633 -2952.03 -5221.79 -7497.97 --9775 -12050 -14316.7 -16600

0 37.699 75.398 113.097 150.796 188.469 226.195 263.894 301.593 339.292 376.991

-10358.333 -11008.333 -9550 16758.333 18175 18966.667 18500 20075 20233.333 20516.667 20375

0 -88.833 -623.675 -2568.65 -4839.817 -7106.8 -9383.333 -11700 -14083.333 -16466.667 -18858.333

0 37.699 75.398 113.097 150.796 188.469 226.195 263.894 301.593 339.292 376.991

Ѳ

3$

4

3$

Dari Tabel 4 di atas dapat dilihat bahwa kondisi tegangan plane stress shell slindris tebal seragam mirip dengan kondisi tegangan plane stress shell slindris tebal tidak seragam dimana nilai tegangan normal (3$ ) pada shell slindris tebal dinding seragam 4 tumpuan relatif lebih besar dibandingkan dengan shell slindris tebal dinding seragam 6 tumpuan, yaitu terjadi pada saat sudut posisi elemen berada pada 0 rad, 0.079 rad dan 0.157 rad. Hal ini terjadi karena beban berat sendiri shell yang ditanggung oleh shell slindris tebal dinding seragam 4 tumpuan lebih besar untuk setiap tumpuan dibandingkan dengan shell slindris tebal dinding seragam 6 tumpuan

ISBN : 978-979-127255-0-6




Elektro

Geologi

Mesin


Sedangkan nilai tegangan geser (4) harganya konstan pada saat sudut posisi elemen berada pada 0 rad, yaitu sebesar 0 Kg/m2. Kondisi ini terjadi karena elemen shell pada sebelah kiri dan kanan tumpuan simetris. Sehingga tegangan geser (4) yang bekerja di sebelah kiri dan kanan tumpuan besarnya sama namun arahnya berbeda. Oleh karena itu nilai tegangan geser pada titik pertemuan di daerah tumpuan (posisi sudut elemen 0 rad) besarnya sama dengan 0 Kg/m2. Grafik tegangan normal 2

σy (Kg/m )

(rad)

σy ( 4 T Seragam ) σy ( 6 T Seragam ) σy (4 T Tidak Seragam ) σy ( 6 T Tidak Seragam )

Gambar 19. Grafik Tegangan Normal Dari Gambar 19 terlihat bahwa grafik hubungan sudut posisi elemen (θ ) dengan tegangan normal (σy) shell slindris untuk 4 dan 6 tumpuan setempat tebal dinding seragam dan tebal dinding tidak seragam membentuk grafik sinus. Perbedaan keseragaman tebal dinding shell tidak begitu mempengaruhi perbedaan nilai tegangan normal (σy). Dengan syarat tebal pinggir atas shell slindris tidak seragam besarnya 50 persen dari tebal pinggir bawahnya, misalnya pada titik 0 rad untuk shell slindris dinding tidak seragam 4 tumpuan didapatkan nilai tegangan normal (σy) sebesar -24383 Kg/m2 dan untuk shell slindris dinding seragam 4 tumpuan sebesar 24658.33 Kg/m2. Untuk sudut posisi elemen antara 0.236 rad sampai dengan 0.785 rad terjadi perubahan tanda menjadi positif (+) pada nilai tegangan normal (σy). Kondisi ini terjadi karena pada titik antara 0.236 rad sampai dengan 0.785 rad letaknya semakin menjauh dari tumpuan sehingga gaya perlawanan kepada berat sendiri shell slindris dari tumpuan mengecil. Akibatnya elemen shell slindris pada titik tersebut mengalami tegangan tarik yang nilainya positi (+). Grafik tegangan geser τ (Kg/m2)

θ (rad)

τ ( 4 T Seragam) τ (6 T Seragam) τ (4 T Tidak Seragam ) τ (6 T Tidak Seragam )

Gambar 20. Grafik Tegangan Geser Dapat dilihat pada Gambar 4.6 bahwa Grafik Hubungan antara sudut posisi elemen (θ ) dengan tegangan geser (τ ) shell slindris untuk 4 dan 6 tumpuan setempat tebal dinding seragam dan tebal dinding tidak seragam



ISBN : 978-979-127255-0-6


Geologi

Mesin


membentuk grafik cosinus. Perbedaan jumlah tumpuan dan perbedaan keseragaman tebal dinding shell slindris tidak mempengaruhi besarnya tegangan geser (τ ) pada saat sudut posisi elemen berada pada 0 rad. Karena nilai tegangan geser pada titik tersebut bernilai konstan yaitu 0 Kg/m2. Hal ini disebabkan karena beban yang ditanggung tumpuan sifatnya simetris.

SIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan Setelah menurunkan persamaan gaya plane stress shell slindris dan memberikan sebuah contoh ilustrasi perhitungan, maka didapatkan kesimpulan berikut. 1. Dari hasil analisa persamaan keseimbangan gaya plane stress shell maka didapatkan rumus gaya dalam bentuk Deret Fourier yang merupakan salah satu metode pendekatan untuk menghitung tegangan plane stress shell. 2. Dengan melihat hasil perhitungan pada BAB IV sebelumnya dapat ditarik kesimpulan bahwa perbedaaan nilai tegangan normal (σy) yang terjadi pada shell slindris dinding tebal tidak seragam dengan shell slindris dinding tebal seragam tidak begitu signifikan. Misalnya pada titik 0 rad untuk shell slindris dinding tidak seragam 4 tumpuan didapatkan nilai tegangan normal (σy) sebesar -24383 Kg/m2 dan untuk shell slindris dinding seragam 4 tumpuan sebesar -24658.333 Kg/m2. Dengan syarat tebal pinggir atas shell slindris dinding tebal tidak seragam sama dengan tebal pinggir atas shell slindris dinding tebal seragam dan besarnya tebal pinggir atas shell slindris tebal tidak seragam adalah 50 persen dari tebal pinggir bawahnya. 3. Tegangan geser (τ ) yang terjadi pada shell slindris dinding tebal tidak seragam nilainya relatif sama dengan tegangan geser (τ ) yang terjadi pada shell slindris dinding tebal seragam pada posisi sudut elemen 0 rad. Yaitu sebesar 0 Kg/m2 . Dengan syarat tebal pinggir atas shell slindris dinding tebal tidak seragam sama dengan tebal pinggir atas shell slindris dinding tebal seragam dan besarnya tebal pinggir atas shell slindris tebal tidak seragam adalah 50 persen dari tebal pinggir bawahnya. 4. Semakin banyak jumlah tumpuan setempat yang digunakan pada shell slindris, maka akan mengurangi besar tegangan normal yang terjadi pada daerah sekitar tumpuan shell slindris. Yaitu pada posisi sudut elemen 0 rad didapatkan nilai tegangan normal sebesar -24383 Kg/m2 untuk 4 tumpuan dan -9544 Kg/m2 untuk 6 tumpuan.

DAFTAR PUSTAKA Akkas, Abdul Madjid. 1980. Disain Konstruksi Atap Beton Shell Silindris. Ujung Pandang : Universitas Hasanuddin. Bock, Igor and Lovisek, Jan. 1983. An Analysis of a Contact Problem for a Cylindrical Shell : A Primary and Dual Formulation. Applications of Mathematics. Chen Wai-Fah. Ed. 1999. Structural Engineering Handbook. Boca Raton: CRC Press LLC Cook. Robert D. 1976. Finite Element Modeling for Stress Analysis. University of Wisconsin. Madison Gunawan, Hendra. 2008. Pengantar Analisi Fourier dan Teori Aproksimasi. Jurnal Deret Fourier pada Interval Sebarang dan Aplikasi.. Hayashi, Paul H. 1957. A Study of A laterally loaded Thin Circular Cylindrical Shell. In Partial Fulfillment of the Requirements for the Degree of Mechanical Engineer. California Institute of Technology Pasadena. California. Jr, William Weaver. Paul R. Johnston. 1989. Elemen Hingga untuk Analisis Struktur. PT ERESCO. Ladislav Fischer, Tochn. 1968. Theory and Practice of Shell Structures. Published By Wilhelm Ebnst & Sohn. Berlin Munich. Ramaswamy, G. S. 1974. Design and Construction of Concrete Shell Roofs. Tata Mc Graw-Hill Publishing Company LTD. New Delhi. S, Sumardi H. 2007. Kalkulus Lanjut Deret Fourier Sinus/Cosinus Jamgkauan. Pusat Pengembangan Bahan Ajar-UMB. Timoshenko, S. P. dan Woinowsky-Krieger, S. 1959. Theory of Plates and Shells. Mc. Graw-Hill Kogokusha LTD. Tokyo. Timoshenko, S. P. Goodier, J. N. 1986. Teori Elastisitas. Edisi Ketiga. Erlangga. Zhang, Sheng. 2001. A Linear Shell Theory Based on Variational Principles. The Pennsylvania State University The Graduate School Department Of Mathematics.

ISBN : 978-979-127255-0-6



`APLIKASI DERET FOURIER DALAM ANALISA TEGANGAN PLANE STRESS AKIBAT BEBAN LONGITUDINAL PADA SHELL SILINDRIS

Recommend Documents